Ejercicios Tema 2. Conjuntos, aplicaciones y grafos - QueGrande

Matemática Discreta, curso 2010–2011
Ejercicios Tema 2. Conjuntos, aplicaciones y grafos
1. Describe los siguientes conjuntos dando una lista de sus elementos:
(a) El conjunto de los enteros no negativos tales que su doble es menor que 11.
(b) B = {x tales que x ∈ Z y x 2 < 12}.
(c) C = {cadenas de longitud menor o igual que 2 formadas con el alfabeto {0, 1}}.
(d) El conjunto de soluciones reales x de la ecuación x 2 + 1 = 0.
Matemática Discreta. Área de Álgebra
Universidade da Coruña
2. Consideremos el alfabeto A = {0, 1} y los conjuntos B = {01, 110, 011, 0} y
C = {cadenas de longitud menor o igual que tres formadas con el alfabeto A}.
Indica si es verdadera o falsa cada una de las afirmaciones siguientes:
a) B = C b) 0 ∈ B c) {01} ⊆ B d) 1 ∈ B e) ∅ ⊆ B f) ∅ ∈ B
3. Completa cada apartado escribiendo ∈ ó ⊆ en lugar de □
(a) {2} □ {1, 2, 3}
(b) 2 □ {1, 2, 3}
(d) {2} □ Z
(e) {2} □ P(Z)
(g) {2} □ {{1}, {2}, {3}}
(h) ∅ □ {1, 2, 3}
(c) N □ Z
(f) {2} □ {1, 2, {1}, {2}}
4. (a) Encuentra un contraejemplo de la afirmación siguiente:
Si A ∩ C = B ∩ C, entonces A = B.
(b) Demuestra que si (A ∩ C) ⊆ (B ∩ C) y (A ∩ C ′ ) ⊆ (B ∩ C ′ ), entonces A ⊆ B.
5. Prueba las siguientes afirmaciones:
(a) P ∪ (P ∩ Q) = P
(b) P ∪ Q = P ⇔ Q ⊆ P
(c) P ∩ Q = P ∪ Q ⇔ P = Q
6. Sea A = {1, 2, 3, 4} y R la relación definida para a, b ∈ A por:
atRb si y sólo si a < b + 2.
(a) Escribe los pares que forman la relación R y estudia sus propiedades.
(b) Calcula la relación recíproca R −1 = {(a, b) tales que (b, a) ∈ R}.
(c) Calcula su relación complementaria:
R c = {(a, b) tales que (a, b) /∈ R}.
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7. Estudia las siguientes relaciones binarias definidas en el conjunto Z:
(a) x R y ⇔ xy > 0. (b) x R y ⇔ xy ≥ 0.
8. Sean A el conjunto de los enteros positivos divisores de 48 y R la relación en A:
aRb ⇔ b es un múltiplo de a.
(a) Representar el diagrama de Hasse de R en A.
(b) Halla los elementos destacados de B en los siguientes casos:
i. B = {2, 4, 6, 12},
ii. B = {3, 6, 8, 16}.
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9. Sea R la relación en el conjunto A = Z × Z, definida por
(x, y)R(z, t) si, y sólo si, x + t = y + z.
(a) Prueba que es una relación de equivalencia y
(b) Calcula la clase de equivalencia de (0, 0).
10. Prueba que la siguiente relación R definida en A = {1, 2, 3, 4, 5} es de equivalencia
y calcula las clases de equivalencia
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3,1), (2,3), (3, 3), (4, 4),(3, 2), (5, 5)}.
11. Considera A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30, 60} y la relación
xRy ⇔ x es divisor de y.
(a) Dibuja el diagrama de Hasse del conjunto A para la relación R.
(b) Halla los elementos maximales, minimales y cotas de B = {3, 4, 5, 6, 30} en A.
12. Halla los elementos destacados de B en los siguientes casos:
(a) B = {2, 4, 6, 12}, (b) B = {3, 6, 8, 16}.
13. Sea A = {001, 111, 010, 011, 000, 100}. Representa el diagrama de Hasse correspondiente
a la relación de orden R en los siguientes casos:
(a) R es el orden lexicográfico de las cadenas de bits basado en el orden 0 < 1. Es
decir,
abcRdef ⇔ a < b ó (a = d y b < e) ó
(a = d y b = e y c < f) ó (a = d y b = e y c = f).
(b) R es el orden dado por abcRdef si y sólo si a ≤ d y b ≤ e y c ≤ f.
14. Sea X un conjunto no vacío, (N, ≤) el conjunto de los números naturales con el orden
usual y f : X → N una aplicación. Se define en X la realción xRy ⇔ f(x) ≤ f(y).
Demuestra que :
(a) la relación R no es necesariamente una relación de orden.
(b) R es una relación de orden si la aplicación f es inyectiva.
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15. Determina si la aplicación f : A → A es inyectiva y/o sobreyectiva para A = Z:
(a) f(x) = x + 7
(b) f(x) = 2x − 3
(c) f(x) = −x 2 + x
(d) f(x) = x 3
Estudia los mismos casos para A = R.
16. Sea f : {a, b, c} → {a, b, c} la aplicación definida por f = {(a, b), (b, a), (c, b)}.
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(a) Escribe f ◦ f y f ◦ f ◦ f como conjunto de pares ordenados.
(b) Calcula f 9 y f 623 .
⎛ ⎞
0 1 2 0
17. Si la matriz de adyacencia del grafo G es M = ⎜1 0 0 1
⎟
⎝2 0 0 1⎠
0 1 1 1
(a) Qué vértices tienen grado 3
(b) Qué vértices tienen grado par
⎛ ⎞
0 1 1 0
18. Consideremos G el grafo con matriz de adyacencia A = ⎜1 0 0 1
⎟
⎝1 0 0 1⎠
0 1 1 0
(a) Calcula los caminos de longitud 3 desde v 1 a v 2 .
(b) Justifica si G es o no conexo.
19. La figura representa el diagrama de Hasse para un conjunto parcialmente ordenado
A.
10
9 11
12
7
8
4
5
6 13
2 3
1
Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, para B = {4, 5, 6, 7, 8} ⊆
A,
(a) 7 es maximal de B y 12 es cota superior de B en A.
(b) 5 es maximal de B y 1 un mínimo de A.
(c) 5 es minimal de B y 10 maximal de A.
(d) 1 es cota inferior de B en A y 1 es un mínimo de A.
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20. Consideremos el grafo G :
d
a
• •
b
f
e
g
c
j
h
t
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(a) Seleciona los caminos y los circuitos entre las siguientes listas de vértices:
i. aebcb
ii. ebac
iii. cbeaed
iv. ghg
(b) Calcula los grados de los vértices
(c) Calcula la matriz de adyacencia de G.
(d) Calcula las componentes conexas de G.
(e) Justifica que H : a b c
un árbol.
d
(f) Da ejemplos de subgrafos de G que sean circuitos.
e
es un subgrafo de G y que además es
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