PhD Thesis

More documents

Recommendations

Info

Demostraremos que este complejo es exacto salvo en el nivel m. Esta construcción y la prueba de la afirmación se presentan a continuación. Definición 2.60. Dado el complejo L ′ m+p definamos el subcomplejo (E ′ p, δ), de la siguiente manera : donde i + j + s = m + p. (E ′ p) m−i := s+t=i;t≤0 Bs,t, Observación. Notemos que (E ′ p, δ) esta formado por las primeras p + 1 columnas de la izquierda del complejo L ′ m+p (ver 2.20). Lema 2.61. Si ht(Jf) = m entonces el complejo E ′ p es exacto salvo en el nivel cero. Sea Mp := H m (E ′ p) entonces Gr(Mp) = ⊕ p i=0 (R/Jf)i. Prueba. La prueba será por inducción sobre p el número de columnas del complejo E ′ p. Para el caso p = 0 tenemos que E ′ 0 = K(df) el cual tiene cohomología cero para todo i = m. Más aún H m (E ′ 0) = H m (K(df)) = R/Jf. De un proceso de inducción y la secuencia exacta corta 0 K(df) E ′ p+1 E ′ p se prueba que H i (Ep+1) = 0 para todo i = m. Si tomamos homología en la secuencia anterior nos queda la secuencia exacta 0 R/Jf Hm (Ep+1) Hm (Ep) Esto significa que Gr(Mp) = ⊕ p i=0 (R/Jf)i. Notemos que la filtración por columnas es la que que da origen al módulo graduado Gr(Mp). Observación. El Lema anterior nos indica que el módulo H m (Ep) es isomor- fo a ⊕ p i=0 (R/Jf)i sólo como k−espacios vectoriales. Esto es debido a que no se encontró un split de R−módulos en la secuencia anterior. En el siguiente teorema vemos los complejos de cocadenas Ep y Lm−1 como complejos de cadenas de la siguiente manera (Ep) ∗ = (Ep)m−∗ y (Lm−1) ∗ = (Lm−1)m−1−∗ 95 0 0.
Teorema 2.62. Existe una secuencia espectral E r p,q que converge a H ∗ (Lm+p), E 2 = E ∞ y el E 1 es T or2(Mp, R) I 0 T or1(Mp, R I T or0(Mp, R I donde d 1 es el producto exterior por dg. d 1 Jg ) T or1( d 1 Jf,g Jg )) T or0( Jf,g , R I ) , R I ), Prueba. La demostración se basa en escribir el complejo Lm+p como . . . (Ep)3 (Ep)2 (Ep)1 (Ep)0 dg dg dg dg dg . . . (Lm−1)3 (Lm−1)2 (Lm−1)1 (Lm−1)0 donde Ep = E ′ p ⊗ R/I. Como Ep = E ′ p ⊗ R/I entonces del Lema 2.61 se prueba que H ∗ (Ep) = T orm−∗(R/I, Mp). Por lo tanto si calculamos el primer término de la secuencia espectral al complejo anterior tenemos 96
Page 1 and 2:
Resumen Sea A = R/I un anillo regul
Page 3 and 4:
Índice general Introducción III 1
Page 5 and 6:
Introducción En la presente tesis
Page 7 and 8:
para valores j mayores que la dimen
Page 9 and 10:
E 1 2,0 = T or2(Mk, R I ) E1 1,0 =
Page 11 and 12:
En relación a la homología cícli
Page 13 and 14:
atra´s nos permiten establecer el
Page 15 and 16:
Otra forma de abordar el estudio de
Page 17 and 18:
1.1. Homología de Hochschild En es
Page 19 and 20:
Definición 1.5. Sean A una k-álge
Page 21 and 22:
Observación. Notemos que todas las
Page 23 and 24:
Observación. En esta tesis trabaja
Page 25 and 26:
〈f1, . . . , ft〉 . El jacobiano
Page 27 and 28:
En efecto, como df = Σi=1,...,mfid
Page 29 and 30:
σ |σ|σ(a0a ′ 0, a1, . . . , a
Page 31 and 32:
1.2. Homología Cíclica. Presentam
Page 33 and 34:
Prueba. Es suficiente tomar la secu
Page 35 and 36:
Definamos los módulos HHn(A) ˜ :=
Page 37 and 38:
Observación. De las definiciones a
Page 39 and 40:
Prueba. La demostración se basa en
Page 41 and 42:
La homología cíclica del A.D.G (A
Page 43 and 44:
entonces T ot(D)n = p+q=n i≥0 M
Page 45 and 46:
Proposición 1.79. Sea (Mp,q, b) y
Page 47 and 48:
donde N = 〈1 ⊗ ab − (−1) |a
Page 49 and 50:
concluimos la prueba del lema. Una
Page 51 and 52:
Sean x, y elementos en ∧V. Sin pe
Page 53 and 54:
con δ|∧V ⊗∧V = m tal que el
Page 55 and 56:
Prueba. Para el caso θ ◦ b = 0 :
Page 57 and 58:
indicando con ello que θ ′ 1 es
Page 59 and 60: Prueba. [CGG, Corolario 2.7]. Note
Page 61 and 62: y ϕ j m : ξ j m −→ Im−j Ω
Page 63 and 64: donde 1 ≤ s ≤ p y |xj∗| = |xj
Page 65 and 66: para convertir a los polinomios f1,
Page 67 and 68: términos de cohomología no nulos.
Page 69 and 70: tal que η j · M = 0. En el caso q
Page 71 and 72: Ejemplo 2.12. Sea I = 〈x 2 , y 3
Page 73 and 74: Supongamos que el Lema se cumple pa
Page 75 and 76: De aquí se tiene que ht(JF ) = m
Page 77 and 78: Prueba. Nuevamente como W tiene a l
Page 79 and 80: (ver Proposición A.38 del Apéndic
Page 81 and 82: es un polinomio no nulo (ver Lema A
Page 83 and 84: Lj : 0 IjΩ0 R Ij+1Ω0 R dDR I
Page 85 and 86: donde δ(y (a1) 1 . . . y (ar) r y
Page 87 and 88: donde df denota la imagen de df ∧
Page 89 and 90: Observación. Notemos que Lm+p = L
Page 91 and 92: en H m−1 (K(f1, . . . , fm)). Por
Page 93 and 94: para todo i (ver [Wei, Aplicación
Page 95 and 96: . . . δ |a|=j−m+1 x a1 1 · ·
Page 97 and 98: Notemos que puede ocurrir que ai
Page 99 and 100: 2.2.3. Cálculo de la Homología de
Page 101 and 102: como T dx1 = df, T dx2 = dg y T dxi
Page 103 and 104: Prueba. Sea P un ideal primo en el
Page 105 and 106: Cp+1 : . Ω m−2 2,p+2 df Ω
Page 107 and 108: Por lo tanto Gr(H m−1 (C1)) = H m
Page 109: Con esta notación el bicomplejo L
Page 113 and 114: intercambiar el rol de f por el de
Page 115 and 116: Como dg ∧ η 1 1, dg ∧ η 2 1
Page 117 and 118: son cero, para todo p ≥ 1. En efe
Page 119 and 120: 2.3. Homología de Hochschild para
Page 121 and 122: se trata de M(x1, . . . , xr) el de
Page 123 and 124: Lema 2.72. Los complejo T ot(B) y L
Page 125 and 126: Bp+1,−p δ1 dfr Bp,−p δ1 .
Page 127 and 128: y a1 1 · · · yar r ω → y a1 1
Page 129 and 130: Teorema 2.76. Sea (R, η) un anillo
Page 131 and 132: En el caso que el ideal I = 〈f, g
Page 133 and 134: para todo i = m − r + 1. Del crit
Page 135 and 136: En general los módulos de cohomolo
Page 137 and 138: Capítulo 3 Homología Cíclica. Lo
Page 139 and 140: el complejo Lj tiene cohomología c
Page 141 and 142: para todo t ≤ m − r − 2. Si t
Page 143 and 144: 3.2. El Caso Quasihomogéneo En est
Page 145 and 146: tomamos la secuencia exacta larga
Page 147 and 148: Si j < m−2 entonces H t (Dj) = 0
Page 149 and 150: Observación. Del Capítulo anterio
Page 151 and 152: Prueba. El Lema 3.15 nos permite as
Page 153 and 154: Definamos el número de Milnor de l
Page 155 and 156: entonces en el anillo R/Jf,g tendr
Page 157 and 158: . . . . B d Ω2,1 B . d Ω1,1
Page 159 and 160: Como lím 1 H( ˆ Dj) = 0 entonces
Page 161 and 162:
. . . Ωm−1 · x · xp+2 ⊕ Ω
Page 163 and 164:
El complejo L ′ m+p se escribe co
Page 165 and 166:
Lema 3.28. El morfismo β restricto
Page 167 and 168:
Si z = ωxiyj y ∈ (E ′ m+p(0))t
Page 169 and 170:
Gr(H m (Γ(f, g))) = ⊕p≥0H m (E
Page 171 and 172:
F y una filtración del mismo. Del
Page 173 and 174:
Prueba. Por definición (E ′ m+p(
Page 175 and 176:
se denotará como β β . . . E∗
Page 177 and 178:
Prueba. La demostración será por
Page 179 and 180:
. . . 0 Lm+p−i−1(f) 0 Lm+p−
Page 181 and 182:
Como β(x) = x, entonces el morfism
Page 183 and 184:
que finalizan en I. Si el ideal I n
Page 185 and 186:
Definición A.9. Sea (R, η) un ani
Page 187 and 188:
Observación. Notemos que esta defi
Page 189 and 190:
Prueba. [Mats, Teorema 36]. . Defin
Page 191 and 192:
A.2. Complejo Koszul Nuestro princi
Page 193 and 194:
Prueba. [Eis, Teorema 17.1] . Corol
Page 195 and 196:
De la hipótesis inductiva se sigue
Page 197 and 198:
Observación. Notemos también que
Page 199 and 200:
Prueba. Del Corolario anterior tene
Page 201 and 202:
Por lo tanto fk,j = s gk,iλi,j, es
Page 203 and 204:
Como M/N η · M/N = M N ⊗ R/η,
Page 205 and 206:
esta bien definida. Más aún si x
Page 207 and 208:
Como h(dx), h(dy) ∈ J y J 2 = 0 (
Page 209 and 210:
Prueba. Del Lema A.61 tenemos que Q
Page 211 and 212:
[CGG] Cortiñas, G., Guccionne, J.A
show all

PhD Thesis

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?