Ejemplos de convolución discreta. - Universidad de Valladolid

Tema 3. Convoluciones continuas y discretas
Ejemplos de cálculo gráfico
Ingeniería de Telecomunicación
Universidad de Valladolid
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 1 / 15

Contenidos
1 Convoluciones discretas
Definición y Propiedades
Ejemplos
2 Convoluciones continuas
Definición y Propiedades
Ejemplos
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 2 / 15

Contenidos
1 Convoluciones discretas
Definición y Propiedades
Ejemplos
2 Convoluciones continuas
Definición y Propiedades
Ejemplos
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 3 / 15

Convolución discreta. Definición y propiedades
Definición
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
−∞
Propiedades
Elemento neutro: x[n] ∗ δ[n] = x[n]
Conmutativa: x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n]
Asociativa:
x[n] ∗ (h 1 [n] ∗ h 2 [n]) = (x[n] ∗ h 1 [n]) ∗ h 2 [n] = (x[n] ∗ h 2 [n]) ∗ h 1 [n] = x[n] ∗ h 1 [n] ∗ h 2 [n]
Distributiva: x[n] ∗ (h 1 [n] + h 2 [n]) = x[n] ∗ h 1 [n] + x[n] ∗ h 2 [n]
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 4 / 15

Convolución discreta. Definición y propiedades
Definición
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
−∞
Propiedades
Elemento neutro: x[n] ∗ δ[n] = x[n]
Conmutativa: x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n]
Asociativa:
x[n] ∗ (h 1 [n] ∗ h 2 [n]) = (x[n] ∗ h 1 [n]) ∗ h 2 [n] = (x[n] ∗ h 2 [n]) ∗ h 1 [n] = x[n] ∗ h 1 [n] ∗ h 2 [n]
Distributiva: x[n] ∗ (h 1 [n] + h 2 [n]) = x[n] ∗ h 1 [n] + x[n] ∗ h 2 [n]
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 4 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 1
x[n] = 1 δ[n] + 2δ[n − 1]
2
h[n] = u[n] − u[n − 3]
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[n]
2
h[n]
1
1
2
n
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −2 −1 0 1 2 3 4
n
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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 1
x[n] = 1 δ[n] + 2δ[n − 1]
2
h[n] = u[n] − u[n − 3]
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
2
h[n]
1
1
2
k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −2 −1 0 1 2 3 4
n
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 5 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 1
x[n] = 1 δ[n] + 2δ[n − 1]
2
h[n] = u[n] − u[n − 3]
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
2
h[k]
1
1
2
k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −2 −1 0 1 2 3 4
k
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 5 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 1
x[n] = 1 δ[n] + 2δ[n − 1]
2
h[n] = u[n] − u[n − 3]
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
2
h[k]
1
1
2
k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −2 −1 0 1 2 3 4
h[k + n]
k
1
k
−n −n + 2
−n + 1
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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 1
x[n] = 1 δ[n] + 2δ[n − 1]
2
h[n] = u[n] − u[n − 3]
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
2
h[k]
1
1
2
k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −2 −1 0 1 2 3 4
h[n − k]
h[k + n]
k
k
1
k
n − 2
n − 1
n
−n −n + 2
−n + 1
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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 1
x[n] = 1 δ[n] + 2δ[n − 1]
2
h[n] = u[n] − u[n − 3]
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
2
h[k]
1
1
2
k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −2 −1 0 1 2 3 4
h[n − k]
k
1
n
n − 2
n − 1
y[n]
k
• n < 0, y[n] = 0
n
n
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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 1
x[n] = 1 δ[n] + 2δ[n − 1]
2
h[n] = u[n] − u[n − 3]
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
2
h[k]
1
1
2
k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −2 −1 0 1 2 3 4
h[n − k]
k
1
−3 −2 −1 0 1 2 3 4
y[n]
k
• n < 0, y[n] = 0
∑
• n = 0, y[0] =
∞ x[k]h[0 − k] = x[0]h[0] = 1 2
k=−∞
1
2
−2 −1 0
n
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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 1
x[n] = 1 δ[n] + 2δ[n − 1]
2
h[n] = u[n] − u[n − 3]
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
2
h[k]
1
1
2
k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −2 −1 0 1 2 3 4
h[n − k]
k
1
−3 −2 −1 0 1 2 3 4
y[n]
5
2
k
• n < 0, y[n] = 0
∑
• n = 0, y[0] =
∞ x[k]h[0 − k] = x[0]h[0] = 1 2
k=−∞
∑
• n = 1, y[1] =
∞ x[k]h[1 − k] = x[0]h[1] + x[1]h[0] = 5 2
k=−∞
1
2
−2 −1 0
1
n
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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 1
x[n] = 1 δ[n] + 2δ[n − 1]
2
h[n] = u[n] − u[n − 3]
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
2
h[k]
1
1
2
k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −2 −1 0 1 2 3 4
h[n − k]
k
1
−3 −2 −1 0 1 2 3 4
y[n]
5
2
k
• n < 0, y[n] = 0
∑
• n = 0, y[0] =
∞ x[k]h[0 − k] = x[0]h[0] = 1 2
k=−∞
∑
• n = 1, y[1] =
∞ x[k]h[1 − k] = x[0]h[1] + x[1]h[0] = 5 2
k=−∞
∑
• n = 2, y[2] =
∞ x[k]h[2 − k] = x[0]h[2] + x[1]h[1] = 5 2
k=−∞
1
2
n
−2 −1
0
1
2
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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 1
x[n] = 1 δ[n] + 2δ[n − 1]
2
h[n] = u[n] − u[n − 3]
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
2
h[k]
1
1
2
k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −2 −1 0 1 2 3 4
h[n − k]
k
1
−3 −2 −1 0 1 2 3 4
y[n]
5
2
2
k
• n < 0, y[n] = 0
∑
• n = 0, y[0] =
∞ x[k]h[0 − k] = x[0]h[0] = 1 2
k=−∞
∑
• n = 1, y[1] =
∞ x[k]h[1 − k] = x[0]h[1] + x[1]h[0] = 5 2
k=−∞
∑
• n = 2, y[2] =
∞ x[k]h[2 − k] = x[0]h[2] + x[1]h[1] = 5 2
k=−∞
∑
• n = 3, y[3] =
∞ x[k]h[3 − k] = x[1]h[2] = 2
k=−∞
1
2
n
−2 −1
0
1
2
3
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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 1
x[n] = 1 δ[n] + 2δ[n − 1]
2
h[n] = u[n] − u[n − 3]
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
2
h[k]
1
1
2
k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −2 −1 0 1 2 3 4
h[n − k]
k
1
−3 −2 −1 0 1 2 3 4
y[n]
5
2
2
k
• n < 0, y[n] = 0
∑
• n = 0, y[0] =
∞ x[k]h[0 − k] = x[0]h[0] = 1 2
k=−∞
∑
• n = 1, y[1] =
∞ x[k]h[1 − k] = x[0]h[1] + x[1]h[0] = 5 2
k=−∞
∑
• n = 2, y[2] =
∞ x[k]h[2 − k] = x[0]h[2] + x[1]h[1] = 5 2
k=−∞
∑
• n = 3, y[3] =
∞ x[k]h[3 − k] = x[1]h[2] = 2
k=−∞
1
2
n
• n > 3, y[n] = 0
−2 −1
0
1
2
3
4
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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 1
x[n] = 1 δ[n] + 2δ[n − 1]
2
h[n] = u[n] − u[n − 3]
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
2
h[k]
1
1
2
k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −2 −1 0 1 2 3 4
h[n − k]
k
n − 2
n − 1
y[n]
5
2
2
n
k
• n < 0, y[n] = 0
∑
• n = 0, y[0] =
∞ x[k]h[0 − k] = x[0]h[0] = 1 2
k=−∞
∑
• n = 1, y[1] =
∞ x[k]h[1 − k] = x[0]h[1] + x[1]h[0] = 5 2
k=−∞
∑
• n = 2, y[2] =
∞ x[k]h[2 − k] = x[0]h[2] + x[1]h[1] = 5 2
k=−∞
∑
• n = 3, y[3] =
∞ x[k]h[3 − k] = x[1]h[2] = 2
k=−∞
1
2
n
• n > 3, y[n] = 0
−2 −1
0
1
2
3
4
5
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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 2
x[n] =α n u[n], α ≠ β,
h[n] =β n u[n], 0 < α, β < 1.
∞∑
y[n] =x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
∞∑
∞∑
= α k u[k]β n−k u[n − k] = α k β n−k u[n − k].
k=−∞
k=0
x[n]
h[n]
α n
β n
· · · n
· · · n
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6
−1 0 1 2 3 4 5 6 7
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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 2
x[n] =α n u[n], α ≠ β,
h[n] =β n u[n], 0 < α, β < 1.
∞∑
y[n] =x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
∞∑
∞∑
= α k u[k]β n−k u[n − k] = α k β n−k u[n − k].
k=−∞
k=0
x[k]
h[n]
α k
β n
· · · k
· · · n
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6
−1 0 1 2 3 4 5 6 7
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 6 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 2
x[n] =α n u[n], α ≠ β,
h[n] =β n u[n], 0 < α, β < 1.
∞∑
y[n] =x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
∞∑
∞∑
= α k u[k]β n−k u[n − k] = α k β n−k u[n − k].
k=−∞
k=0
x[k]
h[k]
α k
β k
· · · k
· · · k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6
−1 0 1 2 3 4 5 6 7
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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 2
x[n] =α n u[n], α ≠ β,
h[n] =β n u[n], 0 < α, β < 1.
∞∑
y[n] =x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
∞∑
∞∑
= α k u[k]β n−k u[n − k] = α k β n−k u[n − k].
k=−∞
k=0
x[k]
h[k]
α k
β k
· · · k
· · · k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6
−1 0 1 2 3 4 5 6 7
h[k + n]
β (k+n)
−n
· · · k
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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 2
x[n] =α n u[n], α ≠ β,
h[n] =β n u[n], 0 < α, β < 1.
∞∑
y[n] =x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
∞∑
∞∑
= α k u[k]β n−k u[n − k] = α k β n−k u[n − k].
k=−∞
k=0
x[k]
h[k]
α k
β k
· · · k
· · · k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6
−1 0 1 2 3 4 5 6 7
h[n − k]
h[k + n]
β (n−k)
β (k+n)
· · ·
n
k
−n
· · · k
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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 2
x[n] =α n u[n], α ≠ β,
h[n] =β n u[n], 0 < α, β < 1.
∞∑
y[n] =x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
∞∑
∞∑
= α k u[k]β n−k u[n − k] = α k β n−k u[n − k].
k=−∞
k=0
x[k]
h[k]
α k
β k
· · · k
· · · k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6
−1 0 1 2 3 4 5 6 7
h[n − k]
β (n−k) 0
n
k
y[n]
• n < 0, y[n] = 0
n
n
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 6 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 2
x[n] =α n u[n], α ≠ β,
h[n] =β n u[n], 0 < α, β < 1.
∞∑
y[n] =x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
∞∑
∞∑
= α k u[k]β n−k u[n − k] = α k β n−k u[n − k].
k=−∞
k=0
x[k]
h[k]
α k
β k
· · · k
· · · k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6
−1 0 1 2 3 4 5 6 7
h[n − k]
β (n−k)
n
k
y[n]
• n < 0, y[n] = 0
P
• n ≥ 0, y[n] =
n α k β n−k = βn+1 −α n+1
β−α
k=0
n
−2 −1
0
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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 2
x[n] =α n u[n], α ≠ β,
h[n] =β n u[n], 0 < α, β < 1.
∞∑
y[n] =x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
∞∑
∞∑
= α k u[k]β n−k u[n − k] = α k β n−k u[n − k].
k=−∞
k=0
x[k]
h[k]
α k
β k
· · · k
· · · k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6
−1 0 1 2 3 4 5 6 7
h[n − k]
β (n−k)
· · ·
0
n
k
y[n]
• n < 0, y[n] = 0
P
• n ≥ 0, y[n] =
n α k β n−k = βn+1 −α n+1
β−α
k=0
n
−2 −1
0
1 2
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 6 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 2
x[n] =α n u[n], α ≠ β,
h[n] =β n u[n], 0 < α, β < 1.
∞∑
y[n] =x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
∞∑
∞∑
= α k u[k]β n−k u[n − k] = α k β n−k u[n − k].
k=−∞
k=0
x[k]
h[k]
α k
β k
· · · k
· · · k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6
−1 0 1 2 3 4 5 6 7
h[n − k]
β (n−k)
· · ·
n
k
−2 −1
0
y[n]
1 2
3 4 5 6 7 8
· · · n
• n < 0, y[n] = 0
P
• n ≥ 0, y[n] =
n α k β n−k = βn+1 −α n+1
β−α
k=0
y[n] = βn+1 − α n+1
u[n]
β − α
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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 3
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 4
α n , 0 ≤ n ≤ 6
, h[n] =
0, resto
0, resto
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[n]
h[n]
α n
1
n
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −1 0 1 2 3 4 5 6 7
n
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 7 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 3
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 4
α n , 0 ≤ n ≤ 6
, h[n] =
0, resto
0, resto
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
h[n]
α n
1
k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −1 0 1 2 3 4 5 6 7
n
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 7 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 3
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 4
α n , 0 ≤ n ≤ 6
, h[n] =
0, resto
0, resto
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
h[k]
α k
1
k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −1 0 1 2 3 4 5 6 7
k
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 7 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 3
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 4
α n , 0 ≤ n ≤ 6
, h[n] =
0, resto
0, resto
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
h[k]
α k
1
k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −1 0 1 2 3 4 5 6 7
h[k + n]
k
α (k+n)
−n −n + 6
k
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 7 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 3
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 4
α n , 0 ≤ n ≤ 6
, h[n] =
0, resto
0, resto
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
h[k]
α k
1
k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −1 0 1 2 3 4 5 6 7
h[n − k]
h[k + n]
α (n−k) α (k+n)
k
n − 6
n
k
−n −n + 6
k
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 7 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 3
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 4
α n , 0 ≤ n ≤ 6
, h[n] =
0, resto
0, resto
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
h[k]
α k
1
k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −1 0 1 2 3 4 5 6 7
h[n − k]
k
α (n−k) 0
• n < 0, y[n] = 0
n
k
y[n]
n
n
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 7 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 3
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 4
α n , 0 ≤ n ≤ 6
, h[n] =
0, resto
0, resto
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
h[k]
α k
1
k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −1 0 1 2 3 4 5 6 7
h[n − k]
k
α (n−k)
n
k
• n < 0, y[n] = 0
P
• 0 ≤ n ≤ 4, y[n] =
n k=0
α n−k = 1−αn+1
1−α
y[n]
n
−2 −1
0
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 7 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 3
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 4
α n , 0 ≤ n ≤ 6
, h[n] =
0, resto
0, resto
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
h[k]
α k
1
k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −1 0 1 2 3 4 5 6 7
h[n − k]
k
α (n−k)
• n < 0, y[n] = 0
n − 6
0
n
k
P
• 0 ≤ n ≤ 4, y[n] =
n k=0
α n−k = 1−αn+1
1−α
y[n]
n
−2 −1
0
1 2
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 7 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 3
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 4
α n , 0 ≤ n ≤ 6
, h[n] =
0, resto
0, resto
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
h[k]
α k
1
k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −1 0 1 2 3 4 5 6 7
h[n − k]
k
α (n−k)
• n < 0, y[n] = 0
n − 6
0
n
k
P
• 0 ≤ n ≤ 4, y[n] =
n k=0
α n−k = 1−αn+1
1−α
y[n]
n
−2 −1
0
1 2
3 4
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 7 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 3
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 4
α n , 0 ≤ n ≤ 6
, h[n] =
0, resto
0, resto
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
h[k]
α k
1
k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −1 0 1 2 3 4 5 6 7
h[n − k]
k
α (n−k)
• n < 0, y[n] = 0
n − 6 0
y[n]
n
k
P
• 0 ≤ n ≤ 4, y[n] =
n α n−k = 1−αn+1
1−α
(
k=0
n > 4
P
•
⇒ 4 < n ≤ 6, y[n] =
4 α n−k = αn−4 −α n+1
1−α
n − 6 ≤ 0
k=0
n
−2 −1
0
1 2
3 4
5
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 7 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 3
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 4
α n , 0 ≤ n ≤ 6
, h[n] =
0, resto
0, resto
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
h[k]
α k
1
k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −1 0 1 2 3 4 5 6 7
h[n − k]
k
0
y[n]
n − 6
k
• n < 0, y[n] = 0
P n • 0 ≤ n ≤ 4, y[n] =
(
α n−k = 1−αn+1
1−α
k=0
•
n > 4
P
⇒ 4 < n ≤ 6, y[n] =
4 α n−k = αn−4 −α n+1
1−α
n − 6 ≤ 0
k=0
(
•
n − 6 > 0
P
⇒ 6 < n ≤ 10, y[n] =
4 n − 6 ≤ 4
k=n−6
α n−k = αn−4 −α 7
1−α
n
−2 −1
0
1 2
3 4
5
6 7 8
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 7 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 3
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 4
α n , 0 ≤ n ≤ 6
, h[n] =
0, resto
0, resto
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
h[k]
α k
1
k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −1 0 1 2 3 4 5 6 7
h[n − k]
k
• n < 0, y[n] = 0
0
y[n]
n − 6
k
P n • 0 ≤ n ≤ 4, y[n] =
(
α n−k = 1−αn+1
1−α
k=0
•
n > 4
P
⇒ 4 < n ≤ 6, y[n] =
4 α n−k = αn−4 −α n+1
1−α
n − 6 ≤ 0
k=0
(
•
n − 6 > 0
P
⇒ 6 < n ≤ 10, y[n] =
4 n − 6 ≤ 4
k=n−6
α n−k = αn−4 −α 7
1−α
• n − 6 > 4 ⇒ n > 10, y[n] = 0
n
−2 −1
0
1 2
3 4
5
6 7 8
5
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 7 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 3
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 4
α n , 0 ≤ n ≤ 6
, h[n] =
0, resto
0, resto
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
h[k]
α k
1
k
−2 −1 0 1 2 3 4 5 −1 0 1 2 3 4 5 6 7
h[n − k]
k
α (n−k)
• n < 0, y[n] = 0
n − 6
y[n]
n
k
P n • 0 ≤ n ≤ 4, y[n] =
(
α n−k = 1−αn+1
1−α
k=0
•
n > 4
P
⇒ 4 < n ≤ 6, y[n] =
4 α n−k = αn−4 −α n+1
1−α
n − 6 ≤ 0
k=0
(
•
n − 6 > 0
P
⇒ 6 < n ≤ 10, y[n] =
4 n − 6 ≤ 4
k=n−6
α n−k = αn−4 −α 7
1−α
• n − 6 > 4 ⇒ n > 10, y[n] = 0
n
−2 −1
0
1 2
3 4
5
6 7 8
5
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 7 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 4
x[n] = 2 n u[−n]
h[n] = u[n]
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[n]
h[n]
· · ·
2 n n
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3
−2 −1 0 1 2 3 4 5
1
· · ·
n
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 8 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 4
x[n] = 2 n u[−n]
h[n] = u[n]
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
h[n]
· · ·
2 k k
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3
−2 −1 0 1 2 3 4 5
1
· · ·
n
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 8 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 4
x[n] = 2 n u[−n]
h[n] = u[n]
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
h[k]
· · ·
2 k k
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3
−2 −1 0 1 2 3 4 5
1
· · ·
k
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 8 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 4
x[n] = 2 n u[−n]
h[n] = u[n]
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
h[k]
· · ·
2 k k
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3
−2 −1 0 1 2 3 4 5
1
−n
1
0
h[k + n]
· · ·
k
· · ·
k
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 8 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 4
x[n] = 2 n u[−n]
h[n] = u[n]
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
h[k]
· · ·
· · ·
2 k k
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3
−2 −1 0 1 2 3 4 5
0
h[n − k]
n
1
k
1
−n
1
0
h[k + n]
· · ·
k
· · ·
k
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 8 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 4
x[n] = 2 n u[−n]
h[n] = u[n]
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
h[k]
· · ·
· · ·
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3
−2 −1 0 1 2 3 4 5
n
1
2 k k
0
h[n − k]
k
1
· · ·
k
y[n]
P
• n < 0, y[n] =
n 2 k = 2 n+1
k=−∞
1 1
16 8
· · ·
−5 −4
1
4
n
0
n
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 8 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 4
x[n] = 2 n u[−n]
h[n] = u[n]
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
h[k]
· · ·
· · ·
2 k k
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3
−2 −1 0 1 2 3 4 5
0
h[n − k]
n
1
k
1
· · ·
k
y[n]
2
1
1
2
1 1
1
16 8
4
· · ·
−5 −4 −3 −2 −1
0 1
n
n
P
• n < 0, y[n] =
n 2 k = 2 n+1
k=−∞
P
• n ≥ 0, y[n] =
0 2 k = 2
k=−∞
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 8 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 4
x[n] = 2 n u[−n]
h[n] = u[n]
∞∑
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k]h[n − k]
k=−∞
x[k]
h[k]
· · ·
· · ·
2 k k
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3
−2 −1 0 1 2 3 4 5
0
h[n − k]
n
1
k
1
· · ·
k
y[n]
2
1
1
2
1 1
1
16 8
4
· · ·
−5 −4 −3 −2 −1
0 1
2
3 4
· · ·
n
P
• n < 0, y[n] =
n 2 k = 2 n+1
k=−∞
P
• n ≥ 0, y[n] =
0 2 k = 2
k=−∞
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 8 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 5
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 5
1, 2 ≤ n ≤ 7, 11 ≤ n ≤ 16
, h[n] =
0, resto
0, resto
x[n]
h[n]
1
n
1
n
0
5
0 2 7 11
16
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 9 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 5
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 5
1, 2 ≤ n ≤ 7, 11 ≤ n ≤ 16
, h[n] =
0, resto
0, resto
x[n]
h[n]
1
n
1
n
0
5
0 2 7 11
16
y[n] = x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n] =
∞ ∑
k=−∞
h[k]x[n − k]
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 9 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 5
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 5
1, 2 ≤ n ≤ 7, 11 ≤ n ≤ 16
, h[n] =
0, resto
0, resto
x[n]
h[n]
1
n
1
n
0
5
0 2 7 11
16
y[n] = x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n] =
y[n] = x[n] ∗ h[n] =
∞ ∑
k=−∞
∞ ∑
k=−∞
x[k]h[n − k]
h[k]x[n − k]
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 9 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 5
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 5
1, 2 ≤ n ≤ 7, 11 ≤ n ≤ 16
, h[n] =
0, resto
0, resto
x[k]
h[k]
1
k
1
k
0
5
0 2 7 11
16
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 9 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 5
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 5
1, 2 ≤ n ≤ 7, 11 ≤ n ≤ 16
, h[n] =
0, resto
0, resto
x[k]
h[k]
1
k
1
k
0
5
0 2 7 11
16
x[k + n]
1
−n
0
5 − n
k
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 9 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 5
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 5
1, 2 ≤ n ≤ 7, 11 ≤ n ≤ 16
, h[n] =
0, resto
0, resto
x[k]
h[k]
1
k
1
k
0
5
0 2 7 11
16
x[k + n]
x[n − k]
1
k
1
k
−n
0
5 − n
n − 5
0
n
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 9 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 5
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 5
1, 2 ≤ n ≤ 7, 11 ≤ n ≤ 16
, h[n] =
0, resto
0, resto
x[k]
h[k]
1
k
1
k
0
5
0 2 7 11
16
• n < 2, y[n] = 0
x[n − k]
1
k
n − 5
n
0
y[n]
n
0
n
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 9 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 5
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 5
1, 2 ≤ n ≤ 7, 11 ≤ n ≤ 16
, h[n] =
0, resto
0, resto
x[k]
h[k]
1
k
1
k
0
5
0 2 7 11
16
• n < 2, y[n] = 0
x[n − k]
∑
• 2 ≤ n ≤ 7, y[n] =
n 1 = n − 1
k=2
1
n − 5
0
y[n]
n
k
1
2
3
n
0
1 2
n
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 9 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 5
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 5
1, 2 ≤ n ≤ 7, 11 ≤ n ≤ 16
, h[n] =
0, resto
0, resto
x[k]
h[k]
1
k
1
k
0
5
0 2 7 11
16
• n < 2, y[n] = 0
x[n − k]
∑
• 2 ≤ n ≤ 7, y[n] =
n 1 = n − 1
k=2
∑
• 8 ≤ n ≤ 10, y[n] =
7 1 = 13 − n
k=n−5
0
y[n]
1
1
n − 5
4
3
2
5
6
n
5
4
k
n
0
1 2
7
n
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 9 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 5
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 5
1, 2 ≤ n ≤ 7, 11 ≤ n ≤ 16
, h[n] =
0, resto
0, resto
x[k]
h[k]
1
k
1
k
0
5
0 2 7 11
16
• n < 2, y[n] = 0
x[n − k]
∑
• 2 ≤ n ≤ 7, y[n] =
n 1 = n − 1
k=2
∑
• 8 ≤ n ≤ 10, y[n] =
7 1 = 13 − n
k=n−5
• 11 ≤ n ≤ 12, y[n] = 3
0
y[n]
1
2
3
1
n − 5
6
5
4
5
4
n
3 3
k
n
0
1 2
7
10 n
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 9 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 5
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 5
1, 2 ≤ n ≤ 7, 11 ≤ n ≤ 16
, h[n] =
0, resto
0, resto
x[k]
h[k]
1
k
1
k
0
5
0 2 7 11
16
• n < 2, y[n] = 0
x[n − k]
∑
• 2 ≤ n ≤ 7, y[n] =
n 1 = n − 1
k=2
∑
• 8 ≤ n ≤ 10, y[n] =
7 1 = 13 − n
k=n−5
• 11 ≤ n ≤ 12, y[n] = 3
0
y[n]
1
2
3
4
1
n − 5
6
5 5
4
n
3 3 3
k
n
0
1 2
7
10
n
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 9 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 5
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 5
1, 2 ≤ n ≤ 7, 11 ≤ n ≤ 16
, h[n] =
0, resto
0, resto
x[k]
h[k]
1
k
1
k
0
5
0 2 7 11
16
• n < 2, y[n] = 0
x[n − k]
∑
• 2 ≤ n ≤ 7, y[n] =
n 1 = n − 1
1
k=2
• 8 ≤ n ≤ 10, y[n] =
∑ 7 1 = 13 − n
0
n − 5 n
k=n−5
y[n]
• 11 ≤ n ≤ 12, y[n] = 3
6
5 5
∑ n • 13 ≤ n ≤ 16, y[n] = 1 = n − 10 4 4
4
k=11
3
3 3 3 3
2
1
0 1 2
7 10 13 n
k
n
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 9 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 5
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 5
1, 2 ≤ n ≤ 7, 11 ≤ n ≤ 16
, h[n] =
0, resto
0, resto
x[k]
h[k]
1
k
1
k
0
5
0 2 7 11
16
• n < 2, y[n] = 0
x[n − k]
∑
• 2 ≤ n ≤ 7, y[n] =
n 1 = n − 1
1
k=2
• 8 ≤ n ≤ 10, y[n] =
∑ 7 1 = 13 − n
0
n − 5 n
k=n−5
y[n]
• 11 ≤ n ≤ 12, y[n] = 3
6
6
5 5
5 5
∑ n • 13 ≤ n ≤ 16, y[n] = 1 = n − 10 4 4
4
k=11
∑
• 17 ≤ n ≤ 21, y[n] = 16
3
3 3 3 3
1 = 22 − n
2
k=n−5
1
0 1 2
7 10 13 16 n
k
n
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 9 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 5
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 5
1, 2 ≤ n ≤ 7, 11 ≤ n ≤ 16
, h[n] =
0, resto
0, resto
x[k]
h[k]
1
k
1
k
0
5
0 2 7 11
16
• n < 2, y[n] = 0
x[n − k]
∑
• 2 ≤ n ≤ 7, y[n] =
n 1 = n − 1
1 k
k=2
• 8 ≤ n ≤ 10, y[n] =
∑ 7 1 = 13 − n
0
n − 5
k=n−5
y[n]
• 11 ≤ n ≤ 12, y[n] = 3
6
6
5 5
5 5
∑ n • 13 ≤ n ≤ 16, y[n] = 1 = n − 10 4 4
4 4
k=11
3
∑
• 17 ≤ n ≤ 21, y[n] = 16
3
3 3 3 3
1 = 22 − n
2
2
k=n−5
1
1
• n ≥ 22, y[n] = 0
0 1 2
7 10 13 16
22 n
n
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 9 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 5
x[n] =
{
{
1, 0 ≤ n ≤ 5
1, 2 ≤ n ≤ 7, 11 ≤ n ≤ 16
, h[n] =
0, resto
0, resto
x[k]
h[k]
1
k
1
k
0
5
0 2 7 11
16
• n < 2, y[n] = 0
x[n − k]
∑
• 2 ≤ n ≤ 7, y[n] =
n 1 = n − 1
1
k
k=2
• 8 ≤ n ≤ 10, y[n] =
∑ 7 1 = 13 − n
n − 5
0 n
k=n−5
y[n]
• 11 ≤ n ≤ 12, y[n] = 3
6
5 5
∑ n • 13 ≤ n ≤ 16, y[n] = 1 = n − 10 4 4
4
k=11
∑
• 17 ≤ n ≤ 21, y[n] = 16
3
3 3 3 3
1 = 22 − n
2
k=n−5
1
• n ≥ 22, y[n] = 0
5
6
5
4
3
2
1
n
0
1 2
7
10
13
16
22
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 9 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 6
2
x[n]
h[n]
1 1 1
1 1 1
−2 −1
0 1
n
1 n
0 2 3 4 5
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 10 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 6
2
x[k]
h[k]
1 1 1
1 1 1
−2 −1
0 1
k
1 k
0 2 3 4 5
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 10 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 6
2
x[k]
h[k]
1 1 1
1 1 1
−2 −1
0 1
k
1
0 2 3 4 5
k
2
x[k + n]
1
1
1
k
−n
0
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 10 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 6
2
x[k]
h[k]
1 1 1
1 1 1
k
1
k
−2 −1
0 1
0 2 3 4 5
2
x[k + n]
x[n − k]
2
1
1
1
1 1 1
k
k
−n
0
0
n
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 10 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 6
2
x[k]
h[k]
1 1 1
1 1 1
k
1
k
−2 −1
0 1
0 2 3 4 5
2
x[k + n]
x[n − k]
2
1
1
1
1 1 1
k
k
−n
0
0
n
y[n]
3
2
1
0
n
−2 −1
1 2 3 4 5 6
−1
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 10 / 15

Contenidos
1 Convoluciones discretas
Definición y Propiedades
Ejemplos
2 Convoluciones continuas
Definición y Propiedades
Ejemplos
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 11 / 15

Convolución continua. Definición y propiedades
Definición
∫ ∞
y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
Propiedades
Elemento neutro: x(t) ∗ δ(t) = x(t)
Conmutativa: x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t)
Asociativa:
x(t) ∗ [h 1 (t) ∗ h 2 (t)] = [x(t) ∗ h 1 (t)] ∗ h 2 (t) = [x(t) ∗ h 2 (t)] ∗ h 1 (t)
Distributiva: x(t) ∗ [h 1 (t) + h 2 (t)] = x(t) ∗ h 1 (t) + x(t) ∗ h 2 (t)
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 12 / 15

Convolución continua. Definición y propiedades
Definición
∫ ∞
y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
Propiedades
Elemento neutro: x(t) ∗ δ(t) = x(t)
Conmutativa: x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t)
Asociativa:
x(t) ∗ [h 1 (t) ∗ h 2 (t)] = [x(t) ∗ h 1 (t)] ∗ h 2 (t) = [x(t) ∗ h 2 (t)] ∗ h 1 (t)
Distributiva: x(t) ∗ [h 1 (t) + h 2 (t)] = x(t) ∗ h 1 (t) + x(t) ∗ h 2 (t)
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 12 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 1
x(t) = e −at u(t), a > 0
h(t) = u(t)
∫ ∞
y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
x(t)
h(t)
1
e −at
t
1
t
0
0
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 13 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 1
x(t) = e −at u(t), a > 0
h(t) = u(t)
∫ ∞
y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
x(τ)
h(t)
1
e −aτ
τ
1
t
0
0
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 13 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 1
x(t) = e −at u(t), a > 0
h(t) = u(t)
∫ ∞
y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
x(τ)
h(τ)
1
e −aτ
τ
1
τ
0
0
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 13 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 1
x(t) = e −at u(t), a > 0
h(t) = u(t)
∫ ∞
y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
x(τ)
h(τ)
1
e −aτ
τ
1
τ
0
0
h(τ + t)
1
−t
0
τ
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 13 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 1
x(t) = e −at u(t), a > 0
h(t) = u(t)
∫ ∞
y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
x(τ)
h(τ)
1
e −aτ
τ
1
τ
0
0
1
h(t − τ)
1
h(τ + t)
τ
τ
t
−t
0
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 13 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 1
x(t) = e −at u(t), a > 0
h(t) = u(t)
∫ ∞
y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
x(τ)
h(τ)
1
e −aτ
τ
1
τ
0
0
h(t − τ)
1
τ
t < 0
y(t)
• t < 0, y(t) = 0
t
0
t
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 13 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 1
x(t) = e −at u(t), a > 0
h(t) = u(t)
∫ ∞
y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
x(τ)
h(τ)
1
e −aτ
τ
1
τ
0
0
1
h(t − τ)
τ
t > 0
y(t)
• t < 0, y(t) = 0
• t ≥ 0, y(t) = R t
0 e−aτ dτ = 1−e−at
a
t
t
0
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 13 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 1
x(t) = e −at u(t), a > 0
h(t) = u(t)
∫ ∞
y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
x(τ)
h(τ)
1
e −aτ
τ
1
τ
0
0
1
h(t − τ)
τ
t > 0
y(t)
• t < 0, y(t) = 0
• t ≥ 0, y(t) = R t
0 e−aτ dτ = 1−e−at
a
t
0
t
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 13 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 1
x(t) = e −at u(t), a > 0
h(t) = u(t)
∫ ∞
y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
x(τ)
h(τ)
1
e −aτ
τ
1
τ
0
0
1
h(t − τ)
τ
y(t)
t > 0
• t < 0, y(t) = 0
• t ≥ 0, y(t) = R t
0 e−aτ dτ = 1−e−at
a
t
0
t
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 13 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 1
x(t) = e −at u(t), a > 0
h(t) = u(t)
∫ ∞
y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
x(τ)
h(τ)
1
e −aτ
τ
1
τ
0
0
1
h(t − τ)
τ
t
1/a
y(t)
t
• t < 0, y(t) = 0
• t ≥ 0, y(t) = R t
0 e−aτ dτ = 1−e−at
a
y(t) = 1 − e−at u(t), ∀t
a
0
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 13 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 2
x(t) =
{
{
1, 0 < t < T
t, 0 < t < T
, h(t) =
0, resto
0, resto
x(t)
2T
h(t)
1
t
0
t
T 0
2T
t
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 14 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 2
x(t) =
{
{
1, 0 < t < T
t, 0 < t < T
, h(t) =
0, resto
0, resto
x(t)
h(t)
2T
t
1
t
0 T 0
y(t) = x(t) ∗ h(t) = ∫ ∞
−∞ x(τ)h(t − τ)dτ
2T
t
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 14 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 2
x(t) =
{
{
1, 0 < t < T
t, 0 < t < T
, h(t) =
0, resto
0, resto
x(t)
h(t)
2T
t
1
t
0 T 0
y(t) = x(t) ∗ h(t) = ∫ ∞
−∞ x(τ)h(t − τ)dτ
y(t) = x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t) = ∫ ∞
−∞
h(τ)x(t − τ)dτ
2T
t
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 14 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 2
x(t) =
{
{
1, 0 < t < T
t, 0 < t < T
, h(t) =
0, resto
0, resto
x(τ)
2T
h(t)
1
t
0
τ
T 0
2T
t
y(t) = x(t) ∗ h(t) = ∫ ∞
−∞
x(τ)h(t − τ)dτ
y(t) = x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t) = ∫ ∞
−∞
h(τ)x(t − τ)dτ
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 14 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 2
x(t) =
{
{
1, 0 < t < T
t, 0 < t < T
, h(t) =
0, resto
0, resto
x(τ)
h(τ)
2T
τ
1
τ
0 T 0
y(t) = x(t) ∗ h(t) = ∫ ∞
−∞ x(τ)h(t − τ)dτ
y(t) = x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t) = ∫ ∞
−∞
h(τ)x(t − τ)dτ
2T
τ
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 14 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 2
x(t) =
{
{
1, 0 < t < T
t, 0 < t < T
, h(t) =
0, resto
0, resto
x(τ)
2T
h(τ)
1
τ
0
τ
T 0
2T
τ
x(τ + t)
1
−t
−t + T
τ
y(t) = x(t) ∗ h(t) = ∫ ∞
−∞
x(τ)h(t − τ)dτ
y(t) = x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t) = ∫ ∞
−∞
h(τ)x(t − τ)dτ
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 14 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 2
x(t) =
{
{
1, 0 < t < T
t, 0 < t < T
, h(t) =
0, resto
0, resto
x(τ)
2T
h(τ)
1
τ
0
τ
T 0
2T
τ
1
x(τ + t)
1
x(t − τ)
−t
−t + T
τ
t − T t
y(t) = x(t) ∗ h(t) = ∫ ∞
−∞ x(τ)h(t − τ)dτ
y(t) = x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t) = ∫ ∞
−∞
h(τ)x(t − τ)dτ
τ
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 14 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 2
x(t) =
{
{
1, 0 < t < T
t, 0 < t < T
, h(t) =
0, resto
0, resto
x(τ)
2T
h(τ)
1
τ
0
τ
T 0
2T
τ
• t ≤ 0, y(t) = 0
1
x(t − τ)
t − T
t
y(t)
τ
t 0
t
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 14 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 2
x(t) =
{
{
1, 0 < t < T
t, 0 < t < T
, h(t) =
0, resto
0, resto
x(τ)
2T
h(τ)
1
τ
0
τ
T 0
2T
τ
• t ≤ 0, y(t) = 0
(
t > 0
•
⇒ 0 < t ≤ T, y(t) = R t
0 t − T ≤ 0
τdτ = t2 2
t − T
x(t − τ)
1
t
y(t)
τ
T 2 /2
0
t T
t
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 14 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 2
x(t) =
{
{
1, 0 < t < T
t, 0 < t < T
, h(t) =
0, resto
0, resto
x(τ)
2T
h(τ)
1
τ
τ
τ
0
T 0
2T
• t ≤ 0, y(t) = 0
(
t > 0
•
⇒ 0 < t ≤ T, y(t) = R t
t − T ≤ 0
τdτ = t2 0 2
(
t − T > 0,
•
⇒ T < t ≤ 2T, y(t) = R t
t−T t ≤ 2T
τdτ = tT − 1 T 2
2
3T 2 /2
x(t − τ)
1
t − T t
y(t)
τ
T 2 /2
t
0
T
t 2T
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 14 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 2
x(t) =
{
{
1, 0 < t < T
t, 0 < t < T
, h(t) =
0, resto
0, resto
x(τ)
2T
h(τ)
1
τ
τ
τ
0
T 0
2T
• t ≤ 0, y(t) = 0
(
t > 0
•
t − T ≤ 0
(
⇒ 0 < t ≤ T, y(t) = R t
0 2
t − T > 0,
•
t ≤ 2T
(
⇒ T < t ≤ 2T, y(t) = R t
t−T 2
•
t > 2T,
t − T ≤ 2T
⇒ 2T < t ≤ 3T, y(t) = R 2T
t−T 2 t2 + 3 T 2
2
3T 2 /2
x(t − τ)
1
t − T
y(t)
t
τ
T 2 /2
t
0
T
2T t 3T
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 14 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 2
x(t) =
{
{
1, 0 < t < T
t, 0 < t < T
, h(t) =
0, resto
0, resto
x(τ)
2T
h(τ)
1
τ
τ
τ
0
T 0
2T
• t ≤ 0, y(t) = 0
(
t > 0
•
t − T ≤ 0
(
⇒ 0 < t ≤ T, y(t) = R t
0 2
t − T > 0,
•
t ≤ 2T
(
⇒ T < t ≤ 2T, y(t) = R t
t−T 2
•
t > 2T,
t − T ≤ 2T
⇒ 2T < t ≤ 3T, y(t) = R 2T
t−T 2 t2 + 3 T 2
2
3T 2 /2
1
x(t − τ)
y(t)
t − T
t
τ
• t − T > 3T → t > 3T, y(t) = 0
T 2 /2
t
0
T
2T
3T t
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 14 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 2
x(t) =
{
{
1, 0 < t < T
t, 0 < t < T
, h(t) =
0, resto
0, resto
x(τ)
2T
h(τ)
1
τ
τ
τ
0
T 0
2T
• t ≤ 0, y(t) = 0
(
t > 0
•
t − T ≤ 0
(
⇒ 0 < t ≤ T, y(t) = R t
0 2
t − T > 0,
•
t ≤ 2T
(
⇒ T < t ≤ 2T, y(t) = R t
t−T 2
•
t > 2T,
t − T ≤ 2T
⇒ 2T < t ≤ 3T, y(t) = R 2T
t−T 2 t2 + 3 T 2
2
t − T
3T 2 /2
x(t − τ)
1
t
y(t)
τ
• t − T > 3T → t > 3T, y(t) = 0
y(t) = t2 2 u(t) − 1 2 (t − T )2 u(t − T ) + `2T 2 − 1 2 t2´ u(t − 2T )+
+ ` 1
2 t2 − tT − 3 2 T 2´ u(t − 3T )
T 2 /2
t
0
T
2T
3T
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 14 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 3
x(t) = e 2t u(−t)
h(t) = u(t − 3)
∫ ∞
y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
x(t)
h(t)
e 2t
1
t
1
t
0
0
3
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 15 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 3
x(t) = e 2t u(−t)
h(t) = u(t − 3)
∫ ∞
y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
x(τ)
h(t)
e 2τ
1
τ
1
t
0
0
3
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Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 3
x(t) = e 2t u(−t)
h(t) = u(t − 3)
∫ ∞
y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
x(τ)
h(τ)
e 2τ
1
τ
1
τ
0
0
3
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 15 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 3
x(t) = e 2t u(−t)
h(t) = u(t − 3)
∫ ∞
y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
x(τ)
h(τ)
e 2τ
1
τ
1
τ
0
0
3
h(τ + t)
1
0 3 − t
τ
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Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 3
x(t) = e 2t u(−t)
h(t) = u(t − 3)
∫ ∞
y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
x(τ)
h(τ)
e 2τ
1
τ
1
τ
0
0
3
1
h(t − τ)
1
h(τ + t)
τ
τ
t − 3
0
0 3 − t
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 15 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 3
x(t) = e 2t u(−t)
h(t) = u(t − 3)
∫ ∞
y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
x(τ)
h(τ)
e 2τ
1
τ
1
τ
0
0
3
h(t − τ)
1
τ
t − 3
y(t)
• t − 3 < 0 ⇒ t < 3, y(t) = ∫ t−3
−∞ e2τ dτ = 1 2 e2(t−3)
0
t
t
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Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 3
x(t) = e 2t u(−t)
h(t) = u(t − 3)
∫ ∞
y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
x(τ)
h(τ)
e 2τ
1
τ
1
τ
0
0
3
h(t − τ)
1
τ
t − 3
y(t)
• t − 3 < 0 ⇒ t < 3, y(t) = ∫ t−3
• t − 3 ≥ 0 ⇒ t ≥ 3, y(t) = ∫ −∞ e2τ dτ = 1 2 e2(t−3)
0
−∞ e2τ dτ = 1 2
t
0
3
t
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.) Sistemas Lineales 15 / 15

Convolución continua. Ejemplos
Ejemplo 3
x(t) = e 2t u(−t)
h(t) = u(t − 3)
∫ ∞
y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
x(τ)
h(τ)
e 2τ
1
τ
1
τ
0
0
3
h(t − τ)
1
τ
t − 3
0
1/2
y(t)
t
• t − 3 < 0 ⇒ t < 3, y(t) = ∫ t−3
• t − 3 ≥ 0 ⇒ t ≥ 3, y(t) = ∫ −∞ e2τ dτ = 1 2 e2(t−3)
0
−∞ e2τ dτ = 1 2
y(t) = 1 2 e2(t−3) + 1 2
[
1 − e 2(t−3)] u(t − 3)
0
3
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