PhD Thesis

Teorema 3.9. Sea j ∈ N entonces
⎧
0 si t ≤ min{j − 1, m − r − 1}
Ω j
A
H i ⎪⎨
(Dj) =
dΩ
⎪⎩
j−1
si i = j y j < m − r
A
Hm−r (Dm−r) = Ωm−r
A
dΩ m−r−1 si j = m − r
A
Hm−r (Dj) = Hm−r (Lj) si j > m − r.
Si m − r < t < m entonces existe una secuencia exacta
0
t−1 H (Dj−1)
Ht (Lj)
Ht (Dj)
0.
(3.4)
con t ≤ j. Si j ≥ m entonces H m (Dj) = 0, y H m−1 (Dj) = H m (Lj) para todo
j ≥ m − 1.
Observación. A continuación veremos para que términos la homología de los
complejos Dj se anula. La herramienta básica será usar el hecho que π ∗ = 0.
Proposición 3.10. Sea j ∈ N entonces
para todo t ≤ min{j − 1, m − r − 1}.
H t (Dj) = 0
Prueba. Del Corolario 1.108 se tiene que π ∗ = 0. La afirmación para j < m−
r se sigue directamente de la Proposición 3.4. La afirmación para j ≥ m − r
se obtiene de la Proposición 3.6.
Proposición 3.11. Se cumple H m−r (Dj) = H m−r (Lj) para todo j > m − r.
Si j = m − r entonces
Prueba. Para la secuencia
0
H m−r (Dm−r) = Ωm−r
A
dΩ m−r−1
A
Lj
Dj
129
π
Dj−1
0.