Leccion 4. 4. Las reglas de la cadena - Matemática Aplicada II

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 4. Funciones de varias variables. Derivadas
parciales.
DEM. Para obtener este resultado basta aplicar la condición suficiente de diferenciabilidad y la regla
de la cadena para una variable independiente a las funciones z1 = z1 ( u)
y 2 2 () z = z v definidas por
z1 = z1( u): = zuv ( , ) = f( xuv ( , ), yuv ( , )),
z = z( v): = zuv ( , ) = f( xuv ( , ), yuv ( , )).
2 2
NOTACIÓN. Normalmente se utiliza la misma letra para denotar la función dependiente, sin tener en
cuenta qué variables independientes estamos considerando en cada momento. Por eso, es muy frecuente
expresar la regla de la cadena, usando subíndices, de la siguiente forma zu = zxxu + zyyu o
bien zv = zxxv + zyyv. Señalemos el doble papel que juega la variable z en estas expresiones: como
función que depende de x e y , en primer lugar, y como función de u y v tras el cambio.
EJEMPLO. Vamos a comprobar la igualdad de la regla de la cadena para el campo escalar f dado
2
2 2
por f ( xy , ) = x + sen( xy),
en el punto ( uv , ) = (0,1), al hacer el cambio de variables x = u + v e
y = uv.
Observemos, en primer lugar, que fx ( xy , ) = 2x+ ycos( xy)
y f y ( xy , ) = xcos( xy).
Por otra
parte tenemos que xu = 2 u,
xv = 2, v yu = v e yv = u.
Observemos también que si ( uv , ) = (0,1),
entonces ( , ) (1,0).
zuv ( , ): = f xuv ( , ), yuv ( , ) , tenemos
xy= Por tanto, para la función ( )
( )
( )
zu = fxxu + fyyu = 2x+ ycos( xy) 2u+ xcos( xy) v,
z = f x + f y = 2x+ ycos( xy) 2v+ xcos( xy) u
v x v y v
y, por tanto, z u (0,1) = cos 0 = 1 y z v (0,1) = 4. Si ahora calculamos directamente la función obtene-
2 2 2 2
2
2 2
mos z( u, v) f ( x( u, v), y( u, v) ) f ( u v , uv) ( u v ) sen ( ( u v ) uv)
= = + = + + + y si calculamos sus
derivadas parciales obtenemos que
( 2 2) ( 3 3)( 2 3)
( 2 2) ( 3 3)( 3 2)
z ( u, v) = 2 u + v 2u+ cos u v+ uv 3 u v+ v ,
u
z ( u, v) = 2 u + v 2v+ cos u v+ uv u + 3 uv .
Entonces z u (0,1) = cos 0 = 1 y z v (0,1) = 2⋅ 2 = 4.
v
OBSERVACIÓN (CÁLCULO DEL GRADIENTE EN OTRAS COORDENADAS). Si tenemos un campo escalar
f definido en términos de las variables cartesianas x e y sabemos que su gradiente viene dado
por la igualdad f xy ( fx xy fy xy)
∇ ( , ) = ( , ), ( , ) . Sin embargo, si tenemos un campo escalar definido
en términos, por ejemplo, de las coordenadas polares ¿cómo calculamos su gradiente, el vector de
las derivadas parciales con respecto a las variables espaciales? El instrumento adecuado para realizar
este cálculo es la regla de la cadena. Las derivadas parciales de f como función de las coordenadas
cartesianas x e y están relacionadas con las derivadas parciales de f como función de las
coordenadas polares r y θ de la siguiente manera:
f = f cosθ + f senθ
y fθ= − f rsenθ + f rcos
θ ,
r x y
o bien, invirtiendo las variables tenemos que
x y
senθ
fx = fr cosθ
− fθ
y
r
cosθ
fy = frsen θ +
fθ
.
r
4