Actividad III.29 – Variación de la resistencia con la temperatura

Actividad III.29 – Variación de la resistencia con
la temperatura
Objetivo
Estudio del efecto de la temperatura sobre la conducción eléctrica de medios
materiales (conductor puro, aleación, semiconductor) y en algunos dispositivos
electrónicos comunes (resistencias de carbón, termistores). Interpretación de los
resultados sobre la base de modelos microscópicos de los mecanismos de conducción en
cada caso.
Introducción
Para que un medio material pueda conducir la corriente eléctrica debe de existir
en su interior cargas móviles (portadores) capaces de conducir la electricidad. En los
metales, las cargas móviles son los electrones; en las soluciones electrolíticas, las cargas
móviles son los iones, etc.
Consideremos una muestra cilíndrica de sección transversal A y longitud l de un
material cualquiera por el que se hace circular una corriente eléctrica i. Es posible
relacionar esta corriente de modo muy general con la carga ν.e que transporta cada
portador móvil (e es la carga elemental y ν el número de cargas elementales por cada
portador de carga), la velocidad media de las cargas móviles, v m , y el número de cargas
libres por unidad de volumen, n: [1,2]
i = n ⋅ A ⋅ vm ⋅ e ⋅ν
(29.1)
Si el material en cuestión obedece la ley de Ohm, la dependencia del voltaje V
con la corriente i es lineal (i = V / R). La resistencia eléctrica R de la muestra cilíndrica
en consideración está dada por:
l
R = ⋅
A
ρ (29.2)
donde ρ es la resistividad del material. Si suponemos que el campo eléctrico E = V / l a
lo largo del cilindro es uniforme, entonces de (29.1) y (29.2) tenemos:
ρ =
R ⋅
A
l
=
V
i
⋅
A
l
=
E ⎛
=
ν
⎜
n ⋅ vm
⋅ e ⋅ ⎝
E
v
m
⎞
⎟ ⋅
⎠
1
n ⋅ e ⋅ν
(29.3)
Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil 2007 1

Para que el material obedezca ley de Ohm, ρ debe ser independiente del campo
(o voltaje) aplicado y de la velocidad de los iones v m . Esto significa que para que se
cumpla la ley de Ohm, dentro del material debe existir algún mecanismo de fricción o
choques de modo que v m sea proporcional a E. Esto puede lograrse, por ejemplo, si las
cargas se mueven en un medio que les oponga una “fuerza viscosa”. En un sólido esto
podría lograrse si los electrones (o portadores de carga) chocaran constantemente contra
los iones de la red cristalina que lo forman. En cierto sentido, podríamos comparar el
movimiento de los electrones en un sólido con el de una canica que cae por una
escalera: si bien el movimiento entre dos escalones es acelerado, la canica cae con una
velocidad promedio constante igual a la mitad de la velocidad final al llegar al escalón
siguiente. Si llamamos τ el tiempo medio entre choque y choque, podemos escribir:
v
m
=
1
⋅V
f
2
=
1
2
ν ⋅ e ⋅ E
⋅
m
⋅τ
(29.4)
donde m es la masa de los portadores de carga. También es razonable suponer que τ
será inversamente proporcional al tamaño de estos iones. Se define la sección eficaz
σ ef de choque de los electrones contra los iones, que es una medida de la probabilidad
que tienen los portadores de carga de chocar contra dichos iones. Combinando (29.3) y
(29.4) podemos escribir:
2 ⋅ m 1 σ
ef
ρ = ⋅ ∝ , (29.5)
2
( ν ⋅ e)
τ ⋅ n n
que indica que la resistividad es proporcional a la sección eficaz de choque de los
portadores de carga e inversamente proporcional al número de portadores por unidad de
volumen. Así se comprende que, en un material metálico (n = constante), al aumentar la
temperatura, los iones que forman el cristal vibran más alrededor de sus posiciones de
equilibrio (pareciendo más “gordos”), lo que trae como consecuencia un incremento de
σ y un consecuente cambio (aumento) de la resistividad con la temperatura. Por otro
lado, en el caso de los semiconductores, un aumento la temperatura tiene como efecto
un aumento del número de portadores de carga n capaces de conducir. Por lo tanto,
vemos que es de esperar efectos interesantes en la resistividad de un material cuando se
varía la temperatura. Esto es precisamente lo que queremos estudiar en este
experimento.
Proyecto 1− Variación de la resistencia con la temperatura
Equipamiento básico recomendado: Alambre de cobre, y manganina de diámetro
≈0.05 a 0.1 mm. Un termistor de < 1 kΩ a temperatura ambiente. Un multímetro que
pueda medir resistencia eléctrica en el rango 1−10 4 Ω. Un termómetro.
Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil 2007 2

Una posible disposición experimental para estudiar la variación de la resistencia
eléctrica, R, con la temperatura, T, se muestra esquemáticamente en la Fig. 29.1.
Consiste en colocar la resistencia en un medio líquido poco o no conductor (por ejemplo
aceite de transformador o agua destilada, la idea es que la resistencia a medir sea
mucho menor que la resistencia del medio líquido) que puede calentarse usando un
calefactor y disponer de algún dispositivo para medir la temperatura (un termómetro,
termocupla, etc.). El baño líquido sirve para uniformizar la temperatura y dar más
inercia térmica al sistema. Un modo simple de medir R consiste en usar un óhmetro.
Figura 29.1 Dispositivo experimental para medir la variación de la
resistencia con la temperatura. El baño térmico consiste en un recipiente
con un líquido de poca conductividad eléctrica. Se requiere de un
termómetro y un multímetro (en modo óhmetro) para medir la resistencia
R como función de la temperatura.
Estudie experimentalmente la variación de R con T para uno de los dos elementos
siguientes:
a) Metal puro: Realice este estudio para algún metal puro, por ejemplo: cobre.
Para ello construya un arrollamiento de unos 5 a 10 m de alambre esmaltado
de diámetro entre 0.05 mm y 0.1 mm. Si usa otro metal estime la longitud
del alambre para tener resistencias entre 10 Ω y 100 Ω a temperatura
ambiente. La razón de usar alambra fino y largo de cobre, es lograr que la
muestra tenga una resistencia tal, que pueda ser medida con multimotros
comerciales. Estos, típicamente pueden medir con un error aceptable (≈1%)
Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil 2007 3

esistencias mayores que 10 Ω. Si lo prefiere puede usar un RTD
(Resistance Temperature Detector), que son resistencias encapsuladas de Pt
y cuyo coeficiente de variación de la resistencia con la temperatura está muy
bien definido y está dado por el fabricante. Para rangos no muy grande de
temperatura la variación de R con T es lineal:
R T ) = R ⋅ (1 −α ⋅ ( T − ))
(29.5)
( 0 T0
Para este experimento se puede usar un óhmetro para medir la resistencia y
un termómetro convencional, bien calibrado, para medir la temperatura.
‣ Represente gráficamente la resistencia del alambre (o RDT) como
función de la temperatura.
‣ Obtenga el coeficiente de variación de R con la temperatura, α, y
compare su valor con los de tabla.
a) Aleación: Un alambre que suele usarse como alambre de conexión es la
manganina, que es una aleación especial de Cu y Ni. Por las mismas razones
que comentamos más arriba, es conveniente que la resistecia de la muestra
sea mayor que unos 10 Ω. Descubra sus propiedades eléctricas midiendo
R(T), tratando de variar la temperatura entre 0 ºC y 100 ºC. ¿Qué encuentra?
De ser posible sumerja la muestra de alambre en un baño de Nitrógeno
líquido para ampliar el margen de variación de temperatura y compare el
valor de la resistencia a esa temperatura (punto de ebullición del Nitrógeno
líquido, T N2 ≈ 77 K) y compare con los valores a temperaturas cercanas a la
temperatura ambiente (T amb ≈ 300 K). ¿Qué puede decir de la variación de la
resistencia de esta aleación con la temperatura?
b) Termistor: Estos dispositivos semiconductores son muy usados para medir
temperatura por su bajo costo y sensibilidad. La propiedad termométrica de
los mismos es la resistencia eléctrica, por lo que es importante conocer con
precisión la variación de R con T. Sin embargo, la dependencia con la
temperatura no es simple. Una expresión que describe bien a alguno de
estos componentes es:
R(
T ) = R(
T
0
⎛ ⎡ 1 1 ⎤⎞
⎛ Eg
⎞
⎜
⎡ 1 1 ⎤
) ⋅ exp⎜
β ⋅
⎢
−
⎥⎟
= R0
⋅ exp ⋅
⎢
−
⎥
⎟ (29.6)
⎝ ⎣T
T 0 ⎦⎠
⎝ k ⎣T
T 0 ⎦⎠
donde T y T 0 son las temperaturas absolutas, R(T 0 )=R 0 la resistencia a T 0 , β
y E g son constantes a determinar y k la constante de Boltzmann.
Elija un termistor de baja resistencia (R(T 0 ) < 1 kΩ), de modo que al
sumergirlo en agua su medición no esté afectada por la resistencia la misma.
Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil 2007 4

Si puede, adopte como medida de precaución aislar las terminales del
termistor que estarán sumergidas en el agua. Un pegamento convencional
que resista unos 100 ºC puede ser adecuado para esto.
‣ Represente gráficamente la resistencia del termistor como función de
la temperatura y el cociente R(T)/R 0 en función de 1/T en escala
semilogarítmica.
‣ Obtenga el coeficiente de variación de R con la temperatura, β, e
indique si la expresión (29.6) da cuenta adecuadamente de sus
resultados experimentales.
‣ (Opcional) Un resultado importante de la mecánica estadística, 6 es que
si tenemos un conjunto de N partículas a una temperatura T, que
pueden estar en dos niveles de energía, uno inferior E 1 y otro superior
E 2 (con ∆E=E 2 -E 1 ), la distribución de las mimas entre estos dos
niveles viene dado por la estadística de Boltzmann:
Número de particulas en E
Número de páticulas en E
1
2
n2
= = Exp(
−∆E
/ kT ) , (29.7)
n
1
con n 1 +n 2 =N. Combinado este resultado, con el modelo de
conducción discutido más arriba, Ec(29.5), elabore una discusión que
le permita justificar la expresión (29-6). ¿Qué puede concluir
respecto a la naturaleza cuántica del comportamiento de los electrones
en un sólido a partir de este estudio?
Proyecto 2 − Medición de la resistividad de una alambre por el método
de las cuatro puntas
Equipamiento básico recomendado: Alambre de cobre, aluminio, hierro Dos
multímetros para medir corrientes y tensión (milivoltios). Una fuente de tensión DC o
AC de unos 12V@2 A.
Para este proyecto se requieren muestras de algunos metales puros (≈ 99% de pureza)
de modo de comparar fácilmente los valores medidos con los tabulados para el mismo
material. Construya un circuito similar al indicado en la figura 29.2, para utilizar el
método de las cuatro puntas o método de Kelvin para medir resistencias, ver apéndice 1.
‣ Seleccione un conjunto de muestras puras de materiales conocidos, por
ejemplo Cu, Al, etc. Es importante de que la geometría de la muestra se pueda
caracterizar bien, por ello se puede usar alambre de más de 2 mm de diámetro y
una longitud de aproximadamente 1 m, de modos de posibilitar realizar
mediciones de su diámetro (φ) y su longitud (L) con precisiones mejores que el
Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil 2007 5

1%. Es importante recordar que la distancia entre los conectores del voltímetro
determinan el valor de L. Los conectores de corriente deben unirse (soldarse) a
estos mismos punto o también puede conectarse a puntos más afuera del
intervalo que determina L: Discuta y justifique este procedimiento de conexión
de los conectores de tensión y corriente.
‣ En cada extremo del cable (muestra) conecte dos alambres de cobre, uno de
ellos, por el que circulará la mayor corriente, debe tener un espesor tal que
pueda soportar la maxima corriente ( unos pocos amperes) sin calentarse
excesivamente. El alambre que se conecta al voltímetro puede ser más delgado
ya que por él prácticamente no circulará corriente.
‣ Use una fuente de DC con una resistencia limitadora de corriente (R ext ) en
serie, de unos 10 a 50 W y capaz de soportar algunos amperes de corriente. Si
la corriente que pasa por el circuito es de 1 A, para una resistencia de la
muestra de algunos mΩ, esperamos medir tensiones del orden de los mV. Para
su caso particular, estime el valor esperado de tensiones y elija el rango
apropiado en su multímetro para medir estas tensiones.
‣ Varíe el sentido de la corriente e investigue si la tensión medida cambie
significativamente.
‣ Realice varias mediciones de tensiones, para diferentes valores de corriente.
Usando la expresión (26.13). Obtenga el mejor valor de R y su correspondiente
error.
‣ Conociendo el valor del diámetro y la longitud del alambre L (distancia entre
los puntos de contacto con los conectores del (mili) voltímetro, determine el
valor de la resistividad del material y estime sus errores.
‣ Discuta el grado de acuerdo encontrado con los valores de tablas
correspondientes.
Amperímetro
A
I
I
V Voltímetro R
R ext
Figura 29.2 Determinación de la resistencia de una muestra (R ) usando el método de las
cuatro puntas. Nótese que como los voltímetros en general tiene alta resistencia (R voltímetro >10
MΩ) prácticamente toda la corriente circula por el circuito exterior (pasa solo por R) y no hay
caída de tensión en los cables. Aquí R ext es una resistencia limitadora, de unos 10 a 50 Ω y capaz
de soportar algunos amperes de corriente.
Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil 2007 6

Proyecto 3 − Variación de la resistencia con la temperatura de un
alambre metálico por el método de las cuatro puntas
Equipamiento básico recomendado: Alambre de cobre, aluminio, hierro Dos
multímetros para medir corrientes y tensión (milivoltios). Una fuente de tensión DC o
AC de unos 12V@2 A. Un termómetro.
Para este proyecto se requieren muestras de algunos metales puros (≈ 99% de pureza)
de modo de comparar fácilmente los valores medidos con los tabulados para el mismo
material. Construya un circuito similar al indicado en la figura 29.2, para utilizar el
método de las cuatro puntas o método de Kelvin para medir resistencias, ver apéndice 1.
‣ Seleccione la de muestras de materiales conocidos, por ejemplo Cu, Al, etc.
En este caso la geometría de la muestra no es importante. Por lo tanto puede
usarse una pequeña bobina de alambre de uno .2 a .4 mm de diámetro y de
unos 10 o más m de longitud. Los conectores de corriente y tensión se pueden
unir a los extremos de la bobina. El material del carretel, debe resistir un ciclo
térmico de 0º a 100ºC sin deteriorarse.
‣ Use una fuente de DC (o AC) con una resistencia limitadora de corriente (R ext )
en serie, de unos 10 a 50 W y capaz de soportar algunos amperes de corriente.
‣ Varíe el sentido de la corriente si usa una fuente DC.
‣ Sumerja la muestra (bobina) en un recipiente de agua con un termómetro, de
modo similar a como se indica en la Fig.29.1. Usando las Ecs. (29.13) o
(29.14) determine el valor de R pata cada temperatura T. Variando esta última
entre 0º y 100ºC aproximadamente.
‣ Grafique R en función de T e investigue sus dependencia.
‣ Si la relación entre R y T es lineal, determine su pendiente y error. A partir de
este dato, determine el coeficiente de variación de la resistencia con la
temperatura y su correspondiente error.
‣ Compare sus resultados con los valores de tabla para el coeficiente de
variación de la resistencia con la temperatura. Discútale grado de acuerdo o
desacuerdo con los valores de tabla.
Ejercicios complementarios
Discuta alguna de las posibles aplicaciones e implicancias de los experimentos
anteriores. Por ejemplo:
a) Si desea fabricar una “resistencia patrón” con la cual comparar otras
resistencias, ¿qué parámetros son importantes de considerar para una buena
elección del material a usar?
b) Si desea usar una resistor como sensor de temperatura, ¿qué criterios usa para
la elección del material?
Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil 2007 7

c) Usando las ideas discutidas en esta actividad, tenga en cuenta el coeficiente de
variación de la resistencia con la temperatura del tungsteno y estime la
temperatura de una lamparita incandescente. Dé un esquema de un diseño
experimental para realizar este experimento.
Apéndice 1. Método de las cuatro puntas o método de Kelvin –
Determinación de resistencias de baja resistencia
La determinación de la resistividad o conductividad de una muestra es de
gran utilidad en muchos experimentos. Generalmente estamos interesados en investigar
como varía la conductividad en función de algún otro parámetro, por ejemplo la
temperatura, la frecuencia, etc. Para medir una resistencia de valores intermedio (entre
unas decenas de Ohms (Ω) a unos pocos MΩ, tal vez lo más simple es usar un
multímetro (Ohmetro) y conectar como se indica en la figura 29.3.
La resistencia de interés es R, pero lo que mide el Ohmetro es la suma de:
R+R´cable +R cable ≈R solo si R>> R´cable +R cable . Para resistencias de pequeña magnitud,
R

Método e medición a dos
puntas
Método e medición a cuatro
puntas
Figura 29.4 Ilustración de los métodos de medición de resistencia a dos y cuatro puntas
respectivamente. Nótese que sólo algunos instrumentos especiales poseen un arreglo para medir
a cuatro puntas directamente (cuadro de la derecha). Sin embargo, siempre es posible diseñar un
arreglo con instrumentos convencionales, como se ilustra en la figura 29.2, para realizar la
medición a cuatro puntas.
Método de las cuatro puntas o método de Kelvin
Este método, ilustrado esquemáticamente en la figura 29.5, hace uso de dos
circuitos vinculados. Por un circuito se hace circular la corriente (circuito exterior en la
figura). Como los voltímetros modernos tienen altas resistencias internas, por el circuito
de medición de la tensión (circuito interior de la figura) prácticamente no circula
corriente. La tensión medida será en este caso:
V
+
= ε + I
A
+
⋅ R − ε
B
(29.10)
El superíndice (+) indica que la corriente circula como se indica en la figura (29.4).
Usamos el superíndice (-) cuando la dirección de la corriente se invierte, invirtiendo la
fuente, pero sin alterar el resto del circuito. En este caso la tensión medida por el
voltímetro será:
−
−
V = ε
A
− I ⋅ R − ε
B
(29.11)
Restando las ecuaciones (29.1) y (29.2) tenemos:
+ −
[ I + I ] ⋅ R
+ −
V −V
= . (29.12)
Por lo tanto, invirtiendo el sentido de circulación de la corriente y tomando la diferencia
de los potenciales medidos, podemos anular el efecto de los potenciales de contacto.
Más específicamente tenemos:
+ −
V −V
R = . (29. 13)
+ −
I + I
Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil 2007 9

Vemos así que el método de las cuatro puntas nos permite eliminar simultáneamente el
efecto de las resistencias de los cables y contactos como así también los potenciales de
contacto. Al aplicar la expresión (29.12) a un caso concreto, analice críticamente los
signos que utiliza para I ± y V ± . En el caso de las Ec.(29.10) y (29.11) hemos supuesto
que el signo de I ± es siempre positivo, de allí el cambio de signo en los término que
contienen I ± , pero que el valor de V ± si cambia en las Ec.(29.10) y (29.11).
Amperímetro
I r 1
A
ε Α
R cable
I
V
Voltímetro
ε Β
R
R’ cable
Figura 29.5 Determinación de la resistencia de una muestra usando el método
de las cuatro puntas. Nótese que como los voltímetros en general tiene alta
resistencia (R voltímetro >10 MΩ) prácticamente toda la corriente circula por el
circuito exterior y no hay caída de tensión en R cable .
En muchos casos de interés práctico, la fuente de alimentación del circuito (externo) es
alterna (AC). En este caso es conveniente realizar la medición de tensión usando un
instrumento que filtre las componentes de continua (DC). Muchos instrumentos poseen
la opción de activar este modo de medición, por ejemplo los osciloscopios, multímetros,
Lock-in Amplifiers, etc. Si se mide la tensión en modo AC, la ecuación (29.10) se
transforma en:
AC AC
V = I ⋅ R , (29.14)
ya que en este modo los potenciales de contacto (DC) son filtrados automáticamente por
el instrumento medidor. Por lo tanto en este caso es posible simplificar el método de
medición a cuatro puntas.
Muestra unidimensional
En este caso imaginamos un alambre de diámetro φ y área de sección transversal
A(=π.φ 2 /4). La diferencia de potencial entre dos puntos separados una distancia L será:
L
∆V
= I ⋅ R = I ⋅ ρ ⋅ , (29.15)
A
r 2
Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil 2007 10

empleando Ecs. (26.13) y (26.14) tenemos:
+ −
AC
V −V
V
ρ = ( A/
L)
⋅ ( ∆V
I) = ( A/
L)
⋅ = ( A/
L)
⋅ , (29.16)
+ −
AC
I − I
I
según se use una fuente DC o AC respectivamente. En cualquier caso, es importante
que la geometría del alambre sea bien conocida, es decir que los valores de A y L se
puedan medir con incertidumbres pequeñas.
Bibliografía
1. D. Halliday, R. Resnik y J. Walker, Física para estudiantes de ciencias e ingeniería,
4ª ed. (Trad. de Fundamentals of Physics, John Wiley & Sons, Inc. New York,
1993).
2. M. Alonso y E. J. Finn, Física, vol.II, Campos y Ondas (Fondo Educativo
Interamericano, ed. inglesa de Addison Wesley, Reading, Mass., 1967; Fondo
Educativo Interamericano, 1970).
3. E. M. Purcell, Berkeley physics course, vol. 2, Electricidad y Magnetismo (Reverté,
Barcelona, 1969).
4. “Resistance of a wire as a function of temperature,” Phys. Teach. 33, 96 (1995).
5. J. E. Fernández y E. Galloni, Trabajos prácticos de fisica (Editorial Nigar, Buenos
Aires, 1968).
6. M. Alonso y E. J. Finn, Física, vol.III, Fundamentos Cuánticos y Estadísticos
(Fondo Educativo Interamericano, ed. inglesa de Addison Wesley, Reading, Mass.,
1967; Fondo Educativo Interamericano, 1970).
Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil 2007 11