TEMA 6: LA GEOMETRÃA DEL TRIÃNGULO

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Tarea 6: Construir, con geogebra un triángulos conocidos: a) los tres lados; b) dos lados y el ángulo comprendido; c) dos lados y uno de los ángulos no comprendidos entre los dos. Mover las figuras y establecer cuándo se pueden construir y cuándo no. 6. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Teorema del cateto. En un triángulo rectángulo, cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de aquel sobre ésta. a c = c p a b = b q 8 de 14
Demostración: A partir del triángulo rectángulo de partida, ABC, de catetos b y c e hipotenusa a, se han construido otros dos trazando por el vértice A del ángulo recto la perpendicular a la hipotenusa: BHA, de lados p, h y c, y AHC de lados q, b y h (p es la proyección de c sobre a y q es la proyección de b sobre a). Estos dos triángulos vuelven a ser rectángulos porque AH es perpendicular a BC y, además son semejantes al triángulo de partida por tener los tres ángulos iguales. BHA es semejante a ABC porque ambos son rectángulos y tienen un ángulo común, el que tiene por vértice B. Por tanto, el tercer ángulo también debe ser igual y, en suma son semejantes. Por consiguiente: Con el triángulo de la derecha, AHC, se procede igual y se obtiene: Teorema de la altura: En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que aquella divide a ésta. Demostración: Siguiendo la discusión sobre la figura anterior, como BHA y AHC son semejantes a ABC, son semejantes entre sí y, por tanto: Comentario: Este teorema permite efectuar raíces cuadradas de forma gráfica (h 2 =p·q, por lo que h es la raíz de p·q). Para ello se escribe el radicando como producto de dos factores, p y q, y se dibuja el triángulo rectángulo correspondiente de hipotenusa p+q, trazando la semicircunferencia con centro en el punto medio de la hipotenusa y radio la mitad de la longitud de la misma, se traza la perpendicular que pasa por el punto que divide a la hipotenusa en p y q y la altura buscada es la distancia de este punto al punto de corte de la perpendicular y la semicircunferencia. 9 de 14
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