Temas 20 y 21: Funciones y polinomios

Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales 69
Temas 20 y 21: Funciones y polinomios
Funciones, dominio, gráficas, operaciones con funciones, función inversa, funciones crecientes
y decrecientes, pares e impares. Polinomios, operaciones con polinomios, raíces de un
polinomio, descomposición de un polinomio en factores, descomposición de funciones
racionales en fracciones simples
Función y polinomio
¡ f¢ x£ ¤ ¥ ¦
f¢ x£
¤ 2£ ¤ f¢
Una expresión del tipo siguiente x3 2 2x 1 se dice que es una función de la variable x.
Según el valor que demos a la x , a la función le corresponderá un valor determinado. Por ejemplo, si
x 2 15
Una función de la forma de la anterior, que sólo tiene letras (x) y números, se dice que es una función
polinómica; concretamente la expresión x 3 ¥ 2x 2 ¦ 1 se dice que es un polinomio (en este caso, de grado
3, siendo el grado el máximo exponente de la x).
Factorización de un polinomio y descomposición de funciones
racionales
¡ Operaciones con polinomios. Las veremos con ejemplos:
§ ¢ ¥ 1£ ¦ ¢ ¦ Suma y resta: x3 2 2x x2 ¥ 3£ ¤ x3 ¥ 2x2 ¦ ¤ ¦ ¥ ¦ ¦
¢ ¥ ¢ 3£ ¤ ¦ ¥ ¥ 1£ ¥ § ¦ ¦ ¨ ¤ ¥ ¥ ¥ ¥ ¦
1 x2 3 x3 x2 4
Multiplicación: x3 2 2x x2 x5 3 4 2 3x 2x 6x x2 3 x5 4 3 2 2x 3x 5x 3
§ ¥ ¦ 1£ ¢ ¢ ¢ ¥ ¦ 1£ 3£ ¥
¢
División: x3 2 2x : x2 Para dividir se escriben el dividendo, x3 2 2x , y el divisor,
x2 ¥ 3£ , como en una división normal:
x 3 ¥ 2x 2 ¦ 1 x 2 ¥ 3
Ahora se divide el monomio de grado más alto del dividendo, x 3 , entre el monomio de mayor grado del
divisor, x 2 , lo que da x :
x 3 ¥ 2x 2 ¦ 1 x 2 ¥ 3
El resultado de esa primera división (x) se multiplicará por todos los monomios del divisor y cada
producto se cambiará de signo, colocándose debajo del monomio del divisor que tenga el mismo grado.
Luego se efectúan las sumas correspondientes grado a grado:
x 3 ¥ 2x 2 ¦ 1 x 2 ¥ 3
¦ ¦ x3 3x x
2x2 ¦ ¦ 3x 1
Hemos visto que ¦ 3x no se podía poner debajo de ningún monomio del mismo grado del divisor, porque
éste no lo contenía; se puedo, pues, en un hueco entre los monomios de grados 2 y 0.
Seguidamente se repite el mismo proceso. Se empeiza dividiendo 2x 2 entre x 2 , colocándose el
resultado (¥ 2) en el cociente, etc.:
x 3 ¥ 2x 2 ¦ 1 x 2 ¥ 3
¦ ¦ ¥ x3 3x x 2
2x2 ¦ ¦ 3x 1
¦ 2x 2 ¦ 6
¦ 3x ¦ 7
Una vez llegados a un resto (¦ 3x ¦ 7) de grado menor que el divisor (x 2 ¥ 3) hemos acabado la división.
x

70 TREVERIS multimedia
El cociente es x © 2 .
En determinados problemas nos va a ser útil aplicar el llamado algoritmo de la división:
Dividendo
divisor cociente © resto
divisor
para expresar la división de otra forma. En este caso quedaría:
x3 2x2 1
x2 x © 2 © 3x 7
3 x2 3
Raíces de un polinomio y factorización. Si un polinomio lo igualamos a 0 obtenemos una
ecuación (del grado del polinomio); sus soluciones se llaman raíces del polinomio. Un polinomio tiene
tantas raíces como grado. Pueden ser todas reales, todas complejas o reales y complejas.
Se puede demostrar que si todas las soluciones son números reales el polinomio se puede escribir
también como
x a x b ...
m
siendo a,b, etc., las raíces, y m el coeficiente del término de grado más alto del polinomio. El
polinomio se dice que ha quedado factorizado.
Para encontrar las raíces puede recurrirse al método anterior (igualar el polinomio a cero y
solucionar la ecuación, siempre que sea posible) o aplicar el método de Ruffini, que ahora veremos. Un
consejo: si en el polinomio se puede sacar factor común x, hacerlo; de esta manera habremos encontrado
automáticamente la primera raíz: x 0, como veremos en el siguiente ejemplo.
Calcular las raíces del polinomio 4 3x 3x3 12x2 © 12x. Lo primero que hacemos, ya que se puede,
será sacar factor común, en este caso 3x :
x 3x 3 x 2 4x © 4
Con ello ya hemos empezado a factorizar el polinomio automáticamente. Obsérvese que la expresión
anterior equivale a escribirla:
x 0 x 3 3 3x 2 4x © 4
que empieza a tener una forma parecida a la m general a x b x ...
El polinomio x 3 3x 2 4x © 4 contiene otras tres raíces (pues es de grado 3) que vamos a tratar de
extraer por el método de Ruffini. En la práctica, se usa este método para saber si el polinomio tiene alguna
raíz que sea divisor de su término independiente (que es el que no lleva x; en este caso, 4 . Es decir, el
método sirve para probar si © 1, 1, © 2, 2, © 4 o 4 son raíces del polinomio x 3 3x 2 4x © 4 .
Empezaremos probando el © 1.
Se escriben en una línea los coeficientes del polinomio: 1 1 4 4 y en una segunda, abajo, un
poco a la izquierda, la raíz que queremos probar:
1
1 1 4 4
Se baja el primer número de la primera línea (en este caso 1) a una tercera línea:
1
1 1 4 4
y se multiplica la raíz que queremos probar (en este caso 1) por ese valor que hemos bajado,
poniéndose el resultado en la segunda fila y segunda columna, sumándose con el que tiene arriba:
1

Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales 71
1 1 4 4
1 1
1 0
Hecho esto se repiten las mismas operaciones: el 1 (raíz que queremos probar) multiplica al 0
(resultado de la suma anterior), poniéndose el producto (0) en la segunda fila debajo del 4, para proceder
a la suma y continuar así.
1 1 4 4
1 1 0 4
1 0 4 0
Si al final obtenemos como resultado 0 (última fila, última columna), como es el caso, eso es pueba de
que el 1 sí es raíz de ese polinomio. Si no, habría que probar con el 1, luego con el 2, etc. Ahora el
polinomio inicial queda parcialmente factorizado así:
En esete caso, como decimos, hemos encontrado una raíz, que es 1. Entonces, el polinomio al que le
estábamos aplicando Ruffini queda ya parcialmente factorizado como
x 0 x 1 x 3 2 4
¿De dónde sale x2 4 ? De los coeficientes finales obtenidos: 1 0 4 0 , quitando el último (el 0),
que corresponden a un polinomio de un grado menor al que fue sometido a la regla de Ruffini (que era de
grado 3:, no olvidemos que era: x 3 3x 2 4x 4 ). Es, por tanto, el polinomio 1x 2 0x 4 , es decir,
x 2 4 . Esta es una propiedad del método de Ruffini: sirve para descomponer un polinomio en un
producto de a x (siendo ”a” la raíz obtenida por el método) por otro polinomio de un grado menor
cuyos coeficientes son los de la última fila (exceptuando el 0 final).
A su vez, x 2 4 contiene dos raíces (pues de grado 2). Para calcularlas aplicamos Ruffini a este
polinomio, empezando por escribir sus coeficientes 1 0 4 en la primera línea y siguiendo el método
anterior. Probamos de nuevo con 1 , porque puede ocurrir que 1 sea lo que se llama una raíz múltiple
(doble, triple, según salga como raíz dos, tres veces, etc.).
1 0 4
1 1 1
1 1 3
Como no se obtiene resto 0, no es raíz el 1. Probamos ahora con 2 :
1 0 4
2 2 4
1 2 0
Vemos que 2 es raíz. Como los coeficientes finales obtenidos (quitando el 0) son 1 2 , hemos
conseguido convertir x 2 4 en el producto x 2 x 2 . A x 2 le aplicamos de nuevo Ruffini. En
este caso es obvio que la raíz es 2 :
1 2
2 2
1 0
Obtener al final un 1 y de resto 0 es prueba de que hemos conseguido sacar todas las raíces a
x 3 3x 2 4x 4 por el algoritmo de Ruffini.(lo cual no siempre tiene por qué ocurrir) Si en vez de
1 0 al final hubiéramos obtenido m 0 el resultado final de la factorización en factores tipo x a habrá
que multiplicarlo por m. es decir, m x a x b x c ...
Resumiendo, en este caso la factorización de 3x 4 3x 3 12x 2 12x ha quedado:
3 x 0 x 1 x 2 x 2

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Ni que decir tiene que la aplicación del método de Ruffini a x 3 3x 2 4x 4 puede hacerse (y es así
como se hace) en un sólo paso:
Atención y consejos:
1 1 4 4
1 1 0 4
1 0 4 0
2 2 4
2
1 2 0
2
1 0
Cuando el término de mayor grado del polinomio tenga un coeficiente m distinto de 1 (en el ejemplo
anterior m 3 era este coeficiente debe aparecer en la factorización final. A veces aparece
automáticamente, como en el ejemplo anterior; otras lo detectaremos porque aparecerá al final del
algoritmo de Ruffini junto a un resto 0; si no aparece automáticamente, hay que ponerlo de todas formas al
final de la factorización.
Se recomienda que si se está aplicando Ruffini, al obtener un polinomio reducido de grado 2 deje
de aplicarse Ruffini y se obtengan las dos raíces contenidas en él igualando el polinomio de grado 2 a cero
y resolviendo la ecuación de segundo grado correspondiente
No se olvide sacar factor común todo lo que se pueda antes de empezar a factorizar; al sacar factor
común ya obtenemos como mínimo uno de los factores automáticamente. Tras sacar factor común si el
polinomio es de primero, segundo grado o bicuadrado –este último es el que tiene potencias cuarta y
segunda únicamente– lo mejor es igualarlo a cero y solucionar la ecuación; ésta es la forma más rápida de
encontrar las raíces en estos casos.
Cuando se está tratando de resolver una ecuación de segundo grado (o de cuarto, sexto, etc...) y se
comprueba que las raíces son complejas, no hace falta calcularlas; se deja el polinomio de segundo grado
(o de cuarto, sexto, etc...) tal como está y él constituye de por sí un factor único. Por ejemplo:
x3 x 2 x 1 x 1 x 2 1 (las dos raíces contenidas en x 2 1 son complejas, como puede
comprobarse fácilmente).
Ejemplos. Factorizar los siguientes polinomios:
2x 3 x 2 (Sol: x 2 2x 1 )
4x 4 6x 3 2x 2 2x 2 (Sol: 2 x 1 x 1 2x 2 x 1 ; en éste vemos que la raíz 1 tiene
multiplicidad 2, pues aparece dos veces)
4x 3 2x 2 16x 8 (Sol: 4 x 2 x 2 x 1
2 )
Descomposición de funciones racionales en funciones simples. Una función polinómica racional
es un cociente de polinomios. A veces conviene descomponer ese coeficiente en fracciones más simples
(en particular, ello es muy útil a la hora de calcular ciertas integrales).
Veremos con tres ejemplos cómo se hacen estas descomposiciones.
1. Descomponer en fracciones simples la siguiente función racional:
x 3 2x 3
2x 3 4x 2 10x 12
Se factoriza el polinomio denominador: 2x3 4x2 10x 2 12 1 x 2 x 3 x
Como vemos, sólo tiene raíces reales y ninguna es múltiple.(esto es, ninguna se repite) En estos
casos la descomposición se hace así:
x3 2x
2x
3
3 4x2 12 10x x x 3
1 2 x 2
1 2 2 3
A B C
donde A, B y C son incógnitas a determinar. Para ello efectuamos la suma indicada en el segundo
miembro. No es difícil, porque el mínimo común múltiplo es en este caso (y en todos los semejantes en que
no hay raíces múltiples) el producto de los tres factores que constituyen los denominadores:
x x x :
2 x 1 A B
x 2 C
x 3 A x 2 x 3 B 2 x 1 x 3 C 2 x 1 x 2
2 x 1 x 2 x 3
Ax 2 2Bx2 2Cx2 8Bx 2Cx 6A 6B 4C
2 x 1 x 2 x 3
Ax

Por tanto, llegamos a la conclusión de que
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales 73
x3 3 2x
2x3 4x2 12
Ax
10x 2 2Bx2 2Cx2 8Bx 2Cx 6A 6B 4C
2 x 1 x 2 x 3
Ax
y como los denominadores son iguales, deben serlo los numeradores. Para ello, debe cumplirse:
cuya solución es: A
1
3 ,B
11
30 ,C
3
10
1 A 2B 2C
2
3
A 8B 2C
6A 6B 4C
y por lo tanto la función racional inicial queda simplificada (después de arreglar un poco los
numeradores) como:
1
x 1 11
6
30 x 2
3
10 x 3
3x 3 3
x 3 3x 2
En este caso el polinomio denominador se descompone como x 1 x 1 x 2 , que, como se ve,
2 Descomponer en fracciones simples la siguiente función racional:
tiene una raíz múltiple. La descomposición en fracciones simples se hace así:
3x 3 3
x 3 3x 2
x 1 A B
x 2
Para sumar el segundo miembro hay que tener en cuenta que el mínimo común múltiplo es
x 1 2 2 x . Lo demás se hace exactamente igual que en el ejemplo anterior.
x 1 2 C
3 Descomponer en fracciones simples la siguiente función racional: x 1
x 3 2x 4
El denominador admite la factorización x 2 2x 2 x 2 (es decir, tiene una raíz real simple y dos
complejas). La descomposición en fracciones simples se hace así:
1 x
x3 4 2x
xA Bx C
2
x 2 2 2x
Se suman las fracciones del segundo miembro (el mcm es x 2 2x 2 x 2 ) y se efectúa el resto
como en el primer ejemplo.
Puede haber más formas que las tres indicadas, pero son combinaciones de las anteriores. Si, por
ejemplo, sale una raíz real simple a, una real triple b y dos complejas dobles se hace así:
x x b 2 x D
x b 3 Ex A
a
B
b
C
F
x2 mx n Gx H
x 2 mx n 2
pero nunca se van a plantear en el curso situaciones tan complejas.
Dominio de una función f x es el conjunto de valores de x para los que está definida la función. Por
ejemplo, la función real de variable f x real
x 0, pues 1
Dominio de una función
1 x no está definida en el campo de los números reales para
0 no es ningún número real (no se puede efectuar esa operación, aunque sí su límite, que
tiene a infinito).
Para determinar el dominio de una función deben tenerse en cuenta algunas reglas elementales. Por
ejemplo, si la función es racional, el denominador no puede ser cero; si la función es una raíz cuadrada, el
radicando no puede ser negativo; si la función es logarítmica, la expresión dentro del logaritmo debe ser
mayor que cero.
Ejemplos
Calcular el dominio de la función real de variable real: f x x 3 2x 2 13x 10
Los valores de la x tienen que ser tales que hagan al radicando mayor o igual a cero, puesto que la raíz
de un número menor que 0 no está definida en el campo de los números reales.:
x 3 2x 2 13x 10 0

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o, lo que es lo mismo, factorizando:
x 1
x 2
x 5 0
Para que se cumpla que el producto de los tres factores es mayor que cero (es decir, positivo) debe
cumplirse, por ejemplo, que los tres sean positivos, o que dos sean negativos y uno positivo. Lo mejor es
hacer un cuadro que permita estudiar el signo en cada factor a x ; y el signo de la expresión total. Este
cuadro tendrá dos entradas: una de ellas (vertical) son los factores y el producto de ellos, y la otra todos los
intervalos abiertos de la recta de los números reales que quedan delimitados por las raíces
, 5 1
1,2
2,
correspondientes. En este caso, como las raíces son 5, 1 y 2, los intervalos en que queda dividida la
recta de los números reales son: , 5, , y ).
, 5
5, 1
1, 2
2,
x 1
x 2
x 5
x 1
x 2
x 5
Para ver el signo de cada factor imaginamos cualquier número que esté comprendido dentro del
intervalo correspondiente. Por ejemplo, en
, 5 podemos imaginar el valor 10; en
5, 1 el 3; en
2 1, el 1.25, y
2, en . el 10. Para rellenar la primera fila, si hemos pensado en el 10, veremos que
1 x 10 1 tiene signo
negativo; 2 x 10 2 tiene signo
negativo; 5 x 10 5 tiene signo
también negativo; y por tanto el producto de los tres factores es negativo. Así hacemos con las otras filas:
1 2
1
2
5
5
, 5
x x x x x x
– – – –
1 5, –
–
2 1, – –
Por lo tanto, está claro que el polinomio es positivo en los intervalos
5,1 y . , lo que significa
2,
que la raíz x3 2x 2 13x 10 tiene solución para valores que estén dentro de esos intervalos. Siempre
hay que probar también con los valores de las raíces del polinomio, que son: 5, 1 y 2. Para los tres
valores el polinomio da 0, luego también forman parte del dominio. Por lo tanto, el dominio lo escribimos
y al haber escrito intervalos cerrados en vez de abiertos queremos indicar que los extremos
2,
de esos intervalos van incluidos (excepto , que no es un número).
5,1
2,
Calcular el dominio de la función f
x log
2x 3
Para que la función esté definida la x tiene que tener tales valores que se cumpla: 2x 3 0. Por
tanto, despejando la x de esa inecuación nos queda: 3 x . El dominio de esa función es, entonces,
2
3
2 , (en este caso el intervalo es abierto por la izquierda, porque si se incluye el propio valor 3 la 2
expresión dentro del logaritmo da cero, y el log0 no está definido).
x x
Calcular el dominio de la función f
x 5
8
Aquí la función no está definida si el denominador es cero, es decir, está definida para x 8 0. Por lo
tanto, está definida para cualquier valor que no sea 8. Ahora bien, también hay que tener en cuenta la
raíz cuadrada contenida dentro de la función. Esa raíz sólo está definida para valores de x que cumplen:
x 5 0, es decir: x 5 0, y por tanto: x 5, es decir, el dominio es
8, lo que se puede representar por
, 5 8
, 5 excluyendo el valor
Gráfica de una función es su representación en un sistema de coordenadas, normalmente
cartesiano. Se van dando valores arbitrarios a la variable independiente, x, y calculando los
correspondientes a la función f (f x se representa en la coordenada y).
x
x Representar gráficamente la función x f 2 10
3
Damos valores a la x (unos ocho valores) y calculamos los de la f x
, representándolos en una tabla.
Por ejemplo, si x 0, f x 10 . 3 Luego representamos todos los puntos y los unimos por una línea:

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10
8
6
4
2
0
-4 -2 0 2 4
La función de la figura se dice que es decreciente entre x y x 0 y creciente entre x 0 y
x . Esta función se dice que es par porque cumple que f x f x . Es decir, por ejemplo:
f 2 f 2 14
3
Operaciones con funciones Las funciones se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir siguiendo
las reglas algebraicas básicas. También cabe componerlas y calcular la llamada función inversa,
operaciones estas últimas que vimos en un tema anterior.