La simulación por computador en investigación y desarrollo

e-creaciones
La simulación por computador
en investigación y desarrollo
Computer simulation in research and development
JULIO ENRIQUE DUARTE
Licenciado en Física y Magíster en Física, Universidad Industrial de Santander. Doctor
en Física, Universidad de Barcelona, docente Universidad Pedagógica y Tecnológica de
Colombia Titular, Sede Duitama, Grupo de Energía y Aplicación de Nuevas Tecnologías
(GEANT).
julioenriqueduarte@latinmail.com
FLAVIO HUMBERTO FERNÁNDEZ MORALES
Ingeniero Electrónico, Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Doctor en
Ingeniería Electrónica, Universidad de Barcelona. Docente Universidad Pedagógica
y Tecnológica de Colombia, Sede Duitama, categoría Asociado. Investigador Grupo
de Energía y Aplicación de Nuevas Tecnologías (GEANT).
flaviofm@telecom.com.co
Clasificación del artículo: reflexión
echa de recepción: diciembre13 de 2005 echa de aceptación: junio 27 de 2005
Palabras clave: método de los elementos finitos, modelado, simulación.
Key words: finite element method, modeling, simulation.
R ESUMEN
En el presente trabajo se ilustra la importancia de
la simulación por computador, en especial del
método de los elementos finitos (MEF) como una
alternativa de interés para la investigación en áreas
como electricidad, mecánica, electrónica, biología
y medicina, entre otras. Por su versatilidad, esta
clase de herramientas es fundamental en la
investigación de diversos fenómenos físicos, en el
desarrollo de procesos productivos y en el estudio
de dispositivos, modelos y sistemas, ya que permiten
generar conocimiento de punta en forma eficiente
y a costos reducidos. Por tratarse de herramientas
'transversales', esto es, que pueden ser utilizadas
por diversas disciplinas, los programas de simulación
adquieren una enorme importancia y deben tenerse
en cuenta a la hora de plantear currículos
actualizados y con un gran contenido investigativo
que faciliten al egresado su ejercicio profesional.
A BSTRACT
This paper shows the importance of computer
simulation; specially it permit to acquire knowledge
of the Method of Finite Elements (FEM) like
interesting alternative for researching in areas such
as electricity, mechanics, electronics, biology and
medicine, among others. Given its versatility, this
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type of tools is fundamental for researching diverse
physical phenomena, development of productive
processes and study of devices, models and systems;
they allow generating knowledge in efficient form
and reduced costs. Like transversal tools, that is to
say that can be used by diverse disciplines, simulation
programs acquire an enormous importance and are
considered at the time of raising updated curricula
and with a great investigative content; they facilitate
to withdraw its professional exercise.
******
1. Introducción
En forma general, la simulación puede entenderse
como la utilización del computador para la
reproducción aproximada y el estudio de un
fenómeno (físico, químico, biológico, económico,
sicológico, sociológico, etc.) (Wachutka, 1994). Su
principal objetivo es obtener mayor información y
entendimiento acerca de la respuesta y evolución
de un sistema físico bajo ciertas condiciones
impuestas: cargas, condiciones de contorno y
condiciones iniciales. Esta información será útil en
el proceso de toma de decisiones para optimizar
prototipos, puesto que permite conocer y estudiar
las variables que participan en un fenómeno y
establecer su influencia en un determinado diseño
sin necesidad de construir el objeto bajo estudio.
Pese a que las herramientas de simulación por
computador tienen una historia relativamente
reciente, se basan en técnicas matemáticas
desarrolladas tiempo atrás y que sólo pudieron ser
puestas en práctica gracias a la aparición de
máquinas con gran capacidad de memoria y elevada
velocidad de procesamiento. Dicho en forma sencilla,
el computador resuelve una serie de ecuaciones
conocidas que se utilizan para calcular las variables
que describen los fenómenos físicos involucrados.
Por ejemplo, en el campo de la Dinámica
Computacional de Fluidos (CFD, por su sigla en
inglés) estas variables son la velocidad y la presión
de la corriente de aire (o líquido) que fluye alrededor
del objeto que se estudia. Las ecuaciones empleadas
para la solución de este problema fueron descubiertas
hace más de 150 años por el ingeniero francés Claude
Navier y el matemático irlandés George Stokes; son
las ecuaciones de Navier-Stokes, así denominadas
en su honor, que se derivan directamente de las leyes
del movimiento de Newton (Morn y Kim, 1997).
Como es concebida actualmente, la simulación por
computador comenzó a mediados de los años setenta.
Durante este periodo su desarrollo y aplicación fueron
liderados por los procesos de investigación en
ingeniería aeronáutica; en esta área del conocimiento
trabajaron los pioneros en el desarrollo y mejora de
los métodos de análisis numérico.
Para llevar a cabo una simulación se requieren tres
componentes básicos. El primero es la base teórica
que permite formular el problema por resolver en
función de modelos que permitan hacer un análisis
matemático y entender el problema desde una
perspectiva abstracta. En modelos reales, este
componente dejará observar aspectos cuantitativos
del problema pero difícilmente, excepto en casos
sencillos, proporcionará los resultados cualitativos
que se esperan. Es por esto que las herramientas
de cálculo numérico son de gran ayuda.
El segundo componente son los algoritmos que
facilitan desarrollar una secuencia de pasos lógicos
que serán ejecutados por el computador para la
solución del modelo y el estudio más minucioso del
problema. Finalmente, el conocimiento de lenguajes
y técnicas de programación permitirá efectuar las
simulaciones y, a partir de sus resultados, iniciar un
proceso iterativo para perfeccionar el modelo a
medida que se descubren nuevos aspectos del
problema real.
El objetivo del presente artículo es el de ilustrar las
posibilidades del método de los elementos finitos
(MEF), como una alternativa para la solución de
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problemas en ciencias e ingeniería que involucran
diversos dominios físicos. En este contexto se presenta
una descripción cualitativa acerca del MEF,
junto con algunos ejemplos de aplicación en microsistemas
y medicina. Igualmente, se describen los
elementos básicos a tener en cuenta a la hora de
utilizar los métodos de cálculo numérico en la solución
de problemas físicos. De otra parte, se hace
una mención de las ventajas y desventajas del MEF
y, finalmente, se dan algunas conclusiones y recomendaciones
sobre el tema.
2. El cálculo numérico de problemas
físicos
2.1 Problemas físicos y discretización
Un problema a nivel físico es aquel en el cual
intervienen uno o varios dominios físicos, como por
ejemplo, el térmico, el fluídico, el mecánico o el
electromagnético. La solución de este tipo de
problemas se caracteriza por establecer las ecuaciones
que relacionan las variables de interés y para ello se
apela a principios de física e ingeniería bien conocidos,
entre los cuales pueden mencionarse: equilibrio,
segunda ley de Newton, leyes de conservación,
termodinámica y ecuaciones de Maxwell. Las
dificultades que se presentan al formular el problema
y resolver analíticamente las ecuaciones matemáticas
resultantes, normalmente ecuaciones diferenciales
(algunas veces lineales y a menudo parciales no
lineales), son muy complejas y casi siempre imposibles
de resolver. En la práctica, su solución se restringe a
casos de geometrías sencillas como cuadriláteros o
esferas bajo condiciones de contorno muy simples.
En vista de lo anterior, cuando el problema es muy
complejo hay que recurrir a métodos numéricos para
la resolución de las ecuaciones involucradas. Esta
situación es típica cuando se estudian sensores y
actuadores fabricados en silicio, por ejemplo
sensores de presión o de flujo y microespejos
(Walker, 2000); los anteriores son dispositivos cuya
estructura contiene múltiples componentes, con
encapsulados complejos y la existencia de varios
procesos físicos en un mismo dominio o distintos
pero colindantes, situaciones en las cuales es
necesario hacer el análisis de fenómenos acoplados.
El problema principal del modelado de un sistema,
es la cantidad de grados de libertad (GdL)
requeridos para su descripción, los cuales pueden
conducir a tiempos de cálculo considerable. Uno
de los puntos clave en el desarrollo de modelos a
este nivel es saber fraccionar el sistema, establecer
las condiciones de contorno y saber cómo se acoplan
entre sí; una mala elección en este proceso conducirá
a un análisis erróneo (Funk, 1995). La idea final de
la simulación física es obtener, mediante de un
conjunto mínimo de parámetros (GdL), la descripción
más fiel posible del sistema, en la cual se reflejen
aspectos tan importantes como las no linealidades
y los acoplamientos.
Lo anterior se puede conseguir por medio de la
discretización, proceso en el cual se requiere del
paso de un modelo continuo a uno discreto, como
se ilustra en la figura 1.
Figura 1. Discretización de un dominio continuo
Si L se define como el operador diferencial que
describe el sistema, v como los grados de libertad
que constituyen el campo, asociados a cada punto
del espacio y f como las fuentes del sistema o cargas,
el modelo matemático quedará descrito de la
siguiente manera (Zienkiewicz y Taylor, 1994):
→
→
Lv( x) = f( x)
∀x∈ Ω
(1)
→ →
v( x) = g( x) ∀x ∈Γ c. c.
de Dirichilet
→
Discretización
1
∂ v( x)
→
= g( x) ∀x ∈Γ2
c. c.
de Newmann
→
∂ n
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En (1), Ω es el dominio del modelo y Γ 1
y Γ 2
son
particiones disjuntas de la frontera del dominio;
también puede definirse otro tipo de condiciones de
contorno, de acuerdo con la naturaleza del
problema. Dado que cada punto del espacio tiene
un conjunto de GdL, la representación de este
modelo contiene infinitos GdL; de todos ellos sólo
se conocen los de las condiciones de frontera. Las
fuentes de los campos f actuarán de tal forma que
se establezca un equilibrio en el sistema o condición
de mínima energía.
Los diferentes métodos numéricos buscan reducir
el número de GdL de una forma óptima, sin perder
información acerca del sistema. Una idea intuitiva,
aplicable a cualquier método, es que si se obtiene
la solución exacta en un punto del espacio, ésta no
diferirá excesivamente de la de otro punto
suficientemente cercano; es decir, que conociendo
la solución en un número discreto de puntos del
dominio, bastará con realizar una interpolación para
obtener una buena aproximación a la solución real.
La forma como se desarrolla esta idea conduce a
los diferentes métodos numéricos existentes.
En últimas, el objetivo es discretizar el problema,
calcular la solución en los puntos donde se ha
definido el dominio discreto, llamados nodos, y
realizar una interpolación de dicha solución para
cualquier otro punto. La interpolación se realiza en
un dominio definido por varios nodos vecinos y es
lo que constituye el 'elemento'. Al conjunto de nodos
y elementos se le denomina malla.
2.2 El MEF y otros métodos de simulación
Uno de los métodos más populares para el cálculo
numérico de ecuaciones diferenciales e integrales
es el denominado "método de los elementos finitos"
(MEF), el cual se aplica a distintos dominios
energéticos: mecánico, transferencia de calor,
fluidos y electromagnetismo, entre otros.
Adicionalmente, puede utilizarse en el estudio de
fenómenos acoplados como la piezoelectricidad y
los efectos termo-mecánicos (Angulo et al., 1995).
Básicamente, el método consiste en la subdivisión
de un medio continuo en elementos discretos
compuestos por nodos, es decir, por puntos a través
de los cuales se unen los distintos elementos; su
respuesta se conoce a partir de los valores
proporcionados en tales nodos. La variable física por
calcular se interpola en todo el volumen mediante
determinadas funciones, llamadas "funciones de
forma", a partir de los valores nodales. Se establece
entonces un sistema de valores nodales que equilibren
todas las cargas aplicadas al dominio. La solución de
este sistema permitirá determinar los valores del
parámetro físico de interés en cada nodo. El MEF
se puede entender como un método para encontrar
una solución aproximada de un modelo simplificado.
Comparado con otros métodos de cálculo, la ventaja
principal del MEF es la generalidad del proceso, lo
cual hace que su uso sea posible en multitud de
problemas. Además, el enmallado generado puede
ajustarse a las necesidades del problema reduciendo
su densidad cuando no se obtienen variaciones
importantes de las variables independientes; de esta
forma puede mejorarse la precisión del cálculo. No
obstante, su gran problema son las enormes matrices
que se generan, incluso en geometrías no muy
complejas, lo que exige un tiempo de cálculo que en
muchas ocasiones puede ser excesivamente alto.
En la práctica, los programas comerciales que
utilizan un simulador a nivel físico basado en el
método MEF son muchos; entre ellos cabe
mencionar: ANSYS para análisis multidominio
(Swanson Analysis Systems Inc.); MARC para
análisis multidominio (MARC Analysis Research
Corporation); ABAQUS para análisis mecánico
(Hibbitt, Karlsson & Sorensen Inc.); y NASTRAN
para análisis mecánico (MSC. Software
Corporation).
A parte del MEF, a nivel físico existen otros métodos
de cálculo numérico tales como:
l
BEM ("Boundary Element Meted", o Método
de los Elementos de Frontera): en él se resuelven
las ecuaciones sobre valores nodales en los
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l
l
contornos del dominio; de esta forma se reduce
una dimensión en el problema. Una ventaja es
que los cambios que se efectúen en el modelo
pueden hacerse de forma rápida. Sin embargo,
las matrices presentan un alto grado de
asimetría, que hace que el tiempo total de cálculo
sea comparable al requerido en el método MEF
(Kythe, 1995). Un ejemplo de simuladores que
utilizan este método es el BEASY
(Computational Mechanics Inc.), que ha sido
empleado para la simulación simultánea de
problemas multidominio (Lahrmann, 1995).
FDM (´Finite Difference Method' o Método
de las Diferencias Finitas): este método discretiza
las variables independientes y sustituye las
derivadas continuas de la ecuación en derivadas
parciales por expresiones que contienen
diferencias de la solución en los puntos discretos
del mallado (Kolev, 1997). El método es fácil de
implementar; sin embargo, uno de sus problemas
es que requiere de una discretización regular, que
limita así el ajuste adecuado del enmallado e
impide en muchas ocasiones obtener la precisión
deseada (Mitchell, 1985).
FVM ('Finite Volume Method' o Método de los
Volúmenes Finitos): este método obliga a cumplir
las leyes de conservación de manera local
(en cada elemento) y global (en todo el dominio).
Sin embargo, para la discretización de las
variables independientes utiliza una aproximación
por diferencias finitas, limitando la versatilidad
en el enmallado de la estructura. Este
método es especialmente útil en el estudio de
problemas fluídicos (Senturia, 1998).
3. Algunas aplicaciones de la simulación
En este apartado se presentan algunos ejemplos que
ilustran el potencial de los aportes de la simulación
por computador en contribuir a la solución de un
problema en física e ingeniería. Los problemas que
se resuelven mediante simulación comprenden desde
situaciones microscópicas hasta macroscópicas,
como las ilustradas en las figuras 2 y 3. La figura 2
muestra un acelerómetro torsional por efecto capacitivo
fabricado en silicio, cuya estructura fue
optimizada mediante de un análisis por el Método
de los Elementos Finitos (MEF), que dio como resultado
la implementación de agujeros en el electrodo
móvil para reducir el efecto amortiguador del
aire circundante.
Figura 2. Acelerómetro pendular de 1.000 µm de largo, 500
mm de ancho y 10 mm de grosor. Los agujeros sirven para
reducir los efectos de amortiguación o "camping" del aire
(Fernández, 2000)
La figura 3 presenta el modelo computarizado de
un fémur para el estudio, diseño e implementación
de un implante de cadera. En este tipo de aplicaciones
biomecánicas, es posible conocer la distribución
de esfuerzos en el hueso y en el material de
la prótesis, así como optimizar la posición del implante
de manera que se pueda garantizar el éxito
de la intervención quirúrgica.
Figura 3. Modelo MEF de un fémur generado a partir de
imágenes de tomografía computarizada (Vander Sloten et al.,
1999)
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La figura 4 presenta el modelo propuesto para una
membrana de silicio actuada termo-ópticamente.
Vale decir que, debido a las excelentes propiedades
mecánicas del silicio (Si) y al extenso uso de su
tecnología, se han realizado muchos esfuerzos en
la aplicación de membranas de (Si) como actuadores
en microsistemas. El principio termo-óptico es
especialmente ventajoso en situaciones en las cuales
se deben evitar las interferencias eléctricas o
un excesivo calentamiento.
Figura 5. a) Distribución de la temperatura en la
microestructura;
Figura 4. Modelo para estudiar el principio de actuación
termo-óptico. Se muestra un cuarto de la membrana y la
cavidad de actuación. La fibra óptica transporta la energía
luminosa requerida para efectuar el calentamiento del aire, el
cual, a su turno, induce el incremento de presión que causa la
deflexión de la membrana. La fibra óptica está incrustada en
un bloque (bulk) de Si de 200 µm de grosor. La cavidad de
actuación donde está encerrado el aire es de 250 µm de alto.
La membrana es cuadrada y su lado tiene 800 µm de
longitud.
Figura 5. b) componente vertical de la deflexión extraída del
análisis acoplado termo-mecánico.
Para el modelado de la microestructura se escogió
el programa ANSYS basado en el método de elementos
finitos. Por las características de simetría
de la estructura sólo se requiere la simulación de
un cuarto del sistema; esto es suficiente para obtener
la información completa del comportamiento de
la membrana, con la consiguiente reducción en el
tiempo de cálculo. En este caso, y debido a las particularidades
del problema, se llevó a cabo un análisis
acoplado termo-mecánico en tres dimensiones.
Los resultados se obtuvieron considerando un haz
láser con potencia de 10 mW.
La figura 5a muestra la distribución de temperatura
en la cavidad de actuación, derivada de la simulación
térmica estática. La temperatura más alta
aparece en el punto en que el haz láser cae sobre la
estructura y decrece hacia el cuerpo o bulk de Si
con una variación total de 50 ºK. Los resultados del
análisis térmico son usados como carga para la simulación
mecánica, la cual determina la distribución
de deflexiones en la microestructura, como
puede verse en la figura 5b. Como era de esperar-
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se, el punto de máxima deflexión se encuentra en
el centro de la membrana (Duarte et al., 1998).
4. Elementos requeridos para realizar una
simulación
Existen tres elementos importantes en la obtención
de resultados útiles a partir de una simulación.
4.1 Modelo matemático
Consiste en una representación idealizada de la realidad.
Para su elaboración se tienen en cuenta el
propósito final de la modelación del proceso o sistema
físico, las variables conocidas acerca de él y
las consideradas importantes. Entre los datos que
deben conocerse del modelo se encuentran las propiedades
de los materiales, las propiedades geométricas
(configuración física) y las condiciones de
operación (iniciales y de contorno).
Dada la complejidad de las aplicaciones reales, en
diversas ocasiones es necesario recurrir a la experiencia
y a la intuición para plantear un modelo
reducido que, sin perder fiabilidad, se adapte a las
limitaciones del sistema computacional disponible. En
otras palabras, es necesario reducir el número de
variables y parámetros considerados para que la solución
pueda ser obtenida en un tiempo razonable.
desea emplear. Por ejemplo, para simular el funcionamiento
de una planta termonuclear hará falta
un supercomputador con la capacidad suficiente
para manejar el número de variables involucrado;
por su parte, con un PC simple bastará para estudiar
los engranajes de una máquina.
En general puede decirse que hoy día el hardware
impone muy pocas restricciones a los modelos que
se pueden simular; en el futuro, la próxima generación
de computadores hará que estas limitaciones
desaparezcan casi por completo.
4.3 Software
Anteriormente la programación de los modelos se
llevaba a cabo en forma 'artesanal' por especialistas
en el área, y existían grandes dificultades para
resolver las partes críticas del diseño; el término
"artesanal" hace referencia a que para cada problema
se desarrollaba un algoritmo específico y no
existía una metodología general que permitiera la
reutilización del código generado.
Como se observa en la tabla 1, hoy día la generación
del modelo es una operación que requiere muy
poco tiempo y es hecha por personal que no necesariamente
es experto en modelado matemático ni
en el área de aplicación.
4.2 Hardware
En el pasado existían grandes limitaciones en cuanto
a capacidad de memoria, velocidad de proceso y
flexibilidad en la programación de computación;
además, incidía el costo excesivo de los equipos
requeridos y la poca disponibilidad de personal calificado.
Gracias avances en la microelectrónica,
hoy se dispone de equipos de bajo costo que superan
con creces las características de sus predecesores;
asimismo, la línea que separaba a los computadores
personales (PCs) de las estaciones
de trabajo (workstation) y de los grandes computadores
(mainframes) se hace cada vez más difusa.
La capacidad de memoria y el costo de la máquina
aumentan en función del tipo de aplicación que se
Tabla 1. Evolución del tiempo de desarrollo de un modelo de
simulación
En el futuro será posible diseñar aplicaciones basadas
en módulos de propósito general y los paquetes
de software serán mas 'inteligentes', y ejecutarían
muchas de las operaciones que hoy realiza el usuario.
Igualmente, se están desarrollando interfaces
que parten de la base de la interoperabilidad; esto
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significa que los programas de tipo CAD/CAM/
CAE podrán compartir información sin problema
alguno.
5. Ventajas y desventajas de la simulación
Como se ha mencionado, se hacen simulaciones
por computador con el propósito de obtener el mayor
conocimiento posible sobre un proceso o sistema,
empleando un modelo matemático que reúna
las principales variables que intervienen en él, resuelto
por un computador.
5.1 Ventajas
l
l
l
l
l
l
l
l
Permite el estudio del sistema completo, independientemente
de su complejidad, sin necesidad
de disponer de los componentes físicos.
Permite el modelado físico completo; es decir,
pueden estudiarse fenómenos térmicos, mecánicos,
electromagnéticos y fluídicos.
Permite hacer el análisis de efectos acoplados,
así como estudios de no linealidad.
Permite realizar análisis de sensibilidad, es decir,
estudiar el efecto de pequeñas variaciones
de los parámetros y propiedades de los materiales
sobre el comportamiento del sistema.
Posibilita la optimización de los parámetros de
diseño y rendimiento del sistema, con base en
los criterios de diseño establecidos.
Permite el estudio de variaciones probabilísticas
y estadísticas del diseño.
El grado de automatismo de los programas es
cada día mayor, minimizando la intervención del
usuario. Además, permite la interface con otros
programas de diseño y manufactura muy difundidos
en el ámbito industrial.
La presentación gráfica de los resultados facilita
bastante la comprensión del problema y la
optimización del objeto de estudio.
Todo lo anterior unido al bajo costo de los programas
y equipos de cómputo requeridos, convierte a
las herramientas de simulación en elementos indispensables
para la investigación y desarrollo de
soluciones novedosas en temáticas interdisciplinarias,
en las cuales sería muy difícil trabajar de otra
manera.
5.2 Desventajas
Pese a las grandes bondades de la simulación, ésta
debe emplearse con precaución, dado que presenta
limitaciones propias de la metodología en la cual
está basada. Como principales desventajas pueden
citarse las siguientes:
l
l
l
l
La solución del problema implica elaborar un
modelo simplificado en el cual pueden omitirse
variables y parámetros importantes a la hora
de evaluar el comportamiento global del
sistema.
El resultado de una simulación es una
aproximación a la realidad, sin embargo, la
verificación o 'prueba de fuego' del modelo se
obtendrá al comparar sus resultados con los del
sistema o proceso real.
El éxito del modelo será directamente
proporcional al grado de conocimiento del
sistema, así como de los fenómenos que
intervienen en él.
Cuando la simulación no ha sido bien
estructurada, puede convertirse en un proceso
lento y costoso.
6. Conclusiones
Para ser competitivos en cualquier área de la
ciencia y la tecnología de hoy es indispensable
incorporar, adoptar y adaptar las metodologías de
simulación por computador al campo específico
de trabajo, con el propósito de obtener un mejor
rendimiento en el desarrollo profesional. No
obstante, es necesario ser cuidadosos en el uso y
evaluación de los resultados de las simulaciones,
pues si bien los programas disponibles en la
actualidad son bastante 'inteligentes', también están
muy lejos de ser la panacea para resolver todos
los problemas que plantean los avances
tecnológicos en física e ingeniería.
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El hecho de que la simulación sea una técnica aplicable
a profesiones relacionadas con ciencias
biológicas y de la salud y en diversas áreas de la
ingeniería (mecánica, eléctrica, electrónica, civil,
metalúrgica, de vías y transportes, geológica y de
petróleos entre otras) la convierte en una importante
temática de estudio en programas académicos
de pregrado y posgrado, con excelentes perspectivas
académicas y de investigación.
De otra parte, por tratarse de herramientas de bajo
costo y gran versatilidad, se abren grandes posibilidades
de aplicación en investigaciones de primera
línea, en especial en temáticas interdisciplinarias
como la bioingeniería, en las cuales países
como Colombia pueden competir con probabilidad
de éxito.
Por lo anterior, se considera que las universidades
colombianas, laboratorios y centros de investigación
deben tomar la decisión de incorporar en sus
currículos áreas temáticas relacionadas con métodos
y herramientas para la simulación asistida por
computador; ello permitirá elevar la calidad en investigación
y desarrollo (I&D) de sus egresados y
de las mismas instituciones.
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