Propagacion de errores. Practica Nro1

Propagación de errores
La formula más general de propagación de errores para una función z(x,y,t) que depende
de las variables x, y y t; las cuáles tienen un correspondiente error Δx, Δy, Δt es:
∂z ∂z ∂z
Δz≤ . Δ x+ . Δ y+
. Δt
(1)
∂x ∂y ∂t
Es decir, el error va a ser, a lo sumo, como el valor del término de la derecha. En este
caso se supusieron tres variables x, y, t pero podría haber más o menos. Las barras
indican valor absoluto, es decir, la contribución al error es siempre positiva.
Las derivadas parciales indican que se debe derivar respecto a una variable dejando el
resto como si fueran constantes (derivar respecto a x suponiendo y y t constantes, y así
sucesivamente).
Ejemplo
Sea la función q(x,y)=x 2 ·y-x·y 2 , donde x e y son dos variables determinadas
experimentalmente, con su correspondiente error.
Supongamos que se tiene: x=3.0 ±0.1 y=2.0±0.1.
¿Cuál es el error de q?
∂q ∂q
2 2
Δ q= . Δ x+ . Δ y = 2 xy− y . Δ x+ x −2xy . Δy
∂x ∂y
Ahora se deben evaluar los valores
2 2
Δ q = 2 . 3 . 2 − 2 . 0.1+ 3 − 2 . 3 . 3 . 0.1 = 8 . 0.1 + 3 . 0.1=1.1
Si consideramos una sola cifra significativa entonces Δq=1
Calculando el valor de q se obtiene q = 18 – 12 = 6 por lo tanto se debería reportar:
q = 6 ± 1
Un ejemplo más complejo.
Supongamos que se debe despejar v0 de las dos ecuaciones de movimiento,
x = x + v θ t (2)
f
0 0 cos
1
yfy v sen t g t
2
2
= 0 + 0 θ − (3)
tal como se requería en la práctica de laboratorio. Entonces una manera de hacerlo es
despejar t de la ecuación en x:
x f − x0
t = (4)
v θ
0 cos
e introducirlo en la ecuación correspondiente en el eje y:
2 2
x f −x0 1 ⎛ xf −x0 ⎞ 1 ⎛ xf −x0
⎞
yf= y0 + v0senθ − g⎜ ⎟ = y0 + tgθ( xf−x0) − g⎜
v0cosθ 2 ⎝v0cosθ ⎠ 2 ⎝v0cosθ ⎠ ⎟ (5)

Ahora, despejando v0
v
0
=
g
xf−x0 2 cos θ − y + y + tgθ( x −x
)
f 0 f 0
(6)
Ahora bien, para calcular el error de v0, se debería aplicar la ecuación (1); es decir,
hacer la propagación de errores de todas las variables que tienen error. En este caso
vamos a considerar que las variables que aportan al error son xf, y0 y θ. Por simplicidad
vamos a asumir x0 e yf iguales a cero, de modo que
v
0
=
Entonces:
g x f 1
2 cosθ
y + x ⋅ tgθ
0
0 0 0
0
∂xf f
∂y0 0
∂
f
(7)
∂v ∂v ∂v
Δv ≤ . Δ x + . Δ y + . Δθ
θ
Vayamos por parte, primero calculemos las derivadas parciales.
∂v
g 1 x 1
=−
∂ +
0
f
y0 2cosθy tgθx 3/2
2
( 0
f )
(9)
(8)
∂v0
g 1 1 1 g 1 xtgθ
= −
∂ x f 2cosθ y + tg x 2 2cosθ
y + tg x
f
1/2 3/2
( 0 θ f ) ( 0 θ f )
∂v
g tgθ x 1 g 1 x x
= −
( y0 tgθxf ) ( y0 tgθxf )
(10)
0
f f
f
1/2 3/2 2
∂ θ 2 cosθ + 2 2 cosθ + cos θ (11)
La primera derivada es relativamente simple ya que y0 aparece sólo una vez en la raíz en
el denominador y se puede buscar en tablas.
En la derivada con respecto a xf, éste aparece tanto en el numerador como en el
denominador, y por eso al derivar aparecen dos términos.
Finalmente la derivada respecto a θ es más compleja porque aparecen dos funciones
trigonométricas. La estrategia que se podría usar es suponer a la función v0 como
producto de dos funciones A(θ) y B(θ), de manera que v0= A(θ).B(θ) y siendo
g x f g
A( θ ) = = xfsecθ(12)
2cosθ 2
1
B(
θ ) =
(13)
y + tgθx 0
f
De esta manera se puede aplicar la derivación en un producto de manera que
∂v0
= A'B+ AB'
∂θ
(14)

(acá la comilla significa derivada con respecto a θ y se utilizó esta notación por
simplicidad).
La derivada A’ es la derivada de una secante que se puede obtener de tablas.
Para la derivada de B se puede hacer un paso adicional que es suponer B compuesta por
una función C(θ). Entonces:
B =
siendo:
1
y0+ C( θ ) xf
C(θ)= tgθ (16)
(15)
Ahora, para calcular B’ se puede aplicar la regla de la cadena.
B'= B'( C( θ )) . C'(
θ ) (17)
De esta manera se llega a la ecuación (11).
Finalmente el error en v0 se calcula introduciendo las ecuaciones 9, 10 y 11 en la
ecuación 8:
g 1 x f 1
Δ v0 = − Δ y
3/2 0 +
2cosθ θ 2
( y0+ tg xf)
g 1 1 1 g 1
+ −
2cosθ 2 2cosθ
xtgθ
f
1/2 3/2
( y0 + tgθxf ) ( y0 + tgθxf )
g tgθ xf 1 g 1 xf
f
1/2 3/2 2
2cos 2 2cos cos
x
+ −
Δθ
θ + θ + θ
( y0 tgθxf ) ( y0 tgθxf )
Δ x +
Para evaluar esta ecuación, es decir evaluar los valores numéricos de y0, xf y θ, se deben
usar los valores que se midieron experimentalmente o los promedios si se realizaron
muchas mediciones. Los errores Δxf, Δy0 y Δθ se deben evaluar usando los errores de
los instrumentos o los errores estadísticos según el caso (siempre se usa el mayor entre
error del instrumento o error estadístico).
Cabe aclarar que para Δθ debe usarse el valor en radianes, es decir si el error era de 2º
debería hacerse la conversión:
π
.2 =
0.0349
180
f
(18)