Tema 11: Funciones de varias variables y funciones vectoriales ...

Tema 11: Funciones de varias variables y funciones vectoriales. Límites
y continuidad
1 Funciones de varias variables
Observación 1.1 Conviene repasar, enestepunto,lodadoenelTema6paratopología en R n : bolas, puntos
interiores y de acumulación, conjuntos abiertos, cerrados, actados y compactos, en especial en el plano R 2 yenel
espacio tridimensional R 3 .
Definición 1.2 Llamaremos función real de varias variables (o campo escalar) a toda función
f : R n → R
Yllamaremosfunción vectorial de varias variables (o campo vectorial) a toda función
f : R n → R m
En ambos casos se dice que f es una función de n variables.
Ejemplo 1.3
i) f : R 2 → R dada por
f(x, y) =x 2 y + e cos y log x − 3
es una función real de 2 variables.
ii) f : R 3 → R dada por
f(x, y, z) =cos(x − y − 2) + p z 5 − 1tan(e x+y )
es una función real de 3 variables.
iii) f : R n → R dada por
√
x
f(x 1 ,x 2 , ..., x n )=e
2 1 +x2 2 +...+x2 n
es una función real de n variables.
iv) f : R 3 → R 2 dada por
f(x, y, z) =(x − y + z − 20,ztan[e zy ])
es una función vectorial de 3 variables y 2 coordenadas.
v) f : R 4 → R 5 dada por
f(x, y, z, t) =(x − y, x cos z,t 2 + e y , 0, 3 − xyzt)
es una función vectorial de 4 variables y 5 coordenadas.
Definición 1.4 Sea f : R n → R m (una función vectorial). Llamaremos funciones coordenadas de f a las funciones
f 1 ,f 2 , ..., f m : R n → R
que verifican que
f(x 1 ,x 2 , ..., x n )=(f 1 (x 1 ,x 2 , ..., x n ),f 2 (x 1 ,x 2 ,...,x n ), ..., f m (x 1 ,x 2 , ..., x n ))
En esta situación pondremos
f =(f 1 ,...,f m ).
Observación 1.5 Para el ejemplo iv) anterior se tiene que
f : R 3 → R 2
tiene por funciones coordenadas
f 1 ,f 2 : R 3 → R
1

dadas por
f 1 (x, y, z) = x − y + z − 20
f 2 (x, y, z) = z tan[e xy ]
Para el ejemplo v) anterior se tiene que
f : R 4 → R 5
tiene por funciones coordenadas
f 1 ,f 2 ,f 3 ,f 4 ,f 5 : R 4 → R
dadas por
f 1 (x, y, z, t) =x − y f 2 (x, y, z, t) =x cos z f 3 (x, y, z, t) =t 2 + e y f 4 (x, y, z, t) =0 f 5 (x, y, z, t) =3− xyzt
Igual que en el caso de funciones reales de una variable real (f : R → R) se entiende por dominio de una función
de varias variables al conjunto de puntos de R n en el cual tienen sentido todas las expresiones que definen a la función.
Si f =(f 1 ,f 2 , ..., f m ) es una función vectorial se tiene además que
Domf = Domf 1 ∩ ... ∩ Domf m .
De todos modos, al igual que ocurría con funciones reales de variable real, el dominio puede estar restringido sin
necesidad de ser el dominio máximo posible.
Observación 1.6 En el ejemplo i) anterior el dominio está formado por todos los puntos (x, y) que cumplen que
x>0.
En el ejemplo ii) el dominio está formado por todos los puntos (x, y, z) de R 3 que verifican z 5 −1 ≥ 0 y cos(e x+y ) 6=
0, simultáneamente.
En el ejemplo iii) el dominio es todo R n , así como en el ejemplo v).
Finalmente en el ejemplo iv) el dominio está formado por todos los puntos (x, y, z) de R 3 que verifican cos(e zy ) 6= 0.
El dominio de la función
1
f(x, y) =cos(
x 2 + y 2 )
es todo R 2 salvo el punto (0, 0) (observar que es el único punto que hace nula la suma de cuadrados x 2 + y 2 .
Para la función
g(x, y) = x2 + y 2
xy
el dominio es
Domg = {(x, y) ∈ R 2 tales que xy 6= 0},
en definitiva todo R 2 salvo los ejes coordenados x =0e y =0.
Y el dominio de la función h(x, y) =( x2
y , log(x − y), √ x 2 − 1) es
Domh = {(x, y) ∈ R n : y 6= 0,x− y>0,x 2 − 1 ≥ 0}.
La gráfica de una función f : R n → R m es el siguiente conjunto de puntos de R n+m
Casos donde puede visualizarse la gráfica:
{(x 1 ,x 2 , ..., x n ,f(x 1 ,x 2 , ..., x n )) ∈ R n+m :(x 1 ,x 2 , ..., x n ) ∈ Domf}.
• Una función real de variable real f : R → R. En este caso la gráfica es una curva en R 2 , que está formada por
todos los puntos de la forma (x, f(x)), donde x recorre el dominio de f. Ésta es la situación que hemos analizado
en el Tema 6 de la asignatura.
• Una función real de dos variables f : R 2 → R. Enestecasolagráfica es una superficie, queestáformada
por todos los puntos de la forma (x, y, f(x, y)), donde (x, y) recorre el dominio de f. Éstaserálasituaciónque
analizaremos en el presente tema y en los restantes.
2

• Una función vectorial de una variable f : R → R n , cuando n =2, 3. Enestecasotenemosloquesedenomina
una curva parametrizada en R 2 ó R 3 . Ésta es una situación especial que se visualiza de otro modo que no vamos
a tratar con detalle aquí.
A continuación vemos algunas superficies:
Esfera x 2 + y 2 + z 2 =1 Cilindro x 2 + y 2 =1 Cono z 2 = x 2 + y 2
Paraboliode z = x 2 + y 2 Silla de montar z = x 2 − y 2 Toro z 2 =1− ( p x 2 + y 2 − 2) 2
La figura ocho Una espiral La hélice circular
Debidoalacomplejidadexistenteengeneralalahora de abordar el problema de la representación gráfica de una
superficie z = f(x, y). se hace necesario otro recurso que facilite en buena medida esta labor. Así podemos utilizar
las curvas de nivel, que son las proyecciones sobre el plano OXY de los puntos de la superficie que están a cierta
3

altura constante (para cada altura k al hacer la proyección sobre el plano OXY de la superficie obtenemos la curva
de nivel {(x, y) :f(x, y) =k). Algunas pinceladas sobre esto comentaremos en el apéndice.
2 Límite de funciones de varias variables
La idea intuitiva de límite es similar a la del caso de funciones reales de una variable real, con las generalizaciones
correspondientes.
Consideremos una función real de varias variables
f : Ω ⊆ R n → R
y x 0 =(a 1 ,a 2 , ..., a n ) un punto de acumulación de Ω (recordemosqueestosedacuandotodabolacentradaenx 0
contiene infinitos puntos de Ω; en adelante cuando estudiemos el límite en un punto siempre supondremos que estamos
con un punto de acumulación).
Diremos que L ∈ R es el límite de f cuando
x =(x 1 ,x 2 , ..., x n ) tiende hacia x 0 atravésdeΩ (también se dice que es el límite restringido a Ω) cuando
se cumple que
para todo ε > 0 existe un ∂ > 0 tal que si x ∈ B(x 0 , δ),x∈ Ω, x 6= x 0 , entonces |f(x) − L| < ε. Esto lo denotaremos
de alguna de las siguientes maneras
lim
f(x 1,x 2 , ..., x n )=L lim f(x) =L lim
(x 1,x 2,...,x n)→(a 1,a 2,...,a n),x∈Ω x→x 0 ,x∈Ω
x → x 0
x ∈ Ω
f(x) =L
Observación 2.1 Rigurosamente hablando es preciso, como se indica anteriormente, para siquiera plantear la existencia
del límite de una función f en un punto x 0 atravésdeunconjuntoΩ, quedichopuntoseadeacumulacióndel
conjunto. En lo sucesivo, aunque no hagamos mención de tal detalle, cada vez que se plantee un límite, supondremos
que ocurrirá así, es decir, el punto será de acumulación del conjunto, aunque no hagamos mención expresa de ello.
Es conveniente especificar claramente el conjunto Ω enelquesetomanlospuntosatravésdeloscualespretendemos
aproximarnos hacia x 0 , pues la cosa puede variar si lo cambiamos. El caso más habitual es que pretendamos
aproximarnos al punto x 0 a través del conjunto más amplio posible, el dominio de la función, para el que pondremos
lim f(x) =L y al que nos referiremos simplemente diciendo que L es el límite de f cuando x tiende hacia x 0 (como
x→x 0
√ √
ocurría con lim x =0ó lim log x = −∞, que podemos poner, respectivamente, lim
x→0 + x→0 +
x =0ó lim log x = −∞,
x→0
x→0
dando por hecho que el límite sólo puede hacerse por la derecha, es decir, a través del conjunto {x : x>0}).
En lo sucesivo, las propiedades que enunciemos acerca del límite a través del dominio podrán ser generalizadas
para límites a través de algún conjunto Ω.
De modo similar se define el límite de una función vectorial de varias variables
sólo que L no es un número real sino un vector
f : R n → R m
L =(L 1 , ..., L m ) ∈ R m
y entonces lo que debe ser inferior que ε es la distancia entre f(x) y L (esto último puede escribirse de modo equivalente
diciendo que f(x) ∈ B(L, ε)).
En principio la idea inicial que tenemos de límite consiste, como ocurría para las funciones reales de una variable,
es sustituir en el punto:
x
Ejemplo 2.2 1. lim
2 +y 2 −2
(x,y)→(0,1)
1+x cos y = −1
1 = −1
2. lim
(x,y)→(−2,π) [sin y − 3cos(yx)]2 =[sinπ − 3cos(−2π)] 2 =[0− 3] 2 =9
3. lim
(x,y,z)→(1,−1,0) x2 y 3 (z +2)− 4=1 2 (−1) 3 · 2 − 4=−2 − 4=−6
4

4. lim
(x,y)→(3,0) ( x e y , y−1
3x , 5) = ( 3 1 , −1
9 , 5) = (3, − 1 9 , 5)
Veamos cómo puede cambiar la cosa si nos acercamos a través de diversos conjuntos:
Ejemplo 2.3 Dada la función
f(x, y) = 9x2 − y 2
x 2 + y 2
definida para todo punto excepto para el origen (0, 0), vamos a determinar el valor del límite de la función cuando nos
acercamos al origen, a través de los siguientes conjuntos:
1. La recta y = x,
2. La recta y =3x,
3. La parábola x = y 2 ,
9x 2 − y 2
lim
(x,y)→(0,0),y=x x 2 + y 2 =lim 9x 2 − x 2
x→0 x 2 + x 2 = lim 8x 2
x→0 2x 2 =4
9x 2 − y 2
lim
(x,y)→(0,0),y=3x x 2 + y 2 =lim 9x 2 − 9x 2
x→0 x 2 +9x 2 = lim 0
x→0 10x 2 = lim 0=0
x→0
9x 2 − y 2
lim
(x,y)→(0,0),x=y 2 x 2 + y 2 =lim 9y 4 − y 2
y→0 y 4 + y 2 =lim 9y 2 − 1
y→0 y 2 +1 = −1
También es posible que los límites de funciones de varias variables sean infinitos, generalizando la definición dada
para funciones reales de una variable. Por ejemplo una función f : R n → R posee límite +∞ cuando x tiende a x 0 si
para todo M existe un δ > 0 de modo que si x ∈ B(x 0 , δ), x 6= x 0 , entonces f(x) >M(se puede extender
la situación al caso en que el límite valga −∞ ó ∞). Para una función vectorial f : R n → R m pondremos que
lim f(x) =∞ cuando para todo M>0 existe un δ > 0 de modo que si x ∈ B(x 0 , δ) x 6= x 0 ,entonceselmódulodel
x→x 0
vector f(x) es mayor que M (así que la imagen de la función se sale de toda bola finita que escojamos).
Ejemplo 2.4
x+1
lim
(x,y)→(0,0)
y
= 1 0 = ∞ lim 1+x
(x,y)→(2,0)
(x−2) 2 +y
= 3 2 0
=+∞ lim (2y, 3
(x,y)→(1,−3)
x−1 )=∞
2.1 Operaciones con límites
Para determinar la existencia del límite de una función vectorial basta estudiar el límite de sus funciones coordenadas.
De este modo nos centraremos en estudiar límites de funciones reales. Esto se debe al siguiente resultado:
Propiedad: Sea
f =(f 1 ,f 2 , ..., f m ):R n → R m
y x 0 ∈ R n . Se tiene que existe lim f(x) yvaleL =(L 1 ,L 2 , ..., L m ) si y sólo si existen los límites de las funciones
x→x 0
coordenadas
lim f 1 (x), lim f 2 (x)..., lim f m (x)
x→x 0 x→x 0 x→x 0
yvalenL 1 ,..., L m , respectivamente. En conclusión
µ
lim
x→x 0
f(x) = lim
x→x 0
(f 1 (x),f 2 (x), ..., f m (x)) =
Ejemplo 2.5 Para f : R 3 → R 2 dada por
f(x, y, z) =(x − y + z − 20,ztan[ π 4 ezy ])
lim f 1 (x), lim f 2 (x), ..., lim f m (x)
x→x 0 x→x 0 x→x 0
se tiene que
lim
(x,y,z)→(1,0,−1)
f(x, y, z) = lim (x − y + z − 20,ztan[π (x,y,z)→(1,0,−1) 4 ezy ]) =
= ( lim
(x,y,z)→(1,0,−1)
[x − y + z − 20], lim z tan[π (x,y,z)→(1,0,−1) 4 ezy ]) =
= (−20, − tan π 4 )=(−20, −1) 5

Y al igual que ocurría para el caso de funciones reales de una variable real se tratan las operaciones usuales
para las funciones de varias variables, siempre que tengan sentido. Así:
Propiedad: Sean f : R n → R m y g : R n → R m funciones para las que existe el límite y es finito cuando la variable
tiende a un punto x 0 yseanα y β números reales. Entonces
lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x)± lim g(x)
x→x 0 x→x 0 x→x 0
lim [αf(x)] = α
x→x 0
Además en el caso en que m =1(es decir, cuando las funciones no son vectoriales sino reales) se tiene:
Sean f,g : R n → R funciones para las que existe el límite y es finito cuando la variable tiende a un punto x 0 .
Entonces
lim f(x)
f(x)
lim [f(x) · g(x)] = lim f(x)· lim g(x) lim
x→x 0 x→x 0 x→x 0 x→x 0 g(x) = x→x 0
lim g(x)
x→x 0
(esto último tiene sentido si lim g(x) 6= 0).
x→x 0
Además, estos resultados también son válidos para algunas situaciones de las distintas de las anteriores, como
algunas en las que interviene algún infinito (de modo análogo a como ocurría para funciones de una variable: ver la
Sección ”Operaciones Simbólicas” del Tema 6):
Ejemplo 2.6
lim e −y
x 2 = e −∞ =0
(x,y)→(0,1)
Nosplanteamosahoralarelación existente entre los límites a través de diferentes conjuntos. Setieneque:
Propiedad: Dada f : Ω ⊆ R n → R m y un punto x 0 , si lim f(x) existe y vale L entonces para todo
x→x 0 ,x∈Ω
subconjunto Ω 0 ⊆ Ω se tiene que lim f(x) existe y vale L.
x→x 0 ,x∈Ω0 En el caso particular de que pretendamos realizar el límite (a través del dominio) obtenemos que si existe lim f(x)
x→x 0
yvaleL entonces para todo conjunto Ω 0 ⊆ Domf se tiene que existe lim f(x) yvaleL. Este resultado nos da
x→x 0,x∈Ω 0
un criterio que proporciona nuevas situaciones en las que podemos afirmar que el límite no existe
Propiedad: Sea f : Ω ⊆ R n → R m y un punto x 0 .
1. Si para algún conjunto Ω 0 ⊆ Ω se tiene que no existe
lim f(x)
x→x 0 ,x∈Ω 0
entonces no existe
lim f(x)
x→x 0 ,x∈Ω
2. Si para ciertos conjuntos Ω 0 , Ω 00 ⊆ Ω se tiene que existen
lim f(x)
x→x 0 ,x∈Ω 0
lim f(x)
x→x 0 ,x∈Ω00 y ambos son distintos, entonces no existe lim f(x).
x→x 0,x∈Ω
En definitiva, el resultado anterior nos dice que cuando el límite a través de un subconjunto no existe o
bien cuando el límite a través de dos subconjuntos existe pero tiene valor distinto, entonces,el límite no
existe.
Ejemplo 2.7 El límite
1
lim
(x,y)→(0,0) (y3 +1)cos
x 2 + y 2
no existe porque el límite a través del conjunto y =0,esdecir
1
lim
(x,y)→(0,0),y=0 (y3 +1)cos
x 2 + y 2 = lim cos 1 x→0 x 2
no existe.
Nota: Hemos tomado el conjunto
y hemos visto que el límite a través de él no existe.
Ω = {(x, y) :y =0}
6

Ejemplo 2.8 La función
g(x, y) = x − y
x + y
definida en todo punto posible no tiene límite en el punto (0, 0) pues a través del conjunto
su límite existe y vale 0 y a través del conjunto
su límite existe y vale − 1 3 .
Ω 0 = {(x, x) :x ∈ R} = {(x, y) :y = x}
Ω 00 = {(x, 2x) :x ∈ R} = {(x, y) :y =2x}
A partir únicamente de la definición no resulta fácil en general estudiar el límite. Por ello se hacen necesarias
algunas herramientas que nos aporten información acerca del límite. Vamos precisamente en los siguientes apartados
a tratar algunas de ellas.
2.2 Límites direccionales
A la hora de estudiar el límite de una función de dos variables mediante límites a través de algunos conjuntos es típico
considerar conjuntos del tipo rectas, parábolas y en general curvas de algunas de las formas
y = g(x)
x = h(y)
Una situación especial es el caso de los límites a través de rectas que contienen al punto, denominados también
límites direccionales. Estas rectas, como ya sabemos, son las de la forma
y − b = m(x − a) junto con la recta vertical x = a.
Notemos que la existencia de los límites direccionales no garantiza la existencia del límite, ni siquiera cuando todos
ellos coinciden. Lo más que se puede decir es lo siguiente:
Consecuencia: Si no existe algún límite direccionaloalmenosdosdeellossondistintosentoncesno
existe el límite (a través del dominio).
Nota: Como ya vimos en una propiedad anterior se puede generalizar el resultado anterior y deducir que si el
límite a través de al menos dos conjuntos da un valor distinto (pueden ser dos direccionales, dos no direccionales o
uno direccional y otro no direccional) entonces el límite no existe.
Ejemplo 2.9 Calcular los límites direccionales de la función
en el punto (0, 0). Éstos son
lim
(x,y)→(0,0),y=mx
x 2 − y 2
x 2 +2y 2
x 2 −y 2
x
x 2 +2y
= lim
2 −m 2 x 2
1−m 2 x→0 x 2 +2m 2 x
= lim
2
2 x→0 1+2m
= 1−m2
2 1+2m 2
lim
(x,y)→(0,0),x=0
x 2 −y 2 −y
x 2 +2y
=lim
2
2 y→0 2y
= − 1 2 2
Como consecuencia vemos que el límite no existe puesto que hay límites direccionales que difieren (basta observar que
hay límites direccionales distintos: por ejemplo el último límite, que vale − 1 2
, y alguno de los otros, por ejemplo para
m =0,cuyovalores1; oporejemploparam =0,cuyovalores1 yparam =1,cuyovalores0).
Ejemplo 2.10 Calcular los límites direccionales de la función x−1
y+1
Éstos son
lim
(x,y)→(1,−1),y+1=m(x−1)
lim
(x,y)→(1,−1),x=1
x−1
y+1 =lim
x→1
x−1
y+1 = lim
y→−1
en el punto (1, −1).
x−1
m(x−1) =lim
x→1
0
y+1 = lim
y→−1 0=0
1
m = 1 m
Como consecuencia vemos que el límite no existe puesto que hay límites direccionales que difieren (por ejemplo para
m =1da 1 yparam =2da 1 2
; incluso hay uno que da ∞, param =0).
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Ejemplo 2.11 Comprobar que no existe el siguiente límite
2x − y − 3x 2
lim
(x,y)→(0,0) −2x + y
a pesar de que los límites direccionales existen y coinciden, analizando también el límite a través del conjunto (es una
parábola)
y = −3x 2 +2x
Los límites direccionales valen
2x−y−3x
lim
2 2x−mx−3x
(x,y)→(0,0),y=mx
−2x+y
=lim
2 2−m−3x
x→0 −2x+mx
= lim
x→0 −2+m
= 2−m
−2+m = −1
lim
(x,y)→(0,0),x=0
2x−y−3x 2
−2x+y
−y
=lim
y→0 y
=lim −1=−1
y→0
Pero el límite no existe porque el límite a través del conjunto mencionado es
2x − y − 3x 2 0
lim
= lim
(x,y)→(0,0),y=−3x 2 +2x −2x + y x→0 −3x 2 = lim 0=06= −1
x→0
Ejemplo 2.12 Comprobar que no existe el siguiente límite
lim
(x,y)→(0,0)
xy 2
x 2 + y 4
Ver que los límites direccionales, a pesar de ser todos iguales, resultan distintos del límite a través del conjunto x = y 2 .
Los límites direccionales valen
lim
(x,y)→(0,0),y=mx
lim
(x,y)→(0,0),x=0
y el límite a través del conjunto mencionado es
xy 2
lim
(x,y)→(0,0),x=y 2 x 2 + y 4 = lim
x→0
xy 2
xm
x 2 +y
= lim
2 x 2
x(1−m 4 x→0 x 2 +m 4 x
= lim
2 )
4 x→0
Ejemplo 2.13 Comprobar que el siguiente límite existe y vale 1
Los límites direccionales valen
lim [1 +
(x,y)→(−2,3),y−3=m(x+2)
1+x 2 m 4 = 0 1 =0
xy 2
0·y
x 2 +y
=lim
2 0
4 y→0 y
=lim
4 y→0 y
=lim 0=0
4 y→0
y 2 y 2
y 4 + y 4 =lim
x→0
(x +2)(y − 3)2
lim [1 +
(x,y)→(−2,3) (x +2 )2 +(y − 3) ] 2
y 4
2y 4 = lim 1
x→0 2 = 1 2
(x+2)(y−3)2 ]= lim
(x+2 )2 +(y−3) [1 +
2 (x,y)→(−2,3),y−3=m(x+2)
= lim [1 + (x+2) 3
x→−2 (x+2 )2 (1+m 2 ) ] = lim (x+2)
[1 +
x→−2 (1+m 2 ) ]=1+ 0
(1+m 2 ) =1+0=1
(x+2)(x+2)2 ]=
(x+2 )2 +m 2 (x+2) 2
lim [1 + (x+2)(y−3)2 ] =lim [1 + 0·(y−3)2
(x,y)→(−2,3),x=−2
(x+2 )2 +(y−3) 2 y→3 0+(y−3)
]=lim[1 + 0
2 y→3 (y−3)
] =lim [1 + 0] = 1
2 y→3
En este caso los límites direccionales coinciden, pero eso no implica la existencia del límite original, lo cual vamos
a hacerlo del siguiente modo: Para probar que el límite es 1 vamos a acotar la diferencia
¯
(x +2)(y − 3)2
¯1+
(x +2 )2 +(y − 3) − 1¯¯¯¯ 2
por algo que tiende a 0:
¯
(x +2)(y − 3)2
¯1+
(x +2 )2 +(y − 3) − 1¯¯¯¯ =
(x +2)(y − 3) 2
2 ¯(x +2 )2 +(y − 3)
¯¯¯¯ ≤
(x +2)(y − 3) 2
2 ¯ (y − 3)
¯¯¯¯ 2 = |(x +2)|
lo cual está claro que tiende a 0 (cuando (x, y) tiende a (−2, 3)). Así que de ahí se deduce que el límite de
cuando (x, y) tiende a (−2, 3) es 1.
(x+2)(y−3)2
(x+2 )2 +(y−3) 2
8

2.3 Cambio a coordenadas polares en R 2
Supongamos que tenemos una función
f : R 2 → R
para la que planteamos el límite en un punto x 0 =(a, b). Para hacer el límite
podemos probar haciendo el ”cambio de variable”
lim f(x, y)
(x,y)→(a,b)
x = a + ρ cos θ
y = b + ρ sin θ
El caso más sencillo y el que más habitualmente vamos a utilizar es cuando a =0,b=0,esdecir,cuandoestamoscon
el punto (0, 0), en el que queda así la cosa
x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
Concretamente se tiene la siguiente relación:
Propiedad: Supongamos que
1)
∃ lim f(a + ρ cos θ,b+ ρ sin θ) =L
ρ→0
2) Que este valor, L, nodependedeθ ∈ [0, 2π[.
3) Que existe una función F : R → R cumpliendo que lim F (ρ) =0ydemodoque
ρ→0
|f(a + ρ cos θ,b+ ρ sin θ) − L| ≤ F (ρ)
para todo ρ ytodoθ ∈ [0, 2π[
Entonces
Ejemplo 2.14 Para la función
en el punto (0, 0), setienequecomo
lim f(x, y) =L
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = x3 + x 2 − 2y 3 + y 2
x 2 + y 2
cos 3 θ − 2ρ 3 sin 3 θ + ρ 2 cos 2 θ + ρ 2 sin 2 θ
lim f(ρ cos θ, ρ sin θ) =lim
ρ→0 ρ→0 [ρ3 ρ 2 cos 2 θ + ρ 2 sin 2 ]=
θ
=lim [ ρ2 (ρ cos 3 θ − 2ρ sin 3 θ +cos 2 θ +sin 2 θ)
ρ→0 ρ 2 (cos 2 θ +sin 2 ]=lim[ ρ2 (ρ cos 3 θ − 2ρ sin 3 θ +1)
θ)
ρ→0 ρ 2 ]=lim[ρ cos 3 θ − 2ρ sin 3 θ +1]=1
· 1
ρ→0
para cualquier θ, así que nuestro candidato a límite es L =1porloquebuscaremosunafunciónF cumpliendo lo
requerido. Como se tiene que
|f(a + ρ cos θ,b+ ρ sin θ) − 1| = ¯¯ρ(cos 3 θ − 2sin 3 θ)¯¯ ≤
≤ ¯¯ρ cos 3 θ¯¯ +
¯¯2ρ sin 3 θ¯¯ ≤ ρ +2ρ =3ρ
tomaremos
ysetieneque
yenefecto
F (ρ) =3ρ
lim F (ρ) =lim 3ρ =0
ρ→0 ρ→0
lim f(x, y) =1
(x,y)→(0,0)
9

Ejemplo 2.15 Para la función
en el punto (0, 0), setienequecomo
g(x, y) = 2x2 +3y 2 − 2y 3
x 2 + y 2
cos 2 θ +3ρ 2 sin 2 θ − 2ρ 3 sin 3 θ
lim g(ρ cos θ, ρ sin θ) =lim
ρ→0 ρ→0 [2ρ2 ρ 2 cos 2 θ + ρ 2 sin 2 ]=
θ
=lim [ ρ2 (2 cos 2 θ +3sin 2 θ − 2ρ sin 3 θ)
ρ→0 ρ 2 (cos 2 θ +sin 2 ]=
θ)
=lim [2 cos 2 θ +3sin 2 θ − 2ρ sin 3 θ)] = 2 cos 2 θ +3sin 2 θ
ρ→0
depende de θ, entonces no existe el límite lim g(x, y).
(x,y)→(0,0)
Ejemplo 2.16 Comprobemoslaexistenciadellímite
lim
(x,y)→(0,1)
(y hallemos su valor) utilizando coordenadas polares
x 3
x 2 +(y − 1) 2
x = ρ cos θ
y = 1+ρ sin θ
En primer lugar vemos que el siguiente límite existe y no depende de θ, luego es nuestro candidato:
L =
(ρ cos θ) 3
lim
ρ→0 (ρ cos θ) 2 +(1+ρ sin θ − 1) 2 =lim ρ 3 cos 3 θ
ρ→0 ρ 2 cos 2 θ + ρ 2 sin 2 θ =
=
ρ 3 cos 3 θ
lim
ρ→0 ρ 2 (cos 2 θ +sin 2 θ) =lim ρ→0 cos3 θ =0
Ycomo
(ρ cos θ)
¯¯¯¯
3
(ρ cos θ) 2 +(1+ρsenθ − 1) 2 − L¯¯¯¯ =
(ρ cos θ) 3
¯(ρ cos θ) 2 +(ρsenθ) 2 − 0¯¯¯¯ = ¯¯ρ cos 3 θ¯¯ ≤ ρ → 0
en efecto se tiene que
x 3
lim
(x,y)→(0,1) x 2 +(y − 1) 2 =0
Nota: Observemos que hemos tomado
F (ρ) =ρ
Ejemplo 2.17 Para la función
h(x, y) =
xy2
x 2 + y 4
se tiene que como
lim h(ρ cos θ, ρ sin θ) =lim ρ cos θ sin 2 θ
ρ→0 ρ→0 cos 2 θ + ρ 2 sin 4 θ =0
para cualquier θ, nuestro candidato a límite es L =0. Pero ahora la búsqueda de F no resulta fructífera en este caso.
DehechocomosemostróenelEjemplo2.12setieneque
@ lim h(x, y)
(x,y)→(0,0)
Ejercicio 2.18 Comprobar la existencia del límite
lim (2 − (x +1) 3
(x,y)→(−1,2) (x +1) 2 +(y − 2) 4 )
calculando el límite utilizando el cambio a coordenadas polares
Solución: 2.
x = −1+ρ cos θ
y = 2+ρ sin θ
10

2.4 Límites iterados
Sea f : R 2 → R una función real de dos variables y (a, b) ∈ R 2 . Llamaremos límites iterados de f en el punto (a, b)
a los siguientes límites
L 1 = lim [lim f(x, y)] L 2 =lim [ lim f(x, y)]
x→a y→b y→b x→a
Observemos lo que hacemos, por ejemplo con el segundo límite iterado: En primer lugar fijamos la variable y (con
valores próximos pero distintos de b) y hacemos que la variable x se aproxime al punto a. Siestelímiteexistepara
todo valor de y posible (pero considerando y constante) entonces a la expresión dependiente de y resultante tenemos
ahora que hacerle el límite cuando y tiende hacia b.
Los límites iterados no tienen por qué existir. De hecho hayejemplosenlosquenoexisteningunooexistesólo
uno de los dos. Incluso aunque existan ambos no tienen por qué coincidir. Además la existencia de éstos no está
determinada completamente por la existencia del límite
lim f(x, y) =L
(x,y)→(a,b)
ni viceversa. A este respecto lo que sí podemos decir es lo siguiente:
Propiedad: Supongamos que ∃ lim f(x, y) =L. Entonces si existe alguno de los iterados L 1 ó L 2 entonces
(x,y)→(a,b)
éste coincide con el límite L.
Lo que estamos diciendo es que si existen L y L 1 entonces L = L 1 ;siexistenL y L 2 entonces L = L 2 ;ysiexisten
L, L 1 y L 2 entonces L = L 1 = L 2 .
Esto nos proporciona el siguiente criterio que nos da una situación en la que el límite
lim f(x, y)
(x,y)→(a,b)
no existe:
Propiedad: Si los límites iterados existen y no coinciden entonces no puede existir el límite. Si existe alguno de
los límites iterados y no coincide con el límite a través de algún subconjunto, entonces tampoco existe el límite.
Ejemplo 2.19 En los siguientes apartados todo se hace en el origen (0, 0):
1. Sea
Entonces
2. Sea
Entonces
f(x, y) = x + y
x − y
L 1 = lim [lim f(x, y)] =lim (lim
x→0 y→0 x→0 x−y )=lim x
x→0 x = lim 1=1
x→0
x+y
L 2 =lim [ lim f(x, y)] =lim ( lim
y→0 x→0 y→0 x→0 x−y ) =lim y
y→0 −y =lim −1=−1
y→0
Entonces @L = lim f(x, y)
(x,y)→(0,0)
y→0
x+y
f(x, y) = x2 − y
y 2 − x
x
L 1 =lim (lim
2 −y
x→0 y→0 y 2 −x )=lim x 2
x→0 −x =lim
x→0
x
L 2 =lim ( lim
2 −y
y→0 x→0 y 2 −x )=lim
y→0
Entonces
−y
y 2
−x =0
=lim − 1
y→0 y = ∞
@L
3. Sea
f(x, y) =x cos 1 y
Entonces
L 1 = lim (lim x cos 1
x→0 y→0 y )=@
L 2 =lim (lim x cos 1
y→0 x→0 y ) =lim
L = lim x cos 1
(x,y)→(0,0)
y =0
y→0 0=0
11

Notas: 1) @L 1 porque no existe lim x cos 1
y→0 y .
2) L 2 =0puesto que lim x cos 1
x→0 y
=0, porque estamos realizando el límite del producto de una cantidad que
tiende a cero, x, y otra que está acotada, cos 1 y
3) L =0ya que es el producto de una función que tiende a cero por otra que está acotada
Ejemplo 2.20 Para la función
f(x, y) =
x + y
x − y − 2
estudiemos en el punto (1, −1) la existencia del límite y de los iterados.
L 1 = lim (lim
x→1
L 2 = lim (lim
y→−1 x→1
y→−1
x+y
x−y−2
x+y
x−y−2 ) = lim
)= lim
y→−1
x→1
x−1
x−1 = lim
Entonces @L = lim
(x,y)→(1,−1)
Ejemplo 2.21 Para la función
f(x, y) = x + y − 2
x +2
estudiemos en el punto (−2, 4) la existencia del límite y de los iterados.
L 1 = lim
(lim
x→−2 y→4
L 2 =lim
y→4
(lim
x→−2
x+y−2
x+2 ) = lim
x→−2
x+y−2
x+2 ) = lim
y→−1
x→1 1=1
1+y
−y−1 = lim
y→−1 −1=−1
f(x, y)
x+2
x+2 = lim
Entonces @L = lim
(x,y)→(−2,4)
Ejemplo 2.22 Comprobar que no existe el siguiente límite
lim
(x,y)→(0,0)
a pesar de que los límites iterados existen y coinciden.
Los límites iterados valen
L 1 = lim (lim
x→0 y→0
L 2 =lim ( lim
y→0 x→0
3x + y
−3x − y − y 2
3x+y
−3x−y−y 2 ) = lim
x→0
3x+y
−3x−y−y
) =lim
2 y→0
@L
x→−2 1=1
y−4
0
= lim
y→−1 ∞ = ∞
f(x, y)
3x
−3x = lim
y
−y−y 2
Pero el límite no existe porque el límite a través del conjunto y = −3x vale
lim
(x,y)→(0,0),y=−3x
Ejemplo 2.23 Comprobemos que la función
3x + y
−3x − y − y 2 = lim
x→0
−1=−1
x→0
1
=lim
y→0 −1−y = −1
0
−9x 2 =lim 0=06= −1
x→0
posee límite en el origen pero los iterados no existen.
Como f es el producto de una cantidad acotada
f(x, y) =(x + y)sin 1 x sin 1 y
sin 1 x sin 1 y
por una cantidad que tiende a 0
se tiene que
(x + y)
lim
(x,y)→(0,0) (x + y)sin 1 x sin 1 y =0
12

Veamos qué pasa con uno de los iterados (el otro se haría igual), por ejemplo
Para simplificar la escritura y la explicación pongamos
L 1 = lim
x→0
[lim
y→0
f(x, y)] = lim
x→0
[lim
y→0
(x + y)sin 1 x sin 1 y ]
Se tiene que
A = x sin 1 x sin 1 y
B = y sin 1 x sin 1 y
C =(x + y)sin 1 x sin 1 y = A + B
@ lim
y→0
A
lim
y→0 B =0
Lo primero se tiene porque x sin 1 x
es una cantidad constante (estamos haciendo el límite con respecto de y), no nula
(pues se toma x próximoperodistintode0) ysin 1 y
oscila infinitasvecesenelintervalo[-1, 1] cuando la variable y
tiende a 0.
Lo segundo porque es una función que tiende a 0 (y) por otra acotada, sin 1 x sin 1 y
En consecuencia @ lim C. Esto es una propiedad general en cualquier tipo de límites (de una o varias variables,
y→0
incluso también en límites de sucesiones): la suma de una cantidad con límite (finito) con otra sin límite resulta otra
cantidad sin límite. La prueba es sencilla, pues si no fuese así, es decir, si ∃ lim C = k, tendríamosque
y→0
lim A =lim (C − B) =k − 0=k
y→0 y→0
peroyasabemosqueesonoesposiblepuessabemosqueA no tiene límite. Luego hemos demostrado que C no tiene
límite, es decir,
@ lim (x + y)sin 1
y→0 x sin 1 y
Ejemplo 2.24 Comprobar que no existe el siguiente límite
x − y − x 2
lim
(x,y)→(0,0) −2x +2y
a pesar de que los límites iterados existen y coinciden, analizando también el límite a través del conjunto (es una
parábola)
y = x + x 2
Los límites iterados valen
x−y−x
L 1 = lim [lim f(x, y)] = lim (lim
2
x→0 y→0 x→0 y→0 −2x+2y ) = lim x−x 2
x→0 −2x
= lim
x→0
x−y−x
L 2 =lim [ lim f(x, y)] =lim ( lim
2
y→0 x→0 y→0 x→0 −2x+2y ) =lim −y
y→0 2y = − 1 2
@L
Pero el límite no existe porque el límite a través del conjunto mencionado es
x − y − x 2
lim
(x,y)→(0,0),y=x+x 2 −2x +2y = lim 0
x→0 2x 2 = lim 0=06= −1 x→0 2
Ejemplo 2.25 Para la función
f(x, y) =sin
1
x 2 + y 2
1−x
−2 = − 1 2
no existen ni L ni L 1 ni L 2 . Se basa en el mismo argumento realizado en diversas ocasiones, entre ellas en el ejemplo
anterior:
1
La función seno no tiene límite cuando el ángulo
x 2 +y
tiende a infinito, cosa que ocurre aquí cuando nos aproximamos
al origen (0, 0) de cualquiera de las 3 formas: con el límite o con los 2 límites 2
iterados.
Se podría definir igualmente los límites iterados en R 3 , R 4 , etc., o en cualquier R n , teniendo en cuenta que el
número de límites iterados será n!.
13

Ejemplo 2.26 Para la función
x − 2y +3z
f(x, y, z) =
4x +5y − z
uno de sus límites iterados en el origen (0, 0, 0) (hay 3! = 6 límites iterados en total) sería:
lim {lim [lim f(x, y)]} =lim {lim [lim
x→0 y→0 z→0 x→0 y→0 z→0
x − 2y +3z
]} =lim
4x +5y − z {lim
x→0 y→0
3 Continuidad de funciones de varias variables
x − 2y
4x +5y } = lim
x→0
x
4x = lim 1
x→0 4 = 1 4
La definición de continuidad es enteramente análoga al caso de funciones de una variable real.
Diremos que una función f es continua en un punto x 0 cuando el punto está en el dominio, la función tiene límite
(finito) en el punto y el valor de la función y de su límite en el punto coinciden. Es decir:
1) x 0 ∈ Domf (∃ f(x 0 )).
2) Existe el límite de f en x 0 (y es finito).
3) lim
x→x 0
f(x) =f(x 0 ).
El estudio de la continuidad de una función en un punto se reduce fundamentalmente al estudio de la existencia y,
en su caso, el valor del límite de la función en el punto. Además, al igual que pasaba con los límites, el estudio de la
continuidad de una función vectorial se reduce al de sus funciones coordenadas pues:
Propiedad: Una función vectorial es continua si y sólo si son continuas sus funciones coordenadas.
Además, las funciones usuales (constantes, polinomios, exponenciales, trigonométricas, logaritmos, etc.) son
funciones continuas en todo punto de su dominio. También al igual que pasaba con las funciones de una variable
real, las operaciones usuales quesehacencon funciones continuas dan como resultado una función continua:
sumas, restas, multiplicación por escalares, composición de funciones, productos, cocientes con denominador no nulo,
y otras operaciones usuales. Así por ejemplo serán funciones continuas, en todo punto de su dominio, las siguientes:
Ejemplo 3.1
1) f 1 (x, y) = 3xy+x6 x
y
+5(x 2 +1) x (continua en {(x, y) :y 6= 0}).
e
2) f 2 (x, y) =( sin(x−y)
x 2 +y
− log(x + y 2 ),e tan(x+1) ) (continua en {(x, y) :x + y 2 > 0, cos(x +1)6= 0}).
2
Observación 3.2 En ocasiones ocurre que por problemas de dominio no podemos plantear el límite a través de R 2 ,sólo
podemos plantearlo a través del dominio. Así ocurre por ejemplo con la función f(x, y) = √ x − y cuando planteamos
la existencia del límite en el punto (0, 0): éste sólo puede plantearse a través del dominio, que es el conjunto {(x, y) :
x ≥ y}. En este caso el resultado del límite es 0. Entonces podemos interpretar que la función, que está definida en
(0, 0) tomando el valor 0, es continua en dicho punto, por supuesto, continua a través del dominio. Admitiremos pues
dentro de la definición de continuidad tal generalidad (que denominaremos continuidad a través de un conjunto),
especialmente en el caso en que el límite lo realicemos a través del dominio.
A continuación, y para finalizar el tema, damos la versión en varias variables del Teorema de Weierstrass que
generaliza el caso de una variable:
Teorema 3.3 Si f : R n → R m es una función continua en Ω ⊆ Domf y Ω es compacto entonces f(Ω) es también
compacto.
Corolario 3.4 Si la función f : R n → R es continua en el conjunto compacto Ω ⊆ Domf, entoncesexistenx 0 ,y 0 ∈ Ω
tales que
f(x 0 )=max{f(x) :x ∈ Ω}
f(y 0 )=min{f(x) :x ∈ Ω}
4 Resumen de los recursos más utilizados para estudiar el límite de una
función real de dos variables
1. Recursos directos
Para resolver diversos límites podemos utilizar métodos o fórmulas que se basan en propiedades ya conocidas.
Como por ejemplo la que dice que el producto de una cantidad que tiende a cero por otra acotada tiende a cero.
14

2. Límites a través de conjuntos. Límites direccionales
Si existe el límite (a través del dominio) entonces existen el límite a través de cualquier conjunto, incluidos
los límites direccionales. Por ello si no existe el límite a través de algún conjunto (por ejemplo si no existe
algún límite direccional) entonces no puede existir el límite (a través del dominio). También se obtiene la misma
conclusión (es decir, no existe el límite, a través del dominio) si al menos a través de dos conjuntos existe el límite
con distinto valor (sean éstos límites direccionales o no). Aunque todos los límites direccionales sean iguales,
o aunque los límites a través de diversos conjuntos coincidan (y coincidan con los direccionales) no podemos
deducir de ello la existencia del límite (a través del dominio).
3. Límites en coordenadas polares
Si realizamos el cambio a coordenadas polares, y el límite en estas nuevas coordenadas existe y es independiente
del valor del ángulo, teniendo en cuenta una serie de detalles concernientes a la existencia de cierta función F ,
entonces tendremos que existe el límite inicial. Como ya sabemos los detalles sobre la mencionada función F
se refieren a que la diferencia entre la función inicial expresada en coordenadas polares y el posible límite debe
estar acotada por una cantidad independiente del ángulo y que tienda a cero. En el caso de que el límite en
coordenadas polares dependa del ángulo o no exista podremos decir que el límite inicial no existe.
4. Límites iterados
Laexistenciaonodealgunodeloslímites iterados no implica la existencia o no del límite, ni viceversa. Lo
único que podemos afirmar es que si existe el límite y alguno de éstos entonces coinciden. Una situación en la
que podemos concluir algo es el caso en que existen los dos límites iterados y son distintos. En este caso el límite
no puede existir. También se obtiene la misma conclusión si existe alguno de los límites iterados y el límite a
través de algún conjunto (como algún direccional) y tienen valores distintos.
5 Apéndice
5.1 Curvas de nivel
Consideremos una superficie z = f(x, y). Recordemos que las curvas de nivel de esta superficie se obtienen dándole
a z valores constantes k y proyectando sobre el plano OXY . Así, para cada altura k, al hacer la proyección sobre el
plano OXY de la superficie obtenemos la curva de nivel
Ejemplo 5.1 Consideremos la esfera de ecuación
{(x, y) :f(x, y) =k}
x 2 + y 2 + z 2 =1
Las curvas de nivel nos dan circunferencias (basta con sustituir z por una constante k en la ecuación de la esfera).
5.2 Límites mediante equivalencias
Este primer recurso se basa en el mismo argumento que vimos para las funciones de una variable (y para las sucesiones):
se pueden reemplazar en el límite funciones por otras equivalentes, siempre que éstas aparezcan multiplicando o
dividiendo a toda la expresión. De hecho en la mayoría de las ocasiones haremos uso de las equivalencias que ya
conocíamos para funciones de una variable. Además, igual que en aquel caso también podremos obtener equivalencias
cuando estudiemos el polinomio de Taylor para funciones de varias variables.
Ejemplo 5.2 Supongamos que pretendemos estudiar el límite
sin(x 2 + y 2 ) · log(2 − x)
lim
(x,y)→(0,0) x 2 + y 2
Entonces aplicando la equivalencia conocida sin t ' t cuando t tiende a 0 se tiene que
sin(x 2 + y 2 ) ' x 2 + y 2
15

si esta expresión tiende a 0, lo cual ocurre cuando (x, y) tiende a (0, 0). Por tanto el límite anterior vale
Ejemplo 5.3
(x 2 + y 2 ) · log(2 − x)
lim
(x,y)→(0,0) x 2 + y 2 = lim log(2 − x) =log2
(x,y)→(0,0)
sin(x 2 )
lim
(x,y)→(0,−2) x
1
sin(
y +2 ) =
lim
(x,y)→(0,−2)
= lim x sin( 1
(x,y)→(0,−2) y +2 )=0
yaqueesproductodeunafunciónquetiendea0 y otra acotada.
x 2
x sin( 1
y +2 )=
16