16 Corte en losas - Inti
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ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002<br />
<strong>16</strong><br />
<strong>Corte</strong> <strong>en</strong> <strong>losas</strong><br />
La actualización consiste fundam<strong>en</strong>talm<strong>en</strong>te <strong>en</strong> la revisión de los requisitos para la armadura de corte y los conectores de corte <strong>en</strong><br />
<strong>losas</strong>. Específicam<strong>en</strong>te, los requisitos que fueron revisados o agregados son los sigui<strong>en</strong>tes:<br />
• Se revisó el artículo 11.12.3, el cual ahora incluye el espesor mínimo de losa requerido con armadura de corte.<br />
• Se revisó el artículo 11.12.3.1, <strong>en</strong> el cual ahora se define el área de armadura de corte calculada.<br />
• Se agregó un nuevo artículo 11.12.3.3 para incluir detalles sobre la colocación de la armadura de corte.<br />
• Se agregó un nuevo artículo 11.12.3.4 para especificar el anclaje de la armadura de corte.<br />
• Se revisó el artículo 11.12.6.2, el cual ahora especifica la terminación de la armadura de corte <strong>en</strong> las uniones losa-columna<br />
diseñadas para corte directo y transfer<strong>en</strong>cia de mom<strong>en</strong>to.<br />
11.12 REQUISITOS ESPECIALES PARA LOSAS Y ZAPATAS<br />
Para el diseño al corte de <strong>losas</strong> y zapatas se deb<strong>en</strong> satisfacer los requisitos de la sección 11.12. Esta sección incluye requisitos sobre<br />
secciones de corte crítico, resist<strong>en</strong>cia nominal al corte del hormigón y armadura de corte.<br />
11.12.1 Sección crítica para el corte<br />
En las <strong>losas</strong> y zapatas, la resist<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> la cercanía de las columnas, cargas conc<strong>en</strong>tradas o reacciones es gobernada por la más<br />
severa de las dos condiciones sigui<strong>en</strong>tes:<br />
• Comportami<strong>en</strong>to como viga ancha, o corte <strong>en</strong> una sola dirección, de acuerdo con los requisitos de los artículos 11.1 a 11.5.<br />
• Comportami<strong>en</strong>to <strong>en</strong> dos direcciones, de acuerdo con los requisitos de los artículos 11.12.2 a 11.12.6.<br />
El análisis para comportami<strong>en</strong>to como viga ancha considera que la losa actúa como una viga ancha <strong>en</strong>tre las columnas. La sección<br />
crítica se exti<strong>en</strong>de <strong>en</strong> un plano a través del ancho total de la losa, y se toma a una distancia d medida a partir de la cara del apoyo<br />
(11.12.1.1); ver la Figura <strong>16</strong>-1. En este caso se deb<strong>en</strong> satisfacer los requisitos de los artículos 11.1 a 11.5. A excepción de las <strong>losas</strong><br />
largas y angostas, este tipo de corte rara vez es un factor crítico <strong>en</strong> el diseño, ya que el esfuerzo de corte g<strong>en</strong>eralm<strong>en</strong>te está muy por<br />
debajo de la capacidad de corte del hormigón. Sin embargo, es necesario verificar que no se exceda la resist<strong>en</strong>cia al corte.
Figura <strong>16</strong>-1 – Área tributaria y sección crítica para corte <strong>en</strong> una dirección<br />
El corte <strong>en</strong> dos direcciones, también llamado punzonado, es <strong>en</strong> g<strong>en</strong>eral el corte más crítico <strong>en</strong> los sistemas de <strong>losas</strong> que apoyan<br />
directam<strong>en</strong>te sobre columnas. Dep<strong>en</strong>di<strong>en</strong>do de la ubicación de las columnas, cargas conc<strong>en</strong>tradas o reacciones, la falla se puede<br />
producir a lo largo de dos, tres o cuatro lados de un cono o pirámide truncada. El perímetro de la sección crítica bo está ubicado de<br />
manera tal que repres<strong>en</strong>ta un mínimo, pero no es necesario que esté a una distancia m<strong>en</strong>or que d/2 de los bordes o esquinas de las<br />
columnas, cargas conc<strong>en</strong>tradas o reacciones, o de las secciones donde varía la altura de la losa tales como los bordes de capiteles o<br />
ábacos (11.12.1.2); ver la Figura <strong>16</strong>-2. En este caso se deb<strong>en</strong> satisfacer los requisitos de los artículos 11.12.2 a 11.12.6. Es<br />
importante observar que para definir la sección crítica para columnas, cargas conc<strong>en</strong>tradas o superficies de reacción cuadradas o<br />
rectangulares, está permitido usar un perímetro rectangular bo (11.12.1.3).<br />
11.12.2 Resist<strong>en</strong>cia al corte requerida para comportami<strong>en</strong>to <strong>en</strong> dos direcciones<br />
En g<strong>en</strong>eral, el esfuerzo de corte mayorado, Vu, <strong>en</strong> la sección crítica para el corte debe ser m<strong>en</strong>or o igual que la resist<strong>en</strong>cia al corte<br />
φVn:<br />
φVn ≥ Vu<br />
Ec. (11-1)<br />
si<strong>en</strong>do la resist<strong>en</strong>cia nominal al corte, Vn:<br />
y<br />
ℓ2<br />
Área tributaria<br />
Vn = Vc + Vs<br />
Ec. (11-2)<br />
Vc = resist<strong>en</strong>cia nominal al corte proporcionada por el hormigón, calculada de acuerdo con el artículo 11.12.2.1 si<br />
no se utiliza armadura de corte, o de acuerdo con el artículo 11.12.3.1 si se utiliza armadura de corte.<br />
Vs = resist<strong>en</strong>cia nominal al corte proporcionada por la armadura, si se requiere, calculada de acuerdo con el<br />
artículo 11.12.3 si se utilizan barras, alambres o estribos, o de acuerdo con el artículo 11.12.4 si se utilizan<br />
conectores de corte. Cuando además de corte directo hay transfer<strong>en</strong>cia de mom<strong>en</strong>to <strong>en</strong>tre la losa y la columna,<br />
se debe aplicar el artículo 11.12.6.<br />
11.12.2.1 Resist<strong>en</strong>cia nominal al corte proporcionada por el hormigón, Vc, para <strong>losas</strong> sin<br />
armadura de corte<br />
La t<strong>en</strong>sión de corte proporcionada <strong>en</strong> una sección por el hormigón, vc, dep<strong>en</strong>de de la t<strong>en</strong>sión de compresión del hormigón, f'c, y <strong>en</strong><br />
el caso de las columnas cuadradas se limita a un valor de 4 f ' c . La resist<strong>en</strong>cia nominal al corte proporcionada por el hormigón,<br />
Vc, se obti<strong>en</strong>e multiplicando vc por el área de la sección de hormigón que resiste transfer<strong>en</strong>cia de corte, la cual es igual al perímetro<br />
de la sección crítica para corte, bo, multiplicada por la altura efectiva de la losa, d:<br />
ℓ1<br />
d<br />
<strong>16</strong> - 2<br />
Sección<br />
crítica<br />
C<strong>en</strong>tro de la luz<br />
de los paneles
d1<br />
d2<br />
ℓ2<br />
Sección<br />
crítica, bo<br />
Ábaco<br />
Capitel de<br />
columna<br />
d/2<br />
Área tributaria C<strong>en</strong>tro<br />
d/2<br />
(a) Columna<br />
Sección<br />
crítica, bo<br />
h<br />
(b) Ábaco<br />
Figura <strong>16</strong>-2 – Áreas tributarias y secciones críticas para corte <strong>en</strong> dos direcciones<br />
<strong>16</strong> - 3<br />
de la luz<br />
Secciones<br />
críticas, bo<br />
c+d2<br />
Armadura de corte<br />
d/2 (tip.)<br />
(c) Capitel de columna ℓv<br />
0,75(ℓv-c1 /2)<br />
(d) Armadura compuesta por<br />
barras o alambres<br />
d/2 (min.)<br />
ℓ1<br />
c 1<br />
ℓ/3+d1<br />
(e) Armadura con conector de corte<br />
ℓ/3<br />
ℓ/3+d1<br />
Secciones<br />
críticas, bo<br />
Conector de corte<br />
ℓ/3<br />
Secciones<br />
críticas, bo
Vc = 4 f 'cbod Ec. (11-35)<br />
Ensayos realizados indican que el valor 4 f ' c es no conservador cuando la relación <strong>en</strong>tre el lado mayor y el lado m<strong>en</strong>or de una<br />
columna o superficie cargada rectangular, βc, es mayor que 2,0. En estos casos, la t<strong>en</strong>sión de corte <strong>en</strong> la sección crítica varía como<br />
se ilustra <strong>en</strong> la Figura <strong>16</strong>-3. La Ecuación (11-33) toma <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta el efecto de βc sobre la resist<strong>en</strong>cia al corte del hormigón:<br />
⎛ 4 ⎞<br />
Vc = ⎜2+ ⎟ f 'cbod ⎝ βc<br />
⎠<br />
<strong>16</strong> - 4<br />
Ec. (11-33)<br />
En la Figura <strong>16</strong>-3 se puede observar que para βc ≤ 2,0 (es decir, columnas o superficies cargadas cuadradas o prácticam<strong>en</strong>te<br />
cuadradas) el comportami<strong>en</strong>to <strong>en</strong> dos direcciones es determinante, y que la máxima t<strong>en</strong>sión de corte <strong>en</strong> el hormigón es vc = 4 f ' c .<br />
Para valores de βc mayores que 2,0 la t<strong>en</strong>sión <strong>en</strong> el hormigón disminuye linealm<strong>en</strong>te hasta un mínimo de 2 f ' c , lo cual equivale a<br />
la t<strong>en</strong>sión de corte correspondi<strong>en</strong>te a comportami<strong>en</strong>to <strong>en</strong> una dirección.<br />
V<br />
f' b d<br />
c<br />
c o<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
10 5 3,33 2,5 2 1,67 1,43 1,25 1,11 1,0<br />
Comportami<strong>en</strong>to<br />
como viga ancha<br />
β c = c 1/c2 c 2<br />
β c<br />
Comportami<strong>en</strong>to<br />
<strong>en</strong> dos direcciones<br />
( )<br />
V = 2+ 4/ β f' b d<br />
c c c o<br />
0 0,2 0,4 0,5 0,6 0,8 1,0<br />
1/ βc Figura <strong>16</strong>-3 – Efecto de βc sobre la resist<strong>en</strong>cia al corte del hormigón<br />
Otros <strong>en</strong>sayos indican que el valor de vc disminuye a medida que aum<strong>en</strong>ta la relación bo/d. La Ecuación (11-34) toma <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta el<br />
efecto de bo/d sobre la resist<strong>en</strong>cia al corte del hormigón:<br />
c 1
⎛αsd⎞ Vc = ⎜ + 2⎟ f 'cbod ⎝ bo<br />
⎠<br />
<strong>16</strong> - 5<br />
Ec. (11-34)<br />
La Figura <strong>16</strong>-4 ilustra el efecto de bo/d para columnas interiores, de borde y de esquina, si<strong>en</strong>do αs igual a 40, 30 y 20,<br />
respectivam<strong>en</strong>te. Para una columna interior <strong>en</strong> la cual se verifica bo/d ≤ 2,0 la máxima t<strong>en</strong>sión de corte admisible es 4 f ' c ; ver la<br />
Figura <strong>16</strong>-4. Cuando bo/d > 2,0 la t<strong>en</strong>sión de corte disminuye linealm<strong>en</strong>te hasta llegar a 2 f ' c para bo/d igual a infinito.<br />
V<br />
f' b d<br />
c<br />
c o<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
100 50 33,3 25 20 <strong>16</strong>,7 14,3 12,5 11,1 10<br />
α =<br />
s<br />
40<br />
βo = b o /d<br />
0 0,02 0,04 0,05 0,06 0,08 0,10<br />
Figura <strong>16</strong>-4 – Efecto de bo/d sobre la resist<strong>en</strong>cia al corte del hormigón<br />
Observar que la refer<strong>en</strong>cia a columnas interiores, de borde y de esquina no se refiere a la ubicación de las columnas <strong>en</strong> la planta de<br />
una construcción, sino que se refiere al número de lados de la sección crítica disponibles para resistir la t<strong>en</strong>sión de corte. Por<br />
ejemplo, una columna que está ubicada <strong>en</strong> el interior de un edificio pero que ti<strong>en</strong>e uno de sus lados <strong>en</strong> el borde de una abertura se<br />
debe evaluar como una columna de borde.<br />
La resist<strong>en</strong>cia nominal al corte para comportami<strong>en</strong>to <strong>en</strong> dos direcciones de las <strong>losas</strong> sin armadura de corte es el m<strong>en</strong>or de los<br />
valores dados por las Ecuaciones (11-33), (11-34) y (11-35) (11.12.2.1). Observar que si se utiliza hormigón liviano se deb<strong>en</strong><br />
aplicar los requisitos de 11.2.<br />
β o<br />
1/ βo α s = 30<br />
α s = 20<br />
d/2<br />
( )<br />
V = 2 +α / β f' b d<br />
c s o c o<br />
b o
11.12.3 Resist<strong>en</strong>cia al corte proporcionada por barras, alambres o estribos de una o<br />
múltiples ramas<br />
Está permitido usar barras, alambres o estribos de una o múltiples ramas como armadura de corte <strong>en</strong> las <strong>losas</strong>, siempre que la altura<br />
efectiva de la losa sea mayor o igual que 6 in., pero no m<strong>en</strong>or que <strong>16</strong> veces el diámetro de las barras usadas como armadura de<br />
corte (11.12.3). La armadura de corte sugerida consiste <strong>en</strong> estribos de una rama, estribos de múltiples ramas o estribos cerrados<br />
anclados de forma adecuada, vinculados a la armadura longitudinal tanto <strong>en</strong> la parte superior como <strong>en</strong> la parte inferior de la losa<br />
(11.12.3.4); ver las Figuras R11.12.3(a), (b) y (c).<br />
Cuando se utiliza armadura de corte, la resist<strong>en</strong>cia nominal al corte proporcionada por el hormigón, Vc, no se debe tomar mayor<br />
que 2 f 'cbod (11.12.3.1), y la resist<strong>en</strong>cia nominal al corte, Vn, está limitada a 6 f 'cbod (11.12.3.2). Por lo tanto, Vs no debe ser<br />
mayor que 4 f 'cbod .<br />
El área de armadura de corte, Av, se calcula usando la Ecuación (11-15), y es igual al área de la sección transversal de todas las<br />
ramas de armadura <strong>en</strong> una línea periférica que es geométricam<strong>en</strong>te similar al perímetro de la sección de la columna (11.12.3.1):<br />
A<br />
v<br />
Vs s<br />
= Ec. (11-15)<br />
fd<br />
y<br />
Los límites de separación del artículo 11.12.3.3 correspond<strong>en</strong> a detalles de armado que han demostrado ser efectivos. Estos límites<br />
son los sigui<strong>en</strong>tes (ver Figura <strong>16</strong>-5):<br />
1. La primera línea de estribos alrededor de la columna se debe colocar a una distancia no mayor que d/2 medida a partir de la<br />
cara de la columna.<br />
2. La separación <strong>en</strong>tre ramas adyac<strong>en</strong>tes <strong>en</strong> la primera línea de armadura de corte no debe ser mayor que 2d.<br />
3. La separación <strong>en</strong>tre líneas sucesivas de armadura de corte alrededor de la columna no debe ser mayor que d/2.<br />
4. La armadura de corte se puede terminar cuando Vu ≤φ 2 f 'cbod (11.12.3.1).<br />
Para que el anclaje de la armadura de corte sea adecuado se deb<strong>en</strong> satisfacer los requisitos del artículo 12.13 (11.12.3.4). En la<br />
Figura R11.12.3 y <strong>en</strong> la Parte 4 el lector <strong>en</strong>contrará detalles adicionales sobre el anclaje de los estribos. Observar que los requisitos<br />
de anclaje del artículo 12.13 pued<strong>en</strong> ser difíciles de materializar <strong>en</strong> <strong>losas</strong> de m<strong>en</strong>os de 10 in. de altura. En el Ejemplo <strong>16</strong>.3 se ilustra<br />
el diseño de la armadura de corte usando barras o estribos.<br />
Cuando la transfer<strong>en</strong>cia de mom<strong>en</strong>to <strong>en</strong>tre una columna y la losa es significativa, se recomi<strong>en</strong>da usar estribos cerrados dispuestos<br />
tan simétricam<strong>en</strong>te como sea posible respecto de la columna (R11.12.3).<br />
11.12.4 Resist<strong>en</strong>cia al corte proporcionada por los conectores de corte<br />
Los requisitos del artículo 11.12.4 permit<strong>en</strong> que la armadura de corte de las <strong>losas</strong> está compuesta por perfiles I de acero estructural<br />
o secciones con perfiles tipo canal (conectores de corte), siempre que se satisfagan los sigui<strong>en</strong>tes criterios:<br />
1. Cada brazo de los conectores de corte debe estar soldado a un brazo idéntico perp<strong>en</strong>dicular por medio de soldaduras de<br />
p<strong>en</strong>etración completa, y cada brazo debe ser continuo d<strong>en</strong>tro de la sección de la columna (11.12.4.1); ver la Figura <strong>16</strong>-6(a).<br />
2. La altura de los conectores de corte debe ser m<strong>en</strong>or o igual que 70 veces el espesor del alma del perfil de acero (11.12.4.2);<br />
ver Figura <strong>16</strong>-6(b).<br />
3. Los extremos de los brazos de cada conector de corte se podrán cortar <strong>en</strong> ángulos mayores que 30 grados respecto de la<br />
horizontal, siempre que se verifique que la sección variable es adecuada para resistir el esfuerzo de corte <strong>en</strong> dicha sección<br />
(11.12.4.3); ver la Figura <strong>16</strong>-6(b).<br />
<strong>16</strong> - 6
o<br />
d/2<br />
< 2d<br />
< 2d<br />
d/2<br />
b s < d/2 (tip.)<br />
o<br />
Figura <strong>16</strong>-5 – Criterios de diseño y detalles de armado para <strong>losas</strong> con estribos<br />
4. Todas las alas comprimidas de los perfiles de acero deb<strong>en</strong> estar ubicadas a una distancia m<strong>en</strong>or o igual que 0,3d medida<br />
desde la superficie comprimida de la losa, que <strong>en</strong> el caso del corte directo es la distancia medida a partir del fondo de la<br />
losa (11.12.4.4); ver la figura <strong>16</strong>-6(b).<br />
5. La relación αv <strong>en</strong>tre la rigidez a flexión del perfil de acero y la rigidez de la sección de losa compuesta que la rodea con un<br />
ancho igual a c2 + d no debe ser m<strong>en</strong>or que 0,15 (11.12.4.5); ver la Figura <strong>16</strong>-6(c).<br />
6. El mom<strong>en</strong>to plástico resist<strong>en</strong>te Mp requerido se calcula con la sigui<strong>en</strong>te expresión(11.12.4.6):<br />
d/2<br />
A v = Área total de armadura de corte <strong>en</strong><br />
los cuatro lados de la columna interior<br />
(a) Columna interior<br />
Vu<br />
φ Mp = ⎡hv +αv( v −0,5c1)<br />
⎤<br />
2 ⎣ �<br />
η<br />
⎦<br />
Ec. (11-37)<br />
<strong>16</strong> - 7<br />
d/2<br />
estribos cerrados<br />
V 2 f' b d<br />
≤φ<br />
u c o<br />
si<strong>en</strong>do b oel<br />
perímetro de la sección<br />
crítica a d/2 de los estribos cerrados<br />
s < d/2 (tip.)<br />
d/2<br />
ubicar la primera línea de estribos<br />
a d/2 de la cara de la columna<br />
estribos cerrados<br />
V ≤φ 2 f' b d+φA f d/s<br />
u c o v y<br />
≤φ6<br />
f'cbod si<strong>en</strong>do b oel<br />
perímetro de la sección<br />
crítica a d/2 de la cara de la columna<br />
ubicar la primera línea de estribos<br />
a d/2 de la cara de la columna<br />
< 2d<br />
d/2<br />
d/2<br />
b o<br />
(b) Columna de borde (c) Columna de esquina<br />
s < d/2 (tip.)<br />
estribos cerrados
d<br />
h d<br />
ℓv<br />
0,75(ℓv-c/2)<br />
d/2 (min.)<br />
Barras de la losa<br />
c<br />
(b) Detalles del conector de corte<br />
eje neutro<br />
c2<br />
nA s<br />
c 2+<br />
d<br />
≥ 30º<br />
Figura <strong>16</strong>-6 – Criterios de diseño y detalles de armado para <strong>losas</strong> con conectores de corte<br />
<strong>16</strong> - 8<br />
nAst<br />
Vu ≤φ7<br />
f'cbod si<strong>en</strong>do b o el perímetro de la sección<br />
crítica a d/2 de la cara de la columna<br />
Perfil I de acero<br />
o canal<br />
Vu ≤φ4<br />
f'cbod si<strong>en</strong>do b o el perímetro de la sección<br />
crítica definida <strong>en</strong> 11.12.4.7<br />
(a) Sección crítica y resist<strong>en</strong>cia al corte<br />
< 0,3d<br />
hv < 70tw<br />
(c) Propiedades de la sección fisurada de la losa compuesta<br />
kd
donde:<br />
Mp = mom<strong>en</strong>to resist<strong>en</strong>te plástico requerido <strong>en</strong> cada brazo del conector de corte para asegurar que se alcanza el<br />
corte último <strong>en</strong> el instante que se alcanza la resist<strong>en</strong>cia al mom<strong>en</strong>to del conector de corte.<br />
φ = factor de reducción de la resist<strong>en</strong>cia correspondi<strong>en</strong>te a elem<strong>en</strong>tos controlados por tracción, igual a 0,9 de<br />
acuerdo con el artículo 9.3.2.3.<br />
η = número de brazos del conector de corte; ver la Figura R11.12.4.7.<br />
ℓv = longitud mínima requerida para los brazos del conector de corte, de acuerdo con los artículos 11.12.4.7 y<br />
11.12.4.8; ver la Figura R11.12.4.7.<br />
hv = altura de la sección transversal del conector de corte; ver la Figura <strong>16</strong>-6(b).<br />
7. La sección crítica para el corte debe ser perp<strong>en</strong>dicular al plano de la losa y debe atravesar cada brazo del conector de corte<br />
a una distancia igual a (ℓv – 0,5c1) medida a partir de la cara de la columna hasta el extremo del brazo del conector de corte.<br />
La sección crítica debe estar ubicada de acuerdo con lo establecido <strong>en</strong> el artículo 11.12.1.2(a) (11.12.4.7); ver la Figura<br />
R11.12.4.7.<br />
8. La resist<strong>en</strong>cia nominal al corte Vn debe ser m<strong>en</strong>or o igual que 4 f 'cbod <strong>en</strong> la sección crítica definida de acuerdo con el<br />
artículo 11.12.4.7, y m<strong>en</strong>or o igual que 7 f 'cbod a una distancia igual a d/2 medida a partir de la cara de la columna<br />
(11.12.4.8); ver la figura <strong>16</strong>-6(a).<br />
9. El artículo 11.12.4.9 permite que los conectores de corte contribuyan a resistir el mom<strong>en</strong>to de diseño de la losa <strong>en</strong> la franja<br />
de columna. La resist<strong>en</strong>cia al mom<strong>en</strong>to Mv aportada a cada franja de columna de la losa debe ser el m<strong>en</strong>or de los sigui<strong>en</strong>tes<br />
valores:<br />
a.<br />
φαvVu<br />
( � v − 0,5c1)<br />
2η<br />
Ec. (11-38)<br />
b. 0,30Mu del mom<strong>en</strong>to total mayorado <strong>en</strong> cada franja de columna de la losa<br />
c. la variación del mom<strong>en</strong>to <strong>en</strong> la franja de columna de la losa <strong>en</strong> la longitud ℓv<br />
d. el valor de Mp calculado de acuerdo con la Ecuación (11-37).<br />
Cuando <strong>en</strong>tre una losa y una columna hay transfer<strong>en</strong>cia de corte directo y mom<strong>en</strong>to, además de estos criterios se deb<strong>en</strong> satisfacer<br />
los requisitos del artículo 11.12.6. En las <strong>losas</strong> con conectores de corte se deberá proveer armadura "de integridad" de acuerdo con<br />
el artículo 13.3.8.6. En el Ejemplo <strong>16</strong>.3 se ilustra el diseño de conectores de corte como armadura de corte.<br />
Otros tipos de armadura de corte<br />
Otro tipo de armadura de corte para <strong>losas</strong> que se ha usado exitosam<strong>en</strong>te consiste <strong>en</strong> barras verticales ancladas <strong>en</strong> forma mecánica<br />
<strong>en</strong> cada extremo por medio de una placa o cabeza capaces de desarrollar la t<strong>en</strong>sión de flu<strong>en</strong>cia de las barras (R11.12.3); ver la<br />
Figura <strong>16</strong>-7. Este tipo de armadura de corte para <strong>losas</strong> puede ser v<strong>en</strong>tajosa debido a la facilidad con que se instala y al bajo costo de<br />
su colocación con relación a otros tipos de armadura de corte.<br />
En las Refer<strong>en</strong>cias <strong>16</strong>.1 a <strong>16</strong>.4 se pres<strong>en</strong>tan gran cantidad de <strong>en</strong>sayos, métodos de diseño y ejemplos totalm<strong>en</strong>te detallados.<br />
<strong>16</strong> - 9
Figura <strong>16</strong>-7 – Armadura de corte compuesta por barras verticales con cabeza<br />
11.12.5 Efecto de las aberturas <strong>en</strong> las <strong>losas</strong> sobre su resist<strong>en</strong>cia al corte<br />
El efecto de las aberturas <strong>en</strong> las <strong>losas</strong> sobre la resist<strong>en</strong>cia al corte del hormigón se debe considerar cuando las aberturas están<br />
ubicadas: (1) <strong>en</strong> cualquier región de una franja de columna de un sistema de losa plana, y (2) a una distancia m<strong>en</strong>or que 10 veces la<br />
altura de la losa a partir de una carga conc<strong>en</strong>trada o superficie de reacción. El efecto de las aberturas se evalúa reduci<strong>en</strong>do el<br />
perímetro de la sección crítica, bo, <strong>en</strong> una longitud igual a la proyección de la abertura <strong>en</strong>cerrada por dos líneas que se proyectan a<br />
partir del baric<strong>en</strong>tro de la columna y que son tang<strong>en</strong>tes a la abertura; ver la Figura <strong>16</strong>-8(a). Para las <strong>losas</strong> con armadura de corte, la<br />
porción no efectiva del perímetro bo es la mitad de la correspondi<strong>en</strong>te a una losa sin armadura de corte; ver la Figura <strong>16</strong>-8(b). El<br />
factor un medio se aplica igualm<strong>en</strong>te ya sea que la armadura de corte consista <strong>en</strong> conectores de corte o armadura de barras o<br />
alambres. El efecto de las aberturas <strong>en</strong> las <strong>losas</strong> sobre la resist<strong>en</strong>cia a la flexión se discute <strong>en</strong> la Parte 18.<br />
11.12.6 Transfer<strong>en</strong>cia de mom<strong>en</strong>to <strong>en</strong> las uniones losa-columna<br />
Algunas condiciones de carga pued<strong>en</strong> producir mom<strong>en</strong>tos no balanceados Mu <strong>en</strong> las uniones losa-columna. Para las <strong>losas</strong> sin vigas<br />
<strong>en</strong>tre sus apoyos, la transfer<strong>en</strong>cia del mom<strong>en</strong>to no balanceado es una de las condiciones de diseño más críticas para los sistemas de<br />
losa armados <strong>en</strong> dos direcciones. La resist<strong>en</strong>cia al corte <strong>en</strong> una unión losa-columna exterior (sin viga de borde) es particularm<strong>en</strong>te<br />
crítica, ya que la totalidad del mom<strong>en</strong>to exterior negativo se debe transferir a la columna, lo cual se suma al corte directo debido a<br />
las cargas gravitatorias; ver la Figura <strong>16</strong>-9. El diseñador no debe tomar este tema a la ligera. Los sistemas armados <strong>en</strong> dos<br />
direcciones son <strong>en</strong> g<strong>en</strong>eral bastante "tolerantes" <strong>en</strong> caso de errores <strong>en</strong> la cantidad o la distribución de la armadura de flexión, pero<br />
se vuelv<strong>en</strong> "implacables" si los requisitos de resist<strong>en</strong>cia al corte no se satisfac<strong>en</strong> pl<strong>en</strong>am<strong>en</strong>te.<br />
Observar que los requisitos de los artículos 11.12.6 (ó 13.5.3) no se aplican a sistemas de <strong>losas</strong> con vigas vinculadas a las columnas<br />
de apoyo. Cuando hay vigas, la transfer<strong>en</strong>cia de carga de la losa a las columnas, a través de las vigas, es considerablem<strong>en</strong>te m<strong>en</strong>os<br />
crítica. La resist<strong>en</strong>cia al corte <strong>en</strong> los sistemas de losa con vigas se discute <strong>en</strong> el artículo 13.6.8.<br />
<strong>16</strong> - 10<br />
Columna<br />
Perímetro de<br />
corte crítico
Franja de columna<br />
1<br />
γ f =<br />
⎛2⎞ b<br />
1+<br />
⎜<br />
3<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ b<br />
1<br />
2<br />
y la fracción del mom<strong>en</strong>to no balanceado transferido por exc<strong>en</strong>tricidad del corte es igual a:<br />
<strong>16</strong> - 12<br />
Ec. (13-1)<br />
γ v = 1−γ<br />
f<br />
Ec. (11-39)<br />
donde b1 y b2 son las dim<strong>en</strong>siones del perímetro de la sección crítica, si<strong>en</strong>do b1 paralela a la dirección de análisis; ver la Figura <strong>16</strong>-<br />
10. En la Figura <strong>16</strong>-11 se grafica la relación <strong>en</strong>tre los parámetros pres<strong>en</strong>tados <strong>en</strong> las Ecuaciones (13-1) y (11-39). De acuerdo con<br />
el artículo 13.5.3.3 está permitido modificar o ajustar los valores de γf y γv para cualquier sistema de losa que trabaja <strong>en</strong> dos<br />
direcciones, excepto las <strong>losas</strong> pret<strong>en</strong>sadas. Las sigui<strong>en</strong>tes modificaciones son aplicables, siempre que la relación <strong>en</strong>tre la cuantía de<br />
armadura <strong>en</strong> la losa d<strong>en</strong>tro del ancho efectivo definido <strong>en</strong> el artículo 13.5.3.2 no sea mayor que 0,375ρb:<br />
• Para los mom<strong>en</strong>tos no balanceados respecto de un eje paralelo al borde de la losa <strong>en</strong> los apoyos exteriores (es decir, flexión<br />
perp<strong>en</strong>dicular al borde) está permitido adoptar γf = 1,0 siempre que Vu ≤ 0,75φVc si se trata de una columna de borde o<br />
bi<strong>en</strong> Vu ≤ 0,5φVc si se trata de una columna de esquina.<br />
• Para los mom<strong>en</strong>tos no balanceados <strong>en</strong> los apoyos interiores y para los mom<strong>en</strong>tos no balanceados respecto de un eje<br />
transversal al borde de los apoyos exteriores (es decir, flexión paralela al borde) se permite aum<strong>en</strong>tar γf <strong>en</strong> hasta 25%,<br />
siempre que Vu ≤ 0,4φVc.<br />
b1 b1<br />
b 1<br />
b2<br />
Figura <strong>16</strong>-10 – Parámetros b1 y b2 para las Ecuaciones (11-39) y (13-1)<br />
b2<br />
b2 b2<br />
b1<br />
Dirección de<br />
transfer<strong>en</strong>cia de mom<strong>en</strong>to
γf - porc<strong>en</strong>taje por flexión<br />
0<br />
20<br />
40<br />
60<br />
80<br />
100<br />
γv - porc<strong>en</strong>taje por corte<br />
0<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
0<br />
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0<br />
Figura <strong>16</strong>-11 – Solución gráfica de las Ecuaciones (13-1) y (11-39)<br />
El mom<strong>en</strong>to no balanceado transferido por exc<strong>en</strong>tricidad del corte es γvMu, si<strong>en</strong>do Mu el mom<strong>en</strong>to no balanceado <strong>en</strong> el baric<strong>en</strong>tro<br />
de la sección crítica. Al aplicar un análisis de pórtico g<strong>en</strong>eralm<strong>en</strong>te el mom<strong>en</strong>to no balanceado Mu <strong>en</strong> un apoyo exterior de un<br />
tramo final o de extremo no se calcula <strong>en</strong> el baric<strong>en</strong>tro de la sección crítica para la transfer<strong>en</strong>cia. Cuando se utiliza el Método de<br />
Diseño Directo descrito <strong>en</strong> el Capítulo 13 los mom<strong>en</strong>tos se calculan <strong>en</strong> la cara del apoyo. Considerando la naturaleza aproximada<br />
del procedimi<strong>en</strong>to usado para evaluar la distribución de t<strong>en</strong>siones debida a transfer<strong>en</strong>cia de mom<strong>en</strong>to y corte, no parece necesario<br />
modificar el mom<strong>en</strong>to para que coincida con el baric<strong>en</strong>tro de la transfer<strong>en</strong>cia, sino que alcanza con usar los valores de mom<strong>en</strong>to<br />
obt<strong>en</strong>idos mediante el análisis de pórtico (<strong>en</strong> la línea de c<strong>en</strong>tro del apoyo) o del artículo 13.6.3.3 (<strong>en</strong> la cara del apoyo).<br />
La transfer<strong>en</strong>cia de mom<strong>en</strong>to no balanceado <strong>en</strong>tre una columna de borde y una losa sin vigas de borde requiere una consideración<br />
especial cuando las <strong>losas</strong> se analizan para las cargas gravitatorias usando los coefici<strong>en</strong>tes de mom<strong>en</strong>to del Método de Diseño<br />
Directo. En este caso, el mom<strong>en</strong>to no balanceado Mu se debe tomar igual a 0,3Mo (13.6.3.6), si<strong>en</strong>do Mo el mom<strong>en</strong>to estático total<br />
mayorado <strong>en</strong> el tramo. Por lo tanto, la fracción del mom<strong>en</strong>to no balanceado transferido por corte es γvMu = γv (0,3Mo). En la Parte<br />
19 también se discute este requisito especial de resist<strong>en</strong>cia al corte; <strong>en</strong> el Ejemplo 19.1 se ilustra su aplicación. Si se utiliza el<br />
Método del Pórtico Equival<strong>en</strong>te el mom<strong>en</strong>to no balanceado es igual al mom<strong>en</strong>to calculado.<br />
11.12.6.2 Cálculo de las t<strong>en</strong>siones de corte y resist<strong>en</strong>cia al corte<br />
0,2<br />
0,4<br />
para b1 ≤ b2<br />
b 2 /b1<br />
para b1 ≥ b2<br />
b /b<br />
1 2<br />
Suponi<strong>en</strong>do que las t<strong>en</strong>siones de corte debidas a la transfer<strong>en</strong>cia de mom<strong>en</strong>to por exc<strong>en</strong>tricidad del corte varían linealm<strong>en</strong>te<br />
respecto del baric<strong>en</strong>tro de la sección crítica definida <strong>en</strong> el artículo 11.12.1.2, las t<strong>en</strong>siones de corte mayoradas <strong>en</strong> las caras de la<br />
sección crítica debidas al corte directo Vu y al mom<strong>en</strong>to no balanceado transferido por exc<strong>en</strong>tricidad del corte γvMu son (ver Figura<br />
<strong>16</strong>-12 y R11.12.6.2):<br />
<strong>16</strong> - 13<br />
0,6<br />
0,8<br />
1,0
Figura <strong>16</strong>-12 – Distribución de las t<strong>en</strong>siones de corte por transfer<strong>en</strong>cia de mom<strong>en</strong>to por exc<strong>en</strong>tricidad de corte <strong>en</strong> una<br />
unión losa-columna<br />
v<br />
v<br />
u1<br />
Borde<br />
de la losa<br />
u2<br />
Vu αvMuc<br />
= + Ec. (1)<br />
A J<br />
c<br />
Vu γvMuc'<br />
= − Ec. (2)<br />
A J<br />
c<br />
v u2<br />
c'<br />
b1<br />
Vu<br />
c<br />
Vu<br />
γvMu γv<br />
Mu<br />
donde: Ac = área de la sección transversal de hormigón que resiste transfer<strong>en</strong>cia de corte, igual al perímetro bo multiplicado por la<br />
altura efectiva d<br />
J = propiedad de la sección crítica análoga al mom<strong>en</strong>to de inercia polar de los segm<strong>en</strong>tos que compon<strong>en</strong> el área Ac<br />
c y c' = distancias desde el eje baricéntrico de la sección crítica y el perímetro de la sección crítica <strong>en</strong> la dirección de análisis<br />
considerada<br />
La Figura <strong>16</strong>-13 conti<strong>en</strong>e expresiones para determinar Ac, c, c', J/c y J/c' para columnas de sección rectangular, y la Figura <strong>16</strong>-4<br />
para columnas interiores de sección circular.<br />
La t<strong>en</strong>sión de corte máxima vu1 calculada con la Ecuación (1) no debe ser mayor que φvn. El valor de vn se determina de la<br />
sigui<strong>en</strong>te manera (11.12.6.2):<br />
a. Para <strong>losas</strong> sin armadura de corte: φvn = φvc, si<strong>en</strong>do φvn el m<strong>en</strong>or valor <strong>en</strong>tre:<br />
b 2<br />
vu1<br />
<strong>16</strong> - 14<br />
vu2<br />
b1<br />
2<br />
b<br />
c<br />
c' c = c'<br />
(a) Columna de borde (b) Columna interior<br />
vu1
⎛ 4 ⎞<br />
φ v =φ ⎜2+ ⎟ f '<br />
⎝ ⎠<br />
c c<br />
βc<br />
φ v<br />
⎛ α d ⎞<br />
=φ 2+ f '<br />
⎝ ⎠<br />
s<br />
c ⎜ ⎟ c<br />
bo<br />
<strong>16</strong> - 15<br />
Ec. (11-33)<br />
Ec. (11-34)<br />
φ vc =φ 4 f 'c<br />
Ec. (11-35)<br />
b. Para <strong>losas</strong> con armadura de corte que no sean conectores de corte, φvn se calcula como (11.12.3):<br />
φ v<br />
⎛<br />
=φ 2 f '<br />
Af<br />
+<br />
⎞<br />
≤φ6<br />
f '<br />
⎝ ⎠<br />
v y<br />
n ⎜ c ⎟ c<br />
bs ⎟<br />
o<br />
Ec. (11-15), (11.12.3.1) y (11.12.3.2)<br />
donde Av es el área total de armadura de corte provista <strong>en</strong> los lados de la columna y bo es el perímetro de la sección crítica<br />
ubicada a una distancia d/2 del perímetro de la columna, según lo definido <strong>en</strong> el artículo 11.12.1.2(a). Debido a la variación<br />
de las t<strong>en</strong>siones de corte, ilustrada <strong>en</strong> la Figura <strong>16</strong>-12, el área de armadura de corte calculada, si fuera necesaria, puede ser<br />
difer<strong>en</strong>te <strong>en</strong> un lado de la columna y el otro. El área de armadura de corte requerida debido a la t<strong>en</strong>sión de corte vu1 <strong>en</strong> su<br />
respectivo lado de la columna es:<br />
( + )<br />
( )<br />
A = v −φv<br />
v u1 c<br />
c d s<br />
φf<br />
y<br />
Ec. (3)<br />
si<strong>en</strong>do (c + d) un ancho efectivo "de viga" y vc = 2 f 'c<br />
. Sin embargo, R11.12.3 recomi<strong>en</strong>da colocar la armadura <strong>en</strong> forma<br />
simétrica <strong>en</strong> todos los lados de la columna. Así, suponi<strong>en</strong>do armadura de corte simétrica <strong>en</strong> todos los lados de la columna, el<br />
área requerida Av se puede calcular como:<br />
( ) o<br />
A = v −φv<br />
v u1 c<br />
b s<br />
φf<br />
y<br />
Ec. (4)<br />
si<strong>en</strong>do Av el área total de armadura de corte requerida que se debe ext<strong>en</strong>der a partir de los lados de la columna y bo el<br />
perímetro de la sección crítica ubicada a una distancia d/2 del perímetro de la columna. Con armadura simétrica <strong>en</strong> todos los<br />
lados de la columna, la armadura que se exti<strong>en</strong>de a partir de los lados de la columna con m<strong>en</strong>or t<strong>en</strong>sión de corte calculada<br />
proporciona resist<strong>en</strong>cia torsional <strong>en</strong> la franja de losa perp<strong>en</strong>dicular a la dirección de análisis.<br />
c. Para <strong>losas</strong> con conectores de corte φvn se calcula como:<br />
φ vn = 4φ f 'c ≥ vu1<br />
11.12.6.3<br />
V γ M c<br />
v = + ≤φ 4 f '<br />
Ec. (1)<br />
u v u<br />
u1 c<br />
bd o J<br />
si<strong>en</strong>do bo el perímetro de la sección crítica definida <strong>en</strong> 11.12.4.7, c y J son propiedades de la sección crítica ubicada a una distancia<br />
d/2 del perímetro de la columna (11.12.6.3), Vu es el esfuerzo de corte directo que actúa <strong>en</strong> la sección crítica definido <strong>en</strong> 11.12.4.7<br />
y γvMu es el mom<strong>en</strong>to no balanceado transferido por exc<strong>en</strong>tricidad del corte actuando respecto del baric<strong>en</strong>tro de la sección crítica<br />
definida <strong>en</strong> 11.12.1.2(a). Observar que esta sumatoria apar<strong>en</strong>tem<strong>en</strong>te inconsist<strong>en</strong>te de t<strong>en</strong>siones de corte que ocurr<strong>en</strong> <strong>en</strong> dos<br />
secciones críticas difer<strong>en</strong>tes es conservadora, y que ha sido justificada mediante <strong>en</strong>sayos (ver R11.12.6.3). En la sección crítica<br />
ubicada a una distancia d/2 del perímetro de la columna, el valor de vu no debe ser mayor que φ 7 f 'c<br />
(11.12.4.8); ver la Figura<br />
<strong>16</strong>-5.
Caso A: Columna de borde (Flexión paralela al borde)<br />
γ v u<br />
c 1<br />
Área de la<br />
Módulo de la sección crítica<br />
Caso<br />
sección crítica, Ac J/c J/c'<br />
A ( b + 2b ) d ( )<br />
1 2<br />
+ + 3<br />
bd 1 b1 6b2 d<br />
6<br />
B 2b ( + b) d ( )<br />
1 2<br />
+ + 3<br />
bd 1 b1 3b2 d<br />
3<br />
C 2 3<br />
( 2b + b ) d 2b d( b + 2b ) + d ( 2b + b )<br />
1 2<br />
1 1 2 1 2<br />
D 2 3<br />
( b + b ) d bdb ( + 4b) + d ( b + b )<br />
1 2<br />
c 2<br />
M vM<br />
b 2= c2+ d/2<br />
c c'<br />
6b<br />
1 1 2 1 2<br />
6b<br />
1<br />
1<br />
b 1= c 1+ d<br />
Caso C: Columna de borde (Flexión perp<strong>en</strong>dicular al borde)<br />
b<br />
2<br />
= c<br />
2<br />
+ d<br />
c<br />
1<br />
c<br />
c'<br />
1<br />
1<br />
b =c + d/2<br />
<strong>16</strong> - <strong>16</strong><br />
b = c<br />
( )<br />
+ + 3<br />
bd 1 b1 6b2 d<br />
6<br />
( )<br />
+ + 3<br />
bd 1 b1 3b2 d<br />
3<br />
( + ) + ( + )<br />
( + )<br />
2 3<br />
1 1 2 1 2<br />
1 2<br />
c c'<br />
b1<br />
2<br />
b1<br />
2<br />
2b d b 2b d 2b b b1<br />
6b b 2b + b<br />
( + ) + ( + )<br />
6b ( + 2b)<br />
2 3<br />
1 1 2 1 2<br />
bdb 4b d b b<br />
1 2<br />
2<br />
1 2<br />
2<br />
b1<br />
1 2<br />
( + )<br />
2b b<br />
1 b<br />
2<br />
1 b<br />
2<br />
( + )<br />
b b b<br />
2b + b<br />
1 1 2<br />
1 2<br />
( + )<br />
( + )<br />
b b 2b<br />
2b b<br />
1 1 2<br />
Figura <strong>16</strong>-13 – Propiedades de las secciones para el cálculo de las t<strong>en</strong>siones de corte - Columnas rectangulares<br />
γ u<br />
c2 c2 γ M vM<br />
v u<br />
2<br />
γ u<br />
2<br />
c<br />
b 2= c2+ d/2<br />
Caso B: Columna Interior<br />
+ d<br />
1<br />
c 1<br />
c<br />
2<br />
c<br />
Caso D: Columna de esquina<br />
c'<br />
c c'<br />
1<br />
1<br />
b = c + d<br />
b 1= c 1+ d/2<br />
1 2
γ v M u<br />
Figura <strong>16</strong>-14 – Propiedades de las secciones para el cálculo de las t<strong>en</strong>siones de corte - Columnas circulares interiores<br />
REFERENCIAS<br />
d<br />
c c'<br />
D<br />
<strong>16</strong>.1 ACI-ASCE Committee 421, "Shear Reinforcem<strong>en</strong>t for Slabs," American Concrete Institute, Farmington Hills, MI, 1999.<br />
<strong>16</strong>.2 Dilger, W.H. y Ghali, A., "Shear Reinforcem<strong>en</strong>t for Concrete Slabs," Proceedings ASCE, Journal of the Structural Division,<br />
Vol. 107, No. ST12, Diciembre 1981, pp. 2403-2420.<br />
<strong>16</strong>.3 Elgabry, A.E. y Ghali, A., "Design of Stud-Shear Reinforcem<strong>en</strong>t for slabs," ACI Structural Journal, Vol. 87, No. 3, Mayo-<br />
Junio 1990, pp. 350-361.<br />
<strong>16</strong>.4 Hammil, N. y Ghali, A., "Punching Shear Resistance of Corner Slab-Column Connections," ACI Structural Journal, Vol.<br />
91, No. 6, Noviembre-Diciembre 1994, pp. 697-707.<br />
<strong>16</strong>.5 Ghosh, S.K., "Aspects of Design of Reinforced Concrete Flat Plate Slab Systems," Analysis and Design of High-Rise<br />
Concrete Buildings, SP-97, American Concrete Institute, Detroit, MI, 1985, pp. 139-157.<br />
<strong>16</strong>.6 Simplified Design - Reinforced Concrete Buildings of Moderate Size and Height, 2º Ed., Portland Cem<strong>en</strong>t Association,<br />
Skokie, IL, 1993.<br />
<strong>16</strong>.7 Hanson, N.W. y Hanson J.M., "Shear and Mom<strong>en</strong>t Transfer betwe<strong>en</strong> Concrete Slabs and Columns, Journal, PCA Research<br />
and Developm<strong>en</strong>t Labs, Vol. 10, No. 1, Enero 1968, pp. 2-<strong>16</strong>.<br />
<strong>16</strong> - 17<br />
D + d<br />
( )<br />
Ac=π D+ d d<br />
D+ d<br />
c = c' =<br />
2<br />
2 3<br />
J ⎛D+ d⎞ d<br />
=π d⎜<br />
⎟ +<br />
c ⎝ 2 ⎠ 3
Ejemplo <strong>16</strong>.1 – Resist<strong>en</strong>cia al corte de una losa <strong>en</strong> un apoyo sobre una columna<br />
Determinar la resist<strong>en</strong>cia al corte para comportami<strong>en</strong>to <strong>en</strong> dos direcciones <strong>en</strong> un apoyo sobre columna interior para un sistema de<br />
placa plana bajo las sigui<strong>en</strong>tes condiciones de diseño:<br />
48"<br />
Dim<strong>en</strong>siones de la columna = 48 in. × 8 in.<br />
Altura efectiva de la losa d = 6,5 in.<br />
Resist<strong>en</strong>cia especificada del hormigón f 'c = 4000 psi<br />
Refer<strong>en</strong>cia<br />
Cálculos y discusión del Código<br />
1. <strong>Corte</strong> <strong>en</strong> dos direcciones (punzonado) sin armadura de corte:<br />
Vu ≤φ Vn<br />
Ec. (11-1)<br />
c V ≤φ<br />
2. Efecto de la relación de aspecto de la superficie cargada, βc:<br />
⎛ 4 ⎞<br />
φ Vc =φ ⎜2+ ⎟ f 'cbod ⎝ βc<br />
⎠<br />
donde c<br />
o<br />
<strong>16</strong> - 18<br />
Ec. (11-35)<br />
48<br />
β = = 6<br />
11.12.2.1<br />
8<br />
( )<br />
b = 2 48+ 6,5+ 8+ 6,5 = 138in.<br />
11.12.1.2<br />
φ = 0,75 9.3.2.3<br />
φ Vc = 0,75× 138× 6,5 /1000 = 113,5 kips<br />
3. Efecto de la relación de aspecto del perímetro, βo:<br />
⎛ αs<br />
⎞<br />
φ Vc =φ ⎜2+ ⎟ f 'cbod ⎝ βo<br />
⎠<br />
Ec. (11-36)<br />
donde α s = 40 para apoyo <strong>en</strong> columna interior 11.12.2.1<br />
bo 138<br />
β o = = = 21,2<br />
d 6,5<br />
φ Vc = 0,75× 138× 6,5 /1000 = <strong>16</strong>5, 4 kips<br />
d (tip)<br />
2<br />
Sección crítica<br />
(punzonado)<br />
8"
4. Excluy<strong>en</strong>do el efecto de βc y βo:<br />
φ Vc =φ 4 f 'cbod Ec. (11-37)<br />
= 0,75× 4× 4000 × 138× 6,5 /1000 = 170, 2 kips<br />
5. La resist<strong>en</strong>cia al corte φVn es el m<strong>en</strong>or de los valores calculados, es decir,<br />
φ Vn =<br />
113,5 kips<br />
<strong>16</strong> - 19
Ejemplo <strong>16</strong>.2 – Resist<strong>en</strong>cia al corte para apoyo no rectangular<br />
Para el apoyo interior sobre columna <strong>en</strong> L ilustrado, verificar la resist<strong>en</strong>cia al punzonado para un esfuerzo de corte mayorado Vu =<br />
125 kips. Usar f'c = 4000 psi. Altura efectiva de la losa = 5,5 in.<br />
Refer<strong>en</strong>cia<br />
Cálculos y discusión del Código<br />
1. Para geometrías no rectangulares, el artículo R11.12.2.1 recomi<strong>en</strong>da tomar βc como la relación <strong>en</strong>tre la mayor<br />
dim<strong>en</strong>sión global de la superficie cargada efectiva "a" y la mayor dim<strong>en</strong>sión global de la misma superficie<br />
cargada efectiva "b", medida <strong>en</strong> forma perp<strong>en</strong>dicular a "a":<br />
a 54<br />
β c = = = 2,<strong>16</strong><br />
b 25<br />
Para la sección crítica ilustrada, bo = 141 in. 11.12.1.2<br />
Se utilizan las dim<strong>en</strong>siones a escala de las figuras, las cuales deberían t<strong>en</strong>er precisión sufici<strong>en</strong>te.<br />
2. <strong>Corte</strong> <strong>en</strong> dos direcciones (punzonado) sin armadura de corte:<br />
Vu ≤φ Vn<br />
Ec. (11-1)<br />
V ≤φ 11.12.2<br />
c<br />
24"<br />
donde la resist<strong>en</strong>cia nominal al corte Vc sin armadura de corte es el m<strong>en</strong>or de los valores dados por las<br />
Ecuaciones (11-33) y (11-34), pero nunca mayor que 4 f 'cbod :<br />
⎛ 4 ⎞<br />
Vc = ⎜2+ ⎟ f 'cbod ⎝ βc<br />
⎠<br />
⎛ 4 ⎞<br />
= ⎜2+ ⎟ 4000 × 141× 5,5/1000 = 188,9 kips<br />
⎝ 2,<strong>16</strong> ⎠<br />
8"<br />
b<br />
90º<br />
Sección crítica (punzonado)<br />
a<br />
48"<br />
d<br />
2<br />
<strong>16</strong> - 20<br />
Superficie cargada<br />
efectiva<br />
8"<br />
R11.12.2.1<br />
Ec. (11-33)
⎛ αs<br />
⎞<br />
Vc = ⎜2+ ⎟ f 'cbod ⎝ βo<br />
⎠<br />
<strong>16</strong> - 21<br />
Ec. (11-34)<br />
donde α s = 40 para apoyo <strong>en</strong> columna interior 11.12.2.1<br />
bo 141<br />
β o = = = 25,6<br />
d 5,5<br />
⎛ 40 ⎞<br />
Vc = ⎜2+ ⎟ 4000 × 141× 5,5/1000 = 174,7 kips<br />
⎝ 25,6 ⎠<br />
Vc = 4 f 'cbod Ec. (11-35)<br />
= 4× 4000 × 141× 5,5/1000 = 196, 2 kips<br />
c<br />
( )<br />
φ V = 0,75 174,7 = 131 kips<br />
Vu = 125 kips
Ejemplo <strong>16</strong>.3 – Resist<strong>en</strong>cia al corte de una losa con armadura de corte<br />
Considerar un panel interior de un sistema de losa formado por placas planas soportado por una columna cuadrada de 12 in. de<br />
lado. Dim<strong>en</strong>siones del panel: ℓ1 = ℓ2 = 21 ft. Determinar la resist<strong>en</strong>cia al corte de la losa <strong>en</strong> el apoyo sobre la columna, y si no es<br />
adecuada aum<strong>en</strong>tar la resist<strong>en</strong>cia al corte usando armadura de corte. Altura total de la losa h = 7,5 in. (d = 6 in.)<br />
f 'c = 4000 psi<br />
fy = 60.000 psi (barras de armadura)<br />
fy= 36.000 psi (acero estructural)<br />
Carga mayorada impuesta = <strong>16</strong>0 lb/ft 2<br />
Mom<strong>en</strong>to negativo de la franja de columna: Mu = 175 ft-kips<br />
Refer<strong>en</strong>cia<br />
Cálculos y discusión del Código<br />
1. <strong>Corte</strong> <strong>en</strong> una dirección y corte <strong>en</strong> dos direcciones (punzonado) sin armadura de corte: 11.12.2<br />
Vu ≤φ Vn<br />
Ec. (11-1)<br />
V ≤φ 11.12.2<br />
c<br />
a. Como no hay fuerzas de corte <strong>en</strong> las líneas de c<strong>en</strong>tro de paneles adyac<strong>en</strong>tes, las áreas tributarias y secciones<br />
críticas para el corte <strong>en</strong> la losa son como se ilustra a continuación.<br />
c<strong>en</strong>tro<br />
de la luz<br />
9,5'<br />
d = 6"<br />
18"<br />
d<br />
2<br />
= 3"<br />
21´-0"<br />
Sección crítica<br />
para comportami<strong>en</strong>to<br />
<strong>en</strong> dos direcciones<br />
Sección crítica para<br />
comportami<strong>en</strong>to <strong>en</strong> una dirección<br />
<strong>16</strong> - 22<br />
21´-0"<br />
c<strong>en</strong>tro<br />
de la luz<br />
c<strong>en</strong>tro<br />
de la luz<br />
c<strong>en</strong>tro<br />
de la luz
7,5<br />
2<br />
Para una losa de 7,5 in., la carga perman<strong>en</strong>te mayorada wd = 1, 2× × 150 = 113 lb / ft<br />
9.2.1<br />
12<br />
w = 113 + <strong>16</strong>0 = 273 lb / ft<br />
u<br />
2<br />
a. <strong>Corte</strong> <strong>en</strong> una dirección (Comportami<strong>en</strong>to como viga ancha).<br />
El estudio de la resist<strong>en</strong>cia al corte <strong>en</strong> una dirección se realiza <strong>en</strong> la sección crítica a una distancia d medida a 11.1.3.1<br />
partir de la cara de la columna de apoyo.<br />
u<br />
( )<br />
V = 0, 273 9,5 × 21 = 54,5 kips<br />
Vc = 2 f 'cbwd= 2 4000 × 6 /1000 = 191,3 kips<br />
Ec. (11-3)<br />
φ = 0,75 9.3.2.3<br />
( )<br />
φ V = 0,75 191,3 = 143,5 kips > V = 54,5 kips VERIFICA<br />
c u<br />
Rara vez el comportami<strong>en</strong>to como viga ancha controla la resist<strong>en</strong>cia al corte de los sistemas de losa armados<br />
<strong>en</strong> dos direcciones.<br />
b. <strong>Corte</strong> <strong>en</strong> dos direcciones (Comportami<strong>en</strong>to <strong>en</strong> dos direcciones).<br />
El estudio de la resist<strong>en</strong>cia al corte <strong>en</strong> dos direcciones se realiza <strong>en</strong> la sección crítica bo ubicada a una<br />
distancia d/2 del perímetro de la columna. El esfuerzo de corte total mayorado a ser transferido de la losa a la<br />
columna es:<br />
u<br />
2 2 ( )<br />
V = 0,273 21 − 1,5 = 119,8 kips<br />
Resist<strong>en</strong>cia al corte Vc sin armadura de corte: 11.12.2.1<br />
o<br />
( )<br />
b = 418= 72in.<br />
11.12.1.2(a)<br />
12<br />
β c = = 1, 0 < 2<br />
Ec. (11-35)<br />
12<br />
bo 72<br />
β o = = = 12 < 20<br />
Ec. (11-36)<br />
d 6<br />
Vc = 4 f 'cbod= 4 4000 × 72× 6 /1000 = 109,3 kips<br />
φ = 0,75 9.3.2.3<br />
( )<br />
φ V = 0,75 109,3 = 82 kips < V = 119,8 kips NO VERIFICA<br />
c u<br />
La armadura de corte de la losa no es adecuada para transmitir el esfuerzo de corte mayorado Vu = 119,8 kips<br />
de la losa a la columna de apoyo. La resist<strong>en</strong>cia al corte se puede aum<strong>en</strong>tar de tres maneras difer<strong>en</strong>tes:<br />
i. aum<strong>en</strong>tando la resist<strong>en</strong>cia del hormigón, f'c<br />
ii. aum<strong>en</strong>tando la altura de la losa sobre las columnas, es decir, usando ábacos<br />
<strong>16</strong> - 23<br />
11.12.1.2(a)
iii. colocando armadura de corte (barras, alambres o perfiles I o secciones con perfiles tipo canal)<br />
Las sigui<strong>en</strong>tes partes del ejemplo ilustran todos los métodos para aum<strong>en</strong>tar la resist<strong>en</strong>cia al corte m<strong>en</strong>cionados.<br />
2. Aum<strong>en</strong>tar la resist<strong>en</strong>cia al corte aum<strong>en</strong>tando la resist<strong>en</strong>cia del hormigón de la losa:<br />
Vu ≤φ Vn<br />
Ec. (11-1)<br />
( c )<br />
119.800 ≤ 0,75 4 f ' × 72× 6<br />
Resolvi<strong>en</strong>do, f 'c = 8545 psi<br />
3. Aum<strong>en</strong>tar la resist<strong>en</strong>cia al corte aum<strong>en</strong>tando la altura de la losa sobre la columna por medio de un ábaco:<br />
Proveer un ábaco de acuerdo con los artículos 9.5.3.4 y 13.4.7 (ver Figura 18-18). Altura total mínima de la losa<br />
<strong>en</strong> el ábaco = 1,25 (7,5) = 9,375 in. Int<strong>en</strong>tar con una altura de losa de 9,75 in. (proyección de 2,25 in. debajo de la<br />
losa * ; d ≈ 8,25 in.). Distancia mínima <strong>en</strong>tre el eje de la columna y el borde del ábaco = 21/6 = 3,5 ft. Int<strong>en</strong>tar con<br />
un ábaco de 7 x 7 ft.<br />
a. Investigar la resist<strong>en</strong>cia al corte <strong>en</strong> la sección crítica bo ubicada a d/2 del perímetro de la columna.<br />
Esfuerzo de corte total mayorado a ser transferido –<br />
ℓ/6 (min) ℓ/6 (min)<br />
Sección del ábaco<br />
d/2 = 3"<br />
20,25"<br />
d/2 = 4,125"<br />
7´- 6"<br />
* Ver Capítulo 9 (Consideraciones de Diseño para Economía de los Encofrados) <strong>en</strong> la Refer<strong>en</strong>cia <strong>16</strong>.6.<br />
<strong>16</strong> - 24<br />
7´- 0"<br />
7,5"<br />
9,75"
2, 25<br />
Para ábaco con una proyección de 2,25 in., wd= 1,2× × 150= 34lb/ft<br />
12<br />
u<br />
2 2 2 2<br />
( ) ( )<br />
V = 0,273 21 − 1,69 + 0,034 7 − 1,69 = 119,6 + 1,6 = 121, 2 kips<br />
o<br />
( )<br />
b = 412+ 8,25= 81in.<br />
11.12.1.2(a)<br />
β c = 1, 0 < 2<br />
bo 81<br />
β o = = = 9,8 < 20<br />
d 8,25<br />
φ Vc =φ 4 f 'cbod Ec. (11-35)<br />
0,75 × 4 4000 × 81× 8,25 > Vu = 121,2 kips VERIFICA<br />
b. Investigar la resist<strong>en</strong>cia al corte <strong>en</strong> la sección crítica bo ubicada a d/2 del borde del ábaco.<br />
Esfuerzo de corte total mayorado a ser transferido –<br />
u<br />
2 2 ( )<br />
V = 0,273 21 − 7,5 = 105,0 kips<br />
o<br />
( )<br />
b = 4 84 + 6 = 360 in.<br />
11.12.1.2(b)<br />
84<br />
β c = = 1, 0 < 2<br />
Ec. (11-35)<br />
84<br />
bo 360<br />
β o = = = 60 > 20<br />
d 6<br />
⎛ αs ⎞<br />
⎛ 40 ⎞<br />
φ Vc =φ ⎜2+ ⎟ f'bd c o =φ 2+ f'bd c o =φ2,67f'bd<br />
c o<br />
β<br />
⎜<br />
o<br />
60<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠<br />
= 0,75 × 2,67 4000 × 360× 6 /1000 = 273, 2 kips > Vu = 105,0 kips VERIFICA<br />
Observar la importante reducción de la pot<strong>en</strong>cial resist<strong>en</strong>cia al corte <strong>en</strong> el borde del ábaco debida al mayor valor<br />
de βo.<br />
Un panel de 7 × 7 ft con una proyección de 2,25 in. debajo de la losa proveerá una resist<strong>en</strong>cia al corte adecuada<br />
para las cargas mayoradas impuestas de <strong>16</strong>0 lb/ft 2 .<br />
4. Aum<strong>en</strong>tar la resist<strong>en</strong>cia al corte colocando armadura de corte (ver Figuras R11.12.3(a) y <strong>16</strong>-5):<br />
<strong>16</strong> - 25<br />
2<br />
Ec. (11-36)<br />
a. Verificar la altura efectiva d. 11.12.3<br />
Suponi<strong>en</strong>do estribos No. 3 ( d 0,375in. )<br />
d = 6 in. ≥<br />
b<br />
= ,<br />
6 in. VERIFICA<br />
<strong>16</strong> × 0,375 = 6 in. VERIFICA
. Verificar la máxima resist<strong>en</strong>cia al corte permitida con las barras. 11.12.3.2<br />
Vu ≤φ Vn<br />
Ec. (11-1)<br />
( ) ( )<br />
φ V =φ 6 f ' b d = 0,75 6 4000 × 72× 6 /1000 = 123,0 kips<br />
n c o<br />
2 2 ( )<br />
V = 0,273 21 − 1,5 = 119,8 kips
Los estribos pued<strong>en</strong> terminar a una distancia d/2 = 3 in. del perímetro crítico bo.<br />
Usar 9 estribos cerrados No. 3 con una separación de 3 in. (Av = 0,22 in. 2 ) a lo largo de cada línea de<br />
columnas como se ilustra a continuación.<br />
5. Aum<strong>en</strong>tar la resist<strong>en</strong>cia al corte usando perfiles I de acero (conectores de corte): 11.12.4<br />
a. Verificar la máxima resist<strong>en</strong>cia al corte permitida con perfiles de acero (ver Figura 18-8). 11.12.4.8<br />
u<br />
2 2 ( )<br />
V = 0,273 21 − 1,5 = 119,8 kips<br />
Vu ≤φ Vn<br />
Ec. (11-1)<br />
( )<br />
φ V =φ 7 f ' b d<br />
11.12.1.2(a)<br />
n c o<br />
≤ 0,75( 7 4000 × 72× 6 ) /1000 = 143,4 kips > Vu = 119,8 kips VERIFICA<br />
b. Determinar el perímetro mínimo requerido bo de una sección crítica <strong>en</strong> los extremos del conector de corte con<br />
la resist<strong>en</strong>cia al corte limitada a Vn = 4 f 'cbod (ver Figura <strong>16</strong>-6(b)).<br />
Vu ≤φ Vn<br />
Ec. (11-1)<br />
( o )<br />
119.800 ≤ 0,75 4 4000 × b × 6<br />
Resolvi<strong>en</strong>do, o<br />
b = 105, 2 in.<br />
11.12.4.7<br />
c. Determinar la longitud requerida del brazo del conector de corte, ℓv, para satisfacer 11.12.4.7<br />
b = 105,2 in. a 0,75(ℓv–c1/2).<br />
o<br />
A<br />
3" (tip.)<br />
A<br />
12" a<br />
a 2<br />
columna<br />
12" x 12"<br />
d/2 = 3"<br />
⎡c1 3 ⎛ c1<br />
⎞⎤<br />
bo ≈ 4 2⎢ + v −<br />
2 4<br />
⎜� ⎥<br />
2<br />
⎟ (ver Figura <strong>16</strong>-6(b))<br />
⎣ ⎝ ⎠⎦<br />
Con bo 105,2 in. = y c1 = 12 in., resolvi<strong>en</strong>do se obti<strong>en</strong>e ℓv = 22,8 in.<br />
<strong>16</strong> - 27<br />
2d = 12"<br />
<strong>Corte</strong> A-A<br />
7,5"
Observar que este valor es una estimación conservadora, ya que Vu <strong>en</strong> el perímetro de la sección crítica es<br />
considerablem<strong>en</strong>te m<strong>en</strong>or que 119,8 kips.<br />
d. Para asegurar que el conector de corte no falla prematuram<strong>en</strong>te por flexión antes que se alcance la resist<strong>en</strong>cia<br />
al corte de la losa, determinar el mom<strong>en</strong>to plástico resist<strong>en</strong>te Mp de cada brazo del conector de corte.<br />
Vu ⎡ ⎛ c1<br />
⎞⎤<br />
φ Mp = ⎢hv +αv v −<br />
2<br />
⎜� ⎥<br />
η 2<br />
⎟<br />
Ec. (11-39)<br />
⎣ ⎝ ⎠⎦<br />
Para un conector de corte de cuatro brazos (idénticos), η = 4; suponi<strong>en</strong>do hv = 4 in. y αv = 0,25: 11.12.4.5<br />
119,8 ⎡ ⎛ 12 ⎞⎤<br />
φ Mp = ⎢4+ 0, 25 23,6 125,8<br />
2( 4<br />
⎜ − ⎥ =<br />
)<br />
2<br />
⎟ in.-kips<br />
⎣ ⎝ ⎠⎦<br />
φ = 0,90 (elem<strong>en</strong>to controlado por tracción) 9.3.2.1<br />
125,8<br />
Mp requerido = = 139,8 in.-kips<br />
0,9<br />
Int<strong>en</strong>tar con un conector de corte de acero A36 W4 × 13 (módulo plástico Z = 6,28in. )<br />
p x y<br />
( )<br />
M = Z f = 6,28 36 = 226,1 in.-kips > 139,8 in.-kips VERIFICA<br />
e. Verificar la limitación de altura para el conector de corte W4 × 13. 11.12.4.2<br />
( )<br />
70t = 70 0, 280 = 19,6 in. > h = 4,<strong>16</strong> in. VERIFICA<br />
w v<br />
f. Determinar la ubicación del ala comprimida del perfil de acero con respecto a la superficie comprimida de la<br />
losa, asumi<strong>en</strong>do un recubrimi<strong>en</strong>to de 3/4 in. y 2 capas de barras No. 5.<br />
0,3d = 0,3( 6) = 1,8 in. < 0,75 + 2( 0,625) = 2 in. NO VERIFICA<br />
Por lo tanto se deb<strong>en</strong> cortar las dos capas de barras No. 5 <strong>en</strong> el fondo de la losa.<br />
g. Determinar la relación de rigidez αv.<br />
Para el perfil W4 × 13:<br />
A = 3,83in.<br />
st<br />
I = 11,3in.<br />
s<br />
4<br />
2<br />
<strong>16</strong> - 28<br />
x<br />
3<br />
11.12.4.4
La As provista para Mu = 175 ft-kips consiste <strong>en</strong> barras No. 5 separadas 5 in.<br />
C<strong>en</strong>tro de gravedad del W4 × 13 desde la cara comprimida = 0,75 + 2 = 2,75 in.<br />
Ancho de losa efectivo = c2 + d = 12 + 6 = 18 in.<br />
Propiedades de la sección transformada:<br />
Es 29.000<br />
Para f 'c = 4000 psi, usar n = = = 8<br />
E 3605<br />
Acero transformado <strong>en</strong> hormigón equival<strong>en</strong>te:<br />
s<br />
( ) 2<br />
nA = 8 4× 0,31 = 9,92 in.<br />
st<br />
( ) 2<br />
nA = 8 3,83 = 30,64 in.<br />
c<br />
El eje neutro de la sección fisurada de la losa compuesta se puede obt<strong>en</strong>er igualando los mom<strong>en</strong>tos estáticos<br />
de las áreas transformadas.<br />
( )<br />
18 kd<br />
2<br />
2<br />
( ) ( )<br />
= 30,64 2,75− kd + 9,92 6− kd<br />
Resolvi<strong>en</strong>do se obti<strong>en</strong>e kd = 2,34 in.<br />
( )<br />
3<br />
18 2,34<br />
I compuesto = + n Is del perfil de acero + 9,92 3,66 + 30,64 0, 41<br />
3<br />
compuesto<br />
7,5"<br />
6"<br />
2,75"<br />
nA st = 30,64 in. 2<br />
( ) ( ) ( )<br />
4<br />
= 76,9 + 8( 11,3) + 132,9 + 5,2 = 305,4 in.<br />
nIs 8× 11,3<br />
α v = = = 0,30 > 0,15 VERIFICA<br />
I 305,4<br />
<strong>16</strong> - 29<br />
2<br />
nA s = 9,92 in.<br />
2 2<br />
kd = 2,34"<br />
Por lo tanto, el conector de corte W4 × 13 satisface todos los requisitos aplicables del código.<br />
12"<br />
18"<br />
c.g. (W4 x 13)<br />
eje<br />
neutro
Detalles finales de la armadura con conector de corte<br />
h. Determinar la contribución del conector de corte a la resist<strong>en</strong>cia al mom<strong>en</strong>to negativo de la franja de columna<br />
de la losa.<br />
M<br />
φα V ⎛ c ⎞<br />
2<br />
⎜� η 2<br />
⎟<br />
Ec. (11-40)<br />
⎝ ⎠<br />
v u 1<br />
v = v −<br />
#5 a 5"<br />
Barras #5 - Cortadas<br />
para colocar W4x13<br />
2´- 0"<br />
0,9 × 0,30× 119,8<br />
= ( 25 − 6) = 76,8 in.-kips = 6,4 ft-kips<br />
2× 4<br />
1´- 0"<br />
Sin embargo, Mv no debe ser mayor que Mp = 139,8 in.-kips ni mayor que 0,3 × 175 × 12 = 630 in.-kips, ni<br />
mayor que la variación del mom<strong>en</strong>to de la franja de columna <strong>en</strong> la longitud ℓv. Para este diseño,<br />
aproximadam<strong>en</strong>te 4% del mom<strong>en</strong>to negativo de la franja de columna de la losa se puede considerar resistido<br />
por la armadura de conectores de corte.<br />
<strong>16</strong> - 30<br />
Soldadura de p<strong>en</strong>etración<br />
completa todo alrededor (tip.)<br />
W4x13<br />
7,5"<br />
0,75" (tip.)<br />
11.12.4.9
Ejemplo <strong>16</strong>.4 – Resist<strong>en</strong>cia al corte de una losa con transfer<strong>en</strong>cia de mom<strong>en</strong>to<br />
Considerar un panel exterior (de borde) de un sistema de losa formado por placas planas soportado por una columna cuadrada de<br />
<strong>16</strong> in. de lado. Determinar la resist<strong>en</strong>cia al corte para transfer<strong>en</strong>cia de corte directo y mom<strong>en</strong>to <strong>en</strong>tre la losa y la columna. La altura<br />
total de la losa es h = 7,25 in. (d ≈ 6,0 in.). Asumir que para analizar la losa se utiliza el Método de Diseño Directo. Considerar dos<br />
condiciones de carga:<br />
1. Esfuerzo de corte mayorado total Vu = 30 kips<br />
Mom<strong>en</strong>to estático mayorado total Mo <strong>en</strong> el tramo final = 96 ft-kips<br />
2. Vu = 60 kips<br />
Mo = 170 ft-kips<br />
f 'c = 4000 psi<br />
fy = 60.000 psi<br />
Refer<strong>en</strong>cia<br />
Cálculos y discusión del Código<br />
1. Propiedades de la sección necesarias para calcular las t<strong>en</strong>siones de corte:<br />
En refer<strong>en</strong>cia a la Figura <strong>16</strong>-13, para flexión de una columna de borde perp<strong>en</strong>dicular al borde (Caso C),<br />
d 6<br />
b1 = c1+ = <strong>16</strong>+ = 19,0in.<br />
2 2<br />
b2 = c2 + d = <strong>16</strong>+ 6= 22,0in.<br />
o<br />
( )<br />
b = 2 19,0 + 22 = 60,0 in.<br />
2<br />
1<br />
b<br />
c =<br />
2b + b<br />
1 2<br />
( )<br />
2<br />
19,0<br />
= = 6,02 in.<br />
2× 19,0 + 22,0<br />
( ) 2<br />
A = 2b + b d = 360in.<br />
c 1 2<br />
( + ) + ( + )<br />
⎡<br />
J 2b d b 2b d 2b b ⎤<br />
=<br />
⎣ ⎦<br />
= 2508 in.<br />
c 6b<br />
2 3<br />
1 1 2 1 2 3<br />
c' = b1 − c = 19 − 6,02 = 12,98 in.<br />
J ⎛J⎞⎛ c ⎞ ⎛ 6,02 ⎞<br />
= 2508 1<strong>16</strong>3 in.<br />
c'<br />
⎜<br />
c<br />
⎟⎜ = ⎜ ⎟=<br />
c'<br />
⎟<br />
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝12,98⎠ 1<br />
3<br />
<strong>16</strong> - 31<br />
<strong>16</strong>"<br />
b = 19"<br />
1<br />
b 2=<br />
22"<br />
d/2 = 3"<br />
7,25"
2. Condición de carga (1), Vu = 30 kips, Mo = 96 ft-kips:<br />
a. Porción del mom<strong>en</strong>to no balanceado a ser transferido por exc<strong>en</strong>tricidad del corte. 11.12.6.1<br />
γ v = 1−γ<br />
f<br />
Ec. (11-39)<br />
Para los mom<strong>en</strong>tos no balanceados respecto de un eje paralelo al borde <strong>en</strong> los apoyos exteriores, el valor de γf<br />
se puede tomar igual a 1,0 siempre que Vu ≤ 0,75φVc.<br />
Vc = 4 f 'cbod Ec. (11-35)<br />
= 4 4000 × 60× 6,0 /1000 = 91,1 kips<br />
φ = 0,75 9.3.2.3<br />
0,75φ Vc = 0,75× 0,75× 91,1 = 51,2 kips > Vu = 30 kips<br />
Por lo tanto, todo el mom<strong>en</strong>to no balanceado <strong>en</strong> el apoyo se puede considerar transferido por flexión (es decir,<br />
γf = 1,0 y γv = 0). Observar que γf se puede tomar igual a 1,0 siempre que ρ d<strong>en</strong>tro del ancho de losa efectivo<br />
3h + c2 = 21,75 + <strong>16</strong> = 37,75 in. no sea mayor que 0,375ρb.<br />
b. Verificar la resist<strong>en</strong>cia al corte de la losa sin armadura de corte.<br />
T<strong>en</strong>sión de corte combinada a lo largo de la cara interior de la sección crítica de transfer<strong>en</strong>cia.<br />
Vu γvMuc<br />
30.000<br />
vu1 = + = + 0 = 83,3 psi<br />
A J 360<br />
c<br />
T<strong>en</strong>sión de corte admisible:<br />
( )<br />
φ v =φ 4 f ' = 0,75 4 4000 = 189,7 psi > v = 83,3 psi VERIFICA<br />
c c u1<br />
La resist<strong>en</strong>cia al corte de la losa es adecuada para la transfer<strong>en</strong>cia de corte y mom<strong>en</strong>to requerida <strong>en</strong>tre la losa<br />
y la columna.<br />
También se debe considerar el diseño para la porción del mom<strong>en</strong>to no balanceado transferido por flexión<br />
γfMu. En el Ejemplo 19.1 se utiliza el Método de Diseño Directo. En el Ejemplo 20.1 se utiliza el Método del<br />
Pórtico Equival<strong>en</strong>te.<br />
Para el Método de Diseño Directo γfMu = 1,0 × (0,26Mo) = 25 ft-kips a ser transferidos <strong>en</strong> el ancho efectivo<br />
de 37,75 in., siempre que d<strong>en</strong>tro del ancho de 37,75 in. ρ ≤ 0,375 ρb.<br />
3. Condición de carga (2), Vu = 60 kips, Mo = 170 ft-kips:<br />
a. Verificar la resist<strong>en</strong>cia al corte de la losa sin armadura de corte.<br />
Porción del mom<strong>en</strong>to no balanceado a ser transferida por exc<strong>en</strong>tricidad del corte. 11.12.6.1<br />
0,75φ Vc = 51, 2 kips < Vu = 60 kips<br />
13.5.3.3<br />
Por lo tanto, γ v = 1−γ<br />
f<br />
Ec. (11-39)<br />
<strong>16</strong> - 32<br />
13.5.3.3<br />
13.5.3.2<br />
13.6.3.3<br />
13.5.3.3
1 1<br />
γ f = = = 0,62<br />
2 b 2 19,0<br />
1+<br />
1+<br />
3 b 3 22,0<br />
1<br />
2<br />
γ v = 1− 0,62= 0,38<br />
Para el Método de Diseño Directo, el mom<strong>en</strong>to no balanceado Mu a utilizar <strong>en</strong> el cálculo de la t<strong>en</strong>sión de corte<br />
para la columna de borde = 0,3Mo = 0,3 × 170 = 51,0 ft-kips.<br />
T<strong>en</strong>sión de corte combinada a lo largo de la cara interior de la sección crítica de transfer<strong>en</strong>cia,<br />
v<br />
u1<br />
Vu γvMuc<br />
= +<br />
A J<br />
c<br />
60.000 0,38× 51,0 × 12.000<br />
= +<br />
360 2508<br />
= <strong>16</strong>6,7 + 92,7 = 259,4 psi<br />
φ vn = 189,7 psi < vu1 = 259, 4 psi NO VERIFICA<br />
Se debe proveer armadura de corte para resistir el exceso de t<strong>en</strong>sión de corte; proveer armadura compuesta<br />
por barras o bi<strong>en</strong> perfiles I de acero estructural o secciones con perfiles tipo canal (conectores de corte).<br />
Aum<strong>en</strong>tar la resist<strong>en</strong>cia al corte de la losa usando armadura <strong>en</strong> forma de barras.<br />
<strong>16</strong> - 33<br />
Ec. (13-1)<br />
b. Verificar la máxima t<strong>en</strong>sión de corte permitida con barras de armadura. 11.12.3.2<br />
Verificar la altura efectiva, d. 11.12.3<br />
Suponi<strong>en</strong>do estribos de barras No. 3 (db = 0,375 in.),<br />
d = 6 in. ≥<br />
vu1 ≤φ 6 f 'c<br />
n<br />
( )<br />
φ v = 0,75 6 4000 = 284,6 psi<br />
vu1 = 259,4 psi
A<br />
v<br />
=<br />
( −φ )<br />
v v b s<br />
u1 c o<br />
φf<br />
y<br />
donde bo es el perímetro de la sección crítica ubicada a una distancia d/2 del perímetro de la columna:<br />
o<br />
( )<br />
b = 219+ 22= 60in. y<br />
d<br />
s = = 3,0in.<br />
2<br />
( 259, 4 − 94,9) × 60× 3,0<br />
2<br />
Av= = 0,66in.<br />
0,75× 60.000<br />
Av es el área total de armadura de corte requerida <strong>en</strong> los tres lados de la columna.<br />
0,66<br />
Av (por lado) = = 0, 22 in.<br />
3<br />
2<br />
Usar estribos cerrados No. 3 con una separación de 3,0 in. (Av = 0,22 in. 2 ).<br />
Se puede realizar una verificación s<strong>en</strong>cilla de los cálculos. Para estribos cerrados No. 3 con una separación de<br />
3,0 in.:<br />
⎛ Af ⎞<br />
φ v + v =φ 2 f ' +<br />
( )<br />
v y<br />
c s ⎜ c ⎟<br />
bos ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
( )<br />
⎛ 3× 0,22 × 60.000 ⎞<br />
= 0,75⎜24000 +<br />
⎜<br />
⎟<br />
60× 3,0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
= 0,75 ( 126,5 + 220,0) = 259,9 psi > vu1 = 259, 4 psi VERIFICA<br />
e. Determinar la distancia a partir de los lados de la columna donde pued<strong>en</strong> terminar los estribos.<br />
<strong>16</strong> - 34<br />
Ec. (4)<br />
Ec. (11-41)<br />
Vu ≤φ Vc<br />
11.12.3.1<br />
φ Vc =φ 2 f 'cbod donde b = 2a 2 + ( 3× <strong>16</strong>)<br />
o<br />
60.000 ≤ 0,75 × 2 4000 ( 2a 2 + 48) 6,0<br />
Resolvi<strong>en</strong>do, a = 20,3 in.<br />
Observar que este valor es una estimación conservadora, ya que Vu <strong>en</strong> el perímetro de la sección crítica<br />
considerada es considerablem<strong>en</strong>te m<strong>en</strong>or que 60 kips.<br />
No. de estribos requeridos = (20,3 – d/2)/3,0 = 5,8<br />
(Los estribos pued<strong>en</strong> terminar a d/2 = 3,0 del perímetro bo)
Usar 6 estribos cerrados No. 3 con una separación de 3,0 in. a lo largo de los tres lados de la columna.<br />
Detallar los estribos de manera similar al Ejemplo <strong>16</strong>.3.<br />
3"<br />
<strong>16</strong>"<br />
3" (tip.)<br />
a<br />
bo<br />
a 2<br />
<strong>16</strong> - 35<br />
d/2<br />
<strong>16</strong>"