razonamiento proporcional en educación primaria - josé luis ...

INFORME-VALORACIÓN
Tesis Doctoral: “Precursores del Razonamiento Proporcional. Un estudio con alumnos de Primaria”
Autor: Alejandro Fernández Lajusticia
Directores: Dra. Olimpia Figueras Mourut de Montppellier y Dr. Luis Puig Espinosa
Departamento: Didáctica de la Matemática
Universidad: Valencia
Fecha de lectura: viernes, 6 de julio de 2001
Realizado por: José Luis González Marí. Profesor Titular de Didáctica de la Matemática. Departamento
de Didáctica de la Matemática, de las Ciencias Sociales y de las Ciencias Experimentales. Facultad de
Ciencias de la Educación. Universidad de Málaga. 29071 Málaga. Teléfono: 952132443; Fax:
952132393; Correo electrónico: gmari@uma.es.
Preliminares
Leer, comprender y valorar un informe de investigación de estas características requiere de un
considerable esfuerzo y una gran dedicación y disponibilidad de tiempo material. En este caso, la falta de
tiempo ha sido importante y, como siempre ocurre cuando esto sucede, se tiene la sensación de un trabajo
inacabado y necesitado de una continuación posterior por razones obvias de fechas y prudencia de
espacios e intervenciones.
Lo poco que he podido realizar se sintetiza a continuación a lo largo de varios apartados, quedando en
suspenso la aportación de aquéllas observaciones registradas que, por falta de espacio y tiempo, han
quedado fuera de la selección. En primer lugar se presenta una valoración global que orientará la
exposición preliminar de mi intervención en el tribunal. En segundo lugar se detalla una amplia relación
comentada de preguntas, dudas o cuestiones a debatir, de entre las que, posiblemente, elija algunas de
ellas, todas las que pueda y el tribunal me permita, para formular directamente al doctorando. En tercer
lugar, en otro documento aparte (que remitiré posteriormente o entregaré en mano al doctorando), he
incluido algunas notas bajo el epígrafe “observaciones puntuales” utilizando un esquema para la
valoración de investigaciones educativas cuyo índice figura al final del presente documento.
Debo añadir, por último, que espero que lo que he aprendido con mi participación en esta lectura y
defensa, se pueda continuar en el futuro con colaboraciones más sosegadas. Espero, por tanto, que esta
tesis doctoral sea el comienzo de otras actuaciones conjuntas en el futuro.
Valoración global
La investigación objeto de la tesis doctoral analiza y da respuesta a un problema concreto relevante
y directamente relacionado con la práctica educativa en las aulas. El marco teórico y metodológico en el
que se encuadra el estudio, modelos teóricos locales de Filloy (1999), resulta adecuado para los
propósitos de la investigación, proporcionando una nueva y más fina aproximación al problema planteado
y, consecuentemente, un mayor acercamiento a la realidad modelizada.
La investigación se propone, básicamente, poner de manifiesto que la comparación multiplicativa y
los conceptos relacionados de razón y proporción, al menos a nivel de iniciación y en el sentido de
“objetos mentales” o “precursores”, forman parte, o pueden llegar a formar parte, mediante una cierta
ayuda, de los conocimientos, capacidades y destrezas de los alumnos de los cursos de segundo y tercer
ciclo de Primaria. Al mismo tiempo, el estudio pone al descubierto cuáles son los “objetos mentales” de

que disponen, o pueden disponer, los alumnos de esas edades (los llamados “precursores” de los
conceptos) y cuáles son las principales limitaciones y dificultades que encuentran al afrontar situaciones y
fenómenos variados pertenecientes a dicho campo de conocimientos. Por tanto, el estudio responde
adecuadamente a los objetivos propuestos, aportando información valiosa sobre el origen y los aspectos
más elementales involucrados en el razonamiento proporcional así como en su tratamiento didáctico..
Del mismo modo, las características peculiares de la hipótesis: Afirmación concreta, bien
enunciada, focalizada convenientemente dentro del Área Problemática y situada en el contexto más
amplio de una linea de trabajo ya con una sólida tradición, hacen que la metodología utilizada sea idónea,
e incluso superabundante en algunos aspectos para dar respuesta al problema de investigación (es notable
la riqueza de información contenida en el análisis de actuaciones y el esfuerzo dedicado a la
estructuración y clasificación de las mismas en comparación con la utilidad real que de dicha información
se hace en el estudio),. Tanto es así, que las distintas técnicas metodológicas se complementan en un
proceso que deja lugar a pocas fisuras y que es válido y fiable para los propósitos del estudio.
En consecuencia, teniendo en cuenta, además, el carácter sistémico desde el que se aborda en esta
tendencia de investigación los fenómenos y problemas de la Educación Matemática, como consecuencia
del cual se hacen intervenir en el estudio los principales factores y sus relaciones evitando parcelaciones
innecesarias y obteniendo conclusiones que afectan a los diversos campos involucrados, los resultados
son relevantes y están disponibles para ser utilizados en nuevos diseños curriculares, en tareas docentes
orientadas al diagnóstico y evaluación de los conocimientos y en el desarrollo curricular práctico en aulas
ordinarias. Se cumple, en este sentido también, parte de las aspiraciones de las tendencias de
investigación que propugnan la innovación y la necesidad de que la investigación atienda directamente a
los problemas de la práctica cotidiana buscando la repercusión directa e inmediata de sus resultados en
dicha práctica educativa ordinaria.
Desde un punto de vista más formal, es justo decir que la memoria cumple las normas de calidad y
claridad exigidas usualmente a este tipo de informes, cubriendo satisfactoriamente todos los aspectos
formales requeridos. El estilo es conciso, directo y claro, lo que se echa con frecuencia de menos y no
suele ser fácil de encontrar en este tipo de estudios.
Por último, desearía acabar esta valoración global de la investigación que se presenta mediante una
reflexión que surge directamente de la lectura del propio informe y que afecta de manera muy importante,
en mi opinión, al Área de Conocimientos de Didáctica de la Matemática, a las relaciones entre este campo
del saber y la propia Ciencia Matemática y a la investigación científica en ambos campos. Me refiero a
que el estudio cuyo informe se presenta aquí pone al descubierto, entre otros aspectos, que el
conocimiento matemático no es suficiente, por sí solo, para el análisis de los fenómenos educativos en
matemáticas, la búsqueda de soluciones a los problemas que surgen en torno a dichos fenómenos o la
adopción de medidas concretas y la planificación y el desarrollo curricular fundamentado y con garantías
de éxito. Antes bien, se pone aquí de manifiesto, una vez más, que el modelo de competencia formal,
utilizando la misma terminología del marco teórico en el que se sitúa el estudio, debe estar acompañado
por otros modelos que pueden afectar profundamente a los mencionados aspectos formales o de
interpretación de los fenómenos desde el campo matemático formal. En otras palabras: El pensamiento
matemático en formación presenta características que remiten a experiencias cotidianas y familiares y a
procesos de comunicación y cognitivos intuitivos que suelen estar ocultos bajo el producto matemático
González Marí, J. L. 2

acabado y, a veces, bajo el análisis histórico más detallado que se pueda hacer. Se trata de cuestiones que
interesan y preocupan directa y especialmente a la comunidad de educadores matemáticos o de
investigadores en Educación Matemática, pero que no afectan en exceso, al menos directamente, ni a la
validez, precisión y rigor del conocimiento matemático actual ni a la producción de nuevos
conocimientos por parte de los investigadores en matemáticas. De hecho, en el campo de la Educación
Matemática cobran sentido especial cuestiones que en el ámbito de las propias Matemáticas no pasan de
ser meras anécdotas o aspectos secundarios o accesorios del conocimiento en sí; tal es el caso de
reflexiones como: ¿Qué es el conocimiento matemático?; ¿cómo puede el ser humano acceder al mismo?;
¿cuál es la naturaleza de los conocimientos numéricos?; ¿qué se entiende por pensamiento algebraico?;
¿cómo hay que enseñar las matemáticas para que los alumnos las comprendan?; etc. Queremos decir que
el análisis didáctico o análisis realizado desde el punto de vista de la Educación Matemática, tanto del
conocimiento matemático, su epistemología, fenomenología e historia como desde el punto de vista del
aprendizaje y la cognición o de las relaciones entre el conocimiento, el medio y el sujeto, constituyen
elementos clave para poder construir, a su vez, conocimientos fundados sobre los procesos de enseñanza
y aprendizaje de las matemáticas. Pero, como se ha indicado anteriormente, no son cuestiones cruciales
para hacer matemáticas ni para crear nuevos conocimientos matemáticos, aunque algunos pensemos que
puede haber ciertas relaciones que den lugar a nuevos conocimientos matemáticos y no sólo didácticos, lo
que se ha traducido con frecuencia en la desatención de los matemáticos profesionales y los creadores del
conocimiento matemático hacia la faceta de su transmisión o hacia la problemática de su enseñanza y
aprendizaje.
Estamos, pues, ante un ejemplo más de la importancia de la investigación en Educación Matemática
y de la influencia y repercusiones, a veces sorprendentes, que pueden ejercer los resultados de la misma
sobre el diseño y el desarrollo curricular en las aulas ordinarias. Estamos, en definitiva, ante una prueba
evidente más de la super-especialización que supone la dedicación a la Educación Matemática: Saber
matemáticas es condición necesaria pero no suficiente para analizar los problemas educativos y aportar,
por medio de la investigación, datos encaminados a la construcción de soluciones válidas y fiables para
dichos problemas. No sólo esto: tener un cierto dominio de las matemáticas es, a mi juicio,
manifiestamente insuficiente para entrar con un mínimo conocimiento de causa en el campo de la
Educación Matemática.
Preguntas para la exposición y defensa
a) Desde el punto de vista teórico
a.1.- El modelo teórico local y, sobre todo, el proceso de las sucesivas aproximaciones al
problema mediante la conformación de nuevos modelos cada vez más finos, ajustados y completos, puede
llegar a ser un tanto cerrado.
¿No cree que sería interesante configurar, simultánea o posteriormente, otras aproximaciones
menos locales, menos determinadas por el procedimiento estándar, aunque relacionadas con la
investigación realizada, a modo de “aperturas” del proceso básico, como por ejemplo: estudios
experimentales en situaciones reales para verificar la bondad de los resultados obtenidos clínicamente;
estudios de masas, descriptivos o correlacionales, orientados al descubrimiento y análisis de
regularidades; análisis de las relaciones del tema con otros conocimientos, procedimientos y destrezas,
como por ejemplo con la relatividad aditiva; incorporación no sólo de antecedentes específicos sino
también de antecedentes relacionados (informaciones y consideraciones realizadas desde otros ámbitos
González Marí, J. L. 3

del saber y para otros propósitos), a saber: Filosofía de la Aritmética, Filosofía de las Ciencias,
Epistemología, Antropología, Historia, Cultura, Sociología, etc.?.
a.2.- En el sentido de las cuestiones anteriores, lo que se considera aquí como razonamiento
proporcional creemos que es un tipo de razonamiento dentro del campo más general conocido como
“pensamiento numérico relativo”. Dentro de este campo amplio, podemos distinguir dos partes: la que
corresponde a lo que venimos denominando como pensamiento numérico relativo aditivo y la que tiene
que ver con lo que, por analogía, se puede denominar como “pensamiento numérico relativo
multiplicativo”. En el primer caso interviene la comparación aditiva y su culminación tiene que ver con
los números con signo y los números enteros; en el segundo caso interviene la comparación multiplicativa
y su culminación tiene que ver con las fracciones y los números racionales. En ambos casos, el aspecto
central es el concepto de “relatividad” métrica o numérica, entendiendo que se produce dicha relatividad
en aquéllas situaciones en las que intervienen números o medidas relativas o que están dentro de un
sistema caracterizado por un origen o referente de comparación y dos sentidos opuestos posibles para
efectuar dicha comparación. Estos sentidos opuestos se encuentran asociados a los conceptos de opuestos
aditivos o multiplicativos y se materializan formalmente en las nociones de elementos simétricos para las
estructuras respectivas de grupo aditivo y multiplicativo. Son, por tanto, aspectos relevantes para la
“simetrización” de semigrupos, o, si se quiere, para la configuración de estructuras algebraicas más
estables y completas. Los referentes son, como sabemos, el 0 para la relatividad aditiva y el 1 para la
relatividad multiplicativa. En consecuencia:
Si se quisiera incardinar el estudio en un marco más amplio como el descrito (tales como “pensamiento
relativo” o “pensamiento prealgebraico”), ¿cómo se podrían desarrollar los estudios dentro de la
misma linea de investigación?; ¿qué modificaciones habría que realizar, en su caso, al proceso general
descrito en el informe?.
a.3.- La componente de comunicación no parece, al menos a primera vista, que se encuentre aquí
al mismo nivel que el resto de componentes del modelo:
¿Cuál es el papel del modelo de comunicación en este estudio?; ¿en qué aspectos ha sido relevante dicho
modelo en el estudio realizado?
a.4.- Las relaciones complejas:
¿se pretende que estén contempladas mediante lo que se puede denominar como modelos “mixtos”, tales
como “cognición-comunicación” o “enseñanza-cognición”?; en cualquier caso, ¿qué papel tienen en el
estudio concreto los mencionados “modelos mixtos”?
b) Desde el punto de vista metodológico,
b.1.- ¿Cree que es suficientemente rico el organigrama bidimensional para reflejar secuencias de
enseñanza?; ¿no es posible utilizar otros “recorridos” menos lineales, más complejos, otras secuencias
diferentes y otros modelos de enseñanza, quizás más efectivos que los que se diseñan y emplean en el
estudio?.
b.2.- Por otra parte, ¿cuáles son los criterios por los que se establece la mayor o menor dificultad
de las tareas propuestas en la misma columna de un protocolo?. ¿y la dificultad de las tareas en
general?
b.3.- ¿Qué ocurre si un alumno se “atasca” irremediablemente?; ¿puede ocurrir? o ¿el propio
procedimiento metodológico descarta por completo tal posibilidad?
González Marí, J. L. 4

.4.- Si la comparación cualitativa es un precursor “primitivo” de las nociones en juego,
¿porqué se ubica la tarea “bocadillos (a) y (b)” en un tercer nivel de la secuencia (organigrama 4.5
(pág. 182))?; ¿no debería situarse en el primer nivel de dicha secuencia como tarea más fácil o más
básica?
b.5.- ¿Cuáles son y en qué se basan, en su caso, las diferencias genéricas en los protocolos de las
entrevistas para segundo y tercer ciclos? . . . ¿porqué se establecen así?.
b.6.- Además del análisis y clasificación de comportamientos y la selección de un subgrupo para la
observación mediante entrevistas con enseñanza,
¿no aportan las respuestas a los cuestionarios información añadida sobre las capacidades de los
alumnos en razonamiento proporcional, su evolución con la edad, etc.?;
b.7.- si se entrevista sólo a alumnos de 4º y 6º cursos,
¿para qué se pasa la prueba de lápiz y papel a los alumnos de 3º y 4º?
c) En relación con los objetivos, las hipótesis y las conclusiones.
c.1.- La comparación aditiva y multiplicativa y las ideas intuitivas asociadas al cero u origen
relativo aditivo, al 1 u origen relativo multiplicativo y a las nociones de opuestos aditivos y
multiplicativos, de acuerdo con el estudio realizado, creemos que aparecen y se utilizan y
empiezan a dominar “informalmente” antes de la edad a la que se suele iniciar la enseñanza de los
números con signo (11 años) y de las nociones de razón y proporción. El estudio pone de
manifiesto, en mi opinión, que los escolares de Primaria son capaces de alcanzar un cierto grado
de formación / comprensión sobre las nociones de razón y proporción mediante el desarrollo de un
proceso didáctico . . .
¿Es este el sentido de las conclusiones del estudio?; ¿qué matices, en su caso, habría que añadir
a las afirmaciones anteriores para ser más precisos con los resultados alcanzados en la
investigación?
c.2.- Quizás la hipótesis planteada se podría haber desglosado en varias hipótesis más concretas
que resultan directamente de los resultados obtenidos,
¿Está de acuerdo o considera que la opción tomada es más conveniente?
González Marí, J. L. 5

Observaciones puntuales
Finalidad del estudio
Área problemática, problema específico
Delimitación del área y exposición del problema
Hipótesis y supuestos
Adecuación y organización de las preguntas de investigación
Significatividad del problema
Limitaciones
Marco teórico y conceptual
Análisis de los antecedentes y de la revisión bibliográfica
Adecuación y organización de la bibliografía
Exámen crítico de los estudios referenciados
Tratamiento de la relación con investigaciones anteriores
Modelo general de la investigación. Diseño y métodos
Características y descripción del diseño
Adecuación del diseño y del método empleado
Debilidades del diseño
Selección de participantes y recogida de datos
Adecuación y descripción de la muestra y de la selección de participantes
Estrategias de recogida de datos y su aplicación
Análisis, presentación e interpretación de los datos
Análisis de las conclusiones
Claridad, relevancia y significatividad de las conclusiones
Fundamentación en la evidencia presentada
existencia de interpretaciones alternativas
Redacción y estilo del informe
Opinión personal y observaciones finales
González Marí, J. L. 6