Teorica 3 - Universidad de Buenos Aires

Astronomía 

Juan Pablo Pinasco 

Depto de Matemáticas 

FCEyN - UBA 

2008 

uan Pablo Pinasco ( Depto de Matemáticas FCEyN - UBA) Astronomía 2008 1 / 1

El movimiento planetario y Ptolomeo 

Copérnico, Digges 

Kepler, Newton, Euler, Lagrange, Laplace. 

El problema de los tres cuerpos. 

Lyapunov, Poincaré, y el nacimiento de la teoría de sistemas 

dinámicos. 


Parte I 

Ptolomeo y el movimiento planetario 


Babilonia 

∼ 1600 a.C. 

Astronomía antigua Babilonia 

Tenían mucho interés en la astrología 

Registran los movimientos de Venus 

∼ 700 a.C. 

Se registran datos muy precisos de eclipses solares y lunares (permite 

distinguir ciclos de 18 años en eclipses) 

∼ 300 a.C. 

Se predice el movimiento planetario 


Egipto 

Ciclo Sothiaco (Sirio) 

Astronomía antigua Egipto 

Se elevaba justo sobre el Nilo antes del amanecer, 

coincidía con el solsticio de verano y comenzaban las inundaciones 

Sirio se atrasaba un día cada cuatro años, el ciclo duraba 1460 años 


Calendario griego 

Ciclo de Metón ∼ 432aC 

Astronomía antigua Grecia 

19 años, con 235 meses lunares (7 años ’bisiestos’, 13 meses en vez de 12) 


Platón (427-347 a. C.) 


Divide la enseñanza de la matemática en aritmética, geometría, 

astronomía y música 

(idea de Pitágoras; pura, estática, dinámica, aplicada) 



Eudoxo (410/408-355/347 a.C.) 

Geometría esférica 

La aplica a la astronomía 



Aristóteles (384-322 a. C.) 

Postula que la Tierra es esférica, porque proyecta sombras circulares en los 

diferentes eclipses 

Modelo geocéntrico: 

Una Tierra estacionaria en el centro del Univorso, y los planetas y estrellas 

girando en esferas alrededor (Luna, Sol, Venus, Mercurio, Marte, Jupiter, 

Saturno, estrellas fijas) 


Otros 


Aristarco de Samos (310-230 a. C.) calculó los tamaños del sol y la 

luna, y sus distancias a la tierra (con grandes errores) 

Eratóstenes (275-194 a.C.) calculó el radio terrestre por semejanza de 

triángulos. 

Posidonio (∼135-51 a.C.), nuevos cálculos: distancia al sol, la mitad; 

tamaño del sol, mejor; radio terrestre, muy chico 


Apolonio (250-175 a. C) 


Introduce excentricidades y epiciclos 

Introdujo también las cónicas 

No se le ocurrió reemplazar círculos por elipses 


Hiparco (190-120 a.C.) 


Inventa y desarrolla la trigonometría 

Postula un sistema heliocéntrico 

(no tuvo mucha aceptación) 

Calcula mejor la distancia a la luna, y propone un modelo de su 

movimiento con epiciclos 

Postula un sistema para catalogar las estrellas por su brillo (se sigue 

usando hoy día, con ciertas diferencias) 


Ptolomeo (90-168) 

Almagesto ” El gran tratado” 

Astronomía antigua Ptolomeo 

Tiene tres partes, las dos menos conocidas son: 

catálogo con 48 constelaciones de la zona que ve, otras que no, y más 

de 1000 estrellas en total 

tabla trigonométrica (la primera) 


Tablas de Ptolomeo 


Mide la cuerda de un ángulo en un círculo con radio r = 60 

Va de a 1/2 grado hasta 180 ◦ 

Apenas tres cifras correctas 

Por su precisión, son utilizables hoy día 

Conocía identidades trigonométricas 


El modelo Ptolemaico 


Es un modelo matemático, elige entre dos opciones: 

círculo concéntricos con epiciclos 

círculo ex-céntricos con (menos) epiciclos 

Es geocéntrico porque la Tierra es el origen de coordenadas, pero no 

se preocupa por la realidad ni las causas del movimiento (y lo dice 

claramente), sólo ajusta los datos 


El modelo Ptolemaico 


La Tierra no está en el centro: el círculo de cada planeta 

está centrado en un punto distinto, y la órbita es excéntrica 

Los planetas superiores agregan un epiciclo, y los inferiores un 

deferente (la vuelta que da el Sol alrededor de la Tierra) 

Contrario a lo que se dice, no hacen falta muchos círculos para lograr 

una buena aproximación 

Introduce el ecuante 

[Una imagen vale por mil palabras] 


El Ecuante 


Es el punto opuesto al ex-centro 

El Sol/planeta no se mueve con velocidad uniforme alrededor de la 

Tierra o del centro del círculo. 

Se mueve con velocidad uniforme respecto al ecuante 

Es equivalente a la 2da Ley de Kepler 


Parte II 

Copérnico y Digges 


Copérnico (1473-1543) 

Copérnico y Digges Copérnico 

1497: Viaja a Italia y estudia para sacerdote 

1514: Commentariolus, breve texto exponiendo sus ideas 

1533: Expone sus teorías ante el Papa Clemente VII y varios 

cardenales 

1536: Uno de ellos, Arzobispo romano, lo urge a publicar y paga las 

costas del libro 

1539: Rheticus lo decide 

1543: De revolutionibus orbium coelestium... ¡aún con más epiciclos! 


Tycho Brahe (1546-1601) 

Copérnico y Digges Tycho Brahe 

Excelente recolector de datos y mediciones 

Su visión está considerada en los límites del ojo humano 

observa una supernova (1572) 

1577: demuestra que los cometas no son fenómenos atmosféricos 

confirma el movimiento retrógrado de Marte 

Su sistema solar era mixto 


Copérnico y Digges Digges 

Thomas Digges (1546-1595) 

1573: Calcula la posición de la supernova de Tycho, lidera el 

copercanismo 

Polémica con Tycho 

¿Hamlet? El hermano de Digges era amigo de Guillermito Shakespeare, 

parece que le sugirió el argumento para The Tempest, y prologó alguna 

de sus obras. 

Probablemente inventa el telescopio 

A Perfit Description of the Caelestial Orbes, 1576 

1586-1594: Holanda se separa de España, él es Brigadier General de 

los británicos 

1608: Tres holandeses intentan patentar el telescopio el mismo mes 


Parte III 

Kepler y su tiempo 


Kepler (1571-1630) 

1596: Mysterium cosmographicum 

Kepler Kepler 

Comienza a trabajar con Tycho en 1600 

Éste muere en 1601 y ” hereda”sus mediciones 

En 1604 tiene su ”guerra con Marte ” 

Logra explicar el movimiento retrógrado 


1609 

Primera Ley de Kepler 

Kepler Kepler 

Los planetas se mueven en elipses con el Sol en uno de sus focos. 

Segunda Ley de Kepler 

El radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales. 

Juan Pablo Pinasco ( Depto de Matemáticas FCEyN - UBA) Astronomía 2008 24 / 1

1617 

Tercera Ley de Kepler 

Kepler Kepler 

El cuadrado del período orbital es proporcional al cubo del semieje mayor 

de la órbita. 


Un poco de matemáticas 

• Integración por indivisibles 

(Truchísimo pero funciona) 

Kepler Kepler 

Nova stereometria doliorum vinariorum, 1615 

• Difunde la obra de J. Napier (1550-1617), los logaritmos 

(Habrá usado algo similar a cuadrados mínimos? Gauss inventa el método 

de mínimos cuadrados para ubicar la posición de un asteroide ) 


Problema: 

Kepler Kepler 

Pese a todo, el movimiento de la Luna no se podía describir bien 


Su pelea con Galileo 

25-7-1610: Galileo informa 

Kepler al fin lo decodifica: 

Kepler Kepler vs. Galileo 

smaismrmilmepoetaleumibunenugttauiras 

Salve umbistineum geminatum Martia proles. 

Pensó que había descubierto dos lunas de Marte, pero era 

Altissimum planetam tergeminum observavi. 

(en realidad, eran anillos, pero los veía como dos bultos alrededor del 

planeta) 



En diciembre, Galileo escribe: 


Haec immatura a me jam frustra legunturoy 

(lo he intentado en vano, era demasiado pronto) 

Kepler reacomoda las letras: 

Macula rufa in Jove est gyratur mathem, etc. 

(En Júpiter hay una mancha roja que gira matemáticamente) 




Seis meses después (1611), Galileo aclara: 

Cynthiae figuras aemulatur mater amorum. 

La Madre del amor (Venus) emula la forma de Cynthia (Luna) 

Esto ”quiere decir”que Venus presenta fases como la luna. 




Kepler le escribe a Galileo, para que descubra el final de la frase: 

Por que no...? 

Fue más diplomático, pero dejan de tratarse: 

”Le exijo que no nos deje con la duda del significado. Para que sepa, usted 

está tratando con verdaderos Alemanes. Piense en qué problema me 

coloca con su silencio.” 


El calendario 

1563 - Concilio de Trento 

Kepler Astronomos Jesuitas 

Las Iglesias Católicas y Bizantinas estaban desfasadas en unos diez días 

desde el cisma. 

El ciclo lunar daba un error de aproximadamente un día cada trescientos 

años. 

1572 - Gregorio XIII arma una comisión del Calendario 

Clavius (astrónomo jesuita) y Luis Lilio (médico y astrónomo). 


El calendario 


Lilio calcula congruencias para establecer el sistema de días bisiestos, sus 

excepciones, y las excepciones a las excepciones. Arregla el ciclo lunar. 

Clavius (el ” Euclides de su tiempo”) termina el trabajo cuando Lilio muere 

(1576). 

(Clavius fue quien corroboró las observaciones de Galileo en 1611, muere 

en 1612) 

1582 - Se eliminan diez días (del 4 al 15 de Octubre) 


Cambios 

1582 - Países católicos 

1700 - Alemania 

1752 - Inglaterra 

1873 - Japón 

1922 - Rusia 

1923 - Grecia 

1929 - China 



Astrónomos 


Pierre Gassendi (1592-1655) - experimenta - rechaza a Aristoteles - 

teoría de Tycho - se cartea con Descartes, Kepler, Mersenna, Galileo, 

Christina de Suecia, Hobbes... 

Christoph Scheiner (1573/1575-1650) - descubre las manchas solares 

(polémica con Galileo) - ” Rosa Ursina sive Sol”(1626-1630), cuatro 

tomos con sus observaciones, instrucciones para construir telescopios, 

analiza su funcionamiento y el del ojo, y proyecciones 

Johann Baptist Cysat (1587-1657) - ayudante de Scheiner - dibuja la 

Nebulosa de Orión - describe los cometas y sus órbitas, en particular, 

afirma que una es parabólica 


Astrónomos 


Remus Quietanus - se escribe con Kepler - le explica que la 

prohibición sobre Copérnico no corre para ellos 

Biancani (1566-1624), Grienberger (1561-1636), Acquaviva 

(1543-1615) 

... 

Fr. José Gabriel Funes (1963, Córdoba) Licenciado del FAMAF 1985, 

Lic. en Filosofía, Univ. del Salvador, Lic. en Teología, Pontif. 

Gregorian Univ. de Roma, Dr. en Astronomía, Univ. de Padua; 

Director del Observatorio Vaticano desde 2006 


Galileo (1564-1642) 

Kepler Galileo 

1611 Gran éxito de Galileo en Italia 

El Colegio Romano (astrónomos jesuitas) analiza y certifica los 

descubrimientos de Galileo a pedido del teólogo jesuita Robert Cardinal 

Bellarmine 

En Roma dan banquetes en su honor. 


Bellarmine 


”Digo que si hubiera una demostración verdadera de que el Sol estaba en 

el centro del universo, y que la Tierra está en la tercera esfera, y que el Sol 

no gira alrededor de la Tierra sino que la Tierra viaja alrededor del sol, 

entonces será necesario explicar cuidadosamente las Escrituras que parecen 

contradecirlo, y deberíamos decir que no las entendemos lo suficiente 

como para decir que algo que hemos demostrado es falso.” 

Epistemológicamente, es una postura correcta. 

Teológicamente, no!! 


Pruebas 


En ese momento, la teoría de Tycho Brahe estaba en boga: 

Tierra en el centro, Sol y Luna giran a su alrededor 

El resto de los planetas giran alrededor del Sol 

Estrellas fijas en el fondo 

Si la Tierra se moviese, se vería un paralaje de las estrellas (Bessel, 1838) 


Galileo 


Elige el camino de la retórica y los insultos en vez de proporcionar pruebas 

Tiene éxito en el Vaticano, pero va perdiendo apoyo de los astrónomos 

Su única prueba es la hipótesis de que las mareas se producen por el 

movimiento de la Tierra, que sostenía desde 1595 y la publica en enero de 

1616 


Galileo 


Arthur Koestler (The Sleepwalkers, 1959): 

”No puede haber dudas de que la teoría de las mareas de Galileo estaba 

basada en un error inconsciente... tampoco debe haber dudas de que sus 

argumentos fueron un intento deliberado de confundir y desviar... Hemos 

visto que los académicos siempre fueron propensos a manías y obsesiones, 

y se inclinan a mentir sobre ciertos detalles, pero imposturas como la de 

Galileo son raras en los anales de la ciencia.” 

Entre febrero y marzo se obliga a presentar la posición heliocéntrica como 

una hipótesis y no como un hecho, pero su estudio era válido entre ”los 

educados y los hábiles en ciencias” 


Galileo 


1618 aparecen tres cometas entre octubre y noviembre. 

1619 se pelea con los astrónomos jesuitas por la naturaleza de los 

cometas 

1629 Retoma contacto con los españoles para venderles telescopios 

(lo indispone con los políticos romanos y florentinos) 

1629/1630 Termina e imprime (con autorización) el (Dialogo sopra i 

due massimi sistemi del mondo (no confundir con los Discorsi e 

dimostrazioni matematiche, intorno a due nuove scienze) 


Dialogo 

Dos errores tácticos: 


1) Ignora el modelo de Tycho, respetado en la época, y por ende ignora a 

los principales astrónomos de la época que lo utilizan. 

2) Urbano VIII, gran admirador suyo y defensor del sistema de Copérnico, 

sugiere una estrategia para hablar bien de la teoría heliocéntrica sin 

afirmar a la vez que sea cierta: si una teoría es consistente con ciertos 

hechos, es posible que otra teoría completamente diferente también sea 

consistente con los hechos. 

Pone las palabras del Papa en boca de Simplicio... y se burla. 


Parte IV 

Newton, Lagrange, Laplace 


Newton (1643-1727) 

No necesita presentación. 

Newton Newton 

1687: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica 


Un resultado ya clásico 

Ley de Gravitación Universal 

Newton Newton 

La fuerza de atracción entre dos cuerpos es proporcional al producto de 

sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los 

separa. 

(Lo anticiparon Robert Hooke y Christiaan Huygens, tal vez Edmund 

Halley) 


Antecedentes 

Newton Newton 

En 1679 Hooke le escribe que las órbitas planetarias pueden explicarse por 

una fuerza central que vaya torciendo la trayectoria. 

Newton responde que si la Tierra se mueve, podría verificarse dejando caer 

desde gran altura un objeto, que descendería en espiral 

Hooke lo corrige, sería una elipse (y daría toda la vuelta si no chocara con 

la tierra) 


Antecedentes 

Newton Newton 

En 1684 Wren, Hooke y Halley discuten en la Royal Society si las órbitas 

son elípticas 

Ese año Halley le pregunta a Newton cómo serían las órbitas en un campo 

central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, y éste 

contesta que serían elípticas, y le dice que lo calculó, pero no encuentra las 

cuentas 

En los Principia, 1687, Newton deduce que las órbitas pueden ser elípticas, 

parabólicas o hiperbólicas 


Otro resultado ya clásico 

(este sí de Newton) 

Segunda Ley de Newton 

Newton Newton 

La fuerza sobre un cuerpo es igual al producto de su masa por su 

aceleración. 

Técnicamente, la fuerza es igual a la derivada del momento lineal (o 

cantidad de movimiento) 


Newton Newton 

Otro resultado ya clásico, pero falso 

Newton utilizó el cálculo diferencial para demostrar que las leyes de Kepler 

se deducían de las anteriores 

Sus demostraciones eran geométricas 


Siglo XVIII 

Euler, Lagrange y Laplace 

El problema de la Luna era cada vez más importante 

(ya vimos la influencia sobre el concepto de número) 

La elipse era una buena aproximación, pero un mal predictor 

Un error de un segundo de arco se traducía en 30km 


Euler 1744 

Euler, Lagrange y Laplace Euler 

Theoria Motuum Planetarum et Cometarum 

Usa la notación de Leibniz ddx = Fddt 

Resuelve analíticamente el problema de dos cuerpos, escribe 

(no usa ., sino r) 

m1ddx1 = Gm1m2(x2 − x1) 

x2 − x1 3 ddt, etcétera 


Euler 

mi 


d 2xi Gmimj(xj − xi) 

= 

dt2 xi − xj 

j=i 

3 , xi ∈ R 3 , i = 1, ..., N. 

Observó que cuando n = 3, había 18 ecuaciones pero sólo 10 integrales. 

centro de masa 

momento lineal 

momento angular 

energía 


Euler 


Aplicó las leyes de la mecánica a todo lo que se les ocurra 

Una de sus principales contribuciones es la combinación con principios 

extremales, para la formulación Lagrangiana 


Lagrange (1736-1813) 

Euler, Lagrange y Laplace Lagrange 

Mécanique analytique (1788) 

”traducción”(al análisis) extendida y formalizada de los Principia 

Encuentra soluciones particulares del problema de los tres cuerpos. 

Introduce el Lagrangiano: las ecuaciones del movimiento se obtienen de 

sus puntos estacionarios (está definido sobre las trayectorias posibles) 


Euler, Lagrange y Laplace Lagrange 

Ecuaciones de Euler-Lagrange 

Se obtienen al buscar puntos críticos de un funcional. 

La idea original fue de (uno de los) Bernoulli para la braquistocrona. 

Ahí comienza el Cálculo de Variaciones. 


Laplace 

Euler, Lagrange y Laplace Laplace 

Exposition du systeme du monde, 1796 [muy bueno, online!] 

Méchanique céleste, cuatro volúmenes, 1799-1805, el quinto (histórico) de 

1825 

Afirmó haber demostrado la estabilidad del sistema solar 


Laplace 


Calcula el tamaño de Saturno utilizando probabilidades, dando un 

intervalo de confianza 

Dice -más o menos- ” Apuesto 1 contra once mil a que el tamaño 

verdadero difiere en menos del uno por ciento” 

Hasta ahora, va ganando la apuesta (la última estimación dice que erró por 

menos del 0,6 %; su valor está dentro del margen de error experimental) 


El determinismo absoluto 


Paradójicamente, en el ” Essai philosophique sur les probabilités”de 1814: 

Debemos ver el estado actual del Universo como el efecto del estado 

anterior y la causa del que vendrá. Una inteligencia que, en un instante 

dado, conozca todas las fuerzas que actúan sobre la naturaleza y todo lo 

que la compone, y la posición de cada una de ellas, si tiene la capacidad 

para analizar los datos, puede abarcar en una misma fórmula los 

movimientos de los cuerpos más grandes del Universo y el de los átomos 

más ligeros: nada será incierto para esta inteligencia, todo el futuro y el 

pasado le aparecerán como si fuesen el presente. 


Fallas 


Impulsó el desarrollo científico, pero no se estaba ni cerca de todo eso. 

Pasaron casi cien años antes de que se supiera por qué. 

El problema de la estabilidad del sistema solar fue cambiado por uno más 

simple (?): 

describir el movimiento de tres cuerpos. 


Culpables: 

Poincare y Lyapunov 

Teoría cualitativa de e.d.o. 

Sistemas dinámicos 

Topología

Teorica 3 - Universidad de Buenos Aires

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