Temas 20 y 21: Funciones y polinomios

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Ni que decir tiene que la aplicación del método de Ruffini a x 3 3x 2 4x 4 puede hacerse (y es así
como se hace) en un sólo paso:
Atención y consejos:
1 1 4 4
1 1 0 4
1 0 4 0
2 2 4
2
1 2 0
2
1 0
Cuando el término de mayor grado del polinomio tenga un coeficiente m distinto de 1 (en el ejemplo
anterior m 3 era este coeficiente debe aparecer en la factorización final. A veces aparece
automáticamente, como en el ejemplo anterior; otras lo detectaremos porque aparecerá al final del
algoritmo de Ruffini junto a un resto 0; si no aparece automáticamente, hay que ponerlo de todas formas al
final de la factorización.
Se recomienda que si se está aplicando Ruffini, al obtener un polinomio reducido de grado 2 deje
de aplicarse Ruffini y se obtengan las dos raíces contenidas en él igualando el polinomio de grado 2 a cero
y resolviendo la ecuación de segundo grado correspondiente
No se olvide sacar factor común todo lo que se pueda antes de empezar a factorizar; al sacar factor
común ya obtenemos como mínimo uno de los factores automáticamente. Tras sacar factor común si el
polinomio es de primero, segundo grado o bicuadrado –este último es el que tiene potencias cuarta y
segunda únicamente– lo mejor es igualarlo a cero y solucionar la ecuación; ésta es la forma más rápida de
encontrar las raíces en estos casos.
Cuando se está tratando de resolver una ecuación de segundo grado (o de cuarto, sexto, etc...) y se
comprueba que las raíces son complejas, no hace falta calcularlas; se deja el polinomio de segundo grado
(o de cuarto, sexto, etc...) tal como está y él constituye de por sí un factor único. Por ejemplo:
x3 x 2 x 1 x 1 x 2 1 (las dos raíces contenidas en x 2 1 son complejas, como puede
comprobarse fácilmente).
Ejemplos. Factorizar los siguientes polinomios:
2x 3 x 2 (Sol: x 2 2x 1 )
4x 4 6x 3 2x 2 2x 2 (Sol: 2 x 1 x 1 2x 2 x 1 ; en éste vemos que la raíz 1 tiene
multiplicidad 2, pues aparece dos veces)
4x 3 2x 2 16x 8 (Sol: 4 x 2 x 2 x 1
2 )
Descomposición de funciones racionales en funciones simples. Una función polinómica racional
es un cociente de polinomios. A veces conviene descomponer ese coeficiente en fracciones más simples
(en particular, ello es muy útil a la hora de calcular ciertas integrales).
Veremos con tres ejemplos cómo se hacen estas descomposiciones.
1. Descomponer en fracciones simples la siguiente función racional:
x 3 2x 3
2x 3 4x 2 10x 12
Se factoriza el polinomio denominador: 2x3 4x2 10x 2 12 1 x 2 x 3 x
Como vemos, sólo tiene raíces reales y ninguna es múltiple.(esto es, ninguna se repite) En estos
casos la descomposición se hace así:
x3 2x
2x
3
3 4x2 12 10x x x 3
1 2 x 2
1 2 2 3
A B C
donde A, B y C son incógnitas a determinar. Para ello efectuamos la suma indicada en el segundo
miembro. No es difícil, porque el mínimo común múltiplo es en este caso (y en todos los semejantes en que
no hay raíces múltiples) el producto de los tres factores que constituyen los denominadores:
x x x :
2 x 1 A B
x 2 C
x 3 A x 2 x 3 B 2 x 1 x 3 C 2 x 1 x 2
2 x 1 x 2 x 3
Ax 2 2Bx2 2Cx2 8Bx 2Cx 6A 6B 4C
2 x 1 x 2 x 3
Ax