PhD Thesis

y
ϕ j m : ξ j m −→ Im−j Ω 2j−m
I m−j+1 Ω 2j−m
como la restricción. Notemos que esta última aplicación es en esencia el
quasiisomorfismo L ′ j ⊗A0 K(f1, . . . , fr) Lj, que dimos anteriormente. En
nuestro caso grado(vi) = 1. Veamos que ϕ j m es un morfismo de complejos. Es
decir, veamos que el diagrama
ξ j m
δ
ξ j
m−1
conmute. Para ello evaluemos
ϕ j m
I m−j Ω 2j−m
I m−j+1 Ω 2j−m
ϕ j
m−1
Im−1−jΩ2j−(m−1) Im−1−j+1Ω2j−(m−1) ϕ j
m−1(δ(w · v1 · · · vj−i)) = (−1) i ϕ j
m−1(w ·
como δ(vk) = −dflk y w ∈ Ωi tenemos
k=1
d
j−i
δ(vk)v1 · · · vk · · · vj−i) =
k=1
(−1) i
j−i
ϕ j
m−1((−1) i+1 dflk ∧ w · v1 · · · vk · · · vj−i) =
j−i
(−1) 1+j−i−1 fl1 . . . flk . . . flj−idflk ∧ w = d(ϕjm(w · v1 · · · vj−i)).
k=1
Una de las razones de la ultima igualdad se debe a que dDR(w)fl1 . . . flj−i = 0
en el módulo Im−1−j Ω 2j−(m−1)
y
Im−1−j+1 , pues j − i = m − j.
Ω2j−(m−1) Si en w · x · v1 · · · vj−h−i grado(x) ≥ 1 entonces
ϕ j
m−1(δ(w · x · v1 · · · vj−h−i)) = d(ϕ j
m−1(w · x · v1 · · · vj−h−i)) = 0
δ(ϕ j
m−1(w · x · v1 · · · vj−h−i)) = δ(0) = 0,
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