PhD Thesis

2.3. Homología de Hochschild para I = 〈f1, · · · , fr〉
Generalizaremos los resultados de la sección anterior para r polinomios.
Demostramos que para j ≥ m los complejos Lj tiene sólo los últimos r +
1 términos de cohomología no nulos. Presentamos una secuencia espectral
que converge a la cohomología de los complejos Lj y colapsa en E r . Para
los complejos Lj con j < m demostramos que sus módulos de cohomología
H s (Lj) son cero para todo s < min{j, m−r}. Nuevamente el punto clave para
este análisis es el cálculo de la altura ht(JF ) = m − r + 1 y la generalización
del Teorema 2.47.
Recordemos la estructura de los complejos Lm+p. Sea
Lm+p : 0
Im+pΩ0 R
Im+p+1Ω0 R
dDR
I
m+s−1Ω1 R
Im+pΩ1 R
dDR
. . .
dDR
I
p+1Ω m−1
R
I p+2 Ω m−1
R
dDR I
pΩm R
Ip+1Ωm .
R
Sea a = (a1, . . . , ar) y y = (y1, . . . , yr), como I es intersección completa
entonces
I l
I
l+1 =
|a|=l
y a1
1 . . . y ar
Por lo tanto el complejo Lm+s se escribe como
0
|a|=m+p
ya ⊗k Ω 0
R
. . .
|a|=p+1
ya ⊗k Ω m−1
R
r · R/I =
y a · R/I,
|a|=l
δ
|a|=m+p−1
ya ⊗k Ω 1
R δ
. . .
δ
|a|=p
y a ⊗k Ω m
R ,
donde ΩR = ΩR ⊗R R/I. El morfismo borde δ se escribe como
δ(y a1
1 · · · y ar
r ⊗ ω) =
r
y a1
i=1
1 · · · y ai−1
1
· · · y ar
r ⊗ dfi ∧ ω,
por definición y ai
i = 0 si ai < 0. También obviamos poner y a ⊗ ω y sólo
colocamos y a ω. Para
|α|=j−s
y a ⊗k Ω p
R sólo ponemos
Definición 2.68. Bajo la notación anterior definamos
104
|α|=j−s
y a Ω p
R