PhD Thesis

se escribe como un bicomplejo (Bs,t, δ1 + dfr)
Bp+1,−p
δ1
dfr
Bp,−p
δ1
. ..
dfr
. ..
δ1
· · ·
. ..
∂
dfr
B2,−1
dfr
Bm
1,−1
δ1
δ1
δ1
· · ·
dfr
B m−2
2,0
dfr
B1,0
dfr
B0,0
δ1
δ1
δ1
. . .
. . .
· · · .
Lema 2.71. El complejo (Bs,t, δ1 + dfr) está bien definido.
Prueba. Sea x ∈ y a1
1 . . . yar r ω ∈ Bs,t = Ωs+t,s =
|α|=s+t+p;ar=s. yαΩm−s−t ,
entonces
r−1
δ(x) = y a1
v=1
1 · · · y av−1
v
. . . y ar
r dfv ∧ ω + y a1
1 . . . y ar−1
r−1 y ar−1
r
dfr ∧ ω,
a1 + · · · + (av − 1) + · · · + ar = s + (t − 1) + p y dfv ∧ ω ∈ Ω m−s−(t−1)+p y
ar = s. Esto significa, por definición, que
El término
r−1
δ1(x) := y a1
v=1
se encuentra en el módulo
1 · · · y av−1
v
|α|=(s−1)+t+p;ar=s−1
y a1
1 . . . y ar−1
. . . y ar
r dfv ∧ ω ∈ Ω m−s−(t−1)
s+(t−1),s = Bs,t−1.
r−1 y ar−1
r
dfr ∧ ω
f α Ω m−(s−1)−t = Ω m−(s−1)−t
s−1+t,s−1 = Bs−1,t.
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