Tema 2: Matrices, determinantes y sistemas lineales

Tema 2: Matrices, determinantes y sistemas lineales1 MatricesUna matriz con coeficientes sobre un cuerpo K (normalmente K = R) consiste en una colección deescalares del cuerpo K ordenados por filas y columnas. Si la matriz tiene m filas y n columnas se diráqueesdeordenm × n.Ejemplo 1.1 Las siguientes son matrices con coeficientes sobre R:⎛ √ ⎞à !5 3 −3 ⎛0 −1 3³ ´0 0 0A =B = 3 7 C = ⎜⎟3 0.5 6⎝ −2 8 8 ⎠ D = ⎜⎝5 7 0028⎞⎟⎠ y E =Ã2 0−5 0En este ejemplo las matrices A, B, C, D y E tienen órdenes 2×3, 1×2, 4×3, 3×1 y 2×2, respectivamente.Sea A una matriz. Para indicar la fila y columna que ocupa cada elemento usaremos la notaciónA =(a ij ), donde el índice i indica la fila y el índice j la columna. De este modo estamos diciendo queel elemento a ij de la matriz A es el que ocupa la fila i y la columna j, considerando esto para todos losposibles i y j. Así los elementos de la matriz A =(a ij ) del ejemplo anterior son:a 11 =0,a 12 = −1,a 13 =3,a 21 =3,a 22 =0.5 y a 23 =6.Para una matriz A de orden m × n denotaremos por F i la fila i-ésima de la matriz, la cual puedeinterpretarse como un vector de K n al que llamaremos vector-fila de A; igualmente denotaremospor C j alacolumna j-ésima de la matriz, que puede interpretarse como un vector de K m al quellamaremos vector-columna de A.Una submatriz de otra es una matriz que se obtiene a partir de la inicial cogiendo unas cuantas filas⎛√5 −3−2 8⎜ ⎟y unas cuantas columnas (por ejemplo ⎝ ⎠ seríaunasubmatrizdelamatrizC del ejemplo5 0anterior obtenida al coger las filas 1, 3 y 4 y las columnas 1 y 3).Se dice que una matriz es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas (como lamatriz E del ejemplo anterior). En esta situación si la matriz tiene n filas y n columnas, podremosdecir que es de orden n × n ó simplemente de orden n. Se llama diagonal principal de una matriz(generalmente cuadrada) a los elementos de la forma a ii para todo i posible, es decir, los elementos quetienen el mismo índice fila que columna (la diagonal principal de la matriz E del ejemplo anterior estáformada por el a 11 =2yela 22 =0). Una matriz cuadrada se dice que es triangular inferior (respectivamentetriangular superior) cuando todo elemento que esté situado por encima (respectivamentepor debajo) de à la diagonal ! principal es nulo (la matriz E del ejemplo anterior es triangular inferior,8 −1mientras quees triangular superior). A una matriz cuadrada que es triangular tanto inferiorcomo superior, es decir, si cumple que los elementos que no están en la diagonal principal son0 3nulos1⎞!.

à !0 0(como), se le llama matriz diagonal. Lamatrizdiagonaldeordenn que tiene todos los0 −3elementos de la diagonal principal iguales a 1 se llama matriz identidad (o matriz unidad) à de!orden1 0n, y la denotaremos por I n , o simplemente por I si está claro el tamaño. Por ejemplo, es la0 1matriz identidad de orden 2. Lamatriz nulaÃes la matriz ! que tiene todos sus coeficientes son nulos.0 0 0Por ejemplo la matriz nula de orden 2 × 3 es.0 0 01.1 Operaciones con matrices1.1.1 SumaSean A =(a ij ) y B =(b ij ) dos matrices del mismo orden (m×n). Se define la suma de las dos matricescomo la matriz A + B =(c ij ), también de orden m × n, quecumplequec ij = a ij + b ij para cada parde índices i, j. Esto se traduce en que sumamos A y B coeficiente a coeficiente. Observemos que estosólo tiene sentido si las dos matrices son del mismo orden.Ejemplo 1.2Ã0 1 3−1 5 6! Ã+2 0 −32 0 41.1.2 Producto de una matriz por un escalar! Ã=2 1 01 5 10Sea A =(a ij ) unamatrizdeordenm × n y α ∈ R. Sedefine el producto del escalar por la matriz comola matriz αA =(d ij ) de orden m × n, quecumplequed ij = αa ij para todo i, j posibles.à ! Ã!0 1 3 0 3 9Ejemplo 1.3 3=−1 5 6 −3 15 18 .Fijados m y n, el conjunto de las matrices de orden m × n con coeficientes sobre un cuerpo K, conla suma y el producto por escalares definidos anteriormente, tiene estructura de espacio vectorial. Aeste espacio vectorial lo denotaremos por M m×n (K). El cero de este espacio vectorial es la matriz cero,mientrasquelaopuestadeunamatrizeslaquetienetodosloscoeficientes respectivamente opuestosa los de ella. Este espacio vectorial tiene dimensión m · n.Ejemplo 1.4 Sea V = M 2×3 (R), el espacio vectorial de las matrices de orden 2 × 3 sobre R, esdecirÃ!a 11 a 12 a 13V = {: a 11 ,a 12 ,a 13 ,a 21 ,a 22 ,a 23 ∈ R}.a 21 a 22 a 23ÃLa matriz nula seráÃ!−a 11 −a 12 −a 13−a 21 −a 22 −a 230 0 00 0 0.!Ãy la matriz opuesta de una matriz A =!.!a 11 a 12 a 13es −A =a 21 a 22 a 232

1.1.3 Producto de matricesDadas dos matrices A =(a ij ) y B =(b ij ) de orden m × n y n × p, respectivamente, se define elproducto de ambas matrices como la matriz A · B =(c ij ) (en adelante sin punto AB) deordenm × pque cumple quePc ij = n a ik b kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j + ... + a in b njk=1para todo i, j posibles. Esto se traduce en que para obtener el elemento del producto AB que estásituado en la fila i, columnaj, hay que ”multiplicar” la fila i de A por la columna j de B.Notemos que si m 6= p no tiene sentido hacer el producto BA. Incluso aunque m = p, y entoncestenga sentido el producto en orden inverso, la matriz AB tendría orden m × m ylamatrizBA seríade orden n × n, luego ambas no podrían ser iguales, ya que tendrían distinto orden si m 6= n. Esmás,aún poniéndonos en la situación en que n = m = p (así A, B, AB y BA son cuadradas de orden n) elproducto no tiene por qué ser conmutativo, es decir, es posible que AB 6= BA.Dada una matriz cuadrada A se define la potencia n-ésima de A como la matrizn vecesz }| {A n = A · A · ... · Aes decir, el producto de A consigo misma n veces. Así A 1 = A, A 2 = A · A, A 3 = A · A · A, etc.Ã ! Ã !1 −23 −1 0Ejemplo 1.5 1. Dadas las matrices A =y B =, la matriz producto es0 −34 −2 1AB =Ã1 −20 −3!Ã3 −1 04 −2 1! Ã=2. Para la matriz A anterior se tiene que A 4 = A · A · A · A =Ã !Ã !Ã !Ã ! Ã1 −2 1 −2 1 −2 1 −2 1 4==0 −3 0 −3 0 −3 0 −3 0 91.1.4 Propiedades−5 3 −2−12 6 −3!Ã!.1 40 9! Ã=1 400 811. Asociativa: Dadas matrices A de orden m × n, B de orden n × p y C de orden p × q se tiene(AB)C = A(BC) y entonces podremos escribir simplemente ABC.2. Relación con el producto por escalares: Dadas matrices A de orden m × n y B de ordenn × p y dado cualquier escalar α se tiene α(AB) =(αA)B = A(αB) y entonces lo escribiremosde cualquiera de las formas siguientes αAB = AαB = ABα.3. Distributivas:(a) Dadas matrices A, B de orden m × n y C de orden n × p se tiene (A + B)C = AC + BC.(b) Dadas matrices A, B de orden m × n y D de orden q × m se tiene D(A + B) =DA + DB.3!.

4. Se tiene que 0·A =0yqueB·0 =0para cualesquier matrices A y B en disposición de multiplicar,tomando la matriz nula correspondiente en cada caso.5. Elemento neutro: Dada una matriz A de orden m × n, secumplequeAI n = A = I m A,dondeI n e I m son las matrices identidad de orden n y m, respectivamente.6. No conmutativa: En general se tiene AB 6= BA, para matrices A y B de órdenes m × n yn × m, respectivamente.1.1.5 Trasposición de matricesDada una matriz A =(a ij ) de orden m × n se llama matriz traspuesta de A, alamatrizA t =(b ij )de orden n × m cuyos elementos son b ij = a ji para cada i, j. Observemos que cualquier matriz tienetraspuesta, no necesita ser cuadrada. En la práctica para calcular la traspuesta de una matriz hay quetener en cuenta que las filas de A son las columnas de A t , o equivalentemente las columnas de A lasfilas de A t .Ejemplo 1.6 La matriz traspuesta deÃ2 0 −32 0 4⎛!⎜es ⎝2 20 0−3 4Una matriz cuadrada A se dice que es simétrica si A = A t . Por ejemplo, es simétrica la matriz⎛⎞1 −3 0⎜⎟⎝ −3 0 4 ⎠0 4 −21.2 RangoAl rango de los vectores-fila de una matriz A de orden m×n lo llamaremos rango por filas de la matriz,es decir, dim (dimensión del subespacio de K n generado por los vectores-fila de lamatriz). Análogamente el rango de sus vectores-columna se llamará el rango por columnas de A, esdecir, dim (dimensión del subespacio de K m generado por los vectores-columna dela matriz).Teorema 1.7 Sea A una matriz. Entonces el rango por filas y el rango por columnas de A coinciden.Aestenúmerolollamaremosenadelanterango de la matriz y lo denotaremos por r(A) ó R(A).⎞⎟⎠.1.2.1 Método de Gauss para el cálculo del rangoSea A una matriz. Su rango podemos calcularlo, por ejemplo por filas, aplicando el método de Gausspara escalonar los vectores-fila de A. Recordemos las operaciones que empleamos para ello:1. Sumar a una fila un múltiplo de otra.4

2. Multiplicar una fila por un escalar no nulo.3. Intercambiar dos filas de orden.A estas operaciones realizadas en las filas de la matriz las llamaremos transformaciones elementalesfila.De modo análogo podemos hacer transformaciones elementales-columna. Estas transformacionesno varían el rango de la matriz (también sabemos que el rango se conserva si eliminamos algúnvector que sea CL de los demás).⎛⎞2 2 3 2 01 1 2 0 −1Ejemplo 1.8 Vamos a hallar el rango de la matriz ⎜⎟⎝ 1 1 2 0 −1 ⎠ .2 2 2 1 0En primer lugar cambiamos de orden la primera y segunda filas, para así operar mejor con el 1⎛⎞1 1 2 0 −12 2 3 2 0que tiene la segunda fila como primer coeficiente. Tendríamos entonces ⎜⎟⎝ 1 1 2 0 −1 ⎠ , donde2 2 2 1 0añadimos la primera fila a las restantes, multiplicándola por números adecuados (a la segunda y cuarta⎛⎞1 1 2 0 −10 0 −1 2 2se la añadimos multiplicada por −2 yalatercerapor−1). Entonces tenemos ⎜⎟⎝ 0 0 0 0 0 ⎠ .0 0 −2 1 2Ahora procederíamos igual con las tres últimas filas considerando sólo a partir de la segunda columna.Enellasesnuloelprimercoeficiente (porque lo hemos eliminado antes) y casualmente el segundo.Empezamos pues por el tercero. Esta vez no hace falta cambiarlas de orden y lo único que tenemosque hacer es añadir un múltiplo de la segunda fila a las demás para hacer ceros. En este caso basta⎛⎞1 1 2 0 −10 0 −1 2 2añadirle a la cuarta fila −2 veces la segunda para obtener ⎜⎟. Ahora procedemos⎝ 0 0 0 0 0 ⎠0 0 0 −3 −2con la tercera y cuarta filas, donde nos interesa cambiarlas de orden, pues en la cuarta aparece algún⎛⎞1 1 2 0 −10 0 −1 2 2coeficiente no nulo: ⎜⎟⎝ 0 0 0 −3 −2 ⎠ . Así, tenemos la escalonación final de la matriz, de0 0 0 0 0donde obtenemos que el rango de nuestra matriz es 3.1.3 Inversa de una matrizUna matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible cuando existe otra matriz cuadrada delmismo orden B de modo que AB = BA = I n . En esta situación la matriz B es única cumpliendo loanterior, y se llamará la matriz inversa de A y escribiremos B = A −1 .5

Observación 1.9 Puede comprobarse que B es la inversa de A si y sólo si AB = I n si y sólo siBA = I n ,esdecir,essuficiente con que uno de los dos productos resulte la matriz identidad.Proposición 1.10 Una matriz cuadrada de orden n es invertible si y sólo si tiene rango n.La inversa de una matriz invertible A puedecalcularsedevariasformas. Unadeellasesdirectamente,planteando un sistema de ecuaciones, obtenido a partir de la suposición de que los coeficientes deA −1 son indeterminados, y hacer el producto AA −1 = I n (o A −1 A = I n ). Este método no es adecuado,pues hay que resolver n sistemas de n ecuaciones con n incógnitas. Es mejor el método de Gauss-Jordanque se explica a continuación.1.3.1 Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversaEste método para el cálculo de la inversa de una matriz, es en general bastante eficiente. Supongamosque tenemos una matriz A, cuadrada de orden n, que se sabe que es invertible. Pongamos la matriz A ya continuación, a la derecha, la matriz identidad de orden n. Usualmente se ponen ambas formando unamatriz de orden n × 2n y se separan por una línea vertical, quedando en la forma (A|I n ). AplicamosalamatrizA el método de Gauss-Jordan (variante del método de Gauss), consistente en haceroperaciones por fila hasta obtener la matriz identidad. El resultado de aplicarle a la matriz identidadque hay a la derecha de A esas mismas operaciones nos proporciona precisamente A −1 .Observación 1.11 Si le aplicamos el método de Gauss-Jordan a una matriz no invertible observaremosque es imposible obtener la matriz identidad en la parte izquierda.Ejemplo 1.12 HallarlainversadelamatrizA =⎛⎜⎝1 1 02 −1 −23 0 −1Pondríamos ⎛ entonces⎞1 1 01 0 0⎜⎟⎝ 2 −1 −20 1 0 ⎠, y aplicamos transformaciones, por ejemplo por fila. Añadimos a la se-3 0 −1 ¯ 0 0 1⎛⎞1 1 01 0 0⎜⎟gunda fila −2 veces la primera y a la tercera fila −3 veces, y obtenemos ⎝ 0 −3 −2−2 1 0 ⎠.0 −3 −1 ¯ −3 0 1⎛⎞1 1 01 0 0⎜⎟Ahora le añadimos a la tercera fila −1 por la segunda: ⎝ 0 −3 −2−2 1 0 ⎠. Una vez que0 0 1 ¯ −1 −1 1estamos con una matriz triangular superior, se ⎛ hacen operaciones para ⎞hacerla diagonal. Primero1 1 01 0 0⎜⎟añadimos a la segunda fila 2 veces la tercera: ⎝ 0 −3 0−4 −1 2 ⎠. Multiplicando la segun-0 0 1 ¯ −1 −1 1⎞⎟⎠.6

da fila por − 1 3segunda:⎛⎜⎝sale: ⎛⎜⎝1 0 00 1 00 0 1⎞1 1 01 0 04 10 1 0− 2 ⎟3 3 3⎠; finalmente añadimos a la primera fila −1 por la0 0 1 ¯ −1 −1 1⎞− 1 − 1 23 3 34 1− 2 ⎟3 3 3⎠. EntonceslamatrizinversadeA es¯ −1 −1 1A −1 =⎛⎜⎝Ejemplo 1.13 HallarlainversadelamatrizA =Pondríamos entonces⎛1 0 11 0 0⎜⎝ 2 −1 00 1 03 2 6 ¯ 0 0 1⎞− 1 3− 1 3432313− 2 3−1 −1 1⎛⎜⎝⎞⎟⎠1 0 12 −1 03 2 6⎞⎟⎠.⎟⎠, y aplicamos transformaciones, por ejemplo por fila. Añadimos a la se-⎛⎞1 0 11 0 0⎜⎟gunda fila −2 veces la primera y a la tercera fila −3 veces y obtenemos ⎝ 0 −1 −2−2 1 0 ⎠.0 2 3 ¯ −3 0 1⎛⎞1 0 11 0 0⎜⎟Añadimosalatercerafila 2 veces la segunda y llegamos a ⎝ 0 −1 −2−2 1 0 ⎠. Una vez0 0 −1 ¯ −7 2 1que estamos con una matriz triangular superior se hacen operaciones ⎛ para hacerla diagonal. ⎞Primero1 0 11 0 0⎜⎟cambiamos el signo de las dos últimas filas, por lo que tenemosc ⎝ 0 1 22 −1 0 ⎠. Ahora0 0 1 ¯ 7 −2 −1⎛⎞1 0 11 0 0⎜⎟añadimos a la segunda fila −2 veces la tercera y se obtiene que ⎝ 0 1 0−12 3 2 ⎠. Final-0 0 1 ¯ 7 −2 −1⎛⎞1 0 0−6 2 1⎜⎟mente a la primera fila le restamos la tercera y nos sale ⎝ 0 1 0−12 3 2 ⎠. Entonces la0 0 1 ¯ 7 −2 −1matriz inversa de A es⎛⎞−6 2 1A −1 ⎜⎟= ⎝ −12 3 2 ⎠7 −2 −1 .Recordemos los pasos que hemos seguido para transformar A en la matriz identidad:1. Transformar A en una matriz triangular inferior.7

2. Transformar la matriz resultante en una matriz diagonal.3. Convertir los elementos de la diagonal en 1.(Los dos últimos pasos pueden entremezclarse.)2 DeterminantesEl determinante de una matriz cuadrada A de orden n con coeficientes sobre un cuerpo es un escalar delcuerpo. Lo vamos a denotar por |A| (reemplazando los paréntesis usados para delimitar la matriz porlíneas verticales), por det(A) otambiénpordet(F 1 ,F 2 , ...., F n ), donde se supone que F 1 ,F 2 , ..., F n ∈ K nson los vectores-fila de A (igualmente se podría usar la notación det(C 1 ,C 2 , ..., C 2 ) apartirdelosvectores-columna C 1 ,C 2 , ..., C n ∈ K n ). Diremos indistintamente que es el determinante de la matriz ode los vectores que están en las filas o columnas.La definición exacta de determinante es un tanto técnica y no se va a incluir aquí (aunque puede verseenbuenapartedelostextosdeÁlgebra). Vamosadarlasfórmulasparaelcálculodelosdeterminantesde orden 1, 2 y 3, y a continuación enunciaremos algunas propiedades de los determinantes, que nospermiten calcular también los determinantes de orden superior.Orden 1: Si tenemos una matriz A =(a), à sudeterminanteesdet(A) !=a.a ba bOrden 2: Si tenemos una matriz A = su determinante es |A| == ad − bc.c d¯ c d ¯⎛⎞a 11 a 12 a 13⎜⎟Orden 3: Si tenemos una matriz A = ⎝ a 21 a 22 a 23 ⎠ su determinante esa 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13|A| =a 21 a 22 a 23 = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 − a 13 a 22 a 31 − a 23 a 32 a 11 − a 33 a 12 a 21 .¯ a 31 a 32 a 33¯¯¯¯¯¯¯Esta fórmula se hace más sencilla de recordar si tenemos en cuenta que aparecen 6 sumandos, 3 de loscuales resultan de multiplicar los elementos que aparecen en la diagonal principal y los de cada una delas 2 diagonales ”paralelas” a ésta, y los otros tres resultan de multiplicar los elementos que aparecenen cada una de las 3 ”diagonales opuestas”. Esto se conoce como Regla de Sarrus.2 −3 0Ejemplo 2.11 −1 4=2·(−1)·5+1·3·0+(−2)·(−3)·4−0·(−1)·(−2)−4·3·2−5·(−3)·1 =¯ −2 3 5 ¯−10+0+24− 0 − 24 + 15 = 5.2.1 Propiedades de los determinantesSea A una matriz cuadrada de orden n, y supongamos que sus vectores-fila son F 1 ,F 2 ,...,F n ∈ K n .Entonces se cumplen las siguientes propiedades:8

1. Si F i = Fi 0 + Fi 00 , para ciertos vectores Fi 0 ,Fi00 ∈ K n ,entoncesdet(F 1 ,...,F i ,...,F n )=det(F 1 ,...,Fi 0 , ..., F n )+det(F 1 , ..., Fi 00 , ..., F n ).2. Para todo α ∈ K se tiene que det(F 1 , ..., αF i , ..., F n )=α det(F 1 , ..., F i , ..., F n ).3. det(F 1 , ..., F j , ..., F i , ..., F n )=− det(F 1 , ..., F i , ..., F j , ..., F n ),paratodoi, j ∈ {1, 2, ..., n} (i 6= j).4. det(F 1 , ..., F i + αF j , ..., F n )=det(F 1 , ..., F i , ..., F n ),paratodoi, j ∈ {1, 2,...,n} (i 6= j) ytodoα ∈ K.5. det(F 1 , ..., F n )=0si y sólo si los vectores F 1 ,F 2 , ..., F n son LD. De esto se deduce que A esinvertible si y sólo si det A 6= 0. Además en esta situación det(A −1 )= 1det A .6. Si A es una matriz triangular superior o inferior (en particular si es una matriz diagonal) entoncesdet A es el producto de los elementos de la diagonal.7. det A =det(A t ).8. det(A · B) =detA · det B para toda matriz cuadrada B de orden n.Observación 2.2 Las 5 primeras propiedades pueden enunciarse también en términos de los vectorescolumnadelamatriz.1 0 2 32 −3 2 5Ejemplo 2.3 Vamos a calcular el siguiente determinante. Vamos a hacer ceros0 2 2 −3¯ 1 1 2 4 ¯1 0 2 30 −3 −2 −1usando el elemento a 11 =1.Asítenemos(habiéndole añadido a la segunda, tercera0 2 2 −3¯ 0 1 0 1 ¯ycuartafilas la primera multiplicada por −2, 0 y −1). Ahora cambiamos la segunda y cuarta filas para1 0 2 30 1 0 1simplificar la eliminación, y queda −.Leañadimosahoralasegundafilaalatercera0 2 2 −3¯ 0 −3 −2 −1 ¯1 0 2 30 1 0 1y cuartas, multiplicada por −2 y 3 respectivamente, y llegamos a −. Finalmente le0 0 2 −5¯ 0 0 −2 2 ¯1 0 1 30 1 0 1sumamos la tercera filaalacuartaytenemos−, con lo que el valor del determinante0 0 2 −5¯ 0 0 0 −3 ¯es −[1 · 1 · 2 · (−3)] = 6.9

En la siguiente sección veremos que no es necesario escalonar la matriz para obtener el determinante.2.2 Menor, menor complementario, adjuntoSe llama menor de una matriz A (no necesariamente⎛cuadrada) al determinante⎞de cualquier submatriz2 0 3 −4⎜⎟cuadrada suya. Por ejemplo, dada la matriz A = ⎝ 0 6 2 −1 ⎠ algunos menores suyos son−5 −6 0 72 0 −42 −40 6 −1= −48 y¯¯ −5 −6 7 ¯−5 7 ¯ = −6.En una matriz cuadrada A de orden n se llama menor complementario del elemento a ij aldeterminante de orden n − 1 de la submatriz resultante de⎛eliminar en A ⎞la fila i ylacolumnaj, que1 0 −3⎜⎟son en las que está situado el elemento. En la matriz A = ⎝ 1 5 0 ⎠ el menor complementario3 −3 20 −3a 31 =3es¯ 5 0 ¯ =15,yeldela 0 −321 =1es= −9. Finalmente se llama adjunto del¯ −3 2 ¯elemento a ij a su menor complementario multiplicado por (−1) i+j ,esdecir,semultiplicapor1 opor−1, dependiendo de que la suma de los índices fila y columna del elemento sea par o impar. Al adjuntodel elemento a ij en la matriz A lo denotaremos por A ij . En el ejemplo anterior el adjunto de a 31 =3es A 31 =¯0 −35 0¯ =15y el adjunto de a 21 =1es A 21 = −¯0 −3−3 22.2.1 Cálculo del determinante desarrollando por adjuntos¯ =9.Sea A una matriz cuadrada de orden n. Entonces se tienePdet A = n Pa lj A lj = a l1 A l1 + a l2 A l2 + ... + a ln A ln = n a ik A ik = a 1k A 1k + a 2k A 2k + ... + a nk A nk .j=1Lo anterior lo que nos dice es que mediante la F l o la columna C k podemos calcular el determinante dela matriz sumando los productos de los elementos de esa fila o columna por sus respectivos adjuntos.Por ejemplo si tenemos una matriz A =(a ij ) de orden 3 tendríamos (fijándonos por ejemplo en laprimera fila o la segunda columna)det A = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 ytambién det A = a 12 A 12 + a 22 A 22 + a 32 A 32 .Es muy útil esta regla a la hora de calcular determinantes grandes, sobre todo si aparece alguna filao columna con muchos elementos nulos (si es posible todos los elementos excepto uno). Por ejemplo3 0 −4para calcular el determinante |A| =−2 0 1vamos a desarrollar por los adjuntos de la segunda¯ −5 −2 4 ¯i=110

columna y tendremos|A| = a 12 A 12 +a 22 A 22 +a 32 A 32 =0A 12 +0A 22 +(−2)A 32 = −2A 32 = −2·(−¯3 −4−2 1¯ =2(3−8) = −10.¯)Por supuesto no siempre estaremos en esta situación de tener bastantes ceros, pero aplicando laspropiedades de los determinantes podremos llegar a una matriz con muchos ceros. Por ejemplo para4 2 −4calcular el determinante |A| =1 3 4le añadimos a la última columna −3 veces la primera y¯ 2 0 6 ¯4 2 −16nos queda |A| =1 3 1, determinante que puede calcularse ahora fácilmente desarrollando por¯ 2 0 0 ¯losadjuntosdelatercerafila, para obtener2 −16|A| = a 31 A 31 + a 32 A 32 + a 33 A 33 =2¯ 3 1 ¯ +0A 32 +0A 33 =2(2+48)=100.2.2.2 Rango de una matriz utilizando menoresEn el apéndice estará explicado con más detalle la relación entre los menores de una matriz y su rango.Lo que nos interesa es, fundamentalmente, es la siguiente propiedad:Proposición 2.4 Sea A un matriz de orden m × n (no necesariamente cuadrada). El rango de A esel mayor orden para el que existen menores no nulos de ese orden dentro de A. Enparticularse tiene que si encontramos un menor de orden r no nulo, entonces r(A) ≥ r.3 Sistemas de ecuaciones linealesUn sistema de ecuaciones de la forma⎧a 11 x 1 + a 12 x 2 + .... + a 1n x n = b 1⎪⎨a 21 x 1 + a 22 x 2 + .... + a 2n x n = b 2(∗)......⎪⎩ a m1 x 1 + a m2 x 2 + .... + a mn x n = b mdonde los a ij ylosb i son escalares del cuerpo K ylosx j representan las incógnitas del sistema(también escalares del cuerpo K, en este caso, indeterminados), se llamará sistema de ecuacioneslineales o sistema lineal sobre el cuerpo K. Se dirá que el sistema tiene m ecuaciones y n incógnitas.Alosa ij se les llama coeficientes del sistema, a los b i términos independientes. Agrupando loselementos anteriores obtenemos la matriz de coeficientes A =(a ij ),deordenm × n, elvector de⎛ ⎞⎛ ⎞b 1x 1b 2términos independientes B = ⎜ ⎟⎝ ... ⎠ yelvector de las incógnitas X = x 2⎜ ⎟⎝ ... ⎠ . Definimosb m x n11

3. Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.Además,aquíesposibletambién:4. Cambiar de orden las incógnitas.En la práctica lo que podemos hacer es utilizar el método de Gauss que en otras ocasiones hemosempleado con vectores o matrices, que consiste en aplicar estas transformaciones hasta ”escalonar” elsistema, en el sentido de que en cada paso tengamos solamente una ecuación con una nueva incógnitaque tiene coeficiente no nulo. A estas incógnitas las llamaremos pivotes. Una vez escalonado el sistemase resuelve de forma sencilla, pues:1. Si al final (o en algún momento previo) nos sale un absurdo, es decir, una ecuación que no esposible que se cumpla (como 0=1, o algo similar) entonces estamos con un SI.Si no estamos en la situación anterior, estaremos con un SC y puede ocurrir que:2. Todas las incógnitas sean pivotes, en cuyo caso tenemos un SCD en el que la solución delsistema se puede hallar despejando el valor de las incógnitas, de abajo hacia arriba.3. Haya alguna incógnita del espacio que no sea un pivote. En este caso tenemos un SCI, y lasincógnitas que no sean pivotes van a ser los parámetros del sistema. El número de parámetros(que por el método de Gauss son ya el número mínimo necesario para expresar la solución generaldel sistema) será el grado de indeterminación del sistema.Durante este proceso también pueden ir eliminándose ecuaciones ”triviales” de la forma 0=0(porque estas ecuaciones siempre se cumplen y no aportan nada nuevo) o bien ecuaciones que sean CLde otras.Llamaremos discutir un sistema a determinar si es SI, SCD o SCI. Por discutir y resolver se entenderáque hay además que dar la solución o soluciones, si es SC.Veamos los siguientes ejemplos:Ejemplo 3.21. Discutir y resolver (en su caso) el siguiente sistema lineal⎧⎪⎨⎪⎩x − y +3z 3 = −15x − 3y +10z =22y − 5z =3.Añadiéndole a la segunda fila la primera multiplicada por −5 obtenemos⎧⎪⎨ x − y +3z 3 = −12y − 5z =7⎪⎩2y − 5z =3.13

Siahoralerestamosalaterceralasegundasetiene⎧⎪⎨ x − y +3z 3 = −12y − 5z =7⎪⎩0=−4.En este caso hemos obtenido una ecuación contradictoria (un absurdo) 0 = −4, con lo quededucimos que es un SI.2. Discutir y resolver (en su caso) el siguiente sistema lineal⎧⎪⎨ x − z = −1−2x + y + z = −5⎪⎩4x − y − 3z =3.Obtenemos que la matriz ampliada del sistema es⎛⎜⎝1 0 −1 −1−2 1 1 −54 −1 −3 3⎞⎟⎠.Multiplicamos la primera fila por 2 yselaañadimosalasegunda,ymultiplicadapor−4 se laañadimos a la tercera y obtenemos⎛⎞1 0 −1 −1⎜⎟⎝ 0 1 −1 7 ⎠0 −1 1 −7 .Eliminando entonces la tercera ecuación (es proporcional a la segunda) llegamos a la matrizÃ!1 0 −1 −10 1 −1 7 ,que representa al sistema (x − z = −1y − z =7 ,que es equivalente al sistema inicial. Como ya está escalonado y no nos ha aparecido ningunaecuación contradictoria estamos con un SC. Además sólo hay 2 pivotes, x e y, con lo que sobraun incógnita, z, que será el único parámetro en este caso, de manera que tenemos un SCI (yaque hay algún parámetro). Así, poniendo z = α y despejando en las ecuaciones obtenemos quey =7+z =7+α. Y en la primera ecuación tenemos que x = z − 1=α − 1. Así la solucióngeneral de este SCI es ⎧⎪⎨⎪ ⎩x = α − 1y =7+αz = αcon α ∈ R.14

Si observamos es similar a la forma que tenían las ecuaciones paramétricas de los subespaciosde los K n ; la única diferencia está en que pueden aparecer constantes que no multipliquen a losparámetros (como ocurre con el −1 de x oel7 de y).También es posible utilizar el método de Gauss-Jordan (recordemos que fue usado para hallar lainversa de una matriz). Lo único que hay que hacer es transformar la matriz de coeficientes enuna matriz ”diagonal”:3. Discutir y resolver (en su caso) el siguiente sistema lineal⎧⎪⎨⎪⎩x 1 +2x 2 +5x 3 =33x 1 +6x 2 +14x 3 =9− 2x 2 + x 3 = −4.De nuevo le añadimos a la segunda y tercera filas un múltiplo adecuado de la primera y obtenemos⎧⎪⎨ x 1 +2x 2 +5x 3 =3− x 3 =0⎪⎩− 2x 2 + x 3 = −4.Cambiando de orden las dos últimas filas tenemos⎧⎪⎨ x 1 +2x 2 +5x 3 =3− 2x 2 + x 3 = −4⎪⎩− x 3 =0,sistema que ya está escalonado. Como no hemos obtenido ninguna ecuación absurda estamos conun SC. Y como los pivotes son las tres variables, no va a haber ningún parámetro, de modo quetenemos un SCD. El valor de las incógnitas se halla despejando de abajo a arriba las variables,o, si empleamos Gauss-Jordan transformando previamente la matriz en una matriz ”diagonal”.Así, le añadimos la tercera filaalasegundayprimeramultiplicadapor1 y 5, respectivamente ytenemos ⎧⎪⎨⎪ ⎩x 1 +2x 2 =3− 2x 2 = −4− x 3 =0.Finalmente le sumamos la segunda ecuación a la primera y tenemos⎧⎪⎨⎪⎩x 1 = −1− 2x 2 = −4− x 3 =0,de donde obtenemos que x 1 =1, x 2 =2y x 3 =0.;15

3.2 Teorema de Rouché-FröbeniusTeorema 3.3 Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y sólo si el rango de la matriz decoeficientes coincide con el de la matriz ampliada. En este caso, el sistema es compatible determinadosi este rango coincide con el número de incógnitas del espacio. Cuando el sistema es compatibleindeterminado el grado de indeterminación será la diferencia entre el número de incógnitas y el rango.Como consecuencia del Teorema de Rouché-Fröbenius obtenemos que un sistema homogéneo AX =0 tiene solución no nula si y sólo si r(A)

1 2las 2 primeras filas y columnas=1, que es no nulo, con lo que r(A) ≥ 2. Añadimoslatercera¯ 0 1 ¯fila y empezamos a buscar entre los menores que contienen a esta fila y al menor de orden 2 anterior.Así tenemos1 2 −11 2 −21 2 10 1 3=0,0 1 1=0,0 1 0=0,¯¯¯¯¯¯¯ −1 −1 4 ¯ ¯ −1 −1 3 ¯ ¯ −1 −1 −1 ¯con lo que podemos asegurar que la tercera fila es CL de la primera y segunda. La eliminamos parahallar el rango y nos queda la matriz⎛⎞1 2 −1 −2 1⎜⎟B = ⎝ 0 1 3 1 0 ⎠ .2 5 1 0 1De nuevo vamos formando menores de orden 3 que contengan al menor de orden 2 no nulo halladoanteriormente y tenemos1 2 −11 2 −20 1 3=0,0 1 1=3,¯¯¯¯¯¯¯ 2 5 1 ¯ ¯ 2 5 0 ¯yenestemomentoparamospueshemosencontradounmenordeorden3 no nulo. Luego r(A) ≥ 3.En este caso ya no es posible conseguir ningún menor de orden 4 con lo que r(A) =3.3.2.2 Cálculo de la inversa de una matriz mediante adjuntosVamosadarotrométodoparacalcularlainversadeunamatriz. SupongamosqueA =(a ij ) es unamatriz cuadrada invertible. Sabemos que |A| 6= 0. Calculamos ahora lo que vamos a llamar matrizadjunta de A, y que la vamos a denotar por Adj(A) = (b ij ),cuyoscoeficientes son los adjuntosrespectivos de los elementos de A, es decir, b ij = A ij para todo i, j posible. Entonces se cumple queA −1 = 1|A| (Adj(A))t . De este modo la matriz inversa de A resultadehallarlatraspuestadelaadjuntay dividir por el determinante. (Da lo mismo tomar la traspuesta de la adjunta que la adjunta de latraspuesta, así que también tendremos A −1 = 1|A| (Adj(At )).)Ejemplo 3.5 HallarlainversadelamatrizA =Como |A| =5y Adj(A) =⎛⎜⎝3 −1 12 1 −1−7 4 1A −1 = 1|A| Adj(A)t = 1 5⎛⎜⎝⎞⎛⎜⎝1 1 31 2 −10 1 1⎟⎠, tenemos que3 2 −7−1 1 41 −1 117⎞⎟⎠ =⎞⎟⎠⎛⎜⎝.35− 1 515− 1 52− 7 5 51 45 515⎞⎟⎠.

3.3 Método de CramerTeorema 3.6 Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones lineales AX = B con matriz decoeficientes A cuadrada de orden n, y del que se sabe que es SCD. Entonces la solución del sistema(x 1 ,x 2 , ..., x n ) cumple que x i = |M i|para todo i, donde M|A|i es la matriz obtenida a partir de Asustituyendo la columna i-ésima por la columna de términos independientes B.El método de Cramer también puede utilizarse para resolver un SCI del siguiente modo:Supongamos que r(A) =r(A|B) =k

(x 1 − x 2 +3x 3 = −1con el sistemaque es equivalente al primero. Podemos quedarnos con un2x 1 + x 2 − x 3 =2menor de orden dos no nulo (por ejemplo ( el que corresponde a las dos primeras filas y columnas)x 1 − x 2 = −1 − 3x 3y poniendo el sistema en la forma, para el que imaginamos que tiene2x 1 + x 2 =2+x 3sólo dos ecuaciones y dos incógnitas, y cuyas soluciones podemos hallarlas en función de x 3 por−1 − 3x 3 −11 −1 − 3x 3¯ 2+x 3 1 ¯Cramer: x 1 == 1−2x ¯ 2 2+x33¯¯¯¯¯¯¯y x 1 −13 2 == 4+7x 3.1 −13 ¯ 2 1 ¯¯ 2 1 ¯Ejemplo 3.8 Discutir y resolver (en su caso) el siguiente sistema de ecuaciones lineales en funcióndel parámetro a ⎧⎪⎨⎪ ⎩x 1 +2x 2 +5x 3 =3x 1 +3x 2 +8x 3 =5− 2x 2 + ax 3 =4.Añadiéndole la primera fila a las demás obtenemos⎧⎪⎨ x 1 +2x 2 +5x 3 =3x 2 +3x 3 =2⎪⎩− 2x 2 + ax 3 =4.Le añadimos ahora la segunda fila a la tercera y tenemos⎧⎪⎨ x 1 +2x 2 +5x 3 =3x 2 +3x 3 =2⎪⎩(a +6)x 3 =8.Entonces la discusión se hace teniendo en cuenta que el parámetro aparece en alguno de los pivotes unavez que el sistema está escalonado. x 1 y x 2 son pivotes. El coeficiente a +6 puede ser nulo (si a = −6)con lo que en ese caso la variable x 3 no sería un pivote, es más tendríamos una ecuación de la forma0=8. Así que en ese caso (a = −6) tenemos un SI. Y cuando a 6= −6 tendremos que la variable x 3sí que es un pivote (pues su coeficiente a +6 es no nulo) y estamos con un SC. Además al no sobrarninguna variable, ya que todas son pivotes, tendríamos un SCD, cuya solución (dependiente de a) sehallaría despejando como hacemos habitualmente: x 3 = 8 , x a+6 2 =2−3 8 y x a+6 1 =3−2(2−3 8 )−5 8 .a+6 a+6Otro modo de discutir este sistema es utilizando el Teorema de Rouché-Froebenius, calculando losrangos de las matrices asociadas. Para esto puede ser útil el determinante (que en este caso tienesentido pues la matriz de coeficientes es cuadrada; en el caso de que sea cuadrada la matriz ampliadatambién se puede utilizar; pero en cualquier otro caso no), de manera que hallando el determinante dela matriz de coeficientes|A| =¯1 2 51 3 80 −2 a=¯ ¯1 2 50 1 30 −2 a19=1¯¯1 3−2 a¯ = a +6.