PhD Thesis

Prueba. La demostración se basa en el Criterio de Exactitud.
Como K(f1, . . . , fr) es un complejo de módulos libres f.g de longitud r
aplicamos el Teorema 1.68 cuando n = r.
Sea P un primo tal que profundidad(P ) ≤ r−1. Como profundidad(I) =
r, entonces P I. Es decir algún fi no esta en Pi. Sin perdida de generalidad
podemos asumir que el elemento fr es unidad en el anillo RP .
Como K(f1, . . . , fr) = r i=1 K(fi) entonces podemos escribir el complejo
K(f1, . . . , fr) de la siguiente manera
· · ·
(K(f1, . . . , fr−1))2
(K(f1, . . . , fr−1))1
(K(f1, . . . , fr−1))0
fr
fr
fr
· · ·
(K(f1, . . . , fr−1))2
(K(f1, . . . , fr−1))1
(K(f1, . . . , fr−1))0.
Debido a que el elemento fr es unidad, al calcular los módulos de homología
de las filas del complejo anterior obtenemos cero en todo nivel. Es decir el
complejo K(f1, . . . , fr)P es exacto en RP . Por lo tanto, usando el criterio de
exactitud obtenemos que el complejo H i (K(f1, . . . , fr)) = 0 para todo i = r.
A continuación definimos la homología de Hochschild y la cíclica para
álgebras diferenciales graduadas.
Definición 1.71. Sea (A, ∂) una k−álgebra diferencial graduada. Definamos
en
Cp,q(A) = (A ⊗ A ⊗p )q = ⊕Ai0 ⊗ Ai1 ⊗ . . . ⊗ Aip,
donde la suma recorre las (p + 1)−tuplas (i0, . . . , ip) tal que i0 + . . . + ip = q,
los morfismos
n
∂(ai0 ⊗ ai1 ⊗ . . . ⊗ aip) = (−1) i0+...+ij−1ai0 ⊗ . . . ⊗ ∂(aij ) ⊗ . . . ⊗ aip,
b(ai0 ⊗ ai1 ⊗ . . . ⊗ aip) =
j=0
p
j=0
(−1) j ai0 ⊗ ai1 ⊗ . . . ⊗ aijaij+1 ⊗ . . . ⊗ aip+
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