Probabilidades y Teoría de Juegos

Probabilidades
y
Teoría de Juegos
Juan Pablo Pinasco
Departamento de Matematicas
FCEyN - UBA
2007
Juan Pablo Pinasco Probabilidades y Teoría de Juegos

Los juegos de azar.
La teoría de juegos.
Aplicaciones políticas y económicas.
Juan Pablo Pinasco Probabilidades y Teoría de Juegos

Parte I
Juegos
Juan Pablo Pinasco Probabilidades y Teoría de Juegos

Primeros juegos
∼ 1200 aC: Palámedes (?)
Dados y Ajedrez
(aunque se cree que los juegos de tablero existían en India en el
3000 aC)
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Tipos de juegos
Habilidad (Balero, yo-yo..., salto en largo / alto, natación,
maratón...)
Azar (Ruleta, perinola, pase inglés...)
Lógica (Ta-te-tí, damas, ajedrez, go...)
Estrategia (Truco sin cartas, piedra papel y tijera...)
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Juegos mixtos
Combinaciones de los anteriores
Boxeo: habilidad, estrategia
Truco/Tute: estrategia, lógica, azar
Backgammon: lógica, azar
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En la realidad
En parte, todo juego involucra un poco de cada una
Aún el ajedrez es una mezcla de todas
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Y las matemáticas?
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Y las matemáticas?
Bien, gracias
Hablando en serio, hubo y hay mucha matemática detrás de esto
(salvo, tal vez, en los de habilidad: escucho posibilidades - aunque
está el problema de programar una máquina para que lo haga,
robótica, y todo eso)
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Ejemplos:
Azar: cuáles son las chances de ganar?
Lógica: cómo determinar la mejor movida entre todas las
posibles?
Estrategia: cómo valorar las movidas? con qué criterios
elegirlas?
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Algunas ramas matemáticas:
probabilidad
combinatoria
estadística
teoría de juegos
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Parte II
El Ajedrez
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∼ 500 dC, Ajedrez
Pasa de India a Persia
Chaturanga en Punjab
Versión con dados en China
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∼ 600-800 dC, Ajedrez
Se esparce en el mundo árabe
Alternativamente, los califas lo juegan y lo prohiben:
685 Abdal-Malik ibn Marwan, ajedrecista
710 Walid I ibn Abdal-Malik condena a muerte a los jugadores
que juegan mal contra él
712 lo introducen en España
725 muere Sulaiman ibn Yashar, que desaprueba el ajedrez
742 muere Hisham ibn Abdal-Malik, califa y ajedrecista
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∼ 800-1100 dC, Europa
800 se juega en Francia e Italia
801 Carlomagno aprende a jugar
820 se juega en Rusia
900 en toda Europa
980 Rabbi Abu Yachia describe el ajedrez en hebreo
1060 Guillermo el Conquistador le parte un tablero en la
cabeza al Príncipe de Francia
El Cardinal Damiani prohibe el juego de ajedrez entre los
clérigos
1093 La iglesia ortodoxa prohibe el ajedrez
1100 El ajedrez es habitual en la nobleza
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∼ 1100-1200 dC, Ajedrez
1110-1125 La iglesia Ortodoxa excomulga ajedrecistas...
1115 ...pero el emperador de Bizancio es un adicto al ajedrez
1128 San Bernardo le prohibe jugar a los Templarios
1140 Abraham Ben Ibn-Ezra escribe textos de ajedrez en
hebreo
1195 Maimónides prohibe el ajedrez
1190 Alexander Neckam condena el ajedrez por frívolo,
mientras...
...Ricardo I lo aprende en las Cruzadas
1208 El Obispo de París lo prohibe entre los clérigos, 1240 en
Inglaterra
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Prohibiciones
1195 Maimónides prohibe el ajedrez
1291 El Arzobispo de Cantebury prohibe el ajedrez
1310 Concilio de Trier: lo prohibe en Alemania para los
clérigos
1322 Rabino Kalonymos Ben Kalonymos lo condena
1328 ibn Taymiya: se puede jugar al ajedrez, pero no por plata
1375 Carlos V (1337-1380) de Francia lo prohibe
1380 William of Wykeham (fundador de Oxford) lo prohibe
1392 Carlos VI (1368-1422) lo prohibe
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Permiso
1370 el Papa Gregorio XI (1329-1378) es un gran jugador
1416 Los judíos tienen prohibidos todos los juegos, excepto el
ajedrez, en Forli
1420 En Alemania se levanta la prohibición
1430 Carlos VII (1403-1461), Rey de Francia: adicto al ajedrez
1437 El rey James I de Escocia estaba jugando cuando lo
asesinan
1465 muere Carlos D’Orleans, ajedrecista (padre de Luis XII)
1500 El ajedrez se acepta, aún durante el Sabbath
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Ajedrez y literatura
1130 Omar Khayyam escribe el ’Rubaiyat’, menciona el
ajedrez.
1250 Mabinogion, saga épica galesa, menciona el ajedrez (el
mismo año, el rey de Dinamarca era capturado durante un
partido de ajedrez)
1250 De Vetula, romance de Richard de Fournival, menciona
el ajedrez y todos los casos de tirar tres dados
1283 Manuscrito de Alfonso X de Castilla, Libro del Acedrex,
con instrucciones para su juego con dados
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Teoría del ajedrez
1300 Jacobo de Cessole: Liber de moribus, sermonario, que
trata de la moral basada en el ajedrez, luego a cargo de la
Inquisición - Reimpreso muchas veces en distintos lugares -
Hay ediciones de Valladolid, 1549 (Dechado de la vida
humana, moralmente sacado del juego del ajedrez) y Louvain,
1551 - Aparece en el prólogo al libro I de Grau, y tiene un
grabado
1497 Juan Ramírez Lucena de Salamanca, Repetición de
amores e arte de axedrez, primer libro de ajedrez
1526 Girolamo Cardano (1501-1576) Liber de Ludo Alea
1560 Ruy Lopez de Segura (sacerdote), visita Roma y vence a
todos. Al año siguiente publica su Libro de la invención liberal
y arte del juego del Axedrez
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Lucena
Antes de la partida, que tu rival beba y coma opíparamente;
Si es un desconocido háblale de tus hazañas en otros lugares;
Mientras él piensa su jugada, silba una tonada o conversa con
algún espectador;
Si estás inferior, mueve con decisión, golpeando las piezas en
el tablero; o juega muy despacio, para que él se impaciente y
quizá también se equivoque;
Si cometes un grueso error, sonríe disimuladamente sin mirarlo
a los ojos;
Si triunfas de casualidad, deja la revancha para otro día.
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Ruy Lopez
(Cessolis ha) representado por este tablero una republica, o
reyno: y por las pieças y peones, las diferencias de gentes, y
estados, y officios, que en ella, o en el dicho reyno tenian (...).
Pero siempre auemos impugnado la tal opinion, y doctrina: y
demonstrado aquí no se representar ciudad, sino un campo
con dos reyes, y sus gentes de guerra, aparejados para darse
batalla.
Felipe II estudió el ”Libro...” y planeaba sus batallas como si
fueran partidas de ajedrez
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Ruy Lopez
”quando se porna à jugar si fuere de dia claro, y al sol,
procure que el enemigo tenga el sol de cara, porque lo ciegue:
y si fuese obscuro, y se jugare con lumbre, hazer que la tenga
a la mano derecha: porque le perturbe la vista, y la mano
derecha que trae por el tablero, le haga sombra: de modo que
no vea bien donde juega las piezas.”
”Si a ti no te haze al caso jugar mas con unos trebejos que con
otros, y vieres que tu enemigo tiene costumbre de jugar con
unos señaladamente, aquellos armes à tu parte, y finjas tener
tu uso de jugar con aquellos: porque es parte de perturballo.”
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Ruy Lopez
Las siguientes reglas piden que ”pretenda vencer al contrario
por fuerza y no por error”, y que ”no juegue lances
infructuosos.”
que ”ninguno de ventaja à otro”, y que, en caso de
concedérsela, que sea mínima.
”Que siempre el jugador procure de traer a su enemigo lo mas
fatigado y affligido que ser pueda. Porque trayendolo assi
apretado, le cansara la fuerza de la imaginacion, y le hara
cometer errores.”
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Cardano
Introduce el concepto de justicia:
”Principio fundamental de las apuestas: igualdad de
condiciones, es decir, de los oponentes, de espectadores, de
dinero, de situación, de los dados. Si te apartas de la igualdad
en favor de tu oponente, estás loco.”
Analiza también ventajas ajenas al juego:
”si el tablero recibe la luz del lado opuesto a tí eso es malo,
porque distraerá tu mente; por otro lado, es ventajoso tener el
tablero contra un fondo oscuro. También, es beneficioso estar
de cara a una luna rápidamente ascendente.”
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Cardano
Su intención es ayudarlo a uno a reducir las pérdidas y demostrar
que no ocurren por (mala) suerte, sino que están determinadas por
la lógica rigurosa e impredecible de las matemáticas, sumada a la
lógica inexorable de las trampas
Analiza las probabilidades de obtener distintos tiros de dados o
manos de cartas, y explica cómo obtiene esos números. Describe
muchos juegos y observa:
” Es beneficioso para el hombre sagaz jugar a las cartas y no a
los dados, y al triumphus [antepasado del whist, espadas y
corazones, y del tute] porque tiene una especie de medio
juego, similar al ajedrez”
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Cardano
Tipos de trampas:
dados falsos
mesa de juego inclinada
cartas marcadas
robar cartas del mazo
kibitzers
Da consejos para evitarlas (o para hacerlas)
Explicó un truco con cartas, adivinar la carta elegida,
identificándola con tres métodos.
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Inexplicable:
Pasarían unos quinientos años antes de que este tipo de análisis se
repitiera, se generalizaran sus aplicaciones, y se escucharan nuevos
consejos
El principal responsable sería von Neumann, si bien antes hubo
algunos casos aislados
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Parte III
Teoría de Juegos
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Historia
∼ 1715 Waldegrave: estrategias mixtas
∼ 1850 E.A.Poe: El misterio de Marie Roget
1913 Zermelo: estrategias ”puras”, ajedrez, inducción
retrógrada
1921/24/27 Borel: Est. mixtas, economía, guerra - Piedra,
papel o tijera - Conjetura el Teorema minimax
1924 Steinhaus: ”Jugar maximizando el premio mínimo”
1924 Steinhaus: carreras de barcos (trad. 195?)
1928 Von Neumann: Teorema Minimax
∼ 1934 Morgestern: Predicciones económicas
1940-1945: Aplicaciones militares
∼ 1950 Nash: su equilibrio
∼ 1970 Shubik: remate de un dolar
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Premio Nobel de Economía
(1969 - 2006)
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Kenneth Arrow
(Wassily Leontief)
(Leonid Kantorovich)
Gérard Debreu
John Harsanyi
John Forbes Nash
Reinhard Selten
(Robert C. Merton)
(Myron Scholes)
William Vickrey
Thomas Schelling
Robert Aumann
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(Wassily Leontief)
(Leonid Kantorovich)
(Robert C. Merton)
(Myron Scholes)
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Kenneth Arrow
Gérard Debreu
John Harsanyi
John Forbes Nash
Reinhard Selten
William Vickrey
Thomas Schelling
Robert Aumann
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