Representaciones infinito-dimensionales de álgebras de Lie ...

5.3. Derivadas Fréchet en su(1, 1)
La siguiente ecuación muestra la definición de la derivada Fréchet de la
función holomorfa f evaluada en H y aplicada sobre B
(D ˜f) H (B) = 1 ∫
f(λ)(λI − H) −1 B(λI − H) −1 dλ (38)
2πi Γ\int(Γ)⊃σ(H)
los cálculos implicados son los siguientes.
Definiendo A = (λI − H) , E = (λI − H) −1 ,se tiene que
A m,n = (λ − h(n))δ m,n
entonces
E m,n = (λ − h(n)) −1 δ m,n
((D ˜f) H (B)) m,n = 1 ∫
f(λ)(EBE) m,n dλ (39)
2πi Γ\int(Γ)⊃σ(H)
la operación matricial a realizar es EBE
∞∑
∞∑
(EBE) m,n = E m,p (BE) p,n =
p=0
∑
∞
E m,p
p=0 q=0
B p,q E q,n =
∞∑
p=0 q=0
∞∑
E m,p B p,q E q,n
(EBE) m,n =
entonces
∞∑
(EBE) m,n =
((D ˜f) H (B)) m,n = 1
2πi
p=0 q=0
∞∑
(λ − h(p)) −1 δ m,p g(q)δ p,q+1 (λ − h(n)) −1 δ q,n
∞∑
(λ − h(p)) −1 δ m,p g(n)δ p,n+1 (λ − h(n)) −1
p=0
(EBE) m,n = (λ − h(n + 1)) −1 δ m,n+1 g(n) (λ − h(n)) −1
∫
Γ\int(Γ)⊃σ(H)
5.4. Transformada Cayley
f(λ) (λ − h(n + 1)) −1 δ m,n+1 g(n) (λ − h(n)) −1 dλ
(40)
La transformada Cayley asocia a cada operador normal, un operador unitario
que es una isometría en el espacio de Hilbert considerado. En mecánica cuántica
el operador normal típico es el operador hamiltoniano y su transformada Cayley
es un operador de evolución para el estado cuántico que sirve de resolvente a la
ecuación de Schrodinger.
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