Temas 20 y 21: Funciones y polinomios

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70 TREVERIS multimedia El cociente es x © 2 . En determinados problemas nos va a ser útil aplicar el llamado algoritmo de la división: Dividendo divisor cociente © resto divisor para expresar la división de otra forma. En este caso quedaría: x3 2x2 1 x2 x © 2 © 3x 7 3 x2 3 Raíces de un polinomio y factorización. Si un polinomio lo igualamos a 0 obtenemos una ecuación (del grado del polinomio); sus soluciones se llaman raíces del polinomio. Un polinomio tiene tantas raíces como grado. Pueden ser todas reales, todas complejas o reales y complejas. Se puede demostrar que si todas las soluciones son números reales el polinomio se puede escribir también como x a x b ... m siendo a,b, etc., las raíces, y m el coeficiente del término de grado más alto del polinomio. El polinomio se dice que ha quedado factorizado. Para encontrar las raíces puede recurrirse al método anterior (igualar el polinomio a cero y solucionar la ecuación, siempre que sea posible) o aplicar el método de Ruffini, que ahora veremos. Un consejo: si en el polinomio se puede sacar factor común x, hacerlo; de esta manera habremos encontrado automáticamente la primera raíz: x 0, como veremos en el siguiente ejemplo. Calcular las raíces del polinomio 4 3x 3x3 12x2 © 12x. Lo primero que hacemos, ya que se puede, será sacar factor común, en este caso 3x : x 3x 3 x 2 4x © 4 Con ello ya hemos empezado a factorizar el polinomio automáticamente. Obsérvese que la expresión anterior equivale a escribirla: x 0 x 3 3 3x 2 4x © 4 que empieza a tener una forma parecida a la m general a x b x ... El polinomio x 3 3x 2 4x © 4 contiene otras tres raíces (pues es de grado 3) que vamos a tratar de extraer por el método de Ruffini. En la práctica, se usa este método para saber si el polinomio tiene alguna raíz que sea divisor de su término independiente (que es el que no lleva x; en este caso, 4 . Es decir, el método sirve para probar si © 1, 1, © 2, 2, © 4 o 4 son raíces del polinomio x 3 3x 2 4x © 4 . Empezaremos probando el © 1. Se escriben en una línea los coeficientes del polinomio: 1 1 4 4 y en una segunda, abajo, un poco a la izquierda, la raíz que queremos probar: 1 1 1 4 4 Se baja el primer número de la primera línea (en este caso 1) a una tercera línea: 1 1 1 4 4 y se multiplica la raíz que queremos probar (en este caso 1) por ese valor que hemos bajado, poniéndose el resultado en la segunda fila y segunda columna, sumándose con el que tiene arriba: 1
Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales 71 1 1 4 4 1 1 1 0 Hecho esto se repiten las mismas operaciones: el 1 (raíz que queremos probar) multiplica al 0 (resultado de la suma anterior), poniéndose el producto (0) en la segunda fila debajo del 4, para proceder a la suma y continuar así. 1 1 4 4 1 1 0 4 1 0 4 0 Si al final obtenemos como resultado 0 (última fila, última columna), como es el caso, eso es pueba de que el 1 sí es raíz de ese polinomio. Si no, habría que probar con el 1, luego con el 2, etc. Ahora el polinomio inicial queda parcialmente factorizado así: En esete caso, como decimos, hemos encontrado una raíz, que es 1. Entonces, el polinomio al que le estábamos aplicando Ruffini queda ya parcialmente factorizado como x 0 x 1 x 3 2 4 ¿De dónde sale x2 4 ? De los coeficientes finales obtenidos: 1 0 4 0 , quitando el último (el 0), que corresponden a un polinomio de un grado menor al que fue sometido a la regla de Ruffini (que era de grado 3:, no olvidemos que era: x 3 3x 2 4x 4 ). Es, por tanto, el polinomio 1x 2 0x 4 , es decir, x 2 4 . Esta es una propiedad del método de Ruffini: sirve para descomponer un polinomio en un producto de a x (siendo ”a” la raíz obtenida por el método) por otro polinomio de un grado menor cuyos coeficientes son los de la última fila (exceptuando el 0 final). A su vez, x 2 4 contiene dos raíces (pues de grado 2). Para calcularlas aplicamos Ruffini a este polinomio, empezando por escribir sus coeficientes 1 0 4 en la primera línea y siguiendo el método anterior. Probamos de nuevo con 1 , porque puede ocurrir que 1 sea lo que se llama una raíz múltiple (doble, triple, según salga como raíz dos, tres veces, etc.). 1 0 4 1 1 1 1 1 3 Como no se obtiene resto 0, no es raíz el 1. Probamos ahora con 2 : 1 0 4 2 2 4 1 2 0 Vemos que 2 es raíz. Como los coeficientes finales obtenidos (quitando el 0) son 1 2 , hemos conseguido convertir x 2 4 en el producto x 2 x 2 . A x 2 le aplicamos de nuevo Ruffini. En este caso es obvio que la raíz es 2 : 1 2 2 2 1 0 Obtener al final un 1 y de resto 0 es prueba de que hemos conseguido sacar todas las raíces a x 3 3x 2 4x 4 por el algoritmo de Ruffini.(lo cual no siempre tiene por qué ocurrir) Si en vez de 1 0 al final hubiéramos obtenido m 0 el resultado final de la factorización en factores tipo x a habrá que multiplicarlo por m. es decir, m x a x b x c ... Resumiendo, en este caso la factorización de 3x 4 3x 3 12x 2 12x ha quedado: 3 x 0 x 1 x 2 x 2
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