Representaciones infinito-dimensionales de álgebras de Lie ...

Figura 1: Compatibilidad
Dados U i y U j tal que U i ∩U j ≠ ∅, el mapa ψ ij = ϕ i ϕ −1
j de ϕ j (U i ∩U j ≠ ∅)
a ϕ i (U i ∩ U j ≠ ∅) es infinitamente diferenciable. (Fig 1)
Los grupos de Lie son variedades diferenciables en las cuales la operación de
grupo es suave.
2.5. Grupo de Lie
Definición 2.5 (Grupo de Lie). Un grupo de Lie G es una variedad diferenciable
la cual está dotada con una estructura de grupo tal que el mapa G × G → G
definido por (σ, τ) ↦→ στ −1 es C ∞ [13].
Definición 2.6 (La acción de G sobre M). Sea G un grupo de Lie y M una
variedad. La acción de G sobre M es un mapa diferenciable µ: G × M → M tal
que
1. µ(e, p) = p para todo p ∈ M
2. µ(g 1 , µ(g 2 , p)) = µ(g 1 g 2 , p).
Ejemplo 2.8 (Espacio euclidiano). El espacio euclidiano R con la adición vectorial
es un grupo de Lie.
Ejemplo 2.9 (Números complejos). El conjunto de los números complejos no
nulos C ∗ dotados con la multiplicación es un grupo de Lie.
De particular interés para las aplicaciones físicas son los grupos de matrices,
los cuales son subgrupos de los grupos generales lineales de matrices GL(n, R)
y GL(n, C).
Ejemplo 2.10 (Grupo ortogonal). El conjunto de matrices O(n) = {M ∈
GL(n, R)|MM t = M t M = I n }, donde (M t ) i,j = M j,i y la matriz I n es la
identidad n × n, es un grupo de Lie.
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