Lección 14
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Eurocódigo para Estructuras de Acero<br />
Desarrollo de<br />
una Propuesta Transnacional<br />
Curso: Eurocódigo 3<br />
Módulo 4: Diseño de piezas<br />
Lección <strong>14</strong>: Vigas-pilar<br />
Resumen:<br />
• Los elementos estructurales sometidos a compresión y momento flector son conocidos como vigas-pilar.<br />
• La interacción del esfuerzo normal y el momento flector pueden ser tratados elástica o plásticamente, utilizando<br />
el equilibrio para la clasificación de las secciones transversales.<br />
• El comportamiento y diseño de las vigas-pilar se presenta dentro del contexto de piezas sometidas a flexión<br />
recta, cuya respuesta es tal que la deformación tiene lugar solamente en el plano de los momentos aplicados.<br />
• En el caso de vigas-pilar susceptibles de sufrir pandeo lateral, el pandeo por flexión recta de la pieza fuera del<br />
plano tiene que combinarse con el pandeo lateral de la viga usando las fórmulas de interacción apropiadas.<br />
• Para las vigas-pilar con flexión en dos planos, la fórmula de interacción se debe de ampliar mediante un término<br />
adicional.<br />
Requisitos previos:<br />
• Clasificación de las secciones transversales..<br />
• Pandeo de pilares.<br />
• Pandeo lateral de vigas.<br />
Notas:<br />
Este material comprende dos lecciones de 30 minutos.<br />
Structural Steelwork Eurocodes –Development of a Trans-National Approach (SSEDTA)
Eurocódigo para Estructuras de Acero. Desarrollo de una Propuesta Transnacional.<br />
Diseño de Piezas.<br />
Vigas Pilar.<br />
Objetivos:<br />
• Calcular el momento flector para flexión recta y el esfuerzo axial de compresión para las vigas-pilar.<br />
• Calcular el pandeo lateral de las vigas-pilar.<br />
• Calcular el momento flector para flexión en dos planos y el esfuerzo axial de compresión para las vigas-pilar.<br />
Referencias:<br />
• Eurocode 3: Design of steel structures Part 1.1 General rules and rules for buildings<br />
• Chen W F and Atsuta T: “Theory of Beam-Columns” Vols. 1 and 2, McGraw-Hill, 1976<br />
• Trahair N S and Bradford M A: “Behaviour and Design of Steel Structures”, 2 nd edition, Chapman and Hall,<br />
1988<br />
• Dowling P J, Owens G W and Knowles P: “Structural Steel Design”, Butterworths, 1988<br />
• Nethercot D A: “Limit State Design of Structural Steelwork”, 2 nd edition, Chapman and Hall, 1991<br />
Contenidos:<br />
1. Comportamiento en el plano de vigas-pilar.<br />
1.1 Comportamiento de las secciones transversales.<br />
1.1.1 Momento flector y esfuerzo axial para las secciones de clase 1 y 2.<br />
1.1.2 Momento flector y esfuerzo axial para las secciones de clase 3.<br />
1.1.3 Momento flector y esfuerzo axial para las secciones de clase 4.<br />
1.2 Estabilidad global.<br />
1.3 Tratamiento en el Eurocódigo 3.<br />
1.3.1 Piezas con secciones transversales de clases 1 y 2.<br />
1.3.2 Piezas con sección transversal de clase 3.<br />
1.3.3 Piezas con sección transversal de clase 4.<br />
1.3.4 La función del coeficiente k y.<br />
2. Comportamiento a pandeo lateral de vigas-pilar.<br />
2.1 Pandeo lateral.<br />
2.2 El proceso de diseño en el Eurocódigo 3.<br />
2.2.1 Piezas con secciones transversales de clases 1 y 2.<br />
2.2.2 Piezas con sección transversal de clase 3.<br />
2.2.3 Piezas con sección transversal de clase 4.<br />
2.2.4 La función de k LT.<br />
3. Flexión esviada de las vigas-pilar.<br />
3.1 Diseño de piezas a flexión esviada y compresión.<br />
3.2 Comprobaciones de la sección transversal.<br />
4. Conclusiones.<br />
2
Eurocódigo para Estructuras de Acero. Desarrollo de una Propuesta Transnacional.<br />
Diseño de Piezas.<br />
Vigas Pilar.<br />
1.Comportamiento en el plano de las vigas pilar<br />
Las vigas-pilar se definen como piezas sometidas a compresión y flexión combinadas. En principio, todos<br />
los elementos de las estructuras de edificación son en realidad vigas-pilar, con los casos particulares de<br />
las vigas donde N=0 y los pilares donde M=0 como los dos casos extremos. Dependiendo del modo en<br />
que la carga aplicada es transferida a la pieza, de la vinculación en los extremos y la forma de la sección<br />
transversal de la pieza, serán posibles diferentes situaciones.<br />
La más simple de éstas implica un solo momento flector aplicado sobre uno de los ejes principales, con la<br />
pieza resistiendo únicamente el momento flector aplicado en el plano.<br />
Cuando la deformación de una viga-pilar aislada está limitada al plano del momento flector (ver figura 1),<br />
su comportamiento muestra una interacción entre la flexión y el pandeo de la pieza comprimida como se<br />
indica en la figura 2. La curva 1 de esta figura muestra el comportamiento lineal de la viga elástica,<br />
mientras la curva 6 muestra el comportamiento límite de una viga rígido-plástica con el momento plástico<br />
total M pl . La curva 2 muestra la transición de vigas reales elástico-plásticas desde la curva 1 a la curva 6.<br />
El pandeo elástico de una pieza a compresión centrada para su carga crítica elástica N cr se observa en la<br />
curva 4.<br />
La curva 3 muestra la interacción entre flexión y pandeo en piezas elásticas, y tiene en cuenta el<br />
tradicional momento N·v ejercido por la carga axial. La curva 7 muestra la interacción entre el momento<br />
flector y el esfuerzo axial que hace que la pieza se plastifique totalmente. Esta curva tiene en cuenta la<br />
reducción del momento plástico total M pl a M pr debido al esfuerzo axial, y al momento adicional N·v. El<br />
comportamiento real de una viga-pilar se observa en la curva 5 proporcionando una transición desde la<br />
curva 3 para elementos elásticos a la curva 7 para la plasticidad completa.<br />
N<br />
x<br />
Arriostramientos<br />
transversales<br />
ψM<br />
z<br />
L<br />
M<br />
y<br />
N<br />
Deformación solo en el plano zx<br />
Figura 1 – Comportamiento en el plano<br />
3
Eurocódigo para Estructuras de Acero. Desarrollo de una Propuesta Transnacional.<br />
Diseño de Piezas.<br />
Vigas Pilar.<br />
N<br />
Cargas<br />
M,N<br />
(1)<br />
M<br />
N cr<br />
(4)<br />
v<br />
M pl<br />
M pr<br />
(2)<br />
(3)<br />
(6)<br />
N<br />
M<br />
(N,M) max<br />
(5)<br />
(7)<br />
Límite elástico<br />
(1,2,6)<br />
(4)<br />
(3,7)<br />
(5)<br />
Viga N=0<br />
Pilar M=0<br />
Iinteracción<br />
Viga-pilar<br />
O<br />
Deformación en el plano v<br />
Figura 2 – Comportamiento en el plano de las vigas-pilar<br />
1.1 Comportamiento de las secciones transversales<br />
1.1.1 Momento flector y esfuerzo axial para secciones de clase 1 y 2<br />
Si se puede alcanzar la plasticidad completa, entonces la condición de fallo será la que se observa en la<br />
figura 3 y la combinación de carga axial y momento flector que proporciona esta condición será:<br />
a. Para yn<br />
≤ ( h − t f ) / 2 Eje neutro en el alma<br />
N M = 2 f ytw<br />
yn<br />
M N<br />
=<br />
⎡<br />
2<br />
⎛ h − 2t<br />
f ⎞<br />
⎤<br />
f ybt<br />
f h t f f ⎢<br />
y ⎜ ⎟ 2<br />
( − ) +<br />
− y ⎥<br />
n tw<br />
⎢<br />
(1)<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎝ 2 ⎠<br />
⎦<br />
b. Para yn<br />
> ( h − t f ) / 2 Eje neutro en el ala<br />
N M<br />
⎡<br />
⎛ h ⎞⎤<br />
= f y ⎢tw<br />
( h − 2t<br />
f ) + 2b⎜t<br />
f − + yn<br />
⎟⎥<br />
⎣<br />
⎝ 2 ⎠⎦<br />
⎛ h ⎞<br />
M N = f yb⎜<br />
− yn<br />
⎟(<br />
h − yn<br />
) t f<br />
(2)<br />
⎝ 2 ⎠<br />
La figura 4 compara las ecuaciones. (1) y (2) con la aproximación utilizada en el Eurocódigo 3 de:<br />
M Ny. Rd = M pl.<br />
y (1 − n)<br />
/(1 − 0,5a)<br />
pero M Ny. Rd ≤ M ply.<br />
Rd<br />
(3)<br />
5.4.8.1<br />
(5.25)<br />
en la que n = N Sd / N pl . Rd es la relación entre la carga axial y la carga de plastificación por compresión<br />
(f y A), y a = ( A − 2bt<br />
f ) / A ≤ 0, 5 .<br />
4
Eurocódigo para Estructuras de Acero. Desarrollo de una Propuesta Transnacional.<br />
Diseño de Piezas.<br />
Vigas Pilar.<br />
Para las secciones transversales sin agujeros para tornillos, deben usarse las siguientes aproximaciones<br />
para los momentos respecto del eje z:<br />
• para n ≤ a : M Nz. Rd ≤ M pl.<br />
z.<br />
Rd<br />
• Para n > a :<br />
⎡<br />
2<br />
⎛ n − a ⎞<br />
⎤<br />
M Nz . Rd = M pl.<br />
z.<br />
Rd ⋅ ⎢1<br />
− ⎜ ⎟ ⎥<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎝ 1 − a ⎠ ⎥<br />
⎦<br />
5.4.8.1<br />
(5.26)<br />
donde<br />
n = N Sd / N pl . Rd y a = ( A − 2bt<br />
f ) / A para a ≤ 0, 5 .<br />
Además las simplificaciones y aproximaciones para una serie de formas comunes de secciones<br />
transversales se proporcionan en la tabla 1. En todos los casos el valor de M N no debería, por supuesto,<br />
superar el de M pl .<br />
b<br />
f y<br />
t f<br />
t w<br />
N M<br />
h<br />
y<br />
y<br />
y n<br />
M N<br />
–f y<br />
N M, M N conforme a la<br />
Ecuación. (1)<br />
(a) y n < (h – 2t f) / 2<br />
b<br />
f y<br />
t f<br />
t w<br />
N M<br />
h<br />
y<br />
y<br />
M N<br />
y n<br />
N M, M N conforme a la<br />
Ecuación. (2)<br />
–f y<br />
(b) y n > (h – 2t f) / 2<br />
Figura 3 – Plasticidad completa bajo carga axial y momento<br />
5
Eurocódigo para Estructuras de Acero. Desarrollo de una Propuesta Transnacional.<br />
Diseño de Piezas.<br />
Vigas Pilar.<br />
N / N pl<br />
1,0<br />
0,8<br />
I yn<br />
Eje neutro plástico<br />
Eje principal<br />
0,6<br />
0,4<br />
0,2<br />
Ecu. exactas. (1)/(2)<br />
Ec. Aprox.EC3 (3)<br />
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0<br />
M / M pl<br />
Eje neutro<br />
en el ala<br />
Eje neutro<br />
en el alma<br />
Figura 4 – Interacción de plasticidad completa – Momento flector respecto<br />
del eje fuerte de una sección HEA 450<br />
Sección transversal Forma Expresión para M N 5.4.8.1<br />
Laminada I o H<br />
M N, y = 1 ,11M<br />
pl.<br />
y (1 − n)<br />
(5.27)<br />
M N , z = 1 ,56M<br />
pl.<br />
z (1 − n)(0,6<br />
+ n)<br />
(5.28)<br />
Sección hueca cuadrada M N , y = 1,26M<br />
pl (1 − n)<br />
(5.31)<br />
M<br />
N , y 1 pl.<br />
y n<br />
= ,33M<br />
(1 − ) (5.32)<br />
Sección hueca rectangular<br />
M N,<br />
y<br />
1−<br />
n<br />
= M pl.<br />
z<br />
ht<br />
0,5 +<br />
A<br />
(5.33)<br />
1,7<br />
Sección hueca circular M N, y = 1,04M<br />
pl (1 − n ) (5.34)<br />
Tabla 1 – Expresiones para el momento resistente plástico reducido M N<br />
Notación: n = N Sd / N pl.Rd<br />
6
Eurocódigo para Estructuras de Acero. Desarrollo de una Propuesta Transnacional.<br />
Diseño de Piezas.<br />
Vigas Pilar.<br />
1.1.2 Momento flector y esfuerzo axial para secciones de clase 3<br />
La figura 5 muestra una sección a lo largo de la longitud de un pilar con forma de H donde la compresión<br />
y el momento flector aplicado respecto del eje y dan lugar a la distribución uniforme y variable de<br />
tensiones mostradas en las figuras 5a y 5b<br />
Para comportamiento elástico puede utilizarse el principio de superposición sumando simplemente las dos<br />
distribuciones de tensiones tal y como se observa en la figura 5c. El límite elástico se alcanzará por tanto<br />
en el borde donde tiene lugar la tensión máxima de compresión y de flexión y se corresponderá con la<br />
condición:<br />
f y<br />
= σ<br />
c<br />
+ σ<br />
b<br />
donde:<br />
• f y es el límite elástico del material<br />
• σ c = N / A es la tensión debida a la carga de compresión N<br />
Mh / 2<br />
• σ b = es la tensión máxima de compresión debida al momento M, h es la altura total de la<br />
I<br />
sección, e I es el momento de inercia respecto del eje y.<br />
Las secciones transversales clase 3 serán válidas si la tensión longitudinal máxima σ x.Ed satisface el<br />
criterio:<br />
σ x . Ed ≤ f yd<br />
donde f yd = f y / γ M 0 .<br />
5.4.8.2<br />
(5.31)<br />
N<br />
σ c<br />
(a) Compresión<br />
–σ b<br />
M<br />
σ b<br />
(b) Flexión<br />
N<br />
M<br />
σ c–<br />
σb<br />
σ c+<br />
σb<br />
(c) Combinadas<br />
Figura 5 – Comportamiento elástico de una sección transversal sometida<br />
a compresión y flexión<br />
7
Eurocódigo para Estructuras de Acero. Desarrollo de una Propuesta Transnacional.<br />
Diseño de Piezas.<br />
Vigas Pilar.<br />
1.1.3 Momento flector y esfuerzo axial para secciones de clase 4<br />
Las secciones transversales de clase 4 serán válidas si la tensión normal máxima σ x.Ed calculada utilizando<br />
los anchos efectivos de los elementos comprimidos (ver párrafo 5.3.2.(2) del EC3) cumple el criterio:<br />
σ x . Ed ≤ f yd<br />
donde f yd = f y / γ M 0 .<br />
1.2 Estabilidad global<br />
El tratamiento de los comportamientos de las secciones transversales en los párrafos anteriores no tiene<br />
en cuenta el modo exacto en el que se genera el momento M en la sección transversal considerada. La<br />
figura 6 muestra una viga-pilar experimentando una deformación lateral como resultado de la<br />
combinación del esfuerzo de compresión y unos momentos opuestos e iguales aplicados en los extremos.<br />
El momento en una sección cualquiera de la pieza debe ser convenientemente considerado como<br />
compuesto de dos partes:<br />
• Momento principal M<br />
• Momento secundario N v.<br />
Analizando este problema elásticamente utilizando la teoría de estructuras se obtiene la deformación<br />
máxima en el centro (Trahair y Bradford, 1988) como<br />
M π N<br />
v max = sec −1<br />
(4)<br />
N 2 P Ey<br />
2<br />
π EI y<br />
donde PEy<br />
= es la carga crítica de Euler para el pandeo sobre el eje de mayor inercia,<br />
2<br />
L<br />
y el momento máximo es:<br />
π N<br />
M max = M sec<br />
(5)<br />
2 P Ey<br />
N<br />
x<br />
M<br />
y<br />
M<br />
L<br />
v<br />
N v<br />
M<br />
Momento<br />
=EI –––<br />
dv 2<br />
dx 2<br />
M<br />
N<br />
M<br />
Figura 6 – Momentos principal y secundario<br />
8
Eurocódigo para Estructuras de Acero. Desarrollo de una Propuesta Transnacional.<br />
Diseño de Piezas.<br />
Vigas Pilar.<br />
En ambas ecuaciones el término secante puede reemplazarse teniendo en cuenta que la deformación de<br />
primer orden (debida a los momentos en los extremos M actuando solos) y el momento de primer orden<br />
M – obtenido mediante la teoría ordinaria de vigas – están aproximadamente amplificadas por el término:<br />
1<br />
(6)<br />
1 − N / P Ey<br />
como se muestra en la figura 7.<br />
Así:<br />
2<br />
ML 1<br />
vmax<br />
= (7)<br />
8EI<br />
y 1 − N / P Ey<br />
1<br />
M max = M<br />
(8)<br />
1 − N / P Ey<br />
Dado que la tensión elástica máxima será:<br />
M max<br />
σ max = σc<br />
+ σb<br />
(9)<br />
M<br />
La ecuación. (9) puede escribirse como:<br />
σc<br />
f y<br />
+<br />
σb<br />
= 1,0<br />
f y (1 − N / PEy<br />
)<br />
(10)<br />
N / P Ey<br />
––––––––– or –––––<br />
1,0<br />
0,8<br />
Aproximación –<br />
Ecuac. (7) y (8)<br />
0,6<br />
Exacta para el momento – Ec. (5)<br />
Exacta para la desviación – Ec. (4)<br />
0,4<br />
0,2<br />
v max M max<br />
ML 2 / 8EIy<br />
M<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8<br />
Figura 7 – Deformación y momento máximos en vigas-pilar con<br />
momentos iguales<br />
9
Eurocódigo para Estructuras de Acero. Desarrollo de una Propuesta Transnacional.<br />
Diseño de Piezas.<br />
Vigas Pilar.<br />
1,0<br />
σ c<br />
/ f y<br />
Esbeltez<br />
aumentando<br />
σ b<br />
/ f y<br />
0<br />
1,0<br />
Figura 8 – Forma de la ecuación. (10)<br />
La ecuación (10) puede ser resuelta para valores de σ c y σ b que justamente rebasen el límite elástico,<br />
tomando diferentes valores de P Ey (el cual depende de la esbeltez L/r y ). Esto da lugar a una serie de curvas<br />
como se muestra en la figura 8, en la que se indica que cuando σ b → 0 , σ c tiende al valor del límite<br />
elástico del material f y . Así la ecuación. (11) no reconoce la posibilidad de pandeo bajo carga axial pura a<br />
una tensión σ Ey dada por:<br />
2<br />
P<br />
2<br />
Ey π EI y π E<br />
σ Ey = = =<br />
(11)<br />
A 2 2<br />
AL λ y<br />
El uso de ambas ecuaciones (11) y (12) asegura que ambas condiciones están cubiertas como se muestra<br />
en la figura 9.<br />
1,0<br />
σ Ey /fy<br />
σ c / f y<br />
σ Ey /fy<br />
σ Ey /f y<br />
Esbeltez<br />
aumentando<br />
σ b<br />
/ f y<br />
0<br />
1,0<br />
Figura 9 – Combinación de las ecuaciones (10) y (11)<br />
10
Eurocódigo para Estructuras de Acero. Desarrollo de una Propuesta Transnacional.<br />
Diseño de Piezas.<br />
Vigas Pilar.<br />
1.3 Tratamiento en el Eurocódigo 3<br />
Las ecuaciones. (10) y (11) están escritas en términos de tensiones y tienen su origen en el concepto de<br />
“fallo” siendo definido bien como la superación del límite elástico o bien como el pandeo elástico de la<br />
pieza perfecta. Los códigos de diseño basados en los estados límites, como el Eurocódigo 3,<br />
normalmente toman la carga última como el criterio de diseño cuando se considera la resistencia bajo<br />
carga estática. De esta manera estas ecuaciones deben volver a escribirse en términos de fuerzas y<br />
momentos. Al hacer esto es también necesario tener en cuenta aquellos efectos que se presentan en las<br />
estructuras reales y que no han sido tenidos en cuenta explícitamente, por ejemplo la falta inicial de<br />
rectitud, tensiones residuales, etc. Por mantener una consistencia en el diseño es esencial que la ecuación<br />
de interacción para estados de carga combinados se convierta en los procedimientos de diseño de pilares y<br />
vigas cuando el momento flector o el esfuerzo axial respectivamente se hacen nulos.<br />
1.3.1 Piezas con secciones transversales de clases 1 y 2<br />
El método adoptado por el Eurocódigo 3 (suponiendo momento respecto del eje y ) es utilizar:<br />
en la que<br />
N Sd<br />
χ y Af y<br />
k y M y.<br />
Sd<br />
+<br />
W pl.<br />
y f y<br />
≤1<br />
χ y es el coeficiente de reducción para el pandeo del pilar y<br />
µ y N Sd<br />
k y =1 − pero k y ≤1, 5<br />
χ y Af y<br />
(12)<br />
5.5.4.(1)<br />
(5.51)<br />
con<br />
W pl,<br />
y<br />
µ y = λ y (2β<br />
My − 4) +<br />
Wel,<br />
y<br />
−1<br />
pero µ y ≤ 0, 90<br />
donde β My es un coeficiente del momento uniforme equivalente que tiene en cuenta la variación del<br />
diagrama de momentos, ver la tabla 2 (diagrama de momentos respecto del eje y y restricción en la<br />
dirección z ).<br />
1.3.2 Piezas con sección transversal de clase 3<br />
Las piezas con sección transversal de clase 3 sometidas a flexión y carga axial deberán cumplir:<br />
N Sd<br />
χ y Af y<br />
donde k y y χ y son como en la ecuación. (12) con<br />
k y M y.<br />
Sd<br />
+<br />
Wel.<br />
y f y<br />
≤ 1<br />
µ y = λ y ( 2β<br />
My − 4) pero µ y ≤ 0, 90<br />
(13)<br />
5.5.4.(3)<br />
(5.53)<br />
11
Eurocódigo para Estructuras de Acero. Desarrollo de una Propuesta Transnacional.<br />
Diseño de Piezas.<br />
Vigas Pilar.<br />
Diagrama de momentos<br />
Coeficiente del momento uniforme equivalente β M<br />
Momentos en los extremos<br />
βM<br />
, ψ = 1,8 − 0, 7ψ<br />
Momentos debidos a cargas<br />
transversales<br />
Para cargas uniformemente repartidas: β M , Q =1, 3<br />
Para cargas concentradas: β M , Q =1, 4<br />
Momentos debidos a cargas<br />
transversales más momentos en<br />
M<br />
los extremos Q<br />
βM<br />
= βM<br />
, ψ + ( βM , Q − βM<br />
, ψ )<br />
∆M<br />
donde:<br />
M Q = max M debido únicamente a carga transversal<br />
y<br />
∆ M = max M para diagramas de momentos sin cambio de signo<br />
∆ M = max M + min M cuando cambia el signo del diagrama<br />
Tabla 2 – Coeficientes del momento uniforme equivalente β M<br />
12
Eurocódigo para Estructuras de Acero. Desarrollo de una Propuesta Transnacional.<br />
Diseño de Piezas.<br />
Vigas Pilar.<br />
1.3.3 Piezas con secciones transversales de clase 4<br />
Las piezas con secciones transversales de clase 4 sometidas a momento flector y carga axial deberán<br />
cumplir:<br />
N k y ( M y.<br />
Sd + N Sd eN.<br />
z )<br />
Sd<br />
+<br />
≤1<br />
(<strong>14</strong>)<br />
χ y Aeff<br />
f y Weff<br />
. y f y<br />
donde<br />
• k y y χ y son como en la ecuación (12) con µ y como en la ecuación (13).<br />
• A eff.y es el área efectiva de la sección transversal para compresión pura.<br />
• W eff.y es el módulo resistente efectivo de la sección transversal para flexión pura.<br />
• e N.z es el desplazamiento del eje neutro comparando la sección transversal completa con la sección<br />
transversal efectiva (calculada suponiendo compresión pura) utilizada para tener en cuenta el pandeo<br />
local.<br />
5.5.4.(3)<br />
(5.56)<br />
1.3.4 La función del coeficiente k y<br />
El valor de k y , como se observa en las explicaciones de la ecuación. (12), depende de:<br />
• El nivel de la carga axial, medido por medio de la relación:<br />
N Sd<br />
χ y Af y<br />
• La esbeltez de la pieza λ y<br />
• El margen entre los módulos resistentes plástico y elástico de la sección transversal W pl y W el<br />
(solamente para secciones transversales de clase 1 y 2).<br />
• El diagrama de momentos principales.<br />
Cuando todo esto se combina de la manera más rigurosa el valor seguro de k y es 1,5. La función de k y es<br />
tener en cuenta el efecto de los momentos secundarios descritos anteriormente más los efectos de la<br />
variación del momento y la fluencia.<br />
La figura 6 mostraba como, para el caso particular de momentos flectores iguales y opuestos en los<br />
extremos, los momentos principales se amplifican como consecuencia del efecto de la carga axial N<br />
actuando a través de los desplazamientos laterales v. Cuando el diagrama de momentos principales es<br />
diferente (momentos variables), los dos efectos no se sumarán directamente dado que los máximos<br />
momentos principal y secundario no se producen necesariamente en la misma sección.. La figura 10<br />
ilustra la situación para momentos extremos M y ψM, donde ψ puede adoptar valores entre +1 (curvatura<br />
simple uniforme) y –1 (doble curvatura). El caso particular mostrado corresponde a un valor ψ≅–0,5.<br />
Para el caso ilustrado, el momento máximo aún tiene lugar en una sección intermedia pero la situación es<br />
claramente menos severa que la mostrada en la figura 6, suponiendo que todas las condiciones son<br />
idénticas aparte del valor de ψ. Es habitual admitir esto en el diseño reduciendo la contribución del<br />
término del momento en la expresión de interacción. Así en el Eurocódigo 3 k y en la ecuación (12)<br />
depende de la relación ψ.<br />
Ya que el caso de momento de curvatura simple uniforme es el mas severo, puede concluirse que una<br />
simplificación segura es usar siempre ψ=1,0.<br />
Volviendo a la figura 10, es posible que el momento máximo se presente en el extremo donde se aplica el<br />
mayor momento principal. Esto normalmente ocurriría si el esfuerzo axial fuera pequeño y/o la esbeltez<br />
fuera baja por lo que los efectos del momento secundario serían relativamente insignificantes. En tales<br />
casos el diseño estará supeditado a la necesidad de asegurar la adecuada resistencia de la sección<br />
transversal en dicho extremo. Deberíamos utilizar por tanto los valores de la tabla 2.<br />
13
Eurocódigo para Estructuras de Acero. Desarrollo de una Propuesta Transnacional.<br />
Diseño de Piezas.<br />
Vigas Pilar.<br />
En los casos donde solamente se considera la situación de momento uniforme (ψ=1,0), la comprobación<br />
del pandeo global por medio de la ecuación (12) será siempre más severa que (o en el limite igual a) la<br />
comprobación de la sección transversal, y por lo tanto esta última comprobación no se precisa llevar a<br />
cabo de forma separada.<br />
N<br />
ψM<br />
ψM<br />
x<br />
Momento<br />
=EI –––<br />
dv 2<br />
L<br />
v<br />
ψ<br />
dx 2 M[ + –– (1 – )]<br />
x<br />
L<br />
ψ<br />
N v<br />
M<br />
N<br />
M<br />
Figura 10 – Caso de momento no uniforme<br />
2. Comportamiento a pandeo lateral de vigas-pilar<br />
Cuando una viga-pilar no arriostrada está flectada respecto de su eje de mayor inercia (figura 11), puede<br />
pandear deformándose lateralmente y retorciéndose sobre su propio eje para una carga significativamente<br />
menor que la carga máxima prevista al llevar a cabo un análisis de la flexión en el plano. Este pandeo<br />
lateral puede presentarse mientras el elemento todavía es elástico (ver la curva 1 de la figura 12), o<br />
después de una cierta plastificación (curva 2) debida a la flexión en el plano y la compresión que han<br />
tenido lugar.<br />
2.1 Pandeo lateral<br />
Consideremos el comportamiento a pandeo lateral de una viga-pilar con sección en I no arriostrada<br />
transversalmente y flectada respecto de su eje fuerte. Suponiendo un comportamiento elástico y la<br />
disposición de cargas aplicadas y condiciones de apoyo dadas en la figura 13, las combinaciones críticas<br />
de N y M pueden ser obtenidas de la propuesta de (Chen and Atsuta, 1976):<br />
2<br />
M<br />
2<br />
i0<br />
PEz<br />
PE<br />
0<br />
⎛ N ⎞⎛ N ⎞<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎜1<br />
−<br />
⎟<br />
1 −<br />
⎝ PEz<br />
⎠⎝<br />
PE<br />
0 ⎠<br />
(15)<br />
en la cual<br />
I y I z<br />
• i<br />
+<br />
0 = es el radio de giro polar<br />
A<br />
<strong>14</strong>
Eurocódigo para Estructuras de Acero. Desarrollo de una Propuesta Transnacional.<br />
Diseño de Piezas.<br />
Vigas Pilar.<br />
• PEz<br />
2<br />
π EI z<br />
= es la carga crítica para el eje débil<br />
2<br />
L<br />
⎛ 2<br />
GI<br />
⎞<br />
•<br />
⎜ π<br />
0 t<br />
= + ⎟<br />
2 ⎜<br />
1 EI w<br />
PE es la carga de pandeo lateral.<br />
2<br />
i<br />
⎟<br />
0 ⎝ GIt<br />
L ⎠<br />
N<br />
x<br />
ψM<br />
L<br />
z<br />
M<br />
y<br />
N<br />
El pilar flexa en el plano zx,<br />
pandea lateralmente en el plano yx<br />
y gira respecto del eje x<br />
Figura 11 – Comportamiento a pandeo lateral<br />
Carga<br />
Carga<br />
(1) Pandeo elástico<br />
(1) Pandeo elástico<br />
(2) Pandeo anelástico<br />
(2) Pandeo anelástico<br />
Deformación fuera del plano<br />
Límite elástico<br />
Deformación en el plano<br />
(a) Comportamiento fuera del plano<br />
(b) Comportamiento en el plano<br />
Figura 12 – Pandeo lateral de vigas-pilar<br />
15
Eurocódigo para Estructuras de Acero. Desarrollo de una Propuesta Transnacional.<br />
Diseño de Piezas.<br />
Vigas Pilar.<br />
N<br />
M<br />
L<br />
M<br />
N<br />
Los apoyos extremos impiden los movimientos transversales<br />
y el giro de torsión pero no ofrecen restricción<br />
al giro de flexión o al alabeo<br />
Figura 13 – Caso básico para pandeo lateral<br />
La ecuación. (15) se reduce al pandeo de una viga cuando N→0 y al pandeo de un pilar tanto en flexión<br />
(P Ez ) como en torsión (P E0 ) cuando M→0. En el primer caso el valor crítico de M viene dado por:<br />
2<br />
π<br />
π EI w<br />
M cr = EI zGIt<br />
1 +<br />
L<br />
2<br />
L GIt<br />
(16)<br />
en la cual<br />
• EI z es la rigidez a flexión respecto del eje débil<br />
• GI t es la rigidez torsional<br />
• EI w es la rígidez de alabeo.<br />
En la obtención de la ecuación (15) no se realizó ninguna concesión para la amplificación de los<br />
momentos en el plano M, debida a la carga axial actuando a través de las desviaciones en el plano. Esto<br />
M<br />
puede ser estimado mediante<br />
. En ese caso la ecuación (15) puede transformarse en:<br />
1 − N / P Ey<br />
2<br />
M<br />
2<br />
i0<br />
PEz<br />
PE<br />
0<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ N ⎟<br />
⎛ N ⎞⎛ N ⎞<br />
= 1 −<br />
⎜ ⎟<br />
⎜1<br />
−<br />
⎟<br />
1 −<br />
⎜ ⎟<br />
⎝<br />
PEy<br />
⎠⎝<br />
PEz<br />
⎠⎝<br />
PE<br />
0 ⎠<br />
(17)<br />
Teniendo en cuenta las magnitudes relativas de P Ey , P Ez y P E0 , y reordenando llegamos a la expresión:<br />
N 1<br />
+<br />
PEz<br />
1 − N / PEy<br />
i0<br />
M<br />
= 1<br />
PEz<br />
PE<br />
0<br />
(18)<br />
o bien<br />
N<br />
PEz<br />
1<br />
+<br />
1 − N / PEy<br />
M<br />
M cr<br />
= 1<br />
(19)<br />
16
Eurocódigo para Estructuras de Acero. Desarrollo de una Propuesta Transnacional.<br />
Diseño de Piezas.<br />
Vigas Pilar.<br />
2.2 El proceso de diseño en el Eurocódigo 3<br />
Por motivos de diseño es necesario hacer concesiones apropiadas para efectos tales como la falta inicial<br />
de rectitud, la plastificación parcial, tensiones residuales, etc., como ha sido ya comentado en lecciones<br />
anteriores en el contexto de pilares y vigas. Por ello es necesario hacer ciertas modificaciones en la<br />
ecuación. (19) que la hagan apropiada para el cálculo. En particular, los casos extremos (correspondientes<br />
a los de M=0 y N=0) deben ajustarse a los procedimientos establecidos para pilares y vigas.<br />
2.2.1 Piezas con secciones transversales de clase 1 y 2<br />
El Eurocódigo 3 utiliza la ecuación de interacción:<br />
N kLT<br />
M<br />
Sd<br />
y.<br />
Sd<br />
+<br />
≤1<br />
χ z Af y χ LTW<br />
pl.<br />
y f y<br />
en la que χ z es el coeficiente de reducción para pandeo de pilares respecto del eje débil,<br />
coeficiente de reducción para pandeo lateral en vigas, y<br />
con<br />
µ LT N Sd<br />
kLT<br />
= 1 −<br />
pero k LT ≤ 1, 0<br />
χ z Af y<br />
µ LT = 0 ,15( λ z 2β<br />
M , LT −1)<br />
pero µ LT ≤ 0, 90<br />
(20)<br />
χ LT es el<br />
donde β M,LT es un coeficiente para tener en cuenta la no uniformidad del diagrama de momentos, ver la<br />
Tabla 2 (diagrama de momentos respecto del eje y restricciones en la dirección y ).<br />
5.5.4.(2)<br />
(5.52)<br />
2.2.2 Piezas con sección transversal de clase 3<br />
Las piezas con sección transversal de clase 3 deberán cumplir el siguiente criterio:<br />
N Sd<br />
χ z Af y<br />
kLT<br />
M y.<br />
Sd<br />
+<br />
χ LTWel.<br />
y f y<br />
≤1<br />
(21)<br />
5.5.4.(4)<br />
(5.54)<br />
2.2.3 Piezas con sección transversal de clase 4<br />
Las piezas con sección transversal de clase 4 deberán satisfacer el siguiente criterio:<br />
N Sd<br />
χ z Af y<br />
kLT<br />
M y.<br />
Sd + N Sd eN,<br />
z<br />
+<br />
χ LTWeff<br />
. y f y<br />
≤1<br />
(22)<br />
5.5.4.(5)<br />
(5.57)<br />
2.2.4 La función de k LT<br />
El valor de k LT , como se indica en las ecuaciones, depende de:<br />
N Sd<br />
• El nivel de la carga axial medida por la relación<br />
χ z Af y<br />
• La esbeltez de la pieza λ z<br />
• El diagrama de momentos principales.<br />
Para la combinación más severa k LT toma el valor unidad, correspondiendo a una combinación lineal de<br />
los términos a compresión y flexión. Esto refleja el reducido alcance para los efectos de amplificación en<br />
este caso, dado que el valor de N Sd no puede superar el valor χ z A f y , el cual, a su vez, será<br />
significativamente menor que la carga crítica elástica para el pandeo en el plano P Ey .<br />
17
Eurocódigo para Estructuras de Acero. Desarrollo de una Propuesta Transnacional.<br />
Diseño de Piezas.<br />
Vigas Pilar.<br />
Es también necesario chequear la posibilidad de fallo en el plano debida a una excesiva deformación en el<br />
plano del alma para una carga más baja que la dada por la ecuación. (20). Esto podría ocurrir, por<br />
ejemplo, en situaciones donde se disponga de diferentes condiciones de arriostramiento y/o condiciones<br />
de apoyo en los planos xy y xz como se muestra en la figura <strong>14</strong>. Tales casos deberán tratarse<br />
comprobando además de la ecuación. (20), una ecuación en el plano de la forma:<br />
N Sd<br />
χmin<br />
Af y<br />
k y M y.<br />
Sd<br />
+<br />
W pl.<br />
y f y<br />
≤1<br />
(23)<br />
en la que χ min depende de las condiciones en el plano. Sin embargo, normalmente es la ecuación (20) la<br />
que gobierna el diseño.<br />
Figure <strong>14</strong> – Pilar con diferentes condiciones de vinculación en los planos<br />
“xy” y “xz”<br />
3. Flexión esviada de las vigas-pilar<br />
El análisis para el caso tridimensional, incluso para la simple versión elástica, es extremadamente<br />
complejo y no se dispone de soluciones concretas. Antes de abordarlo analíticamente conviene tener en<br />
cuenta las consideraciones del comportamiento y el uso de métodos ya obtenidos para los casos más<br />
simples de la figura 15.<br />
La figura 16 presenta una versión en el diagrama de los requisitos de diseño. Los planos N-M z y N-M y<br />
corresponden a los dos casos uniaxiales ya estudiados. La interacción entre los dos momentos M z y M y<br />
corresponde al plano horizontal. Cuando los tres componentes de los esfuerzos N, M y y M z están presentes<br />
la interacción resultante se dibuja en el espacio en tres dimensiones representado por el diagrama.<br />
Cualquier punto que caiga dentro de los límites corresponde a combinaciones seguras de esfuerzos.<br />
Suponiendo esfuerzos proporcionales, cualquier combinación puede ser considerada como una línea recta<br />
comenzando en el origen, la orientación dependerá de los valores relativos de los tres componentes del<br />
esfuerzo. Aumentando los esfuerzos esta línea se prolonga desde el origen hasta alcanzar y sobrepasar la<br />
región segura. El caso de esfuerzos no proporcionales correspondería a una serie de líneas.<br />
18
Eurocódigo para Estructuras de Acero. Desarrollo de una Propuesta Transnacional.<br />
Diseño de Piezas.<br />
Vigas Pilar.<br />
En cada caso los ejes han sido tomados como la relación entre la componente del esfuerzo aplicado y la<br />
resistencia de la pieza a dicho esfuerzo aplicado en solitario, p.e. N Sd /χ min Af y en el caso de esfuerzo de<br />
compresión. Así la figura 16 realmente representa la situación para un ejemplo particular con valores<br />
particulares de las propiedades de la sección transversal, esbeltez y tipo de carga. Cambiando alguno o<br />
todos estos valores variaríamos la forma de la superficie de interacción, pero no el principio general.<br />
N<br />
x<br />
ψ z M z<br />
ψ y M y<br />
N<br />
z<br />
M z<br />
M y<br />
y<br />
Deformaciones del pilar en los planos zx e yx<br />
y giro respecto del eje x<br />
Figura 15 – Flexión esviada<br />
N Sd / Afy<br />
1<br />
Menos esbelta<br />
Mas esbelta<br />
1<br />
1<br />
M z,Sd /Wpl.zfy M y,Sd /Wpl.yfy<br />
Figura 16 – Diagrama de interacción para flexión esviada<br />
19
Eurocódigo para Estructuras de Acero. Desarrollo de una Propuesta Transnacional.<br />
Diseño de Piezas.<br />
Vigas Pilar.<br />
3.1 Diseño de piezas a flexión esviada y compresión<br />
Las piezas con secciones transversales de clase 1 y 2 sometidas simultáneamente a compresión y a flexión<br />
en dos planos deberán cumplir la siguiente desigualdad:<br />
N Sd<br />
χmin<br />
Af y<br />
k y M y,<br />
Sd<br />
+<br />
W pl,<br />
y f y<br />
donde k z es un coeficiente similar a k y , ver la ecuación. (12).<br />
k z M z,<br />
Sd<br />
+<br />
W pl,<br />
z f y<br />
≤1<br />
(24)<br />
5.5.4.(1)<br />
(5.51)<br />
Las piezas con secciones transversales de clase 1 y 2 sometidas simultáneamente a compresión y a flexión<br />
en dos planos donde el pandeo lateral es relevante, deberán verificar la siguiente desigualdad:<br />
N Sd<br />
χ z Af y<br />
kLT<br />
M y,<br />
Sd<br />
+<br />
χ LTW<br />
pl,<br />
y f y<br />
k z M z,<br />
Sd<br />
+<br />
W pl,<br />
z f y<br />
Las piezas con sección transversal de clase 3 sometidas simultáneamente a compresión y a flexión en dos<br />
planos deberán cumplir la siguiente desigualdad:<br />
N Sd<br />
χmin<br />
Af y<br />
k y M y,<br />
Sd<br />
+<br />
Wel,<br />
y f y<br />
k z M z,<br />
Sd<br />
+<br />
Wel,<br />
z f y<br />
Las piezas con secciones transversales de clase 3 sometidas simultáneamente a compresión y a flexión en<br />
dos planos donde además el pandeo lateral es relevante, deberán satisfacer la siguiente desigualdad:<br />
N Sd<br />
χ z Af y<br />
kLT<br />
M y,<br />
Sd<br />
+<br />
χ LTWel,<br />
y f y<br />
k z M z,<br />
Sd<br />
+<br />
Wel,<br />
z f y<br />
Las piezas con sección transversal de clase 4 sometidas simultáneamente a compresión y a flexión en dos<br />
planos deberán verificar la siguiente desigualdad:<br />
N Sd<br />
χmin<br />
Aeff<br />
f y<br />
≤1<br />
≤1<br />
≤1<br />
k y ( M y,<br />
Sd + N Sd eNz<br />
) k z ( M z,<br />
Sd + N Sd eNy<br />
)<br />
+<br />
+<br />
≤1<br />
Weff<br />
, y f y<br />
Weff<br />
, z f y<br />
Las piezas con secciones transversales de clase 4 sometidas simultáneamente a compresión y a flexión en<br />
dos planos donde además el pandeo lateral es relevante, deberán satisfacer la siguiente desigualdad:<br />
N Sd<br />
χ z Aeff<br />
f y<br />
kLT<br />
M y,<br />
Sd + N Sd eNy<br />
+<br />
χ LTWeff<br />
, y f y<br />
k z ( M z,<br />
Sd + N Sd eNz<br />
)<br />
+<br />
≤1<br />
Weff<br />
, z f y<br />
(25)<br />
(26)<br />
(27)<br />
(28)<br />
(29)<br />
5.5.4.(2)<br />
(5.52)<br />
5.5.4.(3)<br />
(5.53)<br />
5.5.4.(4)<br />
(5.54)<br />
5.5.4.(5)<br />
(5.56)<br />
5.5.4.(6)<br />
(5.57)<br />
Una cuestión importante a tener en cuenta a la hora de obtener A eff y W eff es que el cálculo de las<br />
características de la sección transversal, y por tanto también la clasificación de la sección transversal,<br />
deberán realizarse sobre bases diferentes para cada uno de los tres componentes del esfuerzo N, M y y M z .<br />
Esto significa, por supuesto, que la misma pieza puede clasificarse como clase 1 para la flexión respecto<br />
del eje de mayor inercia, clase 2 para la flexión respecto del eje de menor inercia y clase 3 para el<br />
esfuerzo de compresión. En tales situaciones la propuesta del cálculo más segura es llevar a cabo las<br />
comprobaciones de todas las vigas-pilar usando los valores correspondientes a la clase de sección menos<br />
favorable.<br />
20
Eurocódigo para Estructuras de Acero. Desarrollo de una Propuesta Transnacional.<br />
Diseño de Piezas.<br />
Vigas Pilar.<br />
3.2 Comprobaciones de la sección transversal<br />
Si la reducción se ha realizado al obtener los factores k (a través del uso de β M ) para los efectos menos<br />
severos de los diagramas de momentos (distintos que la curvatura simple de momento uniforme), es<br />
necesario además comprobar que la sección transversal será capaz de soportar en todos sus puntos la<br />
combinación de la compresión y el momento flector principal.<br />
Las expresiones para comprobar diversos tipos de secciones transversales sometidas simultánemente a<br />
compresión y flexión en un plano se dieron en la sección 1.1. Para flexión esviada el EC 3 propone:<br />
α<br />
β<br />
⎛ M . ⎞<br />
⎜ y Sd ⎟<br />
⎛ M . ⎞<br />
+ ⎜ z Sd ⎟<br />
≤ 1<br />
⎜ ⎟<br />
⎝<br />
M Ny.<br />
Rd ⎠ ⎝ M Nz.<br />
Rd ⎠<br />
(30)<br />
5.4.8.1<br />
(5.35)<br />
en la que los valores de α y β dependen del tipo de sección transversal como se indica en la tabla 3.<br />
Una alternativa conservadora pero más sencilla es:<br />
N Sd<br />
N pl.<br />
Rd<br />
M y.<br />
Sd<br />
+<br />
M Ny.<br />
Rd<br />
M z.<br />
Sd<br />
+<br />
M Nz.<br />
Rd<br />
≤ 1<br />
(31)<br />
5.4.8.1<br />
(5.36)<br />
Tipo de sección transversal α β<br />
Secciones I y H 2 5n pero ≥ 1<br />
Tubos circulares 2 2<br />
1,66<br />
Secciones rectangulares huecas 2<br />
1 −1,33n<br />
pero ≤ 6<br />
1,66<br />
2<br />
1 −1,33n<br />
pero ≤ 6<br />
Rectángulos macizos y chapas 1,73 + 1,8n 3 1,73 + 1,8n 3<br />
Tabla 3 – Valores de α y β para su uso en la ecuación. (30)<br />
Notación: n = N Sd / N pl.Rd<br />
21
Eurocódigo para Estructuras de Acero. Desarrollo de una Propuesta Transnacional.<br />
Diseño de Piezas.<br />
Vigas Pilar.<br />
4. Conclusiones<br />
• Las vigas-pilar son elementos estructurales sometidos a compresión y flexión recta o esviada.<br />
• El comportamiento de las vigas-pilar puede ser entendido en tres modos (a) comportamiento de la<br />
viga-pilar arriostrada; (b) la viga-pilar no arriostrada sometida a compresión y flexión en un plano y<br />
(c) la viga-pilar no arriostrada sometida simultáneamente a compresión y flexión en dos planos.<br />
• El modo (a) esta gobernado por el comportamiento de la sección transversal<br />
• El modo (b) está gobernado por una interacción entre el comportamiento de la sección transversal y el<br />
pandeo plano o pandeo lateral del elemento.<br />
• El modo (c) esta gobernado por los mismos factores que en (b) pero en las expresiones de<br />
comprobación debe de incorporarse el momento respecto del otro eje.<br />
• La lección explica los conceptos básicos de interacción entre los efectos de la flexión y la compresión<br />
concentrándose en el comportamiento uniaxial y en el plano. Posteriormente se amplía el tratamiento<br />
de las vigas-pilar para incluir los casos de pandeo lateral y flexión esviada.<br />
22