PhD Thesis

f a1
i=1
1 · · · f ai−1
i
· · · f ar
r · ai · dfi ∧ ω.
Por lo tanto d(x) corresponde al elemento r i=1 ya1
en el módulo
|a|=s−1 ya1 1 · · · yar r ⊗k Ω j−s+1
R
δ ′ (z) =
r
y a1
i=1
1 · · · y ai−1
i
1 · · · y ai−1
i
· · · y ar
r ⊗ai·dfi ∧ ω
. Entonces podemos escribir
· · · y ar
r ⊗ ai · dfi ∧ ω
Notemos que ai puede ser cero.
Como k ⊃ Q podemos reemplazar las potencias f j
j
(j) fi i por f i = j! entonces
el morfismo se define sólo con la multiplicación por dfi, para i = 1, . . . , r. Es
decir el siguiente diagrama
|a|=s
y (a1)
1
I s Ω j−s
R
I s+1 Ω j−s+1
R
· · · y (ar)
r
es conmutativo, donde
⊗k Ω j−s
R
δ(y (a1)
1 . . . y (ar)
r ⊗ ω) =
Por convención y (b)
i
r
i=1
d
δ
|a|=s−1
y (a1)
1
Is−1Ω j−s+1
R
y (a1)
1
I s Ω j−s+1
R
· · · y (ar)
r
⊗k Ω j−s+1
R .
. . . y (ai−1)
i . . . y (ar)
r ⊗ dfi ∧ ω.
= 0 si b < 0, para todo i = 1, . . . , r.
Proposición 2.28. El complejo Lj es isomorfo a
0
|a|=j
y (a1)
1 · · · y (ar)
r ⊗k Ω 0
R
. . .
|a|=1
y (a1)
1 · · · y (ar)
r ⊗k Ω j−1
R
δ
|a|=j−1
y (a1)
1 · · · y (ar)
r ⊗k Ω 1
R δ
. . .
69
y
|a|=0
(a1)
1 · · · y (ar)
r ⊗k Ω j
R,