Representaciones infinito-dimensionales de álgebras de Lie ...

σ(e) =
σ((23)) =
( ) 1 0
, σ((12)) =
0 1
( ) 1 −1
, σ((123)) =
0 −1
( ) 0 1
, σ((13)) =
1 0
( ) −1 1
, σ((132)) =
−1 0
( ) −1 0
,
−1 1
( ) 0 −1
.
1 −1
Definición 3.2. Una acción de G en V es un mapa σ: G × V → V tal que [14]
σ(e, v) = v,
σ(g, σ(h, v)) = σ(gh, v).
Definición 3.3. Una representación de G en V es una acción del grupo G en
V por mapas lineal invertibles.
Ejemplo 3.3. Representaciones de S 3 en C:
trivial: σ(g, z) = z
altenartiva [15]: σ(g, z) = sgn(g)z, donde sgn(g) es el signo de la permutación
Ejemplo 3.4. Representación de S 3 en C 3 [2, p. 9]
σ: S 3 × C 3 → C 3
(g, (z 1 , z 2 , z 3 )) ↦→ (z g(1) , z g(2) , z g(3) )
Notación. En ocasiones se hablará de la “representación V de G” sobrentiendo
con esto la existencia del mapa σ: G → V .
Definición 3.4. Una subrepresentación de una representación V de un grupo
G es un subespacio vectorial W de V el cual es invariante bajo G es, decir, sea
σ: G × V → V una representación de G en V entonces σ(g, W ) ∈ W , para todo
g ∈ G [2, p. 4].
Ejemplo 3.5. Para σ dada en el ejemplo (3.4) el subespacio generado por
(1, 1, 1) es un subrepresentación de G en C 3 [2, p. 9].
Definición 3.5. Una representación V de G se denomina irreducible si no tiene
subespacios no triviales invariantes bajo G [2, p. 4].
Ejemplo 3.6. La representación del ejemplo (3.4) no es irreducible por el ejemplo
(3.5) [2, p. 9] .
Teorema 3.1. Si V y W son representanciones de G entonces V ⊕ W es un
representación de G dada por [2, p. 4]
σ ′′ : G × V ⊕ W → V ⊕ W
(g, v ⊕ w) ↦→ σ(g, v) ⊕ σ ′ (g, w)
donde σ, σ ′ son las representaciones de G en V y W respectivamente.
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