Tema 2: Matrices, determinantes y sistemas lineales

Observación 1.9 Puede comprobarse que B es la inversa de A si y sólo si AB = I n si y sólo siBA = I n ,esdecir,essuficiente con que uno de los dos productos resulte la matriz identidad.Proposición 1.10 Una matriz cuadrada de orden n es invertible si y sólo si tiene rango n.La inversa de una matriz invertible A puedecalcularsedevariasformas. Unadeellasesdirectamente,planteando un sistema de ecuaciones, obtenido a partir de la suposición de que los coeficientes deA −1 son indeterminados, y hacer el producto AA −1 = I n (o A −1 A = I n ). Este método no es adecuado,pues hay que resolver n sistemas de n ecuaciones con n incógnitas. Es mejor el método de Gauss-Jordanque se explica a continuación.1.3.1 Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversaEste método para el cálculo de la inversa de una matriz, es en general bastante eficiente. Supongamosque tenemos una matriz A, cuadrada de orden n, que se sabe que es invertible. Pongamos la matriz A ya continuación, a la derecha, la matriz identidad de orden n. Usualmente se ponen ambas formando unamatriz de orden n × 2n y se separan por una línea vertical, quedando en la forma (A|I n ). AplicamosalamatrizA el método de Gauss-Jordan (variante del método de Gauss), consistente en haceroperaciones por fila hasta obtener la matriz identidad. El resultado de aplicarle a la matriz identidadque hay a la derecha de A esas mismas operaciones nos proporciona precisamente A −1 .Observación 1.11 Si le aplicamos el método de Gauss-Jordan a una matriz no invertible observaremosque es imposible obtener la matriz identidad en la parte izquierda.Ejemplo 1.12 HallarlainversadelamatrizA =⎛⎜⎝1 1 02 −1 −23 0 −1Pondríamos ⎛ entonces⎞1 1 01 0 0⎜⎟⎝ 2 −1 −20 1 0 ⎠, y aplicamos transformaciones, por ejemplo por fila. Añadimos a la se-3 0 −1 ¯ 0 0 1⎛⎞1 1 01 0 0⎜⎟gunda fila −2 veces la primera y a la tercera fila −3 veces, y obtenemos ⎝ 0 −3 −2−2 1 0 ⎠.0 −3 −1 ¯ −3 0 1⎛⎞1 1 01 0 0⎜⎟Ahora le añadimos a la tercera fila −1 por la segunda: ⎝ 0 −3 −2−2 1 0 ⎠. Una vez que0 0 1 ¯ −1 −1 1estamos con una matriz triangular superior, se ⎛ hacen operaciones para ⎞hacerla diagonal. Primero1 1 01 0 0⎜⎟añadimos a la segunda fila 2 veces la tercera: ⎝ 0 −3 0−4 −1 2 ⎠. Multiplicando la segun-0 0 1 ¯ −1 −1 1⎞⎟⎠.6