Expresiones regulares y autómatas finitos

Oliver A. Vilca H. Pág. 1
Expresiones regulares y autómatas finitos
Resumen de clases
Oliver Amadeo Vilca Huayta
Una expresión regular sirve como un descriptor de un lenguaje, también es una herramienta para
describir patrones de texto, por ejemplo:
1. Se utiliza una notación similar a una expresión regular para describir patrones de búsqueda.
Por ejemplo en el procesamiento de documentos electrónicos, bioinformática, base de datos y en
comandos de búsqueda como el GREP de UNIX.
2. En los generadores de analizadores léxico como el Lex y el Flex. El análisis léxico es una fase de
un compilador que divide el código de entrada en unidades lógicas denominadas tokens de uno
o más caracteres. Ejemplos de tokens son las palabras reservadas (ejemplo: if ), identificadores
y signos como +,>.
3. En búsqueda de texto flexible, se utiliza la expresión regular como un patrón de búsqueda, por
ejemplo: a??bc[f-p] puede represetar a todas las cadenas (palabras) de texto que inician con la a
seguida de cualquier dos carateres (símbolos), seguida de bc, y, finalmente un carater que puede
ser desde la f hasta la k, es decir, uno del rango de carateres comprendido entre la f y k.
Una ventaja adicional es que se puede convertir en una máquina (autómata finito), el cual puede
automáticamente decidir si una cadena (palabra) pertenece o no al lenguaje denotado por la expresión
regular.
Cadena Una cadena (o algunas veces palabra) es una secuencia finita de símbolos escogidos de un
alfabeto. Por ejemplo: aba es una cadena del alfabeto Σ = {a, b}
La cadena vacia. Es la cadena de cero ocurrencias de símbolos, es denotado por ǫ.
Longitud de una cadena. Es el número de símbolos (posiciones) de una cadena. Por ejemplo aba tiene
longitud 3. La notación para la longitud de una cadena w es |w|. Y |ǫ| = 0 (la única cadena cuya
longitud es cero).
La estrella de Kleene (o la clausura de Kleene). De un lenguaje L se denota por L ∗ . Es la unión
infinita ∪ i≥0 L i , donde L 0 = {ǫ}, L 1 = L y L i , para i > 1 es LLL · · · L, la concatenación de i copias de L.
Expresión regular. Se puede describir una expresión regular recursivamente como sigue:
Las constantes ǫ (cadena vacia) y ∅ (conjunto vacio) son expresiones regulares.
Si a ∈ Σ, es un símbolo, entonces a es una expresión regular.
Inducción: Si r y s son expresiones regulares entonces:
r|s es una expresión regular, denota la unión de los lenguajes que representan dichas expresiones
regulares.
rs es una expresión regular, denota la concatenación.
r ∗ es una expresión regular, denota la estrella de kleene.
(r) es una expresión regular, denota el mismo lenguaje r.
Nota: Debido a que en algunos casos el operador “|” (unión) no está muy accesible en el teclado del
computador, en algunas aplicaciones como el JFLAP se utiliza el + y algunos autores lo utilizan
Precedencia: Para evitar el uso exagerado de paréntesis se puede emplear la precedencia de operadores.
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1. Operador unario “∗”: Tiene la mayor precedencia y es asociativo por la izquierda, es decir, se
aplica sólo a la secuencia más corta de símbolos a su izquierda que constituye una expresión
regular.
2. La concatenación, o “punto”: tiene la segunda mayor precedencia y es asociativo por la izquierda.
Este operador se representa con un punto, pero por fines prácticos se obvia, en su lugar se
ubican los símbolos

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3. La unión “|”: tiene la menor precedencia y es asociativo por la izquierda.
En ocasiones no se desea que una expresión regular sea agrupada según la precedencia de los operadores.
En dicho caso, se puede emplear paréntesis para agrupar los operandos de la forma que se
requiera. por conveniencia.
Ejemplos:
Complete los espacios en blanco.
Lenguaje regular Expresión regular
{a, b}
{ǫ, b}
{a, ab}
{abe, ace, _____}
{a, b, c, d}
{ǫ, b, bb, bbb, bbbb, ...}
{a, ab, abb, abbb, abbbb, ...}
{ǫ, c, ab, cc, ccc, cccc, ...}
{a, ab, abb, abbb, abbbb, . . .
ac, abc, abbc, abbbc, abbbbc, . . .}
Todas las cadenas que se pueden
formar con el alfabeto Σ = {a, b}, incluido
la cadena vacia
a|b
ǫ|b
a|ab = a(ǫ|b)
a(b|c|d)e
(a|b)(a|b)
(a|b)|(c|d) = a|b|c|d
b ∗
ab ∗ c
ab|c ∗
ab ∗ (ǫ|c) = ab ∗ |ab ∗ c
a ∗ |b ∗
a ∗ b ∗
(a|b) ∗
(ab) ∗
Lenguajes cuyas clausuras no son infinitas: ∅ ∗ = {ǫ}. Asimismo, ∅ 0 = {ǫ}, mientras que ∅ i , para algun
i ≥ 1 es vacio, debido a que no se puede seleccionar alguna cadena del conjunto vacio. Finalmente ǫ ∗
= {ǫ}.
Ejemplo: Construya una expresión regular para:
L = {w ∈ {a,b}* : w tiene una cantidad par de a’s }
Si se tratara solamente de a’s la respuesta sería: (aa) ∗ el cual genera una cantidad par de a’s (cero
es par). Pero es necesario considerar el alfabeto Σ = {a, b} ∗ el cual permite la cadena como: babba,
baabababb.
La respueta es: (b ∗ ab ∗ ab ∗ ) ∗ que también puede escribirse: (b|ab ∗ a) ∗
Ejemplo: Dado el lenguaje formado sobre el alfabeto Σ = {a, b} donde se tiene la condición de que
cada b esta precedida por una a (pueden haber mas a’s que la preceden). Por ejemplo: ǫ, aaabaa, ababa,
aaa.
L = {w ∈ {a, b} ∗ : en w cada b está precedido por al menos una a}
Respuesta: (a|ab) ∗
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Ejemplo: Dado el lenguaje formado con el alfabeto Σ = {a, b} donde todas las cadenas no tienen la
subcadena aa ni la subcadena bb. Es decir, el siguiente lenguaje:
L = {w ∈ {a, b} ∗ : w no tiene la subcadenas “aa ′ ni “bb ′′ }
Solución: Para obtener el resutado se ordena las cadenas (que se pueden generar) en tres filas como
sigue:

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ǫ
a, ab, aba, abab, ababa, ababab, . . .
b, ba, bab, baba, babab, bababa, . . .
Para generar el primer conjunto de cadenas (primera y segunda fila) se tiene: (ab) ∗ (a|ǫ). A este resultado
se le debe incluir el segundo conjunto de cadenas, siendo el resultado: (ab) ∗ (a|ǫ)|(ba) ∗ (b|ǫ). Si se
observa mas el ejercicio se obtiene: (b|ǫ)(ab) ∗ (a|ǫ)
Algebra de expresiones regulares
Complete los espacios en blanco.
Lenguaje regular
La clausura de ∅: ∅ ∗
ǫ ∗
Ley de idempotencia para la unión: r|r
Elemento neutro de la unión: ∅|r = ∅|r
Elemento neutro de la concatenación: ǫr = ǫr
Elemento nulo de la concatenación: ∅r = ∅r
Clausura de una expresión que ya está clausurada: (r ∗ ) ∗
Expresiones regulares en Unix/Linux
Resultado
Por conveniencia en el Unix/Linux se utiliza una notación extendida de expresiones regulares para
facilitar su uso, considerando las características y restricciones de la computadora (ejemplo códigos).
Se presenta una breve descripción sin desviarse en detalles.
Permite escribir clases de caracteres para representar grandes conjuntos cadenas lo mas compacto
posible. Sus reglas son las siguientes:
El símbolo . “representa cualquier caracter”.
La secuencia [c 1 c 2 · · · c n ] representa la expresión regular: c 1 |c 2 | · · · |c n
Por ejemplo se puede utilizar para representar los cuatro caracteres utilizados en los operadores
de comparación del C/C++ [=!].
La secuencia [c 1 c 2 · · · c n ] representa cualquier caracter que no sea: c 1 |c 2 | · · · |c n
Rango [x − y] que significa todos los caracteres de x hasta y en la secuencia ASCCI. Por ejemplo
las letras mayúsculas se pueden representar como [A − Z] y el conjunto de todas las letras y
dígitos como [A − Za − z0 − 9]. Los corchetes y otros caracteres reservados del UNIX pueden
representarse precediéndolos con \.
Ejemplos del comando GREP del Unix:
$ # Buscar líneas con al menos una letra de la a a la z (minúsculas o mayúsculas).
$ grep ’[a-zA-Z]’ sistemas.txt
$ # Lista líneas con cualquier carácter que no sean ni letra ni número.
$ grep ’[a-zA-Z0-9]’ archivo.txt
Expresiones regulares para el programador
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A continuación algunas de las herramientas de programación disponibles que ofrecen motores de
búsqueda con soporte para expresiones regulares:

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Java: existen varias bibliotecas hechas para java que permiten el uso de RegEx, y Sun planea
dar soporte a estas desde el SDK.
JavaScript: a partir de la versión 1.2 (ie4+, ns4+) JavaScript tiene soporte integrado para expresiones
regulares.
PCRE: biblioteca de ExReg para C, C++ y otros lenguajes que puedan utilizar bibliotecas dll
(Visual Basic 6 por ejemplo).
.Net Framework: provee un conjunto de clases mediante las cuales es posible utilizar expresiones
regulares para hacer búsquedas, reemplazar cadenas y validar patrones.
Ejercicios propuestos
1. Verdadero o Falso. Explique su respuesta:
(a) a* ⊂ a*b*
(b) a*b* ∩ b*a* = a* | b*
(c) abab ∈ (a(cd)*b)*
(d) abcd ∈ (a*(cd)*b*)*
2. Verdadero o Falso. Explique su respuesta:
(a) b*a* | a*b* = (a|b)*
(b) abcd ∈ (a(cd)*b)*
(c) (a|b) ∗ = (a ∗ b ∗ ) ∗
(d) (ab|a)*ab = (aa*b)*
3. Escriba una expresión regular para los siguientes lenguajes:
(a) {w ∈ {0,1}* : w tiene una cantidad de 1’s divisible por cinco }
(b) {w ∈ {a,b}* : w no tiene tres b’s consecutivas } Es decir, cadenas que tienen a lo mas dos b’s
consecutivas.
(c) {w ∈ {a,b}* : w tiene exactamente una ocurrencia de bbb }
(d) {w ∈ {a,b}* : w no tiene la subcadena aba }
4. Escriba una expresión regular para el siguiente lenguaje: [6p]
L = {a m b n : m + n es par }
5. Desmuestre o refute lo siguiente: (ab|a) ∗ = (aa ∗ b) ∗ [5p]
6. Demuestre ó refute que: a ∗ b(ba ∗ b|a) ∗ = a ∗ b(a ∗ ba ∗ ba ∗ ) ∗ [5p]
7. Escriba una expresión regular para la diferencia de los siguientes lenguajes: a ∗ b ∗ − b ∗ [5p]
8. Derivadas de expresiones regulares, fue introducido por Brzozowski 1 . Sea E una expresión
regular sobre un alfabeto Σ y sean a y b dos símbolos distintos de Σ. La derivada de E con
respecto a a (de longitud unitaria), se define recursivamente como sigue: [8p]
∂
(a)
∂a
= ǫ (1)
∂
∂a (ǫ) = ∂ ∂a (∅) = ∂ (b)
∂a
= ∅ (2)
∂
∂a (F ∗ ) = ∂ ∂a (F )F ∗ (3)
∂
∂
∂a (F G) = ∂a
(G) Si ǫ ∈ F,
∂
∂a (F )G En otro caso. (4)
1 Janusz A. Brzozowski (1964) Derivatives of regular expressions.
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Derive: (a|b) ∗ a(a|b) 2 respecto a a y b.
Defina la derivada de una expresión regular E respecto a una cadena w de Σ ∗ .
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