Fractales autosemejantes
Fractales autosemejantes
Fractales autosemejantes
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GEOMETRÍA DE LO<br />
IRREGULAR<br />
"He encontrado la<br />
fuerza esencial de la<br />
geometría y temo que<br />
nuestros jóvenes hayan<br />
sido privados<br />
demasiado tiempo de<br />
este placer"
Por qué se suele<br />
ecir que la<br />
eometría es fría y<br />
spera En parte,<br />
or su incapacidad<br />
ara describir la<br />
orma de una nube,<br />
e una montaña, de<br />
na costa o de un<br />
rbol. Las nubes no<br />
on esferas, las<br />
ontañas no son<br />
onos, las costas<br />
o son círculos, …
es que la<br />
turaleza exhiba<br />
grado mayor de<br />
mplejidad, sino<br />
e presenta un<br />
vel<br />
mpletamente<br />
ferente de<br />
mplejidad”.<br />
andelbrot, 1977).
Mandelbrot desarrolló la<br />
GEOMETRÍA FRACTAL,<br />
término acuñado por él,<br />
que designa objetos<br />
geométricos de estructura<br />
irregular presentes en<br />
muchos comportamientos y<br />
formas de la naturaleza
Rasgos característicos<br />
La simplicidad de<br />
su construcción.<br />
La aparente<br />
complejidad del<br />
producto final.
ntecedentes de los fractales<br />
Construcciones<br />
intuitivas:<br />
El conjunto de<br />
Cantor.<br />
Curvas continuas de<br />
propiedades<br />
sorprendentes :<br />
curva de Koch,<br />
curva de Hilbert…
El conjunto de Cantor<br />
(1845-1918)
El conjunto de Cantor<br />
ue descrito en<br />
883 por George<br />
antor, pero fue<br />
encionado en 1875<br />
posiblemente<br />
ntes) por el<br />
atemático irlandés<br />
enry Shmith.
El conjunto de Cantor<br />
• Se parte de un segmento de longitud 1<br />
• Se divide el segmento inicial en tres<br />
partes iguales<br />
• Se elimina la parte central<br />
• Se repite el proceso sobre cada<br />
segmento obtenido
Curva de Koch
Curva de Koch<br />
Es una curva del<br />
Plano, continua en<br />
todos sus puntos y no<br />
diferenciable en<br />
ninguno
Curva de Koch<br />
e parte de un<br />
egmento de lado 1.<br />
e divide el segmento<br />
n 3 partes iguales.<br />
e elimina el segmento<br />
entral.<br />
e sustituye por dos<br />
egmentos con ángulo<br />
0º.
Isla de Koch<br />
construcción de<br />
isla de Koch<br />
mienza con un<br />
ángulo equilátero,<br />
que aplicamos un<br />
oritmo análogo al<br />
scrito para la<br />
rva, a cada uno<br />
sus lados.
Longitud<br />
la etapa k disponemos de 3·4 k segmentos,<br />
longitud 3 -k cada uno de ellos. Así, la<br />
gitud total de la curva en esa etapa<br />
3·(4/3) k .<br />
evidente que esta cantidad crece<br />
efinidamente cuando k→∞
Área<br />
designamos con Δ el área del triángulo de<br />
rtida, el área de la figura obtenida en la etapa<br />
e escribe<br />
A<br />
k<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 k 1<br />
i<br />
4<br />
1 3 9<br />
<br />
<br />
i0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
yo límite, cuando k→∞, es<br />
8<br />
5
La curva de Hilbert
La curva de Hilbert<br />
La curva de<br />
Hilbert pertenece<br />
a un tipo de<br />
curvas que<br />
pasan por todos<br />
los puntos de un<br />
cuadrado de lado<br />
la unidad
La curva de Hilbert<br />
Es una curva del<br />
plano,continua<br />
en todos los<br />
puntos, no<br />
diferenciable en<br />
ningúno y de<br />
longitud infinita.
<strong>Fractales</strong> <strong>autosemejantes</strong><br />
) Cada una de sus<br />
artes es semejante<br />
l todo, repitiéndose<br />
ste proceso<br />
ndefinidamente.
Su estructura, forma y características<br />
rmanecen constantes al variar la escala<br />
observación
Triángulo de Sierpinski
Triángulo de Sierpinski<br />
Se parte de un triángulo equilátero T 0 , de<br />
lado unidad.<br />
Se halla el punto medio de cada lado de T 0 .<br />
Se unen dichos puntos dando lugar a<br />
triángulos semejantes a T 0 , de lado 1/2<br />
Se elimina el triángulo central.<br />
Se repite el proceso ilimitadamente sobre
Triángulo de Sierpinski
Triángulo de Sierpinski
Triángulo de Sierpinski
Triángulo de Sierpinski
Triángulo de Sierpinski
Triángulo de Sierpinski
Contemos y midamos<br />
En el paso k-ésimo, F, tendrá 3 k<br />
triángulos con:<br />
Longitud del lado:<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
2<br />
k<br />
<br />
<br />
<br />
Altura:<br />
<br />
<br />
<br />
k<br />
1<br />
3<br />
<br />
2<br />
2
Área<br />
i definimos el área de F como la suma<br />
e las áreas de todos los triángulos<br />
ue componen F, este conjunto tiene<br />
rea :<br />
k<br />
k<br />
11<br />
3<br />
AF ( ) 3<br />
22 2 <br />
<br />
k<br />
k
k <br />
Longitud<br />
efinimos la longitud de F como la<br />
uma de los perímetros de todos los<br />
riángulos que componen F, este<br />
onjunto tiene longitud :<br />
1<br />
<br />
LF ( ) 3 3<br />
2<br />
<br />
k<br />
k
Semejanzas<br />
ransformaciones ortogonales<br />
omotecias<br />
omposición de transformaciones<br />
rtogonales con homotecias
Conjuntos semejantes<br />
y F’ son<br />
emejantes si existe<br />
na semejanza que<br />
ransforme F en F’
Conjuntos <strong>autosemejantes</strong><br />
conjunto F del plano es<br />
tosemejante si existen semejanzas<br />
,…,g n de razones k 1 ,…,k n menores que<br />
o tales que<br />
F g1 ( F ) ... gn<br />
( F )
Triángulo de Sierpinski<br />
Las semejanzas que<br />
dan lugar al triángulo<br />
de Sierpinski T 1<br />
T 0<br />
• Homotecias de razón<br />
½ con centro en en<br />
cada uno de los<br />
vértices del T 0
T g ( T ) g ( T ) g<br />
( T )<br />
1 1 0 2 0 3 0
Dimensión de Haussdorf<br />
ra un conjunto autosemejante del<br />
no,<br />
F g ( ) ... ( )<br />
1<br />
F gn<br />
F<br />
n g 1 ,…,g n semejanzas de razones k 1<br />
,k n menores que uno, definimos la<br />
ensión de Haussdorf de F como la<br />
lución de la ecuación
Dimensión de Haussdorf<br />
las razones de semejanzas son todas<br />
ales a k entonces la dimensión es<br />
k<br />
<br />
log<br />
log<br />
n<br />
k
urva de Koch:<br />
log4/log3=1,262<br />
Dimensión fractal<br />
onjunto de Cantor:<br />
log2/log3=0,62093<br />
riángulo de Sierpinski:<br />
log3/log2=1,58496
de c es un determinado número fijo.<br />
tiendo del cero como número inicial, la serie<br />
erada por este método puede ser<br />
vergente o divergente, y eso dependerá del<br />
Conjunto de Mandelbrot<br />
ndelbrot estudió la convergencia y la<br />
ergencia de procesos iterativos en el plano<br />
plejo<br />
2<br />
n1<br />
n<br />
<br />
z z c
Conjunto de Mandelbrot<br />
l representar los<br />
istintos valores de<br />
, coloreados<br />
egún las serie<br />
onverja o diverja,<br />
btenemos el<br />
onjunto de<br />
andelbrot
Conjunto de Mandelbrot<br />
án representados<br />
egro todos los<br />
res posibles de c<br />
dan lugar a series<br />
vergentes y en<br />
s colores los<br />
res que causan<br />
rgencia, variando<br />
nalidad del color<br />
ún la velocidad de<br />
rgencia.
¿Qué es un fractal<br />
nneth Falconer, en su obra titulada “Fractal<br />
eometry: Mathematical Foundations and<br />
pplications” (John Wiley and Sons, 1990),<br />
escribe un concepto de estructura fractal<br />
F’ como la que satisface alguna(s) de las<br />
ropiedades siguientes:
) “F” posee detalle a todas las escalas de<br />
servación.<br />
) No es posible describir “F” con<br />
eometría Euclidiana, tanto local como<br />
obalmente.<br />
) “F” posee alguna clase de<br />
tosemejanza, posiblemente estadística.<br />
) La dimensión fractal de “F” es mayor que<br />
dimensión topológica.
Arquitectura fractal
H. Vöth
ater cubo, Libeskind