PhD Thesis

Observación. A continuación veremos que la definición de una icis no depende
del número de generadores ni de los generadores del ideal I. En un
primer momento demostramos lo siguiente :
Proposición A.51. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. e I = 〈f1, . . . , fr〉 tal que
ht(I) = c. Si I = 〈g1, . . . , gs〉 entonces se cumple
JF = JG
en el anillo R/I, donde F = (f1, . . . , fr) y G = (g1, . . . , gs).
Prueba. Como fj ∈ I = 〈g1, . . . , gs〉 para todo j = 1, . . . , r entonces
fj =
s
i=1
λi,jgi.
Si aplicamos la derivada universal d : R → Ω 1 R obtenemos
dfj =
s
(λi,jdgi + gid(λi,j)).
i=1
La igualdad anterior en el módulo Ω 1 R ⊗R R/I se escribe como
dfj =
s
i=1
λi,jdg i
(A.2)
De ahora en adelante trabajaremos en el anillo R/I, y obviaremos la notación
de clase de equivalencia. Tenemos que
y
dfj =
dgj =
m
k=1
m
k=1
fkjek
gkjek,
entonces la ecuación A.2 se escribe como
m
s m
fkjek = λi,j( gk,iek) =
k=1
i=1
k=1
185
m
(
k=1
s
i=1
λi,jgk,i)ek.