Cap 1 Hidrodinamica de Lagunas Costeras.pdf

H I D R O D I N A M I C A
d e
L A G U N A S C O S T E R A S
------------------------------------------------------------
S a l v a d o r F. F a r r e r a s
Centro de Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada
i

________________________________________________________________________________
H I D R O D I N A M I C A
d e
L A G U N A S C O S T E R A S
(Apuntes de texto de posgrado de las postrimerías del siglo XX)
S a l v a d o r F. F a r r e r a s S.
Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyT)
Convenio # 920107 de Cátedra Patrimonial de Excelencia Nivel III
Centro de Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada
ii

551..............
......................
Farreras S., Salvador
Hidrodinámica de Lagunas Costeras/ Salvador Farreras S.- México:
Centro de Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada: 2004.
1. Geomorfología– Investigaciones.
2. Lagunas costeras - México.
3. Transporte de materia - Circulación y dispersión
4. Contaminación costera – Medidas de prevención.
GC..............
Portada: Fotografía de Salvador F. Farreras : Estuario del rio Balsas
Diseño: Salvador F. Farreras
Primera edición electrónica, 2006
© Centro de Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada
ISBN: ....................................
Hecho en México
Printed in Mexico
iii

____________________________________
C o n t e n i d o
Prefacio ..........................................................................................................................
Agradecimientos ............................................................................................................
viii
xii
CAPITULO 1
Introduccion, conceptos básicos, y clasificaciones
1.1 Justificación del Estudio ................................................................................................. 3
1.1 Definiciones ................................................................................................................... 3
1.2.1 Estuarios ............................................................................................................... 3
1.2.2 Lagunas Costeras (Estuarinas o No-Estuarinas) ..................................................... 4
1.3 Origen y Efimerismo ...................................................................................................... 4
1.4 Clasificaciones ............................................................................................................... 5
1.4.1Discretas ............................................................................................................... 6
1.4.1.1 Geomorfólogica Estuarina ......................................................................... 6
1.4.1.2 Geomorfólogica Mixta (para México) ....................................................... 6
1.4.1.3 Según Estructura Salina ............................................................................ 11
1.4.1.3.1 Verticalmente Estratificados (Clase A)......................................... 12
1.4.1.3.2 Fiordos (Clase A-1) .................................................................... 12
1.4.1.3.3 Parcialmente Mezclados (Clase B) .............................................. 13
1.4.1.3.4 Verticalmente Homogéneos con Estratificación Lateral (Clase C)..
14
1.4.1.3.5 Lateral y Verticalmente Homogéneos (Clase D) ........................... 14
1.4.1.3.6 Casos No-Estuarinos .................................................................. 15
1.4.1.3.7 Procesos de Transporte Hidrológico y de Materia ....................... 19
1.4.1.3.8 Ecuación de Transporte de Sal .................................................... 20
1.4.1.4 Según Parámetro de Estratificación .......................................................... 22
1.4.2 Continua .............................................................................................................. 22
1.4.2.1 Según Diagrama de Estratificación-Circulación ......................................... 22
1.4.2.1.1 Extensión por Número de Richardson ........................................ 27
1.4.2.1.2 Extensión para Mezcla Total ...................................................... 29
CAPITULO 2
Agentes de la dinamica y sus efectos
2.1 Mareas ......................................................................................................................... 35
2.1.1 Definiciones ......................................................................................................... 35
2.1.1.1 Marea Astronómica en General ................................................................ 35
2.1.1.2 Marea en una Laguna Costera ................................................................... 35
iv

2.1.2 Marea Astronómica de Equilibrio ......................................................................... 36
2.1.2.1 Constituyentes Armónicas de la Marea de Equilibrio .................................... 38
2.1.2.1.1 Características en las Costas de México ....................................... 38
2.1.3 Marea Meteorólogica ............................................................................................ 42
2.1.4 Marea Local ......................................................................................................... 42
2.1.5 Marea Total y sus Métodos de Análisis ................................................................. 43
2.1.5.1 Ejemplos en Lagunas Costeras de México ................................................. 44
2.1.6 Mareas en Canales sin Fricción ni Reflexión (Ley de Green) ................................. 44
2.1.7 Tratamiento de Mareas Cooscilantes .................................................................... 48
2.1.7.1 Sin Fricción ni Reflexión ........................................................................... 49
2.1.7.2 Sin Fricción, con Reflexión ....................................................................... 50
2.1.7.3 Con Fricción, sin Reflexión ....................................................................... 52
2.1.7.4 Con Fricción y Reflexión .......................................................................... 53
2.1.7.5 Nomogramas para Número de Onda y Coeficiente de Amortiguación ....... 56
2.1.7.6 Disipación de la Energía de las Ondas por Fricción y Mezcla ..................... 57
2.2 Descargas de Agua Dulce por Afluentes ........................................................................ 59
2.3 Esfuerzo del Viento ....................................................................................................... 59
2.3.1 Efectos Locales ..................................................................................................... 59
2.3.1.1 Evaporación .............................................................................................. 59
2.3.1.2 Apilamiento ............................................................................................... 61
2.3.1.3 Formación de Olas .................................................................................... 63
2.3.2 Efectos No-Locales en Frecuencias Bajas .............................................................. 64
2.4 Gradientes de Densidad ................................................................................................. 65
2.4.1 Por Variaciones de Salinidad ................................................................................ 65
2.4.1.1 Influencia de Evaporación, Precipitación, y Afluentes ............................... 65
2.4.1.1.1 La Evaporación y sus Agentes .................................................... 66
2.4.1.1.2 Casos Estuarino y No-Estuarino en Escalas Temporales ............. 66
2.4.2 Por Variaciones de Temperatura .......................................................................... 66
2.4.2.1 La Transferencia de Calor y sus Mecanismos ............................................ 66
2.4.2.1.1 Casos Estuarino y No-Estuarino en Escalas Temporales ............ 68
2.4.3 Interacciones entre Variaciones de Temperatura y de Salinidad ............................ 68
2.4.3.1 Efecto de la Radiación Térmica ................................................................ 68
2.4.3.2 Efecto de la Evaporación ......................................................................... 69
2.4.3.3 Efecto de la Saturación ............................................................................ 69
2.4.3.4 Efecto de Area ......................................................................................... 69
2.4.3.5 Efecto del Tiempo de Residencia .............................................................. 69
2.4.4 Patrones de Corrientes Residuales por Gradientes de Densidad ............................ 69
2.5 Presión Barométrica ..................................................................................................... 72
2.6 Morfología de la Cuenca .............................................................................................. 73
2.6.1 Meandros ............................................................................................................. 73
2.6.2 Bombeo por Marea ............................................................................................... 74
2.7 Fricción Lateral y de Fondo ........................................................................................... 74
2.7.1 Ecuaciones y Coeficientes de Chèzy y de Manning ................................................ 76
2.8 Efecto de Coriolis .......................................................................................................... 79
v

CAPITULO 3
Cinemática y dinámica de la circulación y de la dispersión
3.1 Ecuación de Continuidad ............................................................................................. 83
3.1.1 Flujo Estacionario ............................................................................................... 83
3.1.2 Flujo No-Estacionario ......................................................................................... 84
3.1.2.1 Modelo para Evaluación de Velocidades ............................................. 85
3.2 Conservación de la Energía (Estacionaria y No-Estacionaria) ....................................... 88
3.2.1 Energía Específica ............................................................................................... 90
3.2.2 Transiciones (Flujo Subcrítico, Crítico, y Supercrítico) ........................................ 91
3.2.3 Contracciones y Ensanches .................................................................................. 94
3.2.4 Distribución de Velocidades en Cortes Seccionales .............................................. 95
3.2.5 Método de Medición de Velocidades por Arrastre ............................................... 96
3.3 Conservación del Momentum ....................................................................................... 99
3.3.1 Salto Hidráulico Estacionario .............................................................................. 99
3.3.2 Salto Hidráulico No-Estacionario (El Bore) ......................................................... 101
3.4 Modelos Analíticos Puramente Advectivos ................................................................... 103
3.4.1 Ecuación de Transporte Advectivo de Sal ............................................................ 103
3.4.2 Unidimensional Estratificado (Teorema de Knudsen) ............................................ 103
3.4.3 Bidimensional Bien Mezclado (Bombeo por Marea) ............................................. 104
3.4.4 Para Intercambio con Tributarios .......................................................................... 107
3.4.4.1Tributario Somero ..................................................................................... 107
3.4.4.2Tributario Profundo ................................................................................... 108
3.4.5 Unidimensional Bien Mezclado para Intercambio en la Boca ................................. 109
3.4.6 Unidimensional Bien Mezclado para Concentración de Descarga .......................... 111
3.4.7 Métodos para el Tiempo de Evacuado .................................................................. 112
3.4.7.1 Definiciones .............................................................................................. 112
3.4.7.2 Del Prisma de Marea ................................................................................. 113
3.4.7.3 Modificado del Prisma de Marea ............................................................... 113
3.4.7.3.1 La Excursión y la Razón de Intercambio Interior ........................ 113
3.4.7.3.2 Concentración Remanente y Tiempo para su Reducción ............. 115
3.4.7.3.3 Variación de Concentración en el Segmento de
Inyección, Aguas Arriba y Aguas Abajo .............................. 115
3.5 Transporte de Materia Difusivo-Dispersivo ................................................................. 116
3.5.1 Escalas de Tiempo, Coeficientes y Ecuaciones ..................................................... 116
3.5.2 Difusion Unidimensional sin Advección ............................................................... 120
3.5.2.1 Inicialmente Puntual, e Instántanea (Fick) ................................................ 120
3.5.2.2 Inicialmente Extensa, e Instántanea .......................................................... 123
3.5.2.3 Inicialmente Puntual, y Continua .............................................................. 125
3.5.2.4 Inicialmente Extensa, y Continua ............................................................. 125
3.5.3 Extensión a 2 o 3 Dimensiones y con Fronteras Finitas (Cerradas) ...................... 125
3.5.4 Difusión Simultánea con Advección .................................................................... 128
3.5.4.1 En la Misma Dirección (Taylor) .............................................................. 128
3.5.4.1.1 Condición para Desprecio ........................................................ 130
vi

CAPITULO 4
3.5.4 .2 Transversalmente .................................................................................... 130
3.5.4.2.1 Lateral y Verticalmente ............................................................ 130
3.5.4.2.2 Solo Lateral con Mezcla Vertical Total .................................... 131
3.5.5 Difusión Turbulenta ............................................................................................ 132
3.5.5.1 Tamaño de Nubes y Escala de Tiempo Lagrangiana ................................ 134
3.5.5.2 Simil con Difusión Molecular y Escala de Longitud Lagrangiana ............ 136
3.5.6 Dispersión en Flujos Cizallados (con Shear) ....................................................... 138
3.5.6.1 Dispersión Laminar: Coeficientes y Ecuaciones ........................................ 139
3.5.6.2 Dispersión Turbulenta: Coeficientes y Ecuaciones .................................... 143
3.5.7 Determinación de los Coeficientes de Difusión Turbulenta Vertical y Transversal
y de Dispersión, en Canales y Rios ................................................... 144
3.5.7.1 Canales Rectangulares Lisos y Anchos ...................................................... 144
3.5.7.2 Canales Irregulares y Rios ......................................................................... 145
3.5.8 Dispersión en Flujos Oscilatorios con la Marea ..................................................... 147
3.5.8.1 Período de las Oscilaciones y Tiempo de Mezcla Total .............................. 148
3.5.8.2 Coeficientes de Difusión Turbulenta Vertical y Transversal, y de
Dispersión, en Lagunas Costeras ...................................................... 149
3.5.8.2.1 Verticalmente Estratificadas y Verticalmente Homogéneas ......... 151
Modelos numéricos hidrodinámicos y de transporte de materia
4.1 Características y Tipos ................................................................................................... 155
4.2 Selección de las Ecuaciones y sus Términos ................................................................... 157
4.3 Organización de los Datos y del Algoritmo Resolutivo ..................................................... 158
4.3.1 Discretización Espacial (Esquematización) ............................................................. 158
4.3.1.1 Canales de Transporte y Areas de Almacenamiento .................................... 158
4.3.2 Discretización Temporal, Redes Espacio-Temporales de Resolución, y
Condiciones Iniciales y de Frontera ....................................................................... 159
4.4 Métodos de Integración ................................................................................................. 160
4.5 Metodología de Aplicación de los Modelos ................................................................... 160
4.6 Casos de Aplicación a Lagunas Costeras ....................................................................... 161
4.6.1 Modelo de Continuidad ........................................................................................ 161
4.6.2 Modelo Hidrodinámico ........................................................................................ 163
4.6.2.1 Aplicación al Estuario del Rio Siuslaw, Oregon, U.S.A. ............................ 166
4.6.3 Modelo de Intercambio ......................................................................................... 168
4.6.3.1 Aplicación a la Laguna Costera No-Estuarina: Estero de Punta Banda,
B.C., México ...................................................................................... 171
4.6.4 Modelo de Dispersión ........................................................................................... 175
Bibliografia .................................................................................................................................. 179
_____________________________
vii

P r e f a c i o
De los 10,000 kilómetros de costas de México, aproximadamente un tercio lo forman los
contornos de lagunas costeras. A pesar de que el desarrollo y la explotación de sus recursos por parte de
las comunidades que habitan sus costas es cada dia mas creciente, muchas de ellas están
insuficientemente estudiadas.
Es tarea urgente para México la formación de recursos humanos capacitados para el estudio
científico, como asimismo para la aplicación de técnicas de planificación, que permitan un desarrollo
eficiente y en armonía con la preservación del medio ambiente, para estas lagunas costeras.
Prioritariamente se requiere del conocimiento de la hidrodinámica de estos sistemas y de las
características de su transporte de materia disuelto y en suspensión.
Inspirado en la inquietud anterior, nace este libro de texto basado en los apuntes de clases del
curso de Dinámica de Lagunas Costeras impartido durante los últimos 24 años del siglo XX por el autor
en los programas de Licenciatura, Maestría y Doctorado en la Facultad de Ciencias Marinas de la
Universidad Autónoma de Baja California, en el Centro de Investigación Científica y de Educación
Superior de Ensenada (CICESE), y ocasionalmente en el extranjero.
El nivel de tratamiento supone del lector conocimientos matemáticos básicos de Cálculo Integral y
elementos de Ecuaciones Diferenciales Parciales, y nociones de Física en general, e Hidráulica o
Mecánica de Fluídos. Sin embargo, se ha tratado que sus desarrollos sean auto-contenidos en el sentido de
que no sea necesario recurrir a soporte adicional para comprenderlos.
El enfoque del libro es hacia la exposición previa de la teoria de los fenómenos, seguida con
especial énfasis de sus aplicaciones. Mención especial merecen las técnicas de modelación computacional
que son esenciales para abordar situaciones de configuración real en las lagunas costeras.
El texto está dirigido al nivel de posgrado universitario en disciplinas de Oceanografía e
Ingeniería Costera-Ambiental; aunque también puede usarse en cursos a nivel de Licenciatura
seleccionando a criterio los temas que sean de interés y la profundidad con que se cubran. Sin embargo,
no es solamente el propósito proporcionar un texto para la docencia, sino también de auto-estudio para los
científicos e ingenieros interesados en los problemas hidrodinámicos de las lagunas costeras, y como obra
de consulta para los profesionistas y autoridades especializadas que necesiten la aplicación de
metodología científica a la solución de algún problema específico. Con este último propósito, se incluyen
detalles sobre aplicabilidad y alguna metodología de campo sencilla a lo largo del texto. La amplia
Bibliografía final de referencias específicas y obras de consulta permitirá al lector profundizar en
cualquier tema que sea de su interés.
Se pretende con esta obra, a pesar de sus posibles imperfecciones, llenar el vacío existente en la
literatura científica en idioma castellano en el tema de la Hidrodinámica y el Transporte de Materia en
Lagunas Costeras. A pesar de que en idiomas extranjeros existen numerosos textos sobre la
viii

hidrodinámica de Estuarios, no los hay que traten esta especialidad para Lagunas No-Estuarinas, que son
predominantes en varias regiones costeras de México. Al respecto, se incluyen en este libro numerosos
ejemplos, tanto de la experiencia del autor como de sus colegas investigadores y de estudiantes tesistas,
de resultados de investigaciones efectuadas en las lagunas costeras no-estuarinas de la Península de Baja
California.
Este libro fue elaborado bajo contrato de Cátedra Patrimonial de Excelencia de CONACYT. Fué
aprobada su edición tras arbitrajes favorables de la Universidad Autónoma de Baja California y del
CONACYT (ver constancias en las páginas siguientes). Dificultades financieras no hicieron posible su
publicación convencional impresa. Hoy se ofrece en versión electrónica sin costo al público lector
interesado.
Salvador F. Farreras
Ensenada, Baja California
Agosto de 2006
ix

________________________________________
A g r a d e c i m i e n t o s
• Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología
(CONACyT) que financió parcialmente la elaboración
de esta obra mediante el Convenio # 920107 de
Cátedra Patrimonial de Excelencia Nivel III.
• A los integrantes de los comités de evaluación de la
Facultad de Ciencias Marinas de la Universidad
Autónoma de Baja California y de la Dirección de
Fomento y Desarrollo Científico (DAIC) del Consejo
Nacional de Ciencia y Tecnología, por sus valiosos
comentarios y sugerencias y sus dictámenes favorables
a esta publicación.
• A Diego Holmgren, Felicitas Velasco y Joel Montejano
por el eficiente procesado de los textos y ecuaciones.
• A José M. Domínguez y Francisco J.Ponce por el
procesado digital de las figuras.
xii

Cap. 1 Introducción, Conceptos Básicos y Clasificaciones
___________________________________________________________________________________
CAPITULO 1
INTRODUCCION, CONCEPTOS BASICOS, Y CLASIFICACIONES
1

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
2

Cap. 1 Introducción, Conceptos Básicos y Clasificaciones
OBJETIVOS DEL CAPITULO: Establecer la importancia socio-económica del estudio de las
lagunas costeras y de la preservación y explotación, en un equilibrio armónico, de los recursos de su
medio ambiente. Conocer su origen y mecanismos de formación geológica. Determinar las
características que las definen como estuarinas y no-estuarinas. Identificarlas y clasificarlas según
geomorfología, estructura salina, y procesos de circulación y estratificación.
1.1 Justificación del Estudio
Por qué estudiamos la hidrodinámica de las lagunas costeras ?
Porque en estas zonas:
- es factible el cultivo de especies marinas (principalmente moluscos y peces), ya que son cuerpos
de agua semi-cerrados controlables;
- ocurren actividades de navegación y comunicación y se efectúan instalaciones portuarias
menores y faenas de dragado;
- existen playas y áreas de recreación;
- son hábitat natural de muchas especies ( consideradas "santuario" para algunas de carácter
migratorio);
- ocurren problemas de contaminación por residuos industriales y domésticos;
- se establecen comunidades habitacionales; y
- es posible aprovechar, en algunas ocasiones, la energía de las mareas, las olas, o la energía
térmica.
En resumen, por su importancia socio-económica, ya que las lagunas costeras son asiento de
recursos alimentarios, energéticos, turísticos, de habitación y de comunicación, que es urgente
aprovechar y desarrollar armónicamente, preservando simultáneamente el medio ambiente natural
(equilibrio entre explotación y preservación).
Para llevar a cabo esto, se requiere prioritariamente el conocimiento de la hidrodinámica del
sistema, es decir, saber cómo se está moviendo el agua, a qué agentes se debe su movimiento,
cúales de éstos se podría controlar y cómo, y cómo se moverá ante eventuales modificaciones
naturales o artificiales. Asimismo es necesario conocer cómo se transporta la materia en suspensión
o dilución en el agua, Ej: dispersión de larvas de organismos o particulas contaminantes. De esta
forma será posible abordar y resolver adecuadamente problemas de acuacultura, contaminación,
navegación, formación de playas, transporte de sedimentos, construcción de obras, etc.
1.2 Definiciones
1.2.1 Estuarios
Por convención se acepta como mas adecuada la definición de Pritchard (1967): "Estuario es un
cuerpo o masa de agua costera semi-encerrada, con conexión libre al mar abierto, y en el cual es
medible la dilución del agua de mar por agua dulce proveniente de la tierra". Que sea
semi-encerrado implica que su patrón de circulación es influido considerablemente por las fronteras
laterales, y por lo tanto es un cuerpo costero, pero no forma parte de la linea de costa en si misma;
permitiendo así distinguirlo de cuencas de mayor tamaño como una bahía o un golfo. Que la
conexión al mar abierto sea libre significa que la comunicación entre el océano y el estuario debe
permitir el intercambio de agua, sal, y la transmisión de la energía de la marea permanentemente,
3

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
para todo estado de marea y durante todas las estaciones del año. Que la dilución de agua de mar
sea medible significa que la salinidad en el interior del estuario debe ser menor que en el océano
adyacente; es decir que el volumen de agua dulce que ingresa por afluentes y precipitación es
mayor que el que se pierde por evaporación en el mismo lapso de tiempo.
Con anterioridad Pritchard usó la terminología, hoy desechada, de:
Estuario Positivo para aquel en que el volumen de agua dulce que ingresa es mayor que el que se
pierde (salinidad interior menor que en el océano): y
Estuario Negativo o Inverso para aquel en que ocurre lo contrario (salinidad en el interior mayor
que en el océano).
Actualmente se denomina al primer caso como "cuenca estuarina" y al segundo como "cuenca
no-estuarina" (evítese usar la acepción "anti-estuario" para este último caso).
Fischer (1976) comenta al respecto que la definición de Pritchard excluye a lagunas
no-estuarinas que se comportan similarmente a las estuarinas en cuanto a procesos de mezcla y
dispersión; agregando, frivolamente, que no es fácil identificar los estuarios porque son como la
"pornografía", difíciles de definir pero facilmente reconocibles cuando los vemos.
1.2.2 Lagunas Costeras (Estuarinas o No-Estuarinas)
Lankford (1976), refiriéndose expresamente a estas cuencas en México, define: "laguna costera
es una depresión en la zona costera, bajo el nivel de pleamar media superior (sigla MHHW en
inglés), que tiene una conexión permanente o efímera con el mar, pero protegida de este por algún
tipo de barra".
Los elementos geomorfológicos (existencia de la depresión bajo el nivel de MHHW y de la barra
frente a la boca) son importantes en esta definición. La conexión con el mar puede ser permanente o
efímera, y no hay restricciones para los valores de la salinidad en el interior.
Según Lankford en México se usa indistintamente los términos laguna costera, bahía, sonda,
boca, estero, estuario, caleta, lago, laguna, o lagunilla, para denominar este tipo de cuencas que
conforman aproximadamente 1/3 de los 10,000 kilómetros de longitud de costas de México.
Boca de una laguna costera es la sección transversal que coincide con la linea de costa.
Cabeza de una laguna costera es la sección transversal mas lejana aguas arriba en que son
detectables las fluctuaciones en la superficie libre del agua debidas a la marea. En el caso estuarino
esta sección es mas lejana que la última en que se detecta salinidad significativa, porque las ondas
de marea se propagan mas allá del límite de transporte dispersivo de sal. En el caso no-estuarino
esta sección suele coincidir con la frontera de costa interior.
1.3 Origen y Efimerismo
Los siguientes eventos secuenciales de variación histórica del nivel del mar son el agente
principal del origen de las lagunas costeras:
I- Estabilización del nivel de la línea de costa en el Pleistoceno (hace 80,000 años), a
aproximadamente 5 a 8 metros sobre el actual, formándose un arrecife, cantil o bordo
elevado de depósitos de playa que aún existe actualmente rodeando algunas lagunas costeras
y bahías.
II- Descenso del nivel del mar en el Holoceno (hace 18,000 años) por la glaciación de Wisconsin
(transgresión Flandriana), a razón de un metro cada 100 años, y hasta 130 metros bajo el
4

Cap. 1 Introducción, Conceptos Básicos y Clasificaciones
actual, durante el cual los procesos terrestres y atmosféricos erosionaron valles y cañones
formando deltas y planicies costeras.
III- Rápido ascenso (regresión) del nivel del mar a fines del Holoceno (hasta hace 5000 años
atrás de hoy), hasta 3 o 4 metros bajo el actual nivel, durante el cual el agua de mar inunda
las planicies y los valles previamente excavados por los rios y glaciares descendentes. La
turbulencia litoral y el oleaje retrabajan los sedimentos costeros, cubren con una capa de
arena la plataforma, y forman playas en la linea de costa.
IV- Desaceleración de la regresión anterior (desde hace 5,000 años atrás hasta hoy), en que el
nivel del mar sube lentamente (2 milímetros cada año). Los nuevos ríos que ocupan las partes
altas de los antiguos valles, transportan sedimentos, forman deltas progresivos en la costa y
construyen barras en las bocas de las lagunas costeras.
Subidas actuales o futuras del nivel del mar producirían nuevas lagunas costeras en los
valles altos, con poco sedimento depositado, pero aumentaría el sedimento por erosión costera.
Descensos actuales o futuros del nivel del mar producirían nuevas lagunas costeras
someras que se llenarían rapidamente con sedimentos arrastrados de las zonas altas.
Las lagunas costeras son por ende fenómenos de origen geológico reciente y de vida corta,
estando en permanente alteración por erosión y depósito de sedimentos y por fluctuaciones del
nivel del mar de carácter eustático (debidos a cambios del volumen de agua del océano) e
isostáticos (debidos a cambios del nivel de la tierra). Además, las descargas de los rios afluentes
y los rangos de las mareas están variando permanentemente, por lo que las lagunas costeras
nunca logran alcanzar un estado de equilibrio definitivo. Son sistemas complejos de vida
efímera, en permanente interacción y modificación, y facilmente afectables por acciones
externas.
1.4 Clasificaciones
Las clasificaciones se agrupan en:
I- Discretas:
II- Continua:
1) Geomorfológica Estuarina
2) Geomorfológica Mixta (para México)
3) Según Estructura Salina
4) Según Parámetro de Estratificación
5) Según diagrama de Estratificación-Circulación.
Ventaja de las clasificaciones discretas:
- Son claras y sencillas en explicar los procesos básicos de la dinámica, sus agentes causales, y el
origen y configuración de las lagunas costeras; y son fáciles de aplicar a casos concretos por la
calidad y cantidad de mediciones de campo requeridas.
Desventajas de las clasificaciones discretas:
- Cada clasificación abarca solo uno o dos aspectos de la hidrodinámica.
- Distintas partes de un misma laguna costera pueden corresponder simultáneamente a distintos
tipos en la clasificación.
5

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
- Encasillan las lagunas costeras en categorías discretas.
- No todas son aplicables a las lagunas costeras no-estuarinas.
- Una laguna costera puede cambiar de categoría estacionalmente, o con distintas fases de la
marea diariamente.
- No hay dos lagunas costeras en el mundo con características topográficas, de circulación y de
dispersión, y variaciones estacionales idénticas (solo las hay similares) como para ponerlas
exactamente en la misma categoría.
Ventajas de la clasificación continua:
- Clasifica la laguna costera como una curva o superficie dentro de regiones de un diagrama,
siendo mas completa en la cantidad de procesos hidrodinámicos y de transporte de materia
involucrados.
- Permite la evolución temporal de las características para una laguna, y la ubicación de sus
diferentes zonas en regiones distintas del diagrama.
Desventaja de la clasificación continua:
- No es sencilla de entender, y es difícil de aplicar en casos concretos por la cantidad y calidad
de las mediciones de campo requeridas.
1.4.1 Discretas
1.4.1.1 Geomorfólogica Estuarina
Clasifica estuarios según Pritchard (1967) de acuerdo a su origen y formación,
profundidad máxima, forma de la sección transversal, razón ancho/profundidad, geometría del
canal central, tipo de sedimentos, latitud, y volumen de descarga del río. Los separa en 4
clases:
I- Estuarios de valle de río inundado;
II- Fiordos;
III- Estuarios con formación de barra de arena en la boca; y
IV- Estuarios tectónicos y Otros.
Se detalla su contenido en la Tabla 1.1
1.4.1.2 Geomorfólogica Mixta (para México)
Lankford (1976) clasifica las 123 mayores lagunas costeras de México según un
criterio geomorfológico basado en el origen y formación de la depresión y las características de
la barra. Estos 2 hechos están controlados por los siguientes agentes causales:
a) controles geológicos y fisiográficos: variaciones históricas del nivel del mar, perfil o relieve
costero, vertientes, valles, ríos y desagües terrestres.
b) condiciones climáticas: precipitaciones, principalmente; y
c) condiciones oceanográficas de la costa: dimensiones de la plataforma continental, energía
del oleaje, energía de la marea y sus corrientes predominantes.
Las variaciones históricas del nivel del mar son comunes a todas las lagunas costeras y ya se
analizaron en la sección anterior.
6

Cap. 1 Introducción, Conceptos Básicos y Clasificaciones
7

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
8

Cap. 1 Introducción, Conceptos Básicos y Clasificaciones
Los demás agentes causales varían en naturaleza e intensidad a lo largo de las costas de México,
permitiendo separarlas en 7 regiones diferentes (Tabla 1.2). Esta variación en el actuar de dichos agentes
ha originado una multiplicidad de características en las lagunas costeras, que se agrupan clasificándolas
en 5 tipos con 16 subtipos (Tabla 1.3 y Figura 1.1). En cada región predomina cierto tipo de lagunas (Ej:
tipo III en región A y D, tipo II en C y E, etc) (Tabla 1.4).
Es de notar que la clasificación no es unívoca, es decir una laguna puede tener características de 2 o
más tipos; y además, pueden estar continuamente evolucionando de un tipo a otro, o cambiando
estacionalmente por el régimen de lluvias, entre otras causas.
Un cambio estacional importante es el paso de boca cerrada a boca abierta y viceversa que depende del
régimen de lluvias, rango de la marea, y altura de la barra (acumulación o acreción de sedimentos
terrígenos y litorales).
Otro cambio importante es la segmentación de lagunas producido por la migración de barras de dunas
de arena debida al transporte eólico.
La única laguna costera de México que está permanentemente en condición estuarina es el Estuario del
Río Colorado.
T A B L A 1.3 T I P O S D E L A G U N A S C O S T E R A S
I. Erosión Diferencial
A. Valle inundado abierto
B. Boca de rio inundada abierta
C. Valle inundado con barra
D. Boca de rio inundada con barra
E. Cañón rocoso inundado
F. Depresión de Karst inundada
II. Sedimentación Terrígena diferencial
A. Depresión intradeltaica y marginal
B. Depresión de delta con barra
C. Entradas de playa de delta
III. Plataforma Interior con Barra
A. Laguna de barra según Gilbert-de-Beaumont
B. Laguna cuspada
C. Depresiones de ribera plana
IV Orgánica
A. Laguna de barra coral-algal
B. Laguna de barra de manglar
V. Tectónicas
A. Laguna estructural
B. B. Laguna tectónica
9

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Fig 1.1 Tipos de Lagunas Costeras, según Lankford (1976)
10

Cap. 1 Introducción, Conceptos Básicos y Clasificaciones
TABLA 1. 4 Distribución Regional de Lagunas Costeras
TIPO
REGION I II III IV V TOTAL
A BAJA CALIFORNIA
5 8 3 16
COSTA PACIFICO
B BAJA CALIFORNIA
1 3 1 5
COSTA GOLFO CALIFORNIA
C GOLFO DE CALIFORNIA
6 16 9 31
COSTA ESTE
D COSTA PACIFICO
4 27 31
CENTRAL-SUR
E GOLFO DE MEXICO
2 14 6 1 23
COSTA NORTE-CENTRO
F GOLFO DE MEXICO
5 4 9
COSTA YUCATAN
G MAR CARIBE
4 2 2 8
COSTA YUCATAN - Q. ROO
TOTAL 22 30 60 6 5 123
1.4.1.3 Según Estructura Salina
Pritchard (1955 y 1959) clasifica los estuarios en las siguientes clases:
A.- Verticalmente estratificado (o de 2 capas, o de cuña de sal).
A-1.- Fiordo.
B.- Parcialmente mezclado.
C.- Verticalmente homogéneo, con estratificación lateral; y
D.- Verticalmente homogéneo, sin estratificación lateral (o bien mezclado, o
totalmente homogéneo).
Supongamos una situación ideal: un río de agua dulce que se vacía en un océano sin
mareas, ambos sin viscosidad.
El agua dulce (menos densa) fluye sobre la salada, la velocidad disminuye hacia la boca
(por ensanche y profundización, si se supone que el régimen es subcrítico como es usual,
concepto que se explica en el Capítulo siguiente). La interfase es horizontal (o inclinada
lateralmente si el efecto de Coriolis es significativo), no hay movimiento en la cuña salada, y
no hay mezcla (Figura 1.2).
Fig. 1.2 Perfiles verticales de salinidad y velocidad en cortes de la cabeza a la boca (1 a 4) para caso
ideal sin mareas ni viscosidad.
11

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Fig. 1.3 Forma de la interfase y perfiles verticales de salinidad y velocidad para estuarios de Clase A
En las situaciones reales siguientes hay mareas y viscosidad:
1.4.1.3.1 Verticalmente Estratificados (Clase A)
El esfuerzo tangencial del agua dulce empuja el agua salada y la inclina hacia arriba en
dirección a la boca, y si es suficientemente grande forma olas internas en la interfase que
eventualmente rompen mezclando el agua salada con la dulce (abordamiento o "entrainment").
Esto incrementa la descarga de agua superior mezclada hacia la boca y por continuidad también
del agua salada de la cuña inferior hacia el interior. La salinidad en la cuña es vertical y
horizontalmente constante, la razón descarga rio/descarga marea es mayor que uno (debido a
una descarga grande del rio y/o a un rango de marea pequeño), y la razón ancho/profundidad es
menor que 5 (Figura 1.3).
1.4.1.3.2 Fiordos (Clase A-1)
Son similares en estructura salina y de corrientes a los estuarios de Clase A, pero debido a
la presencia de la barra rocosa en la boca (sill) difieren en que la capa de agua dulce es muy
somera, la interfase es casi horizontal, la salinidad en la capa superficial no es rigurosamente
nula (especialmente en el sill), hay variaciones estacionales marcadas debido a las fluctuaciones
en la descarga del río y al congelamiento, y la capa profunda es de no-movimiento y anóxica
(Figura 1.4). El abordamiento es muy activo en verano y variable con el rango de la marea.
Fig. 1.4 Forma de la interfase y perfiles verticales de salinidad y velocidad para estuarios de Clase
A-1 (fiordos)
Los fiordos solo se presentan en zonas con glaciares en latitudes altas, y por ende no los
hay en México. Descripciones de fiordos en Canadá, Alaska, Noruega, y Chile pueden verse en
Pickard (1961, 1967, y 1971), Rattray (1967), y Saelen (1967).
12

Cap. 1 Introducción, Conceptos Básicos y Clasificaciones
El criterio de Burt y Mc Allister (1957) para clasificar un estuario en las Clases A o A-1
es que en aquella sección transversal en que la salinidad promedio sea 17 o/oo, la diferencia
entre salinidad superficial y de fondo sea mayor o igual a 20 o/oo.
1.4.1.3.3 Parcialmente Mezclados (Clase B)
Si el rango de la marea es suficientemente grande, todo el contenido de agua del estuario
oscila, y la energía cinética de este movimiento es parcialmente disipada por fricción en el
fondo, originando turbulencias. Estos remolinos turbulentos a su vez disipan energía,
produciendo calor y mezclando el agua salada hacia arriba y el agua dulce hacia abajo. Esto
incrementa la salinidad en la capa superior y su volumen de descarga hacia el océano, lo que
hace aumentar también la descarga de agua salada profunda hacia el interior. Se ha medido en
algunos de estos casos razones de descarga de agua salada hacia el interior en la boca/descarga
de agua dulce del rio en la cabeza ≈ 20/1.
La estructura salina muestra:
a) un gradiente horizontal aumentando la salinidad hacia la boca en forma
aproximadamente lineal, tanto en la capa superficial como en la profunda;
b) un gradiente vertical pronunciado a media profundidad, siendo la salinidad
verticalmente constante en cada capa (superficial y profunda);
c) una forma geométrica similar del perfil vertical de salinidad a lo largo del estuario.
La razón descarga de rio/descarga de la marea es de 0.2 a 0.5 (debido a una descarga de
rio moderada y/o a un rango de marea moderado o grande; y la razón ancho/profundidad es de
7 a 10. Ver Figura 1.5.
Fig. 1.5 Forma de la interfase y perfiles verticales de salinidad y velocidad para estuarios de Clase B.
El criterio de Burt y Mc Allister (1957) para clasificar un estuario en la Clase B es que en
aquella sección transversal en que la salinidad promedio sea de 17 o/oo, la diferencia entre salinidad en
superficie y en fondo esté entre 4 o/oo y 19 o/oo.
1.4.1.3.4 Verticalmente Homogéneos con Estratificación Lateral (Clase C)
13

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Si el estuario es somero y la velocidad en el fondo es suficientemente grande, la
columna vertical de agua se mezcla completamente, resultando un gradiente vertical de
salinidad despreciable. No hay transporte advectivo vertical de sal considerable. La sal se
transporta por difusión (ver Capítulo 3) hacia el interior en dirección del gradiente horizontal.
Si además el estuario es suficientemente ancho, el efecto de Coriolis separa
notoriamente un flujo neto hacia el interior a la izquierda y un flujo neto hacia el océano a la
derecha, en el hemisferio Norte, (observando el estuario desde la cabeza hacia la boca). Este
patrón asimétrico determina la circulación y el transporte de sal en toda la extensión del
estuario y desde la superficie hasta el fondo. El gradiente de sal es también lateralmente
asimétrico (Figura 1.6).
Fig. 1.6 Perfiles lateral y vertical de salinidad, y vertical de velocidad neta en un ciclo de marea,
para estuarios de Clase C.
1.4.1.3.5 Lateral y Verticalmente Homogéneos (Clase D)
Si además de ser somero y tener velocidades de flujo grandes en el fondo, el estuario es
suficientemente angosto, los esfuerzos tangenciales en las paredes laterales anulan la asimetría
del efecto de Coriolis y el estuario es homogéneo vertical y lateralmente (es decir homogéneo
en toda la sección transversal).
La circulación se establece con un transporte advectivo (ver Capítulo 3) hacia el interior
en la llenante y otro hacia el exterior en la vaciante de la marea; sin embargo, el transporte neto
es hacia el océano debido al flujo permanente de agua dulce del río. Hay un ingreso neto de
sal hacia el interior por difusión turbulenta que balancea el neto hacia el océano por advección.
El desbalance de transporte difusivo de sal se debe a la mayor fricción de fondo durante la
máxima corriente de vaciante, que ocurre cuando el nivel del agua es mínimo por predominar
una onda de marea progresiva (ver Capítulo 2) en esta Clase de estuario. Ver Figura 1.7.
Para estuarios de Clases C y D, la razón descarga de río/descarga de marea es
menor que 0.1, debido a un flujo muy pequeño del rio y/o a un rango de marea muy grande. La
razón ancho/profundidad es igual o mayor que 20 para los de Clase C y aproximadamente
entre 5 y 15 para los de Clase D.
14

Cap. 1 Introducción, Conceptos Básicos y Clasificaciones
Fig. 1.7 Perfiles lateral y vertical de salinidad, y vertical de velocidad neta en un ciclo de marea,
para estuarios de Clase D.
El criterio de Burt y Mc Allister (1957) para clasificar un estuario en las Clases C o D
(indistintamente) es que en aquella sección transversal en que la salinidad promedio vertical
sea 17 o/oo, la diferencia entre salinidad en superficie y fondo sea menor o igual que 3 o/oo.
Estas clasificaciones según estructura salina: A,B,C, y D pueden varíar estacionalmente
para un mismo estuario.
El contenido de esta clasificación según estructura salina se detalla en forma resumida en
la Tabla 1.5.
1.3.1.3.6 Casos No-Estuarinos
En las lagunas costeras no-estuarinas, debido a la ausencia de aporte significativo de
agua dulce de rios, son las mareas el factor más importante en su dinámica. Por este motivo y
por ser muy pequeña o nula la razón entre la descarga del rio y la descarga de la marea y el
ancho mayor que 20 veces la profundidad (son generalmente muy someras), tienden a ser
verticalmente homogéneas (como los estuarios C ó D). Sin embargo, el viento, la radiación
solar, y la temperatura atmosférica alta de las latitudes en que predominantemente se
encuentran, producen (ver Capítulo 2):
a) evaporación en las extensas zonas superficiales cercanas a la cabeza, suficiente para
originar un gradiente longitudinal de salinidad aumentando hacia la cabeza, y otro vertical
aumentando hacia la superficie (Figura 1.8); y
b) calentamiento en estas mismas zonas, originando un gradiente longitudinal de temperatura
también aumentando hacia la cabeza, y otro vertical también aumentando hacia la
superficie (Figura 1.9).
La capa superficial tiende a ser mas densa por su mayor salinidad, pero menos densa por su
mayor temperatura. El predominio de la influencia de uno u otro de los gradientes en la
densidad, o el balance entre el efecto de ambos produce finalmente los 3 posibles casos-tipo de
estructura salina que se muestran en la Figura 1.10, para estas lagunas costeras no-estuarinas
15

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
16

Cap. 1 Introducción, Conceptos Básicos y Clasificaciones
Fig. 1.8 Perfiles verticales de salinidad para laguna costera no-estuarina con evaporación
apreciable y sin evaporación apreciable.
Fig. 1.9 Perfiles de temperatura para laguna costera no-estuarina con calentamiento solar
apreciable y sin calentamiento solar apreciable.
Como ejemplo del caso de estabilidad por volcamiento, Plascencia-Diaz (1980)
muestra su ocurrencia 3 veces en un período de 15 dias de mediciones durante el verano en Bahía
de San Quintín, Baja California.
En las lagunas costeras Tipo α se producen corrientes débiles inducidas por el gradiente
de densidad (superpuestas a las corrientes por marea) durante el proceso paulatino de
volcamiento.
Para los tres tipos, la circulación se establece con un transporte advectivo hacia el interior
en la llenante y otro también advectivo hacia el exterior en la vaciante de la marea, en toda la
columna vertical; con un perfil semejante al de velocidad neta del estuario D (Figura 1.7) pero
invirtiendo su sentido en llenante y vaciante. Sin embargo, el transporte advectivo neto en un
ciclo de marea es pequeño al no haber aportes considerables y permanentes de agua dulce por
rios, sino solamente esporádicos y/o reducidos por precipitaciones y evaporación (ver Capítulo 2).
.
17

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Tipo α Tipo β Tipo γ
Predominio del efecto de Balance del efecto de Predominio del efecto de
∇ S
∇ T y ∇ S
∇ T
Estabilidad por volcamiento
con inversión de salinidad
Estabilidad por mezcla
homogénea vertical
Estabilidad por flotación, sin
inversión de salinidad
Fig 1.10 Patrones de distribución de salinidad y sus perfiles verticales para lagunas costeras
no-estuarinas
Como son cuencas muy anchas y poco profundas, es posible en muchos casos observar
asimetrías laterales debidas al efecto de Coriolis, similares al caso de los estuarios de clase C.
En resumen, podemos clasificar las lagunas costeras no-estuarinas en los siguientes Tipos
de acuerdo a su estructura salina:
poco estratificada
(por evaporación).
verticalmente
homogénea
poco estratificada
(por calentamiento)
con asimetría lateral α C β C γ C
sin asimetría lateral α D β D γ D
Hay además variaciones diurnas y estacionales debidas a que la evaporación y el
calentamiento dependen de la radiación solar, del viento, la humedad, y la temperatura del aire y
del agua; (los fenómenos de evaporación y calentamiento y los agentes que los regulan se tratan
en el Capítulo 2).
18

Cap. 1 Introducción, Conceptos Básicos y Clasificaciones
1.4.1.3.7 Procesos de Transporte Hidrológico y de Materia
Para esta clasificación es factor determinante la modalidad del transporte de sal.
En esta sección identificamos y definimos los procesos físicos de flujo en cuerpos de
agua naturales que causan el transporte y la mezcla o intercambio de substancias naturales (Ej: la
sal) o contaminantes con otros medios. Estos procesos son los siguientes:
Advección (o convección forzada): Transporte impuesto por un sistema de corrientes
(Ej: corriente de un rio o de mareas, causadas por un gradiente de presión; corrientes horizontales
causadas por un gradiente de densidad).
Convección (natural): Transporte vertical inducido por una inestabilidad hidrostática
(Ej: corriente residual causada por un gradiente vertical de densidad en una laguna costera, flujo
bajo la superficie congelada o fria de un fiordo o un lago).
Difusión Molecular: El esparcimiento (“scattering” en inglés) de partículas por
movimiento molecular aleatorio (ocurre aun en reposo, sin campo de velocidades presente, y
depende sólo de las materias involucradas. Ej.: sal y agua, azúcar y alcohol, etc.).
Difusión Turbulenta: El esparcimiento (“scattering”) aleatorio de partículas por
movimiento turbulento, que puede tratarse matematicamente en forma análoga a la difusión
molecular, pero con coeficientes de difusión turbulenta (“eddy” en inglés) varios órdenes de
magnitud mayores que los coeficientes de difusión molecular. Requiere de la existencia de un
campo de velocidades.
Efecto del esfuerzo tangencial de corte, deslizamiento, o cizalle (“shear” en inglés): No
es un proceso de transporte en si, sino una configuración del campo de velocidad advectivo. Es la
advección del fluido a diferentes velocidades para diferentes posiciones en el espacio. Ejemplos:
el fluir con velocidad creciente a mayor elevación en la capa límite adyacente al fondo de un rio,
como resultado de la fricción y la viscosidad; el cambio en magnitud y dirección del vector
velocidad con la profundidad en un estuario estratificado o en un transporte espiral de Ekman en
el oceáno.
Dispersión (longitudinal): El esparcimiento (“scattering”) de partículas o de una nube de
contaminantes por efecto combinado del cizalle ("shear") y de la difusión transversal al campo de
velocidad advectivo (la difusión longitudinal al campo de velocidad advectivo no se considera por
ser generalmente despreciable con respecto al efecto dispersivo longitudinal). La dispersión
puede ser laminar o turbulenta según que predomine la difusión molecular o la difusión
turbulenta.
Mezcla: Resultado de las difusiones o la dispersión ya descritas, entre dos o mas parcelas
de agua con o sin materia en suspensión o dilución, que interactuan.
Evaporación.- El transporte de vapor de agua de la superficie del agua o del suelo a la
atmósfera.
Abordamiento (“entrainment” en inglés): Transporte en la interfase entre 2 capas de una
laguna costera, debido al efecto combinado de la convección (natural o forzada) y la difusión
turbulenta.
19

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
1.4.1.3.8 Ecuación de Transporte de Sal
Si se considera la sal como una propiedad conservativa, se puede derivar una ecuación
de conservación de salinidad en forma similar a la de la ecuación de continuidad: la diferencia
entre la masa de sal que entra menos la masa de sal que sale es igual a la variación interna de sal.
Si s = salinidad y D = coeficiente de difusión molecular, esta ecuación en 3 dimensiones para
valores instantáneos es (Officer, 1976):
∂s
∂t
2 2 2
∂ ( us)
∂ ( vs)
∂ ( ws)
⎛ ∂ s ∂ s ∂ s ⎞
− − − + D
⎜ + +
⎟
2 2
∂x
∂y
∂z
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
=
2
(1.1)
variación local en
un punto en el tiempo
advección instantánea a
escala no molecular
difusión molecular
Todo valor instantáneo = valor medio en el ciclo de marea + fluctuaciones no turbulentas
dentro del ciclo de marea + fluctuaciones turbulentas de período corto; es decir,
s= s+ S+ s , ,
, u= u+ U+
u
(1.2)
Reemplazando estos valores en la ecuación (1.1), y efectuando el promedio de ésta en un
ciclo de marea, muchos términos (productos cruzados) desaparecen por no estar correlacionados
entre sí [ver detalle en Dyer (1973) pag. 66 u Officer (1976) sección 2-4], quedando:
∂s
∂( us) ∂( vs) ∂( ws) ∂( us) ∂( vs) ∂(
ws
= − − − − − −
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
, , , , , , )
(1.3)
variación local
advección por
circulación media
difusión turbulenta y por
variaciones de período corto
La aparente contradicción de que términos de difusión (en promedio) surjan de los
términos de advección (instantánea) se debe a la consideración relativa de un fenómeno como
advección o como difusión según la escala espacial o temporal de observación; Ej.: remolinos en
una corriente pueden ser advectivos para un observador navegando en ellos, y difusivos
turbulentos para otro observando mediante un satélite.
En esta última ecuación se ha despreciado la difusión molecular por ser mucho menor
que la difusión turbulenta.
Los términos advectivos son medibles; sin embargo, los difusivos no lo son directamente
y por ende se supone razonablemente que los flujos trubulentos de sal son proporcionales a los
gradientes de salinidad (Ley de Fourier), i.e:
, ,
( us)
s
=−∈ ∂ x
∂x
(1.4)
20

Cap. 1 Introducción, Conceptos Básicos y Clasificaciones
que es equivalente a definir de esta forma los coeficientes de difusión turbulenta ∈ ∈ ,
X, Y, y ∈Z, de modo que el tratamiento matemático de la difusión turbulenta resulte ser similar al de la
difusión molecular; y la ecuación (1.3) queda en la forma conocida como “ de Fick”:
∂ s ∂ ( us)
∂ ( vs)
∂ ( ws)
∂ ⎛ ∂s
⎞ ∂ ⎛ ∂s
⎞ ∂ ⎛ ∂s
= − − + ⎜ ∈
x ⎟ + ⎜ ∈
y
⎟ + ⎜ ∈
z
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
⎝ ∂x
⎠ ∂y
⎝ ∂y
⎠ ∂z
⎝ ∂ z
⎞
⎟
⎠
(1.5)
∈X, ∈Y, y ∈
Z ,
son coeficientes efectivos de difusión turbulenta, es decir representan
condiciones de mezcla promedio en un ciclo de marea.
Usando la ecuación de continuidad:
∂u
∂v
∂w
+ + =0 (1.6)
∂x
∂y
∂z
la ecuación (1.5) queda finalmente:
∂s
∂t
∂s
∂s
∂s
∂ ⎛ ∂s
⎞ ∂ ⎛ ∂s
⎞ ∂ ⎛ ∂s
= u + v + w − ⎜ ∈
x ⎟ − ⎜ ∈
y
⎟ − ⎜ ∈
z
∂x
∂y
∂z
∂x
⎝ ∂x
⎠ ∂y
⎝ ∂y
⎠ ∂z
⎝ ∂ z
⎞
⎟
⎠
(1.7)
Los coeficientes ∈X, ∈
Y, y ∈Z, suelen ser independientes de x, y, y z respectivamente,
pudiendo extraerse de las derivadas parciales en los 3 últimos términos.
Para cada Clase de laguna costera la ecuación de transporte de sal se simplifica dejando
solamente los términos significativos según los procesos físicos predominantes:
Clase O (ideal): La sal solo se transporta por difusión molecular,
∂s
∂t
2 2 2
⎛ ∂ s ∂ s ∂ s ⎞
D
⎜ + +
⎟
2 2
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
=
2
(1.8)
Clase A: predominan advección horizontal y vertical,
∂s
∂ ∂
=−u
s − w
s (1.9)
∂t
∂x
∂z
Clase B: la difusión vertical es también significativa,
∂s
∂t
∂s
∂s
∂ ⎛ ∂s
= − u − w + ⎜ ∈
∂x
∂z
∂z
⎝
z ∂ z
⎞
⎟
⎠
(1.10)
Clase C (y no estuarina β C ): el transporte vertical es despreciable, pero la difusión y la
advección lateral son significativas,
21

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
∂s
∂s
∂s
∂ ⎛ ∂s
⎞ ⎛ ∂s
⎞
= − u − v + ⎜ ∈
y
⎟..... ⎜ − w ⎟
(1.11)
∂t
∂x
∂y
∂y
⎝ ∂y
⎠ ⎝ ∂z
⎠
(el último término se agrega para las clases de lagunas costeras no estuarinas α C
y γ C en que el transporte convectivo vertical puede ser significativo).
Clase D (y no estuarina β D ): no hay transporte lateral, pero la difusión horizontal es
significativa,
∂s
∂t
∂s
∂ ⎛ ∂s
⎞ ⎛ ∂s
⎞
= − u + ⎜ ∈
x ⎟.... ⎜ − w ⎟
(1.12)
∂x
∂x
⎝ ∂x
⎠ ⎝ ∂z
⎠
(el último término se agrega para las clases de lagunas costeras no estuarinas α D y γ D en
que el transporte convectivo vertical puede ser significativo).
Para períodos cortos de tiempo durante la plea y la bajamar, si no se observan cambios en
la distribución de sal en puntos fijos del estuario; o bien para el valor medio en un ciclo de
marea, puede suponerse estado estacionario:
1.4.1.4 Según Parámetro de Estratificación
∂s
∂t = 0 (1.13)
Esta clasificación se basa en la definición del parámetro de estratificación G/J, en que G
es la cantidad de energía perdida por la ola de marea por efecto de la fricción y J es la cantidad
de energía de la ola de marea usada en mezclar la columna vertical de agua. Se supone que estos
2 son los factores que determinan la dinámica de la masa de agua y la distribución salina. J es
una parte de G, de modo que G/J es siempre mayor que uno; y se clasifica las lagunas costeras
según su valor en las siguientes categorias:
G/J menor que 20
G/J aproximadamente 50
G/J mayor que 150
verticalmente estratificada
parcialmente mezclada
bien mezclada
En el Capítulo 2 se explica un método para evaluar G y J monitoreando la propagación de
la onda de marea.
1.4.2 Continua
1.4.2.1 Según Diagrama de Estratificación-Circulación
Mediante este método, Hansen y Rattray (1966) clasifican bidimensionalmente las
lagunas costeras según un parámetro de estratificación, característico de la distribución de
salinidades:
22

Cap. 1 Introducción, Conceptos Básicos y Clasificaciones
SB
− SS
S
< S > = ∂ (1.14)
S0
y un parámetro de circulación, característico de las velocidades:
V
< V
s
x
u
=
> u
s
f
(1.15)
Supuestamente estos dos parámetros determinan biunivocamente el grado o importancia
relativa del transporte por advección y por difusión en la laguna costera, que son los dos
procesos físicos que controlan su dinámica.
Nomenclatura de las ecuaciones (1.14) y (1.15):
S B
= promedio temporal de la salinidad en el fondo (en un ciclo de marea)
S s
= promedio temporal de la salinidad en la superficie (en un ciclo de marea)
< S >= S 0
= promedio temporal (en un ciclo de marea) de los promedios espaciales (en la
sección transversal) de la salinidad
V
s =
u
s
= promedio temporal de la velocidad en la superficie (en un ciclo de marea)
< V x
>= u f
= promedio temporal (en un ciclo de marea) de los promedios espaciales (en
la sección transversal) de la velocidad de descarga de agua dulce del río.
Teóricamente el método se fundamenta en la resolución simultánea de la ecuaciones de
conservación de sal y de conservación de momentum con las siguientes condiciones de frontera:
- velocidad cero en el fondo
- esfuerzo tangencial igual al del viento, en la superficie
- transporte neto igual a la descarga del río
- flujo de sal nulo a través del fondo, paredes y superficie;
con lo que se obtiene como solución para las velocidades horizontales y las salinidades:
u
u f
∂φ
= −
∂µ
(1.16)
y
s
s
= ν ⎡⎛
1 ⎞ 1 ⎛ ⎞
1
2 1 n
1+
νξ + ⎢⎜η
− ⎟ − ⎜η
− ⎟ − ∫ φ∂η +
M
∫ ∫
0
0
⎣⎝
2 ⎠ 2 ⎝ ⎠
0
3
η
0
, ⎤
φ∂η ∂η⎥
⎦
(1.17)
en que:
siendo:
1
ν
φη ( ) = ( − η+ η) − ( η− η + η) − ( η− η + η )
2 2 3 T 2
R 3 2 3 a 3 3 2 4 (1.18)
4
48
23

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
u = promedio temporal de la velocidad (en un ciclo de marea)
u f = promedio espacial de la velocidad (en la sección transversal)
s = promedio temporal de la salinidad
s o = promedio espacial seccional de la salinidad
η = z/h = coordenada vertical adimensional
ξ = coordenada horizontal adimensional
T = esfuerzo tangencial del viento, adimensional
R a = número de Rayleigh del estuario, asociado al transporte advectivo por convección
gravitacional (convección natural) al haber 2 capas de diferente salinidad
M = parámetro de mezcla por acción de la marea
ν = fracción por difusión turbulenta del transporte total de sal aguas arriba
R a , M, y ν son parámetros de transporte, pudiendo los dos primeros evaluarse mediante:
R
a
=
g ⎛ ∂ρ
⎜
ρ ⎝ ∂s
f
⎞
⎟
⎠
3
S0h
A ∈
z
h
y
M
∈ ∈ B
Q
2
v h
= (1.19)
r
siendo:
g = aceleración de gravedad
ρ = densidad media
ρ f = densidad del agua dulce del rio
Q r
= descarga del rio
h = profundidad media
B = ancho medio
A z
= coeficiente de viscosidad vertical
ε ν = coeficiente de difusión vertical; y
ε h = coeficiente de difusión horizontal
Las ecuaciones (1.17) y (1.18) muestran que las distribuciones de velocidad y salinidad
dependen directamente de las siguientes combinaciones de los parámetros de transporte:
ν, ν /M, y ν Ra. Los 2 últimos se relacionan empíricamente con el número de Froude
densimétrico:
24

Cap. 1 Introducción, Conceptos Básicos y Clasificaciones
u
f
Fm = (1.20)
gh ∆ρ / ρ
(en que el denominador de la fracción anterior es la velocidad densimétrica ó velocidad
de una onda progresiva a lo largo de la interfase aguas arriba; de modo que si F m es mayor o
igual a uno no hay propagación, aumenta la amplitud, y se produce ruptura y mezcla por
abordamiento);
y con la razón de velocidades:
(siendo u t = velocidad cuadrática media de la corriente de marea)
mediante:
uf
P = (1.21)
u
t
ν R a
F y
4
16 − 3
=
m
7
M
P
ν =
−
5
005 . (1.22)
Fig. 1.11 Familias de curvas de ν, F m , P, y R iE constante (según Hansen, Rattray y Fischer).
F m es un indicador de la razón entre el transporte forzado o inducido por la descarga del
río y el potencial para transporte estabilizador inducido por la diferencia de densidad en las dos
capas (convección gravitacional). Es decir, indica el grado de circulación vertical en la interfase.
P, que es proporcional a la razón de flujo r (aproximadamente r/2), indica la cantidad de
mezcla por acción de la marea.
25

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
En resumen, tenemos que s/s 0 y u/u f son función de ν, F m y P que describirían
completamente la dinámica del transporte en la laguna costera.
s/s 0 y u/u f son aproximadamente medibles a través de:
s
s
sB
− ss
s
≈
< s > = δ u s
u
0 0
f
Vs
us
≈ = (1.23)
< V > u
x
f
de modo que, podemos representar graficamente las funciones matemáticas o curvas
teóricas de s/s 0 versus u s /u f en función de ν, F m , y P, y dividir el diagrama bidimensional de
familias de curvas paramétricas resultante en distintas regiones de acuerdo a la importancia
relativa de los distintos procesos dinámicos en la laguna costera. La Figura 1.11 muestra las
familias de curvas de ν, F m, y P constante, resultantes.
El diagrama puede dividirse en las siguientes regiones ( que se muestran en la Figura
1.12) de acuerdo a la importancia relativa de los diferentes procesos de transporte, pudiendo así
clasificarse las lagunas costeras en las siguientes categorias (se indica la equivalencia con Clases
de la clasificación por estructura salina en algunos casos):
Fig. 1.12 Zonificación del diagrama según la importancia relativa de los diversos procesos de
transporte (según Hansen y Rattray).
0. - Agua dulce que fluye sin fricción sobre capa de agua salada en reposo (caso ideal)
1.- La descarga neta es aguas abajo en todas las profundidades, y el transporte de sal
aguas arriba es sólo por difusión. Sub-clases:
1a.- sin estratificación vertical (D)
26

Cap. 1 Introducción, Conceptos Básicos y Clasificaciones
1b.- con estratificación vertical
2.- La descarga neta tiene sentido contrario a diferentes profundidades, y la sal se
transporta hacia el interior por advección y difusión. Sub-clases:
2a.- con débil estratificación vertical (B)
2b.- con fuerte estratificación vertical
3.- El transporte de sal hacia el interior es 99 % advectivo, y la descarga neta es similar a
las de Clase 2. Sub-clases:
3a- con débil estratificación vertical
3b- con estratificación vertical moderada (capa inferior muy profunda, y gradiente de sal
y circulación no se extiende hasta el fondo (A').
4.- Similar a la Clase 3, pero con estratificación vertical muy pronunciada,
diferenciándose de la Sub-clase 3b en que el espesor relativo de las capas inferior y superior
puede tener cualquier valor, pero casi no se influencia la circulación en una con respecto a la otra
(A).
En el diagrama, los valores de las variables para cada sección transversal y para cada
instante de tiempo se representan por un punto, de manera que toda la laguna costera en un
instante es una curva, pudiendo distintas zonas de la laguna quedar en distintas regiones del
diagrama (Clases). Con los cambios de estación del año, la curva puede desplazarse ocupando
otras regiones del diagrama; además, cambios en la descarga del río, para el caso de lagunas
estuarinas, pueden ocasionar que los puntos representativos de las secciones se desplacen a lo
largo de la curva, indicando que la estructura de salinidad y velocidad es forzada a desplazarse
aguas arriba o aguas abajo.
Para lagunas costeras no estuarinas u f es nula, u s /u f tiende a infinito, y δs es muy
pequeña, lo que corresponde en el diagrama a una región 3a lejana con estratificación muy débil;
aunque u s puede ser cero, y u f y δs negativos debido a la evaporación. La ubicación en la región
3a del diagrama implica:
v pequeña, es decir, poco transporte difusivo de sal aguas arriba;
F m
pequeño, es decir que la circulación vertical en la interfase es despreciable; y
P pequeño, o sea, muy poca mezcla por marea.
En resumen, el diagrama indica para las lagunas costeras no-estuarinas: transporte
advectivo predominante con posible estratificación débil, y no considera convección horizontal
por gradiente salino debido a la evaporación.
1.4.2.1.1 Extensión por Número de Richardson
La necesidad de definir con claridad en el diagrama la separación entre las
sub-regiones a y b, es decir el grado de formación o destrucción de la estratificación de 2
27

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
capas, hace que Fischer (1976) considere e introduzca el número de Richardson, definido
como:
R i = fuerza estabilizadora de la estratificación o de flotabilidad relativa de la capa
superior/ fuerza desestabilizadora de la estratificación por el esfuerzo o corte en el perfil
vertical de la velocidad; que se puede expresar matematicamente como:
R i
g∂ρ
⎛ ∂u
⎞
= − / ⎜ ⎟
ρ∂z
⎝ ∂z
⎠
2
(1.24)
siendo u la componente horizontal de la velocidad, z la coordenada vertical, y ρ la
densidad en la capa inferior.
el signo de ∂ρ / ∂z
determina la condición de estabilidad como:
R i > O estratificación estable,
R i = O neutro, no estratificado, y
R i < O estratificación inestable
aproximando:
2
∂ρ ρ
~ ∆ 2
⎛ ∂u ⎞ u
y ⎜ ⎟⎠ ~ (1.25)
2
∂z
h ⎝ ∂z
h
en que ∆ρ es la diferencia de densidad entre la capa inferior y la capa superior,
resulta:
R i
( ∆ρ / ρ)
gh
= (1.26)
2
u
que en el caso de lagunas costeras estuarinas, considerando que las velocidades
importantes son: u f = velocidad del agua dulce del río, y u t = velocidad longitudinal de
las partículas de agua por la marea, Fischer (1976) propone el siguiente número de
Richardson estuarino:
R
iE
( ∆ρ
/ ρ)
gh ( ∆ρ
/ ρ)
g(
u
f
/ b)
A
= =
(1.27)
u
u
2
t
3
t
siendo A ≈ Bh
el área de la sección transversal.
Nótese que el número de Froide, a diferencia del número de Richardson estuarino,
no contiene la velocidad de las partículas por efecto de la marea sino la velocidad
densimétrica de la onda interna; esto se debe a que es la onda de marea la que destruye la
estratificación, pero la circulación vertical de abordamiento entre capas depende de las
ondas internas en la interfase.
Considerando que en todas las lagunas costeras estuarinas, y en muchas de las
no-estuarinas, ∆ρ / ρ depende unicamente de δs/s0, es posible graficar curvas de igual R iE
28

Cap. 1 Introducción, Conceptos Básicos y Clasificaciones
en el diagrama (ver Figura 1.11); encontrándose que la separación entre subregiones a y b
ocurre para los casos reales dentro del rango: 0.08 < R iE < 0.8 quedando concretamente
bien definidas:
a.- región no estratificada para R iE < 0.08, y
b.- región estratificada para R iE > 0.8
R iE pequeño significa: laguna costera verticalmente bien mezclada, con efectos
despreciables de la densidad en la circulación; es decir, circulación barotrópica.
R iE grande significa: laguna costera estratificada, con circulación a dos capas de
diferente densidad, o circulación gravitacional; es decir, circulación baroclinica.
Simpson y Hunter (1974) consideran para el océano el caso de estratificación por
calentamiento, es decir gradiente de densidad dependiente del gradiente de temperatura
(y no del de salinidad), definiendo un número de Richardson térmico:
R
iT
α gQh 3
= &
/ ρut
(1.28)
c
p
en que:
Q & = flujo de calor que ingresa a la superficie,
α = coeficiente de expansión térmica del agua, y
C p
= calor específico del agua.
Para escalas de tiempo grande, se toma un valor medio anual estacionario de Q & , y
3
entonces el RiT resulta ser solamente función de h / u
t
; determinándose que para valores
de este cuociente mayores, iguales, o menores que 50 a 100 (seg
3 /m 2 ) el océano está
estratificado, hay frentes de cambio bien definidos, o el océano está verticalmente bien
mezclado, respectivamente.
Este criterio puede ser útil al considerar la clasificación de lagunas costeras
no-estuarinas, para casos en que la estratificación dependa del gradiente de temperatura.
1.4.2.1.2 Extensión para Mezcla Total
Oey (1984) resuelve las ecuaciones de momentum y conservación de sal por el
mismo método de Hansen y Rattray, pero en forma más general, para lagunas costeras
parcialmente y totalmente mezcladas y para variaciones longitudinales arbitrarias de
ancho, profundidad, aportes de agua dulce, esfuerzo de viento y coeficientes de mezcla.
Considera la ecuación de transporte de sal conjuntando términos típicos de lagunas
costeras de Clases B y D:
∂s
∂s
∂ ⎛ ∂s
⎞ ∂ ⎛ ∂s
⎞ ∂s
− u − w + ⎜ Kh
⎟ + ⎜εv
⎟ =
(1.29)
∂x
∂z
∂x
⎝ ∂x
⎠ ∂z
⎝ ∂z
⎠ ∂t
29

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
el tercer término de la ecuación corresponde a dispersión longitudinal (con
coeficiente K), y el cuarto a difusión vertical (con coeficiente ε ).
La solución se expresa en función de los parámetros:
α = R F
γ
) (1.30)
0.23
a
0.90
0.84 0.3
, β = aP / γ , = Ra
F , y F = Fm
( ∈v
/ K
h
1
2
en que: α determina el grado de estratificación o magnitud del transporte
advectivo de sal, y β la importancia de la dispersión longitudinal de sal.
La inclusión de curvas de igual α e igual β en el diagrama de
estratificación-circulación [ver Figura (1.13)] permite ubicar las lagunas costeras de
Clase A, B, y D ya conocidas, y las siguientes nuevas:
E: es también homogénea vertical como la D, pero los 4 términos de la ecuación
del transporte de sal son igualmente importantes, es decir que a diferencia de la D, hay
transporte advectivo y difusivo vertical intenso que mantiene la mezcla vertical; esto
puede ocurrir si la descarga del río es al igual que la de la marea, muy intensa.
B1 y B2 son subclases de la B que se diferencian solamente en la magnitud de α,
es decir del transporte advectivo de sal, siendo B2 ligeramente más estratificada que B1.
No se consideran lagunas costeras con asimetrías laterales (Clase C).
Fig. 1.13. Isolineas de α y β en el diagrama de estratificación-circulación, y ubicación de
lagunas costeras de Clases A, B1, B2, D, y E (según Oey).
30

Cap. 1 Introducción, Conceptos Básicos y Clasificaciones
Los rangos de valores o valores relativos de los parámetros para cada Clase, la región a que
aproximadamente corresponden en el diagrama original, y su denominación, se indican en la siguiente
Tabla:
A α >> β 4 estratificada
B1 β

Cap. 2 Agentes de la Dinámica y sus Efectos
____________________________________________________________________________________
CAPITULO 2
AGENTES DE LA DINAMICA Y SUS EFECTOS
33

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
34

Cap. 2 Agentes de la Dinámica y sus Efectos
OBJETIVOS DEL CAPITULO: Identificar los agentes motrices de la dinámica en las lagunas
costeras estuarinas y no-estuarinas. Establecer cualitativa y cuantitativamente sus efectos, y su
importancia relativa.
Los principales agentes causales que determinan la circulación y el transporte de materia en las
lagunas costeras son, en orden de importancia:
2.1 Mareas
1.- la acción periódica de las mareas
2.- las descargas de agua dulce por rios afluentes (no son significativas para el caso de lagunas
costeras no-estuarinas, salvo estacionalmente)
3.- el esfuerzo del viento
4.- los gradientes de densidad, que son consecuencia de los gradientes de temperatura y/o de
salinidad, causados por: algunos de los agentes anteriores (mareas, descargas de agua dulce
de afluentes), el intercambio de agua dulce con la atmósfera por la evaporación y la
precipitación, y el intercambio de calor.
5.- la presión barométrica
6.- la morfología de la cuenca (batimetría y contorno)
7.- la fricción en el fondo y las paredes laterales de la cuenca
8.- el efecto de Coriolis
A continuación se detalla cada uno de ellos.
2.1.1 Definiciones
2.1.1.1 Marea Astronómica en General
Según Godín (1972): la marea es un cambio temporal en la posición de la materia en una
parte de un astro, causado por un cambio temporal de la fuerzas gravitacionales que ejercen
sobre ella otros astros, y que en el océano se manifiesta como un cambio regular del nivel del
mar. Estas variaciones del nivel del mar son, adicionalmente, afectadas por turbulencias, efectos
internos, y efectos locales.
Como el campo gravitacional es un campo conservativo, sus fuerzas son derivables de un
potencial escalar; y dado que los movimientos de los astros son periódicos, la inspección de la
expresión analítica de ese potencial, de ser posible, debe permitir la determinación de los
períodos y las amplitudes de las componentes de la fuerza de marea, llamadas constituyentes.
2.1.1.2 Marea en una Laguna Costera
Marea en una laguna costera es la variación temporal en la posición vertical de la
superficie libre del agua, con respecto a un nivel de referencia arbitrario (datum), causada por
cualquier fenómeno o conjunto de fenómenos internos o externos.
Los fenómenos causales de marea en las lagunas costeras son predominantemente:
a) Astronómicos: interacción de fuerzas gravitacionales de planetas y astros sobre la masa
de agua;
35

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
b) Meteorológicos: vientos y gradientes de presión atmosférica en la región local o en
zonas oceánicas adyacentes, evaporación, y precipitación;
c) Gradientes de densidad: producto de gradientes de salinidad y/o de temperatura
horizontales o verticales; y
d) Causas locales u otras: morfología, fricción, dimensiones de la cuenca, efecto de
Coriolis, y afluentes.
La marea de origen astronómico es periódica y predecible y es la mas importante en
magnitud; la de origen meteorológico es en parte periódica y en parte aperiódica y es
generalmente segunda en importancia; y las restantes son mayoritariamente aperiódicas y de
menor significación.
2.1.2 Marea Astronómica de Equilibrio
La teoría de marea de equilibrio supone una Tierra esférica, homogénea, compuesta
enteramente de fluido (agua) y sin masas continentales, y un planeta de masa M alineado frente a su
Ecuador.
La fuerza tractiva total F sobre un punto P de masa unitaria, ubicado en la superficie de esa
Tierra, en una posición angular z con respecto a la linea de centros y con coordenadas geográficas
de latitud y longitud (θ,φ), será la resultante de la atracción gravitacional del planeta + la atracción
gravitacional del resto de la Tierra + la fuerza centrífuga (ficticia) introducida convencionalmente
para mantener el aparente equilibrio del sistema acelerado (Figura 2.1).
Fig 2.1 Esquema de fuerzas según la teoría de marea de equilibrio
En un sistema local de coordenadas, y considerando que la distancia entre el planeta y la Tierra
es mucho mayor que el radio terrestre (r >> a), las componentes vertical y horizontales geográficas de
esta fuerza tractiva entre unidad de masa, son:
36

Cap. 2 Agentes de la Dinámica y sus Efectos
kMa 2
FVertical = ( 3cos z −1 )
(2.1)
3
r
− 3kMa
∂z
F NorteSur
= ( −sen2z)
(2.2)
3
2r
∂θ
kMa
F = − 3
∂z
EsteOeste
( −sen2z) (2.3)
3
2r senθ
∂φ
y
siendo:
r = paralaje (distancia del centro del planeta tractor al centro de la Tierra),
a = radio de la Tierra = distancia del punto P al centro de la Tierra (si se considera esférica),
k = 6.658 x 10 -8 cm 3 /gs 2 constante de gravitación universal.
Por ende, la fuerza tractiva de marea en el punto P, depende de:
r 3 : cubo de la distancia Tierra-planeta (la más significativa en la variabilidad)
M: masa del planeta (invariable para cada planeta)
(θ,φ) : latitud y longitud del punto P
z posición angular de P con respecto a la línea de centros, que varia con (θ M ,φ M ), latitud
(declinación) y longitud del planeta con respecto al Ecuador y al Meridiano 0 o de la Tierra.
Al moverse el planeta y/o la Tierra, girando entorno a sí mismos o desplazándose en sus
órbitas, r, z (ó θ M
), θ, y φ varían periodicamente, con períodos semidiurnos, diurnos, mensuales y
anuales.
De todos los astros, planetas y sus satélites, sólo el Sol y la Luna, por su mayor masa y
cercanía a la Tierra, producen fuerzas tractivas significativamente importantes; siendo su razón
aproximada: F lunares ≈ 2 F solares . Las características y anomalías (inclinaciones de ejes,
acercamientos, alejamientos, oscilaciones, interacciones, duración de las rotaciones completas,
períodos, interacciones con otros planetas, cambios de velocidades, etc.) de sus órbitas, originan las
siguientes:
Especies de Mareas de Equilibrio:
- constantes
- de período largo
- diurnas, y
- semidiurnas.
2.1.2.1 Constituyentes Armónicas de la Marea de Equilibrio
37

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Todas las Especies mencionadas anteriormente sufren además variaciones debido a: a)
fluctuaciones de la declinación y la paralaje, y b) perturbaciones debidas a la atracción recíproca
Sol-Luna; originándose así un conjunto extenso de Especies denominado Constituyentes
Armónicos de la Marea de Equilibrio, que se detallan en la Tabla 2.1.
La marea astronómica resultante de la composición de todas estas constituyentes armónicas,
que es diferente para cada punto P en la superficie terrestre, según su latitud y longitud, puede
expresarse como la superposición de dichas constituyentes:
siendo:
N
∑
yt ( ) = A cos( σ t−α )
(2.4)
k=
1
k
k
k
σ
k
A k las amplitudes, T k los períodos, α k las fases, N el número total de componentes, y
= 2 π/
T las frecuencias angulares.
k
Mediante análisis armónico de registros (mediciones) de alturas de marea puede
determinarse para cada localidad geográfica la amplitud y fase de cada una de las constituyentes,
si se conocen sus períodos.
2.1.2.1.1 Características en las Costas de México
El Instituto de Geofísica de la UNAM, la Secretaría de Marina y el Centro de
Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada (CICESE) mantienen
estaciones de medición de alturas de mareas en los puertos principales de México en las
costas del Pacífico, Golfo de México, Golfo de California y Mar Caribe. Las amplitudes y
fases de las constituyentes mas significativas, para los puertos principales de México,
determinadas mediante análisis armónico por dichas instituciones, se muestran en la Tabla
2.2
Recomponiendo estas constituyentes de alturas, fases, y periodos conocidos, podemos
determinar a priori (para cualquier instante futuro) y en forma aproximada (sin incluir efectos
meteorológicos ni locales) las alturas de marea en función del tiempo para una localidad
geográfica , i.e. la boca de una laguna costera. Estas "predicciones" se expresan como Tablas o
Calendarios de Mareas.
38

Cap. 2 Agentes de la Dinámica y sus Efectos
TABLA 2.1 CONSTITUYENTES ARMONICAS DE LA MAREA DE EQUILIBRIO
a) Semidiurnas
Causa: debidas a ( .............)
Promedio
mundial de
importancia
relativa
Período
(horas)
M 2 : Lunar principal 100 12:42
N 2 : Lunar elíptica mayor (variaciones de paralaje en M 2 ) 19.2 12:66
L 2 : Lunar elíptica menor (variaciones de paralaje en M 2 ) 2.8 12:19
ν 2 : Lunar eveccional mayor (variaciones de paralaje en M 2 ) 3.6 12:63
λ 2 : Lunar eveccional menor (variaciones de paralaje en M 2 ) 0.7 12:22
µ 2: Lunar variacional (variaciones de paralaje en M 2 ) 3.1 12:87
2N 2 : Lunar elíptica de 2°orden (variaciones de paralaje en M 2 ) 2.5 12.91
K 2 : Lunar-solar declinacional (variaciones de declinación en M 2 y S 2 ) 12.7 11:97
S 2 : Solar principal 46.6 12:00
T 2 : Solar elíptica principal (variaciones de paralaje en S 2 ) 2.7 12:01
b) Diurnas
O 1 : Lunar principal 41.5 25.82
K 1 : Lunar-solar declinacional (variaciones de declinación en O 1 y P 1 ) 58.4 23.93
Q 1 : Lunar elíptica mayor (variaciones de paralaje en O 1 ) 7.9 26.87
Μ 1 : Lunar elíptica muy menor (variaciones de paralaje en O 1 ) 3.3 24.84
J 1 : Lunar elíptica menor (variaciones de paralaje en O 1 ) 3.3 23.10
P 1: Solar principal 19.4 24.01
c) de Período Largo
M f : Lunar quincenal (variaciones de declinación en término constante lunar) 17.2 327.86
M m : Lunar mensual (variaciones de paralaje en término constante lunar) 9.1 661.30
S a : Solar anual (variaciones de paralaje en término constante solar) 1.8 8180.50
S sa : Solar semi-anual (variaciones de declinación en término constante solar) 8.0 4390.43
MS f : Lunar-Solar quincenal (efecto de aguas superficiales) 2.0 352.94
f : Lunar de 19 años (efecto de regresión de los nodos) 1.0 a 1.4 18.61
años
Componentes Armónicos de Marea en Aguas Superficiales (Efecto Local)
Aprox.
M 4 : generado por 2M 2 0.41 6
MS 4 : generado por M 2 + S 2 0.38 6
S 4 : generado por 2S 2 0.09 6
MS f : generado por S 2 – M 2 0.38 360
M 6 : generado por 3M 2 0.19 4
2MS 6 : generado por 2M 2 +S 2 0.26 4
2SM 6 : generado por 2S 2 +M 2 0.12 4
S 6 : generado por 3S 2 0.02 4
39

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
40

Cap. 2 Agentes de la Dinámica y sus Efectos
Las curvas de variación temporal de altura de marea para varios puertos mexicanos
(Figura 2.2), muestran y permiten definir algunos de los siguientes casos mas típicos:
marea semidiurna: 2 máximos (Pleamares) + 2 mínimos (Bajamares) en un mismo día,
marea diurna: 1 máximo + 1 mínimo en un mismo día.
A lo largo del mes la marea puede cambiar de semidiurna a diurna o viceversa,
denominándose mixta (con posible predominancia diurna o semidiurna).
Quincenalmente la marea puede crecer y decrecer en amplitud, originando 2 veces al
mes:
mareas de sicigia (vivas): lapsos de rangos mayores (ocurren en las semanas centradas
en dias de Luna Llena y Luna Nueva), y
mareas de cuadratura (muertas): lapsos de rangos menores (ocurren en las semanas
centradas en dias de Luna en Cuarto Creciente y en Cuarto Menguante);
entendiendo por rango de marea: la diferencia de altura entre un máximo y un mínimo
consecutivo o viceversa. Nótese que el rango es diferente para cada ciclo de marea.
Prisma de Marea (en una laguna costera): es el volumen de agua que se almacena (o se
evacua) entre una Bajamar y una Pleamar (o viceversa) consecutivas. Nótese que el
prisma es diferente para cada ciclo de marea.
Fig. 2.2 Fluctuaciones de alturas de marea en puertos de México (adaptado de Lankford)
41

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
2.1.3 Marea Meteorológica
En general, la marea de origen meteorológico es un orden de magnitud menor (10 %) que
la de origen astronómico. Suele contener componentes:
a) periódicas: de carácter diurno, debidas a las variaciones en las brisas y vientos locales
provocadas por los cambios térmicos en la superficie del océano y la tierra consecuentes
con la fluctuación de la radiación solar día-noche; con períodos de 5 a 15 días, como
consecuencia de las variaciones mas habituales de la presión atmosférica para cada
región; y mensuales o estacionales, de acuerdo a la variabilidad del clima; y
b) aperiódicas, como consecuencia de la ocurrencia de fenómenos meteorológicos
esporádicos: i.e. arribo de huracanes, etc.
2.1.4 Marea Local
Al propagarse en una laguna costera, la onda progresiva de la marea incidente:
a) se transforma parcial o totalmente en onda estacionaria al reflejarse parcial o totalmente
en la cabeza, paredes y fondo, y
b) su amplitud se amplifica o amortigua , y su avance se retarda, debido a la fricción y el
asomeramiento del fondo.
Los efectos a) y b) se estudian y describen en detalle en la Sección 2.1.7: Tratamiento de
Mareas Cooscilantes.
c) adicionalmente, la fricción que retrasa el avance más en bajamar que en pleamar (porque
el espesor de la capa límite adyacente al fondo es una fracción mas grande de la
profundidad total del agua en el primer caso), prolonga mas el intervalo
pleamar-bajamar-pleamar que el bajamar-pleamar-bajamar, deformando el perfil
sinusoidal monocromático original de cada constituyente y originando una onda de
superposición asimétrica (Figura 2.3). Las componentes de esta onda de superposición
policromática, generadas por el paso no lineal de energía desde las ondas originales, se
agrupan en constituyentes: i) de sobremarea, con frecuencias múltiplo o periodos
submúltiplo (1/2, 1/3, 1/4, etc.) de cada original, y ii) compuestas, con frecuencias suma
o diferencia de 2 o mas originales (Speer et al, 1991; Walters and Werner, 1991). Por
ejemplo, un término cuadrático (no-lineal) de fricción en la ecuación diferencial de la
onda, genera de una onda original incidente monocromática
una componente cuadrática en la solución, de forma
de doble frecuencia (2σ) o mitad del período de la original.
y
= y 0
cosσt (2.5)
2 2 2 1 2
y = y0
cos σt = y0
(cos 2σ t+
1)
(2.6)
2
las Constituyentes Locales más importantes así generadas en lagunas costeras, se listan
en la parte inferior de la Tabla 2.1.
42

Cap. 2 Agentes de la Dinámica y sus Efectos
Fig. 2.3 Perfil asimétrico deformado (con exageración) de una onda monocromática por efecto
no-lineal de la fricción de fondo.
2.1.5 Marea Total y sus Métodos de Análisis
En resumen, la marea total puede expresarse como la superposición:
N
∑
yt () = y + A cos( σ t− α ) + nt ()
(2.7)
0
nivel de
referencia
k=
1
k k k
componentes armónicas
astronómicas +
algunas meteorológicas +
locales
ruido + componentes
no armónicas
meteorológicas
La teoría astronómica indica cuales frecuencias σ
k
y cuantas (N) de ellas son
significativamente importantes en cada localidad. Generalmente N < 12, aunque casi siempre, las
mas importantes son solamente N = 6.
El análisis armónico de Fourier de los registros de marea de un lugar entrega las
amplitudes A k y las fases α k de cada componente armónica de periodo conocido y permite
separarlas (filtrarlas) de las no-armónicas n(t).
El procesamiento de un registro de mareas (y también de las velocidades de sus
corrientes) de una laguna costera consiste en el análisis armónico (filtrado) ya mencionado, y de
un análisis espectral para identificar la presencia de otras componentes armónicas de frecuencias
desconocidas a priori.
43

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Ejemplo: el procedimiento de Doodson y Warburg (1952), en su Capítulo 13, es rápido y
simple y permite en primera aproximación separar los siguientes 2 grupos de componentes de
frecuencias conocidas:
A
PERIODOS CORTOS
(1) componentes astronómicas:
diurnas + semidiurnas
componentes locales:
semidiurnas + cuartodiurnas
+ sextodiurnas
componentes meteorológicas:
semidiurnas + diurnas
B
PERIODOS LARGOS
componentes astronómicas:
quincenales + mensuales
+ período largo
(2) componentes meteorológicas:
varios días + quincenales
+ mensuales
ruido: de períodos largos
+ aperiódico.
Como las componentes indicadas por (1) y (2) son las que contribuyen más
significativamente en cada grupo, se considera que este análisis separa adecuadamente las
componentes de origen astronómico de las de origen meteorológico.
Un estudio más fino que permita separar más componentes dentro de cada grupo (A o B)
requiere de la aplicación de otro nuevo filtro, i.e. los descritos por Godin (1972) en su Sección
2.7 "filtros para componentes locales de período corto" y en su Sección 4.6 "análisis armónico
para separar componentes dentro de una especie o grupo mediante combinaciones lineales y/o
por método de mínimos cuadrados”. Finalmente, es conveniente efectuar un análisis espectral
para separar componentes de frecuencias desconocidas.
2.1.5.1 Ejemplos en Lagunas Costeras de México
La Figura 2.4 muestra las componentes de origen astronómico (periodos cortos) y
de origen meteorológico (periodos largos) obtenidas de un registro de mareas en el Estero
de Punta Banda, Baja California, sometido al análisis de Doodson y Warburg; según
Pritchard et al (1978). Se observa que las amplitudes máximas de la marea meteorológica
contribuyen aproximadamente en 6 % a la marea total. Un estudio similar en Bahía de
San Quintín, Baja California, reveló una contribución de 15 % de la marea meteorológica
a la marea total debido a un efecto mas pronunciado del viento local en ese lugar.
La Figura 2.5 muestra las densidades espectrales de potencia obtenidas de 3
registros de marea (en el exterior, parte central y cabeza) en la Ensenada de La Paz, Baja
California Sur. Se observa que en los dos espectros correspondientes a los registros
interiores de la laguna aparecen picos espectrales significativos en componentes de
generación local de periodos 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, y 1/7 de dia, además de los típicos diurno
y semidiurno que aparecen también en el espectro del registro exterior a la laguna
(Sandoval y Gómez, 1995). Godin y González (1992) también encuentran componentes
1/4 y 1/6 diurnas al analizar las mareas en Bahía de San Quintín, B.C.
2.1.6 Mareas en Canales sin Fricción ni Reflexión (Ley de Green)
Sea un canal con fluido, de ancho b y profundidad h variables longitudinalmente (con x),
y de longitud l, en que se desprecia los efectos de fricción y de reflexión en la propagación de
ondas en su interior, es decir, restringido a casos reales a las cercanías de la boca.
44

Cap. 2 Agentes de la Dinámica y sus Efectos
Fig. 2.4 : A) Componentes de origen astronómico (periodos cortos) y de origen meteorológico (periodos
largos) de la marea en el Estero de Punta Banda,B.C., separadas por análisis de Doodson y Warburg; y
B) ampliación de la parte meteorológica del registro anterior (según Pritchard et al, 1978)
45

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Fig. 2.5 : Densidades espectrales de potencia para registros de marea de Ensenada de La Paz en: A)
exterior, B) parte central, y C) cabeza. Los 2 últimos exhiben picos característicos de generación local
(de Sandoval y Gómez, 1995).
46

Cap. 2 Agentes de la Dinámica y sus Efectos
La energía/unidad de superficie horizontal (manto) de una onda progresiva superficial de
marea de amplitud pequeña a, incidente en la boca del canal, si ρ es la densidad del agua y g la
aceleración de gravedad, es:
E
1 ga 2
= ρ
2
(2.8)
Por las suposiciones anteriores, la energía total (E x superficie del manto horizontal) se
conserva al propagarse la onda desde la boca (posición x = l) a una sección cualesquiera
(posición x = x) (Figura 2.6):
si L = longitud de onda; o bien,
b L
0
0
bLE
0 0 0
= bLE
(2.9)
x x x
1 2 1 2
ρ ga0
= bxLx
ρgax
(2.10)
2
2
Dividiendo,
b0
L0
b L
x
x
⎛ a
= ⎜
⎝ a
x
0
⎞
⎟
⎠
2
(2.11)
pero la velocidad de fase de una onda superficial, si T es su periodo, es C = L/T = (gh) 1/2 ;
y si no varia el periodo al propagarse, entonces:
que al sustituir en la expresión (2.11), da finalmente:
L 0
h0 = (2.12)
L h
x
x
a
a
x
0
⎛ b
=
⎜
⎝ b
0
x
⎞
⎟
⎠
1
2
⎛ h
⎜
⎝ h
0
x
⎞
⎟
⎠
1
4
Ley de Green (2.13)
Fig. 2.6 Propagación de onda superficial en un canal de sección variable
47

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Casos particulares:
a) Si la profundidad h es uniforme (h x = h 0 ), pero el ancho b varia linealmente a lo largo de x
(b x /b 0 = x/l), entonces:
a
a
x
0
⎛ b
=
⎜
⎝ b
0
x
⎞
⎟
⎠
1
2
⎛
= ⎜
⎝
l
x
⎞
⎟
⎠
1
2
(2.14)
En este caso, por ser h uniforme, no varian ni la velocidad de fase ni la longitud de onda a lo
largo del canal.
b) Si el ancho b es uniforme (b x = b 0 ), pero la profundidad h varia linealmente a lo largo de x
(h x /h 0 = x/l), entonces:
a
a
x
0
⎛ h
=
⎜
⎝ h
0
x
⎞
⎟
⎠
1
4
⎛
= ⎜
⎝
l
x
⎞
⎟
⎠
1
4
(2.15)
En este caso, al variar h linealmente con x, la velocidad de fase C y la longitud de onda L
variarán según:
L
L
x
0
C
=
C
x
0
⎛
= ⎜
⎝
x
l
⎞
⎟
⎠
1
2
⎛ h
=
⎜
⎝ h
x
0
⎞
⎟
⎠
1
2
(2.16)
c) Si tanto el ancho b, como la profundidad h varian linealmente con x, es facil demostrar que:
0
3
4
a x ⎛ l ⎞
= ⎜ ⎟
(2.17)
a ⎝ x ⎠
2.1.7 Tratamiento de Mareas Cooscilantes
Este tratamiento considera la propagación unidimensional (longitudinal), en el interior de
la laguna costera, de una onda de marea incidente superficial, de pequeña amplitud, de forma
cosenoidal y monocromática (una sola componente armónica o periodo). Debe por lo tanto
aplicarse separadamente para cada una de las constituyentes (semidiurna, o diurna, etc.)
importantes en cada caso.
Para los periodos de las componentes predominantes de la marea, (Ej. T ≈ 12.4 horas para
las semidiurnas) y los rangos verticales de marea típicos en la mayoría de las lagunas costeras
(Ej. 2.5 m), las velocidades verticales de desplazamiento de la superficie libre del agua ( aprox.
1.1 x 10 -4 m/s en este ejemplo) son 10 -3 a 10 -4 veces menores que las velocidades horizontales de
las partículas (corrientes) por lo que se desprecian, considerándose solamente las componentes
horizontales de la velocidad en la propagación.
Para los periodos mencionados, las longitudes de estas ondas (L = ghT)
al propagarse
en las aguas someras del interior de las lagunas costeras, son del orden de varios cientos de
48

Cap. 2 Agentes de la Dinámica y sus Efectos
kilómetros (Ej. para una componente semidiurna: L = 330 km si la profundidad es h = 5.5 m; L =
547 km si h= 15.25 m; y L = 869 km si h = 39.0 m).
Estas longitudes de onda son 20 o mas veces mayores que la máxima extensión
longitudinal de las lagunas costeras mas típicas, lo que produce la apariencia de un ascenso y
descenso del nivel del agua casi uniforme a lo largo y ancho de toda la laguna y casi simultáneo
en el tiempo, en vez de la apariencia de una ola propagándose.
Este tratamiento tiene como objetivo cuantificar la desuniformidad (amplificación o
amortiguación) y no-simultaneidad (retardo) en la propagación de las ondas de marea en
ausencia o presencia de fricción de fondo y/o reflexión en extremos de la cuenca. Se consideran
los cuatro casos siguientes:
.
2.1.7.1 Sin Fricción ni Reflexión
Con las características especificadas en los párrafos anteriores, y si no hay disipación
de energía por fricción, las ecuaciones de onda a satisfacer por η = altura de la superficie
libre del agua con respecto al nivel medio en reposo y u = velocidad horizontal de flujo
de las partículas (corriente de marea), son:
2
2
∂η 2 ∂η
= C
2 0
(2.18)
2
∂t
∂ x
2
2
∂ u 2 ∂ u
= C
2 0
(2.19)
2
∂t
∂x
siendo C 0 la velocidad de fase de la onda incidente (ver nomenclatura en Figura 2.7).
Si la laguna costera tiene la configuración de un canal rectangular prismático, sin
variaciones de ancho ni profundidad, con ambos extremos abiertos a infinito (Ej. un canal
que conecta 2 lagos o 2 océanos), estas condiciones de frontera dan como solución una
onda progresiva cosenoidal:
η = a cos( σt
− k x) 0
(2.20)
siendo:
la frecuencia angular
2π
σ = = k
0C0
(2.21)
T
y el número de onda
k 0
= 2π/ L 0
(2.22)
y con velocidades horizontales
aσ
a
u = cos( σt
− k0x)
= C0
cos( σ t − k0x)
(2.23)
hk
h
0
49

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
de modo que los desplazamientos de la superficie libre y las velocidades
(horizontales) están en fase (máximos, mínimos y ceros ocurren simultáneamente en
tiempo y en espacio y tienen igual signo) y se relacionan entre si por u = C 0 η / h. Por lo
tanto, la máxima corriente de llenante ocurre simultáneamente (en tiempo y enespacio)
con el máximo de altura, la máxima corriente de vaciante con el mínimo de altura, y cero
de corriente (“slacktime” en inglés) con altura media (Figura 2.8).
Fig. 2.7 Onda senoidal progresiva en un canal
Fig. 2.8 Alturas y velocidades en fase
2.1.7.2 Sin Fricción, con Reflexión
Si la cabeza de la laguna costera está completamente cerrada en forma de pared
vertical, la ola progresiva incidente se refleja totalmente produciéndose una
superposición de incidente con reflejada (Figura 2.9):
η = η1 + η2
= a cos( σt
− k0x)
+ a cos( σ t + k0x)
(2.24)
desarrollando los cosenos y simplificando términos semejantes
η= 2 a cos( σt )cos( k x 0
)
(2.25)
ecuación de onda estacionaria, con velocidades horizontales obtenidas similarmente:
2a
u = C0sen(
σt)
sen(
k0x)
(2.26)
h
de modo que los desplazamientos verticales de la superficie libre y las velocidades horizontales están
defasados en 90 o (defase entre las funciones coseno y seno). Las máximas corrientes de vaciante y de
llenante ocurren simultáneamente con nivel medio de agua, y la corriente es nula cuando el nivel de la
superficie libre del agua está en su máximo o mínimo de altura (Figura 2.10)
Nótese además que la altura máxima y la altura mínima (instante de inversión de la corriente)
ocurren simultáneamente (en el mismo instante de tiempo) a lo largo de toda la laguna costera (aun
cuando estos valores máximos o mínimos son diferentes para cada punto); Ej. para el instante t = 0, cos
σt = 1, y para cada x los valores de η, según (2.25), serán los máximos posibles para esa posición (2a
cos k 0 )x.
50

Cap. 2 Agentes de la Dinámica y sus Efectos
Fig. 2.9 Superposición de ondas incidente y reflejada (según Ippen)
Fig. 2.10 Defase de 90 o entre alturas y velocidades
Por otra parte, independientemente del instante de tiempo, las amplitudes serán
siempre mayores en x = 0 (cabeza de la laguna costera; cos k 0 x = 1), que en todas las
demás posiciones; y la amplitud será siempre nula (con velocidad máxima) en x = L 0 /4,
cos k 0 x = π / 2, punto exterior a la boca de la laguna. Al primer punto (en la cabeza) se le
denomina vientre o antinodo, al segundo (en el exterior a la boca) nodo, y a este tipo de
onda: onda estacionaria.
Para el instante inicial t = 0, en la cabeza (x = 0): η = 2
o max
a, y en la boca (x = -l): =
η( − l)
max
= 2a
cos k0l
, es decir que la relación entre amplitudes máximas de marea en la
cabeza respecto de la boca de la laguna costera es:
51

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
η0
max
1
=
η cos kl
( -1) max
0
(2.27)
Ejemplo: si h = 5 m, L 0 = 300 km, y l = 10 km; cos (k 0 l) = cos (2π / 30) = 0.978;
es decir, la amplitud máxima es aprox. 2.2 % menor en la boca que en la cabeza. Este
efecto es mas notorio cuanto mas somera y mas larga es la laguna costera.
En la realidad no se produce exactamente esta situación de estacionaridad de la onda
porque las paredes en la cabeza y el fondo se inclinan gradualmente, no produciendo una
reflexión total; además la presencia de la fricción disipa energía retardando y
amortiguando la onda como se ve a continuación.
2.1.7.3 Con Fricción, sin Reflexión
.
.
Agregando un término lineal de disipación por fricción, proporcional al gradiente de
u ó de η, las ecuaciones de onda (2.18) y (2.19) quedan:
2
2
∂η 2 ∂η ∂η
= C
2 0
+ gM (2.28)
2
∂t
∂ x ∂ t
2
2
∂ u 2 ∂ ∂
2 0 2
∂t
= u
C gM u ∂x
− ∂t
(2.29)
siendo M el coeficiente de resistencia constante, que se relaciona con el de fricción
de Chèzy C h (ver Sección 2.7) mediante:
M
u (2.30)
2
Ch
= max
h
Las ecuaciones de onda con términos de fricción no-lineales reproducen mas
adecuadamente las situaciones reales, i.e. para la velocidad:
C
2
0
2
∂ u
2
∂x
∂ ⎛ ∂u
u u ⎞
=
⎜ + g
⎟
2
∂t
⎝ ∂t
Ch
h ⎠
(2.31)
y ecuación similar para η .
Debido a la presencia del término no-lineal, estas ecuaciones son directamente
integrables solamente por métodos numéricos; pero se pueden linealizar suponiendo que
u ≈ u max
= constante, y similarmente para η, reduciéndose a las ecuaciónes (2.28) y
(2.29).
Si la laguna costera tiene la configuración de un canal con ambos extremos abiertos
a infinito, estas condiciones de frontera dan como solución a las ecuaciones una onda
progresiva cosenoidal con amplitud amortiguada exponencialmente:
52

Cap. 2 Agentes de la Dinámica y sus Efectos
−µ
x
a = a0e
cos( σt
− kx)
(2.32)
a0
u = C0e
h
−µ
x
µ
k
2
0
+ k
2
cos( σt
− kx + α)
(2.33)
siendo µ el coeficiente de amortiguación, que es función de M:
k
2
µ = { − σ+ σ + (gM) 2 }
(2.34)
gM
k
y k el número de onda = k 2 0
+µ 2 , que es diferente al número de onda incidente
= 2π/ L .
0 0
Si µ no varía mucho a lo largo de la laguna costera, µ / k es constante a lo largo de
ésta e igual a tg α ( es la definición de α ).
En la realidad tg α no es rigurosamente constante, debido a la no-linealidad de la
fricción y a la variación de µ con x.
En resumen, la fricción produce en η una amortiguación exponencial y un defase
(debido al nuevo valor de k); y en la velocidad u una amortiguación no solamente
−µx
exponencial (e ) sino reducida en k0 / µ 2 + k 2 , que es siempre menor que uno, y un
defase respecto a la ocurrencia de la onda de η, en un ángulo de fase α.
Además, la velocidad de la ola y su longitud de onda se reducen en un factor
C
C
L 1
µ
= =
= 1−
L
2
1+
( µ / k ) k
0 0 0
2
2
(2.35)
La Figura 2.11 ilustra estas amortiguaciones y defases de η y u.
2.1.7.4 Con Fricción y Reflexión
Si la cabeza de la laguna costera está completamente cerrada en forma de pared
vertical, la ola progresiva amortiguada incidente se refleja totalmente y se superpone con
la incidente, produciendo la onda pseudo-estacionaria amortiguada siguiente:
{ −µ
x
µ x
η = η1 + η2
= a0 e cos( σt
− kx)
+ e cos( σt
+ kx)}
(2.36)
a0C0k0
u =
2
h µ + k
2
{ e
−µ
x
cos( σt
− kx + α)
− e
µ x
sen(
σt
+ kx + α)}
(2.37)
53

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Fig. 2.11 Amortiguaciones y defases de η y u.
En la cual hay: amortiguación, defase de 90 o y α entre η y u, y reducción de la
longitud de onda y de la velocidad de fase en un factor semejante al caso anterior.
De los cuatro casos teóricos desarrollados (2.1.7.1, 2.1.7.2, 2.1.7.3, y 2.1.7.4), este
último es el modelo mas cercano a la realidad, aunque difiere de ésta en que las lagunas
costeras no suelen ser rectangulares unidimensionales, la reflexión en la cabeza no es
total, la fricción no es lineal y varía a lo largo de x, y µ/ k = tg α no es tampoco constante
a lo largo de la laguna. En los casos reales, k, α , y µ se determinan empiricamente en
promedio mediante mediciones, como se explica en la Sección 2.1.7.5, determinándose
con el modelo explicado en 2.1.7.4 el defase (que depende de k y α) y la amortiguación
(que depende de µ). Si ocurren valores nulos de algunos de los parámetros anteriores, su
interpretación física se reduce a los casos 2.1.7.1, 2.1.7.2, o 2.1.7.3.
Por comodidad se define la variable Φ, en sustitución de α, como: tg α = Φ / 2π, que
puede fluctuar de -∞ a +∞ como fluctua la función tangente.
Para evaluar µ, k, y α mediante mediciones, procedemos previamente a obtener la
expresión analítica del tiempo t H de altura máxima de agua para cualquier punto x de la
laguna costera, referido al instante de tiempo inicial t = 0 en que tenemos altura máxima
η = 2 a 0 en la cabeza (x = 0). La boca de la laguna tiene coordenada longitudinal x = -l.
Este tiempo t H ocurre para la condición extrema ∂η / ∂t = 0. Derivando la expresión
de η y haciéndola 0 para t = t H :
∂η −µ
x
x
= −a0 σ{
e sen(
σt
− kx)
+ e
µ
H
sen(
σt
H
+ kx)}
= 0
∂t
(2.38)
descomponiendo los senos, reagrupando términos y dividiendo:
54

Cap. 2 Agentes de la Dinámica y sus Efectos
( e
( e
µ x
µ x
+ e
− e
−µ
x
−µ
x
) sen(
σt
)cos( σt
H
H
)cos( kx)
= −1
) sen(
kx)
(2.39)
que por definición de las funciones trigonométricas normales e hiperbólicas:
tg( σ t ) =− tg( kx) tgh(
µ x)
H
(2.40a)
σt arctg{ −tg( kx) tgh( µ x) }
(2.40b)
H
=
−
t σ 1 arctg{ − tg( kx) tgh( µ x) }
(2.40c)
H =
Sustituyendo este valor de t H en la ecuación (2.36), y después de un arduo trabajo
trigonométrico, se obtiene para la altura máxima de nivel de la superficie libre del agua η
t H en un punto cualquiera x a lo largo de la laguna:
1
η
H
= 2a
0
(cos2kx
+ cosh 2µ
x)
(2.41a)
2
pero 2a 0 = altura máxima del agua en la cabeza = η 0H , entonces:
1
η
H
= η0H
(cos2kx
+ cosh 2µ
x)
(2.41b)
2
En particular, para la altura máxima en la boca (x = -l), en función de la altura
máxima en la cabeza, y considerando la paridad de las funciones coseno y coseno
hiperbólico:
1
η− lH
= η
0H ( cos2kl + cosh 2µ
l ) (2.42)
2
El tiempo t M de velocidad máxima para cualquier punto x en la laguna costera se
obtiene de la condición ∂u / ∂t = 0, derivando con respecto al tiempo la expresión (2.37),
haciéndola = 0, simplificando y acomodando términos, se obtiene:
t = 1
M
{ arctg( − tgkx coth µ x) − α}
(2.43)
σ
Y para el tiempo de velocidad máxima del agua en la cabeza (x = 0) y en la boca (x
= -l), referidos como siempre al t = 0 de altura máxima en la cabeza, respectivamente:
1 ⎛π
⎞
1
t0M
= ⎜ −α ⎟ y t−
lM
= { arctg(
−tgkl
coth µ l)
−α}
(2.44)
σ ⎝ 2 ⎠
σ
55

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Sustituyendo los valores de t M , t 0M , y t -l M en la expresión (2.37) se puede
obtener u M , u 0M , y u -l M respectivamente.
2.1.7.5 Nomogramas para Número de Onda y Coeficiente de Amortiguación
Las expresiones (2.40a, b, y c) tienen la forma funcional σt H = f(kx,µx); y las (2.41a
y b) la forma funcional η H / η 0H = F(kx, µx).
Entre ambas expresiones es posible eliminar alternativamente µx ó kx y obtener las
funcionales:
⎛ η ⎞
H
ψ
1 ⎜σt
, , kx
⎟ = 0
(2.45a)
⎝
H
η0H
⎠
⎛ η ⎞
H
ψ
2 ⎜σt
, , x
⎟
H
µ = 0
(2.45b)
⎝ η0H
⎠
La primera funcional de tres variables (2.45a) se grafica como familia de curvas de
kx = constante y la segunda (2.45b) como familia de curvas de µx = constante (o
equivalentemente de φ = constante), en un espacio coordenado bidimensional de σt H vs
η H / η 0H (Figura 2.12), que constituye así un Nomograma representativo de estas
relaciones teóricas.
Fig. 2.12 Nomograma para el Número de Onda y el Coeficiente de Amortiguación (adaptado de Ippen).
El método empírico para determinar k, φ, y µ consiste en medir en varias posiciones
x a lo largo de la laguna costera el par de variables σt H y η H / η 0H.
.
56

Cap. 2 Agentes de la Dinámica y sus Efectos
Cada par se grafica como un punto, para esa posición x, en el nomograma teórico.
El conjunto de los puntos así graficados debe caer aproximadamente a lo largo de una
curva de φ = constante, lo que determina el valor de φ promedio para la laguna.
De la posición de cada punto (interpolada entre la familia de curvas kx), se
determina graficamente el valor de kx para cada punto x, es decir el valor de k; y del
conjunto de valores de k para todos los puntos se obtiene un k promedio representativo
para toda la laguna costera.
Finalmente, con estos valores de k y φ promedios se calculan µ = φk / 2π y
α=arctg(φ / 2π ).
La Tabla 2.3 muestra un ejemplo de valores de las variables medidas en un canal
rectangular de laboratorio. De los puntos correspondientes graficados en la Figura 2.12,
se obtiene φ = 2.75 y k promedio = 0.0033 rad/ft. Con lo cual, µ = 2.75 × 0.0033 / 6.28 =
0.0014 rad/ft y α = arctg (2.75/6.28) = arctg 0.44 = 23.65 o = 0.41 rad
TABLA 2.3 DETERMINACION EXPERIMENTAL DE φ, k, µ, y α
η H / η 0H t H / T σ t H ( o ) =
360 o × t H / T
kx ( o )
(φ = 2.75)
x
(ft)
k
( o /ft)
0.70 - 0.112 - 40.3 - 61 - 326 0.187
0.72 - 0.076 - 27.3 - 54 - 287 0.188
0.76 - 0.049 - 17.6 - 46 - 247 0.186
0.84 - 0.034 - 12.2 - 38 - 207 0.184
0.875 - 0.023 - 8.3 - 32 - 167 0.191
0.94 - 0.014 - 5.0 - 23 - 127 0.181
0.96 - 0.005 - 1.8 - 18 - 87 0.205
0.99 0 0 - - 47 -
1.00 0 = t 0H 0 - - 7 -
Con los valores de µ, y k obtenidos se puede calcular el factor de reducción de C y L:
−1
( 1+
( µ / k
0))
= (1.20) -1 = 0.83 en este ejemplo.
Este procedimiento de cálculo debe efectuarse separadamente para cada componente
armónica de frecuencia σ diferente.
2.1.7.6 Disipación de la Energía de las Ondas por Fricción y Mezcla
Para el modelo 2.1.7.4, que es el caso mas cercano a la realidad, consistente en la
superposición dentro de la laguna de dos olas amortiguadas, de longitud de onda L y
amplitud máxima incidente a 0 , que viajan en sentido contrario, el transporte neto de
energía en una posición x es:
E
1 2
T
µ
2 −2µ
x 2µ
x
= ρgbLa0 ( e − e ) = −ρgbLa0
senh(2
x)
2
(2.46)
siendo ρ la densidad del agua, g la aceleración de gravedad y b el ancho medio del canal.
57

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
La tasa de disipación, o diferencia de flujo de energía entre unidad de tiempo
(periodo) entre 2 posiciones consecutivas x 1 y x 2 (si C = L/T) es:
∆ E T = ρ
2
gbCa0 { senh(2
µ x1
) − senh(2
µ x2
)}
T
(2.47)
Y esta tasa de disipación de energía entre unidad de periodo, y entre unidad de masa
m = ρ × volumen = ρ hb(x 2 -x 1 ), desde la cabeza a la boca de la laguna (entre x 2 = - l y
x 1 = 0), es decir a lo largo de toda su extensión, es:
G
gCa
hl
2
0
=
senh( 2µ l)
(2.48a)
o bien, como C g h :
= 12 12 1
3 2 2
⎛ g ⎞ a0
G = ⎜ senh(2µ
l)
h
⎟
(2.48b)
⎝ ⎠ l
que se puede evaluar si se miden a 0 , h, y l, y se determina µ.
Por otra parte, puede evaluarse la energía de la ola de marea usada en mezclar la
columna vertical de agua, si consideramos un pequeño elemento de volumen de agua que
se mueve casi horizontalmente a través de la interfase inclinada desde la capa de agua
dulce a la de agua salobre en una laguna costera estratificada. El incremento de energía
potencial entre unidad de volumen de esta masa de agua, debido a su variación de
densidad es:
∆E
pot
= ( ρs
−ρ f)
gh
(2.49)
volumen
siendo: ρ s = densidad del agua salada, ρ f = densidad del agua dulce, y h la
profundidad media.
Y este incremento de energía potencial, para la descarga (volumen/período) = u f bh
de agua dulce que entra (si u f = velocidad del agua dulce), entre unidad de masa de agua
m = ρ hbl (si ρ es la densidad media del agua de la laguna) es entonces:
2
( ρf − ρs) ghu
f
( ρf − ρs)
Cu
J =
=
ρ l ρ l
f
(2.50)
Y ésta es la energía (con signo contrario) que ocupa la ola de marea en mezclar la
columna vertical de agua.
Entonces, el parámetro de estratificación, definido en la Sección 1.4.1.4, es
equivalente al cuociente G/J:
58

G
J
3
2
Cap. 2 Agentes de la Dinámica y sus Efectos
2
g a0
senh( 2µ
l)
1
1
2 2
2
h l
ρ ⎛ g ⎞ a0
= = ⎜ senh(2
l)
3 ⎟ µ
(2.51)
ρ
f
− ρs
ghu
f ( ρ
f
− ρs
) ⎝ h ⎠ u
f
ρ l
que se utiliza para clasificar las lagunas costeras, y es un criterio teóricamente más
completo que los otros discretos, porque considera densidades, velocidades, amplitud de
la marea, topografía y amortiguamiento; aunque está limitado a lagunas costeras
estuarinas (con presencia de descargas de agua dulce por afluentes).
2.2 Descargas de Agua Dulce por Afluentes
La presencia de descargas de agua dulce por afluentes es típica (por definición) de las lagunas
costeras estuarinas, y en algunos casos estacionalmente en las no-estuarinas.
Los efectos mas importantes de la presencia de estas descargas de agua dulce son: producir
circulación estratificada en 2 capas verticales, inducir descargas de intercambio de agua entre el
afluente y la laguna, influir en la rapidez de renovación del agua de la laguna, y modificar el
transporte de materia por difusión turbulenta y por dispersión. Estos temas se tratan en detalle en
otras Secciones de este libro.
Las características de la circulación estratificada en 2 capas verticales se exponen en detalle en
las Sub-secciones de la Sección 1.4.
La cuantificación de la influencia en el intercambio de volumenes de agua entre el afluente de
agua dulce y la laguna, para los casos de tributarios somero y profundo se expone en detalle en la
Sección 3.4.4
El efecto del aporte de agua dulce en la rapidez de renovación del agua de la laguna se trata en
la Sección 3.4.7.
El transporte por difusión turbulenta y dispersión en flujos verticalmente estratificados, con
presencia de marea, se trata en la Sección 3.5.8.
2.3 Esfuerzo del Viento
El esfuerzo del viento produce efectos locales al actuar directamente sobre la laguna costera y
no-locales al actuar sobre el océano adyacente.
2.3.1 Efectos Locales
Los 3 efectos locales mas importantes del viento al actuar directamente sobre la superficie
del agua de la laguna costera son:
a) aumento en la evaporación,
b) apilamiento del agua en el sentido de la dirección hacia la cual sopla,
c) formación de olas.
2.3.1.1 Evaporación
La tasa de evaporación lineal E, que es la única fuente de disminución de agua dulce
(es decir de incremento de la salinidad) para las lagunas costeras estuarinas y no-estuarinas,
depende linealmente de la velocidad del viento, según la expresión conocida como Ley de
Dalton y Soldner (Brutsaert, 1982):
59

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
E = 1.028x10
−4
W ( e s
− e a
)
(2.52)
siendo: E = evaporación lineal en m/hora, W = velocidad del viento en m/s, y (e s - e a )
= diferencia entre presiones de vapor de agua saturado en la superficie del agua y no
saturado en la atmósfera circundante, expresadas en milibares (1 mbar = 10 3 dyn/cm 2 = 10 2
N/m 2 ) El coeficiente numérico es diferente si se expresa la relación en otras unidades.
Se denomina presión de vapor saturado a la presión del estado termodinámico de
equilibrio en que coexisten las fases líquido y vapor de una misma substancia (en
este caso agua), en ausencia de otras. Este estado, y su presión, son diferentes para
cada valor de la temperatura, y el conjunto de ellos en el espacio P-T configuran la
curva de vaporización de la substancia. Fluctuaciones de una cualquiera de estas
dos variables (P ó T) manteniendo la otra constante, causan salida del estado de
equilibrio, produciéndose vaporizaciones o condensaciones.
Se denomina presión de vapor no-saturado a la presión parcial del vapor de una de
las substancias componentes (en este caso: el agua) que coexiste en un estado de
equilibrio termodinámico con otras (nitrógeno, oxígeno, anhidrido carbónico, etc. en
el caso de la atmósfera) en un sistema. Según la Ley de Dalton, la presión
atmosférica total es igual a la suma de las presiones parciales que ejercen cada uno
de los gases y vapores presentes en ella.
La presión de vapor de agua no-saturado en la atmósfera depende de la humedad
relativa del aire, y de la temperatura del aire.
Por definición, la humedad relativa del aire es el cuociente entre la presión parcial
del vapor de agua no-saturado (a la temperatura de la atmósfera) y la presión de
vapor de agua saturado (a la temperatura del agua).
En el caso de una laguna costera, para la determinación de ambas presiones de vapor
es necesario medir la humedad del aire, la temperatura del aire, y la temperatura de la
superficie del agua. La presión de vapor de agua saturado se obtiene directamente de la
Tabla 2.4 para el valor de la temperatura en la superficie del agua. La presión de vapor de
agua no-saturado es la fracción correspondiente a la humedad relativa del aire (Ej.: 0.75 si
la humedad es 75 %) del valor de la presión que indica la misma Tabla, pero para la
temperatura del aire.
Además de las mediciones mencionadas para determinar las presiones de vapor, basta
con medir la velocidad del viento para calcular así la evaporación lineal según la expresión
(2.52). Este método para evaluar la evaporación indirectamente mediante la medición de 4
parámetros es mas confiable y entrega valores mas adecuados a la realidad que la medición
directa (y muy puntual) efectuada por evaporímetros.
Es posible también detectar experimentalmente la influencia del viento en la
evaporación y sus efectos, mediante la correlación de series de tiempo de mediciones de
salinidad superficial y de velocidad de viento.
TABLA 2.4 PRESIONES DE VAPOR DE AGUA SATURADO
60

Cap. 2 Agentes de la Dinámica y sus Efectos
2.3.1.2 Apilamiento
Bretschneider (1958) evalúa la pendiente dS/dx de la superficie libre del agua en una
laguna rectangular de profundidad constante h al soplar viento estacionario de velocidad U
en dirección x. En la Figura 2.13 se muestra la situación para una franja de ancho dx, con
presión hidrostática media P = ρg(h+S)/2 en la superficie de la izquierda. En situación
estacionaria, las fuerzas asociadas a la presión hidrostática deben ser iguales a la suma de
las fuerzas debidas a los esfuerzos tangenciales del viento y de la fricción del fondo, es
decir:
61

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
⎛ ∂P
⎞
⎜ P + dx⎟( h + S + dS ) − P( h + S)
= ( τs
−τ
b
) dx
(2.53a)
⎝ ∂x
⎠
siendo: τ s
= esfuerzo tangencial del viento, y τ = esfuerzo tangencial de la fricción en el fondo
b
Desarrollando el producto del primer término, despreciando el término de segundo orden, e
introduciendo la expresión de P, se obtiene:
Fig. 2.13 Esfuerzo del viento en una laguna
En lagos de agua dulce:
dS ( τs
+ τb)
=
dx ρg( h + S)
(2.53b)
τ s
/ ρ ≈ 3.0 × 10
-6 U 2 y τ / τ s
≈ 0.1, quedando entonces:
b
dS
dx
-6
33× . 10 U
=
g(h +S)
2
(2.54)
que es directamente integrable desde la posición de intersección de la superficie
inclinada con la superficie libre (x = x 0 ) en que S = 0, hasta el margen (x = l) de
apilamiento S máximo:
∫
0
S
g
l
−6
( h + S)
dS = 3.3 x 10 ∫ U dx
(2.55a)
x
max 2
0
⎛
g⎜hS
⎝
1
2
⎞
⎠
l
2
−6
max
+ Smax
⎟ = 3.3 x 10 ∫x
U
0
2
dx
(2.55b)
62

Cap. 2 Agentes de la Dinámica y sus Efectos
Que si U es constante a lo largo de x (en caso contrario debe conocerse la variación
de U con x desde x 0 a l):
⎛
g⎜hS
⎝
max
+
1
2
S
2
max
⎞
⎟ = 3.3 x 10
⎠
−6
U
2
( l − x
0
)
(2.56)
ecuación de 2 o grado cuya solución es:
⎪⎧
-6 2
6.6 x 10 U ( l − x ) ⎪⎫
0
S
max
= h⎨
+ 1 −1
2
⎬
(2.57)
⎪⎩
gh
⎪⎭
Dronkers (1964) evalúa la variación temporal, debida al esfuerzo del viento, en la
descarga a través de una sección transversal de una laguna costera unidimensional:
⎛ ∂Q
⎞
⎜ ⎟
⎝ ∂t
⎠
viento
= β
w
ρ
a
V
ρ
x
cosψ
x
V
x
cosψ
x
b
(2.58)
(esta expresión se inserta usualmente en la ecuación de conservación de momentum
de Navier-Stokes para dar cuenta del efecto del esfuerzo del viento)
costera
siendo:
β W = coeficiente de esfuerzo del viento = 2.6 x 10 -3
ρ a = densidad del aire; ρ = densidad del agua
V x = velocidad del viento
ψ x = ángulo entre la dirección del viento y el eje longitudinal del canal de la laguna
b = ancho del canal de la laguna costera
Finalmente, al realizar mediciones en el trabajo de campo podemos evaluar el
efecto de apilamiento efectuando:
1 o ) una correlación cruzada entre las series de: a) esfuerzo del viento y b) variación
de nivel de la superficie libre (de algún mareograma del lugar); y/o
2 o ) espectros de energía del registro de velocidad del viento y de la variación de
nivel de la superficie libre, identificando las frecuencias de los picos espectrales
comunes.
2.3.1.2 Formación de Olas
Liu (1971) obtiene empíricamente la siguiente expresión para el espectro de
densidad de energía S(ω) del oleaje generado por el viento en un lago:
19 10
S( ω) = . ( g U X − 5
04 ) 1 12ω
− 5 3 7
exp{ − 55 . × 10 ( g U − 5
X
− 2
ω −9
) }
(2.59)
siendo:
ω = 2πf: la frecuencia angular
U = velocidad del viento en pies/segundo, y
X = longitud efectiva de soplado del viento ("fetch" en inglés) en pies
63
4 9

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Este espectro es completamente desarrollado, es decir, es independiente de la
duración del soplado del viento.
La altura significativa H 1/3 (promedio de alturas del 1/3 de olas más altas
observadas) se obtiene de:
H
13
2
2
= 1. 42 H = 1. 42 8M (2.60)
siendo M 0 el momento espectral de orden cero:
0
= ∫ ∞
0
S )
0
M ( ω dω
(2.61)
integrando la expresión (2.59) e introduciendo el valor numérico de la aceleración de
gravedad (g) en pies/(segundo) 2 , se obtiene:
H
13
1 36
−6 110 17
= 145 . × 10 ( U X ) (2.62)
El valor del coeficiente numérico en esta expresión es válido si H y X se expresan
en pies y U en pies/segundo.
Para lagunas costeras de pequeña dimensión, el "fetch" X equivale a toda la
extensión de la laguna en la dirección de soplado del viento. La validez de aplicación de la
expresión (2.62) está limitada a zonas restringidas que no sean afectadas por superposición
de olas reflejadas en las orillas de la laguna.
2.3.2 Efectos No-Locales en Frecuencias Bajas
Weisberg (1976) reconoce la importancia de las fluctuaciones en frecuencias bajas
(menores que un ciclo/dia), denominadas "flujo residual", en la variablidad mensual o estacional
de los procesos de transporte de materia en lagunas costeras estuarinas.
En las lagunas costeras no-estuarinas, el intercambio con el océano generalmente a través
de un canal estrecho que favorece el efecto de "filtro natural pasabajos" (Wong, 1987), aumenta
la importancia relativa de la propagación de ondas de frecuencias bajas en su interior. Estos
flujos en frecuencias bajas (residuales) producen las condiciones de renovación de agua a largo
plazo que controlan su calidad, el transporte de sedimentos, y hacen factible las actividades de
maricultivo en estas lagunas que no cuentan con aportes permanentes de agua dulce.
Walters (1982) identifica como uno de los agentes principales en la inducción de estas
fluctuaciones al forzamiento no-local del esfuerzo del viento en el océano adyacente, que genera
transporte costero de Ekman, preferentemente en periodos de 4 a 20 dias.
Martori (1994), mediante analisis espectral cruzado de series de tiempo de variables
oceanográficas y meteorológicas medidas durante un mes de verano en Bahía de San Quintín,
B.C. (una laguna costera no-estuarina), determina que el forzamiento por esfuerzo no-local del
viento en el océano adyacente es responsable:
64

Cap. 2 Agentes de la Dinámica y sus Efectos
a) del 70 % al 80 % de las fluctuaciones de nivel de la superficie del agua en el interior de
la laguna, en los periodos de 4 a 21 dias; y
b) del 36 % al 56 % de la variabilidad de las corrientes residuales en el mismo lugar, para
dichos periodos.
2.4 Gradientes de Densidad
Hesselberg y Sverdrup (1914) establecen que la densidad de una masa de agua de mar está
determinada exclusivamente por su temperatura, salinidad y presión {σ t = f (T,S,P)}. Para el caso
de las lagunas costeras, por ser en general muy someras, la influencia de las variaciones verticales
de presión en la densidad son despreciables, y ésta se encuentra únicamente determinada por la
temperatura y la salinidad {σ t = f (T,S)}.
Estas dos últimas variables (T y S) son en general independientes entre sí, de manera que los
gradientes de densidad en las lagunas costeras se generan indistinta e independientemente por los
gradientes de salinidad o de temperatura.
En las lagunas costeras estuarinas, las descargas de agua dulce de ríos producen gradientes de
salinidad significativos que predominan respecto de los gradientes de temperatura en la producción
de gradientes de densidad. Por el contrario, en las lagunas costeras no-estuarinas de zonas áridas
semi-tropicales (con calentamiento solar significativo) y en los fiordos de latitudes altas en
invierno (en que su superficie y los ríos afluentes se congelan), los gradientes de temperatura son
los predominantes en la producción de los gradientes de densidad.
A continuación se analiza separadamente la influencia de ambos agentes en la generación de
los gradientes de densidad, los fenómenos de que dependen, y sus posibles interacciones,.
2.4.1 Por Variaciones de Salinidad
En un volumen de agua de mar, en que la cantidad de masa de sal permanece
supuestamente constante, la única forma en que su salinidad varíe, es mediante el aumento o
disminución de la cantidad de agua dulce presente en ella.
Pero en una laguna costera, la masa de sal varía con el agua de mar que entra y sale a
través de la boca por efecto de la marea. Sin embargo, para períodos cortos (del orden de días),
las fluctuaciones en la salinidad media así inducidas suelen ser menores en magnitud que las
debidas al aumento o disminución de la cantidad de agua dulce.
2.4.1.1 Influencia de Evaporación, Precipitación, y Afluentes
En las lagunas costeras hay 3 fuentes naturales posibles de variación de la cantidad
de agua dulce: evaporación, precipitación y descargas de afluentes;
En las estuarinas las descargas de afluentes son el factor predominante, en
comparación con la evaporación y la precipitación, en la producción de fluctuaciones en la
cantidad de agua dulce, que inducen variaciones de salinidad en la cuenca.
En las no-estuarinas no hay ríos afluentes y particularmente en las estaciones del
año o regiones con precipitación escasa (Baja California por ejemplo), la evaporación es la
única fuente de variaciones de agua dulce que inducen fluctuaciones de la salinidad en la
cuenca.
2.4.1.1.1 La Evaporación y sus Agentes
65

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
La evaporación lineal se puede cuantificar a partir de mediciones de variables
oceanográficas y meteorológicas, como se explica en la Sección 2.3.1.1., y depende ,
en orden de importancia de los siguientes agentes:
a) velocidad del viento
b) humedad relativa del aire, y
c) diferencia entre temperatura de la superficie del agua y del aire circundante
En el caso de las lagunas costeras no-estuarinas, en que la evaporación es
predominante en la producción de gradientes de salinidad, estos también dependerán
en consecuencia de los mismos agentes anteriores.
El volumen de agua dulce evaporado Ve en un tiempo T depende de la
extensión del área superficial A del cuerpo de agua: Ve = E × A × T
2.4.1.1.2 Casos Estuarino y No-Estuarino en Escalas Temporales
En escalas de tiempo largo (meses, estaciones del año) las variaciones de
salinidad (y los gradientes de densidad que estas inducen) dependen prioritariamente
del intercambio de volúmenes de agua salada con el mar producido por la marea en
los casos no-estuarinos, y compartidamente con las fluctuaciones estacionales en las
descargas de agua dulce de afluentes en los casos estuarinos.
En escalas de tiempo corto (dias, semanas) estas variaciones y gradientes
inducidos dependen prioritariamente de las fluctuaciones en las descargas de agua
dulce de los afluentes y las precipitaciones en los casos estuarinos, y exclusivamente
en la evaporación en los casos no-estuarinos.
2.4.2 Por Variaciones de Temperatura
En una masa m de agua de mar, un aumento o descenso ∆T en su temperatura, está dado
por (Zemansky, 1957):
Q
∆T = (2.63)
mC p
siendo C p el coeficiente de calor específico a presión constante (en primera aproximación
independiente del tiempo), y Q el calor absorbido o cedido por la masa de agua.
2.4.2.1 La Transferencia de Calor y sus Mecanismos
El calor puede transferirse desde o hacia la masa de agua por los siguientes
mecanismos de transporte:
a) conducción (por partículas de materia, usualmente electrones,
microscopicamente),
b) convección (por partículas de materia, usualmente moléculas,
macroscopicamente), y
c) radiación (por ondas electromagnéticas, usualmente en el infrarrojo).
Para el agua en las lagunas costeras, los siguientes procesos, según orden de
importancia, dan lugar al transporte (ingreso o egreso) de calor:
66

Cap. 2 Agentes de la Dinámica y sus Efectos
1.- La convección forzada con el volumen de agua salada que entra y sale por la
boca periodicamente por efecto de la marea. Puede hacer disminuir o aumentar la
temperatura del agua en la laguna.
2.- La convección forzada con el volumen de agua dulce proveniente de afluentes
que entra continuamente, para el caso de lagunas costeras estuarinas unicamente.
Generalmente produce disminución en la temperatura del agua de la laguna.
3.- La radiación solar en onda corta y la radiación reemitida por las nubes, la
atmósfera, y el vapor de agua, ya deducida la fracción reflejada en la superficie del agua
de la laguna. Incrementa la temperatura del agua en la laguna costera.
4.- La convección forzada con el volumen de agua dulce que ingresa por
precipitaciones. Generalmente hace disminuir la temperatura del agua en la laguna. Es de
menor o nula importancia en zonas áridas, o en algunas estaciones del año para ciertas
latitudes, en que la precipitación es escasa o nula.
5.- La convección natural (1 a fracción del calor sensible) y forzada (calor latente)
hacia la atmósfera por evaporación. Provoca disminución en la temperatura del agua en la
laguna.
6.- La radiación emitida en onda larga por la superficie del agua de la laguna hacia la
atmósfera. Disminuye la temperatura del agua en la laguna costera.
7.- La conducción en ambas direcciones entre la atmósfera y la superficie de la
laguna (2 a fracción del calor sensible). Puede disminuir o aumentar la temperatura del
agua.
8.- La conducción y convección natural de calor en ambas direcciones entre el fondo
de la cuenca y el agua de la laguna. Son particularmente significativas en las zonas
someras de las lagunas costeras no-estuarinas, en que hacen disminuir la temperatura del
agua durante el dia, al ceder hacia el fondo de la cuenca parte del calor recibido por
radiación solar, y aumentar (o no disminuir tan rápido) durante la noche, en que se invierte
la dirección de estos procesos.
La magnitud del calor ingresado o egresado hacia o desde las lagunas costeras
mediante los procesos anteriores es proporcional a la extensión de la superficie de
exposición o contacto entre la atmósfera y la superficie del agua; por lo tanto las
variaciones de temperatura así producidas son proporcionales a la magnitud relativa de la
extensión de dicha superficie con respecto al volumen total de agua en la cuenca. Este
último cuociente suele variar extremadamente entre pleamar y bajamar o entre las fases de
marea de sicigia y de cuadratura en aquellas lagunas costeras no-estuarinas que tienen
zonas someras extensas.
2.4.2.1.1 Casos Estuarino y No-Estuarino en Escalas Temporales
En escalas de tiempo largo (meses, estaciones del año) las variaciones de
temperatura (y los gradientes de densidad que estas inducen) dependen prioritariamente de
las variaciones de la temperatura del agua del océano adyacente transmitidas por la
convección forzada del intercambio de volúmenes de agua salada entre el mar y la laguna
producido por la marea, y por las fluctuaciones estacionales de la radiación solar, en los
casos no-estuarinos; y además de estos procesos, compartidamente con las fluctuaciones
67

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
estacionales de la convección forzada por las descargas de agua dulce de afluentes en los
casos estuarinos.
En escalas de tiempo corto (dias, semanas) estas variaciones y gradientes inducidos
dependen prioritariamente de las fluctuaciones en la convección forzada por las descargas
de agua dulce de los afluentes en los casos estuarinos, y prioritariamente de las
fluctuaciones en la radiación solar en los casos no-estuarinos.
Adicionalmente, en escalas de tiempo corto (dias, semanas) estas variaciones y
gradientes inducidos pueden depender prioritariamente de eventos extraordinarios en
ciertas estaciones del año, como surgencias de agua fría en el océano adyacente durante el
verano, o precipitaciones excesivas por tormentas o huracanes, para zonas costeras o
latitudes de ocurrencia de estos fenómenos, independientemente de si las lagunas costeras
son estuarinas o no-estuarinas.
2.4.3 Interacciones entre Variaciones de Temperatura y de Salinidad
Aun cuando la Temperatura y la Salinidad son dos variables independientes entre si, la
dependencia conjunta de sus fluctuaciones en los mismos fenómenos físicos, puede ocasionar
para algunos casos particulares, su correlación.
En escalas de tiempo largo, las fluctuaciones de estas variables en la laguna costera (sea
estuarina o no-estuarina) se ligan entre si, estando directamente asociadas a las fluctuaciones que
experimentan en la masa de agua del océano adyacente, que ingresa por efecto de la marea.
Adicionalmente, para los casos estuarinos, esta dependencia común refleja las fluctuaciones
estacionales en las descargas de agua dulce de los afluentes.
En escalas de tiempo corto, para los casos estuarinos esta dependencia común es el
reflejo de las fluctuaciones diarias en las descargas de agua dulce de los afluentes.
Para las lagunas costeras no estuarinas, en tiempo corto, la evaporación es el agente
predominante en las fluctuaciones de la salinidad, y el calentamiento por radiación solar en la
fluctuaciones de temperatura. Por lo tanto, la dependencia común (directa o inversa) entre las
fluctuaciones de ambas variables (temperatura y salinidad) está asociada a algunos de los efectos
de interacción entre estos fenómenos, que se detallan a continuación.
2.4.3.1 Efecto de la Radiación Térmica
Si la velocidad del viento y la humedad relativa del aire (que controlan en parte la
evaporación) permanecen constantes, la radiación térmica solar incidente (que produce un
incremento en la temperatura del agua) puede además secundariamente:
1- aumentar la diferencia entre presiones de vapor (e s - e a ), si la humedad ambiental es baja
(H < 50 %); produciendo un aumento en la evaporación, y consecuentemente una
aceleración en el aumento de la salinidad
2- disminuir la diferencia entre presiones de vapor (e s - e a ), si la humedad ambiental es alta
(H > 50 %); produciendo una disminución en la evaporación, y consecuentemente una
desaceleración, o eventualmente anulación, en el aumento de la salinidad.
En consecuencia:
En el caso 1.- la temperatura y la salinidad aumentan simultáneamente y con rapidez.
En el caso 2.- la temperatura aumenta y la salinidad aumenta lentamente o permanece
constante, simultáneamente
68

Cap. 2 Agentes de la Dinámica y sus Efectos
2.4.3.2 Efecto de la Evaporación
Si la radiación térmica proveniente del sol y de la atmósfera que llega a la laguna es muy
pequeña o nula (por ejemplo, durante la noche, o en días muy cubiertos de nubes): la
evaporación (que produce un incremento en la salinidad), demanda un consumo de calor de
vaporización que es suministrado por el agua, cuya temperatura desciende. En consecuencia: la
salinidad aumenta y la temperatura disminuye simultáneamente.
2.4.3.3 Efecto de la Saturación
Un aumento excesivo de la evaporación (y por ende de la salinidad), puede llevar a la
atmósfera a un grado de saturación de partículas de agua (bruma o niebla), aumentando su
absorción y dispersión de la radiación solar, e impidiendo así el aumento de la temperatura del
agua, la que permanecerá constante. Esta temperatura está impedida de disminuir en estas
circunstancias porque la evaporación excesiva inhibe también la emisión de calor de la superficie
del agua a la atmósfera. En consecuencia, la salinidad aumenta y la temperatura permanece
constante, simultaneamente.
2.4.3.4 Efecto de Area
En un volumen de agua, la mayor extensión de su área superficial incrementa el volumen de
agua dulce evaporada y también la cantidad de energía radiante recibida del sol. En
consecuencia, en las zonas extensas y someras, típicas de las lagunas costeras no-estuarinas, este
efecto produce que la salinidad aumente y la temperatura aumente simultaneamente; o bien,
cuando no hay evaporación significativa, que la salinidad permanezca constante y la temperatura
aumente, simultaneamente.
2.4.3.5 Efecto del Tiempo de Residencia
En las zonas cercanas a la cabeza de las lagunas costeras no-estuarinas, en que las
velocidades de las corrientes son pequeñas, o bien en zonas mas extensas durante los períodos de
mareas de cuadratura (muertas), la lenta renovación del agua y su permanencia por tiempo
prolongado y con poco movimiento en el lugar, acentúan su evaporación y su calentamiento. En
consecuencia, la salinidad y la temperatura aumentan simultáneamente. Este fenómeno no se
observa en las zonas cercanas a la boca.
2.4.4 Patrones de Corrientes Residuales por Gradientes de Densidad
Los perfiles de distribución de salinidad y temperatura para los casos estuarino y no-estuarino
se describen en la Sección 1.4.1.3.
La forma de los posibles gradientes de temperatura, salinidad, y densidad, como asimismo de
su circulación residual inducida, y nomenclatura, se muestran en la Tabla 2.5.
En la realidad, las combinaciones mas frecuentes o posibles de gradientes de salinidad y
temperatura y sus patrones de gradiente de densidad resultantes, con su clasificación según 1.4.1.3
son:
1 S + 1 T ==> I Estuarino A' (fiordo)
1 S + 2 T ==> II ó III Estuarino B
==> IV Estuarino A
2 S + 2 T ==> III Estuarino C ó D
4 S + 4 T ==> IV No-estuarino γ
==> III No-estuarino β
69

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
4 S + 3 T ==> I No-estuarino α
3 S + 3 T ==> III No-estuarino β
Las restantes combinaciones posibles son muy poco probables en la realidad.
El caso I no-estuarino es inestable produciéndose un volcamiento de la capa superior mas
densa, que deja finalmente los gradientes de densidad (I-volcado), y de salinidad (4S-volcado)
como se muestra en la Figura 2.14
Las corrientes producidas por los gradientes de densidad son varios órdenes de magnitud
menores que las producidas por la marea astronómica, y se superponen a éstas, por lo que son
dificilmente detectables. Sin embargo, su efecto se puede evidenciar por la existencia de una
correlación lineal entre los gradientes horizontales de densidad y las corrientes residuales (una vez
filtradas las componentes de origen astronómico y meteorológico), como se ilustra en el ejemplo de
Ensenada de La Paz, B.C.S. (González, 1983) en la Figura 2.15.
Las velocidades de estas corrientes pueden también estimarse considerando la ecuación de
conservación de sal unidimensional con término de advección por gradiente horizontal de densidad
separado de la advección por marea (Ippen, 1966):
∂S
∂t
∂S
∂S
∂ ⎛ ∂S
⎞
+ u( x,
t)
−U
d
= ⎜ K
x
⎟
(2.64)
∂x
∂x
∂x
⎝ ∂x
⎠
El segundo y tercer término de esta ecuación corresponden a las advecciones mencionadas y
el último a la dispersión longitudinal (ver Sección 3.5).
Promediando sobre un ciclo de marea, equivalente a condición estacionaria ∂S/ ∂ t = 0 y
u = 0 (siempre que la laguna sea no-estuarina y no haya flujo neto de agua dulce por descargas de
afluentes al promediar sobre el ciclo de marea), entonces:
U
d
∂ ⎛ ∂S
⎞
⎜ K
x
⎟
∂x
∂x
= −
⎝ ⎠
(2.65)
∂S
∂x
en que el coeficiente de dispersión longitudinal K x se estima empíricamente mediante la
expresión de Bowden (1967) u otra similar (ver Sección 3.5):
TABLA 2.5 GRADIENTES DE SALINIDAD, TEMPERATURA, Y DENSIDAD,
70

Cap. 2 Agentes de la Dinámica y sus Efectos
Y PATRONES DE CORRIENTES RESIDUALES ASOCIADAS
Fig. 2.14 Gradientes volcados de densidad y salinidad.
71

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Fig. 2.15 Regresión lineal entre gradientes horizontales de densidad y corrientes residuales en
Ensenada de La Paz, B.C.S., según González (1983).
K
x
2 ,2
b u
= 0 .007
(2.65)
∈
v
siendo: el coeficiente de difusión turbulenta vertical ∈ v = 0.0025 h U a ,
u' = u - u, b = ancho, h = profundidad, y U a = velocidad media (en profundidad) de la corriente.
Usando esta ecuación para valores medidos en Bahía de San Quintín, B.C., Monreal (1980)
evalúa U d ≈ 10 -2 m/seg cuando u max debido a la marea ≈ 1 m/seg; lo que es razonable.
2.5 Presión Barométrica
Walters (1982) identifica como uno de los agentes principales en la inducción de las
fluctuaciones en frecuencias bajas (menores que un ciclo/dia) del nivel de la superficie libre del agua
en las lagunas costeras al efecto de la presión atmosférica.
Mofjeld (1992), mediante análisis espectral cruzado, determina que las fluctuaciones submareales
(frecuencias de 0.01-0.5 ciclos/dia ó periodos de 2 a 10 dias) del nivel del mar medidas en el extremo
Sur del fjordo de San Juan de Fuca, Canadá se deben mayoritariamente a la respuesta local del
sistema como una compensación casi-estacionaria de barómetro invertido a la presión atmósferica.
Martori (1994), computando coherencia cuadrática entre series de nivel residual del mar y de
presión barométrica para 14 dias de registro en Bahía de San Quintín, B.C., concluye que el 50 % de
las fluctuaciones de nivel de la primera serie, para periodicidades mayores a 7 dias, se deben al efecto
de la presión atmosférica actuando como barómetro invertido (1 cm de descenso de nivel por cada
72

Cap. 2 Agentes de la Dinámica y sus Efectos
milibar de aumento de presión). La Figura 2.16 muestra el defase de 180 o entre estas 2 series en casi
toda su extensión, típico del efecto de barómetro invertido.
Fig. 2.16 Series de nivel residual del mar y de presión atmosférica en Bahia de San Quintín, B.C.
(Julio de 1986), según Martori (1994).
2.6 Morfología de la Cuenca
Dos efectos de la morfología de la cuenca en el patrón de circulación de las lagunas costeras son
de significancia: a) formación de meandros en las estuarinas, y b) efecto de "bombeo de marea"
(tidal pumping) en las no-estuarinas; aunque uno y otro efecto no son totalmente excluyentes de los
2 tipos de laguna mencionados.
2.6.1 Meandros
Los meandros son secuencias de curvas pronunciadas en un flujo principal que invierten
alternadamente su sentido de derecha a izquierda, y viceversa, con un aspecto de "serpiente",
acompañados de un flujo secundario turbulento transversalmente bidimensional que perturba al
principal y que tiene un campo de velocidades de magnitudes menores (del 5 % al 10 %) que las del
principal. Esto origina un flujo tridimensional helicoidal alternante. La posición de los meandros
suele migrar.
73

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Este campo tridimensional de flujo causa una distribución de esfuerzos de corte que produce
erosión de sedimentos en los márgenes de los taludes externos de las curvas, su transporte
transversal , y depósito constituyendo bajos arenosos en los márgenes de los taludes internos;
además de un leve desnivel transversal en la superficie libre.
La "separación de flujo muerto" (ver i.e. Ikeda y Parker, 1989) en los márgenes de los taludes
internos de las curvas origina en ellos remolinos turbulentos laterales someros y de baja velocidad.
La Figura 2.17 ilustra los elementos de circulación y transporte de sedimentos descritos en los
párrafos precedentes.
Estos meandros se forman preferencialmente en los rios y en las zonas altas vecinas a la
cabeza de las lagunas costeras estuarinas cuando fluyen en planicies de valle de poca pendiente y
con mucho sedimento depositado.
La explicación y descripción de la formación, estructura, y migración de estos meandros ha
sido un desafío debido a la complejidad de su hidrodinámica, desde los primeros escritos al
respecto por Leonardo da Vinci. El modelo numérico de Demuren (1993) basado en la formulación
Reynolds tridimensional de las ecuaciones de Navier Stokes en un sistema de coordenadas
curvilinea, con términos de energía cinética turbulenta y de disipación, entre los mas recientes, es
uno de los que mas adecuadamente predice datos experimentales de mediciones de meandros en
canales artificiales de laboratorio y naturales.
Fig. 2.17 Configuración de los Meandros
2.6.2 Bombeo por Marea
El bombeo por marea es un patrón de circulación caracterizado por un chorro (“jet” en inglés)
unidireccional del agua que entra en marea llenante a la laguna costera, y un abanico o embudo
(“funnel” en inglés) del agua que sale en vaciante. Se produce de preferencia en las bahias y en las
lagunas costeras no-estuarinas con boca de acceso estrecha y ensanche interior amplio cerca de la
boca. Este efecto se explica y describe en detalle en la Sección 3.4.3.
2.7 Fricción Lateral y de Fondo
Los efectos mas importantes de la fricción en la hidrodinámica de una laguna costera son:
74

Cap. 2 Agentes de la Dinámica y sus Efectos
a) El retardo y amortiguación de la ola de marea, que son mas acentuados en las lagunas costeras
no-estuarinas por ser sus anchos superficiales característicos (decenas de kilómetros) mucho mayores
que sus profundidades medias (algunos metros) en comparación con las típicas lagunas costeras
estuarinas de rio que son angostas y profundas. Estos efectos se exponen en detalle para ambos casos
en la Sección 2.1.7;
b) El paso no-lineal de energía a componentes locales, determinable mediante el análisis
espectral o la modelación numérica, que se expone en las Secciones 2.1.4 y 2.1.5.1; y
c) La pérdida de momentum de las corrientes, que se desarrolla a continuación.
Cuando un fluido viscoso fluye cerca de una pared se origina una resistencia a su movimiento
por efecto del esfuerzo tangencial (o de cizalle, o de corte) en la superficie de la pared, que es
transmitido hacia el interior del fluido por la viscosidad. En la pared la velocidad es nula (condición
de no deslizamiento) incrementándose hacia el interior del fluido en lo que se denomina la "capa
límite", cuyo espesor se extiende hasta la zona en que la velocidad del fluido es la que tendría
libremente en ausencia de la pared.
El esfuerzo tangencial τ = fuerza/ area tangencial es proporcional al gradiente de la velocidad
dentro de la capa límite; siendo el coeficiente de proporcionalidad µ, por definición, el coeficiente de
⎛
⎞
viscosidad: ⎜
F ∂u
τ = = µ ⎟
⎝ ATang
∂y
⎠
En un canal inclinado, con poca pendiente (como es el caso del fondo de una laguna costera),
pero sin presencia de mareas, la fuerza debida a la diferencia de presión hidrostática y su opuesta
debida al esfuerzo tangencial de fricción, actuando sobre un elemento prismático de fluido de
longitud ∆x, area transversal A, y desnivel ∆h entre sus caras superior e inferior, que fluye aguas
abajo, son (Figura 2.18):
F
∆pr. hidr.
=ρ g ∆h
Α (2.66a) F
esf. tang.
=τP ∆x
(2.66b)
siendo, por definición: P = perímetro mojado = longitud de la parte del perímetro de la sección
bajo la superficie del fluido.
Fig. 2.18 Elemento de fluido en un canal inclinado
Si el flujo es uniforme y estacionario, y no hay aceleraciones, la suma de estas fuerzas es nula:
75

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
ρ g ∆h Α+
τP ∆x = 0
(2.67a)
Α ∆h
o bien, τ =− ρ g =ρgRS
(2.67b)
Ρ ∆x
siendo, por definición, R = A/P la razón hidráulica, y S la pendiente del fondo.
Si el flujo es estacionario, pero no-uniforme, con una aceleración a = v dv/dx, la ecuación
(2.67a) deviene en:
ρ g ∆h Α+ τP ∆x = - ρ ∆ x Αv dv / dx
(2.67c)
aproximando ∆h / ∆ x ≈ dh / dx, y despejando τ:
2
d ⎛ v ⎞
τ = −ρgR
⎜h
+
⎟
(2.67d)
dx ⎝ 2g
⎠
En que el término entre paréntesis se identifica como la pendiente de la linea de energía total (S f )
en la ecuación de Bernoulli de conservación de la energía para caso estacionario, es decir que:
τ
= ρ gRS f
(2.67e)
Las ecuaciones (2.67b) y (2.67e), para casos estacionarios uniforme y no-uniforme difieren
solamente en las pendientes consideradas, que son muy similares para distancias ∆x cortas en que la
morfología del canal no introduzca cambios apreciables en las velocidades.
2.71 Ecuaciones y Coeficientes de Chèzy y Manning
Stokes encuentra empiricamente que el esfuerzo tangencial de arrastre para flujos con
número de Reynolds alto, lo que es habitual en las lagunas costeras, es:
τ= 1 2
Dρv (2.68)
2
siendo D un coeficiente de arrastre.
Eliminando τ entre las ecuaciones (2.68) y la (2.67 b ó e) resulta la ecuación de Chèzy para
la velocidad del flujo estacionario (uniforme o no-uniforme) en el canal con fricción y poca
pendiente:
v= C RS
(2.69)
siendo C el coeficiente de Chèzy, que depende del número de Reynolds y de las
irregularidades de las paredes y del fondo, pero es casi independiente de la geometría de las
secciones transversales. Para lagunas costeras estuarinas, la experiencia indica que C se encuentra
en el rango de 60 a 100 (pie) 1/2 / segundo.
Alternativamente, Manning, basándose en aproximadamente 200 observaciones empíricas,
propone la ecuación que lleva su nombre:
76

Cap. 2 Agentes de la Dinámica y sus Efectos
v = 1 . 486 2 1
R 3
S 2
n
(2.70)
en que el valor del guarismo 1.486 es válido unicamente si las magnitudes en la ecuación se
expresan en unidades inglesas.
El coeficiente "n" de Manning depende unicamente de las rugosidades o irregularidades del
fondo, y se encuentra extensamente tabulado para multitud de casos reales y de laboratorio. Para
canales naturales de rios o lagunas costeras su valor fluctúa entre 0.020 y 0.160. La Tabla 2.6
(adaptada de Chow, 1959) contiene valores máximos, normales, y mínimos para los casos mas
habituales de flujo uniforme en canales naturales.
Nikuradse y Strickler, tras exhaustivas mediciones, establecen la siguiente relación entre el
coeficiente de Manning y el diámetro medio de las irregularidades del fondo k s (expresado en
pies):
n
≈ 003l 1 6
. k
s
(2.71)
Comparando las ecuaciones de Chèzy y Manning se establece la siguiente relación entre
ambos coeficientes:
C =
R n
1 6
(2.72)
Dronkers (1964) elimina S combinando la ecuación de Chèzy con la ecuación (2.67b ó e) y la
expresión de τ así resultante la introduce en la ecuación de movimiento para flujo no-uniforme (2.67c),
la que al ser expresada entre unidad de masa ρ A ∆ x queda reducida a:
siendo la descarga Q = Av.
−g dh − =
dx
g QQP v dv
(2.73)
3 2
AC dx
El segundo término de esta ecuación, que es no-lineal, corresponde al efecto de fricción, y la
expresión Q ⎜Q ⎜ en vez de Q 2 permite expresar el cambio de signo al invertirse el flujo de la
marea entre vaciante y llenante en las lagunas costeras. La ecuación mencionada se resuelve
mediante métodos numéricos y es usada con frecuencia en la modelación unidimensional de la
circulación en lagunas costeras (ver Capítulo 4).
Para seleccionar un coeficiente de Manning o Chèzy adecuado a un caso particular en
estudio es aconsejable:
a) usar un valor semejante a los que hayan sido usados exitosamente para lagunas costeras
de condiciones hidrodinámicas similares a la que esté en estudio; o
b) si es posible hacer una buena estadística del tamaño de las irregularidades del fondo
(sedimentos, etc.), calcular un valor medio de n mediante la expresión (2.71); o,
c) seleccionar en la Tabla 2.6 un valor representativo, de acuerdo a las condiciones
fisiográficas del caso en estudio.
TABLA 2.6 COEFICIENTES DE MANNING PARA CANALES NATURALES (adaptada de Chow)
77

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
2.8 Efecto de Coriolis
78

Cap. 2 Agentes de la Dinámica y sus Efectos
El efecto de Coriolis produce una asimetría derecha-izquierda en la descarga neta si la
laguna costera es suficientemente ancha como para que la fricción en las paredes laterales
no logre anular el efecto. Las circulaciones asimétricas típicas resultantes corresponden a
las de tipo estuarino C y de tipo no-estuarino α
c, βc,
y γ
c
que se exponen en la Sección
1.4.1.3
Para evaluarlo, de la aceleración de Coriolis (2Ω×u) se introduce un término –fv en la
componente x (dirección Este) y un término fu en la componente y (dirección Norte) de la ecuación
de conservación de momentum lineal
∂u
∂v
según x : = − fv y según y : = − fu
∂t
∂t
(2.74)
siendo u y v las componentes x y y del vector de velocidad, respectivamente, y f = 2 Ω sen ψ el
parámetro de Coriolis, en que ψ es la latitud geográfica y Ω es la velocidad angular de rotación de la
tierra = 7.292 × 10 -5 radianes / segundo.
79

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
_____________________________________________________________________________
CAPITULO 3
CINEMATICA Y DINAMICA DE LA CIRCULACION Y DE LA DISPERSION
81

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
82

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
OBJETIVOS DEL CAPITULO: Establecer las ecuaciones de la hidrodinámica y del transporte
de materia en las lagunas costeras. Obtener su solución para advección, difusión molecular y turbulenta,
y dispersión, en dimensiones longitudinal, transversal y vertical. Aplicar estos resultados a casos reales
de dispersión de contaminantes y renovación del agua, determinando escalas espaciales y temporales,
para diferentes tipos de inyección.
3.1 Ecuación de Continuidad
Si se considera que la masa en un volumen de fluido es una propiedad conservativa, entonces: la
masa que entra menos la masa que sale (del citado volumen) es igual a la variación interna de la masa;
es decir que no puede crearse ni destruirse masa en el interior del volumen.
En un volumen V encerrado por una superficie exterior S, la masa/unidad de tiempo que sale o
entra con velocidad v en dirección x, a través de un elemento de area dS normal a n, (si la densidad ρ es
constante), es:
r
dV dx r
ρ = ρnˆ
• dS = ρv
• ndS ˆ
(3.1)
dt dt
La igualación de esta variación de masa/unidad de tiempo, integrada a través de toda la
superficie S, con la tasa de variación interna de masa dentro del volumen V:
dm
dt
∂
= −
∂t
∫
V
ρ dV
(3.2)
es la ecuación de continuidad:
3.1.1 Flujo Estacionario
∫
S
r ∂
ρv
• ndS ˆ = −
∂t
∫
V
ρdV
(3.3)
Un río o una laguna costera larga y angosta, sin presencia de mareas o en situación promedio de
un ciclo mareal, puede representarse por un canal unidimensional (según x) cuya superficie libre del
agua no cambia su posición vertical en el tiempo (“y” es independiente de t), y en que la diferencia entre
volúmenes que salen y que entran/ unidad de tiempo es nula, reduciéndose la ecuación de continuidad
(3.3) a:
r
ρ v • nˆ dS = 0
(3.4)
∫
S
Si no hay evaporación por la superficie libre, las únicas áreas por las que puede salir o entrar
fluido son las de las secciones transversales A1 y A2 (Figura 3.1), implicando la ecuación (3.4) que
v1dA1
− v2dA2
0 , y si v
1
y v
2
son los valores medios seccionales (independientes de A1 y A2 ):
∫ ∫ =
vA = vA Q
(3.5)
1 1 2 2
=
83

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
siendo Q, por definición, la descarga, flujo, o gasto que, en este caso, es uniforme a lo largo de las
sucesivas secciones transversales del canal.
Fig. 3.1 Canal unidimensional
Si un canal principal de una laguna costera, en que la descarga es Q1, se ramifica en afluentes o
efluentes de descargas Q2, Q3, Q4, etc. y el nivel de las superficies libres de todos ellos no cambia en el
tiempo, entonces Q1 = Q2 + Q3 + Q4 + etc. ó v 1 A1 = v 2 A2 + v 3 A3 + v 4 A4 + etc.
3.1.2 Flujo No-Estacionario
Si en el canal anterior, la posición vertical de la superficie libre cambia en el tiempo (i.e.: con la
marea): y = f(t) y Q1 ≠ Q2 (en la Figura 3.1).
El primer término de la ecuación de continuidad (3.3) es equivalente, según el Teorema de
Gauss, a:
r
r
ρv
• ndS ˆ = ∇ • ( ρv)
dV
(3.6)
∫
S
∫
V
y el segundo, según la Regla de Leibnitz, a:
∂
∫ ∂ρ ∂V
ρdV
= ∫ dV ρ
∂t V V ∂t
+
(3.7)
∂t
substituyendo (3.6) y (3.7) en (3.3), simplificando ρ que es constante en el tiempo, expresando
dV = B∆x dy, siendo B el ancho de las secciones transversales que no varía mucho con y, y si y es
solamente función de x y t, por lo que:
dy
dt
∂y
= +
∂t
dx
dt
∂y
∂x
la ecuación resultante se integra en una dimensión, quedando:
∂ν ∂
∂ ∂ ν ∂ x y + y y
x
+ ∂t
=0 (3.9)
o equivalentemente:
(3.8)
∂ν ( y)
∂y
+ =0 ó
∂x
∂t
∂q
∂y
+ =0 ó
∂x
∂t
∂Q
∂
∂x
+ B y ∂t
=0 (3.10)
84

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
siendo por definición, para un canal de secciones aproximadamente rectangulares, la descarga
entre unidad de ancho q = Q/B = vy, porque Q = Av ≈ Byv
La relación (3.10) puede expresarse en diferencias finitas, para usarla en modelación numérica
(ver Capítulo 4), como:
Q
x
− Q
− x
+ B y
t
− y
x x t t
2 1 2 1
− t
2 1 2 1
= 0
(3.11)
Es decir que, la variación de la descarga a lo largo del canal o la diferencia entre el volumen que
entra y sale se compensa con la variación temporal de volumen debida a la variación de altura de la
superficie libre.
3.1.2.1 Modelo para Evaluación de Velocidades
En el caso real de una laguna costera de batimetría irregular, la ecuación de continuidad
no-estacionaria permite obtener en primera aproximación las velocidades de las corrientes en su interior,
bastando conocer solamente la batimetría y las características de la ola de marea (por predicción
armónica o mediciones). Eventualmente puede requerirse la evaporación y/o las descargas de ríos.
Sea un segmento de longitud ∆x entre dos secciones transversales posicionadas en x y x 1 2 de una
laguna costera, que experimenta un ascenso o descenso ∆y (entre y y y 1 2 ) de la superficie libre del agua
en un intervalo de tiempo ∆t (entre t y t 1 2 ) por efecto de la marea (Figura 3.2).
Fig. 3.2 Segmento de laguna costera de batimetría irregular
Si la longitud ∆x del segmento es suficientemente corta como para que el ancho B sea
aproximadamente uniforme, la ecuación de continuidad (3.11) puede expresarse como:
85

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
∆Q Q Q B y y t
−
=
x
−
x
= −
2 1
t − t
t
2 1
2 1
∆V
∆ x =−
(3.12)
∆t
siendo ∆V la variación de volumen de agua experimentada en el segmento en el intervalo ∆t .
La velocidad media v 2
, a través de la sección transversal situada en x 2
, es:
Qx
⎛ ∆ ⎞
= = −
1 V
υ 2 2 ⎜ − Qx
⎟
(3.13)
1
A A ⎝ ∆t
⎠
v
2
es la velocidad media en la sección transversal, promediada durante el intervalo ∆t y A es el
área media de la sección transversal durante el intervalo ∆t mientras el agua baja o sube por efecto de la
marea.
La descarga Q puede:
x 1
a) ser la descarga de un río, si la posición x 1
estuarina,
coincide con la cabeza de una laguna costera
b) ser nula, si la posición x 1 coincide con la cabeza de una laguna costera no-estuarina,
c) ser la descarga proveniente de un segmento aguas arriba, si la posición x 1 es intermedia entre 2
segmentos,
d) ser la diferencia entre cualquiera de las descargas de los casos anteriores menos la descarga
evaporada Q E en el segmento
En todo caso, Q
x 1
debe conocerse como dato inicial antes de efectuar las computaciones. Puede
determinarse:
a) en el caso a), mediante información estadística estacional o mediciones con un flujómetro en el
río,
b) en el caso c), como la descarga de salida ya computada en una etapa anterior para el segmento
aguas arriba, es decir Q
x 1
(del segmento actual) = Q
x 2
(del segmento anterior aguas arrriba), y
c) en el caso d) mediante información estadística estacional, mediciones con un evaporímetro, o
evaluación con la ecuación (2.52) midiendo variables meteorológicas y oceanográficas (ver
Sección 2.3.1.1).
En consecuencia, las computaciones deben iniciarse siempre para el segmento adyacente a la
cabeza de la laguna, continuando sucesivamente para los segmentos contiguos aguas abajo, hasta llegar
a la boca.
El procedimiento para efectuar las computaciones consta de las siguientes etapas:
I) Elegir inicialmente en forma arbitraria t 1 y t 2 , pero condicionados a determinar un intervalo
∆t = t −t
suficientemente pequeño para los propósitos resolutivos de la evaluación;
1 2
86

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
II) De la curva de predicciones o mediciones de marea (Figura 3.3), determinar y 1 y y 2
correspondientes a los t 1 y t 2 elegidos;
III) De la curva planimétrica (Figura 3.3) obtener ∆ V = Sdy midiendo el área bajo la curva
entre y1 y y 2 (la curva planimétrica se obtiene graficando la superficie horizontal superior (S) del
segmento para cada profundidad (y) proveniente de mediciones directas en la carta batimétrica);
y
2
∫
y
1
Fig. 3.3 Curvas de: A) marea, B) planimetría, y C) anchos superficiales
IV) De la curva de anchos superficiales (B) vs profundidades (y) (Figura 3.3), que se obtiene
también de mediciones directas en la carta batimétrica, evaluar
entre el origen y el valor promedio de y 1 y y 2 ;
A =
y
∫
0
Bdy
como el área bajo la curva
V) Introducir los valores obtenidos en I), III), y IV) y un valor adecuado de Q en la ecuación
(3.13) para obtener
v
2
;
VI) Repetir iterativamente las etapas I) a la V) para pares sucesivos de valores de y 1 y y 2 hasta
cubrir todo el tramo de curva de marea que se desee; y
VII) Aplicar el procedimiento sucesivamente para los segmentos siguientes adyacentes aguas
abajo hasta llegar a la boca.
x 1
Limitaciones del modelo:
i) Considera solamente velocidades por transporte advectivo (corrientes) no incluyendo difusión
turbulenta (mezcla, remolinos); y no entrega distribución de velocidades para distintas zonas de la
sección transversal;
87

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
ii) Considera la fluctuación vertical de la superficie libre (ola de marea) uniforme y simultánea a
lo largo del segmento ∆x, y no incluye reflexiones ni amortiguaciones por fricción; y
iii) El transporte es en una sola dirección (longitudinal) no existiendo capas con perfil variable
de velocidad por estratificación vertical.
3.2 Conservación de la Energía (Estacionaria y No-Estacionaria)
En mecánica de sólidos, la segunda ley de Newton: Fuerza = masa × aceleración se integra
espacialmente (respecto de ds) para obtener la ecuación de la energía:
∫
dv
= ∫ = ∫ = ∫ = ∫ =
1 2
Fds mads m ads m ds m vdv m(
v −
2
2
v1
) (3.14)
dt
2
trabajo = variación de la energía cinética
Similarmente en mecánica de fluidos, sea en este caso un volumen rectangular de fluido ∆V =
yb∆x , de masa ∆m , moviéndose en dirección x hacia abajo en un canal inclinado en un ángulo θ
(Figura 3.4).
2
1
Fig. 3.4 Volumen de fluido en canal inclinado
Despreciando la fricción, las fuerzas actuantes son: la causada por el gradiente de presión ∇p en la
dirección del movimiento
y la componente del peso según x
∂p
∂x by∆ x
(3.15)
∂
∆m gsen θ=
ρgby∆xsen θ= -ρgby∆ x z (3.16)
∂x
88

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
(el signo - del último término proviene de ser el eje z positivo hacia arriba y el peso positivo
hacia abajo, o bien, que ∂z = -∂x senθ dada la ubicación de los orígenes de referencia de z y de x).
La segunda Ley de Newton considerando estas fuerzas, y que el gradiente de presión actúa en
sentido contrario al movimiento, queda:
∂p
∂z
− by∆x
− ρgby∆x
∂x
∂x
= ρ bya∆x
(3.17)
Si la densidad es constante y la presión es la hidrostática p = ρgy (es decir, que no hay
curvaturas verticales ni pendientes exageradas en el canal), introduciendo la expresión de la aceleración
dv
a = v
dt
= ∂
t
+v ∂ v
∂ ∂ x
(3.18)
e integrando la ecuación respecto a x, y simplificándola por ρgby∆x (es decir, reduciéndola a
dimensión longitud) se expresa como la ecuación no-estacionaria de conservación de la energía:
2
v l ∂v
y + z + + ∫ dx = constante
2g
g ∂t
(3.19)
que si ∂ v / ∂ t = 0, se reduce a la ecuación estacionaria de conservación de la energía:
2
v
y + z + 2g
= constante = H (Bernoulli) (3.20)
denominándose H la Energía Total.
Las lagunas costeras se comportan estacionariamente en intervalos cortos de tiempo (∼ 1 hora)
en pleamar y bajamar, o para valores medios en el ciclo mareal, pudiendo en estas situaciones aplicarse
la ecuación de Bernoulli.
Si hay pérdida de energía por fricción entre 2 estaciones (1 y 2) se puede evaluar graficamente
una corrección copiando verticalmente trazos de longitud igual al valor numérico de los términos de la
ecuación (3.20) en las posiciones de cada una de las estaciones, como se ilustra en la Figura 3.5.
Nótese que la coordenada z se mide verticalmente hacia arriba desde el nivel de una linea de
referencia horizontal situada arbitrariamente (datum) hasta el fondo del canal; y la coordenada y
(profundidad) también verticalmente hacia arriba pero desde el fondo del canal hasta el nivel de la
superficie libre del fluido.
89

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Fig. 3.5 Representación gráfica de la ecuación de Bernoulli, con y sin pérdida por fricción
Si no hay pérdidas de energía, la línea de energía total debe ser paralela a la línea de referencia
horizontal, cumpliéndose:
y
2
2
v1
v2
+ z + = y2 + z2
+ (3.21)
2g
2g
1 1
Si hay pérdidas de energía por fricción, la línea de energía total tiene pendiente no nula con respecto a la
línea de referencia horizontal y:
y
2
2
v
v2
+ z + = y2 + z2
+ + h f
(3.22)
2g
2g
1 1
1
Correspondiendo la longitud del trazo hf al valor de esta pérdida de energía.
También puede determinarse la pérdida de velocidad debida a la fricción si se conoce el
coeficiente de Chèzy, la razón hidráulica y la pendiente del fondo, mediante la ecuación v 2 = C 2 RS (ver
2.69).
3.2.1 Energía Específica
La energía con respecto al fondo del canal, en una sección transversal de área A, se denomina
Energía Específica (E):
2 2
2
2
v Q Q q
E = y+ = y + = y + = y +
2
2 2
2g
2gA
2gT y 2gy
2
(3.23)
90

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
si T es el ancho de la sección, aproximadamente rectangular, tal que A ≈ Ty, y q = vy = Q/T es
la descarga entre unidad de ancho.
En consecuencia, E es función de Q, T, y y, o equivalentemente, solo de q y y.
3.2.2 Transiciones (Flujo Subcrítico, Crítico, y Supercrítico)
Una transición es un cambio gradual o abrupto ∆z en la profundidad del fondo de un canal.
Fig. 3.6 Transición de flujo estacionario en canal con levantamiento de fondo.
Si el ancho T del canal no varía, y la situación es estacionaria (Q es uniforme a lo largo del
canal), la descarga entre unidad de ancho q = Q/T permanece constante al pasar el fluido por la
transición. Si adicionalmente no hay pérdidas por fricción, la energía total H se conserva entre las
estaciones 1 y 2, antes y después de la transición (Figura 3.6):
2
2
q q
H = y1
+ = y + + z
2 2
∆ ó H = E
2
1
= E2
+ ∆z
(3.24)
2gy
2gy
1
2
La dependencia funcional de E con y y q (ecuación 3.23) se representa graficamente como una
familia de curvas de q = constante en el espacio bidimensional E vs y, asintóticas a y = 0 y a y = E
(Figura 3.7).
Para un par de valores E 1 (inicial) y E 2 (final), la transición puede ocurrir opcionalmente a lo
largo de la rama superior o de la rama inferior de una curva q = constante. Si el fondo sube de nivel
( ∆z > 0 ; E < E ) la transición puede ser de los puntos A → B ó A' → B'
2 1
Por ser q = vy = constante en la curva, la rama superior se denomina de flujo profundo y lento
("y" grandes y por ende "v" pequeñas) o subcrítico, y la rama inferior de flujo superficial y rápido ("y"
pequeñas y por ende "v" grandes) o supercrítico.
91

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Fig. 3.7 Energía específica en función de la descarga y de la profundidad
Si la transición de ∆ z > O ocurre en la rama subcrítica (A → B), "y" disminuye y "v" aumenta ;
y si ocurre en la rama supercrítica (A' → B'), "y" aumenta y "v" disminuye. Como la linea de energía
total permanece horizontal (porque H se conserva), lo anterior significa que la superficie libre del fluido
desciende al pasar por la transición de ∆ z > 0 en el primer caso, y asciende en el segundo caso (Figura
3.8).
Fig. 3.8 Transiciones subcrítica y supercrítica con ascenso y descenso del fondo
Si la transición es un descenso del fondo ( ∆ z < 0; E
2
> E
1
) los resultados son los inversos de
los anteriores, como se ilustra en las Figuras 3.7 y 3.8 para trayectos A → D ó A' → D'
Para una transición estacionaria con q constante, el ascenso ∆ z del fondo está limitado a un
valor máximo que conduce a un estado final de flujo crítico (punto C en la Figura 3.7), que define
92

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
valores de profundidad crítica y C , energía específica crítica E C , y velocidad crítica v C . Si se continúa
levantando el fondo mas allá de este punto, el régimen se altera cambiando a un valor menor de q.
Una secuencia ascenso-descenso del fondo, con profundidad crítica intermedia, y si q permanece
constante, permite transitar gradualmente de flujo subcrítico a supercrítico B → C → B', o viceversa B'
→ C → B (Figura 3.9). Una transición abrupta de flujo supercrítico a subcrítico B' → B con q constante
sin paso intermedio por flujo crítico, y sin variar la profundidad del fondo ( ∆ z = O ) es posible con
pérdida de energía (Salto Hidráulico, Sección 3.3), no así la situación inversa.
Fig. 3.9 Tránsito gradual de flujo subcrítico a supercrítico y viceversa
Flujo crítico es el flujo de E mínima para una q constante (Figura 3.7). Por ende, su condición de
existencia está determinada por una primera derivada nula de la ecuación de E con respecto a y (3.23):
o bien,
dE
dy
2
q
= l − = 0 (3.25)
3
gy
q
2 3
= gy c
ó v 2 = c
gy c
ó v g y
(3.26)
c
=
c
que coincide con la expresión de la velocidad de propagación de una ola superficial en una
profundidad y c .
Por ende, en un flujo subcrítico ( v < gy ) una ola puede propagarse aguas arriba contra la
corriente, en uno crítico ( v = gy ) una ola permanece estacionaria en reposo sobre la corriente, y en
93

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
uno supercrítico ( v > gy ) una ola no puede propagarse aguas arriba contra la corriente. Este análisis
es determinante en la condición para formación de olas de bore en las bocas de lagunas costeras
estuarinas (Sección 3.3.2).
Por definición del número de Froude (Henderson,1966):
v
F = r
gy
(3.27)
éste será menor, igual o mayor que uno, según que el flujo sea subcrítico, crítico, o supercrítico,
respectivamente.
Según la expresión (3.26):
2
v / 2g
=
c
y c
/ 2
, entonces
E
c
2
vc
3
= yc
+ =
2g
2
y
c
(3.28)
Es decir que la recta E c
= 3y
c
/ 2 es el Lugar Geométrico de los puntos críticos de todas las
curvas de q constante en la gráfica de y vs. E (Figura 3.7)
3.2.3 Contracciones y Ensanches
Una contracción o un ensanche es un cambio gradual o abrupto ∆T en el ancho de un canal.
Si la profundidad del fondo no varia ∆z = 0 , la Energía Específica E permanece constante al
pasar el fluido por la contracción, y aunque la situación sea estacionaria (Q uniforme), q = Q / T varia
funcionalmente con y según la expresión (3.23).
Graficamente, las especificaciones anteriores corresponden al tránsito entre puntos de las rectas
B-B' o A-A' (de valor E constante), en sentido vertical:
a) desde arriba hacia abajo (y disminuye: descenso de la superficie libre): {q aumenta ⇒ T disminuye
(contracción) si el flujo es subcrítico} ó {q disminuye ⇒ T aumenta (ensanche) si el flujo es
supercrítico}; y viceversa,
b) desde abajo hacia arriba (y aumenta: ascenso de la superficie libre) : {q aumenta ⇒ T disminuye
(contracción) si el flujo es supercrítico} ó {q disminuye ⇒ T aumenta (ensanche) si el flujo es
subcrítico}.
La recta vertical de tránsito E = constante es tangente a solamente una curva de q = constante (
en su punto de flujo crítico precisamente) que corresponde al máximo valor de q posible para ese
tránsito (ensanche o contracción).
Por ende, el flujo crítico es aquel de máximo q posible para E constante.
94

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
3.2.4 Distribución de Velocidades en Cortes Seccionales
Por ser el agua un fluido viscoso, y haber fricción en las fronteras externas y esfuerzo de viento
en la superficie, existe la capa límite (Sección 2.7); y la magnitud del vector velocidad en cada sección
transversal de una laguna costera varía horizontal y verticalmenmte dentro de la sección, disminuyendo
hacia el fondo, las paredes y la superficie. La distribución de velocidades en una sección transversal
depende de la forma geométrica del contorno y la naturaleza del fondo y de las paredes. La Figura 3.10
muestra algunas distribuciones de velocidades típicas para formas geométricas habituales de secciones
transversales en lagunas costeras, para flujo no-estratificado y sin presencia de viento.
Fig. 3.10 Distribuciones de velocidad en secciones transversales típicas, según Chow.
Si existe homogeneidad vertical y transversal, la velocidad máxima ocurre al centro cerca de la
superficie, entre 0.05 y 0.25 de la profundidad máxima. En canales rectangulares muy anchos, la
distribución de velocidad en la parte central no es afectada por la posición de las paredes laterales si el
ancho es mayor en 5 o mas veces la profundidad.
El procedimiento standard para determinar empiricamente la velocidad media en una sección
transversal vertical y horizontalmente no-estratificada de una laguna costera, efectuando mediciones con
correntímetro, es el siguiente (Chow, 1959):
1.- dividir la sección transversal del canal en varias columnas verticales según la precisión deseada;
2.- medir en cada una de las columnas verticales la velocidad de la corriente a 0.2 y 0.8 de la
profundidad total;
3.- promediar las dos velocidades anteriores para cada columna y multiplicar por el área de la columna,
obteniendo la descarga promedio en cada una de ellas:
Q
i
=
v
+ v
02 . 08 .
2
A
(3.29)
i
4.- sumar todas las descargas, obteniendo la descarga total Q en la sección; y
5.- dividir entre el área total A de la sección, obteniendo así la velocidad media:
95

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Q Qi
i
v = = Σ (3.30)
A A
Este método puede ser lento y poco preciso si se dispone de pocos correntímetros y la sección
transversal es muy extensa o profunda, como para que las mediciones de velocidades sean sinópticas
(simultáneas) si el tiempo empleado es muy grande respecto al lapso de ascenso o descenso de la marea.
En secciones transversales de lagunas costeras con estratificaciones vertical u horizontal puede
emplearse el método que se describe en la Sección 3.5, en sustitución del presente.
3.2.5 Método de Medición de Velocidades por Arrastre
Todo objeto sumergido en un fluido que se mueve respecto a él experimenta una fuerza en el
sentido del movimiento relativo, denominada fuerza de arrastre, producida por las componentes
paralelas a la dirección del movimiento del esfuerzo de presión y el esfuerzo viscoso actuando sobre la
superficie de contacto fluido-objeto (White, 1974).
Adicionalmente, si el movimiento relativo es acelerado, se generan fuerzas inerciales.
La fuerza de arrastre depende de la forma geométrica del objeto, su tamaño, la naturaleza de su
superficie (lisa o rugosa), la velocidad relativa fluido-objeto, y la densidad o la viscosidad del fluido.
Stokes determinó empiricamente en 1860 esta dependencia para casos muy viscoso (número de
Reynolds pequeño) y poco viscoso (número de Reynolds grande):
−
F = C vµ L para R < 10 3
ar D e
(3.31a)
Far = 1 CDv 2 ρ A para Re
>10 3
2
(3.31b)
siendo: L la longitud característica del objeto (en órdenes de magnitud), A el área frontal
(proyección del área del objeto que enfrenta perpendicularmente al fluido, y no la tangencial porque en
el caso poco viscoso el esfuerzo viscoso es mucho menor que el esfuerzo de presión), v la componente
de la velocidad fluido-objeto en la dirección del movimiento relativo, ρ la densidad del fluido, µ la
viscosidad dinámica del fluido, C D el coeficiente de arrastre, y R e el número de Reynoldsque es por
definición:
vL
R = e
ν
(3.32)
−2
siendo ν = µ / ρ la viscosidad cinemática ≈10 cm 2 / s, para el agua de mar.
En las lagunas costeras, las velocidades típicas de las corrientes advectivas son ≈ 10 a 100 cm / s,
de modo que R e ≈ (10 3 a 4
10 ) L(cm); y por ende, para objetos de orden de magnitud mayor a L = 1 cm
en tamaño, que es lo mas habitual, se está en el caso poco viscoso, y rige la expresión (3.31b) para
96

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
calcular la fuerza de arrastre. Excepcionalmente, para velocidades u objetos muy pequeños, rige la
expresión (3.31a).
El coeficiente de arrastre C D depende de la forma geométrica, las dimensiones, y la naturaleza de la
superficie del objeto, y del número de Reynolds.
Para una lámina rectangular lisa de dimensión relativa largo/ancho = 1, 5, 20, ó ∞, el coeficiente
de arrastre C D = 1.16, 1.20, 1.50, ó 1.95 respectivamente, para el rango de número de Reynolds R e de
10 3 a 10 7 .
La Figura 3.11 muestra graficamente la dependencia del coeficiente de arrastre con el número de
Reynolds para cilindros o esferas lisas, y láminas rectangulares lisas.
Fig. 3.11 Dependencia de C D con R e para: A) cilindros o esferas lisas, y B) láminas rectangulares
lisas.
La constancia de C D en un rango grande del número de Reynolds para las láminas rectangulares,
determina que se elija esta forma geométrica, en vez de cilindros o esferas para el dispositivo de
medición de corrientes en lagunas costeras, en que el rango de velocidades fluctúa ampliamente con la
marea.
Este dispositivo consiste en una cruceta de perfil rectangular simétrica, suspendida con un cabo
de un mástil de la embarcación, y con pesos adicionales convenientes para que se introduzca y sumerja
en el agua cuya velocidad de corriente se desea medir (Figura 3.12).
Una vez logrado el equilibrio entre las componentes horizontales y verticales del peso Mg, la
tensión T del cabo, y la fuerza de arrastre de la corriente F ar :
Far = Tsenθ y Mg = Tcosθ (3.33)
dividiendo término a término la primera expresión entre la segunda (con lo que se elimina T), y
substituyendo la expresión (3.31b) para la fuerza de arrastre, se despeja finalmente la velocidad
Mgtg
v = 2 θ
C ρA
D
(3.34)
97

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
A, C D , ρ, y el peso sumergido (no en seco) Mg se determinan o conocen previo a las mediciones
y permanecen constantes, de modo que la velocidad v es sólo función del ángulo θ del cabo con la
vertical, que es la única variable a medir.
Fig. 3.12 Cruceta y frasco con gelatina para medir velocidades de corrientes
La dirección de la corriente se puede determinar visualmente con una brújula que mida la
desviación del plano cabo-mástil.
El método permite medir directamente en superficie y hasta aproximadamente 20 metros de
profundidad sin efectuar correcciones por el ángulo de curvatura del cabo y su longitud vertical. Es
relativamente barato, rápido y simple, y es útil en mediciones en lagunas costeras someras desde
embarcaciones menores. Su precisión es de 5 % a 10 %. Desventaja: no entrega registros continuos, sólo
datos puntuales. Pritchard y Burt (1951) describen detalladamente su metodología de aplicación.
Una versión mas versátil y actualizada del dispositivo consiste en un frasco pequeño conteniendo
una gelatina que permanece líquida a la temperatura de ebullición del agua, pero se solidifica a las
temperaturas típicas del agua de mar. Los frascos permanecen en agua en ebullición al baño-maría a
bordo de la embarcación, hasta que son atados al cabo que se sumerge, tardando algunos minutos en
enfriarse y solidificarse la gelatina a la temperatura del agua de mar que la rodea, quedando su superficie
horizontal sólida inclinada a un ángulo (90 - θ) con respecto al eje vertical del frasco que experimenta la
fuerza de arrastre de la corriente a esa profundidad (Figura 3.12). El ángulo θ se mide con comodidad
abordo una vez recuperados los frascos. Una brújula inserta en un corcho que flota en la gelatina permite
determinar la dirección de la corriente una vez que ésta se solidifica. Los frascos son utilizables
indefinidamente licuando cada nueva vez la gelatina. Es posible obtener perfiles verticales de velocidad
suspendiendo varios frascos a distintas profundidades en un mismo cabo; se los fabrica en versiones
para soportar presiones altas en mar profunda.
98

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
3.3. Conservación del Momentum
En mecánica clásica de sólidos, la transferencia o conservación del momentum se expresa como:
“variación del momentum mv = impulso de las fuerzas aplicadas”, o:
∆( mv)
= ∑ F ∆t
(3.35)
Para un elemento de fluído de masa m = ρ∆V
= ρA∆x
que circula con velocidad v =∆x / ∆t
y
descarga Q = Av por el canal de una laguna costera; sustituyendo estas expresiones en la ecuación
(3.35), y considerando el tránsito entre dos secciones consecutivas 1 y 2:
( ρQv) 2
− ( ρQv)
1
=∑ F
(3.36)
3.3.1 Salto Hidráulico Estacionario
Si en un canal de fondo horizontal ( ∆z = 0 ) y ancho constante T, es decir sin transiciones ni
contracciones o ensanches, coexisten en una región 2 secciones transversales con profundidad de flujo y 1
y y 2 diferentes, con flujo incidente supercrítico y emergente subcrítico, en la zona intermedia se genera
un cambio de nivel abrupto con turbulencia y disipación de energía, denominado "salto hidráulico"
(Figura 3.13).
Fig. 3.13 Salto hidráulico estacionario
En situación estacionaria (Q uniforme) la posición horizontal del salto no cambia; y en situación
no-estacionaria ( Q desuniforme) migra aguas abajo o aguas arriba, denominándose bore para el segundo
caso.
La única fuerza horizontal, si no se considera fricción, es la debida al gradiente de presión
hidrostática ∇ρgy actuando en dirección contraria al movimiento, de modo que si el ancho T no varía
mucho con la profundidad:
∑
F
=
1
∫
2
1
1 2 2
ρ gydA = ∫ ρgyTdy
= Tρg(
y1
− y2
)
(3.37)
2
2
99

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Sustituyendo esta expresión en la ecuación (3.36), reemplazando Q = qT = constante para salto
estacionario, y expresando las velocidades en función de q y de las profundidades "y" respectivas, la
ecuación de conservación de momentum queda:
2
q
gy
1
2 2 2
y1
q y2
+ = + (3.38)
2 gy 2
denominándose indistintamente al término de la derecha o al de la izquierda función momentum
M, indicando la ecuación anterior que esta función se conserva en el salto hidráulico estacionario.
2 2 2 2 2 2
Sustituyendo alternativamente q = v1y1
o q = v2y2
en la ecuación (3.38), reordenando los
términos y resolviendo las ecuaciones de segundo grado para y2 ó y 1 :
2
⎛
2
y
⎞
1 ⎜ 8v1
y = 1+
−1⎟
2
y
2 ⎜ ⎟
⎝
gy1
⎠
⎛
2
y
⎞
2 ⎜ 8v2
y = 1+
−1⎟
1
(3.39)
2 ⎜
⎟
⎝
gy2
⎠
llamadas ecuaciones del salto hidráulico estacionario que permiten conocer y 2 ó y 1 si se conocen
las condiciones del flujo aguas arriba (v 1, y 1 ) o aguas abajo (v 2, y 2 ) del salto, respectivamente.
y 2 y y 1 se denominan profundidades conjugadas y el valor de una cualesquiera de las dos
determina univocamente el de la otra, es decir, una vez establecidas las condiciones del régimen de flujo
aguas arriba o aguas abajo sus contrapartes en el otro extremo del salto estacionario son únicas (no hay
multiplicidad de saltos estacionarios posibles para una condición de flujo incidente o emergente ya
determinada).
La representación gráfica de q constante en un espacio de coordenadas y vs. M, según la
dependencia entre q, y, y M establecida en el término de la izquierda o de la derecha de la ecuación
(3.38), muestra (Figura 3.14) curvas con una rama superior para flujo subcrítico y otra inferior para
supercrítico, esta última asintótica al eje y = 0, y un punto de mínima M posible, para el flujo crítico;
siendo esto demostrable analíticamente.
Por ende, el flujo crítico es aquel que para una q constante tiene la mínima M posible, y para una
M constante tiene la máxima q posible.
Los puntos correspondientes al estado inicial (flujo incidente) y final (flujo emergente) para un
salto hidráulico estacionario, se sitúan sobre la curva de q constante, en una recta vertical de M
constante, y con absisas y 2 y y 1 (profundidades conjugadas).
100

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
Fig. 3.14 Función momentum M y energía específica E para q constante en un salto hidráulico
estacionario.
Situando paralelamente las gráficas, a la misma escala en ejes verticales "y", de y vs. M y de y
vs. E de una misma curva de q constante (Figura 3.14), es posible determinar graficamente la pérdida de
energía específica ∆E en un salto hidráulico estacionario, si trasladamos las absisas y 2 y y 1 (determinadas
en la primera gráfica al cortar la curva q constante con la recta vertical de M constante correspondiente)
de la primera a la segunda gráfica (en que cortarán la curva q constante en las ordenadas de E1 y E2
correspondientes, tal que ∆E = E 1− E 2
). Nótese que esta ∆E no puede asociarse fisicamente con una
variación de la profundidad del fondo ∆z, inexistente en el salto, ni analiticamente, porque la
conservación de la energía (ecuación 3.21) no rige.
En las transiciones, y contracciones o ensanches, la función momentum M no se conserva porque
actúa una fuerza externa sobre el flujo producida por la variación de profundidad del fondo o del ancho
del canal, respectivamente.
3.3.2 Salto Hidráulico No-Estacionario (El Bore)
Si en un salto hidráulico estacionario ya existente, se hacen variar las condiciones del flujo
incidente o del emergente (variables v y/o y) de modo que los valores de las profundidades respectivas
ya no correspondan a los de las conjugadas y 2 y y 1 relacionadas entre si por las ecuaciones (3.39), el
salto se torna no-estacionario propagándose aguas arriba o aguas abajo. Esto ocurre porque la nueva
velocidad "v 1 " del flujo en la zona inmediata aguas arriba del salto adopta un valor menor o mayor que
el de la velocidad de fase de una onda superficial (frente del salto) propagándose en la nueva
profundidad y 1 ( gy 1
).
Al fenómeno de ocurrencia de este salto hidráulico no estacionario propagándose aguas arriba en
las zonas vecinas a la boca de algunas lagunas costeras estuarinas, alcanzando a veces alturas
espectaculares, se le denomina bore.
La palabra bore se ha traducido erroneamente al español como "ola de marea", analogamente
como la palabra japonesa tsunami (en español maremoto) se ha traducido al inglés como "tidal wave".
Ni el bore ni el tsunami son olas de marea. Algunos frentes de onda de tsunamis, pero no todos, suelen
propagarse hacia el interior como bores en las playas y en las bocas de lagunas costeras.
101

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Puede demostrarse (Officer, 1976) que la velocidad de propagación "C" del frente de onda de un
bore es:
gy
C = 2
(
y y + y v
1 2) − 1
(3.40)
2
1
Las etapas necesarias para la formación de un bore en la zona de la boca de una laguna costera
son, secuencialmente:
a) existencia de pendiente del fondo acentuada cerca de la boca;
b) ocurrencia de nivel de bajamar exageradamente bajo, por ejemplo durante el descenso de
mareas de sicigia (vivas) mas extremas del año;
{a) y b) son las condiciones iniciales que generan un flujo vaciante supercrítico (rápido y
superficial) del agua de la laguna hacia un océano adyacente con flujo subcrítico (lento y
profundo)}
c) ascenso paulatino de la marea , con profundidades y 2 en aumento en el océano adyacente tales
que inicialmente gy 2
sea menor que la velocidad del flujo supercrítico v 1 emergente por la
boca de la laguna, lo que origina un apilamiento y frente de onda en su acceso, no pudiendo
propagarse hacia su interior; y
d) continuación del ascenso de la marea hasta que gy 2
= v 1
y finalmente gy 2
>
propagándose el frente de onda del bore hacia el interior de la laguna.
v 1
Algunos ejemplos de los escasos bores observados en el mundo:
Estuario País altura y(m) C (km / hora)
Severn Inglaterra 2 12.9
Trento Inglaterra 1.5 20.9
Sena Francia 7 24.2
Petitcodiak Canadá 3 ---
Amazonas Brasil 5 35.4
Chien Tang Kiang China 7 16.1 (embarcaciones lo han
surfeado)
3.4 Modelos Analíticos Puramente Advectivos
102

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
3.4.1 Ecuación de Transporte Advectivo de Sal
La ecuación 1.7 (Sección 1.4.1.3.8), para transporte unidimensional longitudinal (según x), en
condición estacionaria (ecuación 3.13) para transporte medio en el ciclo de marea, sin términos de
difusión molecular o turbulenta, y expresando las velocidades "v" en términos de las respectivas
descargas "Q", se reduce a:
∂( QS)
= 0 ó QS = constante ó Q1S1 = Q2S2 = Q3S3
= etc. (3.41)
∂x
para secciones transversales consecutivas 1, 2, 3, etc.; denominándose Ecuación Estacionaria de
Transporte Advectivo Unidimensional de Sal.
3.4.2 Unidimensional Estratificado (Teorema de Knudsen)
Si se considera a una laguna costera estratificada ( estuarina A o B ó no estuarina α o γ ) como
una caja unidimensional en que entran y salen volúmenes de agua y sal estacionarios medios (netos) en
el ciclo de marea en 2 estratos verticales, sin considerar la naturaleza de la mezcla interior (Figura 3.15),
las ecuaciones de continuidad (3.5) y transporte de sal (3.41) en la sección de la boca:
Q2 - Q4 = R ó Q2 - Q4 = - Q E y Q2 S2 - Q4 S4 = O (3.42)
Fig. 3.15 Lagunas costeras estratificadas estuarina y no-estuarina
permiten obtener las descargas de entrada o salida en cada capa (dificilmente medibles), en
función de las descargas del río o evaporadas y las salinidades (mas facilmente medibles o
determinables):
Q
4
RS2
=
S − S
4 2
y RS4
Q2
=
S − S
o Q QS
E 2
QS
E 4
Q
S S
S S
(3.43a)
4
= y
2
=
−
−
4 2
4 2
4 2
En vez de la sección de la boca de la laguna, puede considerarse otra sección intermedia
cualesquiera (Figura 3.15):
Q
3
RS1
=
S − S
3 1
RS3
QS
E 1
QS
E 3
y Q1
= o Q3
=− y Q1
=
(3.43b)
S − S
S − S
S − S
3 1
3 1
3 1
Resultado conocido como Teorema Hidrográfico de Knudsen
103

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Con frecuencia en la literatura científica estos resultados se expresan en función de volúmenes
V/ciclo de marea en vez de descargas Q, y con la siguiente nomenclatura sustitutiva:
→ V , Q → V , Q → V óV , Q → V óV S
,
R
f E e 2 0
arr
S → S óS 2 mezcla arr
, S → S óS 4 oceano aba
, y S
4
−S2
→∆S sup −fondo ( boca )
,
o similares (Dyer, 1979 entre otros), quedando:
4
aba
V
0
S Vf
S Vf
VS
0 aba
VS
= VS
= Var
= − Vaba
= −
océano
mezcla
0
y ó y
∆S
∆S
∆S
∆S
sup-fondo
sup-fondo sup-fondo sup-fondo
ar
(3.43c)
3.4.3 Bidimensional Bien Mezclado (Bombeo por Marea)
El "bombeo por marea" (tidal pumping en inglés) es un fenómeno típico de la interacción entre
el flujo de la marea y la configuración de la laguna costera cerca de la boca, producido por la
conservación de la dirección del vector momentum en llenante y el efecto de succión en vaciante
(Fischer, 1979). Se produce de preferencia en bahias y lagunas costeras no-estuarinas con boca de
acceso estrecha y ensanche interior amplio cerca de la boca.
Se caracteriza por un "chorro" (jet en inglés) unidireccional del agua que entra en llenante a la
laguna, y un "embudo o abanico" (funnel en inglés) de la que sale en vaciante (Figura 3.16).
Fig. 3.16 Bombeo por marea (adaptada de Fischer)
104

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
Suponiendo mezcla vertical uniforme y geometría rectangular y semicircular para los flujos de
llenante y vaciante respectivamente, la ecuación de continuidad estacionaria (para un ciclo de marea) es:
1
2
2
πb d aLd Q f
T
= + (3.44)
Si d es la profundidad media, T el período de la marea, Q f la posible descarga de agua dulce de
ríos, ‘a’ el ancho de la boca, ‘L’ el alcance espacial máximo del agua de la marea en llenante, y ‘b’ el
alcance espacial máximo del agua mezclada saliente en vaciante.
Y la conservación de sal estacionaria, también para un ciclo de marea, si el volumen del
rectángulo achurado en la Figura 3.16 se sustrae por no alcanzar a mezclarse con el resto del agua en el
ciclo:
⎛ 1 2 ⎞
a( L − b)
dS0
= ⎜ π b d − abd ⎟S
(3.45)
⎝ 2 ⎠
siendo S la salinidad media en el interior de la laguna durante el ciclo de marea, y S 0 la salinidad
del océano adyacente.
Del sistema de ecuaciones (3.44) y (3.45) puede eliminarse L ó b quedando ecuaciones de
segundo grado, cuya solución en el caso de b es:
1 ⎡
b = ⎢a
±
π ⎢
⎣
a
−
2
2
πQ
f
T ⎛ S0
⎜
d ⎝ S − S
0
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎥
⎦
(3.46)
que dá una adecuada estimación del alcance espacial del agua mezclada saliente de la laguna costera a
renovarse en el océano por efecto de la marea y de eventuales descargas de ríos. Analogamente se puede
despejar L.
Martori (1995) detecta que la interacción del flujo de marea con la configuración de la laguna
costera, por efecto del bombeo por marea, es el mecanismo principal que induce flujos netos de sentido
opuesto y giros acoplados en la circulación residual en Bahía de San Quintín, B.C. durante el verano
(Figura 3.17).
Morales y Cabrera (1982),mediante el análisis de series de tiempo de velocidades de corrientes,
evidencian la presencia del mismo efecto en la circulación en Ensenada de la Paz, B.C.S. durante el
otoño y la primavera (Fig. 3.18).
105

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Fig. 3.17 Bombeo por marea en Bahía de San Quintín, B.C., según Martori
Fig. 3.18 Bombeo por marea en Ensenada de La Paz, BCS: A) llenante y B) vaciante, según Morales
y Cabrera.
106

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
3.4.4 Para Intercambio con Tributarios
3.4.4.1 Tributario Somero
Si un tributario somero es afluente al canal de transporte de una laguna costera estratificada mas
profunda, sus aguas interactúan sólo con la capa superior del canal principal en la zona de interacción.
Debido a la acción de la marea, las descargas del río principal y del tributario, y las diferencias de
densidad del agua entreambos, se produce un intercambio de descargas a dos niveles (Q a y Q d ) en la
zona de interacción, y un transporte vertical dentro del tributario (Figura 3.19).
Fig 3.19 Tributario somero
Las ecuaciones de continuidad y conservación de sal estacionarias, en el tributario, son:
Q a = Q d + R t y Q a S t = Q d S b (3.47)
si S t = salinidad media en el tributario somero, S b = salinidad en la capa superior del canal principal de
la laguna en la zona de interacción, y R t = descarga de agua dulce del río del tributario.
Eliminando Q d :
Q
S
R
b t
a
= (3.48)
Sb
− St
Debido a variaciones estacionales en la descarga del río o mensuales en el rango de la marea, la
salinidad S b fluctúa en el tiempo, y debido a la inercia en el intercambio más lento de volúmenes con el
tributario, S t fluctúa también pero con retraso respecto a S b (Figura 3.20).
107

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Fig 3.20 Fluctuación de la salinidad S b en el canal central y S t en el tributario
Con las siguientes consecuencias en el sentido de las descargas superficial y profunda entre el
canal principal y el tributario:
Si: S b > S t (S b - S t > 0) Si: S b = S t (S b - S t = 0) Si: S b < S t (S b - S t < 0)
Q a > 0 y Q d = Q a - R t = ? Q a y Q d → ∞ Q a < 0 y Q d = Q a - R t < 0
En el primer caso, la circulación superficial será siempre hacia afuera y la circulación de fondo
puede ser hacia afuera, adentro o nula según el valor de R t , que determinará si Q d es menor, igual, o
mayor que cero.
El segundo caso corresponde al lapso corto de tiempo de transición entre el primero y el tercero;
las descargas en superficie y fondo no están definidas y hay turbulencia en la zona de interacción.
En el tercer caso, la circulación superficial es siempre hacia adentro, y la circulación de fondo
siempre hacia afuera.
3.4.4.2 Tributario Profundo
Si el tributario es profundo, y sus aguas interactúan con ambos estratos del canal principal de la
laguna costera (Figura 3.21), dado que en los tributarios las descargas de agua dulce R t son
generalmente pequeñas, es razonable suponer que éste es verticalmente homogéneo con una salinidad
intermedia S t , tal que S g < S t < S h .
En la zona A: S g < S t y las aguas menos densas del principal fluyen hacia el interior del
tributario sobre las aguas más densas de éste. En la zona B: S t < S h , y las aguas más densas del principal
fluyen hacia el interior del tributario bajo las aguas menos densas de éste. En el centro se forma una
contracorriente de aguas de densidad media que fluyen hacia afuera del tributario.
Las ecuaciones de continuidad y conservación de sal estacionarias, en el tributario, son:
Q
g
+ Q + R
Q S
(3.49)
h
t
= Qm y Qg
S
g
+ Qh
Sh
=
m
t
Aproximando S t al promedio aritmético entre S h y S g (lo que es razonable en casos reales), y
eliminando Q m entre ambas ecuaciones:
108

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
Q
g
S
g
+ Sh
− Qh
= Rt
(3.50)
S − S
g
h
y Q g ó Q h sólo pueden determinarse separadamente con la ayuda de una tercera ecuación, i.e.
conservación del momentum o conservación de la energía térmica.
Fig. 3.21 Tributario profundo
3.4.5 Unidimensional Bien Mezclado para Intercambio en la Boca
Una fracción del agua que entra a una laguna costera por la boca durante la fase de llenante es
agua que salió en la vaciante anterior, y el saldo es agua nueva del océano. Para determinar la dilución
de contaminantes y la renovación o intercambio de agua de la laguna a travéz de la boca, es necesario
conocer estas fracciones.
Se define fracción o razón de intercambio exterior R al cuociente entre el volumen V 0 de agua
nueva del océano que entra por la boca en llenante y el volumen V m total de agua que entra por la boca
en dicha llenante (R = V 0 /V m ).
Esta fracción depende de la naturaleza de las corrientes litorales existentes en la boca, y es difícil
de evaluar teoricamente mediante la estimación de su influencia.
Las ecuaciones de continuidad y conservación de sal estacionarias, aplicadas a la parcela de agua que
entra en llenante por la boca, son (Figura 3.22):
109

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Fig. 3.22 Intercambio de agua en la boca
V m = V ref + V 0
V m S m = V ref S e + V 0 S 0
(3.51a)
(3.51b)
si S 0 es la salinidad del océano, S e la de la parcela de agua que sale en vaciante, S m la de la que entra en
llenante, y V ref la fracción de volumen saliente en vaciante que se incorpora totalmente a la parcela que
ingresa en llenante.
Formando el cuociente V 0 /V m en cada una de las ecuaciones 3.51, y eliminando entreambas el
cuociente V ref /V m , se obtiene:
R
V 0
S
= =
V S
m
m
0
− S
− S
e
e
(3.52)
que permite evaluar R si se efectúan mediciones de las salinidades medias en vaciante y en
llenante en la boca y en el océano adyacente. Sin embargo, el método no es muy preciso para lagunas
costeras no-estuarinas, porque en ausencia de agua dulce que ingrese por afluentes: S m ≈ S e ≈ S 0 y el
denominador de la fracción anterior → 0 ó a quedar indeterminado si la incerteza en las mediciones de
salinidad es muy grande.
110

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
3.4.6 Unidimensional Bien Mezclado para Concentración de Descarga
Este modelo estacionario permite evaluar la concentración media evacuada por la boca al mar (C exit ) de
un contaminante introducido en el interior de una laguna costera continuamentea una tasa M & (masa/
tiempo) por un tubo que descarga Qd = V d /T fluído con contaminante (Figura 3.23), sin considerar la
naturaleza de la mezcla interior (solo procesos advectivos).
Fig. 3.23 Descarga interior de contaminante
Por definición, la concentración (masa de contaminante / volumen de fluído) del contaminante
saliendo al mar es:
C
exit
M& MT &
= =
(3.53)
Q V
e
e
siendo T el período de la marea, y V e y Q e el volumen y la descarga de salida por la boca en
vaciante, respectivamente.
Las ecuaciones de continuidad y conservación de sal estacionarias, aplicadas a la parcela de agua
interior en que ocurre la mezcla con el efluente del tubo de descarga (si se supone que la distancia entre
esta parcela y la boca es suficientemente corta como para que no ocurra ninguna mezcla adicional en ese
trayecto), son:
V e = V m + V f + V d
V m S m = V e S e
(3.54a)
(3.54b)
111

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
siendo V m y V f , los volúmenes de ingreso de fluído por la boca en llenante, y de agua dulce por
eventuales tributarios, respectivamente; y S e y S m , las salinidades medias cerca de la boca en vaciante y
en llenante, respectivamente.
Eliminando V m entre ambas ecuaciones, despejando V e e introduciéndolo en la expresión (3.53):
C
exit
=
MT & ( Sm
− Se)
S ( V + V )
m f d
(3.55)
bastando medir las salinidades medias en vaciante y llenante y los volúmenes de fluído
descargados por el tubo y por eventuales afluentes de agua dulce. Limitación: supone mezcla completa e
instantánea en la parcela interior adyacente al tubo de descarga, y que no ocurren otras interacciones en
el trayecto aguas abajo.
3.4.7 Métodos para el Tiempo de Evacuado
Son métodos puramente advectivos, que permiten resolver en forma rápida y simplificada
situaciones de contaminación y evacuado en lagunas costeras.
3.4.7.1 Definiciones
Tiempo de Evacuado (Flushing Time) es el tiempo necesario para renovar toda el agua dulce de
una laguna costera estuarina reemplazándola por agua dulce nueva proveniente del río, o el tiempo
necesario para renovar toda el agua de una laguna costera no-estuarina reemplazándola por agua nueva
proveniente del océano.
Si la descarga de agua dulce del río (en el caso estuarino) es R = V f /T, siendo V f el volumen de
agua dulce que ingresa en un ciclo de marea y T el periodo de la marea; V fe el volumen de agua dulce
(mezclada con agua salada) que se almacena en el interior de la laguna en cada ciclo; V T el volumen
total de agua en pleamar contenido en la laguna; y V 0 el volumen de agua que sale de la laguna en
vaciante (Figura 3.24a); entonces, el tiempo de evacuado es por definición:
Vfe
VT
fe
τ= = =
R V
f
VT
T
V
0
(3.56)
Los tres métodos de uso mas común en la determinación del tiempo de evacuado son: el de la fracción
de agua dulce, el del prisma de marea, y el modificado del prisma de marea. El primero está limitado en
su aplicación a las lagunas costeras estuarinas, y no se expone aquí, pudiendo consultarse en referencias
(Ej: Dyer, 1973). Los dos últimos se exponen a continuación.
112

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
Fig. 3.24 Nomenclatura para métodos de Tiempo de Evacuado
3.4.7.2 Del Prisma de Marea
Se supone que el agua que entra en llenante del océano y de eventuales ríos se mezcla
completamente con el agua que está en el interior de la laguna, y de este volumen mezclado se evacúa
posteriormente en vaciante la fracción comprendida entre los niveles de pleamar y de bajamar
consecutivos (denominado Prisma de Marea (P), por definición, ver Sección 2.1.2.1.1). Entonces, V 0 =
P, y V T = P + V b , siendo V b el volumen de agua remanente en bajamar en el interior de la laguna
(Figura 3.24b), y el tiempo de evacuado es:
( P+
Vb ) T
τ=
(3.57)
P
siendo P, V b, y T determinables, aun en primera aproximación sin necesidad de efectuar
mediciones de campo, si se dispone de una batimetría de la laguna con resolución adecuada y de la
predicción astronómica de las alturas de marea para el lugar.
Sin embargo, este método da valores muy bajos (subestimación) del tiempo de evacuado porque
la suposición de mezcla completa no se cumple en la realidad, pues ni el agua dulce de rios tiene alcance
suficiente para llegar hasta la boca ni el agua salada proveniente del océano lo tiene para llegar a la
cabeza de la laguna, en un ciclo de marea .
3.4.7.3 Modificado del Prisma de Marea
Para superar la dificultad expuesta en el párrafo anterior, Ketchum (1951) supone que las
partículas de agua no recorren toda la longitud de la laguna en un ciclo de marea, sino una distancia
limitada X, que depende de la batimetría y de la fluctuación de la marea.
3.4.7.3.1 La Excursión y la Razón de Intercambio Interior
A la distancia anterior se la denomina la excursión de la partícula de agua en el ciclo de marea.
Se subdivide la laguna costera en segmentos de longitud igual a la excursión de las partículas en
cada segmento, dentro de cada uno de los cuales se considera aceptable la mezcla total en un ciclo de
marea. Se aplica entonces separadamente el método de prisma de marea a cada uno de ellos,
113

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
obteniéndose tiempos de evacuado parciales τ
i
para cada segmento i. El tiempo de evacuado total será
τ = ∑ τi
(Figura 3.25 a).
i
Fig. 3.25 Segmentación según excursiones, y su metodología
La subdivisión en segmentos de longitud igual a la excursión de las partículas se inicia con el
segmento cercano a la cabeza, en que se supone que no llega contribución de agua salada del océano (P 0
= V f ), para el caso estuarino, o bien que toda el agua del segmento es igual al prisma de marea y
proviene del segmento siguiente aguas abajo (P 0 = V 1b y V 0b = 0), para el caso no-estuarino (Figuras
3.25 b y c).
Los segmentos siguientes se construyen de modo que su volumen en bajamar sea igual al
volumen total en pleamar (prisma + volumen en bajamar) del segmento anterior aguas arriba, es decir
representando su longitud precisamente la excursión de una partícula durante un semiciclo: V 1b = V 0b +
P 0 , V 2b = V 1b + P 1, V 3b = V 2b + P 2, ... V nb = V (n-1)b + P (n-1), etc.
Los tiempos de evacuado parciales para cada segmento así obtenido, y el tiempo de evacuado
total para la laguna, son:
( P + V ) T
=
P
τ i
i bi
i
y τ = ∑ τ
i
(3.58)
i
La evaluación de las excursiones (X i ) permite determinar aproximadamente las velocidades
longitudinales medias de las partículas en cada segmento durante un semiciclo de marea: U i = 2 X i /T.
La razón de intercambio interior en cada segmento i, se define como la fracción de agua de cada
segmento que es removida en cada ciclo de marea:
r
i
=
Pi
V + P
bi i i
T
= (3.59)
τ
Por ende, (1 - r i ) es la fracción de agua de cada segmento i que permanece (remanente) después
de cada ciclo de marea.
3.4.7.3.2 Concentración Remanente y Tiempo para su Reducción
114

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
En una laguna costera estuarina, si el volumen de agua dulce nueva del río que ingresa en cada
ciclo de marea es V f , el volumen de agua dulce removida en un ciclo de marea en un segmento i es r i V f,
y el volumen remanente que permanece es (1 - r i ) V f .
Al siguiente ciclo de marea, del volumen remanente que quedó, otra fracción r i será removida y
otra fracción (1 - r i ) permanecerá; y así sucesivamente, aplicando este razonamiento ciclo a ciclo, puede
demostrarse que después de m ciclos, del volumen V f de agua dulce original quedará en cada segmento
i:
V
fei
V [1 − (1 − r )
m+1
f
i
= (3.60)
r
i
]
que para m grande: V fei = Vf / ri, y para todo el estuario Vfe = Vf ∑ (ri)-1 .
Si se introduce en forma discontinua (una sola vez) un volumen "q" de contaminante en un
segmento "n" de una laguna costera, siguiendo el razonamiento anterior, el volumen remanente que
permanece después de un ciclo de marea será q(1 - rn), después de 2 ciclos será q(1 - rn ) 2 , y después de
m ciclos será q(1 - rn ) m = qp; definiendo así la fracción ‘p’ de contaminante que queda después de m
ciclos en el segmento n de introducción:
m
p= (1 −r )
(3.61)
n
Inversamente, el número m de ciclos que se requiere para reducir el contaminante a una fracción
p en el segmento n en que se le introdujo, y el tiempo necesario para llevar a cabo esto, son:
m =
l
n
lp
n
Tln
p
y Tm =
(3.62)
( 1−
r ) l ( 1−
r )
n
Estas expresiones permiten también calcular la vida media (tiempo necesario para reducir su
concentración a la mitad) del contaminante en el segmento en que se le introdujo.
3.4.7.3.3 Variación de Concentración en el Segmento de Inyección, .........Aguas Arriba y Aguas Abajo
Por definición, la concentración de un contaminante en el segmento en que se le introduce (i),
después de un cierto tiempo de su introducción, es igual al volumen remanente de contaminante para ese
tiempo dividido entre el volumen total de fluído en pleamar en ese segmento ( Ci = q pi / VTi ).
Si el tiempo transcurrido son m ciclos de marea, la fracción remanente es pi = (1 - ri ) m , y por
ende, la concentración remanente es:
n
n
115

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
C
i
q(1
− ri
)
=
V
T
m
ó
C
i T i
i
⎛ T ⎞
q
⎜1
−
⎟
⎝ τ
i
=
⎠
V
m
(3.63)
Las concentraciones de contaminante C-N en los segmentos consecutivos aguas arriba del de
introducción son proporcionales a la concentración en el de introducción en la misma proporción que
sus salinidades, y las concentraciones CN en los segmentos consecutivos aguas abajo del de introducción
son proporcionales a esa concentración en la misma proporción que sus fracciones de agua dulce; para el
mismo número m de ciclos de marea transcurridos después de la introducción:
C
−N
C S C C f −N
N
=
0
y
N
=
0
(3.64)
S
f
0
0
asignándose el índice i = 0 al segmento de introducción del contaminante, y los índices i = -1, -2,
-3, ... -N a los segmentos consecutivos aguas arriba de éste, é i = 1,2,3, ... N a aquellos aguas abajo; y
siendo, por definición, las fracciones de agua dulce:
f
N
SN
S0
= 1− y f0
= 1 −
(3.65)
S
S
océano
océano
3.5 Transporte de Materia Difusivo-Dispersivo
En esta Sección se analizan soluciones a la ecuación de transporte de materia (en suspensión o
dilución) considerando difusión molecular, difusión turbulenta, y dispersión; y sus aplicaciones. Las
definiciones de los procesos de transporte mencionados pueden verse en la Sección 1.4.1.3.7.
En general, las fluctuaciones e irregularidades en el campo de la velocidad, son tanto o más
importantes que el flujo medio (advectivo) en el transporte de materia (contaminantes, sal, oxígeno,
etc.). Por esta razón, los modelos analíticos puramente advectivos, expuestos en la Sección 3.4, deben
considerarse solamente como una primera aproximación.
3.5.1 Escalas de Tiempo, Coeficientes y Ecuaciones
Fig. 3.26 Difusión de contaminante
116

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
Es importante determinar y establecer las escalas de tiempo y de espacio en que toman lugar
estos procesos de transporte; como ejemplo ilustrativo, las etapas sucesivas de la descarga de un
contaminante por un desagüe a una laguna costera tienen tipicamente las siguientes escalas espaciales y
temporales:
Etapa Escala espacial (m) Escala temporal (s)
Mezcla inicial en el jet de salida < 10 2 (< 100 m) < 10 3 (< 15 min)
Establecimiento de "nube" que viajará
con la corriente media
10 1 - 10 3 (10 m - 1 km) 10 2 - 10 3 (2- 15 min)
Difusión turbulenta lateral y/o dispersión 10 2 - 10 4 (100 m -10 Km) 10 3 - 10 5 (15 min - 24 hrs)
asociada al perfil de velocidad +
difusión lateral
Advección por la corriente media 10 3 - 10 5 (1 - 100 Km) 10 3 - 10 6 (15 min - 10 días)
Evacuación por la boca después de varios
ciclos de marea
10 4 -10 6 (10 Km - 1000 Km) 10 6 - 10 8 (10 días - 3 años)
Este ejemplo indica que cada etapa del proceso de transporte tiene escalas características bien
diferenciadas en órdenes de magnitud. Por lo tanto, para aplicaciones prácticas puede usualmente bastar
en primera aproximación con estimar los órdenes de magnitud de estas escalas con incertezas aceptables
de 100 % (un orden de magnitud) para resolver situaciones reales de contaminación.
Aplicación típica: Determinar cuanto tiempo tarda un contaminante introducido en la superficie
de un río, en mezclarse totalmente en profundidad (hasta el fondo), sin considerar efectos
gravitacionales, y a qué distancia horizontal del punto de introducción ocurre esto (Figura 3.26)
Si la mezcla es por difusión turbulenta vertical, el coeficiente respectivo (ver definición según la
Ley de Fourier en la Sección 1.4.1.3.8) tiene dimensión L 2 /T, de modo que el tiempo de mezcla vertical
total es proporcional a d 2 / ∈
v
, siendo d la profundidad y ∈
v
el coeficiente.
Como veremos mas adelante en este mismo capítulo, para ríos, el coeficiente de
proporcionalidad en la relación empírica anterior es O.35 y ∈ = 0.07u
d (ver Sección 3.5.7), siendo u*
v
*
la velocidad característica (“shear velocity” en inglés) o velocidad del esfuerzo tangencial de corte, de
deslizamiento, o de cizalle.
La velocidad característica es por definición, y según la ecuación de Chèzy (Sección 2.7), y
aproximadamente para ríos:
τ
u
u
∗ 0
= = gRS ≈
ρ 15
(3.66)
117

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
siendo τ
0
el esfuerzo tangencial, ρ la densidad, g la aceleración de gravedad, R la razón
hidráulica, S la pendiente del fondo ó de la linea de energía total, y u la velocidad horizontal media de
la corriente advectiva del río.
Sustituyendo las expresiones de los 2 párrafos anteriores en la relación de proporcionalidad
original, se obtiene en primera aproximación para el tiempo de mezcla vertical total tm y la distancia
horizontal a la que ésta ocurre Xm:
2
t ≈035 d
m
.
dd u ≈ 75 y x ut
u
≈ ≈ 75d
(3.67)
m m
007 . 15
Ejemplo: si d = 5 m y u= 0.5 m/s : tm ≈ 750 s ≈ 12 min. y Xm ≈ 375 m
Similarmente puede tratarse la difusión transversal, usando un coeficiente ∈
t
que para ríos y
lagunas costeras es aproximadamente 10 a 15 veces mayor que ∈ (ver Secciones 3.5.7.2 y 3.5.8.2).
Nótese que para la aplicación anterior no fué necesario resolver la ecuación de transporte de
materia para obtener una solución aproximada (en órdenes de magnitud) y rápida, pero confiable, del
problema.
La dependencia entre u, u y u ∗ para un canal ancho sin estratificaciones es, mas rigurosamente:
v
∗
u 230 .
u u
k k u ∗ y
= + + log
10
(3.68)
d
siendo y la distancia a la pared más cercana, k la constante de Von Karman = 0.40 (sin
sedimento en suspensión) ó = 0.21 (con sedimento en suspensión). Los dos últimos terminos sumados
equivalen a la desviación u' de la velocidad con respecto a su valor medio en el perfil ( u = u+ u' ).
El tratamiento matemático de los fenómenos de difusión térmica, difusión eléctrica, difusión
molecular, difusión turbulenta y dispersión, es enteramente similar, basándose en la postulación de leyes
de flujo, es decir:
a) Ley de flujo térmico de Fourier: flujo calor Q ∝ gradiente de temperatura T:
Q
=− k dT
(3.69a)
dx
b) Ley de flujo eléctrico de Ohm: corriente eléctrica I ∝ gradiente de potencial eléctrico V:
I
CdV
=− (3.69b)
ldx
118

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
c) Ley de flujo de masa de Fick: flujo de masa q ∝ gradiente de la concentración C:
q
=− D dC
(3.69c)
dx
siendo los respectivos coeficientes de difusividad térmica k, de conductancia / unidad de largo
C/l, y de difusión molecular D, todos de la misma dimensión: L 2 T -1 .
Nótese que la expresión (3.69c), postulada por Fick para la difusión molecular, es semejante a la
expresión (1.4) de la Sección 1.4.1.3.8 para la difusión turbulenta, y a la de la Sección 3.5.6 para la
dispersión, definitorias para estos coeficientes.
Esto último indica que los tratamientos matemáticos de la difusión molecular, la difusión
turbulenta, y la dispersión son similares difiriendo solamente en el orden de magnitud de sus
coeficientes, respectivamente:
2
2
2
−5
cm
2 cm
cm
D∼10 ε∼10 -10
K∼10 4 −10
6
(3.70)
s
s
s
Los coeficientes de difusión molecular D dependen solamente de las substancias involucradas, y
por lo tanto están tabulados, Ej: sal en agua: D = 1.5 × 10 -5 , azúcar en agua: D = 0.5 × 10 -5 . No así los
coeficientes de difusión turbulenta y de dispersión que dependen del campo de velocidades en cada
situación particular.
Si la ecuación de continuidad no-estacionaria unidimensional (3.10) se multiplica término a
término por la densidad ρ = M/V = M/Qt = M/Byx, considerando que la concentración
unidimensionalmente es M/x, resulta:
M
∂
∂ &M x
∂q
∂C
+ = 0 ó = −
(3.71)
∂x
∂t
∂x
∂t
que introduciendo la expresión de q de la Ley de flujo de masa (ecuación 3.69c), deviene en la
ecuación de transporte de materia unidimensional puramente difusiva (Fick), o advectivo-difusiva si
se le agrega el término respectivo:
2
∂C
∂ ∂ ∂ ∂
D
C C
u C 2
= y = − + D
C
(3.72)
2
2
∂t
∂x
∂t
∂x
∂x
En las Secciones siguientes se resuelven estas ecuaciones o sus versiones en mas dimensiones
para casos particulares obteniéndose de su solución las distibuciones espacio-temporales de
concentración de materia C(x,t), C(x,y,t), ó C(x,y,z,t).
3.5.2 Difusion Unidimensional sin Advección
119

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
3.5.2.1 Inicialmente Puntual, e Instántanea (Fick)
En el instante t = 0 se introduce una masa "puntual" en la posición x = 0, que se difundirá
unidimensionalmente a lo largo de x, sin advección ( u = 0). Esta masa puntual M concentrada
inicialmente en un espacio infinitamente pequeño, tendrá una concentración (C = dM/dx) inicial
infinitamente grande pero acotada C(x,0) = M δ (x) , representando δ (x) una masa unitaria con las
propiedades matemáticas de la función pico o delta de Dirac (Figura 3.27):
δ ( x)
= 0 para x ≠ 0; δ ( x)
→ ∞ para x = 0; pero ∫δ
( x)
dx = 1 (3.73)
+∞
−∞
Fig. 3.27 Concentración inicial y distribución posterior
Esta descripción corresponde muy bien en la realidad a la concentración inicial en una mancha
de tinta descargada desde un frasco en un lago, una laguna costera, o el océano.
Con esta condición inicial, y la condición de frontera C ( ± ∞, t ) = 0 para todo tiempo t, la
ecuación 3.72 (sin advección) tiene como solución:
Cxt ( , ) =
x
M
Dt e −
4
4π
2
Dt
(3.74)
120

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
que representa graficamente la distribución de concentración a lo largo de x como una curva
Gaussiana (Figura 3.27)
El máximo de esta concentración, para todo instante de tiempo, se sitúa en el centro de la
distribución o posición de la introducción inicial (x = 0):
C ( 0, M
max
t ) =
4πDt
decreciendo este máximo con el tiempo según
2
1
1 x
1
−
− −
2
2 t
D= : C( 0, t) = ( πt) ,.. y.. C( x, t) = ( π t)
e (Figura 3.28).
4
(3.75)
t ; ejemplo: para M = 1, y
Fig. 3.28 Decaimiento de la concentración
121

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
La posición media de la distribución de concentraciones o centroide o centro de masa de la
mancha se sitúa en:
x =
∞
∫
−∞
∞
xC(
x,
t)
dx
∫
−∞
C(
x,
t)
dx
= µ
(3.76)
que corresponde a x = 0 en el caso de introducción central, sin velocidad advectiva.
Y la varianza de la distribución es:
∞∝
∫
2
( x − µ ) C(
x,
t)
dx
( σ
2 −∞
2
x − µ ) =
= (3.77)
∞
∫
−∞
C(
x,
t)
dx
sustituyendo C(x,t) de la ecuación 3.74 y efectuando las integraciones, puede demostrarse que:
σ 2 = 2Dt
(3.78)
independientemente de si la introducción es central (en x = 0), o en cualquiera otra posición x.
La desviación estándar " σ " es una medida espacial de la extensión de la mancha o nube de
materia: 95 % del área centrada bajo la curva (o 95 % de la masa
los límites ± 2 σ , lo que permite, como criterio práctico, definir el diámetro o ancho de una nube que se
extiende por difusión = 4 σ = 4 2 Dt (Figura 3.27). En consecuencia, el ancho de esta nube crece en el
1
+∞
∫
−∞
M = Cdx ) está comprendida entre
2
tiempo proporcionalmente a t . Teoricamente la curva Gaussiana extiende sus "colas" hasta ± ∞ de
acuerdo a la condición de frontera especificada inicialmente.
Esta definición permite evaluar empiricamente el coeficiente D de difusión (molecular, en este
caso) midiendo la evolución temporal de anchos (4σ) de las nubes. De sus valores representados como
2
puntos en una gráfica de ejes coordenados σ vs. t se puede mediante regresión lineal ajustar una recta
que pasa por el origen y cuya pendiente es 2D, según la ecuación 3.78. El método no es válido para los
instantes iniciales, cuando aún no se ha establecido la nube, en que la relación lineal no se cumple sino
hasta haber alcanzado escalas espacio temporales Lagrangianas (ver Secciones 3.5.5.1 y 3.5.5.2).
122

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
3.5.2.2 Inicialmente Extensa, e Instantánea
Si en el instante t = 0, la masa M se introduce inicialmente como una fuente de distribución espacial
extensa (pero conocida) de concentración: C(x,0) = f(x), cada elemento puntual de masa
dM = C(x,0)dx = f(x)dx en un punto cualquiera x = ξ aporta un elemento de concentración
espacio-temporal según la solución del caso anterior (Figura 3.29):
2 2
x−ξ
dC x t
dMDt e − f ( ξ)
4Dt
( , ) = =
4π
4πDt e
( ) ( x−ξ)
−
Dt
4
dξ
(3.79)
Fig. 3.29 Fuente inicial extensa
Como la ecuación diferencial de la difusión es lineal, el aporte total a la difusión es igual a la
superposición lineal de los aportes de todos los elementos puntuales componentes de la distribución
inicial, es decir:
+∞
∫
−∞
2
( x−ξ
)
−
4Dt
f ( ξ )
C( x,
t)
= e dξ
(3.8O)
4πDt
Para evaluar esta distribución espacio-temporal de concentración (efectuar la integración) en
cada caso particular, debe conocerse a priori la forma funcional de la distribución de concentración
inicial f(ξ) = C ( ξ , 0).
123

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Ejemplo: un tubo con una válvula de paso al centro, inicialmente cerrada y lleno en una mitad
con agua pura, y en la otra mitad con un contaminante de concentración homogénea C 0 (Figura 3.30). Al
abrirse la válvula se produce una difusión mutua (sin advección) entre ambos fluidos.
Fig. 3.30 Difusión para concentración escalón
La distribución de concentración inicial, en forma de escalón es: f(x) = C(x,0) = 0 para x > 0 y
C(x,0) = C 0 para x < 0. La condición de frontera es C(- ∞, t ) = C 0 y C(+ ∞, t ) = 0. Con estas
condiciones, y si se considera que la integral de 0 a + ∞ (mitad derecha inicialmente con agua pura) es
nula, la integración solución (ecuación 3.80) es:
C(
x,
t)
=
0
∫
−∞
C0
e
4πDt
2
( x−ξ
)
−
4Dt
dξ
C0
=
2
⎡ ⎛
⎢1
+ erf ⎜
⎣ ⎝
x ⎞⎤
⎟⎥
4Dt
⎠⎦
(3.81)
que se representa graficamente en la Figura 3.30.
α
2
Siendo erf la función = ∫ e −z
2
erf ( α)
dz que está tabulada:
π
0
α
0
0.5
1.0
2.0
.
.
∞
erf (α)
0
0.5205
0.8427
0.9953
.
.
1.0
3.5.2.3 Inicialmente Puntual, y Continua
124

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
Si se introduce un contaminante en forma puntual en el origen x = 0, como en el caso de la
Sección 3.5.2.1, pero en forma continua desde un instante t = t0 a una tasa M = dM /dt, la concentración
resultante es la integración en el tiempo de las concentraciones para cada instante, desde el inicial t0
hasta un final t cualesquiera:
2
t
x
M&
−
4D(
t−τ
)
C( x,
t)
= ∫
e dτ
4πD(
t −τ
)
t
0
(3.82)
en que es necesario conocer la dependencia funcional M(τ) para poder efectuar la integración en
cada caso de aplicación específico; en particular M & puede ser una tasa constante para un flujo
estacionario (independiente de τ ). Al tiempo inicial t0 se le puede asignar el valor 0 si es un instante
conocido, o el valor - ∞ si se desconoce el momento en que se inició el flujo continuo contaminante
pero se sabe que es de larga data.
3.5.2.4 Inicialmente Extensa, y Continua
Finalmente si una tasa de masa M & se introduce continuamente, y como una fuente espacial
extensa (combinación de casos de las Secciones 3.5.2.2 y 3.5.2.3), se obtiene la solución
espacio-temporal más general a la ecuación diferencial original:
2
t +∞
( x−ξ
)
M&
( ξ,
τ )
−
4D(
t−τ
)
C( x,
t)
= ∫∫
e dξdτ
4πD(
t −τ
)
t
0
−∞
(3.83)
En que debe conocerse la dependencia funcional espacio-temporal M & ( ξ ,τ ) para poder efectuar
la integración en cada caso particular.
3.5.3 Extensión a 2 o 3 Dimensiones y con Fronteras Finitas (Cerradas)
En todos los casos anteriores la condición de frontera espacial es abierta, permitiendo que el
contaminante se difunda longitudinalmente en ambas direcciones ilimitadamente (hasta ± ∞ ). En la
realidad, particularmente en las lagunas costeras, la difusión está limitada por fronteras físicas a
distancia finita: fondo, superficie, y márgenes laterales.
En el caso de una difusión inicialmente puntual, y no-continua, que se origina en el centro del
canal de una laguna costera con márgenes laterales a distancia x = + L y x = - L del centro, las "colas"
de la solución con frontera abierta se reflejan en ambas márgenes y se superponen a la solución en la
zona central.
Si la reflexión es total, esto permite tratar matemáticamente la solución por el método de
imágenes, superponiendo linealmente, en el dominio -L a +L, la solución real centrada en x = 0 con las
"colas" de 2 soluciones imagen centradas en x = - 2L y x = + 2L (Figura 3.31):
125

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
( x,
t)
=
M ⎪⎧
⎨e
4πDt
⎪⎩
2
x [ x−(
−2L)]
[ x−(2L)]
− −
−
4Dt
4Dt
4Dt
C
+ e
2
+ e
2
⎪⎫
⎬
⎪⎭
(3.84)
Fig. 3.31 Difusión con fronteras finitas
Pero estas "colas" de las soluciones imagen centradas en x = - 2L y x = + 2L, se reflejarán a su
vez en las márgenes situadas en x = +L y x = -L respectivamente, al continuar la difusión; pudiendo
aplicarse así sucesivamente el procedimiento matemático anterior hasta obtener la solución final:
i=+
n
x+
2
M
Cxt ( , ) =
Dt e −
4
∑ 4 π
i=−n
2
( iL)
Dt
(3.85)
limitando el valor de n al número de términos necesarios para obtener la solución aproximada al
menor orden de magnitud deseado.
Las soluciones expuestas en las Secciones 3.5.2.1 a 3.5.2.4 pueden extenderse a 2 o 3
dimensiones.
En el caso de difusión inicialmente puntual, no-continua y centrada, si el pico de concentración
inicial es: C (x ,y,0) = M δ(x)δ(y) , la ecuación diferencial para difusión bidimensional, sin advección
es:
2
∂C
∂ C
= Dx
+ D
2
∂t
∂x
que tiene como solución para la difusión en el plano x-y:
y
2
∂ C
2
∂y
(3.86)
126

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
M
Cxyt ( , , ) =
4πt D D e
x
y
2 2
x y
− −
4D t 4D t
x
y
(3.87)
que representa una campana Gaussiana de secciones x-y circulares si Dx = Dy = D (que es el
caso para difusión molecular) ó elípticas si los coeficientes son ∈x
≠ ∈y
(que es el caso mas habitual
en la difusión turbulenta, en que rige la misma ecuación y su respectiva solución); ver Figura 3.32.
Fig. 3.32 Difusión bidimensional
Extrapolando a 3 dimensiones este mismo caso, con condición inicial C(x,y,z,0)= Mδ(x)δ(y)δ(z),
la respectiva ecuación es:
127

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
2
2
∂C
∂ C ∂ C
= D + D + D
2
2
∂t
∂x
∂y
con solución:
x y z
2
∂ C
2
∂z
(3.88)
Cxyzt ( , , , ) =
( 4πt)
32
M
D D D e
x y z
2 2
x y z
− − −
4D t 4D t 4Dt
x
y
2
z
(3.89)
Nótese que la dimensión de la Concentración para los casos uni, bi, y tridimensional es: ML -1 ,
ML -2 , y ML -3 respectivamente.
3.5.4 Difusión Simultánea con Advección
Si la materia contaminante que se difunde es introducida en un fluido que se mueve con
r
velocidad advectiva u (u,v,w) , y si se supone que la advección y la difusión son 2 procesos de
transporte aditivos e independientes (aunque la difusión turbulenta requiere para su existencia de la
presencia de un campo de velocidad advectivo con número de Reynolds suficientemente grande), la
ecuación de transporte de materia en 3 dimensiones es:
2 2 2
∂C
∂C
∂C
∂C
⎡∂
C ∂ C ∂ C ⎤
+ u + v + w = D⎢
+ +
2 2 2
∂t
∂x
∂y
∂z
⎥
⎣ ∂x
∂y
∂z
⎦
(3.90)
en que se ha supuesto que Dx = Dy = Dz = D.
A continuación se exponen 3 casos en que el transporte advectivo y el difusivo son
unidimensionales y en la misma dirección, o transversales entre si.
3.5.4.1 En la Misma Dirección (Taylor)
La versión advectivo-difusiva de la ecuación 3.72 considera ambos procesos simultáneos y en la
misma dirección (x).
Para la situación expuesta en la Sección 3.5.2.1: una masa puntual introducida instantaneamente
en el origen, y difundiéndose con condición de frontera abierta, pero en presencia de una corriente de
velocidad advectiva constante "u" en dirección x, la solución a la ecuación 3.72 es:
Cxt ( , ) =
x−ut
M
Dt e −
4Dt
4π
( )
2
(3.91)
conocida como expresión de Taylor (1954), que graficamente representa un distribución
Gaussiana de concentración difundiéndose y trasladándose con velocidad u a lo largo de x (Figura 3.33).
128

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
Este caso es típico del transporte de materia en lagunas costeras estuarinas angostas o en rios, en
que los transportes lateral y vertical son despreciables respecto del longitudinal.
Fig. 3.33 Advección y difusión unidimensional para inyección puntual
Para la situación del ejemplo de la Sección 3.5.2.2: un tubo con condición inicial de concentración en
forma de escalón, pero estableciendo una corriente de velocidad "u" constante en el instante en que se
abre la válvula, la solución a la ecuación correspondiente (3.72 advectivo-difusiva unidimensional) es:
que se representa graficamente en la Figura 3.34
C ⎡ ⎛ ( x − ut)
⎞⎤
C =
0 ⎢1
+ erf ⎜ ⎟
2
⎥
⎣ ⎝ 4Dt
⎠
(3.92)
⎦
Fig. 3.34 Advección y difusión para tubo con concentración inicial escalón
129

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
3.5.4.1.1. Condición para Desprecio
Si transcurrido cierto tiempo, el esparcimiento espacial causado por la difusión es 2 órdenes de
magnitud menor que el causado por la advección, en la misma dirección, se le considera despreciable.
Como la distancia de traslación advectiva por una corriente de velocidad u en un tiempo t es
"ut", y el radio de esparcimiento por difusión de una mancha, en el mismo tiempo es 2σ = 2 2Dt , la
−
condición para despreciar la difusión en la dirección advectiva es que 2 2 Dt ≤ 10 2 ut, es decir, que
para difusión molecular y para difusión turbulenta respectivamente, haya transcurrido un tiempo:
D
t ≥
10 3
t ≥
10 3
ε
y
2
2
u
u
x
(3.93)
Ejemplo: en un río con velocidad de corriente u = 50 cm/s (u 2 = 2.5 × 10 3 cm 2 /s 2 ), si D ∼ 10 - 5
2 /s, el tiempo mínimo transcurrido después del inicio del fenómeno para poder
cm 2 /s, y ∈ ∼ 10 cm
x
despreciar la difusión molecular es de 4 × 10 -6 segundos, y para poder despreciar la difusión turbulenta
es de 4 segundos. Es decir, casi instantaneamente en el primer caso, y en muy breve lapso en el segundo
caso. Si la corriente es mas débil, ya sea durante el estado de pleamar o de bajamar en las lagunas
costeras, o en las zonas alejadas del centro de su canal de transporte, estos tiempos mínimos necesarios
para poder despreciar las difusiones en la dirección de la advección, son mayores.
3.5.4.2 Transversalmente
3.5.4.2.1 Lateral y Verticalmente
Si un tubo descarga materia en una laguna costera, en forma puntual y continua a una tasa M, &
esta materia será transportada longitudinalmente (según x) por la corriente de marea, y difundida
transversal y verticalmente a lo ancho y profundo (según y y z).
La ecuación tridimensional de transporte (3.90) para este caso, si se considera coeficientes de
difusión turbulenta transversal ∈
t
y vertical ∈
v
diferentes entre si, se reduce a:
∂C
∂
u C ε ∂ 2
ε ∂ 2
C C
+ =
t
+
2 v 2
∂t
∂x
∂y
∂z
(3.94)
Para resolverla se considera el flujo compuesto de sucesivas "rebanadas" bidimensionales y-z de espesor
δx que se desplazan con la velocidad "u" de la corriente y reciben, al pasar en tránsito por la boca del
tubo, una cantidad de materia M & δt , si δt = δx/u es el tiempo de tránsito (Figura 3.35).
En consecuencia, la concentración inicial (masa entre unidad de area y de espesor) es
C 0 =Mδt/δx=M/u; & & la que se difunde bidimensionalmente (en el plano y-z) según la solución (ecuación
3.87):
130

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
M&
/ u
C(
y,
z,
t)
=
4πt
ε ε
t
v
e
2
y z
− −
4ε
t 4ε
t
t
2
v
(3.95)
en la que se puede sustituir el tiempo "t" mediante la relación cinemática advectiva: x = ut,
quedando la distribución espacial tridimensional estacionaria (geométrica) de la concentración:
M&
C(
x,
y,
z)
=
4πx
ε ε
t
v
e
⎛
2 2
1 y z ⎞
⎟
u
− ⎜ +
4
⎝ ε t ε v ⎠ x
(3.96)
que es independiente del tiempo, lo que significa que la forma y dimensiones geométricas del
cono de descarga de materia permanecen invariantes.
3.5.4.2.2 Solo Lateral con Mezcla Vertical Total
Fig. 3.35 Difusión transversal a la advección
Habitualmente en ríos y lagunas costeras en que la profundidad es mucho menor que el ancho, se logra
rapidamente la mezcla vertical total en la sección transversal de introducción y la situación se reduce a
difusión solamente lateral de una fuente vertical lineal (no puntual), con advección longitudinal (Figura
3.36).
131

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Fig. 3.36 Difusión lateral con advección longitudinal
La ecuación de transporte de materia, en este caso, es:
∂C
∂
u C ε ∂ 2
C
+ =
t 2
∂t
∂x
∂y
(3.97)
cuya solución espacial estacionaria, que puede también obtenerse como un caso especial de la
ecuación 3.96, es:
Cxy ( , ) =
M& / u
4πε
x/
u e
t
uy
−
4ε
x
t
2
(3.98)
con la forma geométrica que muestra la Figura 3.36.
3.5.5 Difusión Turbulenta
Si la velocidad del fluído aumenta, para valores del número de Reynolds mayores que 10 3 , el
flujo deja de ser laminar y se torna turbulento. Esto significa que las posiciones y las velocidades de las
partículas dejan de ser deterministas y se mueven en trayectorias y con velocidades al azar, describiendo
remolinos, y superpuestas a las trayectorias y velocidades del flujo medio.
Estas fluctuaciones de las posiciones y velocidades solo pueden conocerse estadisticamente, y
por ende, las escalas de espacio y tiempo de la difusión turbulenta se determinan en función de
propiedades estadísticas del movimiento de las partículas.
132

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
Fig. 3.37 Ensemble de nubes por difusión turbulenta
Si en un campo de flujo turbulento (en que el observador, situado en el origen, se desplaza con la
velocidad advectiva media) se introduce una masa de un trazador en un punto, y se la deja difundir;
ejecutando repetidamente este experimento de inyección en el mismo punto, se observa que (Figura
3.37):
a) Las partículas en el interior de cada nube se difunden en forma diferente en cada caso, y
b) los centros de masa se difunden respecto del origen o punto de introducción del trazador.
Se definen:
1.- Las coordenadas X, Y , Zdel centro de masa de una sola nube:
+∞ +∞ +∞
l
X = ∫∫∫xC( x,
y,
z,
t)
dxdydz
(3.99)
M
−∞ −∞ −∞
siendo x la posición de una partícula; y similarmente para Y y Z .
133

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
2.- La varianza según x de la nube individual (y similarmente según y y z):
+∞ +∞ +∞
2 l
2
σ
x
= ∫∫∫(
x − X ) C(
x,
y,
z,
t)
dxdydz
(3.100)
M
−∞ −∞ −∞
3.- La coordenada según x del centro de masa de todo el conjunto (ensemble) de nubes ( y similarmente
según y y z):
+∞ +∞ +∞
l
< X >= ∫∫∫xC( x,
y,
z,
t)
dxdydz
(3.101)
M
−∞ −∞ −∞
siendo x la posición de todas las partículas en el conjunto de todas las nubes, y denotando < > el
promedio en el conjunto (ensemble).
4.- La varianza según x (y similarmente según y y z) de todo el conjunto de nubes:
+∞ +∞ +∞
2 l
2
∑
x
= ∫∫∫(
x− < X > ) C(
x,
y,
z,
t)
dxdydz
M
−∞ −∞ −∞
(3.102)
Se puede demostrar que:
2 2 2
Σ x
=< σ x
>+< ( X−< X> ) >
(3.103)
Es decir, que la varianza del conjunto de nubes es mayor que la varianza de las nubes
individuales (Σ > σ )
3.5.5.1 Tamaño de Nubes y Escala de Tiempo Lagrangiana
Se define tridimensionalmente, el tamaño de una nube individual:
l
1 2
⎡1
2 2 2 ⎤
( t)
= (
x
+ σ
y
+ σ
z
) ⎥ ⎦
⎢
σ (3.104a)
⎣3
y el tamaño de una nube promedio:
1 2
⎡1
2 2 2 ⎤
L ( t)
=
⎢
( Σ
x
+ Σ
y
+ Σ
z
)
⎣3
⎥
(3.104b)
⎦
que dan respectivamente, el crecimiento de una nube respecto a su centro de masa móvil
(lagrangiano), y el crecimiento de una nube promedio respecto de un punto fijo (euleriano).
134

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
Hay teorías que describen satisfactoriamente el crecimiento de l(t) y L(t) en el tiempo.
su cuadrado:
La posición respecto del origen (x= 0) de una partícula cuya velocidad es U, es
t
x( t)
= ∫Udτ
0
, y
t
∫∫
t
2
x ( t)
= U ( τ ) U ( τ ) dτ
dτ
3.105)
0 0
y el valor medio del cuadrado de estas posiciones, en el conjunto de nubes:
1
2
1
2
t t
2
< x >= ∫∫ < U ( τ1)
U ( τ
2
) > dτ1dτ
2
(3.106)
0 0
o bien:
< x
2
t
t
2
( t)
>=< U > ∫∫R
( τ −τ
) dτ
dτ
0 0
x
2
1
1
2
(3.107)
si por definición, el coeficiente de correlación (autocorrelación) de las velocidades es:
R ( τ τ ) x
U ( τ ) U ( τ ) / 2
2
−
1
=<
1 2
> < U >
(3.108)
2
y la intensidad inicial de la turbulencia es < U >=< U( 0) U( 0)
>
O, usando la variable s = intervalo ∆τ = τ −τ
:
< x
2
2 1
t
2
( t)
>= 2 < U > ∫ ( t − s)
R ( s)
ds
(3.109)
Taylor (1921) distingue 2 casos o etapas en el fenómeno de crecimiento:
0
a) tiempo corto después de la inyección, en que las velocidades de las partículas están todavía
muy correlacionadas (R ) :
x
→ 1 x
2 2
< x >=< U > t 2
(3.110)
b) tiempo largo, después de la inyección en que no es posible relacionar entre si las trayectorias de las
partículas en su pasado:
∫ ∞
0
2
2
< x >= 2 < U > t Rx ( s)
ds
(3.111)
2 2
lo que puede expresarse como: < x >= 2 < U > Tx
t
135

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
siendo, por definición Tx la escala de tiempo Lagrangiana (constante):
∫ ∞
Tx = Rx
( s)
ds
(3.112)
0
es decir, que para un tiempo largo:
1
2
d
< 2
> =< 2
U > T = constante (3.113)
x
3.5.5.2 Simil con la Difusión Molecular y la Escala de Longitud Lagrangiana
x
dt
La expresión (3.110) es válida para t > Tx . Comparando esta última
2
con la correspondiente a la difusión molecular de Fick, en que σ crece linealmente en el tiempo, con
un coeficiente de difusión molecular D constante, en forma de una curva de Gauss:
1
2
∂
∂t
σ
2 = D = constante
(3.114)
se puede definir por analogía, un coeficiente de difusión turbulenta (constante en el tiempo):
ε x
=
2
1 d < x > =<
2
U > T x = constante
(3.115)
2 dt
y tratar matematicamente la difusión turbulenta igual que la difusión molecular de Fick, pero
usando los valores medios de las variables, y después de transcurrido un tiempo t >> Tx .
En consecuencia, para una materia de concentración C, se puede expresar ecuaciones de
transporte para valores instantáneos, sus fluctuaciones, y los valores medios, semejantes a las
ecuaciones para la salinidad (1.1) y (1.3) del Capítulo 1:
∂C
∂ ∂ ∂
∂t =− ( UC) ∂
− ( VC) ∂
− ( WC)
x y ∂z
(3.116)
∂c
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂t = − ( uc) ∂
− ( vc) ∂
− ( wc) ∂
− ( uc
, , )
∂
− ( vc
, , )
∂
− ( wc
, , )
x y z x y ∂z
(3.117)
y analogamente a la expresión (1.4) definir los coeficientes de difusión turbulenta ∈
x, ∈y,
∈z
independientes del tiempo, como:
uc
c
c
c
=− ε ∂ x
; vc =− ε ∂ y
; wc =−ε ∂ ∂x
∂y
z ∂z
; (3.118)
, , , , , ,
136

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
de modo que la ecuación de transporte turbulento queda en la forma general de Fick (con
∈x, ∈y, ∈z
independientes del tiempo):
∂c
∂c
∂c
∂c
+ u + v + w
∂t
∂x
∂y
∂z
∂ ⎛
= ⎜ε
∂x
⎝
x
∂c
⎞ ∂ ⎛
⎟ + ⎜ε
∂x
⎠ ∂y
⎝
y
∂c
⎞ ∂ ⎛
⎟ + ⎜ε
∂y
⎠ ∂z
⎝
z
∂c
∂z
⎞
⎟
⎠
(3.119)
que en el caso de ∈
x, ∈y, ∈z
independientes de x, y, z, respectivamente, queda:
∂c
∂ ∂ ∂
u
c v
c w
c ε ∂ 2
ε ∂ 2
ε ∂ 2
c c c
+ + + =
x
+
y
+
2
2 z 2
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
(3.120)
cuyas soluciones matemáticas son similares a las ya vistas para los casos de difusión molecular
de Fick.
Tridimensionalmente, la escala de tiempo Lagrangiana es:
1
TL = Tx + Ty
+
3 ( T ) (3.121)
z
En muchos casos reales, al efectuar mediciones, es difícil determinar T L porque se desconoce el
instante inicial t = 0 en que comenzó la difusión turbulenta. Se define entonces, con propósitos
operacionales, la escala de longitud Lagrangiana:
L
2
=< U > T L
2 2
L
(3.122)
2 L
2 2
de modo que para toda nube de tamaño l > L la difusión es de Fick, y los coeficientes de difusión
turbulenta (ε) son independientes del tiempo.
Las escalas de tiempo y longitud lagrangiana pueden interpretarse en un caso real, en que se
sitúan 2 sensores de velocidad en un fluido turbulento, de la siguiente forma: a) temporalmente, las
mediciones tendrán inicialmente una correlación alta si ambos están en la estructura de un mismo
remolino, y baja al aumentar el tiempo si quedan situados en dos remolinos independientes disgregados
del principal por la "cascada de energía" típica del fenómeno turbulento, y b) espacialmente, la
correlación es alta si ambos están cerca (sobre un mismo remolino) o baja si están lejos (sobre diferentes
remolinos independientes). Ver Figura 3.38 a y b.
En las lagunas costeras, la frontera física mas cercana que interrumpa la difusión de la nube
inicial, descorrelacionando las velocidades, determina la escala de longitud Lagrangiana. Para lagunas
anchas y someras esta escala es la profundidad, y para lagunas angostas y profundas (tipo fjordo) es el
ancho (Figura 3.38 c y d).
137

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Fig. 3.38 a) y b) Interpretación de escalas temporal y espacial Lagrangiana, respectivamente;
c) y d) escala de longitud Lagrangiana para laguna costera ancha-somera y angostaprofunda,
respectivamente.
De las expresiones (3.115) y (3.122) se deduce que:
2 1
ε≈< U >
2 L (3.123)
pudiendo obtenerse en primera aproximación una estimación del valor de los coeficientes de
difusión turbulenta vertical y transversal en las lagunas costeras mencionadas anteriormente, según que
se tome como escala Lagrangiana el ancho (b) o la profundidad (h):
L
ε
vertical
≈< U > h y ε ≈< U >
2 1 2 2 1 2
transversal
b
(3.124)
y/o una vez conocidos los valores de estos coeficientes, determinar la escala de tiempo Lagrangiana:
T ≈ 2 L
≈ b 2 /ε
t
ó TL
h /ε v
(3.125)
T L es, en orden de magnitud y en primera aproximación, el tiempo de mezcla total.
3.5.6 Dispersión en Flujos Cizallados (con Shear)
Por definición, un flujo cizallado (o con esfuerzo tangencial de corte, deslizamiento, o shear) es un
flujo en que existen gradientes de la velocidad advectiva, en el plano transversal a esta advección
longitudinal. Ejemplos de flujos cizallados, con gradientes transversales bidimensionales en los perfiles
de velocidad pueden verse en la Figura 3.10.
Por definición (ver Sección 1.4.1.3.7) la dispersión es el esparcimiento (scattering) de las
partículas por el efecto simultáneo del flujo advectivo con cizalle y de la difusión transversal a éste. La
dispersión puede ser laminar o turbulenta según que la difusión predominante sea molecular o turbulenta
respectivamente.
3.5.6.1 Dispersión Laminar: Coeficientes y Ecuaciones
138

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
Si en un flujo hay un gradiente transversal en la velocidad advectiva longitudinal, con un
vector velocidad máximo al centro, cuanto mas alejadas estén las partículas de este vector de
velocidad máxima (las de los extremos, fondo u orillas) mas atrasadas quedarán en su avance,
separándose paulatinamente de las centrales al transcurrir el tiempo. La Figura 3.39a ilustra este
caso de formación de una nube alargada con 2 colas laterales, típica del flujo en un tubo o en el
canal de transporte de una laguna costera. Al agregar simultáneamente un movimiento transversal
al azar por la difusión molecular, las partículas se cambian a otros vectores velocidad diferentes en
cada instante de tiempo, deformando el perfil inicial de la distribución, la forma de la nube, y su
centro de masa (Figura 3.39b).
Fig. 3.39. Esparcimiento de nube de partículas en un canal por: a) flujo advectivo cizallado, y b) el
anterior más difusión transversal.
Sin embargo, después de un cierto tiempo, semejante al de la escala de tiepo Lagrangiana,
todas las partículas habrán muestreado todos los vectores velocidad del perfil, y sus posiciones y
velocidades serán independientes de las posiciones y velocidades iniciales, distribuyéndose en
forma normal (Gaussiana). Lo anterior justifica la aplicación para la Dispersión, de un tratamiento
estadístico semejante al de la Difusión, y la definición por analogía con la expresión (3.115) y por
sustitución de la (3.125), de un coeficiente de Dispersión (longitudinal) constante en el tiempo:
2
2 2
2 2
K ≈< U > T ≈ U a / D ≈ U a / ε
(3.126)
x
L
0
0
correspondiendo el segundo término al caso de difusión molecular, y el tercero al de
difusión turbulenta, y siendo "a" una longitud característica del caso (ancho o profundidad) y U 0
la velocidad máxima en el perfil . El coeficiente K, similarmente a D y a ε, tiene dimensión L 2 T -
1 .
El valor medio y las desviaciones de la velocidad y de la concentración en el perfil
transversal (no confundir con valor medio y fluctuaciones turbulentas) son (Figura 3.40):
u
b
1 ,
= udy u y = u y − u
b
∫ ( ) ( )
0
(3.127a)
c
b
1 ,
= cdy c y = c y − c
b
∫ ( ) ( )
0
(3.127b)
139

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Fig. 3.40. Valor medio y desviaciones de la velocidad y la concentración en el perfil.
Con estos valores, la ecuación de transporte de masa dispersivo (con difusión molecular)
queda:
2
2
∂ ,
, ∂ ,
⎡ ∂
, ∂
,
⎤
( c + c ) + ( u + u ) ( c + c ) = D⎢
( c + c ) + ( c + c )
2
2 ⎥
∂t
∂x
⎣∂x
∂y
⎦
(3.128)
Taylor (1953) demuestra que esta ecuación tiene como solución un transporte de masa debido a las
variaciones dispersivas, de forma:
& = ∫ b , , ∂c
l
= ∫ b ,
u c dy u ∫ y ∫
y u dydydy
(3.129)
∂x
D
M
0 0 0 0
,
que puede escribirse como una ley de flujo semejante a las (3.69):
&M =−αk ∂c ∂x
(3.130)
140

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
si se define un coeficiente para la dispersión longitudinal:
K
1
= −
αD
∫
0
a
u
,
y
∫∫
0 0
y
,
u dydydy
(3.131)
con lo que la ecuación para el transporte de materia por dispersión longitudinal se reduce a la
forma de Fick:
∂c
∂ ∂
u
c 2
+ = K
c
2
∂t
∂x
∂x
( 3.132)
(nótese que en esta ecuación solo hay términos de variación espacial en la coordenada "x" por ser
la dispersión longitudinal, pero la evaluación del coeficiente K mediante la expresión (3.131) ya
considera las fluctuaciones transversales por difusión según "y")
Esta ecuación y su solución Gaussiana están también limitadas en su validez a una escala de
tiempo Lagrangiana. Como se observa en la Figura 3.41, la distribución de concentración media
transversal, a lo largo de x, tiene 3 etapas definidas en su evolución temporal desde un estado
inicial puntual, a uno intermedio asimétrico, hasta uno final simétrico Gaussiano. Estas 3 etapas
ocurren respectivamente para una extensión temporal de:
2 2 2
t ≤ 04 . a / D 04 . a / D< t < a / D t ≥a
2 /D
(3.133)
En la primera etapa no es posible definir el coeficiente K, ni tampoco plantear una ecuación
analítica sencilla de transporte de materia. En la segunda y tercera etapas la ecuación de transporte
de materia es de la forma conocida de Fick. Sin embargo, en la segunda etapa el coeficiente K
depende linealmente del tiempo y es necesario encontrar una solución por integración numérica
para cada caso particular. Solamente en el tercer caso el coeficiente K es constante en el tiempo y
la solución es de tipo Fick. Esto define el tiempo de mezcla total como: t ≈ a 2 /D ó t ≈ a 2 /ε,
según que predomine la difusión molecular o la difusión turbulenta respectivamente en el plano
transversal. "a" es la profundidad "h" o el ancho "b", y el coeficiente ε puede ser el vertical o el
transversal, según el caso.
141

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Fig. 3.41. Evolución temporal de la distribución de concentración media durante dispersión
longitudinal en un canal de transporte.
3 ejemplos simples de evaluación de K en flujos laminares paralelos:
a) perfil de velocidad vertical lineal (Figura 3.42a):
,
Uz ( ) = Uz/ h u= U / 2 u= u− u= U( 2z−h)/
2 h
0 0 0
K
1 h (2z
− h)
z z
= − U
0
U
hD
∫0 2h
∫0∫
0
0
2 2
(2z
− h)
U
0
h
dzdzdz =
2h
120 D
b) perfil de velocidad parabólico radial (Figura 3.42b):
Ur () = U( a −r)/
a
0
2 2 2
K
= −
2aD
1 + a / 2
∫
u
∫ ∫
−a
/ 2 0 0
,
2 2
, U
0
u drdrdr =
192 D
r r a
si en este último caso se dispersa sal en agua (D ≈ 10 -5 cm 2 /s), en un tubo capilar de radio a = 2
mm, con velocidad máxima U = 1 cm/s, el coeficiente de dispersión resulta ser K ≈ 20 cm 2 /s ≈ 2 ×
10 6 D, es decir, 2 millones de veces mas grande que el de difusión molecular, lo que es usual.
c) En forma análoga puede calcularse que para un flujo laminar bajando un plano inclinado, con
profundidad "d", y cuyo perfil de velocidad es es: U (z) = U 0 [2(y/d) - (y 2 /d 2 )], el coeficiente de
dispersión longitudinal es K = 8 d 2 U 2 0
/ 945 D.
142

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
Fig. 3.42. Flujos laminares paralelos con perfil de velocidad: a) vertical lineal, y b) radial parabólico
3.5.6.2 Dispersión Turbulenta: Coeficientes y Ecuaciones
El tratamiento matemático es similar al caso laminar, salvo que en vez de D, está presente el
coeficiente de difusión turbulenta "ε". Por ser función de la velocidad, este coeficiente varía al
través del perfil , en función de la coordenada "z" para el caso vertical e(z), o de la coordenada "y"
para el caso lateral e(y). El coeficiente de dispersión "K" (ecuación 3.131) para el caso de
presencia de turbulencia lateral, queda:
K
1
= −
b
1
ε ( y)
b y y
,
∫ u ∫ ∫
0 0 0
,
u dydydy
(3.134)
Para el caso de turbulencia vertical, la expresión es similar pero con la profundidad "h" en
vez del ancho "b", ε (z) en vez de ε (y), y las integraciones con respecto a "z" en vez de "y".
Para evaluar K usando la expresión anterior es necesario: a) encontrar un u' adecuado al
perfil de velocidad de cada caso particular, b) evaluar ε (z) ó ε (y), ó un valor medio ε (z)
ó
ε (y) a lo largo del perfil, y c) integrar. Un ejemplo (algo tortuoso) es la evaluación de Elder
(1959) para un flujo verticalmente turbulento en un canal infinitamente ancho con profundidad
"h", suponiendo un perfil de velocidad logarítmico (ecuación 3.68):
, * .
uz u u z u
uk k u z
( ) = + ( ) = + + 230 *log10 (3.135)
h
siendo u* = (τ 0 /ρ) 1/2 la velocidad característica (ecuación 3.66), en que τ 0 es el esfuerzo en el
fondo, y “k” la constante de Von Karman = 0.21 ó 0.40 para canales naturales con o sin sedimento
en suspensión. Suponiendo que el esfuerzo tangencial de la velocidad depende linealmente con la
profundidad, y que el coeficiente de transporte de momentum "ν" debido a este esfuerzo es del
orden del coeficiente de difusión turbulenta ε:
∂u
∂u
⎛ z ⎞
τ = ρν = ρε = τ 0 ⎜1
− ⎟
∂z
∂z
⎝ h
(3.136)
⎠
143

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
o bien, y usando el perfil de velocidad (3.135), el coeficiente "ε" es
−1
=
τ
0 ⎛ z ⎞⎛
∂u
⎞ z ⎛ z ⎞
ε ( z)
⎜1
− ⎟⎜
⎟ = k ⎜1
− ⎟hu
*
(3.137)
ρ ⎝ h ⎠⎝
∂z
⎠ h ⎝ h ⎠
e introduciendo u' y ε en la ecuación (3.134), integrando, y evaluando para k = 0.40 (sin
sedimentos), el coeficiente de dispersión resulta:
K = 5.93 h u* (3.138)
recordando que u* puede evaluarse aproximadamente según el segundo o el tercer término de la
ecuación (3.66).
−1/
2
,
,
2
,
Introduciendo las variables adimensionales: y = y / b , z = z / h , u " = u'
{(
u')
} , y ε = ε / E ,
siendo E = ε dydz / dydz el promedio de ε en la sección transversal, la ecuación (3.134)
queda:
∫∫
∫∫
2 , 2
b u
K = (3.139), en que
E
I
I
1
= ∫ u
0
1
ε
, ,
y y
, , ,
" ∫ u"
dy dy dy
0 , ∫0
Para los 3 casos ejemplo de la sección anterior: a) I = 0.10, b) I = 0.0625, y c) I = 0.0952; y
para la gran mayoría de casos reales de flujos paralelos en canales artificiales I ≈ 0.1, y en rios I ≈
0.07 aproximadamente; lo que hace innecesario calcular la integral I para propósitos prácticos. Se
puede derivar una expresión similar a la (3.139) pero con "h" en vez de "b" e integrando respecto
de "z" en vez de "y" en la expresión de I, para el caso con difusión turbulenta en dirección vertical.
3.5.7 Determinación de los Coeficientes de Difusión Turbulenta Vertical y Transversal, y de Dispersión,
en Canales y Rios
3.5.7.1 Canales Rectangulares Lisos y Anchos
Si el canal es muy ancho (ilimitado, para propósitos prácticos) en comparación con su
profundidad, la escala espacial que determina la mezcla turbulenta total, es decir el uso de
coeficientes ε constantes en el tiempo, es la profundidad "h". Laufer (1950) determina que para
estos canales < U 2 > 1/2 ≈ u* . Entonces, según la expresión (3.123):
ε≈hu* (3.140)
Considerando el perfil logarítmico de Elder (3.135), promediado sobre "z", y para k = 0.40,
el valor medio del coeficiente de difusión turbulenta vertical resulta ser:
144

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
ε vertical
= 0. 067 h u* (3.141)
Csanady (1976) encuentra ε
vertical
= 005 . h u* para la capa límite del viento en la atmósfera
(h ≈ 10 m).
Aún cuando en un canal muy ancho no hay un gradiente transversal de velocidad
apreciable, se produce mezcla turbulenta transversal, no pudiendo depender su coeficiente del
ancho "b", que no está definido para este proceso. Según Fischer et al (1979), resultados de 75
experimentos de difusión turbulenta transversal en canales rectangulares lisos y anchos, efectuados
por diversos investigadores, indican que:
3.5.7.2 Canales Irregulares y Rios
ε transversal
= 015 . h u * ± 50% (3.142)
Los canales irregulares y rios se diferencian del caso anterior en que:
a) la profundidad varía irregularmente según "x" y según "y";
b) el canal principal puede tener muchas curvas; y
c) pueden ocurrir irregularidades significativas en las márgenes laterales: salientes, bajos,
entradas, etc.
Los fenómenos anteriores no afectan significativamente la mezcla vertical, pudiendo usarse
para el coeficiente de difusión turbulenta vertical el valor de la expresión (3.141). Nuevamente,
según Fischer et al (1979), resultados de numerosos experimentos de difusión turbulenta transversal
en canales irregulares y rios, efectuados por diversos investigadores, indican que, para canales con
curvaturas suaves:
ε transversal
= 060 . h u * ± 50% (3.143)
para canales con curvaturas abruptas, este coeficiente puede ser un orden de magnitud (10
veces) mayor.
Nótese que en promedio:
mezcla total serán:
ε
t
= 10 ε v
, y por lo tanto, según la (3.125), los tiempos de
2
t ≈ 10( h/ b) t
(3.144)
mezcla vertical mezcla horizontal
de modo que si el ancho (b) es mucho mayor (en órdenes de magnitud) que la profundidad
(h), la mezcla vertical puede considerarse instantánea y para muchos casos de lagunas costeras
reales se puede suponer que el efluente se distribuye inicialmente como una fuente lineal vertical
uniforme (ver Figura 3.36).
Respecto del coeficiente de dispersión longitudinal (K), numerosas mediciones en rios
indican que, aunque la distribución vertical de velocidades es aproximadamente logarítmica, la
expresión (3.138) de Elder para canales no es válida, siendo los valores reales de K para rios entre
145

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
140 h u* y 500 h u*, y aún en casos extremos, hasta 7500 hu* (Fischer et al, 1979). Esta
disparidad con la expresión de Elder se debe a que esta última considera el canal infinitamente
ancho despreciando los gradientes laterales de velocidad y las variaciones laterales de la
profundidad debidas a las irregularidades de la batimetría real. Para evaluar la influencia de estas
fluctuaciones es necesario considerar que la velocidad (u) y la profundidad (h) dependen de la
coordenada lateral (y), y definir en cada corte seccional de la laguna los valores medios verticales
de la velocidad (para diversas posiciones laterales (y):
0
z 1
u ( y)
= ∫ u(
y,
z)
dz
(3.145)
h(
y)
− h(
y)
y las desviaciones de estos valores medios verticales con respecto al valor medio lateral de
todos los valores medios verticales
,
u ( y)
y
z
u :
z
= u ( y)
− u
y
z
(3.146)
aplicando a estas desviaciones laterales en el corte seccional el análisis tradicional de Taylor
ya visto, se obtiene para el coeficiente de dispersión longitudinal en esa sección:
K
1
= −
A
∫
b
0
,
u ( y)
h(
y)
∫
y
1
ε ( y)
h(
y)
∫
0 0
t
y
,
u ( y)
h(
y)
dydydy
(3.147)
siendo A el área de la sección transversal.
Esta última expresión puede adimensionalizarse usando las variables ya definidas
y
anteriormente, además de la profundidad adimensional: h'(y) = h(y)/ h , quedando:
y
2 , 2
b u
K =
(3.148a)
E
I
,
en que I = −∫ u h ∫ , , ∫
1
0
1
ε h
, ,
y y
, , , ,
" u"
h dy dy dy
0 0
(3.148b)
Estas expresiones y el análisis de Taylor precedente, además de estar limitadas en escala
temporal de aplicación al tiempo de mezcla total, deben ajustarse y revisarse en casos reales
porque:
A) los rios no son canales longitudinalmente uniformes, es decir, las secciones transversales
cambian a lo largo de x;
B) hay numerosas irregularidades difíciles de cuantificar (curvaturas, bancos de arena,
pozos, bolsillos laterales, objetos hundidos, etc.) que contribuyen aditivamente a la dispersión
longitudinal, causando:
1) aumento en el tiempo de mezcla total o de inaplicabilidad del análisis;
146

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
2) generación de "colas" en la distribución de concentración por atrapamiento del material
dispersivo en zonas muertas o bolsillos laterales, y su posterior liberación (este efecto es típico de
lagunas costeras por acción de la marea, produciendo atrapamiento y liberación en ciclos
sucesivos); y
3) fluctuaciones en los coeficientes, al trasladarse lateralmente el máximo de velocidad
hacia las márgenes externas de las curvas al haber meandros presentes (ver Sección 2.6.1 y Figura
2.17).
De diversas observaciones y mediciones en rios con irregularidades en su cauce, Fischer
(1975) propone como adecuado para aplicaciones, substituir: E = 0.6 h u* ;
0.7 b en vez de b en la expresión (3.148), con I = 0.07, quedando:
u
y
,2
y
0.2
⎛ z
=
⎞
⎜u
⎟
⎝ ⎠
2
; y
K
rios
2
y
z 2
= 0.011
⎛
u
⎞
⎜ ⎟ b / h u *
(3.149)
⎝ ⎠
esta ecuación es operacionalmente muy útil para determinar K en rios si se conoce la batimetría
(anchos, profundidades, pendientes de fondo), se efectuan suficientes mediciones de velocidad en
cada corte transversal, y el canal de transporte es uniforme (el ancho y la profundidad media no
varian mucho de una sección a otra). Salvo excepciones, los valores de K así calculados son del
mismo orden de magnitud que los obtenidos experimentalmente por medición de ancho de nubes
de materia dispersada en el cauce del rio (que es la otra alternativa empírica para su
determinación).
3.5.8 Dispersión en Flujos Oscilatorios con la Marea
Sea un flujo con perfil de velocidad vertical lineal, inicialmente u = U 0 z/h, que oscila
cosinusoidalmente en el tiempo, invirtiendo su sentido en 180° según x, cada t = T/2 (Figura 3.43):
Uz
0
u = cos( 2π t/ T)
(3.150)
h
el coeficiente de dispersión también fluctuará en el tiempo tomando los valores extremos
2 2
2 2
K= U 0
h / 120 ε, K = 0 , K = U 0
h / 120 ε, K = 0, etc. sucesivamente cada cuarto de ciclo. Y las
distribuciones de concentración de materia en dispersión adoptarán en cada etapa las formas que se
muestran en la parte inferior de la Figura citada.
147

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Fig. 3.43 Etapas en el ciclo oscilatorio de un perfil vertical lineal de velocidad, y
correspondientes
distribuciones de concentración de materia en dispersión.
3.5.8.1 Periodo de las Oscilaciones y Tiempo de Mezcla Total
Este cambio periódico en las posiciones de las partículas de materia, como se muestra en
la Figura anterior, solo puede ocurrir si el cambio de sentido de la velocidad es suficientemente
lento como para que la viscosidad del medio permita a las partículas mezclarse y revertir su
movimiento. Es decir, el tiempo de inversión de sentido debe ser igual o superior al tiempo de
mezcla total. En caso contrario y en extremo, si el flujo oscila a una frecuencia suficientemente
alta, las partículas permanecen en situación estática y la dispersión es nula. En resumen:
2 2
K= 0 para T >
tm
Para periodos de oscilación intermedios, T ≈ t m (como es el caso de las mareas
astronómicas), el valor medio de K en el ciclo, calculado según el promedio de la expresión
integral (3.134) considerando las desviaciones u' correspondientes al perfil cosinusoidal temporal,
es:
K
2 2
∞
U
0
h ⎛ T ⎞
= (2 −1)
4
⎜
⎟ ∑ n
π ε ⎝ tm
⎠ n=
1
2
−2
⎧
⎪
⎡π
2⎛
⎨⎢
(2n
−1)
⎪⎢
2
⎜
⎩⎣
⎝
T
t
m
2
2
⎞ ⎤
⎟ ⎥
⎠ ⎥⎦
⎫
⎪
+ 1⎬
⎪
⎭
−1
(3.151)
Esta relación, en función de las variables adimensionales: T' = T/t m y f(T') = K/K 0
2 2
(si: K = U h / 240 ε) se representa graficamente.en forma logarítmica en la Figura 3.44.
0 0
148

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
Fig. 3.44 Coeficiente de dispersión para flujos oscilatorios vs. período de oscilación
(adimensionalizados), según Fischer
3.5.8.2 Coeficientes de Difusión Turbulenta Vertical y Transversal, y de Dispersión, en Lagunas
Costeras.
Para una típica laguna costera con ancho medio del canal de transporte (sin incluir las
2
zonas de bajos de las áreas de almacenamiento) b = 100 m , si ε ≈ 500 cm /s, el tiempo de mezcla
turbulenta total es t = b
2 5
m
/ ε = 2 × 10 s. El periodo de la componente predominante de la marea
astronómica semidiurna es T = 12.4 horas = 4.5 × 10 4 s. De modo que T ≈ t m : T' = T/t m ≈ 0.22,
y por lo tanto para los casos reales de gran mayoría de las lagunas costeras se está en el rango de
aplicabilidad de la ecuación (3.151) o su representación gráfica de la Figura 3.44, es decir que K =
K 0
f(T').
Usando la expresión (3.148) de K para ríos, pero considerando ahora que t = 0
b 2 m
/ E, I ≈
0.1 , y denotando como u al promedio vertico-transversal de la velocidad en la sección:
−1
K = 002 . u t f( T') = 002 . u T{ T' f( T ')}
(3.152)
lagunas
2 2
m
149

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
La función entre paréntesis de llave {}, representada graficamente en la Figura 3.45, exhibe
las siguientes propiedades interesantes:
'−1
Fig. 3.45 Función T f(T') vs. período adimensional, según Fischer
'−1
a) El valor máximo es T f(T') ≈ 0.8 para T' ≈ 1, es decir para T ≈ tm que, como se vió
anteriormente, es lo habitual en lagunas costeras. Entonces, sustituyendo en la (3.152), el
valor máximo de K en lagunas costeras es:
K
max imo lagunas
.
2
Ejemplo: si u = 0.3 m/s, y T = 12.4 horas .: K
máximo
≈ 64 m /s.
≈ 0 016 u
2 T (3.153)
b) T' f(T') disminuye hacia ambos extremos de la curva, teniendo sus valores mínimos tanto
2
para T' muy grandes como para T' muy pequeños, ó, como T' = T/t m = TE/ b , para
cuencas muy anchas o muy angostas. En consecuencia, la máxima dispersión ocurre en
lagunas costeras para anchos intermedios.
La expresión (3.152) tiene como limitantes en su validez que:
1) No considera lagunas costeras con estratificaciones verticales de densidad, siendo válida
solamente para lagunas de una sola capa vertical homogénea;
2) No considera la presencia de zonas de atrapamiento lateral;
150

Cap. 3
Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión
3) Considera solamente canales varios órdenes de magnitud mas anchos que profundos; y
4) No considera defases ni amortiguaciones por efecto de la fricción de fondo en la
propagación de la onda de marea.
Por lo anterior, si existen suficientes mediciones, o es posible llevarlas a cabo, es
conveniente evaluar la integral "I" en vez de suponer que I ≈ 0.1; o bien determinar K mediante
mediciones de la evolución del ancho y alargamiento de nubes de materia de un trazador que se
disperse en la laguna.
Okubo (1973) sugiere usar el siguiente coeficiente de dispersión modificado, para lagunas
costeras con presencia de zonas de atrapamiento:
K
atrap
=
2
Klagunas
ru0
+
−1 2
1+
r 2 ξ ( 1+ r) ( 1+ r+
σξ)
(3.154)
siendo r el volumen relativo de la zonas de atrapamiento respecto del canal de transporte, u 0
la velocidad máxima, σ la frecuencia angular de la marea, y ξ el tiempo de intercambio entre las
zonas de atrapamiento y el flujo principal (habitualmente del orden de medio ciclo de marea).
3.5.8.2.1 Verticalmente Estratificadas y Verticalmente Homogéneas
Fischer (1973) deduce la siguiente expresión para el coeficiente de dispersión en
un corte seccional de forma geométrica triangular en una laguna costera estratificada:
K
estrat
= 1.9 x10
−5
⎧ g ∂ρ ⎫
⎨ ⎬
⎩ ρ ∂x
⎭
2
6
h b
ε ε
2
v
2
t
(3.155)
siendo ρ la densidad media en el corte, y ∂ρ/∂x el gradiente longitudinal de densidad.
Fischer (op. cit.) evalua K ≈ 360 m 2 /s para el estuario del rio Mersey usando esta expresión.
Este resultado es del orden de los valores medidos por otros autores en experimentos de
dispersión en el mismo estuario. En general, para lagunas costeras estratificadas estuarinas,
el valor de K es de 50 a 500 m 2 /s, fluctuando según la estación del año de acuerdo a la
descarga de agua dulce del rio que es la que determina el menor o mayor grado de la
estratificación vertical.
Para los coeficientes de difusión turbulenta vertical (ε v ) y transversal (ε t ) en
lagunas costeras, no es posible usar las expresiones deducidas para rios, en función de hu*,
porque siendo el flujo de marea no-estacionario, u* fluctua entre 0 y su valor máximo en el
ciclo de marea.
Bowden (1967) propone usar los siguientes valores medios para el coeficiente de
difusión turbulenta vertical en lagunas costeras de tipo estuarino homogéneas y
estratificadas:
v
ε v
hom og
= 0.
0025 hU y (3.156)
a
151

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
v
ε
v
= ε ( 1+
333 . )
hom
v v i
estrat og
R
−32
(3.157)
siendo U a la velocidad máxima a profundidad media, y R i el número de Richardson (ver
definición según ecuación 1.24 en la Sección 1.4.2.1.1).
Resultados de mediciones en experimentos de difusión turbulenta vertical en
lagunas costeras muestran que:
ε v
≈ 0. 50 a 71.0 cm 2 / s y (3.158)
hom og
ε vestrat
≈ 001 . a 010 . ε v
(3.159)
hom og
Para el coeficiente de difusión turbulenta transversal en lagunas costeras
verticalmente homogéneas, los resultados de experimentos efectuados por Ward (1974),
Ward (1976), y Fischer et al. (1979) pueden agruparse estadísticamente en
ε t
hom og
= 10 . hu*
± 60 % (3.160)
Y para el coeficiente de difusión turbulenta transversal en lagunas costeras
verticalmente estratificadas:
ε testrat
= 001 . a 010 . ε t
(3.161)
hom og
Sin embargo, tanto para el coeficiente de difusión turbulenta transversal, como
para el vertical, no existen suficientes mediciones en casos reales ni de laboratorio en
situaciones verticalmente estratificadas, como para validar o deducir razonablemente una
expresión analítica.
152

Cap. 4 Modelos Numéricos
________________________________________________________________________________
CAPITULO 4
MODELOS NUMERICOS HIDRODINAMICOS Y DE TRANSPORTE DE MATERIA
153

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
154

Cap. 4 Modelos Numéricos
OBJETIVOS DEL CAPITULO: Exponer las nociones básicas de las técnicas de modelación numérica
para obtener, mediante soluciones aproximadas en computador de las ecuaciones de la dinámica, el
comportamiento hidrodinámico y de transporte de materia en lagunas costeras, ya sea en las condiciones
presentes como frente a eventuales modificaciones futuras. Desarrollar la metodología para selección o
elaboración adecuada de estos modelos, sus métodos de integración, y características de sus soluciones.
Ilustrar su aplicación a situaciones típicas en las lagunas costeras.
4.1 Características y Tipos
La solución general de las situaciones hidrodinámicas y de transporte de materia en una laguna
costera, implica poder determinar y predecir alturas de marea, velocidades de corrientes, descargas,
salinidades, temperaturas, y densidades del agua, concentraciones de oxígeno disuelto o de
trazadores contaminantes, etc., etc. (es decir en general variables físicas, químicas y/o biológicas)
para todo instante de tiempo y en todo punto espacial (o al menos en un conjunto limitado discreto,
pero lo mas extenso posible para satisfacer los requerimientos de resolución de la situación). Lo
anterior tanto para las condiciones presentes, como para las futuras ante la ocurrencia de eventuales
modificaciones; y suponiendo como conocidas algunas condiciones iniciales y de frontera como: la
batimetría, las descargas de agua dulce si existen, la marea oceánica en la boca, las velocidades de
los vientos actuantes, etc.
Las alternativas para la obtención de estas soluciones son 2: a) modelos físicos hidráulicos
(maquetas a escala), o b) modelos numéricos (simulaciones de la situación real en computador).
Las modelos físicos (maquetas a escala) son útiles para predecir los efectos de posibles
modificaciones al construir obras de ingeniería, y se usan prioritariamente en bahias y puertos como
parte del estudio previo a la realización de obras de gran costo o envergadura. Este alto costo, el
tiempo que demanda su elaboración, y su poca versatilidad para modificar las condiciones de su
construcción, los hace inconvenientes con respecto a los modelos numéricos, para la solución de
problemas de circulación y/o transporte de materia en lagunas costeras.
Este Capítulo versa unicamente sobre la aplicación de modelos numéricos a las situaciones ya
mencionadas, en las lagunas costeras.
Un modelo numérico, para estos casos, consiste en la solución espacio-temporal aproximada e
iterativa (por etapas) de las ecuaciones de la hidrodinámica y/o el transporte de materia, mediante
métodos de integración numérica en un computador, si se suministra como información conocida los
valores de ciertas variables (tipicamente las de forzamiento externo como: alturas de marea, esfuerzo
del viento, etc.) para las condiciones iniciales (en t = 0) y de frontera (en los márgenes laterales,
boca, cabeza, fondo, o superficie libre).
Los modelos numéricos de este tipo están estructurados con los siguientes elementos (Figura
4.1):
a) Información de Entrada (condiciones de frontera y condiciones iniciales);
b) Modelo propiamente tal (ecuaciones y sus términos);
c) Resolución Numérica (esquematización, discretización, e integración);
d) Solución de Salida (red espacio-temporal de variables deseadas); y
e) Calibración (comparación con mediciones, ajuste, modificaciones, y predicciones).
155

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Fig. 4.1 Estructura de modelos numéricos para circulación y dispersión en lagunas costeras
156

Cap. 4 Modelos Numéricos
4.2 Selección de las Ecuaciones y sus Términos
Todos los modelos son aproximaciones y simplificaciones de la realidad. De acuerdo a las
características físicas reales del fenómeno, se selecciona o construye el modelo mas simple posible,
cuyas suposiciones describan mas adecuadamente el fenómeno con el grado de aproximación que
sea aceptable. Este grado de aproximación aceptable lo decide a priori y arbitrariamente el
modelador o el usuario de acuerdo a los fines para los que pretende destinar el modelo.
En el caso de lagunas costeras, algunos criterios para seleccionar o construir los modelos son los
siguientes:
a) Son la circulación y el transporte de materia (advección - difusión - dispersión) uni, bi, o tri
dimensionales ? Ejemplos: lagunas costeras estuarinas de tipo A y B, y no-estuarinas de tipo α y γ
son predominantemente bidimensionales en x y z; las estuarinas C y no-estuarinas α C, β C y γ C
son predominantemente bidimensionales en x y y. Este análisis determina las dimensiones
espaciales o cuáles y cuántos términos con dependencia espacial a incluir en las ecuaciones;
b) Qué propiedades se desea predecir: solamente hidrodinámicas o también químicas, de transporte
de materia, térmicas, etc ? Este análisis determina cuantás y qué tipo de ecuaciones se necesitan;
c) Es la situación estacionaria o no ? Esto determina la inclusión o eliminación de términos con
dependencia temporal en las ecuaciones;
d) Son significativos o despreciables: el esfuerzo del viento en la superficie, la evaporación, el
efecto de Coriolis, el calentamiento solar, la precipitación, la fricción lateral y de fondo, etc. ?
Esto determina cuáles y cuántos son los términos de la dinámica a incluir en las ecuaciones;
e) Hay o no descargas de agua dulce significativas en la cabeza de la laguna ?, Cómo son las
componentes predominantes de la marea (semidiurna, diurna, mixta, etc.) en la boca ? , Cuál es la
forma geométrica predominante de las secciones transversales (triangular, rectangular,
trapezoidal) ? Estas características determinan las condiciones de frontera para la integración de
las ecuaciones; y
f) Cuál es la capacidad de memoria del computador disponible ? Esto determina la longitud de los
intervalos espacial y temporal de la discretización, la cantidad de etapas de iteración al resolver
las ecuaciones, y eventualmente el método numérico de integración.
Una vez efectuado este análisis y seleccionado o construido un modelo que se considera
preliminarmente adecuado, se procede a cotejar sus resultados (predicciones) con mediciones de las
variables para una situación real, como caso de prueba. Esta es la etapa de calibración o validación
del modelo. Si sus predicciones no tienen el grado de aproximación deseado como satisfactorio, se
procede a modificar las ecuaciones, los términos, o el grado de discretización, hasta lograr la
aproximación deseada en la solución.
Se considera entonces que el modelo ya está en condiciones de predecir situaciones futuras por
evolución natural del fenómeno o por modificaciones artificiales introducidas a sus condiciones
físicas.
157

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
4.3 Organización de los Datos y del Algoritmo Resolutivo
4.3.1 Discretización Espacial (Esquematización)
La esquematización consiste en crear una imagen geométrica aproximada de la laguna
costera, en que ésta se subdivide en segmentos cuyas dimensiones espaciales (largo, ancho,
profundidad, pendiente del fondo) son uniformes a lo largo y/o ancho de cada segmento, aún
cuando puedan variar en el tiempo.
Los criterios principales para efectuar la esquematización son:
- considerar como segmento único cada región cuyas características físicas (geométricas) sean
similares; y
- asignar como límites entre segmentos aquellas zonas en que se producen discontinuidades
evidentes de aquellas características, i.e.: contracciones, ensanches, asomeramientos, etc.
Al efectuar la esquematización quedan definidos simultaneamente los puntos (lugares
espaciales) en que el modelo entregará los valores de las variables de salida, y que serán también
aquellos en que se deberá efectuar comparaciones con valores reales medidos para efectos de su
calibración o validación; como asimismo los puntos en que deben especificarse las condiciones
de frontera y las condiciones iniciales. Lo anterior debe tenerse presente al seleccionar los
lugares en que se efectuarán mediciones de campo de las variables en la laguna costera a
modelar, o bien de la ubicación de aquellas mediciones ya existentes que se tenga disponible. La
Figura 4.2 ilustra la esquematización unidimensional (solamente a lo largo de x) de un estuario,
indicando los puntos en que el modelo entregará como salida alturas de nivel de agua y
velocidades de corrientes.
4.3.1.1 Canales de Transporte y Areas de Almacenamiento
Canales de Transporte son las porciones centrales o canales batimétricamente
identificables de la laguna costera en que se supone está confinado mayoritariamente el
flujo advectivo longitudinal. Estos canales conectan entre si segmentos consecutivos,
transportando el agua de un segmento al otro, y siendo sus dimensiones geométricas
uniformes.
Areas de Almacenamiento son aquellas areas laterales de poca profundidad (bajos)
que se cubren y descubren en marea alta y baja respectivamente, suponiendo que el agua
no circula longitudinalmente en ellas sino transversalmente a los canales de transporte,
vaciándose y llenándose hacia y desde éstos.
La Figura 4.2 muestra canales de transporte y areas de almacenamiento en la
esquematización unidimensional de un estuario.
158

Cap. 4 Modelos Numéricos
Fig. 4.2 Segmentos, canales de transporte y areas de almacenamiento en la esquematización
unidimensional de un estuario ( η = altura de nivel del agua, v = velocidad de la corriente)
4.3.2 Discretización Temporal, Redes Espacio-Temporales de Resolución, y Condiciones
Iniciales y de Frontera
Los valores de las variables de entrada y de las variables de salida del modelo se
especifican, computan, y entregan solamente para ciertos valores discretos (no continuos) en el
espacio (posiciones) y en el tiempo. Las posiciones espaciales discretas quedan previamente
determinadas al efectuar la esquematización, quedando así definidos los intervalos espaciales ∆s
para la computación. Los instantes discretos de tiempo y su intervalo ∆t se determinan
habitualmente satisfaciendo la condición de estabilidad de von Neumann para la computación:
0≤ ∆t ≤ c∆s , siendo "c" la velocidad de propagación de la onda superficial de marea para la
profundidad media "h" de la laguna costera: c = (gh) 1/2 . Dentro del rango especificado por la
condición de estabilidad, ∆t puede elegirse en un compromiso entre la resolución deseada para
los resultados del modelo y el costo de su cómputo.
Las posiciones e instantes de tiempo en que se especifican, computan, y entregan, no son
los mismos para cada variable de salida, siendo típica una red espacio-temporal de resolución
como la unidimensional que se ilustra en la Figura 4.3 denominada en zig-zag o de diente de
sierra (staggered en inglés). En este tipo de red los valores de las alturas η se especifican para
los centros de los segmentos, y los de las velocidades "u" para los centros de los canales de
transporte, de acuerdo a la esquematización previa, y con un defase temporal ∆t entre ellas. Las
condiciones de frontera son, en este ejemplo, las alturas en la boca y las velocidades en la cabeza
de la laguna costera para todo el tiempo de computación del modelo (habitualmente uno o varios
ciclos de marea). Las condiciones iniciales, en este caso, son valores de alturas y velocidades en
t=0 y en t = ∆t para toda posición discreta a lo largo de x. Esta especificación de condiciones de
frontera e iniciales es diferente para cada tipo de modelo o red de resolución; por ejemplo, puede
requerirse además una condición de frontera de reflexión parcial en la boca para la concentración
de un contaminante, en un modelo con transporte de materia.
159

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Fig. 4.3 Red espacio-temporal unidimensional en zig-zag (staggered) para integración y
entrega de resultados, indicando valores de: predicciones de altura, ∆ predicciones de
velocidad, alturas en la frontera, ∆ velocidades en la frontera, y valores iniciales de
ambas variables en los ejes t=0 y t=∆t.
4.4 Métodos de Integración
Los métodos numéricos de integración prevalecientes en la actualidad, para la solución de las
ecuaciones hidrodinámicas y de transporte de materia, son: a) por diferencias finitas, y b) por
elementos finitos. También suelen usarse en esta área, aunque menos frecuentemente: c) el método
de características, y d) la integración de contorno.
Detalles sobre la estructura de estos métodos y su aplicación a la dinámica de fluidos en cuerpos
costeros, pueden consultarse en la abundante literatura existente al respecto: Burt and Farreras
(1977), Dronkers (1969), Farreras y Villalba (1980), Fischer (1981), Forsythe and Wasow (1960),
Gear (1971), Goodwin (1974), Harleman and Lee (1969), Heaps (1987), Lee and Raichlen (1971),
Mc Dowell and O'Connor (1977), Nihoul and Jamart (1987), Sandoval and Farreras (1993),
Sundermann and Holz (1980), y Tracor Inc. (1970), entre otros.
En las secciones siguientes se ilustra la aplicación de algunos de estos métodos para la
integración de las ecuaciones de continuidad, hidrodinámica, y de transporte de materia, al caso
específico de las lagunas costeras.
4.5 Metodología de Aplicación de los Modelos
Las siguientes etapas de trabajo configuran un método adecuado para resolver mediante
modelación numérica la situación dinámica de una laguna costera específica:
160

Cap. 4 Modelos Numéricos
a) Con el conocimiento previo existente, seleccionar o construir un modelo numérico adecuado a las
condiciones reales de la laguna, siguiendo los criterios indicados en la Sección 4.2;
b) Con el apoyo de cartas hidrográficas y/o efectuando mediciones batimétricas, esquematizar la
laguna, siguiendo los criterios de la Sección 4.3.1. Quedan así determinadas las dimensiones
geométricas de los segmentos, y las posiciones para especificar, computar y entregar los valores
de las variables a predecir y de los datos de entrada (condiciones iniciales y de frontera);
c) Elejir un valor adecuado del intervalo temporal de integración, de acuerdo a la condición de
estabilidad (Sección 4.3.2);
d) Seleccionar un conjunto de valores para los datos de entrada (condiciones de frontera e iniciales)
que correspondan a un ciclo de marea o dia conocido o en que existan o se vayan a efectuar
mediciones;
e) Aplicar el modelo, y comparar sus resultados con los conocidos o medidos para ese ciclo de
marea o dia (calibración);
f) Si la aproximación entre los resultados de la simulación numérica y las mediciones reales no están
en el rango aceptable, ajustar el modelo modificando las ecuaciones y/o sus términos y/o la
discretización y/o el valor de algunos parámetros empíricos como el coeficiente de fricción de
fondo o el coeficiente de arrastre por esfuerzo del viento;
g) Repetir las etapas e) y f) hasta obtener el grado de aproximación deseado entre la simulación
numérica y la situación real; y
h) usar el modelo con fines predictivos simulando modificiones eventuales en las condiciones de
entrada.
4.6 Casos de Aplicación a Lagunas Costeras
4.6.1 Modelo de Continuidad
Un típico ejemplo de aplicación de un modelo numérico unidimensional para predecir
velocidades y descargas medias seccionales a lo largo de una laguna costera estuarina o no
estuarina de batimetría irregular, basado unicamente en la ecuación de continuidad
no-estacionaria (3.10), integrada numéricamente por el método de diferencias finitas (ecuaciones
3.11, 3.12, y 3.13), se expone y desarrolla en detalle en la Sección 3.1.2.1. Un segmento de la
esquematización con su respectiva parametrización se muestra en la Figura 3.2. El método de
cómputo se explica en detalle y se ilustra graficamente en la Figura 3.3.
Pritchard et al (1979) aplican este modelo al Estero de Punta Banda, B.C. esquematizándolo
longitudinalmente en 11 segmentos desde la boca hasta la cabeza. La Figura 4.4 muestra vectorialmente
las velocidades máximas en vaciante y llenante a lo largo de los segmentos, así computadas, para un día
típico de marea de sicigia (viva), y que no difieren en mas de 5 % con los medidos al centro del canal en
la boca. La Figura 4.5 ilustra la variación temporal de las velocidades máximas en vaciante y llenante
para un lapso de 28 dias de Abril de 1977, en la boca, un segmento cerca del centro, y la cabeza de la
laguna.
161

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Fig. 4.4 Velocidades máximas en vaciante y llenante a lo largo del Estero de Punta Banda,
evaluadas por simulación numérica, para un dia típico de marea de sicigia; y comparación con
mediciones en la boca (según Pritchard et al).
Fig. 4.5 Velocidades máximas en vaciante y llenante simuladas por modelación numérica, para
28 dias de Abril de 1977, en la boca, sección central, y cabeza del Estero de Punta Banda (según
Pritchard et al).
162

Cap. 4 Modelos Numéricos
4.6.2 Modelo Hidrodinámico
Harleman and Lee (1969) desarrollan un modelo numérico unidimensional (según "x"),
puramente hidrodinámico, para predecir alturas de nivel de la superficie libre (η), velocidades
(u), y descargas (Q) en lagunas costeras o canales de marea abiertos en ambos extremos.
Las ecuaciones de movimiento son las propuestas por Dronkers (1969):
a) continuidad:
b) conservación de momentum:
b dh
dt
dQ
+ − F =0 (4.1)
dx
dQ d dh Q Q ρa
+ ( uQ)
+ g A + g + β V cos V cos b = 0
2 w x
ψ
x x
ψ
x
(4.2)
dt dx dx AC R ρ
Los cinco términos a la izquierda en la ecuación (4.2) son, sucesivamente: la aceleración
local, el transporte advectivo por marea, la aceleración por gradiente de presión debida a la
pendiente de la superficie libre, la fricción en el fondo, y el transporte por esfuerzo del viento en
la superficie libre. Siendo:
b = ancho del canal de transporte, h = d + Z0 + η, si d = nivel medio de la superficie libre,
η = elevación de la superficie libre con respecto a ese nivel medio, y Z0 = datum respecto a un
nivel de referencia horizontal arbitrario,
F = descarga de agua dulce por afluentes o precipitación / unidad de largo (x),
A = area transversal, C = coeficiente de fricción de fondo según Chèzy,
R = razón hidráulica, β
ω
= coeficiente de arrastre del viento = 0.0026,
ρ α
= densidad del aire, ρ = densidad del agua, V x = componente de velocidad del viento según
"x", y ψ
x
= ángulo entre la dirección del viento y la del canal de transporte. F puede usarse (con
signo negativo) como evaporación, para el caso de lagunas no-estuarinas.
El modelo considera: circulación unidimensional en un fluido homogéneo (ρ uniforme en
"x" y constante en "t"), con transporte advectivo por marea, fricción de fondo, esfuerzo por
viento en la superficie, gradientes de presión por desnivel de la superficie libre, y posibilidad de
afluentes o efluentes de agua dulce por rios, precipitación, o evaporación. No considera efecto de
Coriolis, ni difusión molecular o turbulenta, ni dispersión longitudinal. Se desprecian también
los efectos de componentes de marea local generadas en el interior de la cuenca.
Para la integración de las ecuaciones se suministra:
a) condiciones de frontera: altura de la superficie libre del agua (marea) y velocidades medias de
corrientes en uno o ambos extremos de la cuenca, según que esta tenga: i) ambos extremos
abiertos (canal de marea), o ii) un extremo abierto y el otro cerrado (laguna costera),
respectivamente; y
b) condiciones iniciales: altura de la superficie libre del agua (marea) y velocidades medias de
corrientes a lo largo de x, para todo el canal, en el instante inicial t =0. El requisito de esta
163

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
condición hace necesario conocer detalladamente, mediante mediciones, las alturas de marea
y velocidades a lo largo de todo el canal, para la calibración adecuada del modelo en la etapa
posterior.
En cuanto a la esquematización el modelo acepta para las secciones transversales de los
segmentos, formas geométricas trapezoidales o rectangulares simples y compuestas. Esta última
opción permite representar adecuadamente las zonas de almacenamiento lateral someras y
extensas.
La integración de las ecuaciones se efectúa mediante el esquema de diferencias finitas
centrales que se basa en el desarrollo en serie de Taylor para las variables η , u, y Q, de forma:
3 3
5 5
⎛ ∂u
⎞ ∆t
⎛ ∂ u ⎞ ∆t
⎛ ∂ u ⎞
U
,
=
,
+ 2∆
⎜ ⎟ + 2
+ 2
+ ...
3
5
,
3!
⎜
⎟
5!
⎜
⎟
x t+∆t
U
x t−∆t
t
⎝ ∂t
⎠ x t ⎝ ∂t
⎠ ⎝ ∂t
⎠
x,
t
x,
t
(4.3)
en que los términos de orden igual o superior a 3 se desprecian, truncando la serie, y
obteniendo la aproximación algebraica (numericamente computable) de la diferencial:
⎛ ∂u
⎞
⎜ ⎟
⎝ ∂t
⎠
x,
t
u
≈
x,
t+∆t
− u
2∆t
x,
t−∆t
(4.4)
Quedando entonces las aproximaciones algebraicas a diferencias finitas de las ecuaciones:
a) de continuidad
b
x,
t
( η
x,
t+∆t
2∆t
−η
x,
t−∆t
) Q
+
x+∆x,
t
− Q
2∆x
x−∆x,
t
− F
x,
t
= 0
(4.5)
y b) de conservación de momentum
1 x,
t +∆x
x,
t −∆x
x,
t x,
t −∆t
x−∆x,
t x−∆x,
t −2∆t
x+∆x,
t x+∆x,
t −2∆t
A
x,
t
⎧Q
⎨
⎩
− Q
2∆t
⎫
⎬ −
⎭
b
Q
A
x,
t
⎧η
⎨
⎩
−η
+ η
2∆t
−η
⎫
⎬ +
⎭
...
Qx,
t −∆tF
... +
2
∆xA
x,
t
x,
t
+
g
{(
Z0
+ d + η)
x+∆x,
t
− ( Z0
+ d + η)
x−∆x,
t} + ...
2∆x
gQxt , − ∆t( Qxt , + ∆t−
Qxt , −∆t) β ρ V cosψ V cosψ
... +
−
2 2
2C A R
ρd
w a x x x x
xt , xt , xt , xt ,
= 0
(4.6)
siendo el area transversal media:
A
⎧
⎨d
⎩
1
⎫
+ ( η
x+ ∆x,
t
+ ηx−
x,
) ⎬
(4.7)
2
⎭
x, t
= bSx
x
∆ t
y la razón hidráulica:
164

R
xt ,
=
b
A
xt ,
+ 2d
+ η + η
Sx x x+ ∆x, t x−∆x,
t
Cap. 4 Modelos Numéricos
en que puede identificarse el denominador de la expresión anterior como el perímetro
mojado, y denotando bSx el ancho en la superficie.
La red espacio-temporal de los resultados es del tipo zig-zag (staggered), similar a la que
se muestra en la Figura 4.3.
(4.8)
Fig. 4.6 Comparación entre alturas de marea medidas y simuladas por modelo numérico para 2
estaciones en el interior de Bahía Sn Quintín, B.C., según Del Valle y Cabrera.
165

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Del Valle y Cabrera (1981) aplican este modelo a Bahía de San Quintín, B.C., una laguna
costera no-estuarina (ver Figura 3.17), obteniendo una excelente concordancia entre los valores
medidos y los simulados por el modelo para las alturas de marea en dos estaciones interiores de
la laguna, identificables en la misma Figura 3.17 (Figura 4.6).
4.6.2.1 Aplicación al Estuario del Rio Siuslaw, Oregon, U.S.A.
Goodwin (1974) simplifica ligeramente el modelo unidimensional de Harleman and
Lee: a) eliminando el término de esfuerzo por viento en la ecuación de momentum, b)
suponiendo que el área superficial de cada segmento depende linealmente de la altura de la
superficie libre del agua en él, y c) restringiéndolo solamente a segmentos con fondo plano
uniforme (sin pendiente), y secciones transversales de forma geométrica trapezoidal.
También mejora el algoritmo de integración, y agrega a la computación automática de los
datos de salida, además de los habituales η , u, y Q : a) los valores máximos y mínimos de
estas variables y su tiempo de ocurrencia, b) los instantes de tiempo en que se produce
inversión de corriente entre vaciante y llenante (agua en reposo), y c) el factor de
amplificación, es decir el cuociente entre la amplitud máxima de marea en una posición
dada y la amplitud máxima de marea en la boca, para todos los centros de los segmentos.
Burt and Farreras (1977) aplican el modelo de Goodwin al estuario del Rio Siuslaw, Oregon, U.S.A.,
esquematizándolo longitudinalmente en 4 segmentos, como se ilustra en la Figura 4.2.
Se aplica el modelo para un ciclo completo de marea (360°), con las condiciones de
frontera (descarga de agua dulce del rio en la cabeza, y rango de la marea en la boca)
correspondientes a cada dia en este estuario. Los resultados se expresan en forma de una
red espacio-temporal de valores numéricos, tipo zig-zag, con valores extremos adicionales.
Hay un valor extremo de cada variable (Ej. del tiempo de marea baja) para cada una de las
4 posiciones (centro de segmento) especificadas. Esto para un par de valores único de las
condiciones de frontera (descarga en la cabeza y rango de marea en la boca) que
corresponden a las condiciones en el dia de aplicación del modelo.
El conjunto de todos los valores extremo posibles de una variable (Ej. tiempo de
marea baja) para diferentes pares de valores de las condiciones de frontera (descarga en
cabeza y rango en boca) correspondientes a condiciones en un conjunto de dias diferentes,
y para las 4 posiciones especificadas, constituye una matriz cuadri-dimensional de valores
numéricos.
Aplicando el modelo para un conjunto de pares de valores de las condiciones de
frontera, limitado unicamente a los posibles en la realidad (en este caso: descargas de agua
dulce del rio entre 0 y 6,000 pies cúbicos / segundo, y rangos de marea entre 1 y 11 pies),
la matriz de valores de los tiempos de marea baja para las 4 posiciones especificadas (2.75,
6.25, 11.20, y 18.45 millas desde la boca) que así se genera, se puede plasmar, usando la
técnica de Mavis (1939) en un nomograma (Figura 4.7). Puede confeccionarse un total de
15 nomogramas con los resultados de este modelo, uno para cada una de las variables
extremas que se especifican.
Los nomogramas tienen como propósito que el usuario, que puede ser un neófito en
la materia, pueda sin conocimiento alguno, ni necesidad de correr el modelo, averiguar los
valores extremo de las variables de salida en cualquiera de las 4 posiciones a lo largo del
166

Cap. 4 Modelos Numéricos
estuario, para cualquier dia en que conozca el rango de marea en la boca y la descarga de
agua dulce del rio en la cabeza.
Fig. 4.7 Nomograma para tiempos de marea baja (Estuario Siuslaw), según Burt y Farreras
167

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Como se ilustra en la Figura 4.7, basta trazar una linea recta entre el valor en la
escala de descarga del rio y el de rango de marea en la escala de la posición seleccionada,
para que la intersección de su prolongación con la escala de tiempo de marea baja
determine el valor buscado. En este ejemplo, la recta trazada desde el valor 2,000 pies
cúbicos /segundo en la escala de descargas de rio al valor 9 pies de rango de marea en la
escala de la posición 6.25 millas, intersecta, al prolongarse, la escala de tiempos de marea
baja en 216° de ciclo mareal, valor buscado (que corresponde a 7.2 horas después de la
ocurrencia de la marea baja en la boca, para un ciclo mareal semidiurno de 12.4 horas =
360°).
4.6.3 Modelo de Intercambio
Este modelo numérico unidimensional se basa en las ecuaciones de continuidad,
conservación de la masa de sal, y conservación de la masa de un contaminante. Mediante él se
puede obtener la variación espacio-temporal de la concentración de un contaminante
conservativo, introducido en forma local e instantánea en un segmento de una laguna costera.
Simulando la introducción del contaminante en diferentes segmentos de la laguna, bajo las
mismas condiciones hidrodinámicas, es posible efectuar, con las predicciones del modelo, una
subdivisión de la laguna costera en zonas según rapidez de evacuación.
Farreras y Villalba (1980) consideran una laguna costera no-estuarina segmentada
unidimensionalmente, y suponen la existencia de descargas de intercambio simultáneas en
tiempo, desde un segmento hacia sus vecinos, y viceversa (Figura 4.8). En la realidad, este
intercambio de descargas ocurre en diferentes intervalos de tiempo, o a través de diferentes
partes de la sección transversal, durante el ciclo de marea. Este concepto del proceso de
intercambio advectivo simultáneo en ambos sentidos es matematica y fisicamente equivalente al
concepto de transporte advectivo unidireccional adicionado a un transporte difusivo turbulento,
entre ambos segmentos.
En condiciones estacionarias, es decir para intervalos de tiempo iguales a un múltiplo
entero de ciclos de marea, y suponiendo que no hay descargas de agua dulce por rios o
precipitaciones, pero si evaporación, la continuidad de volumen desde el segmento i hasta la
cabeza de la laguna costera, se expresa como:
n
∑
Qi−
1, i
−Qi, i−1− Ek
= 0
(4.9)
k=
l
siendo Q l,m la descarga media de intercambio del segmento "l" al segmento "m" en un
ciclo de marea, El la descarga media evaporada desde la superficie del segmento "l" en un ciclo
de marea, y "n" el número total de segmentos o número del segmento de la cabeza.
Considerando que el agua transportada de un segmento a otro tiene la salinidad media del
segmento de origen, la conservación del volumen de sal desde el segmento "i" hasta la cabeza de
la laguna costera es:
Qi− 1, iSi−l −Qi, i−lSi
= 0
(4.10)
siendo Sl la salinidad media en el segmento "l" durante un ciclo de marea.
168

Cap. 4 Modelos Numéricos
Fig. 4.8 Terminología de la esquematización de un segmento
169

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
De la solución simultánea de las ecuaciones (4.9) y (4.10) se obtienen las descargas de
intercambio:
Q
Si
=
S − S
n
∑
i−l. i
k
,
i i− l k=
i
E
n
Si−l
y Qii−l
= ∑ E
k
S − S
(4.11a)
i
i− l k=
i
Análogamente se obtienen las descargas de intercambio para la frontera inter-segmentos
subsiguiente aguas arriba:
Q
S
n
n
i
i+
l
i+
l, i
= ∑ Ek
y Qi,
i+
l
= ∑ Ek
(4.11b)
Si+
1
− Si
k = i+
1
Si+
1
− Si
k = i+
1
Mediante las expresiones (4.11a) y (4.11b) se obtiene todas las descargas que entran y
salen de un segmento cualesquiera "i", si se conocen las salinidades medias en ese segmento y
sus vecinos inmediatos aguas arriba "i+1" y aguas abajo "i-1", y las descargas medias evaporadas
en el segmento durante el ciclo de marea.
La variación temporal, en el segmento "i", de la masa de un contaminante introducido
inicialmente en forma no-continua (inyección instantánea) en ese u otro segmento, si el volumen
del segmento "i" no varía mucho durante el ciclo de marea, se expresa como:
S
∂( VC
i i)
∂t
∂
V
C i
=
i
= Qi l, iCi l
+ Qi l, iCi l
−Qi, i lCi −Qi,
i lC
∂t
− − + + − + i (4.12)
siendo Cl la concentración media de contaminante en el segmento "l" durante un ciclo de
marea, y Vl el volumen de dicho segmento.
Los dos primeros términos a la derecha de la ecuación (4.12) representan las masas de
contaminante que entran al segmento "i" desde sus vecinos aguas arriba y aguas abajo, y los dos
últimos, las masas que salen hacia esos mismos segmentos. Se supone que el contaminante no es
absorbido por los sedimentos ni se biodegrada.
La ecuación (4.12) se integra numericamente usando diferencias finitas, mediante el
algoritmo de Adams-Bahforth-Moulton (Shampine and Gordon, 1975), obteniéndose la
concentración del contaminante en función del tiempo para cada segmento. Las descargas de
intercambio provienen de las expresiones (4.11a) y (4.11b), y los volúmenes de los segmentos se
obtienen de la carta batimétrica respectiva.
La concentración inicial de contaminante en el segmento i = j, es:
C
it , = 0
mi
= ; con mi
= 0 para todo i ≠ j (4.13)
V
it , = 0
siendo m la masa de contaminante introducida inicialmente en el segmento "j".
j
Se consideran dos condiciones de frontera para la integración anterior:
170

Cap. 4 Modelos Numéricos
a) en la cabeza la laguna costera es cerrada, por ende no existen descargas de intercambio mas
allá del segmento "n", y el contaminante se refleja totalmente: Q n,n+1=Q n+1,n = 0, y C n =
Cn+1; y
b) en la boca, una parte del contaminante que llega al océano durante un ciclo de marea, regresa
a la laguna costera en el siguiente ciclo, como una reflexión parcial: C2 = R C1, siendo R un
coeficiente de reflexión, cuyo valor en un rango de 0.25 a 0.75 no modifica esencialmente la
dinámica del contaminante (Carter, 1976).
El modelo es aplicable en condiciones tales que no haya fluctuaciones exageradas de las
variables oceanográficas durante los ciclos de marea en que se promedian sus valores.
Análogamente, al suponer que el contaminante se mezcla homogénena y rapidamente en cada
segmento, se implica la no existencia de fluctuaciones exageradas en los parámetros dentro de
cada segmento.
El modelo puede usarse para situaciones de descarga continua (no-instantánea) del
contaminante, agregando a la derecha en la ecuación (4.12) un término correspondiente a dicha
descarga.
4.6.3.1 Aplicación a la Laguna Costera No-Estuarina: Estero de Punta Banda, B.C., México
Para aplicar este modelo al Estero de Punta Banda, B.C., Farreras y Villalba (1980)
lo subdividen en 11 segmentos de longitud aproximada a 1 km (Figura 4.9), asignando un
valor promedio representativo a cada parámetro a computar en cada segmento.
Para efectos de calibración, el 1 de Abril de 1977 se descargó en forma instantánea
una masa de 1.42 kg de rodamina WT (trazador fluorescente) en el segmento 9, al interior
de la laguna. Durante los 20 dias siguientes se midió, mediante un fluorómetro de registro
continuo, la fluorescencia del trazador a lo largo de la laguna, a un metro de profundidad.
Simultaneamente se midió la altura de la marea, la velocidad de las corrientes, la
temperatura y la conductividad del agua, y parámetros meteorológicos, también mediante
instrumentos de registro continuo, según se detalla en Pritchard et al (1978).
Los resultados del modelo, bajo las mismas condiciones que el experimento,
concuerdan razonablemente con las mediciones, no excediendo su diferencia en 0.03
partes/billon (ppb) en las concentraciones, que es precisamente la incerteza instrumental de
los resultados experimentales. El modelo está así calibrado para condiciones de primavera
y con rango de marea medio, que corresponden a las del experimento.
Una vez calibrado el modelo, se simuló la introducción de trazador en cada uno de
los 11 segmentos del Estero, bajo las mismas condiciones de marea, temperatura, salinidad,
vientos, y humedad ambiental anteriores. Las curvas resultantes, de decaimiento de
concentración relativa para cada uno de los segmentos (Figura 4.10) evidencian que:
a) Los segmentos 10, 11, y 12 (cercanos a la cabeza) son excepcionalmente lentos en su
evacuación, no perdiendo cantidad apreciable de su trazador hacia el exterior de la
laguna, sino hasta 5 dias después de ocurrida su introducción;
b) el segmento 2 es excepcionalmente rápido en su evacuación (no se muestra en la
Figura), reduciéndose su concentración al 10 % de la inicial, tan solo en 36 horas; y
171

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Fig. 4.9 Esquematización del Estero de Punta Banda, B.C., según Farreras y Villalba
172

Cap. 4 Modelos Numéricos
Fig. 4.10 Decaimiento de concentración relativa para diferentes segmentos, según Farreras y Villalba
c) La vida media (tiempo en que la concentración del trazador se reduce al 50 % de la
inicial) es de:
1 a 3 dias para inyecciones en los segmentos 3 al 6, 5 dias a 1 semana para inyecciones
en los segmentos 7 al 9, y 11 a 19 dias para inyecciones en los segmentos 10 al 12.
Esto último permite dividir al Estero de Punta Banda en 4 zonas según su rapidez
de evacuación (Figura 4.11), y usar este diagrama para fines prácticos de predicción
aproximada de efectos por contaminación.
173

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Fig. 4.11 Zonas de rapidez de evacuación en el Estero de Punta Banda, B.C., según Farreras y Villalba
174

Cap. 4 Modelos Numéricos
El experimento que se usó para fines de calibración del modelo, se efectuó en
condiciones de primavera y en estado de marea media. Durante el verano, el incremento de
la evaporación en las zonas someras de los segmentos cercanos a la cabeza, aunado al
incremento de salinidad así inducido, producen un aumento en las descargas de
intercambio, y una mayor rapidez de evacuación. Durante el invierno, salvo en algunos
dias de precipitaciones significativas, el efecto es el inverso, disminuyendo la rapidez de
evacuación. En condiciones de marea de sicigia (viva), la evacuación será mas rápida, y en
marea de cuadratura (muerta), mas lenta que la predicha.
Juárez (1982) aplicó también este modelo a la Bahía de San Quintín, B.C. con resultados
similares.
4.6.4 Modelo de Dispersión
Fischer et al (1979) integran numericamente la ecuación 3.132 para transporte
unidimensional de materia por dispersión longitudinal mediante el esquema implícito a
diferencias finitas centrales de Stone and Brian (1963), que sustituye los términos de variación
temporal, advectivo, y dispersivo en la ecuación, usando la aproximación de Crank-Nicholson,
por los siguientes:
∂C
1
≈
∂x x C C C C
j+ 1n+ 1− j− 1n+ 1+ j+ 1n −
j−1n
4∆ ( , , , ,
)
(4.14)
∂C
∂t
⎧
≈ ⎨
⎩6
1 2
1
⎫ 1
( C
1 , 1 1,
) (
, 1 ,
) (
1, 1 1,
) ( )
−
j−
n+
− C
j−
n
+ C
j n+
− C
j n
+ C
j+
n+
− C
j+
n
∆t
3
6
⎬
⎭
(4.15)
2
∂ C 1
≈ C
2 2 j+ 1n+ 1− 2Cj n+ 1+ Cj− 1n+ 1+ Cj+ 1n − 2Cj n
+ Cj −1n
∂x
2∆ x
( )
, , , , , ,
(4.16)
denotando el subíndice "j" la posición "x", y el subíndice "n" el instante de tiempo "t".
Un ejemplo ilustrativo de la aplicación de este modelo, que puede resolverse
aritmeticamente en forma sencilla, es el siguiente:
Sea una laguna costera estuarina de longitud = 4,000 metros, en que la velocidad advectiva
media a lo largo de toda su extensión es aproximadamente la de la descarga del rio: u = 1.33
metros / segundo; y el coeficiente de dispersión longitudinal es K = 666 metros cuadrados /
segundo. Se esquematiza la laguna en 4 segmentos de largo ∆ x = 1,000 metros. La cabeza es j =
1; las tres fronteras internas entre segmentos son j = 2, 3, y 4; y la boca es j = 5.
Condición de frontera: concentración = 1 en la cabeza, y concentración = 0 en la boca, para
todo tiempo n, es decir:
175

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
C
= 1 y C = 0 para todo tiempo j=
n
1, n
5,
n
Condición inicial: concentración = 1 en los 3/4 de la laguna cercanos a la cabeza, y
concentración = 0 en el 1/4 cercano a la boca, para el instante n = 1, es decir:
C = C = C = 1 y C = C =
11 , 21 , 31 , 41 , 51 ,
0
Se desea evaluar la concentración en los tres puntos frontera internos, j = 2, j = 3, y j = 4,
para el instante de tiempo siguiente al inicial, n = 2, (después de transcurrido un intérvalo de
tiempo ∆ t = 500 segundos); es decir C2,2, C3,2, y C4,2.
Para esto se escribe la versión aproximada a diferencias finitas de la ecuación (3.132),
obtenida por sustitución de los términos diferenciales dados por las ecuaciones (4.14), (4.15), y
(4.16), y se la expresa sucesivamente para los pares de índices (j = 2, n = 1), (j = 3, n = 1), y (j =
4, n = 1), que corresponden a los puntos frontera internos, para el instante inicial n = 1:
1 ⎧1
2
1 ⎫ u
⎨ ( C1 ,2
− C1,1
) + ( C2,2
− C2,1)
+ ( C3,2
− C3,1)
⎬ + ( C3,2
− C1,2
+ C3,1
− C1,1
) = ...
∆t
⎩6
3
6 ⎭ 4∆x
K
... =
( ) ( C )
,
− 2C ,
+ C
,
+ C
,
−2C ,
C
2 32 22 12 31 21+ 11 ,
(4.17a)
2 ∆x
1 ⎧1
2
1 ⎫ u
⎨ ( C2 ,2
− C2,1)
+ ( C3,2
− C3,1)
+ ( C4,2
− C4,1)
⎬ + ( C4,2
− C2,2
+ C4,1
− C2,1)
= ...
∆t
⎩6
3
6 ⎭ 4∆x
K
... =
( ) ( C )
,
− 2C ,
+ C
,
+ C
,
−2C ,
C
2 42 32 22 41 31+ 21 ,
(4.17b)
2 ∆x
1 ⎧1
2
1 ⎫ u
⎨ ( C3 ,2
− C3,1)
+ ( C4,2
− C4,1)
+ ( C5,2
− C5,1)
⎬ + ( C5,2
− C3,2
+ C5,1
− C3,1)
= ....
∆t
⎩6
3
6 ⎭ 4∆x
K
... =
( ) ( C )
,
− 2C ,
+ C
,
+ C
,
−2C ,
C
2 52 42 32 51 41+ 31 ,
(4.17c)
2 ∆x
sustituyendo los valores conocidos de ∆ x , ∆ t , K, u ,y las concentraciones C j,n iniciales y
en las fronteras, estas ecuaciones quedan:
2 1 1 1
( C22 ,
− 1) + ( C32 ,
−1) − ( C32 ,
− 1) = ( C32 ,
− 2C22
,
+1)
(4.18a)
3 6 6 6
1 2 1 1
1
( C22 ,
− 1) + ( C32 ,
− 1) + C42 ,
− ( C42 ,
−C22 ,
− 1) = ( C42 ,
− 2C32 ,
+ C22
,
−1) (4.18b)
6 3 6 6
6
176

Cap. 4 Modelos Numéricos
1 2 1
1
( C 1
1
6 3 6
6 2 1
32 ,
− ) + C42 ,
+ ( C32 ,
+ ) = − ( C42 ,
−C32
,
− ) (4.18c)
que es un sistema de 3 ecuaciones algebraicas simultáneas de primer grado para las 3
concentraciones desconocidas C2,2, C3,2, y C4,2; que al ser resuelto entrega finalmente como
resultados:
17
7
2
C22 ,
= C32 ,
= C42
,
=
19
19
19
177

Bibliografía
B i b l i o g r a f i a
Textos Básicos de Referencia sobre el Temario
Aubrey D. and G.S. Giese (editors), 1993. Formation and evolution of multiple tidal inlets, Coastal and
Estuarine Studies Series # 44, American Geophysical Union, Washington, D.C., 237 p.
Aubrey D. and L. Weishar (editors), 1989. Hydrodynamics and sediment dynamics of tidal inlets,
Springer Verlag, Berlin, 456 p.
Chow V.T., 1959. Open-channel hydraulics, Mc Graw Hill Book Co., New York, 680 p.
Dronkers J.J., 1964. Tidal computations in rivers and coastal waters, North Holland Pub. Co.,
Amsterdam, 518 p.
Dronkers J.J. and W. Van Leussen (editors), 1988. Physical processes in estuaries, 560 p.
Dyer K.R., 1973. Estuaries: a physical introduction, John Wiley & Sons, London, 140 p.
Dyer K.R. (editor), 1979. Estuarine hydrography and sedimentation, Cambridge Univ. Press,
Cambridge, 230 p.
Fischer H.B. (editor), 1981. Transport models for inland and coastal waters, Academic Press, New York,
542 p.
Fischer H.B., List E.J., Koh R.C., Imberger J., and N.H. Brooks, 1979. Mixing in inland and coastal
waters, Academic Press, New York, 483 p.
Freeland H.J., Farmer D.M., and C.D. Levings (editors), 1980. Fjord oceanography, Plenum Press Pub.
Co., New York, 730 p.
Green P.B., Murty T.S., and J.A. Stronach, 1988. Mathematical modelling of tides and estuarine
circulation, Springer Verlag, Berlin, 471 p.
Hamilton P. and K.B. McDonald, 1980. Estuarine and wetland processes, Plenum Pub. Co., New York,
666 p.
Henderson F.M., 1966. Open channel flow, Mc Millan Co., New York, 522 p.
Ikeda S. and G. Parker (editors), 1989. River meandering, American Geophysical Union, Washington,
485 p.
Ippen A.T. (editor), 1966. Estuarine and coastline hydrodynamics, Mc Graw Hill Book Co., New York,
744 p.
Kjerfve B. (editor), 1978. Estuarine transport processes, Univ. of South Carolina Press, Columbia, 331
p.
Kjerfve B. (editor), 1988. Hydrodynamics of estuaries, Volume I and II, CRC Press Inc., Boca Raton,
160 + 144 p.
Kullenberg G.E. (editor), 1982. Pollutant transfer and transport in the sea, Volume II: estuaries and
fjords, CRC Press Inc., Boca Raton, 248 p.
179

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Lauff G.H. (editor), 1967. Estuaries, American Association for the Advancement of Science,
Washington, 757 p.
McDowell D.M. and B.A. O'Connor, 1977. Hydraulic behaviour of estuaries, John Wiley & Sons, New
York, 292 p.
Nihoul J.C. (editor), 1978. Hydrodynamics of estuaries and fjords, Elsevier Scientific Pub., Amsterdam,
546 p.
Nihoul J.C. and B.M. Jamart (editors), 1987. Three-dimensional models of marine and estuarine
dynamics, Elsevier Science Pub., Amsterdam, 630 p.
Officer Ch. B., 1976. Physical oceanography of estuaries, John Wiley & Sons, New York, 465 p.
O'Kane J.P., 1980. Estuarine water-quality management, Pitman Adv. Pub. Program, Boston, 155 p.
Rutherford J.C., 1994. River mixing, John Wiley & Sons, New York, N.Y., 347 p.
Sundermann J. and K.P. Holz (editors), 1980. Mathematical modelling of estuarine physics, Springer
Verlag, Berlin, 265 p.
Tracor Inc. (editors), 1970. Estuarine modeling: an assessment, Water Quality Office, Environmental
Protection Agency, Corvallis, Oregon, 497 p.
Van de Kreeke J. (editor), 1986. Physics of shallow estuaries and bays, Springer Verlag, Berlin, 280 p.
Wiley M., 1977. Estuarine processes, Volume II, Academic Press, New York, 428 p.
Wilson J.G. and W. Halcrow, 1985. Estuarine management and quality assessment, Plenum Pub. Co.,
New York, 234 p.
Wright F.F., 1974. Estuarine oceanography, Mc Graw Hill Book Co., New York, 76 p.
Referencias Complementarias para Tópicos Especializados
Bennett C.O. and J.E. Myers, 1982. Momentum, heat, and mass transfer, Mc Graw Hill Book Co., New
York, 832 p.
Brutsaert W.H., 1982. The evaporation into the atmosphere, Reidel Pub. Co., Dordrecht, 299 p.
Connor J.J. and C.A. Brebbia, 1977. Finite element techniques for fluid flow, Newnes Butterworths,
London, 309 p.
Csanady G.T., 1981. Turbulent diffusion in the environment, Reidel Pub. Co., Dordrecht, 248 p.
Doodson A.T. and H.D. Warburg, 1952. Admiralty manual of tides, Her Majesty's Stationery Office,
London, 270 p.
Forsythe G.E. and W.R. Wasow, 1960. Finite-difference methods for partial differential equations, John
Wiley & Sons, New York, 444 p.
Gear C.W., 1971. Numerical initial value problems in ordinary differential equations, Prentice Hall,
Englewood Cliffs, 253 p.
Godin G., 1972. The analysis of tides, Univ. of Toronto Press, Toronto, 264 p.
Godin G., 1988. Tides, Centro de Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada
(CICESE), Ensenada, 288 p.
Gray W.G., Pinder G.E., and C.A. Brebbia (editors), 1977. Finite elements in water resources, Pentech
Press, New York, 375 p.
180

Bibliografía
Heaps N.S. (editor), 1987. Three-dimensional coastal ocean models, American Geophysical Union,
Washington, 224 p.
Jenkins G.M. and D.G. Watts, 1968. Spectral analysis and its applications, Holden Day, San Francisco,
525 p.
Kay J.M. and R.M. Nedderman, 1974. An introduction to fluid mechanics and heat transfer, Cambridge
Univ. Press, Cambridge 322 p.
Nakamura S., 1977. Computational methods in engineering and science, John Wiley & Sons, New York,
457 p.
Parker B.B. (editor), 1991. Tidal hydrodynamics, John Wiley & Sons, New York, 650 p.
Schlichting H., 1980. Boundary layer theory, Mc Graw Hill Book Co., New York, 748 p.
Tennekes H. and J.L. Lumley, 1981. A first course in turbulence, The M.I.T. Press, Cambridge, 300 p.
Townsend A.A., 1974. The structure of turbulent shear flow, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 429 p.
Turner J.S., 1973. Buoyancy effects in fluids, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 367 p.
White F.M., 1974. Viscous fluid flow, Mc Graw Hill Book Co., New York, 725 p.
Zemansky M.W. and R.H. Dittman, 1981. Heat and thermodynamics, Mc Graw Hill Book Co., New
York, 543 p.
Publicaciones Adicionales Citadas en el Texto
Bowden K.F., 1967. Circulation and diffusion, in: Estuaries, G.S. Lauff (editor), American Association
for the Advancement of Science, Pub. # 3, Washington, D.C., 15-36.
Bretschneider C.L., 1958. Enginnering aspects of hurricane surge, Proc. Tech. Conference on
Hurricanes, American Meteorological Society, Florida.
Burt W.V. and W.B. Mc Alister, 1957. Recent studies on the hydrography of Oregon estuaries, Research
Briefs, Fisheries Commision of Oregon, 7(1): 14-27.
Burt W.V. and S.F. Farreras, 1977. Predictive nomograms of hydraulic conditions for the Siuslaw
Estuary, Shore and Beach, 15(3): 45-48.
Carter H.H., 1976. Simple one dimensional kinetic model results for the Bush River and Romney Creek,
Chesapeake Bay Institute, The John Hopkins University, Special Report # 49.
Csanady G.T., 1976. Mean circulation in shallow seas, Journal of Geophysical Research, 71: 5389-5399.
Del Valle I. y H. Cabrera, 1981. Aplicación de un modelo numérico unidimensional a Bahía de San
Quintín, B.C., verano de 1977, Ciencias Marinas, 7(1): 1-15.
Demuren A.O., 1993. A numerical model for flow in meandering channels with natural bed topography,
Water Resources Research, 29(4): 1269-1277.
Dronkers J.J. 1969. Tidal computations for rivers, coastal areas, and seas, Journal of Hydraulics
Division, Proceedings American Society of Civil Engineers, 95: 29-77.
Elder J.W., 1959. The dispersion of marked fluid in turbulent shear flow, Journal of Fluid Mechanics, 5:
544-560.
Farreras S.F. y F.A. Villalba, 1980. Evacuación de contaminantes según modelo numérico en el Estero
de Punta Banda, Baja California, Geofísica Internacional, 19(4): 321-333.
181

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Fischer H.B., 1973. Mass transport mechanisms in partially stratified estuaries, Journal of Fluid
Mechanics, 53: 671-687.
Fischer H.B., 1975. Discussion of "Simple method for predicting dispersion in streams" by R.S. Mc
Quivey and T.N. Keefer, Journal of Environmental Engineering Division, Proceedings American
Society of Civil Enginners, 101: 453-455.
Fischer H.B., 1976. Mixing and dispersion in estuaries, Annual Review of Fluid Mechanics, 8: 107-133.
Godin G. and I. González, 1992. About some very small harmonics which are present in the tide of the
Pacific, Dt. Hydrogr. Z., 44: 115-132.
González A., 1983. Balances de calor y sal y circulación termohalina en la Ensenada de La Paz, B.C.S.,
Tesis de Maestro en Ciencias en Oceanografía, Centro de Investigación Científica y de
Educación Superior de Ensenada, B.C., 107 p.
Goodwin C.R. 1974. Estuarine tidal hydraulics one-dimensional model and predictive algorithm, Ph D
Thesis, Oregon State University, 90 p.
Hansen D.V. and M.J. Rattray, 1966. New dimensions in estuarine classification, Limnology and
Oceanography, 11(3): 319-326.
Harleman D.R. and C.H. Lee, 1969. The computation of tides and currents in estuaries and canals,
Technical Bulletin # 16, Hydrodynamics Laboratory, Massachusetts Insttitute of Technology,
Cambridge, Massachusetts, 276 p.
Hesselberg Th. and H.U. Sverdrup, 1914. Die stabilitätsverhältnisse des seewassers bei vertikalen
verschiebungen, Bergens Museums Aarbok # 14, Berlin, 17 p.
Juárez M., 1982. Modelo unidimensional de dispersión para un estuario ramificado y su aplicación a
Bahía de San Quintín, Tesis de Maestria en Ciencias en Oceanografía, Centro de Investigación
Científica y de Educación Superior de Ensenada, B.C., 79 p.
Ketchum B.H., 1951. The exchanges of fresh and salt water in tidal estuaries, Journal of Marine
Research, 10(1): 18-38.
Lankford R.R., 1976. Coastal lagoons of Mexico: their origin and classification, in: Estuarine Processes,
Volume II, M. Wiley (editor), Academic Press, New York, N.Y., 182-215.
Laufer J., 1950. Investigation of turbulent flow in a two-dimensional channel, NACA TN 2123.
Lee J.J. and F. Raichlen, 1971. Wave induced oscillations in harbors with connected basins, K-HR-26
Rep., W.M. Keck Lab. of Hydraulics and Water Resources, California Institute of Technology,
Pasadena, California, 135 p.
Liu H., 1971. Normalized and equilibrium spectra of wind waves in Lake Michigan, Journal of Physical
Oceanography, 1: 249-257.
Martori J.I, 1995. Variabilidad de la circulación y sus causas en Bahía San Quintín, B.C., Tesis de
Maestria en Ciencias en Oceanografía, Centro de Investigación Científica y de Educación
Superior de Ensenada, B.C., 110 p
Mavis F.T., 1939. The construction of nomographic charts, International Textbook Co., New York,
N.Y., 132 p.
Mofjeld H.O., 1992. Subtidal sea level fluctuations in a large fjord system, Journal of Gepophysical
Research, 97(C12): 20191-20199.
182

Bibliografía
Monreal M.A., 1980. Aplicaciones de un modelo de dispersión en Bahía de San Quintín, Baja
California, México, Tesis de Maestría en Ciencias en Oceanografía, Centro de Investigación
Científica y de Educación Superior de Ensenada, B.C., 88 p.
Morales E. y H. Cabrera, 1982. Aplicación de un modelo numérico unidimensional a la Ensenada de La
Paz, B.C.S., Ciencias Marinas, 8(2): 69-89.
Oey L-Y., 1984. On steady salinity distribution and circulation in partly mixed estuaries, Journal of
Physical Oceanography, 14: 629-645.
Okubo A., 1973. Effect of shoreline irregularities on streamwise dispersion in estuaries and other
embayments, Netherlands Journal of Sea Research, 6: 213-224.
Pickard G.L., 1961. Oceanographic features of inlets in British Columbia mainland coast, Journal
Fisheries Research Board of Canada, 18: 907-999.
Pickard G.L., 1967. Some oceanographic characteristics of the larger inlets of southeast Alaska, Journal
Fisheries Research Board of Canada, 24: 1475-1506.
Pickard G.L., 1971. Some physical oceanographic features of inlets in Chile, Journal Fisheries Research
Board of Canada, 28: 1077-1106.
Plascencia-Diaz R.M.,1980. Análisis de temperatura, salinidad, y determinación de circulación por
gradientes de densidad en Bahía de San Quintín, B.C., Tesis de Oceanólogo, Escuela Superior de
Ciencias Marinas, Universidad Autónoma de Baja California, Ensenada, B.C., 123 p.
Pritchard D.W., 1955. Estuarine circulation patterns, Journal of the Hydraulics Division, Proceedings of
the American Society of Civil Engineers, Tech. Paper 717, 81: 1-11.
Pritchard D.W., 1959. The movement and mixing of contaminants in tidal estuaries, in: Waste Disposal
in the Marine Environment, Chesapeake Bay Institute, Contribution # 46, Pergamon Press, New
York, N.Y., 512-525.
Pritchard D.W., 1967. What is an estuary ?: physical viewpoint, in: Estuaries, G.S. Lauff (editor),
American Association for the Advancement of Science, Pub. # 3, Washington, D.C., 3-5.
Pritchard D.W. and W.V. Burt, 1951. An inexpensive and rapid technique for obtaining current profiles,
Journal of Marine Research, X(2): 180-189.
Pritchard D.W., De la Paz R., Farreras S.F., Cabrera H., y E. Morales, 1978. Hidrografía física del
Estero de Punta Banda, Parte I: análisis de datos, Ciencias Marinas, 5(2): 1-23.
Pritchard D.W., De la Paz R., Farreras S.F., Cabrera H., y E. Morales, 1979. Hidrografía física del
Estero de Punta Banda, Parte II: aplicación de un modelo para intercambio y dispersión, Ciencias
Marinas, 6(1 y 2): 1-17.
Rattray M., 1967. Some aspects of the dynamics of circulation of fjords, in: Estuaries, G.S. Lauff
(editor), American Association for the Advancement of Science, Pub. # 3, Washington, D.C.,
52-62.
Saelen O., 1967. Some features of the hydrography of Norwegian fjords, in: Estuaries, G.S. Lauff
(editor), American Association for the Advancement of Science, Pub. # 3, Washington, D.C.,
63-70.
Sandoval F.J., 1983. Análisis estadístico de la corriente de marea y la influencia del viento sobre la
Ensenada de La Paz, B.C.S., Tesis de Oceanólogo, Escuela Superior de Ciencias Marinas,
Universidad Autónoma de Baja California, Ensenada,BC, 118 p.
183

Hidrodinámica de Lagunas Costeras
Sandoval F.J. and S.F. Farreras, 1993. On tsunami resonance of the Gulf of California, in: Tsunamis in
the World, S.Tinti (editor), Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Netherlands, 107-119.
Sandoval F.J. and J. Gómez Valdés, 1995. Tides and tidal currents in Ensenada de La Paz lagoon, Baja
California Sur, Mexico, Geofísica Internacional, 36(1): 37-47.
Shampine L.F. and M.K. Gordon, 1975. Computer solution of ordinary differential equations: the initial
value problem, W.H. Freeman and Co., San Francisco, California.
Simpson J.H. and J.R. Hunter, 1974. Fronts in the Irish Sea, Nature, 250: 404-406.
Speer P., Aubrey D., and C.T. Friedrichs, 1991. Non-linear hydrodynamics of shallow tidal inlet / bay
systems, in: Tidal Hydrodynamics, B.B. Parker (editor), John Wiley & Sons, New York,
321-339.
Stone H.L. and P.T. Brian, 1963. Numerical solution of convective transport problem, Journal of the
American Institute of Chemical Engineers, 9: 681-688.
Taylor G.I., 1921. Diffusion by continous movements, Proceedings London Mathematical Society,
Series A, 20: 196-211.
Taylor G.I., 1953. Dispersion of soluble matter in solvent flowing slowly through a tube, Proceedings
Royal Society of London, Series A, 219: 186-203.
Taylor G.I., 1954. The dispersion of matter in turbulent flow through a pipe, Proceedings Royal Society
of London, Series A, 223: 446-468.
Walters R.A., 1982. Low frequency variations in sea level and currents in South San Francisco Bay,
Journal of Physical Oceanography, 12: 658-668.
Walters R.A. and F.E. Werner, 1991. Non-linear generation of overtides, compound tides, and residuals,
in: Tidal Hydrodynamics, B.B. Parker (editor), John Wiley & Sons, New York, 297-320.
Ward P.R., 1974. Transverse dispersion in oscillatory channel flow, Journal of Hydraulics Division,
Proceedings American Society of Civil Engineers, 100: 755-772.
Ward P.R., 1976. Measurements of estuary dispersion coefficient, Journal of Environmental
Enginnering Division, Proceedings American Society of Civil Engineers, 102: 855-859.
Weisberg R.H., 1976. The non-tidal flow in the Providence River of Narrangasett Bay: a stochastic
approach to estuarine circulation, Journal of Physical Oceanography, 6: 721-734.
Wong K.C., 1987. Tidal and subtidal variability in Delaware's inland bays, Journal of Physical
Oceanography, 17: 413-422.
Zemansky, 1957. Heat and thermodynamics, Fourth Edition, Mc Graw Hill Book Co., New York, N.Y,
484 p.
184