Vigas Postensadas (práctico)
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EJERCICIOS DE APLICACION<br />
EJERCICIO 1. Trazar diagramas de momento flector y corte, y calcular las<br />
máximas tensiones que ocurren en la viga simplemente apoyada.<br />
θ°<br />
0.80 m<br />
T<br />
y<br />
x<br />
15.00 m<br />
p<br />
0.10 m<br />
T<br />
θ°<br />
0.10 m<br />
La carga axial del cable es T =165tn.<br />
Las dimensiones de la viga son<br />
L =15m<br />
→ Longitud<br />
h =0.80 m<br />
→ Altura<br />
d =0.30 m<br />
→ Ancho<br />
A =0.24 m 2<br />
→ Area seccional<br />
W = dh2 =0.032 m 3 → Momento resistente<br />
6<br />
PROCEDIMIENTO ANALITICO<br />
Este procedimiento puede aplicarse cuando la posición del cable se describe analíticamente.<br />
En este caso se cuenta con una función parabólica<br />
⎧<br />
⎨ a =0.1 m<br />
e (x) =a + bx+ cx 2 b = −0.10667<br />
⎩<br />
c =0.007111 1 m<br />
En los extremos el cable presenta una excentricidad respecto al eje baricéntrico de la sección<br />
de la viga<br />
e 0 = |e (x)| x=0<br />
= |a|<br />
= 0.1 m<br />
El ángulo que forma el cable con el eje de la viga en los extremos es relativamente pequeño<br />
(considerar que la escala vertical de los gráficos está distorsionada para mayor claridad) y<br />
puede calcularse como su pendiente<br />
θ 0 = tan ¡ θ 0¢ =sin ¡ θ 0¢<br />
= |e 0 (x)| x=0<br />
= |b|<br />
= 0.10667<br />
La curvatura del cable tiene en este caso valor constante a lo largo de la viga y se calcula<br />
como<br />
χ (x) = e 00 (x) =2c<br />
= 0.014222 1 m<br />
6
Las cargas que produce el cable sobre el hormigón resultan<br />
H o ≈ T = 165 tn<br />
M o ≈ Te 0 =16.50 tnm<br />
V o ≈ T θ 0 =17.60 tn<br />
p (x) ≈ T χ (x) =2.347 tn m<br />
M° V°<br />
H°<br />
p<br />
V°<br />
M°<br />
H°<br />
El Momento Isostático de Pretensado puede calcularse aplicando sobrelavigaestesistema<br />
de cargas autoequilibradas<br />
M I (x) = M o − V o x + 1 2 px2<br />
aunque también se verifica<br />
= 16.50 − 17.60 x +1.173 x 2<br />
M I (x) = Te(x)<br />
= 16.50 − 17.60 x +1.173 x 2<br />
El Corte Isostático de Pretensado se expresa como<br />
Q I (x) = −V o + px<br />
= −17.60 + 2.347 x<br />
o simplemente<br />
Q I (x) = Te 0 (x)<br />
= −17.60 + 2.347 x<br />
Momento Isostático de Pretensado<br />
16.50 tnm<br />
16.50 tnm<br />
49.50 tnm<br />
Corte Isostático de Pretensado<br />
17.60 tn<br />
17.60 tn<br />
7
Las tensiones que se calculan a continuación corresponden sólo a las cargas de postensado<br />
en el estado de servicio. Las máximas tensiones de compresiónocurrenenlasección central<br />
σ C max = − M max<br />
W<br />
− Ho<br />
A<br />
= −1547 tn tn<br />
− 687<br />
m2 m 2<br />
= −2234 tn<br />
m 2<br />
al igual que las máximas tensiones de tracción<br />
σ T max = M max<br />
W<br />
− Ho<br />
A<br />
= 1547 tn tn<br />
− 687<br />
m2 m 2<br />
= 860 tn<br />
m 2<br />
Las máximas tensiones cortantes se encuentran en las secciones de los extremos<br />
τ max = 3 Q max<br />
2 dh<br />
= 3 17.60<br />
2 0.30 · 0.80<br />
= 110 tn<br />
m 2<br />
PROCEDIMIENTO NUMERICO<br />
Comunmente la posición del cable se describe en forma discreta para coordenadas equidistantes<br />
de la viga (primeras 2 columnas de Tabla 1). La geometría del cable puede entonces<br />
asumirse como una poligonal con cargas concentradas (P i ) actuando sobre el hormigón en<br />
nudos con una separación ∆x.<br />
P i+1<br />
P i<br />
P<br />
T T T<br />
T<br />
T<br />
T<br />
T<br />
∆x ∆x<br />
n<br />
P<br />
8
La pendiente del cable (3ra columna) se calcula para nudos intermedios como<br />
θ i+ 1 2<br />
=<br />
e i+1 − e i<br />
∆x<br />
Lascargassobreelhormigón a través de la vaina (4ta columna) se obtienen como la diferencia<br />
entre las proyecciones verticales de la fuerza del cable a ambos lados del nudo considerado<br />
P i = T θ i+ 1 2 − T θ<br />
i− 1 2<br />
El Corte Isostático de Pretensado (5ta columna) se calcula para nudos intermedios como el<br />
producto entre la carga y la pendiente del cable<br />
Q i+ 1 2<br />
I<br />
= T θ i+ 1 2<br />
mientras que el Momento Isostático de Pretensado (6ta columna) resulta de multiplicar la<br />
carga y la excentricidad del cable<br />
M i I = Te i<br />
Los diagramas de esfuerzos resultan aproximadamente idénticos a los obtenidos con el procedimiento<br />
analítico. Las tensiones máximas se calculan en forma análoga una vez identificadas<br />
las secciones críticas. Notar que realizando el cociente entre P i y ∆x se obtiene la carga<br />
uniformemente distribuida antes utilizada.<br />
9
x i e i θ i+ 1 2 P i Q i+ 1 2<br />
I<br />
MI<br />
i<br />
0.00 0.100 −16.72 16.50<br />
−0.1013 −16.72<br />
0.75 0.024 1.76 3.96<br />
−0.0907 −14.96<br />
1.50 −0.044 1.76 −7.26<br />
−0.0800 −13.20<br />
2.25 −0.104 1.76 −17.16<br />
−0.0693 −11.44<br />
3.00 −0.156 1.76 −25.74<br />
−0.0587 −9.68<br />
3.75 −0.200 1.76 −33.00<br />
−0.0480 −7.92<br />
4.50 −0.236 1.76 −38.94<br />
−0.0373 −6.16<br />
5.25 −0.264 1.76 −43.56<br />
−0.0267 −4.40<br />
6.00 −0.284 1.76 −46.86<br />
−0.0160 −2.64<br />
6.75 −0.296 1.76 −48.84<br />
−0.0053 −0.88<br />
7.50 −0.300 1.76 −49.50<br />
0.0053 0.88<br />
8.25 −0.296 1.76 −48.84<br />
0.0160 2.64<br />
9.00 −0.284 1.76 −46.86<br />
0.0267 4.40<br />
9.75 −0.264 1.76 −43.56<br />
0.0373 6.16<br />
10.50 −0.236 1.76 −38.94<br />
0.0480 7.92<br />
11.25 −0.200 1.76 −33.00<br />
0.0587 9.68<br />
12.00 −0.156 1.76 −25.74<br />
0.0693 11.44<br />
12.75 −0.104 1.76 −17.16<br />
0.0800 13.20<br />
13.50 −0.044 1.76 −7.26<br />
0.0907 14.96<br />
14.25 0.024 1.76 3.96<br />
0.1013 16.72<br />
15.00 0.100 −16.72 16.50<br />
Tabla 1. Cálculo de Esfuerzos de Pretensado en la viga simplemente apoyada.<br />
10
CALCULO DE DESPLAZAMIENTOS<br />
Lossiguientesparámetros complementan los datos de la viga<br />
E =3· 10 6<br />
tn<br />
m 2<br />
→ Módulo de elasticidad longitudinal<br />
I = dh3<br />
12 =0.0128 m4 → Momento de inercia<br />
EI = 38400 tn.m 2 → Rigidez flexional<br />
γ =2.5 tn<br />
→ Peso específico<br />
m 3<br />
A =0.24 m 2<br />
→ Area seccional<br />
q d = γ · A =0.600 tn → Carga distribuida por peso propio<br />
m<br />
A los efectos del cálculo de desplazamientos al centro de lavigaseconsideransolamentelas<br />
deformaciones flexionales. Las reacciones y el diagrama de momento flector para peso propio<br />
resultan<br />
Reacciones<br />
0.600 tn/m<br />
4.5 tn 4.5 tn<br />
Diagrama de Momento Flector<br />
16.875 tn.m<br />
La expresión analítica del momento flector se obtiene como<br />
M d (x) = q p L<br />
x − 1 2 2 q p x 2<br />
=4.5 x − 0.3 x 2<br />
Para calcular el desplazamiento al centro de la viga es necesario plantear el siguiente Estado<br />
Auxiliar<br />
Reacciones<br />
1 tn<br />
0.5 tn 0.5 tn<br />
Diagrama de Momento Flector<br />
3.75 tnm<br />
11
El momento flector puede expresarse analíticamente como<br />
(<br />
−0.5 x para 0 6 x 6 7.5<br />
M (x) =<br />
−3.75 + 0.5 (x − 7.5) para 7.5 6 x 6 15<br />
La flecha producida por el peso propio resulta entonces<br />
δ d = 2<br />
EI<br />
= 2<br />
EI<br />
= 1<br />
EI<br />
= 1<br />
EI<br />
Z 7.5<br />
0<br />
Z 7.5<br />
0<br />
Z 7.5<br />
0<br />
M d (x) M (x) dx<br />
·−4.5 x3<br />
3<br />
= −0.0103 m<br />
¡<br />
4.5 x − 0.3 x<br />
2 ¢ (−0.5 x) dx<br />
¡<br />
−4.5 x 2 +0.3 x 3¢ dx<br />
¸7.5<br />
x4<br />
+0.3<br />
4<br />
0<br />
La expresión analítica del momento flector para el caso del efecto de postensado se reescribe<br />
a continuación<br />
M p (x) =16.50 − 17.60 x +1.173 x 2<br />
La contraflecha producida por el cable de postensado se obtiene como<br />
δ p = 2<br />
EI<br />
= 2<br />
EI<br />
= 1<br />
EI<br />
= 1<br />
EI<br />
Z 7.5<br />
0<br />
Z 7.5<br />
0<br />
Z 7.5<br />
0<br />
M p (x) M (x) dx<br />
¡<br />
16.50 − 17.60 x +1.173 x<br />
2 ¢ (−0.5 x) dx<br />
¡<br />
−16.50 x +17.60 x 2 − 1.173 x 3¢ dx<br />
·−16.50 x2<br />
2<br />
=+0.0282 m<br />
+17.60<br />
x3<br />
3<br />
¸7.5<br />
x4<br />
− 1.173<br />
4<br />
0<br />
De esta forma el desplazamiento total al centro de la viga resulta<br />
δ = δ d + δ p<br />
= −0.0103 m +0.0282 m<br />
=+0.0179 m<br />
La fuerza necesaria en el cable para compensar el desplazamiento producido por el peso<br />
propio en el centro de la viga se calculacomoseindicaacontinuación. La expresión analítica<br />
del momento flectorproducidoporunafuerzagenérica T del cable de postensado es la<br />
siguiente<br />
M T p (x) =T · e (x)<br />
= T ¡ 0.1 − 0.10667 x +0.007111 x 2¢<br />
12
La contraflecha producida por la fuerza T se calcula como<br />
Z 7.5<br />
δ T p = 2 Mp T (x) M (x) dx<br />
EI 0<br />
= 2 Z 7.5<br />
EI T ¡ ¢ 0.1 − 0.10667 x +0.007111 x<br />
2<br />
(−0.5 x) dx<br />
0<br />
= T Z 7.5<br />
¡<br />
−0.1 x +0.10667 x 2 − 0.007111 x 3¢ dx<br />
EI<br />
= T EI<br />
0<br />
·−0.1 x2<br />
2<br />
=+0.0001709 T<br />
+0.10667<br />
x3<br />
3<br />
¸7.5<br />
x4<br />
− 0.007111<br />
4<br />
0<br />
Si se impone la condición que el desplazamiento total sea nulo<br />
δ d + δ T p =0<br />
−0.0103 + 0.0001709 T =0<br />
se obtiene la fuerza de postensado necesaria para contrarrestar la flecha producida por el<br />
peso propio<br />
T = 0.0103<br />
0.0001709<br />
=60.27 tn<br />
13
EJERCICIO 2. Trazar diagramas de momento flector y corte, y calcular las máximas<br />
tensiones que ocurren en la viga con restricción al giro en ambos extremos.<br />
Tomar los mismos datos del Ejercicio 1.<br />
T y<br />
θ° x<br />
15.00 m<br />
0.80 m 0.10 m<br />
p<br />
T<br />
θ°<br />
0.10 m<br />
En este caso los Esfuerzos Hiperestáticos de Pretensado Esf H (x) pueden evaluarse explícitamente<br />
recurriendo al Método de las Fuerzas, superponiendo los estados auxiliares escalados con sus<br />
respectivas incógnitas hiperestáticas. En casos más complejos donde no resulta <strong>práctico</strong><br />
aplicar el Método de las Fuerzas por el elevado número de incógnitas hiperestáticas se utiliza<br />
el Método de Rigidez para calcular los Esfuerzos Totales Esf T (x) mientras que los<br />
Esfuerzos Isostáticos Esf I (x) pueden evaluarse directamente con la geometría del cable.<br />
Los Esfuerzos Hiperestáticos se computan luego como la diferencia entre los esfuerzos totales<br />
y los esfuerzos isostáticos<br />
Esf H (x) =Esf T (x) − Esf I (x)<br />
METODO DE LAS FUERZAS<br />
Alosfines de ilustrar el procedimiento de cálculo por el Método de las Fuerzas se utiliza<br />
un enfoque analítico, aunque sería igualmente válido operar en forma numérica tal como se<br />
procede en el Método de Rigidez desarrollado más adelante.<br />
Se define al Isostático Fundamental tomando las condiciones de borde del Ejercicio 1. Por<br />
lo tanto, el Estado 0 queda definido con los valores ya calculados. Aprovechando la condición<br />
de simetría se plantea un único estado auxiliar (Estado 1) donde la incógnita hiperestática<br />
(momento de empotramiento) producirá losEsfuerzos Hiperestáticos de Prestensado.<br />
Estado '1'<br />
1<br />
1<br />
La ecuación de compatibilidad se plantea como<br />
θ 10 + M 1 θ 11 =0<br />
14
Considerando sólo las deformaciones flexionales a los efectos de evaluar la incógnita hiperestática<br />
se encuentra<br />
θ 10 = 1 Z 15<br />
¡ ¢ 16.50 − 17.60 x +1.173 x<br />
2<br />
1 dx<br />
EI 0<br />
= − 1<br />
EI 412.50<br />
θ 11 = 1 Z 15<br />
1 2 dx<br />
EI 0<br />
= 1<br />
EI 15.00<br />
por lo tanto<br />
M 1 = − θ 10<br />
θ 11<br />
=27.50 tnm<br />
El Momento HiperestáticodePretensadoM H (x) es constante e igual a M 1 . En este caso,<br />
no hay Corte Hiperestático de Pretensado.<br />
Momento Hiperestático de Pretensado<br />
27.50 tnm<br />
27.50 tnm<br />
El Momento Total de Pretensado se calcula entonces como<br />
M T (x) = M I (x)+M H (x)<br />
= 44.00 − 17.60 x +1.173 x 2<br />
El Corte Total de Pretensado coincide con el del ejercicio anterior.<br />
Momento Total de Pretensado<br />
44.00 tnm<br />
44.00 tnm<br />
22.00 tnm<br />
Corte Total de Pretensado<br />
17.60 tn<br />
17.60 tn<br />
15
Las máximas tensiones de compresión ocurren en las secciones extremas<br />
σ C max = − M max<br />
W<br />
− Ho<br />
A<br />
= −1375 tn tn<br />
− 687<br />
m2 m 2<br />
= −2062 tn<br />
m 2<br />
al igual que las máximas tensiones de tracción<br />
σ T max = M max<br />
W<br />
− Ho<br />
A<br />
= 1375 tn tn<br />
− 687<br />
m2 m 2<br />
= 688 tn<br />
m 2<br />
Las máximas tensiones cortantes se producen también en las secciones extremas<br />
τ max = 3 Q max<br />
2 dh = 3 2<br />
17.60<br />
0.30 · 0.80<br />
=110<br />
tn<br />
m 2<br />
METODO DE RIGIDEZ<br />
En relaciónaloseñalado en el Método de las Fuerzas respecto al enfoque analítico utilizado,<br />
cabe destacar que con el Método de Rigidez es habitual recurrir a procedimientos numéricos<br />
que se adaptan naturalmente al esquema de discretización con fuerzas en los nudos propio<br />
de este método.<br />
Aplicando las cargas concentradas calculadas en el Ejercicio 1 a la viga con las presentes<br />
condiciones de borde se obtienen los Esfuerzos Totales de Pretensado (7ma y 8va columna<br />
de Tabla 2). Debido a la fina discretización necesaria se realizan las operaciones utilizando<br />
un programa computacional (SAP90).<br />
Los Esfuerzos Hiperestáticos (9na y 10ma columna) se obtienen descontando los esfuerzos<br />
isostáticos a los totales. Se observa que el Corte Hiperestático resultanuloaligualqueel<br />
obtenido con el Método de las Fuerzas, y el Momento Hiperestático es también constante y<br />
ligeramente inferior debido a efectos de discretización.<br />
Los diagramas presentan iguales características a los obtenidos con el método anterior, mientrasquelastensionesmáximas<br />
casi no difieren a las ya calculadas.<br />
16
x i e i θ i+ 1 2 P i Q i+ 1 2<br />
I<br />
MI i Q i+ 1 2<br />
T<br />
MT i Q i+ 1 2<br />
H<br />
MH<br />
i<br />
0.00 0.100 −16.72 16.50 43.89 27.39<br />
−0.1013 −16.72 −16.72 0.00<br />
0.75 0.024 1.76 3.96 31.35 27.39<br />
−0.0907 −14.96 −14.96 0.00<br />
1.50 −0.044 1.76 −7.26 20.13 27.39<br />
−0.0800 −13.20 −13.20 0.00<br />
2.25 −0.104 1.76 −17.16 10.23 27.39<br />
−0.0693 −11.44 −11.44 0.00<br />
3.00 −0.156 1.76 −25.74 1.65 27.39<br />
−0.0587 −9.68 −9.68 0.00<br />
3.75 −0.200 1.76 −33.00 −5.61 27.39<br />
−0.0480 −7.92 −7.92 0.00<br />
4.50 −0.236 1.76 −38.94 −11.55 27.39<br />
−0.0373 −6.16 −6.16 0.00<br />
5.25 −0.264 1.76 −43.56 −16.17 27.39<br />
−0.0267 −4.40 −4.40 0.00<br />
6.00 −0.284 1.76 −46.86 −19.47 27.39<br />
−0.0160 −2.64 −2.64 0.00<br />
6.75 −0.296 1.76 −48.84 −21.45 27.39<br />
−0.0053 −0.88 −0.88 0.00<br />
7.50 −0.300 1.76 −49.50 −22.11 27.39<br />
0.0053 0.88 0.88 0.00<br />
8.25 −0.296 1.76 −48.84 −21.45 27.39<br />
0.0160 2.64 2.64 0.00<br />
9.00 −0.284 1.76 −46.86 −19.47 27.39<br />
0.0267 4.40 4.40 0.00<br />
9.75 −0.264 1.76 −43.56 −16.17 27.39<br />
0.0373 6.16 6.16 0.00<br />
10.50 −0.236 1.76 −38.94 −11.55 27.39<br />
0.0480 7.92 7.92 0.00<br />
11.25 −0.200 1.76 −33.00 −5.61 27.39<br />
0.0587 9.68 9.68 0.00<br />
12.00 −0.156 1.76 −25.74 1.65 27.39<br />
0.0693 11.44 11.44 0.00<br />
12.75 −0.104 1.76 −17.16 10.23 27.39<br />
0.0800 13.20 13.20 0.00<br />
13.50 −0.044 1.76 −7.26 20.13 27.39<br />
0.0907 14.96 14.96 0.00<br />
14.25 0.024 1.76 3.96 31.35 27.39<br />
0.1013 16.72 16.72 0.00<br />
15.00 0.100 −16.72 16.50 43.89 27.39<br />
Tabla 2. Cálculo de Esfuerzos de Pretensado en la viga con restricción al giro<br />
17
EJERCICIO 3. Trazar diagramas de momento flector y corte, y calcular las<br />
máximas tensiones que ocurren en la viga continua de dos tramos.<br />
0.10 m<br />
θ°<br />
0.80 m<br />
T<br />
p<br />
0.30 m<br />
0.30 m<br />
p<br />
y<br />
x<br />
p<br />
T<br />
θ°<br />
15.00 m 4.75 m<br />
10.25 m<br />
La carga axial del cable es T =165tn y se toman las dimensiones de sección del Ejercicio 1.<br />
De la posición del cable se conocen algunos puntos de su trayectoria: en el extremo arranca a<br />
10cm sobre el eje de la sección, desciende en forma suave hasta 10cm del borde inferior, corta<br />
al eje baricéntrico a 4.75m del apoyo central y pasa sobre éste a 10cm del borde superior. El<br />
resto de la trayectoria posee simetría respecto al apoyo central, y por lo tanto es conveniente<br />
sólo analizar una mitad de la estructura (se escoge la mitad derecha).<br />
METODO DE LAS FUERZAS<br />
Una alternativa para analizar el problema es trazar parábolas sobre los puntos conocidos de<br />
la posición del cable y realizar un tratamiento analítico. En este caso<br />
⎧<br />
⎨ a 1 =0.3 m<br />
e 1 (x) = a 1 + b 1 x + c 1 x 2 b 1 =0<br />
x → [0 ; 4.75]<br />
⎩<br />
c 1 = −0.013296 1 m<br />
⎧<br />
⎨ a 2 =0.9 m<br />
e 2 (x) = a 2 + b 2 x + c 2 x 2 b 2 = −0.25263 x → [4.75 ; 15]<br />
⎩<br />
c 2 =0.013296 1 m<br />
El cable posee en el extremo una excentricidad<br />
e 0 = |e 2 (x)| x=15<br />
= 0.1022 m<br />
El ángulo del cable en el extremo puede calcularse como su pendiente<br />
θ 0 = |e 0 2 (x)| x=15<br />
= |b 2 +2c 2 x| x=15<br />
= 0.14625<br />
La curvatura del cable se calcula como<br />
χ 1 (x) = 2 c 1 = −0.026592 1 m<br />
x → [0 ; 4.75]<br />
χ 2 (x) = 2 c 2 =0.026592 1 m<br />
x → [4.75 ; 15]<br />
Las cargas actuantes sobre el hormigón resultan<br />
H o ≈ T =165tn<br />
M o ≈ Te 0 =16.85 tnm<br />
V o ≈ T θ 0 =24.133 tn<br />
p 1 (x) = T χ 1 (x) =−4.388 tn m<br />
x → [0 ; 4.75]<br />
p 2 (x) = T χ 2 (x) =4.388 tn m<br />
x → [4.75 ; 15]<br />
18
V°<br />
M°<br />
H°<br />
p<br />
y<br />
p<br />
x<br />
p<br />
V° M°<br />
H°<br />
Los Esfuerzos Isostáticos de Pretensado ( Estado 0) se obtienen resolviendo la viga con este<br />
sistema de cargas y removiendo cualquiera de los apoyos, ya que las fuerzas de postensado<br />
son autoequilibradas y no generan reacciones en los apoyos remanentes.<br />
El Momento IsostáticodePretensadodebe calcularse por tramos.<br />
M I (x) = Te(x)<br />
½<br />
49.50 − 2.194 x<br />
2<br />
x → [0 ; 4.75]<br />
=<br />
148.50 − 41.68 x +2.194 x 2 x → [4.75 ; 15]<br />
Alternativamente,<br />
para x → [0 ; 4.75]<br />
M I (x) = M o − V o (15 − x)+ p<br />
·10.25 (5.125 + 4.75 − x) − 1 (4.75 − x)2¸<br />
2<br />
para x → [4.75 ; 15]<br />
= 49. 50 − 2. 194 x 2<br />
M I (x) = M o − V o (15 − x)+ 1 p (15 − x)2<br />
2<br />
= 148.50 − 41.68 x +2.194 x 2<br />
El Corte Isostático de Pretensado también se calcula por tramos.<br />
Q I (x) = Te 0 (x)<br />
½<br />
−4.388 x x → [0 ; 4.75]<br />
=<br />
−41.68 + 4.388 x x → [4.75 ; 15]<br />
Alternativamente,<br />
para x → [0 ; 4.75]<br />
Q I (x) = V o + p [(4.75 − x) − 10.25]<br />
= −4.388 x<br />
para x → [4.75 ; 15]<br />
Q I (x) = V o − p (15 − x)<br />
= −41.68 + 4.388 x<br />
19
Momento Isostático de Pretensado<br />
49.50 tnm<br />
16.85 tnm<br />
49.50 tnm<br />
Corte Isostático de Pretensado<br />
24.13 tn<br />
20.84 tn<br />
Eligiendo como incógnita hiperestáticalareacción del apoyo central se plantea el Estado 1<br />
que comprende en este caso los Esfuerzos Hiperestáticos de Pretensado. Las expresiones de<br />
corte y momento flector para la mitad derecha resultan<br />
Q 1 (x) = 0.50<br />
M 1 (x) = −7.50 + 0.50 x<br />
Estado '1'<br />
7.50 tnm<br />
La ecuación de compatibilidad se plantea como<br />
δ 10 + R 1 δ 11 =0<br />
Considerando sólo las deformaciones flexionales a los efectos de evaluar la incógnita hiperestática<br />
se encuentra<br />
⎡ Z 4.75<br />
⎤<br />
δ 10 = 1<br />
(49.50 − 2.194 x 2 )(−7.50 + 0.5 x) dx + ...<br />
⎢ 0<br />
EI ⎣<br />
Z 15<br />
⎥<br />
⎦<br />
+ (148.50 − 41.68 x +2.194 x 2 )(−7.50 + 0.5 x) dx<br />
4.75<br />
= − 1<br />
EI 175.72<br />
δ 11 = 1 Z 15<br />
(−7.50 + 0.5 x) 2 dx<br />
EI 0<br />
= 1<br />
EI 281.25 20<br />
1
por lo tanto<br />
R 1 = − δ 10<br />
δ 11<br />
=0.625 tn<br />
El Corte yelMomento HiperestáticodePretensadoresultan<br />
Q H (x) = R 1 Q 1 (x)<br />
= 0.312<br />
M H (x) = R 1 M 1 (x)<br />
= −4.69 + 0.312 x<br />
Momento Hiperestático de Pretensado<br />
4.69 tnm<br />
Corte Hiperestático de Pretensado<br />
0.312 tn<br />
0.312 tn<br />
Sumando los esfuerzos isostáticos y los hiperestáticos se obtienen el Corte yelMomento<br />
Total de Pretensado.<br />
Para x → [0 ; 4.75]<br />
Q T (x) = 0.312 − 4.388 x<br />
M T (x) = 44.81 + 0.312 x − 2.194 x 2<br />
Para x → [4.75 ; 15]<br />
Q T (x) = −41.37 + 4. 388 x<br />
M T (x) = 143.81 − 41. 37 x +2.194 x 2<br />
21
Momento Total de Pretensado<br />
44.81 tnm<br />
16.85 tnm<br />
51.20 tnm<br />
Corte Total de Pretensado<br />
0.312 tn<br />
24.45 tn<br />
20.53 tn<br />
Las máximas tensiones normales de compresión resultan<br />
σ C max = − M max<br />
W<br />
− Ho<br />
A<br />
= −1600 tn tn<br />
− 687<br />
m2 m 2<br />
= −2287 tn<br />
m 2<br />
Las máximas tensiones normales de tracción resultan<br />
σ T max = M max<br />
W<br />
− Ho<br />
A<br />
= 1600 tn tn<br />
− 687<br />
m2 m 2<br />
= 913 tn<br />
m 2<br />
Las máximas tensiones cortantes (extremo) resultan<br />
τ max = 3 Q max<br />
2 dh<br />
= 3 24.45<br />
2 0.30 · 0.80<br />
= 153 tn<br />
m 2<br />
METODO DE RIGIDEZ<br />
La posición del cable se describe en forma discreta para nudos separados ∆x =0.75m. En<br />
primer término, se calculan la pendiente entre nudos y las cargas concentradas aplicadas en<br />
los nudos. Luego se computan los Esfuerzos Isostáticos en función de la pendiente (Corte)<br />
y la excentricidad (Momento) del cable, mientras que los Esfuerzos Totales de Pretensado<br />
se obtienen utilizando alguna implementación computacional del Método de Rigidez.<br />
Los Esfuerzos Hiperestáticos resultan de descontar los esfuerzos isostáticos a los totales. Se<br />
observa que el Corte Hiperestático es constante y el Momento Hiperestático varía linealmente.<br />
22
Para comparar los resultados con los obtenidos con el Método de las Fuerzas deben valuarse<br />
las expresiones analíticas de momento en las coordenadas de los nudos y las fórmulas de<br />
corte en coordenadas intermedias. Por tal motivo, no es estrictamente posible conseguir los<br />
valores de corte en los extremos para ser comparados con los calculados analíticamente. Sin<br />
embargo, para una adecuada discretización esta cuestión no resulta relevante.<br />
Los diagramas presentan iguales características a los obtenidos con el método anterior, mientrasquelastensionesmáximas<br />
casi no difieren a las ya calculadas.<br />
x i e i θ i+ 1 2 P i Q i+ 1 2<br />
I<br />
MI i Q i+ 1 2<br />
T<br />
MT i Q i+ 1 2<br />
H<br />
MH<br />
i<br />
0.00 0.300 −1.65 49.50 44.86 −4.64<br />
−0.0100 −1.65 −1.34 0.31<br />
0.75 0.293 −3.29 48.27 43.86 −4.41<br />
−0.0299 −4.94 −4.63 0.31<br />
1.50 0.270 −3.29 44.56 40.39 −4.17<br />
−0.0499 −8.23 −7.92 0.31<br />
2.25 0.233 −3.29 38.39 34.45 −3.94<br />
−0.0698 −11.52 −11.21 0.31<br />
3.00 0.180 −3.29 29.76 26.04 −3.72<br />
−0.0897 −14.81 −14.50 0.31<br />
3.75 0.113 −3.29 18.65 15.16 −3.49<br />
−0.1097 −18.10 −17.79 0.31<br />
4.50 0.031 −1.83 5.07 1.82 −3.25<br />
−0.1208 −19.93 −19.62 0.31<br />
5.25 −0.060 2.93 −9.87 −12.89 −3.02<br />
−0.1031 −17.00 −16.69 0.31<br />
6.00 −0.137 3.29 −22.63 −25.41 −2.78<br />
−0.0831 −13.71 −13.40 0.31<br />
6.75 −0.199 3.29 −32.91 −35.46 −2.55<br />
−0.0632 −10.42 −10.11 0.31<br />
7.50 −0.247 3.29 −40.73 −43.04 −2.31<br />
−0.0432 −7.13 −6.82 0.31<br />
8.25 −0.279 3.29 −46.07 −48.16 −2.09<br />
−0.0233 −3.84 −3.53 0.31<br />
9.00 −0.297 3.29 −48.95 −50.80 −1.85<br />
−0.0033 −0.55 −0.24 0.31<br />
9.75 −0.299 3.29 −49.37 −50.98 −1.61<br />
0.0166 2.74 3.05 0.31<br />
10.50 −0.287 3.29 −47.31 −48.69 −1.38<br />
0.0366 6.03 6.34 0.31<br />
11.25 −0.259 3.29 −42.79 −43.94 −1.15<br />
0.0565 9.32 9.63 0.31<br />
12.00 −0.217 3.29 −35.79 −36.72 −0.93<br />
0.0764 12.61 12.92 0.31<br />
12.75 −0.160 3.29 −26.33 −27.03 −0.70<br />
0.0964 15.90 16.21 0.31<br />
13.50 −0.087 3.29 −14.41 −14.87 −0.46<br />
0.1163 19.20 19.50 0.30<br />
14.25 0.000 3.29 0.00 −0.24 −0.24<br />
0.1363 22.49 22.79 0.30<br />
15.00 0.102 −22.49 16.85 16.85 0.00<br />
Tabla 3. Cálculo de Esfuerzos de Pretensado en la viga continua de dos tramos.<br />
23