PhD Thesis

En la última sección del primer Capítulo presentamos un bosquejo de la
demostración de la descomposición de Hodge de la homología cíclica y de
Hochschild. Para ello desarrollamos la teoría de homología cíclica y Hochschild
para álgebra diferenciales graduadas. Entre los principales ejemplos de
estas álgebras se encuentran el complejo de Koszul K(a1, · · · , ar). Conocer su
homología es importante en el trabajo. Se sabe que si la secuencia a1, · · · , ar
es regular el complejo K(a1, · · · , ar) es exacto salvo en el útimo nivel.
Un hecho fundamental, que hacemos notar en el primer Capítulo y que
usamos en repetidas ocasiones, es el siguiente :
Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. Para todo ideal I propio se cumple que la
altura del ideal I es igual que la proundidad de I. Para presentar el resultado
anterior introducimos la principales definiciones del álgebra conmutativa que
se emplean en esta sección. Un pilar importante introducido en este capítulo
se refiere a la definición de ideal jacobiano. Presentamos un interpretación
geométrica de esta definición en el ámbito de la geometría algebraica.
En el Segundo Capítulo con ayuda de las propiedades descritas anteriormente
probamos un resultado fundamental en el trabajo :
ht(JF ) = m − r + 1
para una icis I = 〈f1, · · · , fr〉 . Esta propiedad, junto al hecho de que f ∈
Jf nos permiten demostrar el teorema de clasificación de singularidades
aisladas. Este resultado también se puede obtener usando directamente la
Proposición 2.24. El único requisito que se pide en esta segunda prueba es
que el cuerpo k sea infinito. Este teorema permite generalizar los métodos de
cálculos para un sólo polinomio, al caso de un ideal que sea una icis generado
por r polinomios. Otro item importante que presentamos es el Corolario 2.70:
Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis entonces para todo
primo P tal que JF P el complejo L ′ j, localizado en P, (L ′ j)P , para todo
1 ≤ j < m satisface que H i (L ′ j) = 0 para todo i = j y exacto para todo
j ≥ m.
Este corolario nos dice que los módulos de cohomología de los complejos L ′ j
para j > 0 están soportados en los ideales primos que contienen al ideal
jacobiano JF . En la Sección 2.2 estudiamos el caso que el ideal este generado
por una secuencia regular de longitud dos. El resultado enunciado líneas
x