1. Concepto intrínseco de tensor 2. Ejemplos importantes de ...

Teoría de Campos- Capítulo 1 -
Sección 1.2 - Álgebra tensorial
intrínseca
1.2 ÁLGEBRA TENSORIAL INTRÍNSECA
1. Concepto intrínseco de tensor
Los tensores son tipos especiales de aplicaciones lineales definidas en (espacio
inicial), que tienen interés en Física (de los medios continuos). Su naturaleza
como apl. lin. viene determinada por el espacio final, que les confiere el llamado
orden tensorial, que les clasifica por categorías como se verá.
2. Ejemplos importantes de tensores descritos
intrínsecamente. Producto tensorial de vectores
3. Operaciones de e.v. entre tensores: los espacios
tensoriales
4. Contracción “· “ o producto contraído de tensores
5. Producto tensorial “” de tensores
Cuadro-resumen §1.2
1.2 a) Concepto intrínseco de tensor
1. tensores de orden 0: son las apl. lineales más simples: las func. f : , de la forma f(x) = x. Se
puede identificar f con el escalar = f(1), que determina f.
Así se define : (0) : (;)
Ejemplo: la dilatación térmica lineal de un hilo es proporcional al incremento de temperatura y a la
longitud inicial, por un coeficiente de dilatación: L LT LT αL
0 T
T
0
2. tensores de orden 1: son las apl. lin. de la forma f : .
Así se define : (1) : (;) = (; (0) ) * 2ó3 (obs: (1) := (; (0) ) )
Ejemplos: 1) El incremento de cota z desde un pto. P de una ladera, z = h(x,y), cuando te desplazas una
magnitud r = x i + y j es aprox. el prod. esc. del gradiente de la ladera, h(P), por el vec.
desplazamiento desde el punto, r ; o sea: z h(P)·r. La forma lineal h(P)· es un tensor de
primer orden.
2) Asociando un vector cualquiera a con el producto escalar "·" en la forma a· se obtiene un tensor de
orden 1 siempre que definamos (a·)(x) := a·x, que es una acción lineal sobre los x y produce escalares,
luego: a· : → / x → a·x es un tensor de orden 1, o sea a· (1) y se llama mónada asociada al
vector a (o covector asociado). El ejemplo anterior es un caso particular de éste.
Todos los tensores de primer orden son en realidad mónadas (o co-vectores) del tipo a· (pues la
asociación a → a· es el isomorfismo canónico entre y * = (1) )
Ejemplo: La proyección (escalar) sobre una dirección dada por su versor e es la mónada e· , ya que e·x
es el valor escalar de la proyección de x sobre ({e}).
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3.tensores de orden 2: (2) := (; (1) ) (;) nn () , (n = 2 ó 3)
Ejemplo 1: díada o prod. tensorial de dos vectores: a, b , se define ab: /
(ab)·x := a (b·x). El tensor de 2º orden (¿lo es) ab se llama díada de antecedente a y de
consecuente b; la oper. “” se llama producto tensorial.
Por ejemplo, ee es el tensor proyección (vector) sobre el eje de versor e, o sea ({e})
Ejemplo 2: Tensor unidad o tensor métrico: Es la aplicación lineal identidad, que se describe
así: 1 : / "xÎ: 1·x = x. Se tiene 1Î (2) , pq. es lineal y produce vectores.
Ejemplo 3: tensor axial: Si un sólido gira en el espacio alrededor de un eje e con una
velocidad angular , cada punto P tiene una velocidad v(P) = × r(P) , siendo = e y
r(P) = OP , el vector posición respecto a un punto O del eje, origen. La velocidad del punto
v(P) es el resultado de una aplicación lineal, común a todos los puntos del sólido, que actúa
sobre el vector posición de cada punto. Omitiendo P se tiene:
v = f(r) = × r → se define el tensor: W := ×
resultando que P : v(P) = W·r = ×r(P)
Así se considera el tensor W, que actúa linealmente sobre cada r, y será W = × (2) . (*)
Se generaliza el concepto de tensor axial a× para cualquier vector a, llamado eje o vector
axial del tensor a×
Ejemplo 4: Tensor de inercia : I(P) / h(P) = I(P)·, con h = mom. cinét. ang. = momento de
la cantidad de mvto. = r×(mv) ; y resultando así que debe ser I(P) = m (r 2 1 rr)
Tensores de orden superior
El proceso de definición de espacios tensoriales continúa por inducción:
4. tensores de orden 3: apl. lin. de la forma B : (2) / x → B·x (2)
Así, se define: (3) := (; (2) )
Ejemplo 1: El tensor de permutación, E, se define v por hacer:
E·v := v× (2)
Es un tensor de tercer orden, pq. es lineal (sobre v) y produce tensores de 2º
orden.
Ejemplo 2: Tríadas o prod. tensorial de tres vectores: abc, definidas por
actuar así:
x : (abc)·x := ab (c·x). (de nuevo, se contrae lo contiguo)
Probar que es un tensor de 3er. orden.
5. tensores de orden arbitrario pÎ: son las apl. lin. de L(; (p1) ):
U (p) U : (p1) / U·x (p 1) (lineal)
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1.2 b) OPERC. de e.v. con tensores: suma y múltiplo esc.
Las operaciones primeras en los esp. tens. son las de las apl. lineales. Se recuerda:
b.1) Igualdad de tensores (intrínseca): Dos tensores del mismo orden p son iguales si lo son como
aplicaciones, es decir,
S = T uÎ : S·u = T·u
obs.: los tensores se identifican intrínsecamente por su actuación sobre un vector genérico, u, v, x , …
b.2) Suma y múltiplo escalar: Las definiciones correspondientes para apl. lin. son:
1.Def. de S + T : "S, T Î (p) : (S + T)·x := S·x + T·x, "xÎ.
2.Def. de T : "TÎ (p) , "Î : (T)·x := (T·x), donde se supone definido el múltiplo escalar de
tensores de orden p–1 (inducción matemática)
Así se tiene:
Teorema: Todos los conjuntos (p) tienen estructura de esp. vect. de dim. n p (n = 2 ó 3) sobre con
estas dos operaciones; se llaman espacios tensoriales.
Ejemplos: 1) formas diádicas = comb. lin. de díadas (veremos: todo tensor de (2) es una forma
diádica).
2) formas triádicas y formas poliádicas: comb. lin. de tríadas o políadas: generalizan lo anterior a (3)
y (p).
3) Expresar el tensor 1 como una forma diádica (usando una base canónica para formar las díadas
adecuadas). Resulta: 1 = ii + jj + kk (= suma de las tres proyecciones a los ejes canónicos)
4) Identificar (intrínsecamente) el tensor A := ab ba . Resulta: ab ba = (b×a)×
1.2 b.3) Contracción tensorial o producto contraído
Definición: Si TÎ (p) y UÎ (q) se define la contracción T·U por inducción
sobre q = orden tensorial del posfactor
1. Si q = 1, U es en realidad un vector u y T·u es la imagen de u por acción
del tensor T. Se llama tb. contracción de T con u, como vimos.
2. Si q = 2, U Î (2) y la acción de T·U se define sobre "xÎ
(T·U)·x := T·(U·x), esto último ya definido pues U·x Î , "xÎ.
(coincide con la composición de las aplicaciones lineales T con U.
3. Si q = 3, U Î (3) y T·U se define como antes:
(T·U)·x := T·(U·x), esto último ya definido pues U·x Î (2) , "xÎ.
4. Supuesto definido hasta el orden q – 1, se define análogamente para q
(inducción completa). ¿Cuál es el orden tens. de T·U
NOTA Esta definición no es la forma operativa u ordinaria de calcular T · U : la teoría tiene
pendiente desarrollar las operaciones en componentes tensoriales. Aún así:
Ejemplos: Aplicando la def. intrínseca, calcular la contracción en los casos: u · (ab) ,
a · (u×) , (ab) · (uv) , (abc) · (uv). ¿Regla para contraer políadas ¿Orden tensorial
del producto contraído de tensores
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Propiedades de la contracción tensorial:
1. No es conmutativa y sólo es uniforme en (2) : orden (T 1·T 2 ) = p 1 + p 2 2
2. ley asociativa: el orden de S (el factor reagrupado) debe ser 2:
R·(S·T) = (R·S)·T = R·S·T
3. leyes distributivas: R·(S+T) = R·S + R·T ; (R + S)·T = R·T + S·T
4. linealidad frente al múltiplo escalar: R·(S) = (R)·S = (R·S)
N.: las dos anteriores equivalen a la bilinealidad de la contracción tens. o pr. contraído.
5. El elemento unidad para el producto contraído es el tens. identidad 1 (2)
1·T = T·1 = T , T de cualq. orden
6. Elem. inverso sólo de tens. regulares o automorf.: {T (2) / kerT = {0}}
Treg. (2) T –1 (2) / T·T –1 = T –1·T = 1
N.: El Grupo Lineal de Transformaciones: (n;) := ut() (n = 2ó3)
7. Leyes de potenciación: definiendo: T 0 := 1 , y, por inducción sobre m,
T m := T m–1 · T (siendo m y n enteros no negativos), se cumplen:
T m · T n = T m+n ; (T m ) n = T mn
Ejemplos: 1) Calcular intrínsecamente (ab) n (potencia n por la contracción) siendo n natural.-
2) Dado un vector unitario e calcular en términos intrínsecos el tensor T tal que T·x es la
proyección de x sobre el plano {e} . N.: Pueden hacerse PR1, ejercicios 1 y 2.
1.2 c) Producto tensorial de vectores y de políadas
Definición: Elproducto tensorial (o directo) de dos vectores se define como la
relación binaria: : (2) /(a, b) ab
Resulta que es una operación bilineal en , o sea:
(a 1 + a 2 )b = a 1 b + a 2 b
y análogo en el posfactor. Sin embargo, no es conmutativa.
Definición: Elproducto tensorial de tres vectores a, b, c, entendido como
operación ternaria, se define mediante las tríadas:
: (3) /(a,b,c) abc
Resulta trilineal y no conmutativa.
Nota: es equivalente definir la tríada como el producto de la díada ab por () el vector c, o
de a por la díada bc, lo que constituye la propiedad asociativa del producto tensorial:
(ab)c = a(bc)=abc
Generalización: Se puede multipl. cualq. p-íada con cualq. q-íada resultando
una (p+q)-íada. La oper. es multilineal (lineal en cada factor) y asociativa y
puede afectar a un núm. arbitrario de pre- y pos-factores. No es conmutativa.
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1.2 d) Otros ejemplos
Ejemplo: Tensor de inercia : Sea el sólido que gira en el espacio alrededor de un eje e con
una velocidad angular , ya considerado. Sabiendo que el tensor de inercia, I(P), actúa sobre
el vector velocidad angular del sólido de forma que se cumple
h(P) = I(P)·,
siendo
h(P) = r(P)×(dmv(P))
momento cinético angular (o momento de la cantidad de movimiento) de la partícula de de
masa dm ubicada en la posición de P, probar que
I(P) = dm (r 2 1 rr)
solución: ...
Práctica 1: pueden hacerse ejercicios 1 y 2.
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