Sistemas singulares de control positivos - UIB Congres

Sistemas singulares de control positivos
A. Herrero, N. Thome
Instituto de Matemática Multidisciplinar, Universitat Politècnica de València
(ALAMA)
aherrero@mat.upv.es,njthome@mat.upv.es
Resumen
Un sistema singular de control lineal discreto e invariante en el tiempo es un
modelo de la forma:
{
Ex(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
y(k) = Cx(k)
donde E, A ∈ R n×n , B ∈ R n×m , C ∈ R p×n , k ∈ Z. En esta representación el
vector x(k) ∈ R n es el vector de estados, u(k) ∈ R m es el vector de controles
e y(k) ∈ R p es el vector de salidas. Un análisis profundo y actual de este tipo
de sistemas se puede encontrar en el libro de Duan [3] en el que se recogen
además de sus propiedades estructurales, un estudio sobre la regularización y
la asignación de polos.
Los sistemas singulares han sido aplicados en una gran variedad de áreas
como, por ejemplo, para el diseño y control de circuitos eléctricos, procesos
químicos, económicos, etc. [1, 5]. En algunas de estas situaciones surge la
necesidad de que las variables del sistema tomen valores positivos (o no negativos).
Por ejemplo, cuando representan poblaciones, probabilidades, consumo
de bienes, densidades de sustancias químicas, etc. El desarrollo de modelos
teóricos que tengan en cuenta este requerimiento de positividad se conoce como
el estudio de sistemas singulares positivos de control. En concreto, este tipo
de sistemas garantiza salidas positivas ante estados y controles positivos. En
relación al análisis de la positividad, una caracterización se puede encontrar en
[2]. Posteriormente, en [4], se han presentado otro tipo de condiciones necesarias
y suficientes para matrices de índice 1. En este caso se hace uso de una
descomposición en bloques de las matrices del sistema lo que puede reducir considerablemente
el tamaño del problema. En este trabajo se utilizará la técnica
de descomposición en bloques para obtener condiciones que permitan garantizar
la positividad del sistema cuando las matrices consideradas tengan índice
superior a 1 completando así el estudio previo.
Este trabajo ha sido parcialmente subvencionado por DGI MTM2010-18228
and grant Universidad Politécnica de Valencia, PAID-06-09, Ref.: 2659.
Sección en el CEDYA 2011: ALAMA Sesión especial: Análisis Matricial y
Aplicaciones

Bibliography
[1] R. Bru, J.M. Carrasco, L.C. Paraíba, Unsteady state fugacity model by a dynamic
control system, Applied Mathematical Modelling, 22 (1998), 484-494.
[2] B. Cantó, C. Coll, E. Sánchez, Positive solutions of a discrete-time descriptor system,
International Journal of Systems Science, 39, 1 (2008), 81-88.
[3] G.R. Duan, Analysis and design of descriptor linear systems, Springer, 2010.
[4] A. Herrero, A. Ramírez, N. Thome, An algorithm to check the nonnegativity of singular
systems, Applied Mathematics and Computations, 189 (2007), 355-365.
[5] J. Hofbauer, K. Sigmund, Evolutionary games and population dynamics, Cambridge
University Press, 1998.