Acercamiento a los invariantes diferenciales y las derivadas ...

Acercamiento a los invariantes diferenciales y
las derivadas invariantes
David Palomino
Sebastián Cuéllar Carrillo
Abstract
Este es un resumen de la charla dada por el profesor David Blasquez
de la Universidad Sergio Arboleda en el Seminario de Invariantes diferenciales,
el cual, se ha venido realizando a lo largo del segundo semestre
de 2011 en las instalaciones de la Universidad de los Andes en Bogotá,
Colombia. Estas notas corresponden a una charla dictada el día 26 de
Agosto.
Vamos a considerar al espacio Euclideo usual (R 2 xy, dx 2 + dy 2 ), vamos a denotar
por G al grupo de isometrías de R 2 .
Definición 1 Definimos es espacio de Jets de aplicaciones de orden r como
el conjunto
J r (R x , R y ) = {Desarrollos de Taylor de orden r de aplicaciones C ∞ , y = y(x)}
Por lo tanto podemos ver que J r (R x , R y ) ∼ = R 2+r . Después de todo para
construir un desarrollo de Taylor de orden r son necesarios la variable independiente
x, la función de la variable y(x) y sus primeras r derivadas.
Podemos construir en J r (R x , R y ) una distribución de Cartan dada por el
siguiente conjunto de uno formas:
ω 0 = dy − y ′ dx
ω 1 = dy ′ − y ′′ dx
. . .
ω r−1 = dy (r−1) − y (r) dx
1

Las anteriores 1-formas generan una distribución de planos sobre R r+2 . AL
espacio definido con dicha distribución lo notaremos por (J r (R x , R y ), C r ).
En un sistema de 1-formas diferenciuales la condición de integrabilidad
significa que el diferencial de una de las 1-formas se puede expresar como
combinacion lineal de las demas via producto exterior. Tenemos por ejemplo
dω 0 = −dy ′ ∧ dx = dx ∧ ω 1 . En general es posible ver que si 0 ≤ k < r − 1
entonces dω k = dx ∧ ω k+1 . Sin embargo para el caso r − 1 tenemos que
dω r−1 = dx∧dy (r) expresión que no es posible escribir como producto exterior
de las demás formas diferenciales, luego se tiene el iguiente resultado.
Teorema 1 En J r (R x , R y ) la distribución de Cartan es completamente no
integrable.
Definiremos ahora el espacio de Jets de aplicaciones “infinito”.
Definición 2 Definimos el espacio de Jets como el límite proyectivo de los
espacios de Jets de orden r es decir:
J ∞ (R x , R y ) = lim
←−
J r (R x , R y )
En el espacio J ∞ (R x , R y ) tenemos coordenadas x, y, y ′ , y ′′ , ..., etc. Además
se tiene que
C ∞ (J ∞ (R x , R y )) = lim
−→
C ∞ (J r (R x , R y ))
Es posible dotar al espacio recién construido con una estructura similar
a la que la distribución de Cartan le daba a los espacios de Jets de orden
finito. Podemos definir Ω ∞ como la distribución de Cartan generada por las
1-formas diferenciales
ω 0 , ω 1 , ω 2 , ..., etc
En donde ω k = dy (k) − y (k+1) dx. En este caso dado que el número de coordenadas
es infinito, no existe el problema que presentaban los espacios de Jets
de orden r en la integrabilidad, por el contrario dicha condición se tiene. Por
lo tanto al hacer el paso a los Jets infinitos se gana la integrabilidad de la
distribución de Cartan Ω ∞ . Por tanto se tiene la siguiente condición gracias
al teorema de Frobenius.
dΩ ∞ = Ω ∞ ∧ ∧1 (J ∞ (R x , R y ))
2

〈 〉
Podemos ver que en este espacio de Jets C ∞ ∂T
= en donde el oper-
∂x
ador ∂ T
∂x
llamado derivada total, está dado por
∂ T
∂x = ∂
∂x + ∂
y′
∂y + ∂
y′′
∂y + · · · ′
Usando el concepto anterior podemos definir lo siguiente
Definición 3 Una derivación formal de C ∞ (J ∞ (R x , R y )), ⃗ X, es un campo
vectorial aniquilado por Ω ∞ .
En este caso las derivaciones formales toman la siguiente forma
⃗X = f(x, y, ..., y (r) ) ∂ T
∂x
Ejemplo 1 G grupo de isometrías de R 2 .
Estudiaremos a las aplicaciones del tipo
{
x∗ = cx − ys + λ 1
y∗ = sx + yc + λ 2
En donde c y s satisfacen la relación c 2 + s 2 = 1. Aquí c y s son realmente el
seno y el coseno del el ángulo que se gira al aplicar la transformación anterior
en R 2 . Calculando las derivadas de las aplicaciones tenemos
(y ′ )∗ = ∂ ( )
T y ∗ ∂T x ∗ −1
= s + y′ c
∂x ∂x c − y ′ s
Además de ello se tiene que:
(y ′′ )∗ = (c − y ′ s) −1 ∂ T
∂x
( ) s + y ′ c
c − y ′ s
= (c − y ′ s) −1 y′′ c(c − y ′ s) + y ′′ s(s + y ′ c)
(c − y ′ s) 2 =
Consideremos la derivación siguiente
⃗X =
1
√
1 + (y′ ) 2 ∂ T
∂x
3
y ′′
(c − y ′ s) 3

Podemos ver que
=
⃗X ∗ =
1 ∂
√ T
1 + ((y∗)′ ) 2 ∂x
∂ T
√ ∂x
( s + cy
′
(c − y ′ s) 1 +
c − y ′ s
1 ∂
= √ T
1 + (y′ ) 2 ∂x = X. ⃗
) 2
Por lo tanto ⃗ X es una derivada invariante bajo la acción del grupo.
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