PhD Thesis

. . .
δ
|a|=j−m+1
x a1
1 · · · x ar
r ⊗k N m−1
δ
si j ≥ m. Donde δ(x a1
1 · · · x ar
r ω) = r
i=1 xa1
|a|=j−m
1 · · · x ai−1
i
x a1
1 · · · x ar
r ⊗k N m ,
si b < 0. Donde a = (a1, . . . , ar), y |a| = a1 + . . . + ar = j − s.
· · · x ar
r dxi ∧ ω, y x b i = 0,
Observación. Cuando no haya lugar a confusión escribiremos L(x1, . . . , xr)
por Lj(dx1, . . . , dxr, N). Cuando df1, · · · , dfr es parte de una base en Ω 1 RP es
obvio que L(df1, · · · , dfr, Ω 1 RP ) es isomorfo a L(x1, . . . , xr) sobre un RP −módulo
libre de rango m.
Lema 2.42. El complejo Lj(x1, . . . , xr) esta bien definido
Prueba. Será suficiente demostrar que δ 2 = 0. Sea x = x a1
1 · · · x ar
r ω entonces
y
δ(δ(x)) =
r
(
i=1
δ(x) =
r
x a1
j=1
r
x a1
i=1
1 · · · x aj−1
j
1 · · · x ai−1
i
· · · x ar
1 dxi ∧ ω,
· · · x ai−1
i · · · x ar
r dxj ∧ dxi ∧ ω). (2.11)
Sea l < s ∈ {1, . . . , r} dos indices arbitrarios. Sin perdida de generalidad
podemos asumir que al, as > 0. En efecto si al = 0 o as = 0 entonces el
término x a1
1 · · · xas−1 s · · · x al−1
l · · · xar r dxj ∧ dxi ∧ ω = 0.
Si en la ecuación 2.11 ponemos i = l y j = s obtenemos
z = x a1
1 · · · x as−1
s
Si ponemos i = s y j = l obtenemos
z ′ = x a1
1 · · · x al−1
l
· · · x al−1
l · · · x ar
r dxs ∧ dxl ∧ ω.
· · · x as−1
s · · · x ar
r dxl ∧ dxs ∧ ω.
Como z + z ′ = 0 entonces δ ◦ δ = 0.
Proposición 2.43. Sea j ∈ N, entonces existe una secuencia exacta corta
de complejos
0
Lj(x1, . . . , xr−1)
Lj(x1, . . . , xr)
80
ϕ
Lj−1(x1, . . . , xr)
0.