Tema 0: Operaciones algebraicas b

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o, en general, a sumandos..
Sabiendo esto, una división de potencias siempre se puede resolver transformándola en una
multiplicación. Así por ejemplo, a 4
a a 4 a 1 , que, siguiendo la regla de la multiplicación, conduce a:
a 4 1 a3 , resultado idéntico al que habríamos llegado aplicando la regla de la división.
22.- Simplificar, dejando el resultado en el denominador y luego en el numerador:
8a
1
bc 1 1 2 y 8 d 1 ab 1 cd 2 )
Potencia de potencias
2abcd 2
16b 2 d 4
Para resolver una potencia de potencia se multiplican los exponentes. Es decir: a m n am n .(Regla
20). Vayamos a un ejemplo:
Resolver 32 3 (Sol.: . 36 , lo que podemos demostrar desarrollando las potencias:
32 3 32 32 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 36 . )
23.- Efectuar y simplificar
3
a
a 2
2
3
(Sol.: 1)
Potencia de un producto y una suma
La potencia de un producto (o cociente) de factores es el producto (o cociente) de las potencias de esos
factores. Es abc decir: m amb mcm .
24.- Efectuar 4a 2 b 1 2
25.- Efectuar
a 2 b
4
2
(Sol.: b 2
16a 4 )
(Sol.: a4 b 2
16 )
La potencia de una suma (o resta) no es la suma (resta) de las potencias de los sumandos. Se puede
calcular convirtiéndola en un producto de la siguiente manera (por ejemplo):
a b 3 a b a b a b , que se resuelve multiplicando primero los dos paréntesis y el resultado por
el tercero.
a 3
1 b
26.- Efectuar
2
27.- Efectuar
2 3
a
(Sol.: 9 6a a 2 )
(Sol:
(Sol.: a 6 3a 4 3a 4 b 6a 2 b 3a 2 3a 2 b 2 b 3 3b 2 3b 1 )
Propiedades de las raíces
La principal propiedad de una raíz tipo m an es que se puede transformar en a n m . (Regla 21). Por
a1 .
ejemplo, 3 a 3 a 3
3
Hecho esto la raíz se puede tratar como una potencia, y esa es la manera más segura de operar con
raíces complicadas. Por ejemplo, efectuar: 2 3 2
a a (Sol.: a 5 2
2 a 3 a 19 19
6 a ; y recordar
que para multiplicar ambas potencias debe dejarse la misma base y sumar los exponentes).
5
Hay que tener en cuenta que en general no se puede sumar ni restar raíces [no cabe resolver, por
ejemplo, 2 a 5 3 2
a , aunque sí se podría sacar algún factor común una vez transformadas en potencias;
sólo en casos en que se trate con raíces de igual índice e igual radicando, como por ejemplo 2 3 5 3
,
se puede hacer ( la suma 7 3 )]. Es decir, la suma de dos raíces no es la suma de las raíces de los
sumandos.
Pero la raíz de un producto (cociente) sí es el producto (cociente) de las raíces: abc a b c
(Regla 22).
A veces es conveniente ”sacar todo lo que se pueda de una raíz”. Por ejemplo, en a 5 b se puede
sacar algo, ya que a 5 b a 5 b a 2 a 2 a b a 2 a 2 a b (hasta aquí hemos aplicado dos
veces la Regla 22) y esto último se puede simplificar hasta: aa a b a2 a b .
Una raíz elevada a una potencia es la raíz del radicando elevado a esa potencia (y al revés). Por
3
a
ejemplo: 5
3 5 a
28.- Tratar de simplificar al máximo, sacando lo que se pueda de la raíz
29.- Tratar de simplificar al máximo, sacando lo que se pueda de la raíz
mejor es hacerlo así:
2
3a 3
2
3a 3
2
2 3a 3 3 3 a 3 27a3 )
16a 2 b 6
bc
2
3a 3
6
(Sol.: 4ab 2 b c
2
(Sol.: 27a 3 ; lo