Leccion 4. 4. Las reglas de la cadena - Matemática Aplicada II

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 4. Funciones de varias variables. Derivadas
parciales.
2 2
1
2
EJEMPLO. (1) Consideremos la función z( x, y) = x + y y las funciones xt () = e y() t = t . La
t
1 4
2 3
función composición de estas funciones es zt () = + t.
Su derivada es entonces z′ () t =− + 4 t .
2
3
t
t
La regla de la cadena nos dice que esta derivada se puede obtener de la siguiente forma
1 2 3
zt () = zx( xt (), yt ()) x′ () t + zy( xt (), yt ()) y′ () t =− 2 xt () + 2 yt ()2t=− + 4 t.
2 3
t t
2
(2) Consideremos la función z = z( x, y) = x + 2xy
y las funciones dadas por x= x( θ ) = cosθ
e
y = y( θ ) = sen θ.
La función composición z = z( θ ) se puede derivar mediante la regla de la cadena
2 2
2x+ 2y 2x cos θ −cosθsenθ −sen
θ
z′
( θ) = ( − sen θ) + cos θ =
.
2 2 2
2 x + 2xy 2 x + 2xy cos θ + 2cosθsenθ Si derivamos directamente obtenemos el mismo resultado.
OBSERVACIÓN (INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA REGLA DE LA CADENA). Consideremos la curva
2
plana C parametrizada por C: t∈( t0 − r, t0 + r) → C( t) = ( x( t), y( t)
) ∈ , siendo r > 0 suficientemente
pequeño como para que Ct ( ) ∈ U para todo valor t∈( t0 − r, t0 + r).
Consideremos también la
curva Γ que se obtiene al transformar los puntos de la curva C por la función f . Esta otra es una
curva en la superficie de la gráfica de la función f (y, por tanto, en el espacio) que se puede parametrizar
por la función Γ () t = ( x(), t y(), t z() t ) , siendo zt () = f( xt (), yt () ) , con t∈( t0 − r, t0 + r).
Esta parametrización levanta la curva C , que está en el plano OXY , hasta la superficie. Las coordenadas
x e y de la curva Γ y C coinciden y la coordenada z de Γ viene dada por z = f( x, y).
El vector tangente a la curva Γ en el punto Γ ( t0) = ( x0, y0, z0)
sabemos que es Γ ′ ( t0),
pero
Γ ′ ( t0) = ( x′ ( t0), y′ ( t0), z′ ( t0)) = ( x′ ( t0), y′ ( t0), fx( x0, y0) x′ ( t0) + fy( x0, y0) y′ ( t0))
= x′ ( t )(1,0, f ( x , y )) + y′ ( t )(0,1, f ( x , y )).
Entonces, el vector tangente ′ ( t0)
( y 0 0 )
0 x 0 0 0 y 0 0
Γ está en el plano determinado por los vectores ( 1, 0, ( , ) )
f x y y
0,1, f ( x , y ) . Puesto que cualquier curva en la gráfica de f que pase por el punto ( x0, y0, z 0)
puede ser descrita como se describe la curva Γ , los vectores ( 1, 0, f x ( x0, y 0)
) y ( 0,1, f y ( x0, y 0)
)
forman una base del espacio de todos los vectores tangentes a la superficie en el punto ( x0, y0, z 0).
2
PROPOSICIÓN (NORMALIDAD DE LA DIFERENCIAL). Sea f :( x, y) ∈U ⊆ → f( x, y)
∈
una función
diferenciable en un punto ( x0, y 0)
interior a U y sea z0 = f( x0, y0).
Entonces, la diferencial
Df ( x0, y 0)
es normal en ( x0, y 0)
a la curva de nivel f ( xy , ) = z0que
pasa por dicho punto.
x
0 0
2