Tema 12: Funciones de varias variables y funciones vectoriales

Tema 12: Funciones de varias variables y funciones vectoriales.
Límites y continuidad
1 Funciones de varias variables
Observación 1.1 Conviene repasar,enestepunto,lodadoenelTema6paratopología en R n :
bolas, puntos interiores y de acumulación, conjuntos abiertos, cerrados, actados y compactos, en
especial en el plano R 2 y en el espacio tridimensional R 3 .
Definición 1.2 Llamaremos función real de varias variables (o campo escalar) a toda función
f : R n → R
Y llamaremos función vectorial de varias variables (o campo vectorial) a toda función
f : R n → R m
En ambos casos se dice que f es una función de n variables.
Ejemplo 1.3
i) f : R 2 → R dada por
f(x, y) =x 2 y + e cos y log x − 3
es una función real de 2 variables.
ii) f : R 3 → R dada por
f(x, y, z) =cos(x − y − 2) + √ z 5 − 1tan(e x+y )
es una función real de 3 variables.
iii) f : R n → R dada por
√
x
f(x 1 ,x 2 , ..., x n )=e
2 1 +x2 2 +...+x2 n
es una función real de n variables.
iv) f : R 3 → R 2 dada por
f(x, y, z) =(x − y + z − 20,ztan[e zy ])
es una función vectorial de 3 variables y 2 coordenadas.
v) f : R 4 → R 5 dada por
f(x, y, z, t) =(x − y, xcos z, t 2 + e y , 0, 3 − xyzt)
es una función vectorial de 4 variables y 5 coordenadas.
1

Definición 1.4 Sea f : R n → R m (una función vectorial). Llamaremos funciones coordenadas
de f a las funciones
f 1 ,f 2 , ..., f m : R n → R
que verifican que
f(x 1 ,x 2 ,...,x n )=(f 1 (x 1 ,x 2 , ..., x n ),f 2 (x 1 ,x 2 , ..., x n ), ..., f m (x 1 ,x 2 ,...,x n ))
En esta situación pondremos
f =(f 1 ,f 2 , ..., f m )
Observación 1.5 Para el ejemplo iv) anterior se tiene que
f : R 3 → R 2
tiene por funciones coordenadas
f 1 ,f 2 : R 3 → R
dadas por
f 1 (x, y, z) = x − y + z − 20
f 2 (x, y, z) = z tan[e xy ]
Para el ejemplo v) anterior se tiene que
f : R 4 → R 5
tiene por funciones coordenadas
f 1 ,f 2 ,f 3 ,f 4 ,f 5 : R 4 → R
dadas por
f 1 (x, y, z, t) =x − y f 2 (x, y, z, t) =x cos z f 3 (x, y, z, t) =t 2 + e y
f 4 (x, y, z, t) =0
f 5 (x, y, z, t) =3− xyzt
Igual que en el caso de funciones reales de una variable real (f : R → R) seentiendepordominio
de una función de varias variables al conjunto de puntos de R n en el cual tienen sentido todas las
expresiones que definen a la función. Si f =(f 1 ,f 2 ,...,f m ) es una función vectorial se tiene además
que
Domf = Domf 1 ∩ Domf 2 ∩ ... ∩ Domf m
De todos modos, al igual que ocurría con funciones reales de variable real, el dominio puede estar
restringido sin necesidad de ser el dominio máximo posible.
2

Observación 1.6 En el ejemplo i) anterior el dominio está formado por todos los puntos (x, y) que
cumplen que x>0.
En el ejemplo ii) el dominio está formado por todos los puntos (x, y, z) de R 3 que verifican
z 5 − 1 ≥ 0 y cos(e x+y ) 6= 0, simultáneamente.
En el ejemplo iii) el dominio es todo R n , así como en el ejemplo v).
Finalmente en el ejemplo iv) el dominio está formado por todos los puntos (x, y, z) de R 3 que
verifican cos(e zy ) 6= 0.
Eldominiodelafunción
1
f(x, y) =cos(
x 2 + y ) 2
es todo R 2 salvo el punto (0, 0) (observar que es el único punto que hace nula la suma de cuadrados
x 2 + y 2 ).
Para la función
g(x, y) = x2 + y 2
xy
el dominio es
Domg = {(x, y) ∈ R 2 tales que xy 6= 0},
en definitiva todo R 2 salvo los ejes coordenados x =0e y =0.
Y el dominio de la función h(x, y) =( x2
y , log(x − y), √ x 2 − 1) es
Domh = {(x, y) ∈ R n : y 6= 0,x− y>0,x 2 − 1 ≥ 0}
La gráfica de una función f : R n → R m es el siguiente conjunto de puntos de R n+m
{(x 1 ,x 2 , ..., x n ,f(x 1 ,x 2 , ..., x n )) ∈ R n+m :(x 1 ,x 2 ,...,x n ) ∈ Domf}
Casos donde puede visualizarse la gráfica:
• Una función real de variable real f : R → R. Enestecasolagráfica es una curva en R 2 ,que
está formada por todos los puntos de la forma (x, f(x)), donde x recorre el dominio de f. Ésta
es la situación que hemos analizado en el Tema 6 de la asignatura.
• Una función real de dos variables f : R 2 → R. En este caso la gráfica es una superficie, que
estáformadaportodoslospuntosdelaforma(x, y, f(x, y)), donde(x, y) recorre el dominio
de f. Ésta será la situación que analizaremos en el presente tema y en los restantes.
• Una función vectorial de una variable f : R → R n , cuando n =2, 3. En este caso tenemos lo
que se denomina una curva parametrizada en R 2 ó R 3 . Ésta es una situación especial que se
visualiza de otro modo que no vamos a tratar con detalle aquí.
3

A continuación vemos algunas superficies (aquí están dadas mediante una ecuación implícita):
Esfera x 2 + y 2 + z 2 =1 Cilindro x 2 + y 2 =1 Cono z 2 = x 2 + y 2
Paraboliode z = x 2 + y 2 Silla de montar z = x 2 − y 2 Toro z 2 =1− ( p x 2 + y 2 − 2) 2
La figura ocho Una espiral La hélice circular
Debido a la complejidad existente en general a la hora de abordar el problema de la representación
gráfica de una superficie z = f(x, y) se hace necesario otro recurso que facilite en buena medida esta
4

labor. Así podemos utilizar las curvas de nivel, que son las proyecciones sobre el plano OXY de los
puntos de la superficie que están a cierta altura constante (para cada altura k al hacer la proyección
sobre el plano OXY de la superficie obtenemos la curva de nivel {(x, y) :f(x, y) =k). Algunas
pinceladas sobre esto comentaremos en el apéndice.
2 Límitedefuncionesdevariasvariables
La idea intuitiva de límite es similar a la del caso de funciones reales de una variable real, con las
generalizaciones correspondientes.
Consideremos una función real de varias variables
f : Ω ⊆ R n → R
y x 0 =(a 1 ,a 2 , ..., a n ) un punto de acumulación de Ω (recordemos que esto se da cuando toda bola
centrada en x 0 contiene infinitos puntos de Ω; en adelante cuando estudiemos el límite en un punto
siempre supondremos que estamos con un punto de acumulación).
Diremos que L ∈ R es el límite de f cuando x =(x 1 ,x 2 , ..., x n ) tiende hacia x 0 atravésde
Ω (también se dice que es el límite restringido a Ω) cuando (de modo intuitivo) al aproximarnos
al punto x 0 por puntos x ∈ Ω el valor de la función f(x) se aproxima a L.
Esto lo denotaremos de alguna de las siguientes maneras
lim f(x 1,x 2 , ..., x n )=L lim f(x) =L lim
(x 1 ,x 2 ,...,x n )→(a 1 ,a 2 ,...,a n ),x∈Ω x→x 0 ,x∈Ω
x → x 0
x ∈ Ω
f(x) =L
Observación 2.1 Rigurosamentehablandoespreciso,comoseindicaanteriormente,sóloparaplantear
la existencia del límite de una función f en un punto x 0 atravésdeunconjuntoΩ, quedicho
punto sea de acumulación del conjunto. En lo sucesivo, aunque no hagamos mención de tal detalle,
cada vez que se plantee un límite, supondremos que ocurrirá así, es decir, el punto será de
acumulación del conjunto, aunque no hagamos mención expresa de ello.
Es conveniente especificar claramente el conjunto Ω enelquesetomanlospuntosatravésdelos
cuales pretendemos aproximarnos hacia x 0 , pues la cosa puede variar si lo cambiamos. El caso más
habitual es que pretendamos aproximarnos al punto x 0 a través del conjunto más amplio posible, el
dominio de la función, para el que pondremos
lim f(x) =L
x→x 0
y al que nos referiremos simplemente diciendo que L es el límite de f cuando x tiende hacia x 0 (como
√ √
ocurría con lim x =0ó lim log x = −∞, que podemos poner, respectivamente, lim x =0ó
x→0 +
x→0 +
x→0
lim
x→0
log x = −∞, dando por hecho que el límite sólo puede hacerse por la derecha, es decir, a través
del conjunto {x : x>0}).
5

En lo sucesivo, las propiedades que enunciemos acerca del límite a través del dominio podrán ser
generalizadas para límites a través de algún conjunto Ω.
De modo similar se define el límite de una función vectorial de varias variables
sólo que L no es un número real sino un vector
f : R n → R m
L =(L 1 ,L 2 , ..., L m ) ∈ R m
y entonces lo que debe ser inferior que ε es la distancia entre f(x) y L (esto último puede escribirse
de modo equivalente diciendo que f(x) ∈ B(L, ε)).
En principio la idea inicial que tenemos de límite consiste, como ocurría para las funciones reales
de una variable, es sustituir en el punto:
x
Ejemplo 2.2 1. lim
2 +y 2 −2
= −1 = −1
(x,y)→(0,1)
1+x cos y 1
2. lim
(x,y)→(−2,π) [sin y − 3cos(yx)]2 =[sinπ − 3cos(−2π)] 2 =[0− 3] 2 =9
3. lim
(x,y,z)→(1,−1,0) x2 y 3 (z +2)− 4=1 2 (−1) 3 · 2 − 4=−2 − 4=−6
4. lim
(x,y)→(3,0) ( x e y , y−1
3x , 5) = ( 3 1 , −1
9 , 5) = (3, − 1 9 , 5)
Veamos cómo puede cambiar la cosa si nos acercamos a través de diversos conjuntos:
Ejemplo 2.3 Dada la función
f(x, y) = 9x2 − y 2
x 2 + y 2
definida para todo punto excepto para el origen (0, 0), vamos a determinar el valor del límite de la
función cuando nos acercamos al origen, a través de los siguientes conjuntos:
1. La recta y = x,
2.
3. La parábola x = y 2 ,
9x 2 − y 2
lim
(x,y)→(0,0),y=x x 2 + y 2
9x 2 − y 2
lim
(x,y)→(0,0),y=3x x 2 + y 2
9x 2 − y 2
lim
(x,y)→(0,0),x=y 2 x 2 + y 2
=lim 9x 2 − x 2
x→0 x 2 + x 2
=lim 9x 2 − 9x 2
x→0 x 2 +9x 2
=lim 9y 4 − y 2
y→0 y 4 + y 2
=lim
x→0
=lim 8x 2
x→0 2x =4 2
0
10x 2 =lim
x→0 0=0
=lim 9y 2 − 1
y→0 y 2 +1 = −1
Nota: Puede ocurrir así (el límite sale distinto, según el conjunto que se tome para la aproximación)
en casos en los que al sustituir directamente no se obtenga un valor determinado
6

También es posible que los límites de funciones de varias variables sean infinitos, generalizando
la definición dada para funciones reales de una variable.
Ejemplo 2.4
x+1
lim = 1 = ∞ lim
(x,y)→(0,0)
y 0
(x,y)→(2,0)
2.1 Operaciones con límites
1+x
= 3 =+∞ lim (2y, 3
)=∞
(x−2) 2 +y 2 0
(x,y)→(1,−3)
x−1
Para determinar la existencia del límite de una función vectorial basta estudiar el límite de sus
funciones coordenadas. De este modo nos centraremos en estudiar límites de funciones reales. Esto
se debe al siguiente resultado:
Propiedad: Sea
f =(f 1 ,f 2 , ..., f m ):R n → R m
y x 0 ∈ R n . Se tiene que existe lim f(x) yvaleL =(L 1 ,L 2 , ..., L m ) si y sólo si existen los límites de
x→x0
las funciones coordenadas
lim f 1 (x), lim f 2 (x)..., lim f m (x)
x→x 0 x→x0 x→x0
yvalenL 1 ,..., L m , respectivamente. En conclusión
µ
lim f(x) =lim (f 1 (x),f 2 (x), ..., f m (x)) =
x→x 0 x→x0
lim f 1 (x), lim f 2 (x), ..., lim f m (x)
x→x 0 x→x0 x→x0
Ejemplo 2.5 Para f : R 3 → R 2 dada por
se tiene que
lim
(x,y,z)→(1,0,−1)
f(x, y, z) =(x − y + z − 20,ztan[ π 4 ezy ])
f(x, y, z) = lim (x − y + z − 20,ztan[π (x,y,z)→(1,0,−1) 4 ezy ]) =
= ( lim
(x,y,z)→(1,0,−1)
[x − y + z − 20], lim z tan[π (x,y,z)→(1,0,−1) 4 ezy ]) =
=(−20, − tan π )=(−20, −1)
4
Y al igual que ocurría para el caso de funciones reales de una variable real se tratan las operaciones
usuales para las funciones de varias variables, siempre que tengan sentido. Así:
Propiedad: Sean f : R n → R m y g : R n → R m funciones para las que existe el límite y es finito
cuando la variable tiende a un punto x 0 y sean α y β números reales. Entonces
lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x)± lim g(x)
x→x 0 x→x0 x→x0
lim [αf(x)] = α lim f(x)
x→x0 x→x0
7

Además en el caso en que m =1(es decir, cuando las funciones no son vectoriales sino reales) se
tiene:
Sean f,g : R n → R funciones para las que existe el límite y es finito cuando la variable tiende a
un punto x 0 .Entonces
lim [f(x) · g(x)] = lim f(x)· lim g(x)
x→x 0 x→x0 x→x0
lim
x→x0
lim
f(x)
g(x) = lim g(x)
x→x 0
x→x0
f(x)
(esto último tiene sentido si lim
x→x0
g(x) 6= 0).
Además, estos resultados también son válidos para algunas situaciones de las distintas de las
anteriores, como algunas en las que interviene algún infinito (de modo análogo a como ocurría para
funciones de una variable: ver la Sección ”Operaciones Simbólicas” del Tema 6):
Ejemplo 2.6
lim e −y
x 2 = e −∞ =0
(x,y)→(0,1)
Nosplanteamosahoralarelación existente entre los límites a través de diferentes conjuntos.
Y entonces se cumple que:
Para que el límite exista deben coincidir todos los límites planteados a través de
todos los conjuntos posibles.
Ejemplo 2.7 La función
g(x, y) = x − y
x + y
definida en todo punto posible no tiene límite en el punto (0, 0) pues a través del conjunto
su límite existe y vale 0 y a través del conjunto
su límite existe y vale − 1 3 .
Ω 0 = {(x, x) :x ∈ R} = {(x, y) :y = x}
Ω 00 = {(x, 2x) :x ∈ R} = {(x, y) :y =2x}
2.2 Límites direccionales
A la hora de estudiar el límite de una función de dos variables mediante límites a través de algunos
conjuntos es típico considerar conjuntos del tipo rectas, parábolas y en general curvas de algunas de
las formas
y = g(x) x = h(y)
8

Una situación especial es el caso de los límites a través de rectas que contienen al punto, denominados
también límites direccionales. Estas rectas, como ya sabemos, son las de la forma
y − b = m(x − a) junto con la recta vertical x = a
Notemos que la existencia de los límites direccionales no garantiza la existencia del límite, ni
siquiera cuando todos ellos coinciden. Lo más que se puede decir es lo siguiente:
Consecuencia: Si no existe algún límite direccional o al menos dos de ellos son distintos
entonces no existe el límite (a través del dominio).
Nota: Como comentamos anteriormente se puede generalizar el resultado anterior y deducir que
si el límite a través de al menos dos conjuntos da un valor distinto (pueden ser dos direccionales, dos
no direccionales o uno direccional y otro no direccional) entonces el límite no existe.
Ejemplo 2.8 Calcular los límites direccionales de la función
en el punto (0, 0). Éstos son
lim
(x,y)→(0,0),y=mx
x 2 −y 2
x 2 +2y 2
lim
(x,y)→(0,0),x=0
x 2 − y 2
x 2 +2y 2
=lim
x→0
x 2 −m 2 x 2
x 2 +2m 2 x 2
x 2 −y 2
x 2 +2y 2
1−m
=lim
2
= 1−m2
x→0 1+2m 2 1+2m 2
−y
=lim
2
= − 1
y→0 2y 2 2
Como consecuencia vemos que el límite no existe puesto que hay límites direccionales que difieren
(basta observar que hay límites direccionales distintos: por ejemplo el último límite, que vale − 1 2 ,y
alguno de los otros, por ejemplo para m =0,cuyovalores1; o por ejemplo para m =0, cuyo valor
es 1 yparam =1,cuyovalores0).
Ejemplo 2.9 Calcular los límites direccionales de la función x−1
y+1
Éstos son
lim
(x,y)→(1,−1),y+1=m(x−1)
lim
(x,y)→(1,−1),x=1
x−1
=lim
y+1 x→1
x−1
=lim
y+1 y→−1
x−1
=lim
m(x−1) x→1
0
=lim 0=0
y+1 y→−1
en el punto (1, −1).
1
m = 1 m
Como consecuencia vemos que el límite no existe puesto que hay límites direccionales que difieren
(por ejemplo para m =1da 1 yparam =2da 1 ;inclusohayunoqueda∞, param =0).
2
Ejemplo 2.10 Comprobar que no existe el siguiente límite
lim
(x,y)→(0,0)
xy 2
x 2 + y 4
Ver que los límites direccionales, a pesar de ser todos iguales, resultan distintos del límite a través
del conjunto x = y 2 .
9

Los límites direccionales valen
lim
(x,y)→(0,0),y=mx
lim
(x,y)→(0,0),x=0
xy 2
x 2 +y 4
xy 2
x 2 +y 4
=lim
y el límite a través del conjunto mencionado es
xy 2
lim
(x,y)→(0,0),x=y 2 x 2 + y =lim 4 x→0
xm 2 x 2
x→0 x 2 +m 4 x 4
0·y
=lim
2
y→0 y 4
=lim
x→0
x(1−m 2 )
1+x 2 m 4 = 0 1 =0
0
=lim
y→0 y 4
y 2 y 2
y 4 + y 4 =lim
x→0
2.3 Cambio a coordenadas polares en R 2
=lim
y→0
0=0
y 4
2y =lim 1
4 x→0 2 = 1 2
Supongamos que tenemos una función
f : R 2 → R
para la que planteamos el límite en un punto x 0 =(a, b). Para hacer el límite
lim f(x, y)
(x,y)→(a,b)
podemos probar haciendo el ”cambio de variable”
x = a + ρ cos θ
y = b + ρ sin θ
El caso más sencillo y el que más habitualmente vamos a utilizar es cuando a =0,b =0,esdecir,
cuando estamos con el punto (0, 0), en el que queda así la cosa
x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
Concretamente se tiene la siguiente relación:
Propiedad: Supongamos que
1)
∃ lim f(a + ρ cos θ,b+ ρ sin θ) =L
ρ→0
2) Que este valor, L, no depende de θ ∈ [0, 2π[.
3) Que existe una función F : R → R cumpliendo que lim F (ρ) =0ydemodoque
ρ→0
|f(a + ρ cos θ,b+ ρ sin θ) − L| ≤ F (ρ)
para todo ρ ytodoθ ∈ [0, 2π[
Entonces
lim f(x, y) =L
(x,y)→(a,b)
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Ejemplo 2.11 Para la función
en el punto (0, 0), setienequecomo
f(x, y) = x3 + x 2 − 2y 3 + y 2
x 2 + y 2
cos 3 θ − 2ρ 3 sin 3 θ + ρ 2 cos 2 θ + ρ 2 sin 2 θ
lim f(ρ cos θ, ρ sin θ) =lim
ρ→0 ρ→0 [ρ3 ρ 2 cos 2 θ + ρ 2 sin 2 ]=
θ
=lim [ ρ2 (ρ cos 3 θ − 2ρ sin 3 θ +cos 2 θ +sin 2 θ)
ρ→0 ρ 2 (cos 2 θ +sin 2 ]=
θ)
=lim [ ρ2 (ρ cos 3 θ − 2ρ sin 3 θ +1)
] =lim [ρ cos 3 θ − 2ρ sin 3 θ +1]=1
ρ→0 ρ 2 · 1
ρ→0
para cualquier θ, así que nuestro candidato a límite es L =1por lo que buscaremos una función F
cumpliendo lo requerido. Como se tiene que
|f(ρ cos θ, ρ sin θ) − 1| = ¯¯ρ cos 3 θ − 2ρ sin 3 θ +1− 1¯¯ =
= ¯¯ρ cos 3 θ − 2ρ sin 3 θ¯¯ ≤ ¯¯ρ cos 3 θ¯¯ + ¯¯2ρ sin 3 θ¯¯ ≤ ρ +2ρ =3ρ
tomaremos
ysetieneque
yenefecto
F (ρ) =3ρ
lim F (ρ) =lim 3ρ =0
ρ→0 ρ→0
lim f(x, y) =1
(x,y)→(0,0)
Ejemplo 2.12 Para la función
en el punto (0, 0), setienequecomo
g(x, y) = 2x2 +3y 2 − 2y 3
x 2 + y 2
cos 2 θ +3ρ 2 sin 2 θ − 2ρ 3 sin 3 θ
lim g(ρ cos θ, ρ sin θ) =lim
ρ→0 ρ→0 [2ρ2 ρ 2 cos 2 θ + ρ 2 sin 2 ]=
θ
=lim [ ρ2 (2 cos 2 θ +3sin 2 θ − 2ρ sin 3 θ)
ρ→0 ρ 2 (cos 2 θ +sin 2 ]=
θ)
=lim [2 cos 2 θ +3sin 2 θ − 2ρ sin 3 θ)] = 2 cos 2 θ +3sin 2 θ
ρ→0
depende de θ, entonces no existe el límite lim g(x, y).
(x,y)→(0,0)
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Ejemplo 2.13 Comprobemos la existencia del límite
lim
(x,y)→(0,1)
(y hallemos su valor) utilizando coordenadas polares
x 3
x 2 +(y − 1) 2
x = ρ cos θ
y =1+ρ sin θ
En primer lugar vemos que el siguiente límite existe y no depende de θ, luego es nuestro candidato:
L =lim
ρ→0
(ρ cos θ) 3
(ρ cos θ) 2 +(1+ρ sin θ − 1) 2 =lim
ρ→0
=lim
ρ→0
ρ 3 cos 3 θ
ρ 2 cos 2 θ + ρ 2 sin 2 θ =
ρ 3 cos 3 θ
ρ 2 (cos 2 θ +sin 2 θ) =lim
ρ→0 ρ cos3 θ =0
(ρ cos θ)
Ycomo¯¯¯¯
3
(ρ cos θ) 2 +(1+ρsenθ − 1) − L¯¯¯¯ =
(ρ cos θ) 3
2 ¯(ρ cos θ) 2 +(ρsenθ) − 0¯¯¯¯ = ¯¯ρ cos 3 θ¯¯ ≤ ρ → 0
2
en efecto se tiene que
x 3
lim
(x,y)→(0,1) x 2 +(y − 1) =0 2
Nota: Observemos que hemos tomado
F (ρ) =ρ
Ejemplo 2.14 Para la función
h(x, y) =
xy2
x 2 + y 4
se tiene que como
lim h(ρ cos θ, ρ sin θ) =lim ρ cos θ sin 2 θ
ρ→0 ρ→0 cos 2 θ + ρ 2 sin 4 θ =0
para cualquier θ, nuestro candidato a límite es L =0. Pero ahora la búsqueda de F no resulta
fructífera en este caso. De hecho como se mostró en el Ejemplo 2.10 se tiene que
@ lim h(x, y)
(x,y)→(0,0)
Ejercicio 2.15 Comprobar la existencia del límite
lim (2 − (x +1) 3
(x,y)→(−1,2) (x +1) 2 +(y − 2) ) 4
calculando el límite utilizando el cambio a coordenadas polares
Solución: 2.
x = −1+ρ cos θ
y = 2+ρ sin θ
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3 Continuidad de funciones de varias variables
La definición de continuidad es enteramente análoga al caso de funciones de una variable real.
Diremos que una función f es continua en un punto x 0 cuando el punto está en el dominio, la
función tiene límite (finito) en el punto y el valor de la función y de su límite en el punto coinciden.
Es decir:
1) x 0 ∈ Domf (∃ f(x 0 )).
2) Existe el límite de f en x 0 (y es finito).
3) lim
x→x0
f(x) =f(x 0 ).
El estudio de la continuidad de una función en un punto se reduce fundamentalmente al estudio
de la existencia y, en su caso, el valor del límite de la función en el punto. Además, al igual que
pasaba con los límites, el estudio de la continuidad de una función vectorial se reduce al de sus
funciones coordenadas pues:
Propiedad: Una función vectorial es continua si y sólo si son continuas sus funciones
coordenadas.
Además, las funciones usuales (constantes, polinomios, exponenciales, trigonométricas, logaritmos,
etc.) son funciones continuas en todo punto de su dominio. También al igual que pasaba con
las funciones de una variable real, las operaciones usuales quesehacencon funciones continuas
dan como resultado una función continua: sumas, restas, multiplicación por escalares, composición
de funciones, productos, cocientes con denominador no nulo, y otras operaciones usuales. Así por
ejemplo serán funciones continuas, en todo punto de su dominio, las siguientes:
Ejemplo 3.1
1) f 1 (x, y) = 3xy+x6
x
y
+5(x 2 +1) x (continua en {(x, y) :y 6= 0}).
e
2) f 2 (x, y) =( sin(x−y)
x 2 +y 2 − log(x + y 2 ),e tan(x+1) ) (continua en {(x, y) :x + y 2 > 0, cos(x +1)6= 0}).
Observación 3.2 En ocasiones ocurre que por problemas de dominio no podemos plantear el límite
atravésdeR 2 , sólo podemos plantearlo a través del dominio. Así ocurre por ejemplo con la función
f(x, y) = √ x − y cuando planteamos la existencia del límite en el punto (0, 0): éste sólo puede
plantearse a través del dominio, que es el conjunto {(x, y) :x ≥ y}. En este caso el resultado del
límite es 0. Entonces podemos interpretar que la función, que está definida en (0, 0) tomando el
valor 0, es continua en dicho punto, por supuesto, continua a través del dominio. Admitiremos pues
dentro de la definición de continuidad tal generalidad (que denominaremos continuidadatravés
de un conjunto), especialmente en el caso en que el límite lo realicemos a través del dominio.
A continuación, y para finalizar el tema, damos la versión en varias variables del Teorema de
Weierstrass que generaliza el caso de una variable:
Teorema 3.3 Si f : R n → R m es una función continua en Ω ⊆ Domf y Ω es compacto entonces
f(Ω) es también compacto.
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Corolario 3.4 Si la función f : R n → R es continua en el conjunto compacto Ω ⊆ Domf, entonces
existen x 0 ,y 0 ∈ Ω tales que
f(x 0 )=max{f(x) :x ∈ Ω}
f(y 0 )=min{f(x) :x ∈ Ω}
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