Tema 0: Operaciones algebraicas b

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donde se han tenido en cuenta las reglas de la multiplicación (y división) de signos:
§¨ © ¨ ¨ ¨ © © ¨ © ¨
Operaciones con fracciones
Multiplicación y división
A veces, resolver una expresión algebraica requiere manipular fracciones.
Multiplicarlas es fácil: se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí (Regla 8).
Para dividir dos fracciones se multiplican en cruz, es decir, el numerador de la primera fracción por el
denominador de la segunda (resultado que va arriba en la fracción final) y el denominador de la primera por
el numerador de la segunda (lo cual va abajo) (Regla 9):
2a2 3
3 5
2a2 : 3 3
5
6a 2
15
10a 2
9
Otro ejemplo: efectuar x § 3x
(Tener en cuenta primero que esa expresión indica la multiplicación
2
de una cantidad, x, por una fracción negativa; es decir, no es una resta; sería una resta si no existiera el
paréntesis: x 3x
2
.)
. En segundo lugar, tener en cuenta que el producto escrito se puede poner también
como: x 1 3x
2
Es fácil ver que la solución es 3x2
2
Simplificación
El resultado de las fracciones hay que simplificarlo si es posible. Por ejemplo, las siguientes pueden
simplificarse dividiendo arriba y abajo por el mismo valor (Regla 10):
15
20
2a
6a
3
4
1
[hemos dividido arriba y abajo por 5]
[hemos dividido arriba y abajo por 2a; para dividir 6a entre 2a se dividen números entre
3
números y letras entre letras: 6 entre 2 es 3 y a entre a es 1 (que no se escribe, porque
3 © 1 3)]
Suma y resta
Para sumar (o restar) fracciones hay que encontrar primero el mínimo común múltiplo (mcm) de sus
denominadores. A su vez, para ello previamente hay que factorizar los denominadores, es decir, convertir
cada uno de ellos en producto de factores primos. (Un número primo es aquel que sólo es divisible por sí
mismo y por 1; por ejemplo, 2,3,5,7, 11,13 y 17 son primos, pero no lo son 4, 6,8, 9,10,12, etc.) Una vez
factorizados, para calcular el mcm se toman los factores comunes y no comunes elevados a los mayores
exponentes (Regla 11).
Por ejemplo, calcular el mcm de 25, 75 y 100. Primero factorizamos los tres números tratando de
dividirlos sucesivamente por números primos empezando por el 2 y siguiendo con el 3, 5, etc. Por ejemplo,
para factorizar 100 se empieza dividiendo por 2; el resultado § 50 se divide de nuevo por 2 § 25 ; como
25 no es ya divisible por 2 probamos con el siguiente primo (3); tampoco es divisible, pero sí lo es por 5;
25 entre 5 da 5; volvemos a dividir por 5 y el resultado final es 1, que es donde hay que llegar. 100
queda factorizado, entonces, como: 100 2 © 2 © 5 © 5 ( 2 2 © 5 2 )
Las tres factorizaciones quedan así:
25 5 2 75 5 2 3 100 2 2 52
Todos los factores encontrados son, como se ve, 2, 5 y 3 (elevados a distintas potencias según el
número factorizado). El 2 y el 3 son factores no comunes a las tres factorizaciones: los tomamos
elevados a los mayores exponentes encontrados 2 2 y 3; el 5 sí es común; lo tomamos elevado a la
mayor potencia encontrada: 5 2 . El mcm se calcula, entonces, efectuando el producto 2 2 3 52 300.
Vamos a aplicar esto. Supongamos la siguiente suma (o resta) de fracciones:
6
25
3
75
4
100
¨
Para resolverla se calcula el mcm de los denominadores (ya lo hemos hecho: mcm 300). Luego se
procede así: se escribe un signo igual y una raya larga de fracción en cuyo denominador irá el mcm
encontrado. En el numerador irá la suma (o resta, según el signo) de cada uno de los numeradores de las
tres fracciones multiplicado por el resultado de dividir el mcm entre el denominador correspondiente (Regla