TEMA 6: LA GEOMETRÃA DEL TRIÃNGULO
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<strong>TEMA</strong> 6: <strong>LA</strong> GEOMETRÍA <strong>DEL</strong> TRIÁNGULO<br />
Matías Arce, Sonsoles Blázquez, Tomás Ortega, Cristina Pecharromán<br />
1. INTRODUCCIÓN ......................................................................................... 1<br />
2. C<strong>LA</strong>SIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS ............................................................ 2<br />
3. PUNTOS Y RECTAS NOTABLES ................................................................ 3<br />
4. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.................................................................. 5<br />
5. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS........................................................... 7<br />
6. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS .................................................................. 8<br />
1. INTRODUCCIÓN<br />
Dedicamos este tema al estudio de los polígonos más sencillos: los triángulos (polígonos de<br />
tres lados). Estos polígonos son siempre convexos y son los polígonos básicos, ya que el<br />
resto de polígonos se pueden formar componiendo triángulos y varias de las propiedades<br />
que cumplen éstos se deducen utilizando otras ya establecidas en los triángulos.<br />
Además, el triángulo es el único polígono rígido, es decir, que no se<br />
deforma al presionar sobre sus vértices o sus lados, lo que tiene<br />
importantes aplicaciones en la construcción de estructuras.<br />
En este tema se establecerá la clasificación de estos polígonos y los<br />
teoremas más importantes, aunque ya damos por sentado, puesto<br />
que se ha probado en temas anteriores, que los alumnos conocen<br />
dos teoremas importantes:<br />
• El ángulo exterior de cualquier triángulo es la suma de<br />
los dos interiores no adyacentes (δ=α+β).<br />
• La suma de los ángulos interiores de cualquier<br />
triángulo es un ángulo llano (180º ó π radianes)<br />
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2. C<strong>LA</strong>SIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS<br />
Es evidente que la forma de los triángulos varía según sean sus lados y sus ángulos y,<br />
atendiendo a la relación de unos u otros surgen dos clasificaciones diferentes:<br />
Atendiendo a sus lados:<br />
• Un triángulo con los tres lados iguales se denomina triángulo equilátero.<br />
• Un triángulo con dos lados iguales y el tercero desigual se denomina triángulo<br />
isósceles.<br />
• Un triángulo con los tres lados desiguales se denomina triángulo escaleno.<br />
Atendiendo a sus ángulos:<br />
• Un triángulo con los tres ángulos agudos (menor que un recto) se denomina<br />
triángulo acutángulo.<br />
• Un triángulo con un ángulo recto se denomina triángulo rectángulo.<br />
• Un triángulo con un ángulo obtuso (mayor que un recto) se denomina triángulo<br />
obtusángulo.<br />
Propiedades:<br />
• Un triángulo equilátero forzosamente es acutángulo y sus ángulos miden 60º<br />
• Un triángulo isósceles puede ser acutángulo, rectángulo u obtusángulo.<br />
• Un triángulo escaleno forzosamente debe de tener los tres ángulos desiguales.<br />
• Un triángulo acutángulo puede ser equilátero, isósceles o escaleno.<br />
• Un triángulo rectángulo no puede ser equilátero, pero sí isósceles o escaleno.<br />
• Un triángulo obtusángulo no puede ser equilátero, pero sí isósceles o escaleno.<br />
Tarea 1: Dibuja en las casillas de la tabla siguiente, si es posible, ejemplos de triángulos<br />
que cumplan con la condición de la fila y de la columna correspondiente, una vez<br />
construidos en el geoplano.<br />
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Acutángulo Rectángulo Obtusángulo<br />
Equilátero<br />
Isósceles<br />
Escaleno<br />
Tarea 2: Descomponer la siguiente figura en<br />
triángulos. ¿Cuál es el mínimo número de<br />
triángulos necesarios?<br />
3. PUNTOS Y RECTAS NOTABLES<br />
• Mediatriz de un lado es la recta perpendicular al lado por<br />
su punto medio. Un triángulo cualquiera tiene tres<br />
mediatrices que se cortan en un punto común. Este<br />
punto es el centro de una circunferencia circunscrita al<br />
triángulo (pasa por los vértices) y se llama circuncentro.<br />
• Bisectriz de un ángulo es la semirrecta que<br />
divide al ángulo en dos ángulos iguales. Un<br />
triángulo cualquiera tiene tres bisectrices que se<br />
cortan en un punto común. Este punto es el<br />
centro de una circunferencia inscrita al triángulo<br />
(es tangente a los lados) y se llama incentro.<br />
Hay que hacer notar que para dibujar dicha circunferencia es necesario trazar la<br />
perpendicular a uno de los lados que pasa por el incentro, I, y tomar como radio la<br />
distancia de I al punto de corte con el lado, H.<br />
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• Cada lado de un triángulo se puede considerar que es una<br />
base del mismo y la altura sobre una de sus bases es la<br />
distancia del vértice opuesto a la base. Esa distancia es la<br />
distancia mínima y se mide sobre la perpendicular a la<br />
base (a la recta que contiene a la base) que pasa por el<br />
vértice opuesto. También se considera que la altura es el<br />
segmento determinado por el vértice y la intersección de la<br />
perpendicular a la recta que contiene a la base y esta recta. Las tres rectas que<br />
contienen a las alturas se cortan en un punto que se denomina ortocentro.<br />
• Mediana de un lado: es el segmento que une el<br />
punto medio del lado con el vértice opuesto. Un<br />
triángulo cualquiera tiene tres medianas que se<br />
cortan en un punto común, que se llama<br />
baricentro, B. Cada mediana divide al triángulo en<br />
dos triángulos congruentes (que tienen igual área,<br />
ya que la base, por ejemplo, PQ se divide en dos,<br />
PH y HQ, y la altura relativa a estas bases es la misma). Por esta razón, su baricentro<br />
es el centro de gravedad de una lámina triangular uniforme. La distancia del baricentro<br />
al vértice es el doble de la distancia del baricentro al punto medio del lado opuesto.<br />
Tarea 3: Recorta cuatro triángulos de papel. En el primero traza, plegando adecuadamente<br />
el papel, las mediatrices y señala su punto de corte, en el segundo las bisectrices y su<br />
punto de corte, en el tercero las rectas que contienen a las alturas y su punto de corte y en<br />
el último las medianas y su punto de corte. Dibuja las circunferencias inscrita y circunscrita<br />
donde proceda con ayuda del compás.<br />
A partir de cualquier triángulo se puede construir una circunferencia que pasa por los tres<br />
pies de las alturas (intersecciones de las rectas que contienen a las alturas con las rectas<br />
que contienen a los lados), por los tres puntos medios de los lados y por los tres puntos<br />
medios del ortocentro y cada uno de los vértices. El centro de esta circunferencia es el<br />
punto medio entre el circuncentro y el ortocentro. A esta circunferencia se la conoce como<br />
circunferencia de los nueve puntos, de Euler y de Feuerbach.<br />
Tarea 4: Dibujar la circunferencia de Euler con Geogebra y ver que sigue pasando por los<br />
nueve puntos referidos aunque el triángulo se modifique de forma dinámica.<br />
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4. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS<br />
Para el estudio de la semejanza de triángulos es necesario clarificar previamente qué<br />
significa la proporcionalidad en el ámbito geométrico. La razón de dos segmentos es la<br />
relación entre sus longitudes, medidas respecto a un segmento unidad, expresada en forma<br />
de cociente:<br />
a<br />
b<br />
← antecendente<br />
← con sec uente<br />
Una proporción es una igualdad de razones:<br />
a c =<br />
b d<br />
Las longitudes a y d se llaman extremos y las longitudes b y c se llaman medios. Dos<br />
segmentos son proporcionales a otros dos si sus longitudes forman una proporción.<br />
Teorema de Tales. Si a dos rectas r y r’ se les corta por un<br />
sistema de rectas paralelas, los segmentos determinados por los<br />
puntos de intersección sobre r son proporcionales a los segmentos<br />
determinados por los puntos correspondientes sobre r’. Se<br />
entiende que dos puntos son correspondientes si pertenecen a la<br />
misma recta del sistema de paralelas.<br />
Demostración: Se considera que el alumno conoce que el área del<br />
triángulo es la mitad de la base por la altura.<br />
Ahora se van a comparar las dos razones de la izquierda. Por una parte, los antecedentes<br />
de ambas son iguales, ya que se trata del mismo triángulo y, por otra, los consecuentes<br />
también son iguales ya que el área del triángulo ACC’ es igual a la suma de las áreas de los<br />
triángulos ACB’ y CC’B´ o bien ABC’ y BCC’; pero, además, el área de BCC’ es igual que el<br />
área de CC´B’ porque tienen la misma base CC’ y la misma altura (la distancia entre las dos<br />
rectas paralelas). En consecuencia:<br />
Se puede demostrar que también se verifican otras proporcionalidades, por ejemplo:<br />
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Consecuencia: El teorema de Tales permite multiplicar y dividir segmentos (longitudes), ya<br />
que si en la proporción<br />
se supone AB=1, entonces se obtiene AC=A´C´/A´B´ (AC es el cociente de A´C´y A´B´) y<br />
A´C´=AC·A´B´ (A´C´ es el producto de AC y A´B´).<br />
Tarea 5: Dibuja, con ayuda del compás, la escuadra y el cartabón, el producto y el cociente<br />
de los siguientes segmentos, dado el segmento unidad u.<br />
Triángulos semejantes: Son aquellos que tienen sus ángulos iguales y sus lados<br />
correspondientes proporcionales (la misma forma aunque tengan distinto tamaño). La razón<br />
de semejanza es el valor común de los cocientes entre las<br />
longitudes de lados proporcionales.<br />
Posición de Tales: Si dos triángulos tienen un ángulo común<br />
(el ángulo mide los mismo y los lados de uno de los triángulos<br />
contienen a los del otro) y los lados opuestos a dichos ángulos<br />
son paralelos se dice que los triángulos están en posición de<br />
Tales.<br />
Teorema: Dos triángulos son semejantes si, y sólo<br />
si, pueden colocarse en posición de Tales.<br />
Demostración: Si son semejantes tienen los<br />
ángulos iguales y se puede encajar un triángulo en<br />
otro, como muestra la figura adjunta, sin más que<br />
trasladar el triángulo de manera que coincida uno<br />
de los ángulos (B´A´C´ se traslada a B´´A´´C´´ que<br />
coincide con BAC) de manera que c y c´´ están<br />
sobre la misma recta al igual que b y b´´. Además, el segmento a´´ es paralelo al segmento<br />
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a por tener los ángulos correspondientes C´´B´´A´´ y CBA iguales. De la misma manera, si<br />
los triángulos están en “encaje de Tales” los ángulos son iguales por ser o bien el mismo<br />
ángulo o ángulos correspondientes. Además, aplicando al encaje el Teorema de Tales se<br />
obtiene que<br />
c b c<br />
= ó =<br />
bb<br />
´´ c´´ b´ c´<br />
Si el encaje se realiza trasladando otro ángulo (se ha visto que todos son iguales), por<br />
ejemplo el ángulo A´C´B´, se obtiene:<br />
a b a<br />
= ó =<br />
bb<br />
´´ a´´ b´ a´<br />
Por lo que finalmente se obtiene que los lados son proporcionales:<br />
c b a<br />
= =<br />
c´ b´<br />
a´<br />
De esta manera está probado que la posición de Tales equivale a la semejanza.<br />
Criterios de semejanza de triángulos: Dos triángulos son semejantes si se cumple una<br />
de las siguientes condiciones:<br />
a) Tienen dos ángulos iguales.<br />
b) Tienen los tres lados proporcionales.<br />
c) Tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.<br />
5. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS<br />
En todo triángulo se cumple que la suma de dos<br />
lados es mayor que el tercero y la diferencia entre<br />
dos lados es menor que el tercero: a+b>c; a+c>b;<br />
b+c>a; a-bb y b-c>a (suponiendo a≥b≥c)<br />
Un triángulo queda determinado y, por tanto, se<br />
puede construir conociendo: Los tres lados; dos<br />
lados y un ángulo, comprendido entre sus lados o<br />
no, dos ángulos y un lado, comprendido entre los<br />
lados o no. Dependiendo de los datos dados,<br />
puede haber una única solución, dos o ninguna. Sin embargo, los tres ángulos no<br />
determinan un único triángulo porque no queda fijado el tamaño.<br />
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Tarea 6: Construir, con geogebra un triángulos conocidos: a) los tres lados; b) dos lados y<br />
el ángulo comprendido; c) dos lados y uno de los ángulos no comprendidos entre los dos.<br />
Mover las figuras y establecer cuándo se pueden construir y cuándo no.<br />
6. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS<br />
Teorema del cateto. En un triángulo rectángulo, cada cateto es media proporcional entre la<br />
hipotenusa y la proyección de aquel sobre ésta.<br />
a<br />
c<br />
=<br />
c<br />
p<br />
a<br />
b<br />
=<br />
b<br />
q<br />
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Demostración: A partir del triángulo<br />
rectángulo de partida, ABC, de catetos b y c<br />
e hipotenusa a, se han construido otros dos<br />
trazando por el vértice A del ángulo recto la<br />
perpendicular a la hipotenusa: BHA, de<br />
lados p, h y c, y AHC de lados q, b y h (p es<br />
la proyección de c sobre a y q es la<br />
proyección de b sobre a). Estos dos triángulos vuelven a ser rectángulos porque AH es<br />
perpendicular a BC y, además son semejantes al triángulo de partida por tener los tres<br />
ángulos iguales. BHA es semejante a ABC porque ambos son rectángulos y tienen un<br />
ángulo común, el que tiene por vértice B. Por tanto, el tercer ángulo también debe ser igual<br />
y, en suma son semejantes. Por consiguiente:<br />
Con el triángulo de la derecha, AHC, se procede igual y se obtiene:<br />
Teorema de la altura: En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa es media<br />
proporcional entre los dos segmentos en que aquella divide a ésta.<br />
Demostración: Siguiendo la discusión sobre la figura anterior, como BHA y AHC son<br />
semejantes a ABC, son semejantes entre sí y, por tanto:<br />
Comentario: Este teorema permite efectuar raíces cuadradas de forma gráfica (h 2 =p·q, por<br />
lo que h es la raíz de p·q). Para ello se escribe el radicando como producto de dos factores,<br />
p y q, y se dibuja el triángulo rectángulo correspondiente de hipotenusa p+q, trazando la<br />
semicircunferencia con centro en el punto medio de la hipotenusa y radio la mitad de la<br />
longitud de la misma, se traza la perpendicular que<br />
pasa por el punto que divide a la hipotenusa en p y q<br />
y la altura buscada es la distancia de este punto al<br />
punto de corte de la perpendicular y la<br />
semicircunferencia.<br />
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Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a<br />
la suma de los cuadrados de los catetos.<br />
Demostración: De las innumerables demostraciones que existen de este teorema, aquí<br />
vamos a establecer dos: una aplicando el teorema del cateto y otra combinando el<br />
cuadrado de un binomio con cuadrados encajados.<br />
Primera prueba:<br />
Del teorema del cateto:<br />
c 2 =ap y b 2 =aq.<br />
Sumando ambas igualdades:<br />
c 2 +b 2 = ap+aq=a(p+q)=a·a=a 2 .<br />
Segunda prueba:<br />
El cuadrado del binomio b+c, (b+c) 2 =b 2 +c 2 +2bc también expresa el área de un cuadrado de<br />
lado b+c.<br />
Por otra parte el área de este cuadrado también es igual al<br />
área del cuadrado de lado a más el área de los cuatro<br />
triángulos rectángulos de catetos b y c. Por tanto,<br />
b 2 +c 2 +2bc=a 2 +4b·c/2=a 2 +2bc.<br />
Por tanto, a 2 =b 2 +c 2 .<br />
Tarea 7: Buscar en la siguiente dirección web un puzzle pitagórico (las piezas de los<br />
cuadrados sobre los catetos deben encajar en el cuadrado sobre la hipotenusa) y<br />
construirlo en cartulina, cartón o goma EVA, dibujando previamente el modelo con regla y<br />
compás (puedes mover los vértices del triángulos para ver cómo se hace la construcción):<br />
http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/teoremapitagoras.htm<br />
Teorema de Pitágoras generalizado: En un triángulo cualquiera, el cuadrado de uno de<br />
sus lados es la suma de los cuadrados de los otros dos lados más (menos) el doble<br />
producto de uno de estos lados multiplicado por la proyección del otro sobre el cuando el<br />
ángulo opuesto al primer lado es obtuso (es agudo). En las figuras adjuntas,<br />
a 2 =b 2 +c 2 +2b·proy b (c) (a 2 =b 2 +c 2 -2b·proy b (c).)<br />
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Demostración: Trazando la altura CH sobre el lado b, se tiene:<br />
Para el ángulo obtuso:<br />
a 2 = AH 2 +CH 2 = (b+BH) 2 +CH 2 = b 2 +2bBH+BH 2 +CH 2 =<br />
= b 2 +2bBH+BH 2 +CH 2 = b 2 +2bBH+BC 2 = b 2 +2bBH + c 2 =<br />
= b 2 +2bBH + c 2 = b 2 +c 2 +2b·proy b (c)<br />
Para el ángulo agudo:<br />
a 2 = AH 2 +CH 2 = (b-BH) 2 +CH 2 = b 2 -2bBH+BH 2 +CH 2 =<br />
= b 2 -2bBH+BH 2 +CH 2 = b 2 -2bBH+ c 2 =<br />
= b 2 -2bBH+ c 2 = b 2 +c 2 -2b·proy b (c)<br />
Consecuencia: Si a 2 =b 2 +c 2 entonces el triángulo es rectángulo (y el ángulo recto es el<br />
opuesto al lado a) ya que la igualdad implica que necesariamente proy b (c)=0 y eso ocurre<br />
sólo si el segmento c es perpendicular a b, es decir, si b y c son los catetos de un triángulo<br />
rectángulo.<br />
Tarea: Resolver individualmente los siguientes problemas.<br />
1. En un triángulo, el menor de sus ángulos es la tercera parte del mayor y el mediano es la<br />
semisuma de los otros dos. Halla los ángulos del mismo.<br />
2. Calcula los ángulos de un triángulo sabiendo que A ˆ = 3B<br />
ˆ y C ˆ = 45º .<br />
3. En una circunferencia de 7 cm de radio dibujamos una cuerda de 7 cm. ¿Qué ángulo<br />
central corresponde a dicha cuerda?<br />
4. En el cuadrado de la derecha se construyen 4 triángulos, uno<br />
equilátero y los otros tres isósceles, tal y como se indica en la figura.<br />
Calcula la medida del ángulo x.<br />
5. ¿Cuánto mide el menor de los ángulos formados por las bisectrices de los ángulos<br />
agudos de un triángulo rectángulo al cortarse?<br />
6. En un pueblo hay tres colegios no alineados. El Ayuntamiento ha decidido construir un<br />
centro cultural a igual distancia de los tres. Esquematiza la situación y explica al<br />
Ayuntamiento dónde debe ubicar el centro cultural para que se cumpla el requisito pedido.<br />
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7. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 50 cm y la diferencia de las proyecciones<br />
de los catetos sobre la hipotenusa es de 14cm. ¿Cuánto miden los catetos?<br />
8. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 50 cm y uno de los catetos 30 cm.<br />
Calcula el perímetro de los dos triángulos obtenidos al trazar la altura sobre la hipotenusa.<br />
9. En el hexágono regular de la figura, calcula la longitud del lado del<br />
triángulo equilátero sombreado.<br />
10 cm.<br />
10. Dos circunferencias cuyos centros distan 15 m tienen radios de<br />
medida 8m y 3m respectivamente. ¿Cuál es la posición de esas dos circunferencias? Se<br />
traza una tangente común de dichas circunferencias. Halla la distancia entre los puntos de<br />
tangencia.<br />
11. En un triángulo escaleno ABC se traza una de las medianas, dividiendo el triángulo de<br />
partida en otros dos triángulos. Contesta de manera razonada a las siguientes cuestiones:<br />
a) ¿Queda dividido ABC en dos triángulos iguales?<br />
b) ¿Existe alguna relación entre los perímetros de los dos triángulos obtenidos?<br />
c) ¿Queda dividido ABC en dos triángulos semejantes?<br />
12. Halla la altura de un triángulo equilátero<br />
sabiendo que la suma de sus lados es 15 cm.<br />
13. Calcula la medida de los lados de los triángulos<br />
que aparecen en el cuadrado de la derecha. ¿Qué<br />
tipo de triángulos son según sus ángulos?<br />
14. En la figura de la derecha, se<br />
conocen los siguientes datos: OA = 2<br />
cm, AB = 3 cm y OC = 3´5 cm. Calcula<br />
la longitud del segmento OD.<br />
15. Una vara de 80 cm proyecta una sombra de 1,4 m. ¿Qué sombra proyectará a la misma<br />
hora un poste de telefonía de 3,4 m?<br />
16. Divide gráficamente un segmento de veinte unidades en partes proporcionales a 4 y 5<br />
unidades.<br />
17. Resuelve gráficamente las siguientes ecuaciones:<br />
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2 12 2 x<br />
= ; =<br />
5 x x 4<br />
18. Averigua el valor de x e y en la<br />
siguiente figura.<br />
19. Calcula el diámetro del Sol sabiendo que en una cámara oscura el rayo debe recorrer<br />
1,8 m para producir una mancha de 1,7 cm, y que el rayo recorre una unidad astronómica<br />
desde cada extremo del diámetro del Sol hasta la abertura de la cámara oscura. Dato: 1<br />
UA = 149597870 Km.<br />
1,8 m<br />
20. Comprueba que los dos triángulos siguientes son semejantes y calcula las medidas<br />
desconocidas:<br />
21. Construye un triángulo del que se conocen el lado a=8cm y los ángulos A=70º y C=80º.<br />
22. Utilizando únicamente como instrumentos de dibujo la regla y el compás y explicando<br />
los pasos que se vayan realizando en la construcción, dibuja un triángulo ABC tal que el<br />
lado AB mida 8cm, el ángulo A mida 60º y la altura sobre el lado AB mida 5cm.<br />
23. Utilizando únicamente como instrumentos de dibujo la regla y el compás (no<br />
transportador) y explicando los pasos que se vayan realizando en la construcción, dibuja un<br />
triángulo rectángulo ABC que tenga un ángulo de 30º y cuya hipotenusa mida 8cm.<br />
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24. Dibuja a tamaño real (suponiendo que pueda hacerse), utilizando únicamente regla y<br />
compás y explicando los pasos que se vayan siguiendo un triángulo rectángulo e isósceles<br />
cuya hipotenusa mida 11cm.<br />
25. Dibuja un triángulo tal que el lado a = 7cm, el ángulo B valga π/9 radianes y la<br />
mediana correspondiente al lado a mida 6 cm.<br />
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