PhD Thesis

un anillo (R, η) r.l.e.t.f. es una k−álgebra conmutativa donde k es un cuerpo
de caracteristica cero, entonces R es k−flat.
Proposición A.58. Si (R, η) es un anillo r.l.e.t.f, entonces es suave.
Prueba. Como (R, η) es un álgebra k−flat entonces será suficiente demostrar
que R cumple con las condiciones establecidas en el enunciado e de la Proposición
3.4.2 de Loday :
Para cualquier par (C, J), donde C es una k−álgebra y J es un ideal tal
que J 2 = 0, la aplicación Homalg(R, C) → Homalg(R, C/J) es sobreyectiva.
(Aquí Homalg significa morfismo de k−álgebras.)
Sea (C, J) un par donde C es una k−álgebra y J es un ideal tal que
J 2 = 0. Sea f : R → C/J un morfismo de k−álgebras. Debemos demostrar
la existencia de un morfismo de k−álgebras g : R → C tal que ε ◦ g = f
donde ε : C → C/J es el morfismo proyección.
Por definición de anillo r.l.e.t.f. tenemos que
R = ( k[x1, . . . , xn]
)η.
I
Más aún es claro que existe un epimorfismo de k−álgebras
π : P := k[x1, . . . , xn]η → R.
Es decir tenemos el siguiente diagrama
0
J
C
ε
P
π
R
f
C/J
Como P es suave (del enunciado c de la Proposición 3.4.2 de Loday presentado
líneas atrás) tenemos que para el morfismo f ◦ π existe f1 : P → C
morfismo de k−álgebras tal que ε ◦ f1 = f ◦ π.
Como ε◦f1(I) = f ◦π(I) = 0 entonces f1(I) ⊂ J. Por lo tanto la aplicación
f1 : I → J
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0.