PhD Thesis

Prueba. [Mats, Teorema 36]. .
Definición A.24. Sea M un R−módulo. Diremos que P es un primo asociado
si existe x ∈ M tal que ann(x) = P. Aquí
ann(x) := {λ ∈ R : λ · x = 0}.
El conjunto de los primos asociados de M se denota como Ass(M).
Proposición A.25. Sea P un elemento maximal del conjunto de ideales
Ann = {Ann(x) : x ∈ M, x = 0.} entonces P ∈ Ass(M)
Prueba. [Mats, Proposición 7.B].
Proposición A.26. Sea M un R−módulo f.g., todo elemento Ann(x) esta
contenido en un elemento de Ass(M).
Prueba. En efecto, sea
∆(x) := {Ann(y) : Ann(x) ⊂ Ann(y); y ∈ M} .
El conjunto ∆(x) es no vacío pues Ann(x) ∈ ∆(x). Sea
Ann(x) = Ann(x1) ⊂ Ann(x2) ⊂ . . .
una cadena de elementos en ∆(x). Como el anillo R es noetheriano satisface
la condición de cadena ascendente. Es decir existe s en los naturales tal que
Ann(xs) = Ann(xi) para todo i ≥ s. Por lo tanto basta tomar Ann(xs)
como elemento maximal de la cadena. El Lema de Zorn nos indica entonces
que ∆(x) tiene elementos maximales. Se prueba también que si Ann(x ′ ) es
un elemento maximal de ∆(x) entonces también lo es de Ann. En efecto si
Ann(x ′ ) no fuera un elemento maximal en Ann entonces existe y ∈ M tal
que Ann(x ′ ) Ann(y). Como Ann(x) ⊂ Ann(x ′ ) y Ann(x ′ ) ⊂ Ann(y).
Entonces Ann(y) ∈ ∆(x) y Ann(x ′ ) Ann(y), una contradicción con la
hipótesis de elemento maximal de Ann(x ′ ). Por tanto Ann(x ′ ) ∈ Ass(M) y
Ann(x) ⊂ Ann(x ′ ). Esto finaliza la prueba de la proposición.
Proposición A.27. Sea R un anillo noetheriano y M un módulo finito.
Entonces Ass(M) es un conjunto finito.
174