PROYECTO FIN DE CARRERA Esquemas multirresolución para ...

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
ETSI TELECOMUNICACIÓN
PROYECTO FIN DE CARRERA
Esquemas multirresolución para compresión
de datos volumétricos
AUTOR:
TUTOR:
Miguel Ángel Martín Fernández
Carlos Alberola López
Marzo 1999

RESUMEN
En este proyecto se implementan y comparan dos esquemas de compresión multirresolución
de datos volumétricos, compresión mediante transformada wavelet y
compresión mediante diezmado de mallas triangulares. En la compresión wavelet se
puede obtener una zona de los datos volumétricos con resolución total.
Además se realiza una interfaz gráfica de usuario, para realizar la compresión, evaluar
su error y visualizar las renderizaciones resultantes, ofreciendo al usuario la
posibilidad de interactuar con la escena renderizada.
ABSTRACT
In this project, two schemes of volume data multiresolution compression, are developed
and compared, wavelet transform compression, and triangular meshes decimation.
In wavelet compression, it is possible to obtain a zone of volume data with full
resolution.
It is also developed a graphic user intergace to compress data, evaluate error, and
visualizate resulting renderings, offering the user, the possibility of interacting with
the rendered scene.
PALABRAS CLAVE
Compresión multirresolución, datos volumétricos, transformada wavelet, diezmado
de mallas triangulares, error cuadrático medio en volumen, error cuadrático medio
en imagen renderizada, número medio de errores por rodaja, visualización, renderización,
tomografía computerizada, resonancia magnética, ultrasonidos, marching
cubes, isosuperficie, flood filling, VTK, Tcl/Tk, interfaz gráfica de usuario (GUI).
i

Índice general
1. Introducción 1
2. Captación de Imágenes Médicas 5
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Tomografía Computerizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.2. Principios de Reconstrucción: Proyección de los Datos a la
Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Resonancia Magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1. Adquisición y Procesado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2. Hardware e Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4. Ultrasonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1. Transductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.2. Obtención de Imágenes por Ultrasonidos . . . . . . . . . . . . 29
3. Visualización y Renderización 35
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Procesado de Imagen, Gráficos, y Visualización . . . . . . . . . . . . 37
3.3. Renderización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.2. Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.3. Color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.4. Luces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.5. Propiedades de la Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.6. Cámaras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
iii

3.3.7. Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.8. Transformación de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.9. Geometría de los Actores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.10. Hardware Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4. Obtención de Isosuperficies: Marching Cubes . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.1. Descripción del Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.2. Problema del Algoritmo: Ambigüedad . . . . . . . . . . . . . . 59
4. Compresión de Datos 63
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.1. Terminología General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2. Compresión de Audio y Voz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.1. Codificadores de Forma de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.2. Algunos Codificadores Específicos de Voz . . . . . . . . . . . . 68
4.3. Compresión de Imágenes y Datos Volumétricos . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.1. Criterios de Diséno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.2. Métodos de Compresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3.3. Método 1: Transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3.4. Método 2: Reducción de la Precisión . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3.5. Método 3: Minimización del Número de Bits . . . . . . . . . . 84
4.3.6. Combinación de Métodos de Compresión . . . . . . . . . . . . 88
4.3.7. Diezmado de Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5. Transformada Wavelet 97
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2. Expresión Multirresolución y Wavelets Ortogonales . . . . . . . . . . 99
5.3. Transformada Wavelet 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.4. Transformada Wavelet para Compresión 3D . . . . . . . . . . . . . . 109
6. Descripción de la Aplicación 111
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2. Tareas a Realizar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.3. Interfaz Gráfica de Usuario (GUI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3.1. Sistema de Menús . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
iv

6.3.2. Ventana de Renderización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3.3. Barra de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.3.4. Ventanas de Error y de Información . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.4. Unas notas sobre la implementación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.5. Ejemplos de Utilización del Programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.5.1. Diezmado de un Cráneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.5.2. Compresión Wavelet de una Cabeza y Obtención de Detalle . 129
7. Resultados 143
7.1. Medidas de Error Empleadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.2. Cálculos Realizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.3. Resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.4. Interpretación de los resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.4.1. Compresión mediante la Transformada Wavelet . . . . . . . . 159
7.4.2. Compresión mediante Diezmado . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.4.3. Comparación entre Ambos Métodos de Compresión . . . . . . 163
7.5. Algunas Imágenes Renderizadas de Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . 163
8. Conclusiones y Líneas Futuras 171
8.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.2. Líneas Futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
9. Pliego de Condiciones 177
A. Manual de Referencia 181
A.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
A.2. Estructura general del Programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
A.3. vtkWaveletFilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
A.3.1. Función vtkWaveletFilter::Execute() . . . . . . . . . . . . 194
A.3.2. Función vtkWaveletFilter::CalcularDetalle(...) . . . . 197
A.3.3. Función vtkWaveletFilter::Significancia(...) . . . . . . 199
A.4. vtkFloodFillFilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
A.5. ErrorVol.cxx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
A.6. ErrorRender.cxx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
v

B. VTK y TCL 211
B.1. VTK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
B.1.1. Renderizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
B.1.2. Detalles de la implementación de VTK . . . . . . . . . . . . . 216
B.1.3. Representación de los Datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
B.2. Intérpretes y Tcl/Tk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
B.2.1. Lenguajes Interpretados vs Compilados . . . . . . . . . . . . . 222
B.2.2. Introducción a Tcl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
B.2.3. Integración de VTK con Tcl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
B.2.4. Ejemplo de C++ y Tcl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
B.2.5. Interfaces de Usuario con Tk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
C. Planos 231
vi

Índice de figuras
2.1. Dibujo esquemático de una instalación de TC. Consta de (1) consola
de control, (2) soporte de la grúa, (3) mesa del paciente (4) soporte
para la cabeza (5) impresor de imagen láser. . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Imágenes típicas de TC de (a) cerebro, (b) cabeza con las órbitas, (c)
pecho con los pulmones y (d) abdomen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3. Cuatro generaciones de escaners para TC, mostrando las geometrías
de haz paralelo y en abanico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4. Esquema de un escáner ultrarrápido de quinta generación. La imagen
se adquiere en 50 ms por el barrido electrónico del ánodo. . . . . . . . 10
2.5. El escaneado en espiral provoca que el punto focal siga una trayectoria
espiral alrededor del paciente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6. El sistema de adquisición de datos convierte la señal eléctrica producida
en cada detector a un valor digital en el ordenador. . . . . . . 13
2.7. El sistema informático controla los movimientos de la grúa, adquiere
la medida de las transmisiones de rayos-x, y reconstruye la imagen
final. El sistema mostrado aquí usa 12 CPUs de la familia 68000
(Cortesía de Picker International, Inc.). . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.8. Los dos mecanismos principales de contraste en resonancias magnéticas,
T 1 y T 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.9. Ejemplos de imágenes de un voluntario normal mostrando el contraste
T 1 a la izquierda y el T 2 a la derecha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.10. Dominios digital y analógico en RM. Las RM requieren el intercambio
de datos y comandos entre estos dos dominios. . . . . . . . . . . . . . 21
2.11. Enfoque y direccionamiento de un haz acústico usando un array de
fase. Se muestra un array de 6 elementos (a) en el modo de transmisión
y (b) en el modo de recepción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.12. Configuraciones de los elementos del array y regiones escaneadas por
el haz acústico. (a)Array lineal secuencial; (b) array curvilíneo; (c)
array lineal de fase; (d) array 1.5D; (e) Array de fase 2D. . . . . . . . 30
vii

2.13. Ejemplo de imagen de modo A convertido a modo M de un corazón
en dos puntos del ciclo cardiaco. (a) Diástole. (b) Sístole. En la sístole
las paredes son más anchas y la sección ventricular es menor. . . . . . 31
2.14. Representación esquemática de un corazón y como se obtiene la imagen
2D a partir de la exploración del transductor. . . . . . . . . . . 32
3.1. El proceso de visualización. Los datos de varias fuentes se transforman
repetidamente para obtener, derivar y resaltar la información. Los
datos resultantes se mapean al sistema gráfico. . . . . . . . . . . . . . 39
3.2. Representación circular del matiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3. Iluminación difusa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4. Iluminación especular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5. Bola iluminada con luz difusa, con reflexión especular en aumento. . . 46
3.6. Atributos de la cámara. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.7. Jerarquía típica del interfaz de gráficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.8. Normales de vértices y polígonos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.9. Problema con el algoritmo del pintor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.10. Los 15 cubos triangulados del algoritmo Marching Cubes. . . . . . . . 60
3.11. Casos complementarios para el algoritmo Marching Cubes. . . . . . . 61
4.1. Esquema del sistema DPCM (PCM Diferencial). . . . . . . . . . . . . 66
4.2. Esquemas generales para los tres métodos principales de compresión. 75
4.3. Ejemplo de codificación run-length. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4. Ejemplo de asignación de códigos únicos a secuencias de datos repetidas.
Codificación LZW. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.5. Ejemplo de codificación Huffman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.6. Combinaciones típicas de métodos de compresión. . . . . . . . . . . . 88
4.7. Los tres pasos del algoritmo de diezmado. . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.8. Operadores para crear mallas progresivas: fusión/división de bordes
y división/fusión de vértices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.1. (a) Ejemplo de función de escalado φ(x), (b) Módulo de la transformada
de Fourier ˆφ(x). Las funciones de escalado son filtros paso
bajo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2. (a) Ejemplo de función wavelet ψ(x), (b) Módulo de la transformada
de Fourier ˆψ(x). Las funciones wavelet son filtros paso banda. . . . . 104
viii

5.3. La aproximación discreta A d 2 j+1 f se descompone en A d 2 j f y D d 2 j f. . . . 105
5.4. Reconstrucción de la aproximación discreta A d 2 j+1 f a partir de A d 2 j f
y D d 2 j f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.5. Ejemplo de una transformada wavelet y su reconstrucción. . . . . . . 106
5.6. Una aproximación discreta, A d 2 j+1 f, se descompone en la aproximación
discreta a menor resolución, A d 2 j f, y siete detalles, desde D 1 2 j f hasta
D 7 2 j f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.7. Expresión multirresolución de unos datos volumétricos de tamaño
128 × 128 × 128. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.1. GUI general del programa en el que se puede ver una renderización. . 114
6.2. Ejemplo de panel de control. Panel de control con las opciones de
renderización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.3. Panel de control para abrir los archivos con los datos volumétricos. . 117
6.4. Ejemplo de ventana de error, con información del error. . . . . . . . . 120
6.5. Ejemplo de ventana de información. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.6. Renderización de la isosuperficie correspondiente al hueso, sin comprimir
(archivo hueso.ppm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.7. Renderización de la isosuperficie diezmada un 75 % (archivo hueso75.ppm).131
6.8. Diferencia entre la renderización de la isosuperficie sin diezmado y
diezmada un 75 % (archivo dif75.ppm). . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.9. Renderización de la isosuperficie correspondiente a la piel, sin comprimir
(archivo piel.ppm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.10. Renderización de la isosuperficie comprimida mediante la transformada
wavelet 100:1 (archivo piel100.ppm). . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.11. Diferencia entre la renderización de la isosuperficie sin compresión
wavelet y con una compresión 100:1 (archivo dif100.ppm). . . . . . . 137
6.12. Obtención del detalle. Mediante el prisma blanco se selecciona la zona
que se desea ver con detalle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.13. Detalle de la oreja izquierda (derecha desde nuestra posición). . . . . 141
7.1. Compresión mediante transformada wavelet. Variación en el error
cuadrático medio en el volumen reconstruido, en función del número
de coeficientes de la transformada wavelet. Escala lineal para ambos
ejes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
ix

7.2. Compresión mediante transformada wavelet. Variación en el error
cuadrático medio en el volumen reconstruido, en función del número
de coeficientes de la transformada wavelet. Escala logarítmica para el
eje de ordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.3. Compresión mediante transformada wavelet. Variación en el error
cuadrático medio de la imagen renderizada, en función del número
de coeficientes de la transformada wavelet. Escala logarítmica para el
eje de ordenadas. La curva roja corresponde a la isosuperficie de la
piel (1200) y la negra a la del hueso (600). . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.4. Compresión mediante transformada wavelet. Variación en el número
medio de errores por rodaja, en función del número de coeficientes de
la transformada wavelet. Escala logarítmica para el eje de ordenadas.
La curva roja corresponde a la isosuperficie de la piel (1200) y la negra
a la del hueso (600). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.5. Compresión mediante diezmado. Variación en el error cuadrático medio
de la imagen renderizada, en función del tanto por uno de puntos considerados
el diezmado. Escala logarítmica para el eje de ordenadas. La
curva roja corresponde a la isosuperficie de la piel (1200) y la negra
a la del hueso (600). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.6. Compresión mediante diezmado. Variación en el número medio de errores
por rodaja, en función del tanto por uno de puntos considerados
el diezmado. Escala logarítmica para el eje de ordenadas. La curva
roja corresponde a la isosuperficie de la piel (1200) y la negra a la del
hueso (600). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.7. Comparación de la compresión mediante la transformada wavelet
(rojo) y la compresión mediante diezmado (negro). Variación en el
número medio de errores por rodaja, en función del tanto por uno de
elementos considerados para realizar la compresión. Escala logarítmica
para ambos ejes. Isosuperficie correspondiente a la piel (600). . . . 158
7.8. Ejemplos de renderizaciones. Compresión mediante transformada wavelet.165
7.9. Ejemplos de renderizaciones. Compresión mediante transformada wavelet.166
7.10. Ejemplos de renderizaciones. Compresión mediante diezmado. . . . . 167
7.11. Ejemplos de renderizaciones. Compresión mediante diezmado. . . . . 168
7.12. Ejemplos de renderizaciones. Compresión mediante transformada wavelet,
con dos niveles de compresión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.13. Ejemplos de renderizaciones. Compresión mediante diezmado a una
tasa de compresión de 75 %, de dos isuperficies. . . . . . . . . . . . . 170
A.1. Red de visualización de la aplicación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
x

A.2. Diagrama OMT de herencia de la clase vtkWaveletFilter. . . . . . . 191
A.3. Mapeado de una zona de detalle en el espacio a los coeficientes de la
transformada wavelet (2D). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
A.4. Factor de significancia de los coeficientes de la transformada wavelet
(2D). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
A.5. Algoritmo del método Flood Filling “tradicional”. . . . . . . . . . . . 205
A.6. Representación del algoritmo de Flood Filling generalizado, para encontrar
cavidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
A.7. (a) Caso patológico en el que no funciona el algoritmo Flood Filling
generalizado. (b) Caso muy similar en el que sí funciona. . . . . . . . 207
B.1. Consiguiendo independencia del dispositivo mediante herencia. . . . . 215
xi

xii

Índice de cuadros
3.1. Colores comunes en los espacios RGB y HSV. . . . . . . . . . . . . . 43
4.1. Requisitos de diseño y posibles opciones . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2. Algunas aplicaciones que requieren compresión . . . . . . . . . . . . . 73
7.1. Compresión mediante transformada wavelet. Error cuadrático medio
en volumen (MSEV) y número de coeficientes wavelet, en función de
la tasa de compresión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.2. Compresión mediante transformada wavelet. Isosuperficie correspondiente
al hueso (densidad = 1200). Número medio de errores por
rodaja (NMER) y error cuadrático medio de la imagen renderizada
(MSER). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.3. Compresión mediante transformada wavelet. Isosuperficie correspondiente
a la piel (densidad = 600). Número medio de errores por rodaja
(NMER) y error cuadrático medio de la imagen renderizada (MSER). 150
7.4. Compresión mediante diezmado. Isosuperficie correspondiente al hueso
(densidad = 1200). Número medio de errores por rodaja (NMER)
y error cuadrático medio de la imagen renderizada (MSER). . . . . . 151
7.5. Compresión mediante diezmado. Isosuperficie correspondiente a la
piel (densidad = 600). Número medio de errores por rodaja (NMER)
y error cuadrático medio de la imagen renderizada (MSER). . . . . . 152
xiii

Capítulo 1
Introducción
Este proyecto fin de carrera forma parte del proyecto financiado por la Junta de
Castilla y León, con referencia VA78/99, cuyo título es “Desarrollo de una Aplicación
de Compresión y Visualización de Datos Volumétricos para los Hospitales de Castilla
y León”.
El proyecto trata de estudiar y comparar entre sí los distintos métodos existentes
para la compresión y visualización de datos volumétricos. En concreto los datos que
se estudian son los procedentes de aplicaciones médicas, que pueden ser capturadas
por distintos métodos, como pueden ser la Resonancia Magnética (RM), Tomografía
Computerizada (TC) y Ultrasonidos.
Para ser tratados por un ordenador, los datos deben ser digitales, por lo que si
inicialmente tienen naturaleza analógica deberán ser muestreados y cuantificados, de
la misma forma que ocurre con cualquier tipo de señal. Sea cual sea la forma de ser
capturados, estos datos estarán formados por múltiples secciones en dos dimensiones,
que unidas forman la ”imagen”tridimensional.
Si las imágenes bidimensionales tienen como uno de sus mayores problemas el de
su gran tamaño, este problema se ve incrementado en el caso de los datos volumétricos.
Por ello nos planteamos reducirlo mediante algun método de compresión o
simplificación. Este problema es aún más importante si cabe en el caso de que los
datos tengan que ser transmitidos entre los ordenadores de una red, especialmente
si ésta es de área amplia (WAN), como es el caso de una red que una varios centros
hospitalarios.
Los esquemas de compresión multirresolución consisten en ralizar varias versiones
a diferentes resoluciones de los datos; de forma que según la resolución requerida,
se usa un subconjunto de las mismas, reduciendo así la cantidad de datos necesaria.
De esta forma se consigue una versión de la imagen a la resolución deseada, llegando
un compromiso entre resolución y tamaño de los datos, que podrá variar según el
uso concreto, medio de almacenamiento o transmisión de los mismos, etc.
1

Vamos a estudiar e implementar principalmente dos bloques de esquemas para
la compresión de datos volumétricos
Esquema multirresolución basado en wavelets. Este método de compresión,
muy de moda hoy en día para todo tio de señales, hace uso de la transformada
wavelet para obtener la versión a baja resolución de los datos.
Esquemas no basados en wavelets. Son métodos geométricos de reducir la resolución
y, por tanto, el tamao de los datos volumétricos. Básicamente consisten
en diezmar o simplificar la malla triangular que se obtiene a partir de la red
cúbica que forman los datos, despreciando aquellos que producen un menor
error sobre el resultado.
Ambos son, en nuestro caso, métodos de compresión con pérdidas, pues aunque
la transformada wavelet permiten obtener una versión multirresolución sin pérdidas,
nuestro objetivo es reducir el tamaño de los datos volumétricos, por lo que en ambos
casos se obtendrá una versión suavizada de la imagen.
Por otro lado en el caso de aplicaciones médicas, normalmente no interesa la
imagen de forma global, sino sólo una pequeña parte de la misma, pero sin perder
toda la información del resto. En este caso es muy interesante obtener una versión
a muy baja resolución de toda la imagen (muy suavizada), excepto de la parte que
interesa. De esta forma se debe reducir mucho su tamaño, sin perder información
útil.
Nuestro objetivo no ha sido solamente la compresión de los datos volumétricos,
sino que al final, de deben visualizar las imágenes renderizadas. Se ha empleado renderización
de isosuperficies (ver capítulo 3). Dependiendo del método de compresión,
obtenemos la isosuperficie en un momento distinto:
En el caso de usar wavelets, como se transforma una función en otra, se aplica
directamente sobre los datos volumétricos, antes de calcular la isosuperficie,
que se obtiene de los datos reconstruidos a baja resolución.
En el caso de usar otros esquemas geométricos basados en diezmado de mallas
triangulares, se deben obtener en primer lugar la isosusperficie. Una vez
obtenida, se realiza el diezmado de la misma.
Los Objetivos perseguidos durante la realización del proyecto han sido los siguientes:
Implementar los esquemas de compresión basados en la transformada wavelet
y en diezmado de mallas triangulares.
Crear una aplicación interactiva, para los dos esquemas estudiados, que realice
la compresión multirresolución de los datos volumétricos, así como la
visualización de los mismos.
2

Comparar los dos esquemas de compresión en cuanto a error de la compresión,
y tamaño de los datos.
Conseguir mediante compresión wavelet que la resolución de la imagen renderizada
varíe de una zona a otra. De esta forma se ve la imagen con mayor
resolución en la zona de interés.
Las fases de su realización serán:
Estudio y lectura de los artículos y manuales necesarios para la realizacin del
proyecto.
Programación de herramientas para implementar ambos métodos de compresión,
así como su posterior visualización.
Realizar un estudio para comparar ambos esquemas de compresión.
Obtener conclusiones y posibles líneas futuras, a partir del estudio anterior.
La memoria del proyecto se ha estructurado de la forma que sigue.
En el capítulo 2 se describen los principales métodos empleados para captación
de datos volumétricos en medicina. En concreto se describe la tomografía computerizada,
la resonancia magnética y los ultrasonidos.
En el capítulo 3 se estudia la visualización o renderización de datos volumétricos.
Se hace un estudio general de todos los elementos implicados en el problema, como
pueden ser colores, luces, cámaras, . . . Además se describe el método de obtención
de isosuperficies más empleado: Marching Cubes [13].
En el capítulo 4 se explican los principales esquemas de compresión usados en
varias disciplinas de tratamiento digital de datos. En concreto, se estudian los métodos
de compresión de voz y audio, y los métodos de compresión de imágenes y datos
volumétricos. Al final del capítulo se describe el esquema de diezmado usado para
la realización del proyecto.
El capítulo 5 se dedica por completo a la transformada wavelet. En primer lugar
se estudia la transformada wavelet unidimensional, y a continuación la transformada
para datos volumétricos (3D), extensión de la anterior. También se trata la aplicación
de la transformada wavelet a compresión de datos volumétricos.
En el capítulo 6 se realiza una descripción de la aplicación a nivel de usuario,
prestando especial atención a la interfaz gráfica de usuario, pues es el medio de
interacción con el usuario. También se describen, dos ejemplos de utilización de la
aplicación que pueden servir como manual de usuario de la misma.
El capítulo 7 es el manual de referencia de la aplicación. En él se describe de
forma más concreta y profunda el programa de la aplicación. Se describen además
los algoritmos que ha sido necesario diseñar e implementar.
3

En el capítulo 8 se muestran los resultados obtenidos para medidas de error con
los dos métodos de compresión. Estos resultados son analizados y comentados.
En el capítulo 9, se enumeran las conclusiones obtenidas y se proponen líneas
futuras para continuar lo desarrollado aquí.
El proyecto se ha realizado utilizando el sistema de programación de aplicaciones
de visualización llamado Visualization Toolkit [12], que se describe en el
apéndice A. También se describe, brevemente el lenguaje de programación interpretado
Tcl/Tk [15].
Finalmente, en el apéndice B aparece parte del código fuente de las partes de
la aplicación que se han considerado más importantes. Aparece suficientemente comentadas
para continuar con el trabajo realizado.
4

Capítulo 2
Captación de Imágenes Médicas
2.1. Introducción
Las aplicaciones médicas de visualización 3D constan de varios pasos: adquisición
de datos, procesado de imagen (filtrado, compresión, máscaras de conectividad, etc.),
creación de modelos (obtención de isosuperficies), y operaciones de visualización.
En este capítulo se estudia el primer paso, la captación de los datos volumétricos
para aplicaciones médicas 1 . La captación se realiza mediante dispositivos de hardware
que muestrean ciertas propiedades en el cuerpo de los pacientes y producen
múltiples “rodajas” bidimensionales de información. Los datos muestreados dependerán
de la técnica de adquisición empleada.
La Tomografía Computerizada (TC) mide la variación espacial del coeficiente de
atenuación de los rayos-x. Las imágenes tomográficas muestran la estructura interna
del cuerpo. Para aplicaciones 3D, la TC se usa normalmente para mirar la estructura
de los huesos, pero también sirve para ver tejidos blandos, como se verá a lo largo
del proyecto.
La Resonancia Magnética (RM) mide, principalmente, tres propiedades físicas.
Una propiedad es la distribución de los núcleos móviles de hidrógeno, Las otras
dos propiedades miden los tiempos de relajación del núcleo. La imágenes obtenidas
mediante RM muestran un excelente contraste entre distintos tejidos blandos.
Finalmente, los ultrasonidos se basan en generar ondas acústicas (ultrasonidos)
hacia el interior de la zona a explorar, midiendo los ecos recibidos. Los transductores
usados hoy en día, permiten realizar barridos electrónicos de la zona de estudio sin
necesidad de moverlos mecánicamente.
1 La información necesaria para la realización de este capítulo ha sido obtenida de [1].
5

Figura 2.1: Dibujo esquemático de una instalación de TC. Consta de (1) consola de
control, (2) soporte de la grúa, (3) mesa del paciente (4) soporte para la cabeza (5)
impresor de imagen láser.
2.2. Tomografía Computerizada
2.2.1. Instrumentación
El desarrollo de la tomografía computerizada (TC) a principio de los años 70
revolucionó la radiología médica, ya que por primera vez se pudo obtener imágenes
tomográficas (secciones axiales) de alta calidad de las estructuras internas del cuerpo.
La sofisticación técnica ha aumentado enormemente desde entonces y hoy en día, la
tomografía computerizada continúa madurando.
Las imágenes se reconstruyen a partir de un gran número de medidas de la transmisión
de rayos-x a través del paciente (datos proyectados). Las imágenes resultantes
son “mapas” tomográficos del coeficiente de atenuación lineal de los rayos-x.
La tarea fundamental de los sistemas de TC es hacer un número extremadamente
alto (sobre quinientas mil) de medidas muy precisas de la transmisión de los rayos-x
a través del paciente. Estas medidas deben ser realizadas sobre una geometría muy
exacta y controlada. En la Fig. 2.1 se muestra un típico escáner moderno y en la
Fig. 2.2 aparecen algunas imágenes tomográficas. Un sistema básico, generalmente
consta de grúa, mesa de paciente, consola de control y ordenador. La grúa, a seu
vez, consta de fuente de rayos-x, detectores de rayos-x y el sistema de adquisición
de datos (SAD).
6

Figura 2.2: Imágenes típicas de TC de (a) cerebro, (b) cabeza con las órbitas, (c)
pecho con los pulmones y (d) abdomen.
7

Figura 2.3: Cuatro generaciones de escaners para TC, mostrando las geometrías de
haz paralelo y en abanico.
Tipos de Geometría para la Adquisición de Datos
Los datos proyectados se pueden adquirir mediante varias geometrías, que se describen
a continuación. Estas geometrías dependen de la configuración de exploración
(scanning), movimientos de exploración y estructura del detector. La evolución de
estos sistemas se describe en términos de “generaciones”, como se muestra en las
Figs. 2.3 y 2.4 y muestra su evolución histórica. Actualmente se usan escáners de
3. a , 4. a y 5. a generación, cada uno con sus pros y contras.
Primera Generación: Geometría de Haz Paralelo
Es la más simple técnicamente y la más sencilla para entender los principios
de TC. Se usa un solo lápiz para el haz de rayos-x y un solo detector. El
haz se traslada de forma lineal a través del paciente para obtener un perfíl de
proyección, como se puede ver en la Fig. 2.3. A continuación, se rotan la fuente
y el detector sobre el isocentro del paciente un ángulo de 1 o y se procede de
la misma forma. Este movimiento de traslación y rotación se repite, hasta que
fuente y detector se han movido 180 o . Tiene un excelente rechazo de radiación
8

dispersa en el paciente, pero el complejo movimiento de exploración hace que
el escaneado sea muy lento (aprox. 5 minutos).
Segunda Generación: Haz en Abanico, Múltiples Detectores
El tiempo de exploración se reduce a aproximadamente 30 s con el uso de
haz de rayos-x en abanico y un array lineal de detectores. Aún se usa un
movimiento traslación-rotación; sin embargo, se pueden hacer incrementos de
rotación mayores. Los algoritmos de reconstrucción son más complicados que
los de la primera generación, debido a la proyección en abanico.
Tercera Generación: Haz en Abanico, Detectores Rotatorios
Un haz de rayos-x en abanico se rota 360 o alrededor del isocentro. No hay
movimiento de traslación, por lo que el haz debe ser lo suficientemente ancho
para contener completamente al paciente. Se usa un array de detectores
curvado, formado por cientos de detectores independientes acoplados mecanicamente
a la fuente, por lo que rotan juntos. Como consecuencia, se adquieren
los datos de una imagen en 1 s. Rechazan mejor la radiación dispersa, ya que
tienen finas capas de tungsteno entre cada dos detectores y se enfocan a la
fuente de rayos-x.
Cuarta Generación: Haz en Abanico, Detectores Fijos
La fuente con el haz en abanico rota alrededor del isocentro, mientras que el
array de detectores permanece fijo y rodea completamente al paciente. Los
tiempos de escaneado son similares a los de la tercera generación. Los detectores
no están acoplados a la fuente.
Quinta Generación: Exploración por Haz de Electrones
El array de detectores permanece estacionario, mientras un haz de electrones
barre electrónicamente un ánodo de tungsteno con forma semicircular, como
se muestra en la Fig. 2.4. Se producen rayos-x en el punto en el que el haz
de electrones incide sobre el ánodo. Como resultado, se produce una fuente de
rayos-x que gira sobre el paciente sin partes móviles. Los datos proyectdos se
pueden adquirir en 50 ms, lo cual es suficiente para obtener, por ejemplo, una
imagen del corazón sin artefactos de movimiento.
Escaneado Espiral/Helicoidal
Mediante este tipo de escaneado se obtienen tiempos de exploración menores,
en especial si lo que queremos –como ocurre en nuestro caso– son escaneados
múltiples para obtener imágenes en tres dimensiones. Son sistemas de escaneado
espirales, como se muestra en la Fig. 2.5. Los sistemas de tercera y cuarta
generación consiguen esto mediante canales en forma de anillo sobre los que
rota la grúa. Proporcionan alimentación al sistema y permiten una rotación
continua y un movimiento suave de la fuente de rayos-x. Se adquieren múltiples
imágenes mientras el paciente se mueve a través de la grúa. Esto permite
un movimiento continuo, en lugar de parar en la adquisición de cada imagen.
9

Figura 2.4: Esquema de un escáner ultrarrápido de quinta generación. La imagen se
adquiere en 50 ms por el barrido electrónico del ánodo.
Se puede obtener de esta forma una “rodaja” por segundo. Los algoritmos de
roconstrucción son más complicados, ya que deben tener en cuenta el camino
espiral recorrido por la fuente de rayos-x.
Sistema de Rayos-X
El sistema de rayos-x consta de fuente de rayos-x, detectores y sistema de adquisición
de datos.
Fuente de Rayos-X
Produce los rayos-x acelerando un haz de electrones sobre un blanco, que es el
ánodo. El área del ánodo desde el que se emiten los rayos-x, proyectándolos a
lo largo de la dirección del haz, se llama zona focal. Se usa un colimador para
controlar el ancho del haz en abanico, entre 1.0 y 10 mm. Mediante este haz
se controla el tamaño de las “rodajas”.
La intensidad del haz de rayos-x disminuye por los fenómenos de atenuación y
dispersión, al pasar por el cuerpo del paciente. El grado de atenuación depende
del espectro de energía de los rayo-x, así como del número atómico medio y
densidad de los tejidos del paciente. La intensidad transmitida está dada por
∫ L
I t = I 0 e
µ(x)dx 0 (2.1)
donde I 0 e I t son las intensidades del haz incidente y transmitido, respectivamente;
L es la longitud de la trayectoria de los rayos; y µ(x) es el coeficiente de
atenuación lineal de los rayos-x, que varía con el tipo de tejido y por tanto es
10

Figura 2.5: El escaneado en espiral provoca que el punto focal siga una trayectoria
espiral alrededor del paciente.
una función de la distancia x a través del paciente. La integral del coeficiente
de atenuación es, por tanto
∫ L
0
µ(x)dx = − 1 L ln ( It
I 0
)
(2.2)
El algoritmo de reconstrucción requiere medidas de esta integral a lo largo
de muchos caminos del haz en abanico, en cada uno de los muchos ángulos
alrededor del isocentro. El valor de L es conocido, y I 0 se determina por el
sistema de calibración. Por tanto, el valor de la integral a lo largo de cada
camino se pueden calcular a partir de las medidas de I t
Detectores de Rayos-X
Los detectores de rayos-x deben poseer las siguientes características:
• Alta eficiencia total, para minimizar la dosis de radiación sobre el paciente.
• Alto rango dinámico.
• Ser muy estables con el tiempo.
• Ser insensibles a las variaciones de temperatura dentro de la grúa.
Hay tres factores que contribuyen a la eficiencia del detector:
11

Eficiencia geométrica: área de los detectores sensible a la radiación, como
fracción del área total expuesta. Si se ponen finas superficies entre los
detectores para reducir la radiación dispersa, esta eficiencia disminuye.
Eficiencia cuántica: fracción de los rayos-x incidentes que son absorbidos y
contribuyen a la señal medida.
Eficiencia de conversión fracción entre la señal eléctrica obtenida a la salida
y la señal de rayos-x en el detector.
La eficiencia total es el producto de las tres anteriores y suele estar entre
0.45 y 0.85. Un valor menor de 1 indica un detector no ideal y produce un
incremento en la dosis de radiación que sufre el paciente, si se quiere mantener
la calidad de la imagen.
Los sistemas comerciales modernos usan uno de estos dos tipos de detectores:
Detectores de estado sólido: Constan de un array de critales centelleantes
y fotodiodos. Los cristales centelleantes son de tungstenato de cadmio
(CdWO 4 ) o materiales cerámicos de tierras raras. Generalmente tienen
una muy alta eficiencia cuántica y eficiencia de conversión, y un gran
rango dinámico.
Detectores de gas ionizado: Están formados por un array de cámaras que
contienen gas a alta presión (normalmente xenón a más de 30 atm.) separadas
por finas paredes de tungsteno. Se aplica un alto voltaje a superficies
alternas, para recoger los iones producidos por la radiación. Estos detectores
tienen una gran estabilidad y gran rango dinámico; sin embargo
suelen tener menor eficiencia cuántica que los de estado sólido.
Sistema de Adquisición de Datos (SAD) La fracción I t /I 0 a través de
un paciente obeso puede ser menor de 10 −4 . Por tanto, el DAS debe medir
con precisión I t , sobre un rango de más de 10 4 , codificar los resultados a
valores digitales y transmitirlos al sistema de reconstrucción. La mayoría de los
DAS constan de preamplificadores de precisión, conversores corriente–voltaje,
integradores analógicos, multiplexores y conversores analógico–digital. En la
Fig. 2.6 se muestra un esquema. La conversión logarítmica requerida en la
Eq. (2.2) se realiza con un conversor logarítmico analógico o bien con una
tabla de traducción digital, según el fabricante.
La tasa media de transferencia al sistema informático es del orden de 10 Mbytes/s
para algunos escáners. Esto se puede conseguir mediante conexiones directas,
en los sistemas con un array de detectores fijo. En los sistemas de tercera
generación, se usan sistemas más sofisticados, como transmisores ópticos.
Sistema informático Los sistemas pueden variar dependiendo del fabricante,
pero un esquema típico se muestra en la Fig. 2.7. Usa 12 procesadores independientes
conectados por un multibus de 40 MBytes/s. Se usan procesadores
12

Elemento
detector
Transductor
I-V
Integrador
Multiplexor
ADC
al ordenador
Figura 2.6: El sistema de adquisición de datos convierte la señal eléctrica producida
en cada detector a un valor digital en el ordenador.
en array para conseguir una velocidad conjunta de 200 MFLOPS (millones de
operaciones en punto flotante por segundo) y un tiempo de 5 s para reconstruir
una imagen de 1024 × 1024 pixels. Se usa un sistema operativo UNIX simplificado
para proporcionar multitarea y entorno multiusuario. De esta forma se
pueden coordinar todas las tareas.
2.2.2. Principios de Reconstrucción: Proyección de los Datos
a la Imagen
El gran impacto de la TC creó un considerable interés en los aspectos formales
de la reconstrucción. Hay muchas descripciones de los procedimientos de reconstrucción
directa. Sin embargo esto queda totalmente fuera de mi estudio. Hay algunos
manuales destinados a cursos de un año de duracion, que se ocupan únicamente de
los principios de reconstrucción. Aquí simplemente daré algunas ideas básicas.
El método estándar de reconstrucción se llama convolución y retroproyección.
El primer paso del método consiste en convolucionar la proyección –un conjunto
de transmisiones hechas a lo largo de líneas paralelas en el plano de la rodaja–
con un kernel derivado de la transformada inversa de Radon. La elección del kernel
está determinada por los problemas relacionados con la limitación del ancho de
banda. Se puede modificar para tener en cuenta la apertura física del sistema TC,
y se pueden incluir efectos de dispersión.
El siguiente paso es retroproyectar a una matriz bidimensional (la imagen que
queremos obtener) la proyección convolucionada. La retroproyección es el proceso
opuesto a proyección. El valor de la proyección se suma a cada punto a lo largo
de la línea de la proyección. Este procedimiento tiene sentido en una descripción
continua, pero para matrices discretas, la suma se debe hacer sobre la matriz de la
imagen. El problema es que muy pocas, o ninguna línea intersecta cada punto de la
matriz. Por eso, para estimar el valor de proyección que se debe añadir a un punto,
se interpolan dos valores muestreados de la proyección convolucionada. El esquema
13

Figura 2.7: El sistema informático controla los movimientos de la grúa, adquiere la
medida de las transmisiones de rayos-x, y reconstruye la imagen final. El sistema
mostrado aquí usa 12 CPUs de la familia 68000 (Cortesía de Picker International,
Inc.).
14

de interpolación lineal es sensiblemente mejor que el de elegir la proyección más
cercana al punto de la matriz. No se usan esquemas de interpolación más complejos,
pues son incompatibles con la elección del kernel, que se suele hacer para realizar
cierto tratamiento sobre la imagen, como por ejemplo realce de bordes.
Se han desarrollado escáners para adquirir un conjunto tridimensional de datos
proyectados. Como ya indiqué anteriormente, el movimiento de la fuente define una
espiral relativa al paciente. El movimiento en espiral define un eje. Como consecuencia,
sólo se dispone de una proyección para la reconstrucción de los valores de
atenuación en el plano. Éste es el mismo problema de la imagen bidimensional y la
solución es idéntica: un valor de proyección se interpola a partir de los valores de
proyección existentes, para estimar las proyecciones necesarias para reconstruir cada
plano. Este procedimiento tiene la ventaja de que las rodajas superpuestas pueden
ser reconstruidas sin una exposición adicional, lo cual elimina el riesgo de que una
pequeña lesión se pierda a causa de que se extienda a ambos lados de rodajas adyacentes.
Los escáners en espiral han hecho posible la adquisición de un conjunto
completo de datos de una sola pasada.
2.3. Resonancia Magnética
2.3.1. Adquisición y Procesado
La Resonacia Magnética (RM) es un método de adquisición de imágenes
médicas muy importante, debido a su excepcional contraste entre tejidos blandos.
Al igual que la tomografía computerizada, se inventó a principios de los años 70.
El primer escáner comercial apareció, sin embargo, diez años después. Durante los
años 80 sólo se encontraban en algunos centros de investigación de Estados Unidos.
Sin embargo, hoy en día hay escáners en los departamentos de radiología de muchos
hospitales de todo el mundo, capaces de obtener imágenes para el diagnóstico de
la anatomía interna del cuerpo humano. Estudios no invasivos mediante RM están
sustituyendo a muchos procedimientos convencionales invasivos. Un estudio de 1990
mostró que las principales aplicaciones de las RM son: la exploración de la cabeza
(40 %), la espina dorsal (33 %), huesos y articulaciones (17 %), y el tronco (10 %). El
porcentaje de huesos y articulaciones ha crecido desde entonces. En 1991, había más
de dos mil ochocientos escáners de RM en funcionamiento en todo el mundo y se
hacían más de seis millones de escáners al año. Estas cifras han aumentado mucho
desde entonces.
Aunque la duración típica de un escáner varía entre 1 y 10 minutos, las nuevas
técnicas permiten la adquisición de imágenes en menos de 50 ms. La investigación en
RM tiene que tener en cuenta los compromisos entre resolución, rapidez y relacion
señal a ruido (SNR).
15

Los escáners de RM usan la técnica de resonancia magnética nuclear para inducir
y detectar una señal de radiofrecuencia, que es la manifestación del magnetismo nuclear.
El término magnetismo nuclear se refiere a propiedades magnéticas débiles
que exhiben algunos materiales, como consecuencia del spin nuclear asociado con
el núcleo de sus átomos. En particular, el protón, que es el núcleo del átomo de
hidrógeno, posee un spin distinto de 0 y es una excelente fuente de señales de RM. El
cuerpo humano cotiene un número enorme de átomos de hidrógeno –especialmente
en el agua (H 2 O) y moléculas de lípidos. Aunque se pueden obtener señales biológicamente
importantes a partir de otros elementos químicos del cuerpo, como el
fósforo y el sodio, la gran mayoría de los estudios clínicos de RM se basan en los
protones del hidrógeno del paciente.
Fundamentos de Resonancia Magnética
La resonancia magnética explota la existencia de un magnetismo nuclear inducido
en el paciente. Los materiales con un número impar de protones o neutrones
tienen un momento magnético nuclear, que aunque es pequeño, es observable. Las
imágenes normalmente se obtienen de los protones ( 1 H), aunque también tienen
interés el carbono ( 13 C), fósforo ( 31 P), sodio ( 23 Na) y flúor ( 19 F). Los momentos
nucleares están normalmente distribuidos de forma aleatoria, pero cuando se sitúan
bajo un campo magnético intenso, se alinean. Las intensidades típicas de campo
magnético varían de 0.2 a 1.5 T. La magnetización nuclear que se produce es muy
débil comparada con el campo magnético aplicado (del orden de 4 × 10 −9 ). A la
colección de momentos nucleares se le suele llamar magnetización o spins.
El momento magnético nuclear es demasiado débil para poder ser medido cuando
está alineado con el campo magnético estático. Mediante técnicas de resonancia, este
débil momento puede ser medido. La idea es medir el momento mientras oscila en un
plano perpendicular al campo estático. Cuando el momento es perpendicular a este
campo, sufre un par de torsión proporcional a la intensidad del campo estático. El
par es siempre perpendicular a la magnetización, y provoca que los spins oscilen en
un plano perpendicular al campo estático. La frecuencia de la rotación ω 0 , llamada
frecuencia de Larmor, es proporcional a la intensidad del campo:
ω 0 = −γB 0 (2.3)
donde γ es la relación giromagnética, una constante específica del núcleo, y B 0 la
intensidad del campo magnético estático. La dirección de B 0 define el eje z.
Para poder observar esta oscilación, tenemos que desviar la magnetización de
la dirección del campo estático. Esto se consigue con un campo de radiofrecuencia
(RF) rotatorio débil. Se puede demostrar que un campo de este tipo introduce un
campo ficticio en la dirección z de intensidad ω/γ. Sintonizando la frecuencia de
este campo de RF a ω 0 , de forma efectiva borramos el campo B 0 . El campo de RF
va desviando lentamente la magnetización del eje z.
16

Como los momentos de oscilación constituyen un flujo variable con el tiempo,
producen un voltaje, que puede ser medido en un antena acoplada para medir las
componenetes x e y de la inducción. La señal obtenida de la resonancia magnética
nuclear del cuerpo humano se debe, fundamentalmente, a los protones del agua. Como
estos protones están en entornos magnéticos idénticos (moléculas de H 2 O), todos
resuenan a la misma frecuencia, con lo que la señal es simplemente proporcional al
volumen de agua. La innovación clave para RM es imponer variaciones espaciales
al campo magnético para distinguir los spins por su localización. Aplicando un gradiente
de campo magnético, se produce una oscilación en cada región del volumen
a distinta frecuencia. El campo no uniforme más efectivo consiste en un gradiente
lineal, donde el campo y la frecuencia resultantes varían linealmente con la distancia
a lo largo del objeto estudiado. Como veremos a continuacion, mediante un análisis
de Fourier de la señal, se obtiene un mapa de la distribución espacial de los spins.
Análisis del k-Espacio de Adquisición de Datos
En RM lo que recibimos e una integral de volumen de un array de osciladores.
Si nos aseguramos de que la fase de cada oscilador sea única, podemos asignar
una única localización a cada spin y por tanto reconstruir la imagen. Durante la
recepción, el campo magnético aplicado apunta en la dirección z, mientras que los
spins oscilan en el plano xy a la frecuencia de Larmor. Por tanto, un spin en la
posición r = (x, y, z) tiene una fase única θ, que describe un ángulo relatico al eje y
en el plano xy:
θ(r, t) = −γ
∫ t
0
B z (r, τ)dτ (2.4)
donde B z (r, τ) es la componente z de la densidad instantánea local de flujo magnético.
En esta fórmula se asume que no hay componentes de campo en x e y.
Una bobina suficientemente grande para recibir el flujo variante con el tiempo,
de forma uniforme de todo el volumen, produce una señal proporcional a
s(t) ∝ d dt
∫
V
M(r)e −jθ(r,t) dr (2.5)
donde M(r, t) es la densidad del momento de equilibrio en cada punto r.
La idea clave de la reconstrucción es suponer que el campo estático B 0 tiene
variación lineal. Este campo apunta en la dirección z y varía en alguna dirección.
En general este campo es (xG x +yG y +zG z )ẑ, o de forma compacta: G · rẑ. Además,
estas componentes pueden variar con el tiempo, con lo que el campo total es
Con este gradiente, la señal recibida es
s(t) ∝ d dt
B z (r, t) = B 0 + G(t)·r (2.6)
∫
V
e −jγB 0t M(r)e −jγ ∫ t
0 G(τ)·rdτ dr (2.7)
17

La frecuencia central γB 0 es siempre mucho mayor que el ancho de banda de la
señal, por lo que se puede aproximar la derivación por una multiplicación por −jω 0 .
Demodulando, la señal en banda-base es
∫
∫
S(t) ∝ −jω 0 M(r)e −jγ t
G(τ)·rdτ 0 dr (2.8)
Si defino el término k(t) como:
V
k(t) = γ
∫ t
o
G(τ)dτ (2.9)
puedo reescribir la señal en banda base como
∫
S(t) ∝ −jω 0 M(r)e −jk(t)·r dr (2.10)
V
que se puede identificar cono la transformada de Fourier espacial de M(r) evaluada
en k(t). Esto se puede escribir como:
S(t) ∝ ˆM(k(t)) (2.11)
donde ˆM(k) es la transformada de Fourier tridimensional de la distribución en el
objeto M(r). Por tanto podemos ver la RM con un gradiente lineal como una exploración
del k-espacio o de la transformada de Fourier de la imagen. Una vez escaneada
la parte del k-espacio deseada, se obtiene la imagen M(r) mediante la transformada
de Fourier inversa.
Mecanismos de Contraste
La tremenda utilidad de la RM es debida a la gran variedad de mecanismos
que se pueden usar para crear una imagen de contraste. Si las imágenes sólo se
pudieran obtener a partir de la densidad de agua, las resonancias magnéticas serían
mucho menos útiles, ya que muchos tejidos aparcerían idénticos. Afortunadamente se
pueden usar muchos mecanismos de contraste para distinguir los diferentes tejidos.
Los principales mecanismos usan la relajación de la magnetización. A continuación
describo los dos tipos de relajación:
Relajación de spin-red, T 1 : velocidad de recuperación de la componente z
de magnetización hacia el equilibrio, después de ser polarizado por los pulsos
de RF. La recuperación está dada por
M z (t) = M o (1 − e −t/T 1
) + M z (0)e −t/T 1
(2.12)
donde M 0 es la magnetización de equilibrio. Diferencias en la constante de
tiempo T 1 se pueden usar para obtener el contraste de la imagen. En la parte
izquierda de la Fig. 2.8 se puede ver la recuperación de dos componentes T 1
diferentes. La componente con T 1 menor se recupera más rápido y produce
más señal.
18

Figura 2.8: Los dos mecanismos principales de contraste en resonancias magnéticas,
T 1 y T 2 .
Relajación spin-spin, T 2 : velocidad de decaimiento de las componentes
transversales de la magentiazación (M x y M y ), después de ser creadas. La
señal es proporcional a la magnetización transversal y viene dada por
M xy (t) = M xy (0)e −t/T 2
(2.13)
La imagen de contraste se obtiene retrasando la adquisición de datos. En la
parte derecha de la Fig. 2.8 se muestra el decaimiento de dos componentes T 2
diferentes. La señal de la componente con T 2 menor decae más rápidamente.
En el momento de recoger los datos, la componente con T 2 mayor produce más
señal
En la Fig. 2.9 aparecen ejemplos de estos dos tipos básicos de contraste. Estas
imágenes son de la misma sección del cerebro. La imagen de la izquierda está obtenida
a partir de T 1 . El anillo exterior brillante es de grasa (materia blanca), que tiene
un menor T 1 que la materia gris. La imagen de la derecha está obtenida a partir de
T 2 . El fluido cerebroespinal de los ventrículos es más brillante, debido a su mayor
T 2 . La materia blanca tiene un menor T 2 que la materia gris, por lo que aparece más
oscura en la imagen.
Además de estos métodos básicos para obtener contraste, se pueden introducir
agentes artificiales. Normalmente se administran de forma intravenosa u oral. Hay
muchos mecanismos de este tipo, pero los agentes más usuales disminuyen T 1 y T 2 .
Disminuyendo T 1 se consigue una recuperación más rápida de la señal y una señal
más alta en una imagen que se base en T 1 . De esta forma, las regiones con el contraste
realzado se muestran más brillantes con respecto al resto de la imagen.
19

Figura 2.9: Ejemplos de imágenes de un voluntario normal mostrando el contraste
T 1 a la izquierda y el T 2 a la derecha.
2.3.2. Hardware e Instrumentación
Para realizar una RM en un paciente, se le debe colocar en un entorno en el que
varios campos magnéticos diferentes se apliquen sobre el mismo de forma simultánea
o secuencial, como ya se ha visto en el apartado anterior. Todos los escáners utilizan
un imán de campo estático fuerte, junto con un conjunto sofisticado de bobinas
de gradiente y bobinas de radiofrecuencia. Las componentes de gradiente y de radiofrecuencia
deben activarse y desactivarse con un patrón temporal preciso. Se usan
diferentes secuencias de pulsos para extraer diferentes tipos de datos del paciente.
Las imágenes de RM se caracterizan por el excelente contraste entre varios tipos
de tejidos blandos del cuerpo. Además, para pacientes sin cuerpos ferromagnéticos
extraños en el interior de su cuerpo, la RM es perfectamente segura y puede ser
repetida, sin peligro, con tanta frecuencia como sea necesaria. Esto proporciona una
de las principales ventajas de la RM con respecto a los rayos-x convencionales y
los escáners de tomografía computerizada. La señal usada en RM no es bloqueada
en absoluto por regiones de aire o hueso dentro del cuerpo, lo cual supone una importante
ventaja sobre los ultrasonidos. También, al contrario que en el escaneado
mediante medicina nuclear, no es necesario suministrar materiales radioactivos al
paciente.
Fundamentos de Instrumentación para RM
Hacen falta tres tipos de campos magnéticos –campos principales o campos
estáticos (B 0 ), campos de gradiente, y campos de radiofrecuencia (RF) (B 1 )– en
los escáners usados para RM.
20

Flujos de Datos
Dominio Digital
Pulso de Gradiente y RF
Amplitud y Temporizacion
Dominio Analogico
(Ordenador, Almacenamiento Masivo,
Consolas, Procesador en Array, Red)
Senales NMR en el
Dominio del Tiempo
(Amplificadores de Gradiente y RF,
Transceptor, Pruebas, Iman)
Figura 2.10: Dominios digital y analógico en RM. Las RM requieren el intercambio
de datos y comandos entre estos dos dominios.
Una implementación satisfactoria de un sistema de RM requiere un flujo de infromación
bidireccional entre los formatos analógico y digital, como se puede ver en
la Fig. 2.10. El imán principal, las bobinas de RF y gradiente, y la alimentación de
los sitemas de RF y gradiente, operan en el dominio analógico. El dominio digital
se centra en un ordenador de propósito general, usado para proporcionar la información
de control (patrón temporal y amplitud de los pulsos) a los amplificadores
de gradiente y RF, para procesar la señal de la RM en el dominio del tiempo y para
controlar los sistemas de representación y almacenamiento de la imagen. Además,
el ordenador ofrece funciones variadas de control que permiten al operador, por
ejemplo, controlar la posición de la mesa del paciente.
Imanes de Campo Estático
El imán del campo principal se usa para producir un campo estático intenso en
toda la región que se va a escanear. Para obtener los resultados deseados, este campo
debe ser extremadamente uniforme en el tiempo y en el espacio. En la práctica, la
variación espacial de este campo en toda la zona de escaneado (de alrededor de 40 cm
de diámetro), debe ser del orden de 1 a 10 partes por millón (ppm). Para conseguir
estos altos niveles de homogeneidad es necesario un diseño y una fabricación muy
cuidadosa. La variación temporal del campo debe ser menor de 0.1 ppm/h.
Actualmente se usan dos unidades de intensidad de campo magnético. El Gauss
(G) se ha usado tradicionalmente y aún se usa por razones históricas. La Tesla (T)
es una unidad adoptada más recientemente; se prefiere en general, pues pertenece
al SI. La tesla es una unidad mucho mayor que el gauss (1 T equivale a 1000 G).
El campo magnético de la tierra vale sobre 0.05 mT (0.5 G), y el campo de un
21

imán permanente bastante potente, 0.5 T (5000 G). El campo magnético estático
de los imanes de los sitemas modernos de RM varían entre 0.5 y 1.4 T. La SNR en
un escáner de RM crece linealmente con la intensidad de campo magnético, por lo
que para mejorar la SNR se ha hecho mucho esfuerzo en la obtención de campos
magnéticos estáticos mayores.
Los campos magnéticos se pueden conseguir mediante una corriente eléctrica
o mediante imanes permanentes. En ambos casos, la intensidad de campo decae
rápidamente al alejarse de la fuente, y no se puede conseguir un campo magnético
altamente uniforme lejos de las fuentes. Como consecuencia, para conseguir el campo
magnético uniforme necesario para RM, es necesario rodear, más o menos, al
paciente con un imán. Por ello, el imán que genera el campo estático debe ser lo
suficientemente grande para rodear al paciente. Por estas razones, este imán es el elemento
más importante del sistema, que determina el coste y los resultados obtenidos.
Se han usado cuatro clases de imanes: imanes permanentes, electroimanes, imanes
resistivos e imanes de superconductor.
Imanes Permanentes y Electroimanes. Ambos usan materiales imantados
para producir los campos que se aplican al paciente. En el caso de usar imán
permanente, se coloca al paciente en el hueco existente entre los dos polos del
imán. Los electroimanes usan una configuración similar, pero están hechos de
materiales magnéticos débiles que se magnetizan al hacer circular corriente
eléctrica por bobinas enrolladas a su alrededor. La separación entre los polos
debe ser suficiente para albergar al paciente y a las bobinas de RF y gradiente.
Los imanes permanentes tienen algunas ventajas: tienen menores efectos de
bordes y no necesitan corriente para funcionar. Sin embargo, suelen ser muy
pesados (más de cien toneladas) y pueden producir campos relativamente bajos
(0.3 T o menos). Además pueden sufrir desviaciones temporales, debido a los
cambios de temperatura. Actualmente se están usando nuevos materiales más
ligeros.
Imanes Resistivos. Son bobinas conectadas a fuentes de corriente continua
muy potentes (40 a 100 kW). Debido a la resistencia de las bobinas, se calientan
mucho, por lo que deben ser refrigerados con agua. Actualmente casi no se
usan, excepto para aplicaciones en las que se usen campos magnéticos muy
bajos (0.02 a 0.06 T).
Imanes Superconductores. Desde principio de los años 80, el uso de imanes
superconductores enfriados a temperaturas criogénicas ha sido la mejor solución
al problema de producir campos estáticos en los escáners de RM. Como
se sabe, estos materiales tienen una resistencia nula a temperaturas cercanas
al 0 absoluto. Si las bobinas hechas de materiales con esta propiedad no tienen
defectos que interrumpan el flujo de corriente, y se genera una corriente a
través de las mismas, al juntar los dos extremos de la bobina, se establece
22

una corriente constante y duradera. Esta corriente permanece inalterable indefinidamente,
siempre que se mantenga al superconductor por debajo de su
temperatura de transición. La estabilidad de este tipo de imanes es realmente
enorme –hay imanes que han funcionado durante años totalmente desconectados
de las fuentes de corriente y han mantenido el campo magnético constante,
con variaciones de pocas ppm. Debido a su habilidad para proporcionar
intensidades de campo muy estables e intensas sin consumo de energía, son
actualmente los más usados para los imanes principales de los escáners de RM.
Homogeneidad del campo magnético. La uniformidad necesaria en el campo
magnético estático sólo se puede conseguir colocando las bobinas en determinadas
posiciones espaciales. Una espira genera en su eje un campo magnético en la dirección
de este eje, que se puede expresar como una suma de armónicos esféricos.
El primer término de la suma es independiente de la posición y es, por lo tanto,
el campo deseado. Los armónicos superiores son inhomogeneidades espaciales que
nos estropean la homogeneidad deseada. Estas inhomogeneidades se pueden reducir
colocando otras bobinas en determinadas posiciones espaciales. Por ejemplo, mediante
un sistema de seis bobinas se puede eliminar hasta el armónico número 12,
haciendo a este sistema útil para ser usado en RM.
En la práctica, la presencia de campos magnéticos externos provoca también
inhomogeneidades en el campo constante. Por ello se tratan de reducir colocando,
en determinadas posiciones de la sala de exploración, bobinas (aislamiento activo) o
imanes permanentes (aislamiento pasivo). Las posiciones de estos imanes se determinan,
al instalar el sistema, midiendo el campo magnético en la sala. Si se mueve
un gran objeto cerca de esta sala con materiales magnéticos –como una fuente de
alimentación– puede ser necesario volver a medir el campo magnético en la sala y
recolocar el aislamiento.
Campos Radiados. Un gran imán produce, además, campos en la zona que
rodea al sistema, no sólo en su interior. Estos campos pueden borrar sistemas de
almacenamiento informático, como discos y cintas, además de otros elementos como
tarjetas de crédito. También es un peligro potencial para personas con dispositivos
implantados, como pueden ser los marcapasos. Como medida de seguridad, se suele
limitar el acceso a estas zonas (que se suelen extender a una distancia de 10 a
12 m del centro de un imán de 1.5 T. También se suelen usar aislamientos formados
por placas metálicas (aislamiento pasivo) o bobinas con la corriente en la dirección
contraria a la del imán principal (asilamiento activo).
Bobinas de Gradiente
Se usan tres campos de gradiente, uno para cada una de las tres direcciones
del sistema de coordenadas cartesiano, x, y y z, para codificar la información de la
posición en una señal de RM, y para permitir distinguir la señal proviniente de las
23

distintas rodajas que forman el volumen. La dirección del campo estático, a lo largo
del eje del escáner, se toma convencionalmente como eje z y sólo la componente
cartesiana del campo de gradiente en esta dirección, contribuye significativamente
al comportamiento resonante de los núcleos. Por tanto, los tres campos de gradiente
relevantes son B z = G x x, B z = G y y, y B z = G z z. La resonancia magnética se lleva
a cabo sometiendo al sistema de spins a una secuencia de camnpos de gradiente y
RF pulsados. Por lo tanto, es necesario tener tres bobinas separadas, una para cada
dirección, cada una de ellas con un control y una fuente de alimentación independientes.
Normalmente, la forma más normal de construir las bobinas de gradiente es
enrollándolas alrededor de una horma cilíndrica, que rodea al paciente y está dentro
del imán principal.
Bobinas de Radiofrecuencia
Las bobinas de radiofrecuencia se usan en los escáners para dos propósitos fundamentales:
transmitir y recibir señales a la frecuencia de resonancia de los protones
dentro del paciente. La oscilación ocurre, como hemos visto a la frecuencia de Larmor
de los protones, que es proporcional a la intensidad del campo magnético estático.
Las intensidades de campo magnético varían en general de 0.02 a 4 T, por lo que
las frecuencias varían de 0.85 a 170.3 MHz. Estas frecuencias están en la zona del
espectro usada para radiodifusión de radio y televisión, por ello los componentes
electrónicos usados en el transmisor y receptor del escáner son muy parecidos a los
de radio y televisión. Una diferencia importante entre ambos sistemas, es que las antenas
de los sistemas de radiodifusión operan en condiciones de campo lejano (están
separadas muchas longitudes de onda entre sí). Por el contrario, en los escáners, la
separación entre transmisores y receptores es mucho menor de una longitud de onda,
por lo que operan en condiciones de campo cercano. En campo lejano, la energía
del campo electromagnético es compartida por igual entre las componentes eléctrica
y magnética del campo, mientras que cerca de un dipolo magnético, prácticamente
toda la energía está en el campo magnético.
Las bobinas de RF se colocan en el espacio entre el paciente y las bobinas de
gradiente. Se usan aislamientos conductores justo dentro de las bobinas de gradiente,
para evitar acoplamiento electromagnético entre las bobinas de RF y el resto del
escáner.
Procesado Digital de los Datos
Un protocolo típico de escaneado, confecciona una secuencia de pulsos de RF y
gradiente de duración controlada, en intervalos de 0.1 µs. Para conseguir suficiente
rango dinámico para controlar las duraciones de los pulsos, se usan conversores D/A
de 12 a 16 bits. La señal de RF a la frecuencia de Larmor se mezcla con un oscilador
local, como ya vimos, para conseguir una señal en banda base con un ancho de banda
24

típico de 16 a 32 kHz. El sistema de adquisición de datos (SAD) debe digitalizar la
señal en banda base a la frecuencia de Nyquist, lo cual requiere muestrear la señal de
RF en intervalos de 5 a 20 µs. De nuevo es necesario tener suficiente rango dinámico;
se usan conversores A/D de 16 a 18 bits. La adquisición de datos se realiza a una
tasa del orden de 800 kBytes/s, y cada imagen puede contener más de 1 MByte de
datos digitales. Se usa un procesador en array para realizar rápidamente algoritmos
específicos, como la transformada rápida de Fourier (FFT), usada para convertir
datos digitales en el dominio del tiempo, al dominio de la imagen. Típicamente las
imágenes en dos dimensiones se muestran como matrices de 256 × 128 o 256 × 256 o
512 × 512 pixels. Estas imágenes pueden estar disponibles para ser visualizadas, tan
solo 1 segundo después de su adquisición. Las imágenes en tres dimensiones requieren
más procesado y por tanto mayor tiempo entre adquisición y visualización.
Para cada pixel de la imagen se calcula un valor de brillo, típicamente de 16
bits de grises –como tenemos en los datos usados para la realización del proyecto–
y corresponde a la intensidad de señal originada en cada voxel del objeto. Para
hacer un uso más efectivo de la información contenida en las imágenes, se pueden
usar técnicas sofisticadas de visualización, como por ejemplo visualización de múltiples
imágenes al mismo tiempo, visualización secuencial de las imágenes (como en
el cine) y renderización tridimensional de las superficies anatómicas (que es parte
del objetivo del proyecto). Estas técnicas, especialmente la última, son intensivas
computacionalmente y requieren el uso de hardware específico. Las imágenes de RM
están disponibles como datos digitales, por lo que se hace un gran uso de las redes de
área local (LANs) para distribuir la información por el hospital; también se pueden
usar redes de área amplia (WANs), para transmitir las resonancias entre hospitales
(teleradiología). Esta es una de las posibles líneas futuras de investigación.
2.4. Ultrasonido
2.4.1. Transductores
Un transductor de ultrasonido genera ondas acústicas, convirtiendo energía magnética,
térmica, o eléctrica a energía mecánica. La técnica más efectiva para ultrasonidos
médicos usa el efecto piezoeléctrico, que fue demostrado por primera vez por Jacques
y Pierre Curie en 1880. Aplicaron una presión a un cristal de cuarzo y detectaron una
diferencia de potencial entre las caras opuestas del material. También descubrieron
el efecto piezoeléctrico inverso; aplicando un campo eléctrico a través del cristal, se
induce una deformación mecánica en el mismo. De esta forma, tenemos un transductor
piezoeléctrico, que convierte una señal eléctrica oscilante en una onda acústica
y viceversa. Para usos médicos, el material ferroeléctrico más usado es el titanatocirconato
de plomo (PZT).
Se han conseguido muchos avances en las imágenes obtenidas con ultrasonidos,
25

por las innovaciones en la tecnología de los transductores. Una de esas innovaciones
es el desarrollo de transductores en array lineal. Anteriormente, los sistemas de
ultrasonidos obtenían una imagen moviendo manualmente el transductor por la
región de interés. Incluso los escáners más rápidos tardaban varios segundos en
obtener una imagen, por ello sólo se podían escanear elementos estáticos. Si, por
el contrario, el haz acústico recorre la región de interés rápidamente, los médicos
podrían visualizar elementos móviles, como el corazón latiendo. Además, se pueden
obtener imágenes en tiempo real, permitiendo al médico posicionar inmediatamente
el transductor y los parámetros del sistema.
Para conseguir imágenes en tiempo real, se desarrollaron nuevos tipos de transductores
que direccionan rápidamente el haz acústico. Los transductores en forma
de pistón, se diseñaron para rotar sobre un eje fijo direccionando de forma mecánica
el haz ultrasónico. Los arrays lineales secuenciales, se diseñaron para enfocar electrónicamente
el haz en una región rectangular. Por último, los transductores en array
lineal de fase, se diseñaron para direccionar y enfocar el haz, electrónicamente, con
gran velocidad.
Escaneado con Transductores en Array
Los transductores en array usan los mismo principios que las lentes acústicas para
enfocar un haz acústico. En ambos casos se aplican retardos variables a lo largo de la
apertura del transductor. Sin embargo, en un array secuencial o de fase, los retardos
se controlan de forma electrónica y pueden cambiar de posición instantáneamente
para enfocar el haz a diferentes regiones. Los arrays lineales se desarrollaron en
primer lugar para radar, sonar y radio astronomía.
Los arrays lineales no tienen partes móviles, como tenían los de pistón y además,
su enfoque se puede dirigir a cualquier punto del plano de exploración. El sistema
puede generar una gran variedad de formatos de exploración. Las desventajas de los
arrays lineales, son debidas a la mayor complejidad y mayor precio de los sistemas.
Para obtener imágenes de alta calidad, hacen falta arrays de muchos elementos (128
actualmente y subiendo). Los elementos del array tienen, típicamente, menos de
un milímetro de lado y cada uno debe tener conexión independiente a su propia
electrónica de transmisor y receptor. Sin embargo las ventajas son mucho más importantes
que las desventajas. Además, las mejoras en las técnicas de fabricación de
transductores y circuitos integrados permiten transductores y escáners más avanzados.
Enfoque y Direccionado de los Arrays de Fase
Un transductor de arrays de fase puede enfocar y direccionar un haz acústico en
una determinada dirección. Repitiendo este proceso más de 100 veces en una región
bidimensional o tridimensional, se obtiene una imagen a partir de los ultrasonidos.
La Fig. 2.11a muestra un ejemplo simple de array lineal de 6 elementos, enfocando
el haz transmitido. Se puede asumir que cada elemento del array es una fuente
26

Figura 2.11: Enfoque y direccionamiento de un haz acústico usando un array de fase.
Se muestra un array de 6 elementos (a) en el modo de transmisión y (b) en el modo
de recepción.
puntual que radia un frente de onda esférico. En el ejemplo, el elemento superior
está más alejado del foco, por lo que es excitado primero. El resto de elementos se
excitan en instantes adecuados para que todos los frentes de onda lleguen al foco
en el mismo instante. De acuerdo con el principio de Huygens, el frente de onda
total es la suma de las señales que han llegado de cada fuente. En el punto focal, las
contribuciones de cada elemento se suman en fase, para producir un máximo en la
señal acústica. En cualquier otro punto, al menos algunas de las contribuciones se
suman desfasadas, reduciendo el valor con respecto al máximo.
Para recibir un eco de ultrasonido, el array de fase funciona al revés. La Fig. 2.11b
muestra un eco originado en el foco 1. El eco incide en cada elemento del array en un
instante diferente. Las señales recibidas son retardadas electrónicamente de forma
que se sumen en fase para un eco originado en el punto focal. Para ecos generados
en cualquier otro punto, al menos algunas de las señales retrasadas se suman fuera
de fase, con lo que se reduce la señal recibida con respecto al máximo en el foco.
En el modo de recepción, el punto focal puede ser dinámicamente ajustado, de
forma que coincida con el alcance de los ecos que vuelven. Depués de la transmisión
de un pulso acústico, los ecos iniciales vuelven desde los elementos más cercanos al
transductor. El escáner enfoca el array de fase, en estos objetivos, localizados en el
foco 1, en la Fig. 2.11b. A medida que vuelven los ecos de elementos más alejados, el
escáner enfoca a una mayor profundidad (foco 2 en la figura). Este proceso se llama
enfoque dinámico en el receptor.
27

Configuraciones de los Elementos del Array
La imagen ultrasónica se obtiene repitiendo, muchas veces, el proceso que acabo
de describir, para explorar una región de tejidos 2D ó 3D. Para una imagen 2D,
el plano de exploración es la dimensión azimuth; la dimensión de elevación
es perpendicular al plano de exploración azimuth. La forma de la región escaneada
está determinada por la configuración de los elementos del array, que se describe a
continuación y se muestran en la Fig. 2.12.
Arrays Lineales Secuenciales. Este tipo de arrays suelen tener 512 elementos en
los escáners comerciales. En cada momento se selecciona una subapertura de
128 elementos. Como se muestra en la Fig. 2.12a, las lineas de exploración
están dirigidas perpendicularmente a la cara del transductor. El haz acústico
se enfoca, pero no se dirige. La ventaja de este esquema es que los elementos
del array tienen alta sensibilidad cuando el haz se dirige de esta forma. La
desventaja es que el campo de vista está limitado a una región rectangular
enfrente del transductor.
Arrays Curvilíneos. Tienen distinta forma que los arrays lineales secuenciales,
pero funcionan de la misma forma. En ambos casos, las líneas de exploración
son perpendiculares a la superficie del transductor. Sin embargo, un array
curvilíneo explora un campo mayor, debido a su forma convexa, como se muestra
en al Fig. 2.12b.
Arrays Lineales de Fase. Los arrays lineales de fase más avanzados tienen 128
elementos. Se usan todos los elementos para transmitir y recibir cada línea
de datos. Como se muestra en la Fig. 2.12c, el escáner direcciona el haz de
ultrasonido en una región con forma de sector en el plano azimut. Los escáners
de fase exploran una zona significativamente más ancha que el transductor,
por lo que son adecuados para escanear en vantanas acústicas limitadas, como
por ejemplo para exploraciones cardiacas, en las que los transductores pueden
evitar las obstrucciones de costillas y pulmones. Los ultrasonidos no pueden
explorar a través de hueso y aire.
Arrays de 1.5D. Este array es similar al array de 2D en su construcción, pero es
un array 1D en su funcionamiento. Contiene elementos a lo largo de ambas
dimensiones. Características como enfoque dinámico y correscción de fase se
pueden implementar en ambas dimensiones, para mejorar la calidad de la
imagen, pero como tiene un número limitado de elementos en elevación (de 3 a
9 elementos), no se puede direccionar en esa dirección. La Fig. 2.12d muestra
un escáner de este tipo. Con este tipo de array también se pueden realizar
exploraciones secuenciales.
Arrays de Fase 2D. Tienen un número mayor de elementos en ambas dimensiones.
Este tipo de arrays pueden enfocar y direccionar el haz acústico en
28

ambas dimensiones. Usando un procesamiento paralelo en el receptor, un array
2D puede explorar una región piramidal en tiempo real, para producir una
imagen volumétrica, como se muestra en la Fig. 2.12e.
2.4.2. Obtención de Imágenes por Ultrasonidos
Se conoce, desde hace mucho tiempo, que los tejidos del cuerpo no son homogéneos
y que las seales que se envían hacia ellos, como por ejemplo pulsos de
sonido de alta frecuencia, son reflejadas y dispersadas por esos tejidos. La dispersión
de parte de la energía de la señal incidente hacia otras direcciones, por pequeñas
partículas, es la causa de que se vea una especie de niebla en las imágenes obtenidas.
La parte de la energía dispersada que vuelve al transmisor se llama retrodispersión.
El desarrollo de las imágenes ultrasónicas siguió el mismo proceso que el radar
y el sonar. Inicialmente sólo se se obtenían respresentaciones con una línea de vista
(modo A). A continuación, guardando las sucesivas líneas en el tiempo se obtenían
grabaciones con el movimiento a lo largo del tiempo (modo M). Finalmente, mediante
un barrido mecánico o electrónico se consiguen imágenes bidimensionales (modo
B o 2D). El modo A se mostraba en un osciloscopio, el modo M se imprimía en papel
térmico especialmente sensitivo a la luz, y el modo B, inicialmente, se mostraba en
televisores como imágenes estáticas. Ahora todos los modos se obtienen en tiempo
real y se pueden grabar en cintas de vídeo (para estudios en los que el movimiento
es importante) o películas fotográficas (para estudios en los que son importantes las
dimensiones de los órganos, pero no el movimiento).
Desde los primeros sistemas que pudieron mostrar movimiento, se desarrollaron
aplicaciones para estudiar el corazón, que se debe mover para desarrollar su función.
Los modos A y M servían para demostrar, por ejemplo, el movimiento de las válvulas,
como se puede ver en la Fig. 2.13.
Más tarde, cuando las representaciones en 2D estuvieron disponibles, se aplicaron
los ultrasonidos, cada vez más, para mostrar los órganos blandos del abdomen en
obstetricia (Fig. 2.14). En este formato, se ven mejor las dimensiones de los órganos
y actualmente, como se obtienen imágenes en tiempo real, se pueden aplicar mejor
a áreas como cardiología, obstetricia, ginecología, optalmología, . . . y se aceptan
ampliamente como un método de obtención de imágenes aceptado y seguro.
Fundamentos
Hablando con precisión, ultrasonido es simplemente cualquier sonido cuya frecuencia
está por encima del límite del oído humano, que normalmente se toma en
20 KHz. Sin embargo, como frecuencia y longitud de onda (y por tanto resolución)
están inversamente relacionados, para obtener imágenes del cuerpo se suelen usar
frecuencias alrededor de 1.5 MHz, para conseguir una resolución de 1 mm.
29

Figura 2.12: Configuraciones de los elementos del array y regiones escaneadas por
el haz acústico. (a)Array lineal secuencial; (b) array curvilíneo; (c) array lineal de
fase; (d) array 1.5D; (e) Array de fase 2D.
30

Figura 2.13: Ejemplo de imagen de modo A convertido a modo M de un corazón en
dos puntos del ciclo cardiaco. (a) Diástole. (b) Sístole. En la sístole las paredes son
más anchas y la sección ventricular es menor.
31

Figura 2.14: Representación esquemática de un corazón y como se obtiene la imagen
2D a partir de la exploración del transductor.
32

La atenuación de los ultrasonidos aumenta con la frecuencia en los tejidos blandos,
por eso se debe llegar a un compromiso entre profundidad de penetración que
se debe conseguir para una determinada aplicación y resolución obtenida. Las aplicaciones
que requieren gran penetración (cardiología, obstetricia, . . . ), usan típicamente
frecuencias en el rango de 2 a 5 MHz, mientras que en otras aplicaciones se
requiere poca penetración, pero alta resolución (optalmología, periferia vascular, testicular,
. . . ), se usan frecuencias en torno a 20 MHz. Los sistemas de representación
intraarteriales, requieren resoluciones mayores y usan frecuencias de 20 a 50 MHz,
y las aplicaciones de laboratorio microscópicas usan frecuencias de 100 e incluso
200 MHz, para examinar las estructuras intracelulares.
La distancia d desde el transductor al objeto que causó el eco, está relacionada
con el tiempo t total, entre el instante de enviar el pulso y el de recibirlo, y la
velocidad del sonido en ese medio c:
d = 1 tc (2.14)
2
La velocidad del sonido en tejidos corporales blandos varía poco, de 1450 a 1520 m/s.
Para aproximaciones se puede usar una velocidad de 1500 m/s, que se puede convertir
a 1.5 mm/µs, una unidad más adecuada. Con esta velocidad, los tiempos necesarios
para recorrer las distancias más largas (20 cm), están en torno a 270 µs. Para dejar
que todos los ecos y reverberaciones desaparezcan, hay que esperar varios periodos
antes de enviar el siguiente pulso, por lo que se pueden usar fecuencias en torno a
un kiloHertzio.
La intensidad de la señal recibida S(t) está relacionada con la señal transmitida,
T (t), las propiedades del transductor, B(t), la atenuación del camino de ida y vuelta
desde el dispersor, A(t), y la intensidad del dispersor, η(t):
S(t) = T (t) ⊗ B(t) ⊗ A(t) ⊗ η(t) (2.15)
donde ⊗ denota la convolución en el dominio del tiempo. Haciendo la transformada
de Fourier, la convolución temporal se transforma en un producto en el dominio de
la frecuencia
Ŝ(f) = ˆT (f) ˆB(f)Â(f)ˆη(f) (2.16)
Consideraciones Económicas
La obtención de imágenes mediante ultrasonidos tiene ventajas económicas sobre
otros métodos, como tomografía computerizada o resonancia magnética. El sistema
es, típicamente, mucho más barato y no se requiere la preparación específica de las
instalaciones, como el aislamiento en los rayos-x y tomografía, o el campo magnético
uniforme necesario para resonancia magnética. La mayoría de los sistemas de ultrasonidos
pueden transportarse fácilmente de un sitio a otro, de forma que puede
33

ser compartido por varias salas de exploración o incluso llevarse a la habitación de
algunos enfermos especialmente graves.
Los gastos en cada exploración son mínimos, principalmente el gel usado para
acoplar el transductor a la piel del paciente y la cinta de vídeo o la película para
realizar la grabación. Estos costes tan bajos hacen que sea preferido sobre otros,
cuando se pueda usar. El bajo costo también implica que estos sistemas puedan
encontrarse en clínicas privadas y ser usados sólo ocasionalmente.
Como un indicador del interés de los ultrasonidos como alternativa a otras modalidades,
en 1993, en un artículo del Wall Street Journal aparecía que el gasto en EEUU
en unidades de RM fue aproximadamente de $520 millones, en unidades de CT, $800
millones, y en sistemas de ultrasonidos, $1000 millones, y las ventas de sistemas de
ultrasonidos crecen el 15 % al año.
34

Capítulo 3
Visualización y Renderización
3.1. Introducción
La visualización 1 es un campo en el que se está trabajando mucho durante los
últimos años. Los avances en software y hardware han permitido que se puedan
visualizar gráficos en prácticamente todos, si no en todos, los sistemas informáticos.
Incluso los ordenadores personales ofrecen, desde hace ya algún tiempo, hardware
especializado para gráficos 3D. Además desde que salió Windows95 y OpenGL,
también hay un API para gráficos 3D.
La visualización gráfica es una forma de comunicación. Hasta no hace mucho
tiempo, se usaba la capacidad de los gráficos e imágenes en 2D para transmitir
información de forma mucho más eficaz, pero las imágenes 3D se usaban en muy
contadas ocasiones y a menudo en sistemas muy específicos. Ahora, desde hace
algún tiempo, las cosas están cambiando y las visualizaciones y animaciones de
imágenes 3D están empezando a ser comunes, e incluso a reemplazar a otras formas
de comunicación como las palabras, los símbolos matemáticos y las imágenes en 2D.
La visualización se puede definir como el acto o proceso de interpretar en términos
visuales o de poner en forma visual 2 . De forma más informal, se puede decir que
es la transformación de datos o información a imágenes. La visualización está íntimamente
relacionada con el principal sentido del hombre, la visión, y también con
el poder de la mente humana. El resultado de todo ello es un medio simple, pero
muy efectivo de comunicar infomación compleja y voluminosa.
La visualización hace uso de las habilidades naturales del sistema visual humano.
Nuestro sistema visual es una parte de nuestro cuerpo muy compleja y al mismo
tiempo potente. Lo usamos y confiamos en él en casi todo lo que hacemos. Dado el
entorno en el que vivieron nuestros antepasados, no es sorprendente que se desarrollaran
ciertos sentidos para ayudarles a sobrevivir. Las representaciones visuales son
1 La mayor parte de la información necesaria para realizar este capítulo ha sido obtenida de [12].
2 Según el Webster’s Ninth New Collegiate Dictionary
35

más fáciles de entender; no sólo tenemos grandes habilidades para ver en 2D, sino
que podemos obtener una imagen mental en 3D de un objeto. Esto nos lleva a la
visualización interactiva, en la que podemos manipular un objeto, el punto de vista,
rotarlo, . . . , para obtener una mejor idea tridimensional del mismo.
Ejemplos de Visualización
La visualización está cambiando de cierta forma la vida de las personas y permitiendo
cosas que hace tiempo eran inimaginables. La mejor forma de entender lo
que es la visualización y lo que permite, es mediante algún ejemplo.
Las técnicas para mostrar imágenes por ordenador se han convertido en una
herramienta muy importante para la medicina moderna. Esto incluye técnicas
como la Tomografía Computerizada, la Resonancia Magnética y los Ultrasonidos,
ya explicadas en el capítulo 2. Estas técnicas usan un proceso de muestreo
o de adquisición de datos, como ya se vio, para capturar la información de la
anatomía interna de un paciente vivo. Esta información se encuentra en forma de
imágenes que forman “rodajas” o secciones transversales del cuerpo del paciente. Estas
imágenes son similares a las obtenidas con los rayos-x tradicionales. Después de
obtener los datos y reconstruir estas secciones transversales mediante complicadas
técnicas matemáticas, normalmente se juntas estas “rodajas”, para formar datos
volumétricos y completar el estudio.
Cada sección transversal, adquirida por un sistema de los vistos, está formada
por un conjunto de valores que representan la atenuación de los rayos-x (CT), la
relajación de la magnetización del spin del núcleo de hidrógeno (RM), o el eco producido
por los tejidos (ultrasonido). Estos números se ordenan en una matriz. La
cantidad de datos es muy grande, y por tanto, difícil o imposible de interpretar en esta
forma. Sin embargo, si asignamos a estos valores un valor de gris y los mostramos
por pantalla, aparece una estructura, antes imposible de “ver”. Esta estructura es el
resultado de la interacción del sistema visual humano con la organización espacial
de los datos y los valores de intensidades de gris escogidos. Lo que el ordenador representa
como una serie de números, nosotros lo vemos como una sección transversal
a través del cuerpo humano, formada por piel, hueso y músculo.
Si extendemos estas técnicas a tres dimensiones, se consiguen resultados más
efectivos aún. Las secciones transversales se juntan para formar volúmenes, y estos
volúmenes se procesan para obtener estructuras anatómicas completas. Usando
técnicas modernas, podemos ver el cerebro humano completo, el esqueleto, el sistema
vascular, . . . de un paciente sin necesidad de intervención quirúrgica. Comparando
por ejemplo una imagen de una radiografía con una visualización de la misma zona
en 3D, se pueden ver las enormes ventajas y posibilidades de todas estas técnicas.
Esta capacidad ha revolucionado los diagnósticos médicos modernos, y seguramente
crezca su importancia a medida que las técnicas de visualización sigan madurando.
36

Otra aplicación de la visualización es en la industria del entretenimiento.
Las películas y la televisión producen gráficos por ordenador, para crear mundos
que no podríamos visitar nunca de otra forma. Por ejemplo en las películas Parque
Jurásico o la más moderna Bichos, están tan logrados los gráficos, que hay veces
que nos llegamos a preguntar si realmente son imágenes generadas por ordenador o
reales.
Otra popular aplicación de la visualización a la industria del entretenimiento es
el morphing. El morphing es la transformación, de forma gradual, de un objeto a
otro. Una aplicaciín común es transformar una cara en otra. El morphing es muy
efectivo para mostrar los cambios en un diseño, por ejemplo de un coche, de un año
al siguiente.
Otra aplicación, mucho más común que la anterior de la visualización, son los
mapas meteorológicos que vemos todos los días en los telediarios, en los que se usan
técnicas de gráficos por ordenador para obtener los isovalores o contornos usados
para representar las isobaras, isotermas, etc. Incluso, alguna vez, se ha creado todo
un mundo virtual para dar los partes meteorológicos.
Los primeros usos de la visualización fueron en ingeniería y aplicaciones científicas.
Desde que se introdujo el ordenador, se empezó a utilizar como herramienta de
cálculo y simulación de procesos físicos, como por ejemplo, trayectorias en balística,
movimiento de fluidos, mecánica estructural, . . . A medida que el tamaño de las simulaciones
crecía, se hizo necesario transformar los resultados en gráficos e imágenes,
más fáciles de interpretar por el sistema visual humano. De hecho, la visualización
es tan importante, que antes de que fuera posible pr ordenador, los datos se representaban
manualmente. Cualquiera que sea la tecnología existente, las aplicaciones
de la visualización son las mismas, representar los resultados de simulaciones, experimentos,
datos medidos y de la fantasía; y usar estas imágenes para comunicar,
entender, y entretener.
3.2. Procesado de Imagen, Gráficos, y Visualización
Normalmente hay confusión alrededor de la diferencia entre procesado de imagen,
gráficos por ordenador y visualización. Se pueden definir como:
Procesado de Imagen. Es el estudio de imágenes en 2D. Incluye técnicas de
transformación (como rotar, escalar, . . . ), extracción de información, análisis
y realce de imágenes.
Gráficos por Ordenador o renderización. Es el proceso de creación de imágenes
usando un ordenador. Esto incluye, tanto las técnicas de dibujo “dibujo y pintura”
en 2D, como las técnicas más sofisticadas de dibujo (o renderización) en
3D.
37

Visualización. Es el proceso de exploración, transformación, y visión de datos en
forma de imágenes, para ganar en comprensión sobre los datos.
A partir de estas definiciones, podemos ver que hay un solapamiento entre estos
tres campos. La salida de los gráficos por ordenador o renderización es una imagen,
mientras que la salida de visualización, a menudo es producida por gráficos
por ordenador. Algunas veces, los datos de visualización están en forma de imagen,
o queremos visualizar la geometría de un objeto usando técnicas realistas de
renderización de gráficos por ordenador.
En general, distinguimos la visualización de los gráficos por ordenador y del
procesado de imagen de tres formas.
1. La dimensionalidad de los datos es 3 o más. Muchos métodos se pueden usar
también para datos de 2 dimensiones o menos; sin embargo, la visualización
sirve mejor cuando se aplica a datos de más dimensiones.
2. La visualización está relacionada con la transformación de los datos. La información
se crea y modifica repetidamente para mejorar el significado de los
datos.
3. La visualización es por naturaleza interactiva, incluyendo al ser humano directamente
en el proceso de crear, modificar, transformar y ver los datos.
Otra forma de verlo es que la visualización es una actividad que comprende los
procesos de exploración y entendimiento de los datos. Esto incluye al procesado de
imagen y a los gráficos por ordenador, así como el tratamiento y filtrado de los datos,
la realización del interfaz de usuario, y el diseño de software.
Como se puede ver en la figura 3.1, el proceso de visualización se centra en los
datos. En el primer paso, los datos se adquieren de alguna fuente. A continuación,
los datos se transforman de varias formas, y después se mapean para obtener una
representación adecuada para el usuario. Finalmente, los datos son renderizados o
mostrados por pantalla, completando el proceso. A menudo, el proceso se repite a
medida que los datos se entienden mejor o se desarrollan nuevos métodos. A veces,
los resultados de la visualización pueden controlar directamente la generación de
los datos. A esto se le suele llamar control del análisis y es importante para la
visualización, pues mejora la interactividad de todo el proceso.
3.3. Renderización
3.3.1. Introducción
Los gráficos por ordenador o renderización son el fundamento de la visualización.
En la práctica, se puede decir que la visualización es el proceso de transformar los
38

Metodos Computacionales
- elementos finitos
- diferencias finitas
- analisis numerico
Datos Medidos
- TC, RM, ultrasonido
- satelite
- digitalizador laser
- stocks / financiero
Datos
Transformar
Mapear
Mostrar
Figura 3.1: El proceso de visualización. Los datos de varias fuentes se transforman
repetidamente para obtener, derivar y resaltar la información. Los datos resultantes
se mapean al sistema gráfico.
datos en una serie de primitivas gráficas. A continuación se usan los métodos de
renderización para convertir estas primitivas en imágenes y animaciones.
La renderización es el proceso de generación de imágenes mediante un ordenador,
o el proceso de conversión de datos gráficos a una imagen. Hay muchos
procesos de renderización, que varían desde los programas de dibujo en 2D hasta las
técnicas más sofisticadas en 3D. En este apartado me fijaré en las técnicas básicas
de visualización.
En la visualización de datos, el objetivo es transformar los datos a datos gráficos,
o primitivas gráficas, que son renderizadas a continuación. El objetivo de la
renderización, no es tanto el realismo conseguido, como el contenido de información,
aunque esto depende, claro está, de la aplicación (en una película, tiene más importancia
el realismo que el contenido de información). También es interesante conseguir
representaciones interactivas, en las que podamos interactuar con los datos.
En este apartado vamos a tratar como interactúan las luces, cámaras, y objetos
(actores) con el mundo que nos rodea, para después ver como simulamos este proceso
en un ordenador.
3.3.2. Fundamentos
Descripción física de la renderización
Vamos a ver lo que ocurre cuando miramos un objeto. La fuente de luz (supongamos
que es el sol), emite rayos de luz en todas las direcciones. Algunos de los rayos
inciden sobre el objeto que estamos mirando; su superficie absorbe parte de la luz
39

incidente (según su color, brillo, transparencia, . . . ) y refleja el resto. Parte de esta
luz reflejada, puede incidir sobre nuestros ojos. Si esto ocurre, vemos el objeto.
Como es fácil de imaginar, la probabilidad de que un rayo de luz procedente del
sol, incida sobre un pequéno objeto, en un pequeño planeta como el nuestro y que
el rayo reflejado incida sobre nuestros pequeños ojos, es extremadamente pequeña.
La única razón por la que podemos ver es, debido a la enorme cantidad de luz que
produce el sol. Esto funciona en el mundo físico, pero intentar simularlo con un
ordenador puede ser muy difícil. Afortunadamente, hay otras formas de afrontar el
problema.
Una técnica común y efectiva de renderización tridimensional se llama raytracing
(trazado de rayos) o ray-casting. La idea básica es simular la interacción
de la luz con los objetos, siguiendo el camino de cada rayo de luz. Normalmente se
sigue al rayo en sentido contrario, desde el ojo hacia el mundo para determinar todos
los puntos donde el rayo incide, y por tanto el ojo puede ver. La dirección del rayo
es la dirección en la que el ojo está mirando (dirección de vista) incluyendo efectos
de perspectiva (si se desea). Si el rayo intersecta con un objeto, podemos ver si ese
punto está siendo iluminado por la fuente de luz. Esto se hace trazando un rayo
desde el punto de intersección hacia la fuente de luz. Si el rayo intersecta con la luz,
entonces el punto está iluminado; si intersecta con algo antes de la luz, entonces la
luz no contribuye a iluminar el punto. Si tenemos más de ua fuente de luz, repetimos
este proceso para cada una. La contribución de todas las fuentes de luz, además de
la luz de ambiente dispersa, determina la iluminación o sombra de cada punto. El
ray-casting sólo sigue los caminos hacia atrás que terminan incidiendo en el ojo, lo
cual reduce drasticamente el número de rayos que se deben simular.
A pesar de que el método de ray-casting es el método de renderización más obvio,
no se usa muy a menudo. Esto no es debido a la bondad del método en sí, sino a que
es un método bastante lento, a causa de que se suele implementar mediante software.
Se han desarrollado otras técnicas de renderización que usan hardware dedicado.
Métodos de Orden de Imagen y Orden de Objeto
Los procesos de renderización se pueden dividir en dos categorías, según el orden
en que se realiza el proceso de renderización:
Métodos que siguen el Orden de Imagen. Funcionan determinando lo
que le ocurre a cada rayo de luz, uno en cada momento. El ray-casting
pertenece a este tipo de métodos. Se empieza el algoritmo por una esquina y
se sigue en orden, primero todos los pixels de la fila; cuando se termina, se
procede de la misma forma con los de la fila siguiente, y así sucesivamente.
Una vez que se llega a la esquina opuesta, se termina.
40

Métodos que siguen el Orden de Objeto. Funcionan renderizando cada
objeto, uno de cada vez (por ejemplo, el fondo, una silla, una mesa, . . . ), independientemente
de la posición en la que se encuentren en la escena. Podemos
hacerlo de atrás hacia delate, de delante hacia atrás, o en un orden arbitrario.
A estos métodos se les suele llamar poligonales, pues renderizan polígonos. La
forma de realizar este tipo de renderización se explicará en el apartado 3.3.10.
Para obtener los polígonos que se renderizan, se usan métodos, como Marching
Cubes, explicado en el apartado 3.4, empleado para la realización del
proyecto.
Cuando se empezaron a representar gráficos por ordenador, se usaron los métodos
que siguen el orden de los objetos. Inicialmente se usaban monitores vectorizados
(poco más que osciloscopios), en los que los gráficos se representaban como segmentos
de línea. Cuando se empezaron a usar los monitores como los que usamos hoy
en día, se siguió usando la representación de gráficos como una serie de objetos.
Desde entonces, el hardware se ha hecho mucho más potente y capaz de representar
primitivas gráficas, mucho más complejas que simples líneas.
A principios de los años 80, se empezó a ver la renderización desde una perspectiva
mucho más física y el ray-casting se convirtió en un serio competidor de las
técnicas de renderización tradicionales, debido en parte a las imágenes tan realistas
que produce. La renderización por objetos ha mantenido su popularidad debido al
hardware de gráficos diseñado para renderizar objetos de forma muy rápida. El raycasting
se suele seguir haciendo sin hardware específico, y por tanto, consumiendo
mucho más tiempo.
Renderización de superficie frente a Renderización de Volumen
Hasta ahora, hemos asumido tácitamente, que cuando vemos un objeto, lo que
vemos es su superficie exterior y su interacción con la luz. Sin embargo, muchos objetos,
como nubes, agua y niebla, son translúcidos, o dispersan la luz que pasa a través
de ellos. Tales objetos no pueden ser renderizados usando métodos que tengan únicamente
en cuenta las interacciones con la superficie. Para ello tenemos que considerar
los cambios de propiedades en su interior, para renderizarlos de forma adecuada.
Estos dos tipos de renderización se llaman respectivamente: renderización de superficie
(renderizamos la superficie del objeto), y renderización de volumen
(renderizamos la superficie y el interior del objeto).
Cuando renderizamos un objeto con técnicas de renderización de superficie,
modelamos el objeto con la descripción de su superficie, mediante puntos, líneas,
triángulos, polígonos, . . . , mientras que no describimos su interior. Aunque hay
técnicas que permiten hacer la superficie transparente o translúcida, hay muchos
fenómenos que no se pueden simular, sólo renderizando las superficies. Por ejemplo,
puede interesar para ver los datos interiores en una tomografía computerizada.
41

La renderización de volumen nos permite ver las inhomogeneidades del interior
de los objetos. En el ejemplo anterior de la TC, podemos ver, tanto la superficie,
como el interior de los datos. Se puede extender el método explicado de ray-casting,
de forma que los rayos no sólo interactúen con la superficie del objeto, sino que
también lo hagan con su interior.
Para la realización del proyecto he usado técnicas de renderización de superficie,
que aunque no son tan potentes como las de volumen, son mucho más rápidas y
permiten interactuar mejor con los datos. Son las más usadas, en general.
3.3.3. Color
El espectro electromagnético visible, para el ser humano, contiene longitudes
de onda entre 400 y 700 nanómetros. La luz que entra en nuestros ojos (y que
podemos ver) está compuesta por diferentes intensidades de estas longitudes de
onda. Diferentes distribuciones de intensidad producen colores distintos. El sistema
visual humano no hace uso de toda la información contenida en esta distribución
de intensidades, sino que desaprovecha la mayor parte de la información. En el ojo
tenemos tres tipos de receptores de color, o conos. Cada tipo es sensible a una zona
del espectro entre 400 y 700 nm. Los tres conos tienen sensibilidades con forma más
o menos gaussiana, centradas respectivamente en 419 nm para el azul, 531 nm para
el verde y 559 nm para el rojo.
Cualquier color de los que vemos, es codificado por nuestros ojos con estas tres
respuestas, parcialmente superpuestas. Esto supone una gran reducción de la información
que realmente llega a nuestros ojos. Como resultado, el ojo humano es
incapaz de reconocer diferencias entre colores que produzcan las mismas respuestas
en los receptores del ojo. Esta aparente desventaja, tiene ventajas a la hora de representar
los colores en un ordenador; podemos representar los colores en un ordenador
de forma simplificada, sin que el ojo humano distinga la diferencia.
Los dos sistemas más usuales de describir los colores son el RGB y el HSV. El
sistema RGB representa los colores basándose en las intensidades de rojo, verde y
azul. Se puede ver como un espacio tridimensional, siendo los ejes son rojo, verde y
azul. En la tabla 3.1 se muestran los valores RGB de algunos colores comunes.
El sistema HSV se basa en el matiz, saturación y valor del color. El valor se
conoce también como brillo o intensidad, y representa la cantidad de luz que tiene
el color. Un valor de 0.0 siempre produce color negro, y un valor de 1.0 siempre
produce algo brillante. El matiz representa la longitud de onda dominante del color.
El matiz se representa normalmente en un círculo, como se muestra en la Fig. 3.2.
Cada posición en la circunferencia representa un matiz distinto, y se puede especificar
con un ángulo. El matiz varía entre 0.0 y 1.0, donde 0.0 corresponde a 0 o y 1.0 a 360 o .
La saturación indica cuánto del matiz se mezcla con el color. Por ejemplo, poniendo
el valor a 1.0, obtenemos un color brillante; ponemos el tono a 0.66 para obtener
42

Cuadro 3.1: Colores comunes en los espacios RGB y HSV.
Color. RGB HSV
Negro 0,0,0 *,*,0
Blanco 1,1,1 *,0,1
Rojo 1,0,0 0,1,1
Verde 0,1,0 1/3,1,1
Azul 0,0,1 2/3,1,1
Amarillo 1,1,0 1/6,1,1
Cyan 0,1,1 1/2,1,1
Magenta 1,0,1 5/6,1,1
Azul cielo 1/2,1/2,1 2/3,1/2,1
una longitud de onda dominante de azul. Si la saturación vale 1.0, obtenemos un
azul primario brillante; si vale 0.5, obtenemos azul cielo (más blanco mezclado); si
vale 0.0, indica que no hay más de ese color que de cualquier otra longitud de onda,
con lo que obtenemos blanco, independientemente del valor del matiz. En la tabla
3.1 se muestran los valores HSV de algunos colores comunes.
3.3.4. Luces
Uno de los factores más importante que controlan el proceso de renderización
es la interacción de la luz con los actores de la escena. Si no hay luces, la imagen
Verde 120
Amarillo 60
Cyan 180
Rojo 0
Azul 240
Magenta 300
Figura 3.2: Representación circular del matiz.
43

esultante será negra y no ofrecerá información. En gran medida, lo que define lo
que vemos es la interacción de la luz emitida con la superficie (y en algunos casos
con el interior) de los actores en la escena. Cuando la luz incide sobre los actores,
entonces podemos ver algo a través de la cámara.
De los muchos tipos de luces que se pueden usar en renderización, usamos el tipo
más sencillo: fuente de luz puntual y a distancia infinita. Esto es una simplificación
comparado con las luces que usamos, por ejemplo, en casa. Las fuentes
de luz a las que estamos acostumbrados radian desde una región del espacio (por
ejemplo, un filamento). El modelo puntual de luz, asume que la luz es emitida en
todas las direcciones, desde un punto del espacio. Para una fuente infinita, asumimos
que está colocada a una distancia infinita de lo que está iluminando. Esto implica
que los rayos son paralelos, mientras que los rayos emitidos por una fuente local
no son paralelos. La intensidad de luz emitida por una fuente de luz infinita, permanece
constante con la distancia a la fuente, mientras que en una fuente local, varía
según 1/distancia 2 . Esta gran simplificación permite obtener ecuaciones mucho más
sencillas para la iluminación.
3.3.5. Propiedades de la Superficie
A medida que los rayos de luz viajan por el espacio, algunos de ellos intersectan
con los actores. Cuando esto ocurre, los rayos de luz interactúan con la superficie
del actor para producir un color. Parte del color resultante no es debido realmente
a la luz directa, sino que también es debido a la iluminación de ambiente, que se
refleja o dispersa desde otros objetos. Esto se tiene en cuenta mediante un modelo
de iluminación de ambiente. Este modelo aplica la curva de intensidad de luz de la
fuente luminosa al color del objeto, que también se puede expresar como una curva
de intensidad, como ya vimos. El resultado es el color de la luz que vemos cuando
miramos al objeto. Con este modelo es importante darse cuenta de que no se puede
distinguir, por ejemplo, una fuente de luz azul que ilumina un objeto blanco, de una
fuente de luz blanca que ilumina un objeto azul. La ecuación de la iluminación de
ambiente es
R c = L c · O c (3.1)
donde R c es la curva de intensidad resultante, L c la curva de intensidad de la luz, y
O c la curva de color del objeto. Para simplificar las ecuaciones suponemos que todos
los vectores de dirección están normalizados.
Dos componentes del color resultante dependen de la iluminación directa: La
iluminación difusa y la iluminación especular.
La iluminación difusa, también conocida como reflexión Lambertiana, tiene
en cuenta el ángulo de incidencia de la luz en el objeto. Por ejemplo, si una fuente
de luz incide sobre la superficie lateral de un cilindro, desde nuestra posición, su
superficie se ve más clara en el centro, y más oscura a medida que nos alejamos
44

Luz
Ln
angulo
On
-Ln
Objeto
Figura 3.3: Iluminación difusa.
lateralmente de él. El color de toda la superficie es el mismo, pero la luz que incide
sobre la superficie del cilindro cambia. En el centro, donde la luz incidente es casi
perpendicular a la superficie, recibe más cantidad de rayos de luz por unidad de
área. Al movernos hacia los laterales, esta cantidad disminuye, hasta que la luz
incidente es paralela a la superficie del cilindro y la intensidad reultante es cero. La
contribución de la iluminación difusa se muestra en la Fig. 3.3 y se expresa mediante
la siguiente ecuación
R c = L c O c [ ⃗ O n · (− ⃗ L n )] (3.2)
donde R c es la curva de intensidad resultante, L c la curva de intensidad de la luz,
y O c la curva de color del objeto. La luz difusa, como se dijo, es función del ángulo
entre el vector de la luz incidente, ⃗ L n y la normal a la superficie ⃗ O n . Por tanto, esta
luz es dependiente del punto de vista.
La iluminación especular representa las reflexiones directas de una fuente de
luz desde un objeto brillante. La potencia especular, O sp , indica lo brillante que es
un objeto. De forma más concreta, indica la rapidez con que disminuye la reflexión
especular a medida que el ángulo de reflexión se desvía de la reflexión perfecta.
Valores mayores indican una caída más rápida, y por tanto, una superficie más
brillante. La Fig. 3.5 muestra el efecto de la potencia especular. Refiriéndome a la
Fig. 3.4, la ecuación para la iluminación especular es
R c = L c O c [ ⃗ S · (− ⃗ C n )] Osp
⃗S = 2[ ⃗ O n · (− ⃗ L n )] ⃗ O n + ⃗ L n
(3.3)
donde ⃗ C n es la dirección de proyección para la cámara y ⃗ S es la dirección de la
reflexión especular.
Hemos representado las ecuaciones para los diferentes modelos de iluminación
de forma independiente. Podemos aplicar los modelos de iluminación de forma si-
45

Luz
Ln
angulo
On
-Ln
S
-Cn
Cn
Camara
Objeto
Figura 3.4: Iluminación especular.
Figura 3.5: Bola iluminada con luz difusa, con reflexión especular en aumento.
multánea, como muestra la siguiente ecuación, que combina la iluminación de ambiente,
difusa y especular.
R c = O ai O ac L c − O di O cd L c ( ⃗ O n · ⃗L n ) + O si OscL c [ ⃗ S · (− ⃗ C n )] Osp (3.4)
El resultado es el color en un punto de la superficie del objeto. Las constantes
O ai , O di y O si controlan las cantidades relativas de iluminación de ambiente, difusa y
especular para un objeto. Las constantes O ac , O dc y O sc especifican los colores usados
para cada tipo de iluminación. Estas seis constantes, junto con la potencia especular,
son parte de las propiedades de la superficie del material (hay otras propiedades,
como transparencia). Diferentes combinaciones de estas propiedades, pueden simular
desde plástico a metal pulido. Esta ecuación supone fuente de luz puntual e infinita,
pero se puede extender de forma fácil a otros tipos de iluminación.
3.3.6. Cámaras
Tenemos ya rayos de luz emitidos por las fuentes luminosas y actores con propiedades
en sus superficies. En cada punto de la superficie de cada actor en la escena tenemos
la interacción con la luz, lo cual produce un color de composición (color producto
de la combinación de la luz, la superficie del objeto, el efcto especular y el efecto
de ambiente). Todo lo que necesitamos ahora para renderizar una escena es una
cámara. Hay un conjunto importante de factores que determinan cómo se proyecta
46

Vista Superior
Posicion
Angulo
de Vista
Punto Focal
Direccion
de Proyeccion
Angulo de Corte Delantero
Angulo de Corte Trasero
Figura 3.6: Atributos de la cámara.
la escena 3D sobre un plano para formar la imagen 2D (ver Fig. 3.6). Estos factores
son la posición, orientación y punto focal de la cámara, el método usado para la
proyección de la cámara y la localización de los planos de corte.
La posición y el punto focal de la cámara definen la posición de la cámara y
el punto al que enfoca. El vector definido desde la posición de la cámara al punto
focal se llama dirección de proyección. El plano de imagen de la cámara se
sitúa en el punto focal, y es, normalmente, perpendicular al vector de proyección. La
orientación de la cámara se controla mediante su posición y punto focal, además
del vector que indica la vista superior de la cámara.
El método de proyección controla cómo se “mapean” los actores en el plano
de la imagen. En proyección ortográfica o paralela, todos los rayos de luz que entran
en la cámara son paralelos al vector de proyección. La proyección en perspectiva
ocurre cuando todos los rayos de luz pasan por un punto (punto de vista o centro
de proyección). Para aplicar una proyección en perspectiva, tenemos que especificar
un ángulo de perspectiva o ángulo de vista de la cámara.
Los planos de corte delantero y trasero cortan al vector de proyección, y
normalmente son perpendiculares a él. Se usan para eliminar datos que están, o bien,
muy cerca de la cámara, o bien, muy lejos. Como resultado de ello sólo los actores
o porciones de actores que están entre los dos planos de corte pueden ser visibles.
Normalmente estos planos son perpendiculares a la dirección de proyección.
Todos juntos, los parámetros de la cámara definen una pirámide rectangualr, con
el vértice en la cámara y que se extiende a lo largo de la dirección de proyección.
Esta pirámide esta truncada por los dos planos de corte. El tronco de pirámide
de vista define la región del espacio tridimensional visible por la cámara.
47

Los parámetros de la cámara se pueden manipular directamente, pero hay operaciones
comunes que hacen el trabajo más sencillo. Si se cambia el azimut de
una cámara, gira su posición alrededor de su vector de vista superior, centrado en
el punto focal. Esta operación se puede ver como un movimiento de la cámara a la
derecha o izquierda, manteniendo la distancia al punto focal constante. Cambiando
la elevación de la cámara, gira su posición alrededor del producto vectorial de su
dirección de proyección y vista superior, centrada en el punto focal. Esto corresponde
a mover la cámara arriba y abajo. Para girar la cámara, giramos el vector de vista
vertical sobre el vector de plano normal.
Los siguientes dos movimientos mantienen la posición de la cámara constante
y modifican el punto focal. Cambiando la guiñada, gira el punto focal sobre la
vista superior de la cámara, centrada en la posición de la cámara. Es como un
movimiento de azimut, pero moviendo el punto focal en lugar de la posición de la
cámara. El movimiento de balanceo, gira el punto focal sobre el producto vectorial
de la dirección de proyección y la vista superior, centrada en la posición de la cámara.
Los movimientos de dollying in y dollying out mueven la posición de la cámara
a lo largo de la dirección de proyección, acercándose o alejándose del punto focal.
Finalmente el zoom in y zoom out cambian el ángulo de vista de la cámara, de
forma que en el tronco de pirámide de vista entra más o menos de la escena.
Una vez que está situada la cámara, podemos generar la imagen en 2D. Algunos
de los rayos que viajan por el espacio tridimensional, pasan a través de las lentes de
la cámara. Estos rayos inciden sobre una superficie plana para producir una imagen.
Este proceso produce la imagen 2D de nuestra escena 3D. La posición de la cámara y
otras propiedades, determinan qué rayos de luz son capturados y proyectados. Sólo
los rayos de luz que intersectan con la posición de la cámara, y están dentro del
tronco de pirámide de vista, afectarán a la imagen resultante.
3.3.7. Sistemas de Coordenadas
En renderización se utilizan cuatro sistemas de coordenadas y dos formas distintas
de representar puntos en los mismos. Aunque esto pueda parecer en principio
excesivo, cada uno tiene su propósito. Los cuatro sistemas de coordenadas son: modelo,
mundo, vista y pantalla.
Sistema de coordenadas del modelo. Es el sistema de coordenadas en el que
está definido el modelo, típicamente un sistema local de coordenadas Cartesiano.
Si uno de los actores tiene una forma geométrica más adaptada a otros
sistemas de coordenadas, como cilíndrico o esférico, estará basado en ellas.
Esto depende del que genere el modelo.
Sistema de coordenadas del mundo. Es el espacio 3D en el que se colocan los
actores. Uno de las responsabilidades del actor es convertir, desde las coordenadas
del modelo, a las coordenadas del mundo. Cada modelo puede tener
48

su propio sistema de coordenadas, pero sólo hay un sistema de coordenadas
del mundo. Para cada actor se debe escalar, rotar y trasladar su modelo al
sistema de coordenadas del mundo. También puede ser necesario transformar
sus sistema natural de coordenadas a un sistema de coordenadas local Cartesiano.
Esto es debido a que los actores típicamente asumen que el sistema de
coordenadas del modelo es un sistema de coordenadas Cartesiano. El sistema
de coordenadas del mundo es, además, el sistema en el que se especifica la
posición y orientación de cámaras y luces.
Sistema de coordenadas de vista. Representa lo que es visible a la cámara.
Consiste en un par de valores x e y, que varían entre (-1,1), y una coordenada
z de profunidad. Los valores x, y especifican una localización en el plano
de la imagen, mientras que la coordenada z representa la distancia desde la
cámara. Las propiedades de la cámara se representan por una matriz de
transformación 4 × 4, que se usa para convertir de las coordenadas del mundo
a coordenadas de vista. En este punto es donde se introducen los efectos
de perspectiva de la cámara.
Sistema de coordenadas de la pantalla. Usa la misma base que el sistema de
coordenadas de vista, pero en lugar de tener un rango de variación de -1
a 1, las coordenadas son localizaciones reales de pixels x, y en el plano de la
imagen. Factores tales como el tamaño de la ventana en la pantalla, determinan
como se mapea el rango (-1,1) a las posiciones de los pixels. En este punto se
pueden introducir los puertos de vista. Se puede querer renderizar dos escenas
diferentes en la misma ventana. Esto se puede hacer dividiendo la ventana en
dos puertos de vista. A cada renderizador se le dice que porción de la ventana
debe usar para renderizar. el puerto de vista varía entre (0,1) en ambos ejes x
e y.
De forma similar al sistema de coordenadas de vista, el valor z del sistema de
coordenadas de la pantalla también representa la profundidad en la ventana.
El significado del valor z se explicará más adelante.
3.3.8. Transformación de Coordenadas
Cuando creamos imágenes renderizadas, proyectamos los objetos definidos en 3D
a un plano de imagen en 2D. Como se ha visto anteriormente, este proceso incluye,
en general, perspectiva. Para incluir los efectos de proyeccción, tales como puntos de
desvanecimiento, se usa un sistema de coordenadas especial, llamado coordenadas
homogéneas.
La forma usual de representar un punto en 3D es mediante el vector Cartesiano
de tres elementos (x, y, z). Las coordenadas homogéneas se representan mediante un
49

vector de cuatro elementos (x h , y h , z h , w h ). La conversión entre coordenadas Cartesianas
y homogéneas esta dada por:
x = x h
w h
y = y h
w h
z = z h
w h
(3.5)
Usando coordenadas homogéneas, se puede representar un punto infinito, poniendo
w h a cero. Esto lo usa la cámara para transformaciones de perspectiva. Las transformaciones
se aplican usando una matriz de transformación 4 × 4. Las matrices
de transformación se usan mucho en renderización, ya que permiten operaciones de
traslación, escalado y rotación de los objetos, mediante multiplicaciones sucesivas de
matrices. tales operaciones no se pueden hacer de forma sencilla mediante matrices
3 × 3.
Por ejemplo, si queremos crear una matriz de transformación para trasladar
un punto (x, y, z) del espacio Cartesiano, por el vector (t x , t y , t z ). Sólo tenemos que
construir la matriz de transformación dada por
⎛
T T = ⎜
⎝
1 0 0 t x
0 1 0 t y
0 0 1 t z
0 0 0 1
⎞
⎟
⎠
(3.6)
y a continuación postmultiplicarla por el vector con las coordenadas homogéneas
(x h , y h , z h , w h ). Para ello, construimos el sistema de coordenadas homogéneo a partir
del sistema de coordenadas Cartesiano (x, y, z), poniendo w h = 1, para obtener
(x, y, z, 1). Para determinar las coordenadas trasladadas (x , , y , , z , ), premultiplicamos
la posición actual por la matriz de transformación T T , para obtener las coordenadas
transformadas. Sustituyendo en la Ec. (3.6), obtenemos
⎛
x , ⎞ ⎛
y ,
⎜
⎝ z , ⎟
⎠ = ⎜
⎝
w ,
1 0 0 t x
0 1 0 t y
0 0 1 t z
0 0 0 1
⎞
⎛
⎟
⎠ ·
⎜
⎝
x
y
z
1
⎞
⎟
⎠
(3.7)
Convirtiendo de nuevo a coordenadas Cartesianas con la Ec. (3.5), obtenemos la
solución esperada
x , = x + t x
y , = y + t y
(3.8)
z , = z + t z
El mismo procedimiento se usa para escalar y rotar. Para escalar un objeto, usamos
la matriz de trasnformación
⎛
⎞
s x 0 0 0
0 s
T S =
y 0 0
⎜
⎟
(3.9)
⎝ 0 0 s z 0 ⎠
0 0 0 1
50

donde los parámetros s x , s y y s z , son los factores de escala en cada eje.
De forma similar, se puede rotar un objeto alrededor del eje x con la matriz
alrededor del eje y
y alrededor del eje z
⎛
T Rx = ⎜
⎝
⎛
T Ry = ⎜
⎝
⎛
T Rz = ⎜
⎝
1 0 0 0
0 cos θ − sin θ 0
0 sin θ cos θ 0
0 0 0 1
cos θ 0 sin θ 0
0 1 0 0
− sin θ 0 cos θ 0
0 0 0 1
cos θ − sin θ 0 0
sin θ cos θ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
(3.10)
(3.11)
(3.12)
Las rotaciones ocurren alrededor del origen de coordenadas. A menudo es más conveniente
rotar alrededor del centro del objeto, u otro punto cualquiera. Si llamamos
a este punto O c , para rotar alrededor de él, debemos trasladar, en primer lugar, el
objeto desde O c al origen, aplicar las rotaciones, y después trasladar el objeto de
nuevo a O c .
Las matrices de transfomación se pueden combinar multiplicando matrices, para
conseguir las combinaciones de traslaciones, rotaciones y escalados. Una sola matriz
puede representar todos los tipos de transformaciones al mismo tiempo. Esta
matriz es el resultado de repetidas multiplicaciones de matrices. El orden de multiplicación
es importante. Por ejemplo, multiplicar una matriz de traslación por
una matriz de rotación, produce distinto resultado que multiplicar una matriz de
rotación por una de traslación.
3.3.9. Geometría de los Actores
Hemos visto como las propiedades de iluminación controlan la aparienciade un
actor, y como la cámara, junto con las matrices de transformación se usan para
proyectar un actor al plano de la imagen. Nos queda definir la geometría del actor,
y cómo lo colocamos en el sistema de coordenadas del mundo.
Modelado
Un elemento importante en el estudio de los gráficos por ordenador es el
modelado o representación de la geometría de los objetos físicos. Se aplican varias
51

técnicas matemáticas, como combinaciones de puntos, líneas, polígonos, curvas y
splines de varias formas, e incluso funciones matemáticas implícitas. Esto queda
fuera de mi objetivo, pues no lo uso para el proyecto. Lo importante es que hay
un modelo geométrico que especifica la posición en la que un objeto se coloca en el
sistema de coordenadas del modelo.
En visualización de datos, como es mi caso, el modelado tiene un papel distinto.
En lugar de generar directamente la geometría para representar un objeto,
los algoritmos de visualización calculan estas formas. A menudo, la geometría es
abstracta (como una isosuperficie) y tiene poca relación con la geometría del mundo
real.
La representación de geometría para visualización de datos suele ser sencilla,
incluso aunque calcular las representaciones no lo sea. Lo más normal es que estas
primitivas sean puntos, líneas, y polígonos, o datos de visualización, como datos de
volumen. Usamos formas sencillas ya que deseamos un funcionamiento rápido y un
sistema interactivo. Por tanto, usamos técnicas que aprovechan el hardware para la
renderización o técnicas especiales como renderización de volumen.
Localización y Orientación de los Actores
Cada actor tiene su matriz de transformación que controla su posición y escalado
en el espacio del mundo. La geometría del actor está definida por un modelo en las
coordenadas del modelo. Especificamos la posición del actor mediante los factores de
orientación, posición y escala a los largo de los ejes coordenados. Además, podemos
definir un origen, alrededor del cual rota el actor (por ejemplo, podemos rotarle
alrededor de su centro, o de otro punto de interés). Como hemos dicho, el orden
de aplicar las transformaciones es importante, si queremos llegar a los resultados
deseados.
3.3.10. Hardware Gráfico
Anteriormente mencionamos que los avances en hardware gráfico han tenido
un gran impacto en la forma en que se hace la renderización. En este apartado
describimos los dispositivos de barrido que han sistituido a las pantallas vectorizadas,
como dispositivos primarios de salida. Depués se describirá como se comunican los
programas con el hardware gráfico. También se mostrará los distintos sistemas de
coordenadas que se usan en gráficos por ordenador, eliminación de superficies y
líneas ocultas, y z-buffering.
Dispositivos de Barrido
Normalmente vemos los gráficos por ordenador en imágenes impresas, o en un
monitor de ordenador. Otras veces se ven en la TV o en una película. Todos estos
52

medios son dispositivos de barrido. Un dispositivo de barrido representa una imagen
usando una matriz bidimensional de elementos gráficos, llamados pixels.
Debido a las limitaciones del hardware, los dispositivos de barrido, como las
impresoras láser y los monitores de ordenador, realmente no dibujan pixels en forma
de cuadrado perfecto, sino que están ligeramente borrosos y superpuestos. Otra
limitación de hardware de los dispositivos de barrido es su resolución.
Los monitores de ordenador en color tienen, de forma típica, una resolución de
80 pixels por pulgada, haciendo de la pantalla una matriz de pixels de aproximadamente
mil pixels de ancho y de alto. Esto produce alrededor de un millón de pixels,
cada uno con un valor que indica su color. Como el hardware de los monitores en
color usa el sistema RGB, tiene sentido usarlo para describir los colores de cada
pixel. Desafortunadamente, teniendo más de un millón de pixels, cada uno con su
componente de rojo, verde y azul, puede ocupar mucha memoria. Esto es parte de
lo que diferencia la variedad de hardware gráfico en el mercado. Algunas compañías
usan 24 bits para almacenar cada pixel, otros usan ocho, y algunos sistemas avanzados
usan más de 100 bits para cada pixel. Cuantos más bits usa por pixel, con
más precisión pueden representarse los colores (y por tanto más colores se pueden
representar).
Una forma de afrontar las limitaciones de colores en el hardware gráfico, es
usando una técnica llamada dithering. Si por ejemplo, se quieren representar varios
niveles de gris, en un sistema gráfico que sólo soporta blanco y negro, el dithering
permite aproximar los niveles de gris usando una mezcla de pixels en blanco y negro.
Desde cierta distancia (aunque sea bastante pequeña), parecen diferentes niveles de
gris, en lugar de mezcla de pixels blancos y negros. La misma técnica se puede usar
con otros colores, para obtener colores derivados de los soportados por el hardware
gráfico.
Interfaz con el Hardware
Raramente hay que preocuparse del hardware de la pantalla. La mayoría de la
programación se hace usando primitivas de alto nivel, en vez de tratar con los pixels.
En la Fig. 3.7 se muestra la estructura típica de un programa de visualización. En el
nivel inferior de la jerarquía está el hardware de la pantalla, que ya se ha descrito.
Lo normal es que los programas no interactúen directamente con este hardware. Las
tres capas que están por encima son las capas que hay que tener en cuenta al
programar.
Muchos programas hacen uso de las ventajas que ofrecen las librerías de aplicación,
que son un interfaz de alto nivel a las capacidades gráficas del sistema. Vtk
(Visualization Toolkit) [12] es un ejemplo de librería de aplicación. Permite visualizar
gráficos complejos, haciendo uso de primitivas sencillas. También funciona
como interfaz con distintas librerías gráficas, pues las distintas plataformas de hardware
soportan distintas librería gráficas.
53

Mi Programa
Libreria de Aplicacion - vtk
Libreria grafica
Hardware Grafico
Hardware de la Pantalla
Figura 3.7: Jerarquía típica del interfaz de gráficos.
Las capas de librería gráfica y hardware gráfico realizan funciones similares.
Son las responsables de coger comandos de alto nivel de una librería de aplicación o
de un programa, y ejecutarlos. Esto hace que la programación sea mucho más sencilla,
proporcionando primitivas gráficas mucho más complejas con las que trabajar. En
vez de dibujar los pixes de uno en uno, podemos dibujar primitivas como polígonos,
triángulos, y líneas, sin preocuparnos de los pixels que hay que modificar para cada
una de estas primitivas. Algunas primitivas que soportan todas las librerías gráficas
son:
Polígonos: conjunto de lados, normalmente en un plano, que definen una región
cerrada. Por ejemplo: triángulos y rectángulos.
Tiras de triángulos: serie de triángulos en los que cada triángulo comparte sus
lados con los triángulos vecinos.
Línea: Conecta dos puntos.
Poli-línea: serie de líneas conectadas.
Punto: Posición 3D en el espacio.
Esta funcionalidad se divide en dos capas diferentes, porque las diferentes máquinas
pueden tener un hardware gráfico muy diferente. Por ejemplo, si se escribe un programa
que dibuje un polígono rojo, o bien la librería gráfica, o el hardware gráfico,
debe poder ejecutar ese comando. En los sistemas de gama alta, se debe poder hacer
mediante el hardware gráfico, en otros se hará mediante la librería gráfica con
software. De esta forma, algunos comandos deben poder ser usados con una gran
variedad de máquinas distintas, sin preocuparse del hardware gráfico.
El bloque fundamental para formar primitivas más complejas es el punto (o
vértice). Un vértice tiene su posición, normal, y color, cada uno de los cuales
es un vector de tres elementos. La posición, especifica dónde se sitúa el vértice, la
normal especifica la dirección hacia la que mira el vértice, y su color especifica las
componentes de rojo, verde y azul del vértice. Un polígono se forma conectando
54

Normal al Vertice
Normal al Poligono
Normal al Vertice
Figura 3.8: Normales de vértices y polígonos.
varios puntos. Un polígono plano sólo puede tener una dirección normal, independientemente
de las normales de sus vértices; la razón de que los vértices tengan su
propia normal es porque muchas veces se usan polígonos para aproximar curvas,
como aparece en la Fig. 3.8, en la que se muestra la vista superior de un cilindro;
se puede ver que no es realmente un polígono, sino una aproximación poligonal al
cilindro dibujado en línea más gruesa. Cada vértice se comparte por dos polígonos
y la normal correcta para el vértice no es la misma que la normal del polígono. Una
razón similar explica porqué cada vértice tiene su color, en vez de tener un color
para todo el polígono.
Rasterización
Nos queda por ver la forma de convertir primitivas gráficas a imágenes de barrido.
Una explicación extensiva de ello queda fuera de mi intención, pero daré alguna
pequeña idea. Ésta es la descripción de los métodos de renderización poligonales
Al proceso de convertir una primitiva gráfica en una imagen de barrido se le
llama comunmente rasterización. La mayoría del hardware gráfico actual, usa
técnicas de rasterización siguiendo el orden de objetos. Como vimos, esto quiere
decir que procesamos los actores en orden, y como los actores están formados por
polígonos, procesamos un polígono cada vez. Normalmente se habla de triángulos,
pues caulquier polígono se puede descomponer en triángulos mediante un proceso
de triangulación. Además, el algoritmo de obtención de isosuperficies Marching
Cubes que se describe en el apartado 3.4 genera triángulos.
El primer paso es transformar el polígono, usando la matriz de transformación.
Además proyectamos el polígono sobre el plano de la imagen usando proyección
55

paralela o en perspectiva. También hay que recortar los polígonos que quedan fuera
del tronco de cono de vista, con lo cual tenemos que generar nuevas fronteras. Con los
polígonos recortados y proyectados sobre el plano de vista, comenzamos el proceso
de “escaneado de línea”. El primer paso es identificar la primera línea de escaneado;
para ello se ordenan los valores ‘y’ de los vértices del polígono. A continuación, se
identifican los dos lados que se unen en ese vértice, a la derecha e izquierda del mismo.
Usando las pendientes de los lados, junto con los valores de los datos, obtenemos las
deltas para los valores de los datos. Estos datos son, típicamente, las componentes
R, G y B del color. Otros valores de los datos pueden ser la transparencia y los
valores de profundidad z (necesarios si se usa el método z-buffer que veremos a
continuación). La fila de pixels dentro del polígono se llama: una extensión. Los
valores de los datos se interpolan desde los bordes de la extensión, para generar los
valores internos. Este proceso continúa extensión a extensión, hasta que se rellena
todo el polígono. Según se van encontrando nuevos vértices, hay que calcular nuevas
deltas para los valores de los datos.
El sombreado del polígono (interpolación de color dentro del polígono) depende
del atributo de interpolación del actor. Hay tres posibilidades:
Sombreado Plano: calcula el color de un polígono aplicando las ecuaciones de
iluminación solamente a una normal, que suele ser la normal a la superficie.
Sombreado Gouraud: Calcula el color de un polígono en todos sus vértices, usando
las normales en los vértices y las ecuaciones de iluminación.
Sombreado Phong: es el más realista de los tres. Calcula la normal en cada posición
del polígono interpolando las normales en los vértices. Se usan las ecuaciones
de iluminación, para determinar el color resultante de cada pixel.
Los sombreados Plano y Gouraud son, normalmente, los métodos empleados. La
complejidad del sombreado Phong ha hecho que no sea soportado, a menudo, por
hardware.
Z-Buffer
El método de renderización ray-casting tiene la ventaja de que los rayos que
salen de nuestros ojos inciden sobre el primer actor que encuentran en su camino, e
ignoran el resto de posibles actores que haya detrás. Sin embargo, cuando se usan
métodos de renderización poligonales, no tenemos, en principio, forma de saber
que polígonos están tapados y cuáles no. No se puede esperar, en principio, que los
polígonos están ordenados. Lo que se hace es emplear una serie de métodos, llamados
de “línea o superficie oculta” para renderización poligonal.
El algoritmo del pintor u ordenación del pintor, consiste, simplemente en
ordenar los polígonos de atrás hacia delante, para renderizarlos en ese orden. Su
56

Figura 3.9: Problema con el algoritmo del pintor.
mayor problema se puede ver en la Fig. 3.9. Sea cual sea el orden en el que se
coloquen los tres triángulos, no podemos obtener el resultado deseado, ya que cada
triángulo está delante, y detrás, de otro triángulo. Hay algoritmos que ordenan y
dividen los polígonos cuando es necesario, para evitar este problema. Esto requiere
un preprocesado, que se debe realizar cada vez que cambia la imagen o la cámara,
lo cual puede ralentizar la renderización.
Otro algoritmo de “superficie oculta” es el z-buffering, que no requiere ordenación.
Hace uso del valor en la coordenada z (valor en profundidad a lo largo de la
dirección de proyección) en el sistema de coordenadas de vista. Antes de dibujar un
nuevo pixel, su valor z se compara con el valor z actual del pixel. Si el nuevo pixel
debería estar delante del pixel actual, entonces se dibuja y el valor z del pixel se
actualiza. En caso contrario, se mantiene el pixel actual y el nuevo pixel se ignora.
El z-buffering ha sido comunmente implementado en hardware, debido a su simplicidad
y robustez. El problema es que requiere una gran cantidad de memoria,
llamada z-buffer, para almacenar el valor z de cada pixel. La mayoría de los sistemas
usan un z-buffer para almacenar una profundidad de 24 ó 32 bits, lo cual se
traduce, en un monitor de 1000 × 1000, en 3 ó 4 MegaBytes, sólo para el z-buffer.
Otro problema es que su precisión depende de la profundidad, por lo que puede no
ser suficiente si los objetos están muy cercanos. Cuando se tienen problemas de precisión
con el z-buffering, la solución es acercar los planos de corte lo máximo posible
a la geometría.
3.4. Obtención de Isosuperficies: Marching Cubes
Como dijimos en el apartado 3.3.10, el método de rasterización nos permite
convertir primitivas gráficas en imágenes de barrido. Es un método de render-
57

ización de superficie. Para poder renderizar esas primitivas gráficas de superficie,
antes debemos obtenerlas, a partir de los datos volumétricos. El algoritmo marching
cubes [13], describe una forma de obtener una superficie formada por triángulos
que pasa por un determinado valor de densidad de los datos volumétricos. Una de
las ventajas de este algoritmo es la generación de triángulos, que son muy adecuados
para realizar la renderización, pues es el polígono más sencillo, soportado por todos
los tipos de hardware gráfico.
3.4.1. Descripción del Algoritmo
El algoritmo consiste, básicamente en localizar la superficie correspondiente al
valor de isosuperficie especificado y generar triángulos.
Se usa una técnica de división y conquista, para localizar la superficie en
una celda cúbica, formada por ocho puntos: cuatro de cada una de las dos rodajas
adyacentes que forman los datos volumétricos.
El algoritmo determina cómo intersecta la superficie a este cubo. A continuación
se mueve (marcha) al siguiente cubo, y así sucesivamente. Para encontrar la superficie
de intersección con un cubo, asignamos un uno a los vértices del cubo, en los
que el valor de los datos en dicho vértice excede, o es igual, al valor de la superficie
que estamos construyendo. Estos vértices están dentro, o sobre, la superficie. Los
vértices del cubo con valores por debajo de la superficie se ponen a cero, y están
fuera de la superficie.
La superficie corta a cada arista del cubo, cuando un vértice está dentro (uno) y
el otro fuera (cero). De esta forma, determinamos la topología de la superficie dentro
de un cubo, encontrando la localización de la intersección después. Este método de
obtención de la superficie, calcula las intersecciones de la misma con las aristas
del cubo, de forma totalmente independiente, lo cual, como veremos más adelante
produce ciertos problemas.
Como tenemos ocho vértices en cada cubo y dos posibles estados, dentro y fuera,
hay 2 8 = 256 formas en que la superficie puede intersectar al cubo. Triangular los 256
casos es posible, pero tedioso. Sin embargo, aplicando dos operaciones de simetría
sobre el cubo, reducimos el problema de 256 casos a tan sólo 15. Estas operaciones
de simetría son:
1. La topología de la superficie triangulada no cambia, si los valores de los vértices
del cubo se invierten. Los casos complementarios en los que los vértices mayores
que el valor de la superficie se intercambian con aquellos menores que ese valor,
son equivalentes. Por tanto, sólo tenemos que considerar los casos con 0 a 4
vértices mayores que el valor de la superficie (uno). Esto reduce el número de
casos a 128.
58

2. Aplicando simetría rotacional, por inspección se puede ver que reducimos el
número de casos posibles a 15.
En la Fig. 3.10, se pueden ver estos 15 casos. El caso más simple, 0, ocurre si todos
los vértices están por encima (o por debajo) del valor seleccionado, y no produce
ningún triángulo. El siguiente caso, el 1, ocurre si la superficie separa un vértice
de los otros siete, produciendo un triángulo, definido por a intersección con las tres
aristas que se juntan en ese vértice. Los otros casos producen múltiples triángulos.
Mediante permutación de estos 15 patrones básicos, usando las propiedades de
complementariedad y rotación simétrica, se consiguen los 256 casos posibles.
Se crea un índice de 8 bits, en el que se almacena el estado binario de cada vértice
de la celda. Este índice se usa como puntero a una tabla de casos para buscar el
estado topológico de la celda.
Una vez se selecciona el caso correcto, se calcula la posición exacta de la intersección
de la superficie con cada arista del cubo, mediante interpolación. Se usa
interpolación lineal, por ser la más sencilla. Lorensen y Cline [13] han experimentado
con interpolaciones de orden mayor, pero consiguen poca mejora, por lo que no
merece la pena.
3.4.2. Problema del Algoritmo: Ambigüedad
La principal ventaja de este algoritmo es su secillez, debido a que el algoritmo
se aplica a cada celda de forma independiente.
Sin embargo, al tratar cada celda por separado, se producen problemas de ambigüedad.
Si se observan cuidadosamente los casos 3, 6, 7, 10, 12 y 13, se puede
observar que en estas celdas, la superficie puede pasar por distintas aristas. El resultado
de estas ambigüedades es que se pueden producir agujeros en la superficie.
Se han propuesto varias soluciones para evitar estos problemas de ambigüedad:
[12]
Una técnica divide los cubos en tetraedros, y usa una técnica de marching
tetraedra. Esto funciona porque marching tetraedra no tiene casos ambiguos. El
problema es que este algoritmo genera mayor número de triángulos. Además, la
división de un cubo en tetraedros requiere elegir la orientación de los tetraedros
dentro del cubo, lo cual puede producir salientes artificiales sobre la supericie,
a causa de la interpolación a lo largo de las diagonales de las caras del cubo.
Otra técnica estudia el comportamiento asimptótico de la superficie, para elegir
entre unir o separar la isosuperficie. Se basa en un análisis de la variación del
valor escalar a lo largo de la superficie ambigua.
59

0 1
2
3 4 5
6
7
8
9 10 11
12
13
14
Figura 3.10: Los 15 cubos triangulados del algoritmo Marching Cubes.
60

Caso 3c
Caso 6c
Caso 7c
Caso 10c
Caso 12c
Caso 13c
Figura 3.11: Casos complementarios para el algoritmo Marching Cubes.
Una solución sencilla y efectiva (la que usamos), consiste en extender los 15
casos vistos, con otros complementarios, para los casos que pueden tener ambigüedad.
Estos casos se diseñan para que sean compatibles con los casos
vecinos y eviten agujeros en la superficie. Los seis casos complementarios que
se necesitan, para los casos 3, 6, 7, 10, 12 y 13 se muestran en la Fig. 3.11.
61

Capítulo 4
Compresión de Datos
4.1. Introducción
La compresión de datos se puede enmarcar en el modelo de referencia OSI
(Interfaz de Sistemas Abiertos) de ISO (Organización Internacional de Normas)
dentro del nivel de presentación [2] (nivel número seis). Éste nivel, a diferencia de los
cinco inferiores, que solamente se ocupan del movimiento ordenado de bits, desde el
extremo fuente, hasta el extremo destino, se encarga de la preservación del significado
de la información transportada. Cada ordenador puede tener su propia forma de
representación interna de los datos, por ello el trabajo de la capa de presentación
consiste en codificar los datos estructurados, del formato interno utilizado en la
máquina transmisora, a un flujo de bits adecuado para la transmisión y después,
decodificarlos y mostrarlos en el formato del extremo destinatario.
La compresión de datos reduce el número de bytes para representar un conjunto
de datos. La compresión se ha usado en casi todos los campos en los que se trabaja
con información digital: texto, audio, imagen, . . .
La compresión reduce la cantidad de memoria (espacio de disco) necesario para
almacenar los datos y como consecuencia de ello, también reduce la cantidad de
tiempo necesario para transmitir los datos a través de un enlace de comunicaciones,
a una determinada tasa de transmisión.
4.1.1. Terminología General
Para describir los esquemas de compresión se usan los siguientes términos [6]:
Relación de Compresion o Compresión. Relación entre el tamaño de los datos
originales y el tamño de los datos comprimidos:
Relación de Compresion =
N.o bytes de datos originales
N. o bytes de datos comprimidos
63
(4.1)

La relación de compresión se expresa como un número o como dos números,
siento el segundo número normalmente 1. Por ejemplo, 10:1 significa que 10
bytes de los datos originales se representa con 1 byte de los datos comprimidos.
Relaciones de compresión mayores significan menor tamaño de los datos
comprimidos.
Bits por Pixel o Voxel. En compresión de imagen, indica el número medio de
bits necesario para representar el valor de un pixel de la imagen o de un voxel
del volumen. Es otra forma de indicar la relación de compresión.
Compresión sin Pérdidas. Compresión en la que no se pierde nada de la información
contenida en los datos originales.
Compresión con Pérdidas. Compresión en la que se puede perder parte de los
datos originales. Estos esquemas pueden conseguir compresiones mayores que
los esquemas sin pérdidas, pero pagando el precio de la pérdida de información.
Codificación. Proceso que toma como entrada un conjunto de datos y produce
como salida el conjunto de datos comprimido correspondiente.
Decodificación. Proceso que toma como entrada un conjunto de datos comprimido
y produce como salida el conjunto de datos original (o una aproximación al
mismo si se usa compresión con pérdidas).
Codec. Se refiere al codificador, al decodificador o a ambos. Es una abreviatura de
codificador/decodificador.
Entropía. Medida de la aleatoriedad de un conjunto de datos. Un conjunto de
datos totalmente aleatorio no puede ser comprimido. Cuanto más orden tenga
un conjunto de datos, más se puede comprimir. Si una serie de datos contiene
algún tipo de orden, podemos eliminar la información redundante para
comprimirlo.
A continuación describo algunos métodos de compresión usados en voz, audio,
imagen y datos volumétricos, campos en los que, debido al gran tamaño de los datos,
es muy importante la compresión.
4.2. Compresión de Audio y Voz
La copresión de audio ha alcanzado un gran desarrollo últimamente, para abaratar
los sistemas de almacenamiento de audio digital. Por su parte, la compresión de voz
se ha desarrollado hace más tiempo. Ambas tienen una diferencia:
64

Voz: está generada por el sistema fonador humano. Los esquemas de compresión
se pueden basar en sus características, con lo cual tenemos información
de la señal a comprimir.
Audio: la fuente puede ser cualquiera que genere sonido, con lo que no se
pueden usar las estrategias usadas para voz. Sin mebargo, sí tenemos información
del funcionamiento del oído, que se puede utilizar para realizar la
compresión; siempre que introduzcamos un error que quede enmascarado por
el oído, no lo percibiremos. Durante muchos años se han usado técnicas de
codificación de forma de onda, que son generales.
A continuación voy a describir métodos de codificación y compresión, empezando
por los más elementales y a su vez generales, que valen tanto para audio como para
voz. Después explicaré someramente y como ejemplo algunos métodos específicos
usados para voz. Estos esquemas tratan de reducir el coste de la señal de audio
digital, minimizando la distorsión introducida.
4.2.1. Codificadores de Forma de Onda
Están basados en un procesado muestra a muestra de la señal digital y son válidos
para cualquier señal que sea limitada en banda y en amplitud [3].
PCM
El esquema básico de codificación tanto de voz como de audio es PCM (Modulación
por Pulsos Codificados), que consiste, simplemenete, en un cuantificador
uniforme, en el que hay 2 N niveles de cuantificación y se usan N bits para representar
cada muestra. Este tipo de codificación no tiene ningún tipo de compresión. Se
codifican directamente las muestras.
log-PCM o Cuantificación Logarítmica
El problema básico de PCM es que el nivel de cuantificación se elige para que
no se produzca saturación con los niveles mayores de la señal. Sin embargo, especialmente
en voz, tienen más importancia los niveles de señal bajos, en los que se
produce mucho error relativo. Por ello se suele usar un cuantificador logarítmico que
da más importancia a los niveles pequeños de señal.
ADPCM o PCM Adaptativo
La mayor limitación de los dos esquemas anteriores de codificación es que no
tienen en cuenta las variaciones de amplitud de la señal. Una solución a este problema
es adaptar dinámicamente el escalón del cuantificador, para adecuarse a las
65

x[n]
d[n] c[n] c[n] d[n]
+ Cuantificador Codificador Decodificador
+
xr[n]
xe[n]
Predictor
P
xr[n]
+
Canal
xe[n]
Predictor
P
Transmisor
Receptor
Figura 4.1: Esquema del sistema DPCM (PCM Diferencial).
características de la señal a codificar. La adaptación se puede hacer cada muestra o
cada varias muestras, dependiendo de la estacionariedad de las señales a codificar.
El escalón del cuantificador se determina multiplicando el escalón anterior por
una constante, que se calcula a partir de la anterior muestra codificada. Si esta
muestra es pequeña, se coge una constante mayor que 1 y viceversa.
En el decodificador se calcula el tamaño del escalón a partir de cada muestra
que llega, con lo cual la codificación es reversible. Este esquema de codificación, por
ejemplo en telefonía, supone una reducción de 1 bit por muestra para una misma
SNR respecto a log-PCM.
DPCM o PCM Diferencial
Normalmente, las señales de voz y audio suelen tener una cierta correlación entre
muestras sucesivas. Por tanto, la diferencia entre las mismas, tiene menor varianza
y rango dinámico que la señal original, con lo que se puede codificar con menos bits,
para una cierta SNR. Lo que se hace es estimar la muestra actual, x e [n] a partir de
las anteriores, restarla de la muestra actual, x[n], y cuantificar la diferencia, d[n],
como se muestra en la Fig. 4.1. La señal reconstruida, x r [n] se obtiene sumando la
diferencia cuantificada, d[n], a la señal estimada, x e [n]. x e [n] se obtiene como una
combinación lineal de las muestras anteriores de x r :
N∑
x e [n] = a k x r [n − k] (4.2)
k=1
donde N puede variar (desde 1 a 14 son valores típicos) y los coeficientes a k se
obtienen de forma experimental. Cuanto mejor sea la predicción, menor será la
diferencia, d[n], y por tanto se consigue mayor compresión.
66

DM o Modulación Delta
Este tipo de modulación es un caso limitado de la técnica DPCM. En el sistema
DM, el predictor de la Fig. 4.1 es un predictor de primer orden
x e [n] = ax r [n] (4.3)
donde a es una constante ligeramente menor que 1 y se usa un cuantificador de 1 bit,
cuya salida es +δ(1), si la diferencia es positiva y −δ(0), si la diferencia es negativa.
Como se usa un cuantificador de 1 bit, la tasa binaria es igual a la frecuencia de
muestreo, pero se debe usar una frecuencia de muestreo varias veces la de los sistemas
PCM convencionales. Si la frecuencia de muestreo es demasiado baja, se produce
ruido de sobrecarga (el sistema no puede seguir los cambios rápidos de la señal).
Se puede reducir aumentando la frecuencia de muestreo o aumentando el escalón
de cuantificación. Sin embargo, si se aumenta el escalón, se produce mayor ruido
granular (1s y 0s alternados), que es más importante cuando no hay señal.
Una mejora al sistema DM es usar un escalón de cuantificación adaptativo
(ADM), de forma similar al sistema APCM. Una estrategia posible para ello es
multiplicar o dividir por dos el escalón, dependiendo de que el siguiente bit cuantificado
sea diferente o igual al anterior. La variación del escalón se limita entre un
valor mínimo y otro máximo. De esta forma se reduce tanto el error de sobrecarga,
como el granular. El mayor problema de ADM es que, como el escalón varía
instantáneamente, cambios bruscos en la señal de entrada –como los producidos por
el ruido– pueden provocar que el sistema tarde en recuperarse.
ADPCM o DPCM Adaptativo
La codificación DPCM usa un escalón de cuantificación fijo y un predictor con
coeficientes constantes. Se puede conseguir una importante mejora en la relación
de compresiónsi se añade un cuantificador adaptativo y/o un predictor adaptativo.
El esquema es similar al de la Fig. 4.1, pero con el predictor, el cuantificador, el
codificador y el decodificador (o algunos de ellos) con bloques de predicción. La
sincronización entre el transmisor y el receptor se consigue haciendo que el transmisor
y el receptor sean esencialmente iguales, y además usando sólo la diferencia
transmitida, c[n], (presente en transmisor y receptor) para realizar la adaptación.
Normalmente se hace una mezcla entre adaptación instantánea y adaptación cada
cierto intervalo de tiempo, por lo que se puede adaptar tanto a señales estacionarias,
como no estacionarias.
La complejidad de un sistema ADPCM depende, en su mayor parte de la complejidad
del algoritmo de predicción. Este tipo de codificación se estableció como
estándar en la transmisión de voz y datos a 32 Kbits/s sobre la red telefónica. El
estándar usa log-PCM a 64 Kbits/s y lo convierte a 32 Kbits/s, usando ADPCM.
67

4.2.2. Algunos Codificadores Específicos de Voz
Las técnicas vistas anteriormente operan en el dominio del tiempo directamente
y consiguen reducir la tasa binaria, explotando la correlación o redundancia entre
muestras sucesivas de la señal. En este capítulo se describen algunas técnicas usadas
para compresión de voz [3], con tasas binarias que varían entre 16 Kbits/s y menos
de 1 Kbit/s. En todas estas técnicas se codifica, o bien una versión modificada
o transformada de la señal (en el dominio de la frecuencia). Estos codificadores se
dividen en paramétricos y no paramétricos. En los paramétricos (vocoders) se intenta
separar la información del tracto vocal de la información de la señal excitadora,
mientras que en los no paramétricos, no se hace esta separación.
Codificación en Sub-Bandas
En las técnicas explicadas en el apartado anterior, se codifica la señal de banda
completa. En la codificación en sub-bandas, lo que se hace es dividir la señal en subbandas,
mediante filtros paso-banda y después se codifica la salida de cada filtro
usando una de las técnicas vistas entonces.
Las salidas de los filtros están bastante incorreladas, por lo que se elimina la
redundancia de la señal de entrada. La asignación de bits se hace siguiendo criterios
perceptuales. Se asignan más bits a las bajas frecuencias (tienen más importancia
para el oído) y menos a las altas.
En el codificador, la señal de entrada se filtra con un determinado número de
filtros paso-banda, que cubren todo el espectro de interés para voz (300 - 3400
Hz para telefonía); normalmente se usan de 2 a 5 bandas, cuyo ancho de banda
normalmente es menor para los filtros centrados en frecuencias bajas. La salida de
cada filtro se demodula a banda base, y como estas señales en banda base tienen
mucho menor ancho de banda que la señal original, se pueden diezmar por un factor
D n , que depende de la frecuencia de muestreo de la señal original, f s , y el ancho de
banda del filtro correspondiente, b n . A partir del teorema de Nyquist y suponiendo
filtros ideales:
D n = f s /2b n (4.4)
Cada sub-banda se cuantifica y codifica con uno de los esquemas vistos en el apartado
anterior. Normalmente se usa PCM (APCM) y alguas veces ADPCM o ADM. Las
sub-bandas así codificadas, se multiplexan y se transmiten o almacenan, según el
caso.
En el decodificador se usa el procedimiento contrario. Primero se demultiplexa
la señal, se interpola cada sub-banda insertando ceros para deshacer el diezmado,
se modula a cada banda correspondiente y se filtra, con filtros idénticos a los del
codificador. Las salidas de estos filtros se suman y de esta forma se reconstruye la
señal original.
68

La codificación en subbandas se puede usar para codificación de voz, con tasas
binarias de 9.6–32 Kbits/s, siendo su calidad en este rango similar a la de ADPCM,
a la misma tasa binaria. Su relativa calidad de sonido y no muy alta complejidad,
lo hace muy adecuado para codificación por debajo de 16 Kbits/s. Sin embargo, la
complejidad al aumentar la tasa binaria, aumenta más que en otros esquemas, por
lo que por encima de 20 Kbits/s no es adecuado.
Compresión de audio basada en sub-Bandas
Para compresión de audio también se puede utilizar un esquema en sub-bandas [5].
Como ya dijimos, para compresión de audio, se puede codificar sólo la información
que el oído no enmasacara. En efecto, el oído permite cierta distorsión, pues sólo
parte de la señal analógica que recibe la considera necesaria y suficiente. De esta
forma, se permite cierto error en la compresión, que si es enmascarado por el oído,
no devalúa la calidad percibida del sonido.
Para audio, el ancho de banda de cada filtro puede ser constante o ir aumentando
conforme aumenta su frecuencia central (de la misma forma que las bandas críticas
del oído).
El elemento clave en los sistemas de compresión de audio basados en sub-bandas
es el cálculo del umbral enmascarado, que se obtiene a partir de modelos psicoacústicos
y sirve para calcular la distribución en la asignación del número de bits a cada
cuantificador, a la salida de cada filtro.
TC o Codificación Transformada
Es una técnica de codificación en el dominio de la frecuencia, en la cual se realiza
una transformación corta (short time) de la señal original y se codifica de forma
eficiente, asignando más bits a los coeficientes de la transformada más importantes
que a los menos importantes. En el receptor se usa la transformación inversa, para
recuperar la señal original. Para reflejar la no estacionariedad de la señal de voz,
los coeficientes de la transformada se actualizan cada cierto intervalo de tiempo fijo
(10-20 ms).
Se pueden usar distintas transformadas, para obtener la información espectral,
como la transformadad de Fourier discreta (DFT), pero es más eficiente usar la
transformada del coseno distreta (DCT), que está relacionada con la anterior,
pero es más eficiente. La DCT está definida por las siguientes relaciones:
N−1 ∑
X(k) = C k
x[n] = 1 N C k
N−1 ∑
n=0
n=0
x[n] cos ((2n + 1)kπ/N) , k = 0, 1, . . . , N − 1 (4.5)
X(K) cos ((2n + 1)kπ/N) , k = 0, 1, . . . , N − 1 (4.6)
donde C k = 1, k = 0, y C k = 2 1/2 , k = 1, 2, . . . , N − 1, x[n] es la señal de voz
enventanada de N muestras y X(k) los coeficientes de la DCT.
69

La longitud típica de los segmentos suele ser de 128-256 muestras. La Ec. (4.5)
se puede escribir en forma matricial:
X(k) = A(k, n) · x(n), A(k, n) = α(k)cos((2n + 1)kπ/N) (4.7)
donde X(k) y x(n) son vectores columna de longitud N que representan, respectivamente,
los coeficientes de la DCT y la señal enventanada y A(k,n) es una matriz
cuadrada (N × N) de transformación. En el receptor se recupera la señal, multiplicando
el vector de coeficientes por la inversa de la matriz de transformación. En
el caso de la DCT, la matriz de transformación es unitaria, lo cual implica que su
inversa es igual a su traspuesta (esto simplifica las cosas). En la práctica, la DCT
se puede calcular más rápidamente usando la DFT, mediante el algoritmo de la
transformada rápida de Fourier (FFT), que es más rápido. Para ello, se debe
extender la longitud de los datos originales de N a 2N, colocando los datos de forma
simétrica, haciendo la FFT de 2N puntos y cogiendo los N primeros. Esto es
válido, porque la DFT de una secuencia real y simétrica produce una secuencia con
coefientes reales, que se corresponden con los coeficientes de la serie de cosenos.
La mayoría de las codificaciones transformadas, usadas en la práctica, son adaptativas
(ATC), en el sentido de que el número de bits usados para codificar los
coeficientes de la transformada, permanece constante, pero la asignación de bits
a cada coeficiente puede variar de muestra a muestra. Esta variación se controla
por la variación de los estadísticos del habla, que deben ser transmitidos junto con
los coeficientes codificados. ATC permite tasas binarias entre 9.6 y 20 Kbits/s. Su
complejidad es algo más elevada que la de codificación en sub-bandas.
Vocoders
Los vocoders (voice coders) o codificadores de análisis/síntesis incorporan una
etapa de análisis en el transmisor, para extraer un conjunto de parámetros que representan,
por un lado la señal de excitación del tracto vocal, y por otro la envolvente
del espectro del tracto-vocal. Estos parámetros son codificados y enviados al receptor.
En el receptor está la etapa de síntesis, en la que se reconstruye la señal original
de voz a partir de los parámetros recibidos.
Hay varios tipos de vocoders, según los parámetros usados. El más sencillo es
el vocoder de canal, cuyo funcionamiento básico voy a explicar a continuación.
El analizador consta de un número de filtros paso-banda (normalmente 16-19), que
cubren la banda de voz (pongamos 0-4 KHz); las salidas de los mismos son rectificadas
y filtradas paso bajo y muestreadas de forma síncrona cada 10-30 ms,
obteniendo de esta forma la amplitud del espectro corto (short time) de la señal de
voz, que nos da la información del tracto vocal. Además se realiza una decisión de
voz/ruido (hay fonemas sonoros, como las vocales, y otros ruidosos, como la ‘s’) y se
obtiene la frecuencia del tono de voz. Ambas forman la información de la excitación.
Se multiplexa toda esta información y se envía al receptor.
70

En el receptor está la etapa de síntesis, en la que la información de excitación se
usa para elegir entre una fuente ruidosa o una fuente tonal a la frecuencia del tono
de voz. La señal recibida en cada canal se usa para modular la amplitud de la señal
de excitación que entra a cada filtro paso-banda del sintetizador. Las frecuencias
centrales de estos filtros son las mismas que las de los filtros del analizador, pero
tienen anchos de banda menores. La salida de estos filtros se suma para obtener la
señal sintetizada.
Los esquemas usados en realidad, son algo más complejos, pues incluyen elementos
como control automático de ganancia (CAG), para aumentar la eficiencia de
codificación y protección frente a errores, para mejorar el rendimiento en canales
muy ruidosos. Se pueden conseguir tasas binarias de 2.4 Kbits/s.
Un vocoder más complejo y avanzado es el vocoder cepstral. Está basado en
el análisis cepstral. Esta técnica separa la excitación y el espectro del tracto vocal,
haciendo la transformada inversa de Fourier del logaritmo del espectro, para obtener
de esta forma, el cepstro de la señal. Los coeficientes del cepstro de baja frecuencia
corresponden a la envolvente espectral del tracto vocal y la excitación aparece como
un tren de pulsos en los múltiplos de la frecuencia del tono de voz. Los coeficientes
del cepstro correspondientes al tracto vocal, se separan de los correspondientes a la
excitación, mediante un filtrado lineal (enventanado). La posición en el tiempo del
primer pulso en el cepstro nos da la información del tono de voz y la presencia o no
de pulsos marcados indica si el sonido es sordo o sonoro. Toda esta información es
multiplexada y codificada.
En el receptor (sintetizador), se hace la transformada de Fourier de los coeficientes
del cepstro correspondientes al tracto vocal, a continuación la exponencial
y después la transformada inversa de Fourier, para obtener la respuesta al impulso
del tracto vocal. Convolucionando esta respuesta al impulso con una señal de excitación
sintética (ruido o tren de pulsos al tono de voz), se reconstruye la señal de
voz original.
4.3. Compresión de Imágenes y Datos Volumétricos
4.3.1. Criterios de Diséno
La compresión de datos gráficos es útil para una gran variedad de aplicaciones, y
cada una impone diferentes criterios y requisitos en los esquemas de compresión. Por
tanto, como en cualquier tarea de diseño en ingeniería, se deben alcanzar compromisos
entre coste y funcionamiento. En la tabla 4.1 aparecen los distintos requisitos
de diseño y las diferentes opciones existentes para cada uno, y en la tabla 4.2 aparecen
algunos ejemplos de aplicaciones que necesitan compresión, como se muestra en
71

Cuadro 4.1: Requisitos de diseño y posibles opciones
Requisit.
Opciones
Tiempo
Coste
Pérdida Info.
• Se requiere codificación y decodificación en tiempo real
• Sólo se requiere decodificación en tiempo real
• Se puede aceptar procesado más lento que en tiempo real
• Requiere sólo software
• Requiere coprocesador de punto flotante (coste adicional)
• Requiere hardware de propósito especial (más caro)
• Sin pérdida de información
• Alguna pérdida, pero no distinguible por el ojo humano
• Más pérdida de información, pero la que requiere la
aplicación se mantiene
Compresión • Basta con poca compresión (2:1 o 3:1)
• Basta con compresión media (5:1 o 10:1)
• Se necesita gran compresión (20:1, 100:1 o más)
[6].
Como aparece en [7], en general se usan tres criterios para evaluar las distintas
técnicas de compresión:
Relación de Compresión o tasa de compresión (o el inverso, bits/pixel)
Fidelidad de la imagen de salida (o el inverso, medida del error)
Coste computacional (o el inverso, simplicidad computacional)
De esta forma, las técnicas de compresión se pueden evaluar mejor en un espacio
tridimensional, con uno de los elementos anteriores en cada eje. Una técnica puede
tener mucha compresión, pero poca calidad, o al revés, o tener una compresión
moderada, pero también una fidelidad media. A su vez, cada técnica tiene su propio
coste computacional.
La relación de compresión o tasa de compresión, es la medida cuantitativa fundamental
para evaluar la efectividad de un método de compresión. En imagen se
puede ver como la relación entre los bits/pixel, en la imagen original, y en la imagen
72

Cuadro 4.2: Algunas aplicaciones que requieren compresión
Aplicacion Caract. de dispositivo Requisitos
Videodisc Dispositivo de sólo lectura • No hace falta codif. en tiempo real
• Decodif. en tiempo real
Videoteléfono Ancho de banda pequeño • Compresión alta
• Codif. y decod. casi en tiempo real,
que tarden aprox. el mismo tiempo
Teleconferencia Ancho de banda grande • Compresiones altas, para imágenes
de alta calidad
Telemedicina Anchos de banda • Mínima pérdida de info. para evitar
pequeños y grandes malos diagnósticos
comprimida. Si se usan imágenes originales con los mismos bits/pixel, basta con dar
el número de bits/pixel de la imagen comprimida como medida de la compresión del
método.
La fidelidad de la imagen es una medida cualitativa del proceso de compresión y
es el siguiente criterio más importante. De todas las formas, ambos criterios están
muy relacionados. Para comparar diferentes esquemas de compresión hace falta una
buena medida de la distorsión introducida por el método de compresión. Las medidas
usadas para evaluar la fidelidad son:
MSE: error cuadrático medio.
RMS: raíz cuadrada del error cuadrático medio.
NMSE: MSE normalizado.
NRMS: RMS normalizado.
Es importante decir que estos parámetros no son suficientes para evaluar cualitativamente
el algoritmo. Además son deseables comparaciones visuales, que aunque
son subjetivas, la mayoría de las imágenes están pensadas para ser vistas por el ojo
humano. También se pueden definir otras medidas de la distorsión, que sólo son adecuadas
para determinadas técnicas, como son los métodos de transformación, que se
verán más adelante. Cuando estas imágenes van a ser después procesadas con procedimientos
estadísticos, la mejor medida puede ser la fidelidad de los estadísticos
en las regiones de la imagen, en vez de las intensidades de cada pixel. De hecho, no
hay ningún método para medir la fidelidad, que sea útil para todas las aplicaciones.
73

El coste computacional debe tener en cuenta dos procesos, la compresión y la
descompresión de la imagen. Para la compresión, en aplicaciones que requieran un
espacio de almacenamiento mínimo, el coste de compresión tiene menos importancia
que el de descompresión, que debe realizarse cada vez que se lee la imagen del sistema
de almacenamiento. Para aplicaciones de compresión diseñadas para la transmisión
rápida a través de una red, es igual de importante el coste de compresión como el
coste de descompresión.
En general, la fidelidad de la imagen disminuye al aumentar la relación de compresión;
y al aumentar la fideliedad de la imagen, normalmente aumenta el coste
computacional. El compromiso de diseño entre los tres se puede ver como un problema
en tres dimensiones, en el que la fidelidad de la imagen es la variable dependiente
del coste computacional y de la fidelidad.
4.3.2. Métodos de Compresión
Cualquier esquema de compresión de datos se puede dividir, como se muestra
en [6] en tres métodos diferentes: 1) transformación, 2) precisión reducida, y 3)
minimización del número de bits.
Método 1. Transforma el conjunto de datos original en otro conjunto de datos
equivalente, que ocupa menos que el original. Algunas transformaciones reducen
el número de elementos en el conjunto de datos. Otras transformaciones
reducen el tamaño numérico de los elementos del conjunto de datos, lo que
permite representarlos con menos bits.
Método 2. Reduce la precisión de los valores de los elementos del conjunto de
datos, lo que reduce el número de bits para representar cada elemento. Este
método también puede reducir la aleatoriedad en una ristra de datos.
Método 3. Representa cada elemento del conjunto de datos, de forma que se minimiza
el número de bits para representar todo el conjunto de datos. En la
Fig. 4.2 se muestra la idea, metodología y nombre técnico dado a cada uno de
los métodos de compresión.
4.3.3. Método 1: Transformación
Se puede reducir el tamaño de un conjunto de datos explotando los patrones
(orden) existente en los mismos. Un patrón es cualquier forma de repetición o
redundancia que existe en los valores de los datos. Si un conjunto de datos no
contiene patrones (es totalmente aleatorio), no se puede comprimir e incluso si se
aplica un esquema de compresión a datos totalmente aleatorios, potencialmente
puede aumentar su tamaño.
74

Metodo 1
Metodo 2 Metodo 3
Idea
Minimizar la cantidad de datos Minimizar precision de datos Minimizar # bits por elemento
Metodo
Reconocimiento de patrones
Division de datos
Codificacion de datos
Nombre
tecnico
Mapeado
Cuantifiacion
Codificacion
Esquemas
generales
Encontrar
patrones
unidimensionales
Encontrar
patrones
bidimensionales
Dividir por
factores de precision
Codigos de
longitud fija
Codigos de
longitud variable
Encontrar
patrones
tridimensionales
Figura 4.2: Esquemas generales para los tres métodos principales de compresión.
El nombre técnico de este conjunto de técnicas es mapeado, en el sentido de
que mapean patrones de los datos originales a códigos en los datos transformados.
Los patrones se pueden encontrar de tres formas:
Búsqueda de patrones en una dimensión: los datos se procesan como una lista
secuencial.
Búsqueda de patrones en dos dimensiones: los datos se procesan como una
matriz de dos dimensiones.
Búsqueda de patrones en tres dimensiones: Los datos se procesan como una
lista secuencial de matrices de dos dimensiones.
A continuación describo cada uno de estos esquemas.
Reconocimiento de Patrones en una Dimensión
Si el conjunto de datos se trata como una lista de valores unidimensionales,
entonces se pueden buscar patrones entre los valores adyacentes en la lista. Dentro
de estos métodos, hay varios esquemas posibles:
Reducción del número de datos. A su vez se divide en:
• Codificación run-length: se basa en la repetición de valores adyacentes
idénticos.
• Codificación LZW: se basa en la repetición de valores adyacentes no
idénticos.
Reducción de la magnitud de los valores de los datos individuales.
75

5 5 12 12 12 12 5 5 5 5 5 5 12 5
Datos Originales (14 bytes)
2 5 4 12 6 5 1 12 1
Longitud: datos
5
Datos Comprimidos (10 bytes)
Figura 4.3: Ejemplo de codificación run-length.
• Diferenciación: Reemplazar cada dato con la diferencia con el dato
anterior.
A continuación describo cada uno de ellos:
Codificación run-length:
Es un esquema de compresión de reconocimiento de patrones que busca la repetición
de valores idénticos en una lista. Los datos se pueden comprimir reemplazando la
secuencia repetida, con el valor de los datos repetidos y el número de datos. Por
ejemplo, en la Fig. 4.3 se muestra un ejemplo. Se puede ver que los dos últimos
bytes de los datos originales requieren 4 bytes de los datos comprimidos. Esto es
debido a la falta de repetición en los datos. Sin embargo, la mayoría de los esquemas
run-length usados tienen esquemas para evitar estos casos de ineficiencia.
Normalmente, en los métodos run-length, cada línea se codifica por separado para
permitir métodos de almacenamiento en los que las líneas no se almacenen de forma
secuencial. Además esto permite mejor recuperación de errores, si se corrompen los
datos.
El orden de los datos afecta a la eficiencia de los métodos run-legth, especialmente
para imágeens en color. Si los valores de los pixels están ordenados por planos de
color (todos los valores de rojo, después azul y después verde), es mucho más fácil
que haya repeticiones entre datos adyacentes.
La repetición en los valores de los pixels no es exclusiva, por supuesto de las
líneas horizontales. Algunas imágenes digitales contienen más redundancia en las
líneas verticales. Sin embargo, la complejidad añadida, no se ve compensada con
la ventaja de implementar esquemas en ambas direcciones. Todos estos esquemas
dependen de los datos. El objetivo es encontrar un método que funcione bien con
un tipo de datos general, asociado con una aplicación concreta y asegurarse de que
el peor caso ocurre sólo en raras ocasiones para esa aplicación.
El tipo de datos afecta al esquema run-length usado. Por ejemplo, en las imagenes
bilevel, sólo hay dos colores, por lo que no hace falta almacenar el color, sino simplemente
el número de repeticiones de cada uno. El sistema de codificación en una
76

5 23 7 12 5 23 7 6 12 5 23 7 6 12
Datos Originales (14 bytes)
C1 12
C1 C2 C1 C2
Datos Comprimidos (6 bytes)
C1 y C2 representan codigos unicos
Figura 4.4: Ejemplo de asignación de códigos únicos a secuencias de datos repetidas.
Codificación LZW.
dimensión, usado para Fax Grupo 3 de la CCITT emplea esta tipo de codificación
para imágenes de dos niveles.
Como conclusión, se puede decir que la tasa de compresión de los esquemas runlength,
depende del tipo de datos y de la repetición presente en ellos. Compresiones
típicas que se pueden conseguir con estos esquemas, son desde 2:1 hasta 5:1. Algunos
formatos gráficos que usan este tipo de almacenamiento, además del Fax Grupo 3
ya indicado, son PCX, PostScript y TIFF.
Codificación LZW
Si una secuencia de datos no idénticos, se repite más de una vez en el conjunto
de datos, no necesariamente de forma contigua, entonces esta repetición se puede
explotar para comprimir los datos. Se puede asignar a la secuencia repetida un código
único y a continuación almacenar este código, en lugar de la secuencia completa. En
la Fig. 4.4 se muestra un ejemplo. Contiene dos secuencias que se repiten, Hay
otras secuencias que no se han marcado y se les ha asignado código, como por
ejemplo, las secuencias (12, 5) y (5, 23, 7, 6, 12) se repiten dos veces, pero no se
usan para codificar. Este ejemplo pone de manifiesto el problema de encontrar la
mejor agrupación de los datos, para conseguir la mayor compresión.
Encontrar la mejor forma de agrupar los datos supone examinar todas las posibles,
lo cual es muy ineficiente computacionalmente. Lo que se suele hacer es “recordar”
las secuencias de datos, según van apareciendo y las reconoce cuando se repiten.
En el ejemplo visto, la secuencia (5, 23, 7), se encontró en primer lugar, y por tanto,
se usa para codificar la siguiente ocurrencia de esta secuencia. De esta forma, no se
encontró la secuencia más larga (5, 23, 7, 6, 12).
Los códigos y las secuencias de datos asociados con los mismos, forman lo que
se llama lista de códigos, y debe ser almacenada junto con los datos codificados,
pues si no, el decodificador podría no tener forma de saber lo que representan los
códigos. Si la lista de códigos es grande, la sobrecarga de almacenar la lista, puede
disminuir, de forma importante la compresión alcanzada.
77

Un esquema de compresión, desarrollado por Lempel-Ziv y Welch, normalmente
llamado compresión LZW, evita tener que almacenar la lista de códigos. La compresión
LZW tiene varias ventajas. Procesa los datos de forma secuencial, con lo que
tiene pocos requerimientos de memoria. Se basa en que el codificador y el decodificador
construyen la misma lista de códigos, a medida que la los datos son leídos de
forma secuencial. El codificador sustituye una secuencia por su código, sólo cuando
la secuencia se encuentra más de una vez. La primera vez que encuentra una secuencia,
la escribe en su lista de códigos y escribe en la salida la secuencia sin codificar.
El decodificador, por su parte, recibe esta secuencia y la coloca en su propia lista de
códigos. Cuando el codificador ve una secuencia por segunda vez, escribe el código
de su lista de códigos en la salida y el decodificador reconoce el código, porque ha
generado una lista de códigos idéntica a la del codificador.
La técnica de compresión LZW funciona bien en una gran variedad de casos. La
tasa de compresión depende de los datos a comprimir. Por ejemplo, para dibujos, se
puede conseduir una compresión de 16:1 o más. En el otro extremo, para fotografías
escaneadas (como por ejemplo un paisaje), no se consigue compresión. Las compresiones
típicas que se consiguen varían entre 9:1 y 2:1. Algunos formatos gráficos
que usan este tipo de compresión son GIF, PostCript y TIFF. Otras utilidades de
compresión, como compress de UNIX y arc de MS-DOS, también lo usan.
Diferenciación Unidimensional
La diferenciación es un esquema que trata de reducir el tamaño de cada elemento
individual que forma la imagen. Los datos más pequeños se pueden codificar usando,
entonces, menos bits.
Las imágenes tienen, a menudo, valores parecidos en los pixels vecinos. En lugar
de almacenar los valores de cada pixel, se almacena la diferencia entre el valor del
pixel actual con el anterior (excepto para el primer pixel, cuyo valor sí se almacena).
En muchos casos, la diferencia es mucho menor en magnitud que los valores
origianales. Este esquema es el mismo que la modulación delta, vista para compresión
de audio y voz.
Combinando diferenciación con un método de minimización (método 3), se pueden
conseguir tasas de compresión que varían enre 1.5:1 y 3:1. Estas tasas dependen de
los datos. Alguos formatos gráficos que usan este tipo de compresión son: JPEG
para la codificación sin pérdidas, JPEG y MPEG para los coeficientes de la DCT
en compresión con pérdidas, y LANDSAT (Land Satellites) de la NASA.
Reconocimiento de Patrones Bidimensionales
Ahora se describen los esquemas más complejos, que tratan los datos como una
matriz bidimensional. Se explotan los patrones que existen en subconjuntos bidi-
78

mensionales de los datos. Hay varios esquemas posibles:
Codificación Fractal: Encuentra patrones “auto-similares”.
Codificación DCT: Usa la trasformada discreta del coseno.
Diferenciación Bidimensional: Reemplaza cada dato con la diferencia con
los anteriores.
La codificación fractal está basada en una serie de transformaciones, en lugar de
una transformación. La diferenciación en dos dimensiones es una extensión directa
del esquema visto en una dimensión. La codificación DCT es un esquema que consigue
una gran compresión, pero es un esquema con pérdidas. Reduce la significancia
de muchos de los valores, lo que permite que los valores menos significantes puedan
ser eliminados.
Fractales
Esta técnica de compresión reconoce patrones extensos contenidos en una imagen
(o subconjuntos de una imagen). La idea principal es encontrar un conjunto
de datos sencillo que se puede cambiar mediante transformaciones sucesivas, hasta
convertirse en la imagen original (o una cercana aproximación). Estos pequeños
conjuntos de datos son “auto-similares” a los datos originales. La compresión se consigue
almacenando sólo el pequeño conjunto de datos y la serie de transformaciones.
El proceso de codificación normalmente necesita grandes cantidades de tiempo para
encontrar los patrones “auto-similares”. Se pueden conseguir tasas de compresión
hasta de 1000:1 en algunos tipos de datos. Las tasas de compresiones más típicas
varían desde 50:1 hasta 100:1. El nivel de compresión también depende del tipo de
datos.
Diferenciación Bidimensional
La diferenciación bidimensional es distinta para imágenes bilevel (bloco y negro)
y para imágenes en color.
Diferenciación Bidimensional par Imágenes en Blanco y Negro:
Los estándars de CCITT para Fax Grupo 3 y Grupo 4, definen un esquema de
diferenciación para imágenes bilevel. La idea principal es la siguiente: la mayoría de
los pixels “negros”están agrupados juntos en una página. Si estamos al final de un
conjunto de pixels “negros”, convendría poder “saltar” los siguientes pixels blancos
79

para llegar al siguiente grupo de pixels “negros” 1 . En un caso típico, la anterior línea
escaneada nos da una buena referenca de adónde saltar en la línea actual. Saltar
muchos pixels, usando la anterior línea como guía de referencia, puede proporcionar
buenas compresiones sin pérdidas, para ciertos tipos de datos, como imágenes de
texto.
Este esquema está diseñado para imágenes bilevel. No es efectivo para imágenes
en color, a no ser que haya grandes áreas del color de fondo en la imagen.
Diferenciación Bidimensional para Imágenes en Color:
La idea para imágenes en color es exactamente la misma que en el caso unidimensional,
excepto que el valor de la diferencia no tiene porqué calcularse necesariamente
a partir del valor del pixel anterior en la misma línea.
Combinando la diferenciación bidimensional con un método de minimización
(método 3), se pueden conseguir tasas de compresión desde 1.5:1 hasta 3:1. La compresión
conseguida depende del tipo de datos. Algunos ejemplos de uso de este
esquema de compresión, son el JPEG y el MPEG para compresión sin pérdidas.
Esquema DCT
Existen muchas transformaciones matemáticas que, en general, transforman un
conjunto de valores de un sistema de medida a otro. Algunas veces, los datos representados
en el nuevo sistema, tienen propiedades que facilitan la compresión de
los datos. Algunas de estas transformaciones matemáticas, se han inventado para
compresión y otras, usadas para otras aplicaciones, se han usado en compresión de
datos. Una pequeña lista incluye:
Transformada Discreta de Fourier (DFT).
Transformada Discreta del Coseno (DCT).
Transformadas de Hadamard-Haar (HHT).
Transformadas de Karhunen-Loeve (KLT).
Transformada de Slant-Haar (SHT).
Transformada de Walsh-Hadamard (WHT).
1 Los colores “blanco” y “negro” están entre comillas para indicar que su significado puede ser
el contrario y la idea es la misma, es decir, cambiando el “blanco” por “negro” y viceversa.
80

No voy a describir cada una de ellas, pues queda fuera de mi propósito. De todas
las transformaciones anteriores, la DCT ha sido la técnica que ha predominado, y
se ha usado en muchos formatos estándar de compresión. Las razones de esto son:
La DCT tiene algunas propiedades computacionales apropiadas, principalmente
un algoritmo rápido para hacer la transformada.
Pruebas extensivas han mostrado que la DCT produce visualmente imágenes
de mayor calidad, con tasas de compresión mayores que la mayoría de los otros
esquemas de transformación.
La DCT directa (FDCT) transforma un bloque de los datos originales al dominio
transformado, mientras que la DCT inversa (IDCT), restaura los datos originales a
partir de los del dominio transformado. En teoría no se pierde información cuando
los datos se trasnforman y a continuación se restauran. Sin embargo, en la práctica,
hay cierta pérdida de información debida a: 1) los valores del coseno no se pueden
calcular de forma exacta, ya que son números transcendentales, 2) y cálculos repetidos
usando números de precisión limitada introducen errores de redondeo en los
resultados finales. La variaciones entre los datos originales y los restaurados suelen
ser pequeñas, pero dependen del método usado para hacer la DCT.
La DCT se puede aplicar a bloques de datos de cualquier tamaño, pero se ha
visto, mediante pruebas, que con bloques de 8 × 8, se obtienen buenas tasas de
compresión, manteniendo la calidad de la imagen. Además, cuando se empezaron
a implementar comercialmente los métodos de compresión que usaban la DCT, un
bloque de 8 × 8 se podía meter en un chip de lógica LSI, mientras que un bloque de
16 × 16, no.
En los esquemas de compresión de voz, ya se explicó la DCT unidimensional. La
DCT bidimensional es una extensión de la anterior. Las relaciones que la definen,
para un bloque de datos 8 × 8, son las siguientes:
F DCT : S vu (v, u) = 1 ( ) ( )
7∑ (2x + 1)uπ (2y + 1)vπ
4 C uC v cos
cos
x=0
16
16
IDCT : s yx (x, y) = 1 ( ) ( )
7∑ (2x + 1)uπ (2y + 1)vπ
4 C uC v cos
cos
y=0
16
16
(4.8)
(4.9)
Igual que en una dimensión, se puede calcular la DCT a partir de la FFT bidimensional,
extendiendo el bloque de datos de forma simétrica, en este caso para
formar cuatro bloques con simetría, en vez de 2. La idea es como si tuvieramos el
bloque original y 3 espejos, para formar entre los 4 una matriz de bloques, con dos
filas y dos columas, siendo todas ellas simétricas en cada dirección. La imagen original
se puede colocar en cualquiera de las 4 posiciones. Una vez hecha la FFT de la
81

matriz 32 × 32, se coge sólo la submatriz correspondiente al bloque original. Para la
transformada inversa, IDCT, se hace lo mismo con la IFFT.
Algunos formatos gráficos que usan este tipo de compresión son: JPEG para
compresión con pérdidas, MPEG para compresión con pérdidas de imágenes en
movimiento, y el sistema de codificación del sistema de TV de alta definición (HDTV).
Transformada Wavelet
Este método se incluye entre los métodos de transformación junto con la DCT y
todas las demás transformadas que he nombrado, pero debido a su importancia para
la realización del proyecto, se tratará en el capítulo 5. Es un método cuya aplicación
a compresión de imagen es relativamente reciente, por lo que no hay ningún formato
gráfico estándar que lo use hasta el momento (o por lo menos que sea de uso común).
Reconocimiento de Patrones Tridimensionales
En esta sección se discuten esquemas que tratan un conjunto de datos como
una matriz tridimensional de valores. Los esquemas de reconocimiento de patrones
en tres dimensiones son extensiones naturales de los de una y dos dimensiones.
Dos candidatos naturales al método de diferenciación en tres dimensiones son los
datos volumétricos (como las tomografías computerizadas y las resonancias
magnéticas) y los datos de vídeo, en los que una secuencia de imágenes fijas forma
una imagen en movimiento. La compresión de datos volumétricos para medicina es
uno de los objetivos del proyecto, por lo que se estudiará con mayor detenimiento.
Aquí me voy a referir a algunos métodos de compresión de vídeo. A cada imagen
que forma el vídeo, se le llama frame.
El método de compresión de vídeo consiste, simplemente, en comprimir cada
frame por separado (compresión intra-frame). Esto no es suficiente en muchos casos
debido al gran número de frames que hay, hasta en secuencias muy cortas de vídeo.
Se puede conseguir más compresión, aprovechando la redundancia que hay entre
frames, debido al pequeño intervalo de tiempo entre frames consecutivos (compresión
inter-frame).
Diferencias entre frames
Un esquema simple de compresión de vídeo, consiste en almacenar sólo los pixels
que producen una diferencia distinta de cero, cuando se restan de los pixels correspondientes
en el frame anterior. Los formatos de vídeo FLI y FLC usan este
esquema.
En el sistema FLI, el primer frame se codifica usando un esquema de codificación
run-length. Los frames sucesivos se almacenan como “diferencias entre frames”, que
82

es codificada como “líneas comprimidas”. Cada línea comprimida se compone de un
conjunto de “paquetes run-length”, cada uno de los cuales está compuesto por tres
valores: un salto, una longitud y un valor. El salto especifica el número de pixels
que se saltan en la línea actual, a partir del pixel actual. Estos pixels se mantienen
sin cambios desde el frame anterior. La longitud y el valor forman una codificación
run-length. Se puede saltar una línea completa, si no se incluye ningún “paquete
run-length” para ella. Este esquema se implementa fácilmente en software y es sin
pérdidas, pero no permite altas tasas de compresión, en general.
Compensación de Movimiento
Otro esquema de compresión consiste en calcular las diferencias entre los pixels
de frames consecutivos y codificar la diferencia, en lugar de los valores originales.
Lo ideal es que las diferencias sean lo menor posibles, para mejorar la compresión.
Como estamos tratando imágenes en movimiento, se puede asumir que los valores
de los pixels se han desplazado de posición de un frame al siguiente. Si podemos
encontrar ese desplazamiento, y calcular la diferencia con los pixels desplazados,
podemos minimizar las diferencias. Esta técnica se conoce como compensación de
movimiento.
Realizar la compensación de movimiento de cada pixel por separado, no facilita
la compresión, pues habría que almacenar el desplazamiento y la diferencia de cada
pixel. Sin embargo, realizar la compensación de movimiento de un conjunto de pixels
puede ser muy eficiente. Si desplazamos un bloque de pixels de un frame, de tal
forma que todas las diferencias se minimicen, entonces se puede aumentar la tasa
de compresión aunque tengamos que almacenar el desplazamiento del bloque con
los datos comprimidos. El desplazamiento se conoce técnicamente como vector de
movimiento y se representa mediante un par de números que indican el desplazamiento
en horizontal y en vertical.
La mayoría de los métodos que usan compensación de movimiento, como por
ejemplo MPEG, suelen usarlo junto con otro método de compresión, normalmente
la DCT, por lo que el tamáno de los bloques suele ser de 8 × 8 o 16 × 16. Para
calcular el vector de movimiento usan un método de predicción.
4.3.4. Método 2: Reducción de la Precisión
En algunas ocasiones, los datos gráficos tienen mayor precisión de la que necesitan
tener, como por ejemplo el caso de una imagen a todo color para ser usada en un
artículo de periódico en blanco y negro. Si se conoce la aplicación final de una
imagen, entonces se puede eliminar la precisión innecesaria de los datos originales,
y la reducción de precisión se puede aprovechar para comprimir los datos.
83

En otras ocasiones, la información gráfica recogida produce datos que son más
precisos de lo que el ojo humano puede distinguir. Un ejemplo típico es el de una
imagen obtenida mediante escaneado digital de una fotografía. Por ejemplo, parte
de una línea de escaneado puede tener los siguientes valores (niveles de intensidad
de gris):
122 121 123 122 121 122 123
No hay repetición en la secuencia, pero los valores de los datos son muy similares.
De hecho, esta parte de la imagen es, básicamente, un nivel de gris constante para
nuestro ojo, aunque el escáner haya detectado pequeñas variaciones de intensidad,
que normalmente no son información necesaria. Para realizar este método se usa un
cuantificador.
Esto es lo mismo que ocurría con las señales de audio y de voz; podemos aprovechar
el conocimiento del sistema visual humano para eliminar la información que no es
capaz de distinguir, y de esta forma conseguir compresión. Por ejemplo, si tenemos
una grabación de música con ruido de fondo. El ruido de fondo no es deseado, y
puede corromper la pureza de la música. Por tanto, es beneficioso filtrar el sonido,
aunque esto suponga perder parte de la información original.
Lo mismo ocurre con nuestra imagen, la pequeña variación de intensidad, se
puede considerar error, por lo que si se filtra, probablemente será más agradable
para nuestro ojo.
A pesar de las razones por las que puede interesar reducir la precisión de los
datos, al hacerlo, tenemos un esquema de compresión con pérdidas, en el que los
datos perdidos no pueden ser recuperados. Usado con moderación, puede facilitar la
compresión de datos con una mínima pérdida de información para el ojo humano.
Usado en exceso, puede producir cambios abruptos en los valores de intensidad de
un pixel al siguiente, lo cual es muy perceptible para el ojo humano.
Un esquema de compresión, que se puede englobar dentro de este grupo, específico
para compresión de volúmenes es el diezmado de superficies. Debido a su uso
dentro de la aplicación del proyecto, se describe al final del presente capítulo, en el
apartado 4.3.7.
4.3.5. Método 3: Minimización del Número de Bits
El tercer método de compresión de datos consiste en la reducción del número
total de bits para codificar los datos. El proceso de codificación asigna un valor
de código único a cada elemento de los datos. Dependiendo del código usado, el
valor puede representar a un sólo elemento de los datos, o bien a una secuencia
de elementos. Hay muchos posibles esquemas de codificación, de los cuales voy a
describir algunos de los principales.
Códigos de longitud fija. Cada valor del código usa el mismo número de
bits para su representación.
84

Códigos de longitud variable. Todos los valores de código usados no son de
la misma longitud; algunos códigos pueden tener sólo unos pocos bits, mientras
que otros pueden tener muchos bits. Son códigos llamados de “entropía”, como
por ejemplo los códigos de Huffman y aritmético.
Código instantáneo. Dada una ristra de bits que representa una lista secuencial
de valores de código, cada código puede ser reconocido de forma instantánea,
cuando se recibe el último bit. No hace falta mirar en ningún sitio
para reconocer que se ha recibido un valor de código completo.
Ahora voy a describir, de forma un poco más concreta, algunos esquemas.
Códigos de Desplazamiento
Si en un conjunto de datos, en la mayoría de los elementos, los valores pertenencen
a un pequeño subconjunto de los posibles valores, parece razonable seleccionar una
longitud para el código que pueda representar este pequeño subconjuto de valores.
Para los casos menos probables, en que un valor esté fuera de este subconjunto,
se pone un código de “sobrecarga”, que señala el comienzo de otro conjunto de
códigos, usados para representar estos valores que no ocurren tan a menudo. Se
consigue compresión, porque la mayoría de los valores se codifican con un número
mínimo de bits.
Un sistema que usa este esquema es el LANDSAT de la NASA, que como hemos
visto anteriormente, emplea también diferenciación unidimensional. Observaron que
la mayoría de las diferencias estaban comprendidas entre -7 y +7, y muy pocas
estaban fuera de este rango (entre -128 y -7 ó +7 y +127), por lo que se puede usar
4 bits, en lugar de 8 bits. Los códigos de sobrecarga pueden ser 0000 para valores
menores de -7 y 1111 para valores mayores o iguales de +7.
Este tipo de código es muy directo y fácil de implementar. La compresión típica
que consigue está entre 2:1 y 3:1 y varía según los datos a comprimir.
Códigos Huffman
Fueron inventados, como su propio nombre indica por D. A. Huffman en 1952.
Asignan una longitud de código variable a cada elemento de datos, de forma que
los valores que ocurren más a menudo en el conjunto de datos, tienen códigos de
menor longitud y los menos probables tienen códigos de mayor longitud. Dada la
probabilidad de ocurrencia de cada valor en los datos, el algoritmo de Huffman puede
crear una asignación de códigos automática para cada valor.
El algoritmo de Huffman se describe en cualquier libro de compresión, por ejemplo
en [8]. Este esquema de compresión, y el que se describe después, de codificación
aritmética, se suelen usar junto con otros esquemas (a continuación de ellos) de
85

Probabilidades
por Simbolo
Palabra
Codigo (0)
0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1.0
11
(0)
0.2 0.2 0.2 0.2 0.3 0.5
(1)
1000
(0)
0.1 0.1 0.12 0.18 0.2
(1)
1001
(0)
0.08 0.08 0.1 0.12
(1)
1011
0.05
(0)
0.07
0.08
(1)
10100
(0)
0.04 0.05
(1)
10101
0.03
(1)
Figura 4.5: Ejemplo de codificación Huffman.
compresión vistos, como transformación, predicción, sub-bandas, . . . , pues es mucho
más eficiente codificar los datos de salida con un código de longitud variable que
de longitud fija.
El algoritmo comienza ordenando los elementos a codificar, según su probabilidad
de ocurrencia en orden descendente, como se muestra en el ejemplo de la Fig. 4.5.
En la segunda columna aparecen las probabilidades asociadas con los niveles de salida
de una fuente de 7 símbolos. En la siguiente columna, se han sumado las dos
probabilidades más pequeñas, y la probabilidad combinada se incluye (reordenada)
en la tercera columna. El algoritmo prosigue de la misma forma hacia la derecha,
hasta que se llega a una única probabilidad de 1.0. Ahora se asigna a cada probabilidad
que ha entrado en una combinación un “1” o un “0” y leyendo estos bits de
derecha a izquierda, se forman las palabras de código que aparecen en la columna
de la izquierda.
Si en vez de hacer una codificación con un número variable de bits, usáramos
un código de longitud fija, necesitaríamos 3 bits de longitud (en teoría log 2 7 = 2,81
bits/símbolo). Con el código Huffman conseguimos una longitud media de
7∑
¯L = P i L i = 2,17 bits/símbolo
i=1
86

donde P i es la probabilidad por símbolo y L i la longitud por símbolo.
Se define entropía por símbolo de un código, como aparece en [2], de acuerdo
con la teoría de la información como
N∑
H = − P i log 2 P i (4.10)
i=1
donde N es el número de símbolos, 7 en el ejemplo. La entropía por símbolo representa
el contenido de información del código. No se puede diseñar un código con una
longitud media por debajo de este valor (perderíamos información). En el ejemplo,
la entopía por símbolo vale 2.15 bits/símbolo. Desafortunadamente, no hay un código
para alcanzar este límite teórico de longitud, pues habría que asignar un número
fraccionario de bits a una palabra de código. La codificación Huffman, aunque no es
óptima, es una buena aproximación.
El código Huffman, como indica [6], produce lo que se llama un código mínimo.
Esto quiere decir que las asignaciones de códigos de Huffman son “lo mejor que se
puede hacer” cuando se crea un esquema de codificación uno-a-uno (una palabra
de código para cada elemento original). Los códigos de Huffman producen tasas de
compresión típicas desde 1.5:1 a 2:1, pero dependen de los datos.
Hay dos posibilidades básicas para crear los códigos de Huffman:
Crear un código de Huffman genérico para una clase de datos general y que
funcione bien en el “caso genérico”.
Crear un nuevo código de Huffman para cada conjunto de datos que se codifiquen.
Si se crea un código cada vez que se codifica un conjunto de datos, debemos
almacenarlo junto con los datos comprimidos, para que el decodificador sepa interpretar
las palabras de código. Esto reduce la eficiencia de la compresión. Si usamos
un código de Huffman genérico, entonces no será el óptimo para el comjunto de
datos comcreto a comprimir, pero no tenemos que almacenarlo. El mejor esquema
depende del tamaño de los datos a comprimir (a mayor tamaño, menor sobrecarga
supone guardar la tabla de traducción) y de la cantidad de similitudes que se pueden
encontrar para el conjunto de imágenes a las que se aplica el mismo código genérico.
Los códigos Huffman se usan en muchos formatos gráficos y esquemas de compresión
genéricos. Entre los primeros se encuentra, por ejemplo, el Fax Grupo 3 de
la CCITT, que lo usa para comprimir los valores de run-length; en JPEG y MPEG
se usa para codificar los valores de cada bloque.
Codificación Aritmética
Los códigos aritméticos se basan en los valores de secuencias de datos. En lugar
de asignar un código único a cada elemento individual de los datos, este esquema
87

Salto
Minimizacion de la
cantidad de datos
Mapeado
Minimizacion de la
precision de datos
Cuantificacion
Minimizacion del num.
bits por elemento de datos
Codificacion
Repeticion
Figura 4.6: Combinaciones típicas de métodos de compresión.
produce una serie de valores, que corresponden a secuencias únicas de datos. Se usa
la probabilidad de ocurrencia de cada dato individual para crear las palabras de
código. No voy a descibir aquí la realización concreta de este tipo de algoritmo de
compresión. Más información y ejemplos se pueden encontrar por ejemplo en [6] y
[8].
La codificación aritmética es más compleja de implementar y entender que la
codificación Huffman, que he explicado por su sencillez y gran utilización. Sin embargo,
puede producir entre un 5 % y un 10 % de mayor compresión.
4.3.6. Combinación de Métodos de Compresión
Algunos esquemas de compresión, como ya se ha indicado en los párrafos anteriores,
combinan dos o más de los métodos explicados anteriormente, para conseguir
tasas de compresión mayores de las que se puede conseguir con un sólo esquema
de forma individual. Las posibilidades de combinación de esquemas que se pueden
hacer son muy grandes, pero un esquema típico de compresión se consigue con un
proceso secuencial de transformación, reducción de precisión y codificación. La codificación
es siempre la etapa final del proceso, pero a veces hay varias iteraciones de
transformación y reducción. Este proceso se muestra en la Fig. 4.6.
En la mayoría de los casos, la distinción entre los esquemas de compresión sin
pérdidas y con pérdidas, depende de la exclusión o inclusión de la etapa de cuantificación.
Los esquemas que incluyen etapa de cuantificación, son siempre con pérdidas.
Los esquemas de compresión sin pérdidas pueden conseguir una tasa de compresión
limitada. No describo aquí los métodos de compresión estándar, como JPEG
y MPEG, que usan básicamente combinaciones de los esquemas que he explicado.
Una descripción de los mismos se puede encontrar por ejemplo en [6].
88

4.3.7. Diezmado de Superficies
Este esquema de compresión, se puede englobar, como ya se dijo anteriormente,
dentro de los métodos que reducen la precisión (método 2). Pero como es un método
que se emplea para la realización del proyecto, se ha creído más conveniente
describirlo en otro apartado.
Como todos los esquemas que reducen la precisión de los datos, es un esquemas
de compresión con pérdidas. Por otro lado, como en casi todos los métodos de
compresión de datos volumétricos, se busca que reduzca bastante el tamaño de los
datos, aunque se incluya cierto error o distorsión.
Las técnicas de reducción de polígonos [12], [14], reducen el número de
polígonos necesarios para modelar un objeto. El tamaño de los modelos, en términos
del número de polígonos, ha crecido tremendamente durante los últimos años. La
causa de esto es que muchos modelos se han creado usando dispositivos digitales
de medida, tales como escáners láser o satélites. Estos dispositivos pueden generar
datos a tasas enormes. Por ejemplo, un digitalizador láser puede generar del orden
de quinientos mil triángulos en una exploración de 15 segundos. Los algoritmos de
visualización, como marching cubes, descrito en el apartado 3.4, también pueden
generar un gran número de polígonos. Por ejemplo, un número típico de triángulos
generados mediante marching cubes para un volumen de 512 3 , es de uno a tres
millones.
Una técnica de reducción de polígonos es el algoritmo de diezmado [12]. El
objetivo de este algoritmo es reducir el número total de triángulos de una malla triangular,
manteniendo la topología original y obteniendo una buena aproximación a
la geometría original. Una malla triangular es una forma especial de malla poligonal,
en la que todos los polígonos son triángulos. Si es necesario, una malla poligonal se
puede convertir en malla triangular, usando algún método de triangulación, como el
método de Delaunay, descrito por ejemplo en [12], pág. 398. En nuestro caso, como
usamos el método de obtención de isosuperficies marching cubes, ya tenemos una
malla triangular.
Algunas características del algoritmo de diezmado son las siguientes:
Sólo trata mallas triangulares.
La elección de qué puntos borrar es función del criterio de diezmado, una
medida del error local introducido al borrar un punto.
La triangulación del hueco creado al borrar el punto se llava a cabo de forma
que se preserven los bordes u otras carcterísticas importantes.
El algoritmo de diezmado se lleva a cabo visitando iterativamente cada punto de la
malla triangular. Para cada punto se llevan a cabo tres pasos, como se muestra en
la Fig. 4.7, clasificación del punto, criterio de diezmado y triangulación.
89

Clasificacion del Vertice
Simple Complejo Fronterizo Borde
Esquina
Interior
Distancia al Plano
Evaluacion del Error
distancia a la Linea
d
d
Triangulacion 3D
Recursiva
Triangulacion
Subdivision
con planos
Figura 4.7: Los tres pasos del algoritmo de diezmado.
90

Clasificación del Punto. El primer paso del algoritmo de diezmado caracteriza la
geometría local y la topología de un punto dado. El resultado de la clasificación
determina si el vértice es un posible candidato a ser borrado o no, y si lo es,
que criterio usar.
Cada punto se puede clasificar en cinco tipos distintos: simple, complejo, fronterizo,
borde interior y esquina. En la Fig. 4.7 se muestra un ejemplo de cada
uno de ellos.
Un punto simple está rodeado por un ciclo completo de triángulos, y cada
lado que está conectada a ese punto, es usado por dos triángulos, exactamente.
Si el lado no es usado por dos triángulos, o si el punto es usado por un triángulo
que no esté en el ciclo de triángulos, entonces el punto es complejo. Un
punto que está en la frontera de la malla, que está dentro de un semiciclo
de triángulos, es un punto fronterizo. Un punto simple, se puede además
clasificar en: borde interior y esquina. Estas clasificaciones se basan en la
geometría local de la malla.
Si el ángulo entre las normales a la superficie de dos triángulos adyacentes,
es mayor que un determinado ángulo característico, entonces existe un borde
característico. Cuando un punto es usado por dos bordes característicos, el
punto es un borde interior. Si uno, tres, o más bordes característicos usan
el punto, entonces el punto es una esquina.
Los vértices complejos y las esquinas no se borran de la malla triangular; todos
los demás puntos son candidatos a ser borrados.
Criterio de Diezmado. Una vez que tenemos un candidato a ser borrado, estimamos
el error que resultaría de borrar el punto y reemplazarlo (y sus triángulos
asociados) con otra triangulación. Hay varias posibles medidas del error,
pero la más simple está basada en distancias de planaridad local o colinearidad
local (Fig. 4.7).
En la región local que rodea a un punto simple, la malla se considera “casi
plana”, ya que por definición no hay ángulos característicos. Los puntos simples
usan una medida del error basada en la distancia al plano. El plano que pasa
a través de la región local se puede calcular, por ejemplo, mediante mínimos
cuadrados.
Los puntos clasificados como fronterizos o bordes interiores, se considera
que están en un borde, y usan como medida de error la distancia al borde. Es
decir, se calcula la distancia a la que se encuentra el punto candidato a ser
borrado, al nuevo borde que se forma durante el proceso de triangulación.
Un punto satisface el criterio de diezmado, d, si su medida de distancia es
menor que d. En ese caso, el punto puede ser borrado. Todos los triángulos
que usan el triángulo también se borran, dejando un hueco en la malla. El
hueco se tapa mediante el proceso de triangulación local.
91

Triangulación. Después de borrar un punto, el hueco resultante debe ser retriangulado.
Aunque el hueco, definido por un bucle de bordes, es topológicamente
bidimensional, generalmente es no-planar, con lo que no se pueden usar técnicas
de triangulación 2D. En su lugar se usa una técnica recursiva especial 3D,
del tipo “división y conquista”.
El proceso es el siguiente. Se elige un plano inicial de división, para separar
el bucle en dos sub-bucles. Si todos los puntos de cada sub-bucle están en
lados opuestos del plano, entonces la división es válida. Además, se hace una
comprobación de la relación de aspecto, para asegurarse de que el bucle
generado no es demasiado largo y fino, produciendo triángulos como agujas.
La relación de aspecto es el cociente entre la longitud de la línea de división y
la mínima distancia de un punto del sub-bucle al plano de división. Si el plano
de división no es válido, o no satisface el criterio de la relación de aspecto,
se busca otro plano de división candidato. Una vez encontrado un plano de
división válido, continúa la división de cada sub-bucle recursivamente, hasta
que se llega a un sub-bucle que contiene tres lados. En este caso, el sub-bucle
genera un triángulo y se para el proceso recursivo.
En algunas ocasiones, la triangulación falla, a causa de que no se encuentran
planos de división válidos. En este caso, el punto candidato no se borra, y
la malla se deja en su estado original. Esto no es ningún problema para el
algoritmo, y el diezmado continúa visitando el siguiente punto de la malla.
Resultados. Relaciones de compresión típicas varían de 2:1 a 100:1, siendo
10:1 una cifra nominal para mallas “grandes” (por ejemplo con 10 5 triángulos). Los
modelos de CAD, típicamente son los que menos se reducen, ya que tienen muchos
bordes agudos y otras características detalladas; además los modeladores de CAD
suelen producir triangulaciones mínimas. Los datos de terreno, especialmente de
zonas relativamente planas, pueden reducirse hasta 100:1.
La ventaja del diezmado con respecto al sub-muestreado, es que con el diezmado,
la malla se modifica adaptativamente para retener los máximos detalles en
las áreas de máxima curvatura. El diezmado elimina puntos de forma homogénea,
independientemente de las características de los mismos.
Técnicas Avanzadas
La reducción de polígonos es un campo de investigación en estos momentos. Se
han presentado muchos algoritmos más allá del diezmado. Dos de las principales
líneas de estos algoritmos son:
Esquemas progresivos: permiten transmisión incremental y reconstrucción de
mallas triangulares. Esto es especialmente importante para visualización de
geometría basada en la Web, o usada para ser transmitida a través de una red.
92

Algunos algoritmos recientes modifican la topología de la malla. Esto es esencial
para obtener niveles arbitrarios de reducción de la malla.
Una red progresiva está formada por una serie de mallas triangulares, M i ,
relacionadas entre sí por las operaciones
( ˆM = M n ) → . . . → M 1 → M 0 (4.11)
donde ˆM y M n representan la malla a resolución completa, y M 0 es una malla base
simplificada. La característica clave de las mallas progresivas, es la posibilidad de
elegir las operaciones de la malla, de tal forma que sean invertibles. De esa forma,
las operaciones se pueden aplicar en orden inverso (empezando con la malla base
M 0 )
M 0 → M 1 → . . . → M n−1 → M n (4.12)
para obtener una malla con el nivel deseado de reducción (asumiendo que el nivel
de reducción es menor que el de la malla base M 0 ).
Un operador invertible de ese tipo es la fusión del borde, y su inverso es la
división del borde, mostrados en la Fig. 4.8(a). Cada fusión de un borde interior
de la malla produce, como resultado, la eliminación de dos triángulos (o un triángulo
si el vértice que se funde está un una frontera). La operación se representa por cinco
valores
Fusión/División de Borde(v s , v t , v l , v r , A) (4.13)
donde v s es el vértice que se fusiona o se divide, v t es el vértice al que se fusiona
o del que se divide, y v l y v r son dos vértices adicionales a la izquierda del borde
fusionado o dividido. Estos dos vértices, junto con v s y v t definen los dos triángulos
borrados o añadidos. A representa los atributos de información del vértice, que como
mínimo contiene las coordenadas del vértice fusionado o dividido v s . 2
El algoritmo de mallas progresivas, nos permite almacenar y transmitir de forma
compacta las mallas de triángulos; sin embargo, se mantiene el problema de que el
tamaño de la malla base es a menudo mayor que el nivel de reducción deseado. Como
en algunas aplicaciones deseamos conseguir cualquier nivel de reducción, queremos
que la malla base no tenga ningún triángulo
( ˆM = M n ) → M n−1 → . . . → M 1 → (M 0 = M(V, ∅)) (4.14)
Para conseguir esto, se extiende el operador de fusión/división de bordes –que conserva
la topología– con un operador de división/fusión de vértices. Este operador
modifica la topología de la malla y permite niveles de reducción arbitrarios.
Se produce una división de la malla cuando reemplazamos el vértice v s con el
vértice v t , para uno o más de los triángulos que usaban originalmente el vértice v s (Fig. 4.8(b)).
2 En el contexto del algoritmo de diezmado, el operador de fusión del borde sustituye al proceso
recursivo de triangulación.
93

vr
Fusion
vr
vs
Division
vt
vt
vl
vl
(a) Fusion/Division de borde
vr
Division
vr
vs
Fusion
vs
vt
vl
vl
(b) Division/Fusion de vertice
Borde
Interior
Esquina
Complejo
Otros
tipos
(c) Division de veritices aplicada a varios tipos de puntos.
Las lineas mas gruesas indican bordes caracteristicos.
Figura 4.8: Operadores para crear mallas progresivas: fusión/división de bordes y
división/fusión de vértices.
94

Al nuevo vértice, v t , se le dan exactamante las mismas coordenadas que a v s . Las
divisiones introducen una “rotura” o “agujero” en la malla. Es preferible no dividir
la malla, pero para altas tasas de reducción, evita limitaciones de la topología y
permite más diezmado. Sólo se realiza esta división de la malla cuando no se puede
encontrar un lado válido para fusionar o cuando un vértice no puede ser triangulado
(por ejemplo en los vértices complejos). Una vez ocurre la operación de división, se
introducen los vértices v s y v t en la cola de evaluación de la eliminación de puntos.
Dependiendo de la clasificación del punto se usan distintas técnicas de división
Fig. 4.8(c)). Los vértices de los bordes interiores y de las esquinas, se dividen a lo
largo de los lados característicos. Los vértices complejos se dividen en partes separadas,
que sean topológicamente 2D. En cualquier otro tipo de vértice, la división
se realiza separando de forma arbitraria el bucle, en dos partes. Por ejemplo, si un
vértice simple no se puede borrar, porque no se encuentra un lado de fusión válido, el
bucle de triángulos se divide automáticamente, de forma arbitraria, en dos mitades.
De la misma forma que la fusión/división de bordes, la división/fusión de vértices,
también puede representarse como una operación compacta. Una operación de división/fusión
de vértices se puede representar con cuatro valores
División/Fusión de Vértice(v s , v t , v l , v r ) (4.15)
donde los vértices v l y v r definen una tira de triángulos (desde v r hasta v l ) que se
van a separar del vértice original v s .
95

Capítulo 5
Transformada Wavelet
5.1. Introducción
Como ya hemos visto, la tomografía computerizada, la resonancia magnética y
los ultrasonidos, tienen cada vez más importancia en los diagnóticos médicos. Sin
embargo, el problema es su enorme tamaño, que hace de los datos obtenidos con
estas técnicas, difíciles de manejar, almacenar y transmitir. Por tanto sería deseable
una técnica de compresión de estos datos volumétricos, que aunque tenga pérdidas,
mantenga la forma fundamental de los datos y sus estructuras.
Pero además esta técnica debe ser multirresolución, es decir, permitir que unos
datos se muestren a distintos niveles de resolución (según el nivel de compresión);
e incluso, dentro de los mismos datos, la resolución varíe de unos puntos a otros.
Esto último es especialmente importante en medicina, pues el médico, normalmente
realiza su estudio y posterior diagnóstico a partir de una pequeña zona de los datos,
en la que está la lesión, tumor, . . . Sin embargo, no le podemos dar exclusivamente
una imagen de esta zona, pues debe tener una idea espacial de una zona más amplia.
Por ello, nos interesa emplear una técnica que permita obtener una zona con mayor
detalle (menor compresión) que el resto.
Para conseguir distintas resoluciones de una señal (1D, 2D, 3D, . . . ), se han empleado
a lo largo de los años distintos métodos, como codificación en sub-bandas mediante
la transformada de Fourier o del coseno (descrita en el capítulo 4), armónicos
esféricos, multirresolución piramidal . . . [9], [11]. El mayor problema de todas estas
técnicas es que los resultados de la transformación no tienen localidad espacial, con
lo que no se puede obtener una representación con distintos niveles de resolución
de una imagen o volumen. También se han usado técnicas más complejas, como el
modelo de Blobby [9], que permitía aproximar la forma de un objeto con un número
pequeño de primitivas. Sin embargo, la aproximación de las primitivas a los datos, se
realiza mediante un problema de minimización, que, además de sólo dar una solución
local, implica un enorme número de operaciones.
97

Una versión multirresolución de una señal (1D, 2D, 3D, . . . ), consiste en reorganizar
la información de la señal en un conjunto de detalles, a diferentes resoluciones
[11] (y una versión a baja resolución). Dada una secuencia de resoluciones crecientes
(r j ) j∈Z , los detalles de la señal a la resolución r j , se definen como la diferencia de información
entre su aproximación a la reolución r j y su aproximación a la resolución
inferior, r j−1 .
Una descomposición multirresolución nos permite tener una interpretación invariante
con la escala del volumen, en nuestro caso. La escala varía con la distancia
entre la escena y el centro óptico de la cámara. Cuando se modifica la escala, nuestra
interpretación de la escena no debería cambiar. Una representación multirresolución
puede ser parcialmente invariante con la escala, si la secuencia de los parámetros
de resolución (r j ) r∈Z varía exponencialmente. Supongamos que existe un paso de
resolución α ∈ R de tal forma que para todos los enteros j, r j = α j (en general se
elige α = 2). Si la cámara se acerca α veces a la escena, cada objeto de la escena
se proyecta sobre el plano focal de la cámara en un área α 2 veces mayor. Esto es,
cada objeto se mide a una resolución α veces mayor. De esta forma, los detalles de
la nueva imagen a la resolución α j , se corresponden con los detalles de la imagen
previa a la resolución α j+1 . Reescalando el volumen por α, se trasladan los detalles
de la imagen a lo largo del eje de resolución. Si los detalles de la imagen se procesan
idénticamente en todas las resoluciones, entonces nuestra interpretación de la
información del volumen no se modifica.
Una representación multirresolución ofrece un sistema de organización jerárquico
y sencillo para interpretar la información de la imagen. Esto se suele usar para reconocimiento
de imágenes por ordenados, pero como el médico también tiene que
reconocer e interpretar la imagen, es totalmente aplicable. A las diferentes resoluciones,
los detalles de una imagen caracterizan estructuras físicas distintas de la
escena. A muy baja resolución, los detalles forman las estructuras mayores, que
proporcinan una información de contexto. Es interesante y adecuado, por tanto,
analizar primero la imagen a baja resolución y progresivamente incrementar la
resolución (posiblemente no en todas las zonas del volumen).
La representación multirresolución es invertible, por lo que tenemos la misma
información que en el volumen original (salvo por los pequeños errores de redondeo
de todos los sistemas digitales).
Al contrario que con otras representaciones multirresolución (como la piramidal)
[11], con la transformada wavelet, los datos a distintos niveles están incorrelados,
lo cual hace de esta transformada, la más adecuada para obtener nuestra
representación multirreoslución de los datos y posterior compresión, pues al estar
los datos incorrelados, no tenemos información redundante y se podrá hacer una
representación más compacta.
La transformada wavelet es una técnica de análisas de señal, que descompone una
señal en una familia de funciones con propiedades de localidad, tanto en el dominio
98

del espacio (tiempo en 1D), como en el de la frecuencia. Aplicando la transformada
wavelet ortogonal en 3D, podemos expresar un volumen de datos, como una suma
de funciones ortogonales (funciones de escalado y wavelets). Esto permite obtener
una expresión multirresolución de los datos volumétricos.
Para realizar una compresión del volumen, como es nuestro objetivo, lo que
se hace es obtener la representación multirresolución del volumen, mediante la transformada
wavelet ortogonal en 3D (compresor), para a continuación quedarnos sólo
con las funciones, o coeficientes, más significativos, y eliminando el resto. Realizando
la transformación inversa (descompresor), obtenemos una aproximación multirresolución
(según el nivel de compresión) al volumen original, en la que, con un número
pequeño de funciones, obtenemos las formas fundamentales del objeto. Además, como
he dicho, se puede obtener una aproximación multirresolución, en el sentido
de permitir distintas resoluciones dentro del mismo volumen de datos, debido a la
localidad espacial y en frecuencia de la transformada wavelet.
5.2. Expresión Multirresolución y Wavelets Ortogonales
En primer lugar, voy a describir la transformada wavelet en una dimension, para
a continuación, extenderla a 3 dimensiones; algo que será casi inmediato.
Una expresión multirresolución de una función f(x), medible y de energía finita
(f(x) ∈ L 2 (R)), como se indica en [11], [9], consiste en una jerarquía de espacios de
aproximación a f(x), definidos a diferentes escalas. Llamamos A 2 j al operador que
aproxima la señal a la resolución 2 j . Podemos caracterizar A 2 j por las propiedades
que se pueden esperar de un operador de este tipo [11]:
1. A 2 j es un operador lineal. Si A 2 jf(x) es la aproximación de una función f(x) a
la reolución 2 j , entonces A 2 jf(x) no se modifica si lo aproximamos otra vez a la
resolución 2 j . Este principio muestra que A 2 j ◦A 2 j = A 2 j. Por tanto, el operador
A 2 j es un operador de proyección en el espacio vectorial V 2 j ⊂ L 2 (R). El
espacio vectorial V 2 j se puede interpretar como todo el conjunto de posibles
aproximaciones a la resolución 2 j de funciones en L 2 (R).
2. Entre todas las funciones de aproximación a la resolución 2 j , A 2 jf(x) es la
función más parecida a f(x)
∀g(x) ∈ V 2 j, ‖g(x) − f(x)‖ ≥ ‖A 2 jf(x) − f(x)‖ (5.1)
Por tanto, el operador A 2 j
espacio vectorial V 2 j.
es un operador de proyección ortogonal en el
99

3. La aproximación de una señal a la resolución 2 j+1 contiene toda la información
necesaria para calcular la misma señal a una resolución menor, 2 j . Esta en una
propiedad de causalidad. Como el operador A 2 j es un operador de proyección,
este principio es equivalente a
∀j ∈ Z, V 2 j ⊂ V 2 j+1 (5.2)
4. Una operación de aproximación es similar en todas las resoluciones. Los epacios
de las funciones de aproximación deben derivarse por tanto uno de otro,
escalando cada función de aproximación por la relación de sus valores de resolución.
∀j ∈ Z, f(x) ∈ V 2 j ⇔ f(2x) ∈ V 2 j+1 (5.3)
5. La aproximación A 2 jf(x) de una señal f(x), se puede caracterizar por 2 j muestras
por unidad de longitud. Cuando se traslada f(x) una longitud proporcional
a 2 −j (longitud proporcional a una muestra, es decir, un número entero
de muestras), A 2 jf(x) se traslada la misma cantidad, y se caracteriza por las
mismas muestras que han sido trasladadas. Como consecuencia de la Eq. (5.3),
es suficiente con expresar esta propiedad a la resolución j = 0. Las traslaciones
matemáticas consisten en lo siguiente:
Caracterización discreta:
Traslación de la aproximación:
Existe un isomorfismo I de V 1 en I 2 (Z) (5.4)
∀k ∈ Z, A 1 F k (x) = A 1 f(x − k), donde f k (x) = f(x − k) (5.5)
Traslación de las muestras:
I (A 1 f(x)) = (α i ) i∈Z ⇔ I (A 1 f k (x)) = (α i−k ) i∈Z (5.6)
6. Cuando se calcula una aproximación de f(x) a la resolucción 2 j , se pierde parte
de la información de f(x). Sin embargo, a medida que la resolución crece hacia
+∞, la señal aproximada debe converger con la señal original. Por el contrario,
a medida que la resolución disminuye hasta cero, la señal aproximada tiene
menos y menos información y converge a cero.
Como la señal aproximada a la resolución 2 j es igual a la proyección ortogonal
sobre el espacio vectorial V 2 j, este principio se puede expresar de la siguiente
forma
+∞ lím V 2
j→+∞ j = ⋃
V 2 j es denso en L 2 (R) (5.7)
y
j=−∞
lím
j→−∞ V 2 j
= +∞ ⋂
j=−∞
V 2 j = {0} (5.8)
100

A cualquier conjunto de espacios vectoriales (V 2 j) j∈Z que satisface las Ecs. (5.2)-
(5.8), se le llama aproximación multirresolución de L 2 (R). El conjunto asociado
de operadores A 2 j que satisfacen las Ecs. (5.1)-(5.6), dan una aproximación de
cualquier función de L 2 (R) a una resolcuión 2 j .
Mallat [11] determinó la relación entre el análisis multirresolución y las transformadas
wavelet, y presentó un método para construir una wavelet ortogonal, mediante
la introducción de los siguientes tres teoremas:
Teorema 1: Sea (V 2 j) j∈Z una aproximación multirresolución de L 2 (R). Entonces
existe una única función φ(x) ∈ L 2 (R), llamada función de escalado, de tal
forma que
(√
2j φ(2 j x − n) ) (5.9)
n∈Z
es una base ortonormal de V 2 j.
Teorema 2: Sea φ(x) una función de escalado, y sea h un filtro discreto con respuesta
al impulso h(n) =< 2 −1 φ(2 −1 u), φ(u − n) >. Sea H(ω) la serie de
Fourier definida por
H(ω) =
+∞ ∑
n=−∞
H(ω) satisface las siguientes propiedades:
h(n)e −inω (5.10)
|H(0)| = 1 y h(n) = O(n 2 ) en el infinito.
|H(ω)| 2 + |H(ω + π)| 2 = 1.
Por otro lado, sea H(ω) una serie de Fourier que satisface estas propiedades,
y tal que
|H(ω)| ≠ 0 para ω ∈ [0, π/2].
La función definida por
ˆφ(ω) =
+∞ ∏
p=1
H(2 −p ω) (5.11)
es la transformada de Fourier de la función de escalado. La notación ˆ indica
transformada de Fourier.
Teorema 3: Sea (V 2 j) j∈Z una serie de espacios vectoriales multirresolución, φ la
función de escalado, y ¯h el correspondiente filtro conjugado. Sea ψ(x) la función
cuya transformada de Fourier viene dada por
( ) ( ) ω ω
ˆψ(ω) = G ˆψ
(5.12)
2 2
con
G(ω) =
+∞ ∑
n=−∞
g(n)e −inω = e −iω H(ω + π) (5.13)
101

Sea O 2 j el complemento ortogonal de V 2 j, en V 2 j+1. V 2 j+1 se puede escribir
como
V 2 j+1 = V 2 j ⊕ O 2 j (5.14)
Entonces:
(√
2j ψ(2 j x − n) ) (5.15)
n∈Z
es una base ortonormal de O 2 j, y
(√
2j ψ(2 j x − n) ) (5.16)
(n,j)∈Z 2
es una base ortonormal de L 2 (R). A ψ(x) se le llama wavelet ortonormal.
Como hemos visto, la Ec. (5.9) constituye una base ortonormal de V 2 j, y la
Ec. (5.15) constituye una base ortonormal de O 2 j . Por tanto, como indican [11],
[10], podemos aproximar cualquier función de L 2 (R), f(x) a la resolución 2 j como
A 2 jf =
=
+∞ ∑
n=−∞
+∞ ∑
n=−∞
< f(u), √ 2 j φ(2 j u − n) > √ 2 j φ(2 j x − n)
(A d 2 jf) nφ(2 j x − n) (5.17)
y la proyección ortogonal de f(x) sobre el espacio O 2 j, se descompone como
P O2 j f = +∞ ∑
=
n=−∞
+∞ ∑
n=−∞
< f(u), √ 2 j ψ(2 j u − n) > √ 2 j ψ(2 j x − n)
(D 2 jf) n ψ(2 j x − n) (5.18)
El símbolo < f(x), g(x) >, denota el producto interno de dos funciones L 2 (R),
f(x) y g(x). A d 2 j f y D d 2 j f se llaman respectivamente aproximación discreta de
f(x) y señal de detalle discreta de f(x) a la resolución 2 j . En la práctica, estas
sumas se hacen sólo donde hay datos.
En la Fig. 5.1, se muestra la función de escalado, φ(x) que se describe en [11] y
el módulo de su transformada de Fourier, ˆφ(x). Se puede ver que las funciones de
escalado son filtros paso bajo. Esto es lógico, pues van quitando detalle a la señal.
Esta función de escalado es continuamente diferenciable y exponencialmente
decreciente. En la Fig. 5.2, aparece la función wavelet ψ(x) asociada a la función
de escalado de la Fig. 5.1 y el módulo de la Transformada de Fourier. Se puede
ver que la función wavelet es un filtro paso banda, como es lógico, pues calcula los
detalles de la señal.
En lugar de calcular el producto interno de las Ecs. (5.17) y (5.18), podemos
obtener los coeficientes mediante un filtrado en sub-bandas, mediante el algoritmo
102

Figura 5.1: (a) Ejemplo de función de escalado φ(x), (b) Módulo de la transformada
de Fourier ˆφ(x). Las funciones de escalado son filtros paso bajo.
103

Figura 5.2: (a) Ejemplo de función wavelet ψ(x), (b) Módulo de la transformada de
Fourier ˆψ(x). Las funciones wavelet son filtros paso banda.
104

Figura 5.3: La aproximación discreta A d 2 j+1 f se descompone en A d 2 j f y D d 2 j f.
Figura 5.4: Reconstrucción de la aproximación discreta A d 2 j+1 f a partir de A d 2 j f y
D d 2 j f.
piramidal que se muestra en la Fig. 5.3. h(n) y g(n) denotan los filtros reflejados. Por
ejemplo h(n) = h(−n). A 2 j es el operador que aproxima una señal a una resolución,
2 j . Aplicando recursivamente la misma operación de filtrado, A d 2
f, podemos obtener
j
una expresión multirresolución de f(x). h(n) y g(n) denotan los filtros discretos de
aproximación y detalle, definidos como
h(n) =< 2 −1 φ(2 −1 u), φ(u − n) > (5.19)
g(n) =< 2 −1 ψ(2 −1 u), φ(u − n) > (5.20)
Como aparece en [11], a partir de las Ecs. (5.12) y (5.13), se puede obtener la relación
entre g(n) y h(n)
g(n) = (−1) 1−n h(1 − n) (5.21)
Se puede reconstruir la aproximación A d 2 j+1 f, a partir de la aproximación a menor
resolución, A d 2 j f, y el detalle, D d 2 j f, mediante una estructura de filtrado piramidal
similar a la anterior, como se puede ver en la Fig. 5.4 [11]. No describo todos los
detalles de la transformada wavelet directa e inversa; más información sobre las
mismas se puede encontrar en la bibliografía.
Nuestro objetivo es aproximar los datos volumétricos mediante funciones suavizadas,
por lo que ponemos la tranformada wavelet inversa como:
A 2 j+1f(x) = A 2 jf(x) + P O2 j f(x)
=
+∞ ∑
n=−∞
+∞ ∑
+
n=−∞
(A d 2 jf) nφ(2 j x − n)
105
(D 2 jf) n ψ(2 j x − n) (5.22)

Figura 5.5: Ejemplo de una transformada wavelet y su reconstrucción.
donde P O2 j f(x) es la proyección ortogonal de f(x) en el espacio vectorial O 2 j.
En al Fig. 5.5 se muestra un ejemplo de transformada wavelet directa, de una
función unidimensional, f(x) y su reconstrucción. En la Fig. 5.5(a) aparece una
función continua f(x); en la Fig. 5.5(b), se muestra la aproximación discreta A d 1f(x),
que se obtiene muestreando f(x) en 64 puntos. Aplicando el esquema piramidal de
filtrado que aparece en la A d 1 f, la señal discreta A d 1f(x) se descompone en A d 1 f y
2
2
D 1 f, como se muestra en las Figs. 5.5(c) y 5.5(d). La Fig. 5.5(e) es la aproximación
2
A 1 f, que se reconstruye con el primer término de la Ec. (5.22), y la Fig. 5.5(f) es la
2
aproximación continua A 1 f, obtenida sumando el segundo término de la Ec. (5.22)
a A 1 f. Se puede ver claramente que los detalles de la señal A d 1f, que se pierden
2
después de la degradación a A 1 f, se conserva en la señal de detalle D 1 f. Estas dos
2
2
señales no están correladas.
5.3. Transformada Wavelet 3D
Como lo que queremos es aplicar una transformada wavelet ortonormal sobre
datos volumétricos, debemos extender la transformada wavelet, vista en el apartado
anterior, a tres dimensiones [9], [10].
Sea V2 1 j
usamos
el espacio vectorial de la aproximación multirresolución de L 2 (R), y
V 2 j = V 1 2 j ⊗ V1 2 j ⊗ V1 2 j (5.23)
106

como aproximación multirresolución de L 2 (R 3 ). Como V2 1 se escribe
j+1
V 1 2 j+1 = V1 2 j ⊗ O1 2 j (5.24)
V 2 j+1
se puede escribir como
V 2 j+1 =
= (V 1 2 j ⊗ V1 2 j) ⊗ (V1 2 j ⊗ V1 2 j) ⊗ (V1 2 j ⊗ V1 2 j)
= (V 1 2 j ⊗ V1 2 j ⊗ V1 2 j)
⊗(V 1 2 j ⊗ V1 2 j ⊗ O1 2 j)
⊗(V 1 2 j ⊗ O1 2 j ⊗ V1 2 j)
⊗(V 1 2 j ⊗ O1 2 j ⊗ O1 2 j )
⊗(O 1 2 j ⊗ V1 2 j ⊗ V1 2 j)
⊗(O 1 2 j ⊗ V1 2 j ⊗ O1 2 j )
Esto significa que la función de escalado 3D
⊗(O 1 2 ⊗ j O1 2 ⊗ j V1 2 j)
⊗(O 1 2 ⊗ j O1 2 ⊗ j O1 2j) (5.25)
Φ(x, y, z) = φ(x)φ(y)φ(z) (5.26)
forma una base ortonormal de V 2 j, y así se puede construir una base ortonormal de
L 2 (R 3 ) con las siguientes siete wavelets 3D:
Ψ 1 (x, y, z) = φ(x)φ(y)ψ(z),
Ψ 2 (x, y, z) = φ(x)ψ(y)φ(z),
Ψ 3 (x, y, z) = φ(x)ψ(y)ψ(z),
Ψ 4 (x, y, z) = ψ(x)φ(y)φ(z),
Ψ 5 (x, y, z) = ψ(x)φ(y)ψ(z),
Ψ 6 (x, y, z) = ψ(x)ψ(y)φ(z),
Ψ 7 (x, y, z) = ψ(x)ψ(y)ψ(z) (5.27)
De forma similar, a la Fig. 5.3, la descomposición wavelet 3D de un conjunto de datos
volumétricos, se puede realizar mediante las operaciones de filtrado que aparecen en
la Fig. 5.6, en la que se puede ver como en primer lugar se realiza una transformada
de todas las filas en la dirección x (igual que la transformada 1D); a continuación,
de las columnas en la dirección y; y por último en profundidad, en la dirección z.
Colocando las señales de salida de las operaciones de filtrado como se muestra
en la Fig. 5.7, en la que se muestran tres niveles de transformación de un volumen
de datos de dimensiones 128 × 128 × 128, se puede ver que no hay pérdida de
información. En otras palabras, los detalles de los datos volumétricos, A d 2 j+1 f, que se
107

Figura 5.6: Una aproximación discreta, A d 2 j+1 f, se descompone en la aproximación
discreta a menor resolución, A d 2 j f, y siete detalles, desde D 1 2 j f hasta D 7 2 j f.
Figura 5.7: Expresión multirresolución de unos datos volumétricos de tamaño 128 ×
128 × 128.
108

pierden después de la degradación a A d 2 j f, se dividen en 7 direcciones y se conservan
en las señales de detalle, desde D 1 2 j f hasta D 7 2 j f. Aplicando sucesivas veces estas
operaciones, se obtiene la expresión multirresolución de los datos volumétricos,
como se puede ver en la Fig. 5.7.
A partir de las señales anteriores, la aproximación a la resolución 2 j del volumen
f(x, y, z), se puede reconstruir como
A 2 jf(x, y, z) = ∑
(A d 2 jf) (n,m,l)Φ(2 j x − n, 2 j y − m, n2 j z − l) (5.28)
n,m,l
y añadiendo las funciones de detalle 3D a la resolución 2 j ,
∑
P O2 f(x, y, z) = [
j
n,m,l
(D 1 2 jf) (n,m,l)Ψ 1 (2 j x − n,2 j y − m, 2 j z − l)
+ (D 2 2 jf) (n,m,l)Ψ 2 (2 j x − n,2 j y − m, 2 j z − l)
+ (D 3 2 jf) (n,m,l)Ψ 3 (2 j x − n,2 j y − m, 2 j z − l)
+ (D 4 2 jf) (n,m,l)Ψ 4 (2 j x − n,2 j y − m, 2 j z − l)
+ (D 5 2 jf) (n,m,l)Ψ 5 (2 j x − n,2 j y − m, 2 j z − l)
+ (D 6 2 jf) (n,m,l)Ψ 6 (2 j x − n,2 j y − m, 2 j z − l)
+ (D 7 2 jf) (n,m,l)Ψ 7 (2 j x − n,2 j y − m, 2 j z − l)] (5.29)
podemos reconstruir la aproximación de 2 j+1 de f(x, y, z). Esto indica que cualquier
volumen de datos se puede aproximar como una suma de funciones, que son versiones
desplazadas y dilatadas de 8 tipos de funciones 3D.
5.4. Transformada Wavelet para Compresión 3D
Como acabamos de ver, a partir de la expresión multirresolución de los datos
volumétricos, podemos obtener la aproximación continua de la función original
A 1 f(x, y, z). De forma simplificada, se puede escribir
A 1 f(x, y, z) =
N×M×L ∑
i=1
c i f i (x, y, z) (5.30)
donde f i (x, y, z) representan las versiones desplazadas y retrasadas, tanto de la función
de escalado 3D, como de las wavelets 3D, y c i representa los coeficientes wavelet,
como aparecen en el ejemplo de la Fig. 5.7. N, M y L son las dimensiones del volumen.
Sin embargo, se observa que muchos (la mayoría) de los coeficientes de esta
ecuación son despreciables, por lo que se puede reconstruir una buena aproximación
109

de los datos originales, tomando sólo los términos significantes. Considerando el
efecto de dilatación de cada función, definimos la significancia de cada término
como el valor
significancia = 8 −j |c i |. (5.31)
A continuación obtenemos la serie c , if , i(x, y, z), ordenando la serie c i f i (x, y, z), por
orden de significancia. Cogiendo sólo los P términos mayores, con P < (N ×M ×L),
la Ec. (5.30) se puede aproximar por
P∑
A 1 f(x, y, z) ≃ c , if i(x, , y, z) (5.32)
i=1
Cuantas menos funciones usemos para aproximar los datos volumétricos, menos
detalle tendremos (más error), y por tanto una versión a más baja resolución. Sin
embargo, al eliminar funciones, obtenemos una mayor compresión. Cuantos más
funciones usemos, mayor resolución obtendremos, y por tanto más se parecerá al
original (menor error), pero conseguiremos menor compresión de los datos.
Este método de compresión se puede englobar dentro de los métodos de compresión
por transformación. Además, es un método de compresión con pérdidas. Una
de las ventajas principales de este método de compresión, es que es multirresolución,
como se verá en el apéndice A.
110

Capítulo 6
Descripción de la Aplicación
En este capítulo se describe el programa realizado para comprimir datos volumétricos,
así como para visualizar, renderizar, e interactuar con los datos renderizados.
Para todo ello se ha desarrollado una interfaz gráfica de usuario (GUI) bastante
completa, que nos permite de forma sencilla realizar todas estas tareas.
6.1. Introducción
La radiología es una disciplina médica que trata con imágenes y datos de la
anatomía humana. Estas imágenes se obtienen, como ya se ha descrito anteriormente,
de distintos dispositivos, como rayos-x, tomografía computerizada, resonancia
magnética y ultrasonido. Cada una de estas técnicas tiene sus ventajas y sus
inconvenientes.
Normalmente los radiologistas usan imágenes bidimensionales, pero hay situaciones
en las que los modelos tridimensionales pueden ayudar a los diagnósticos de
estos profesionales. La razón del uso más común de las imágenes bidimensionales
son obvias: están más acostumbrados y entrenados para entender las complejas relaciones
anatómicas en estas representaciones 2D; además hay muchas menos unidades
de exploración que permitan obtener resultados tridimensionales.
Sin embargo, muchas veces, los radiologistas tienen dificultades para explicar
estas relaciones a los cirujanos. Después de todo, estos últimos trabajan en tres
dimensiones al planear y ejecutar las operaciones, y se sienten mucho más cómodos
mirando representaciones 3D.
En principio, el programa está pensado para estudiar los resultados obtenidos
mediante dos métodos distintos de compresión de datos volumétricos: transformada
wavelet y diezmado de isosuperficies. En estos métodos se pueden variar
gran cantidad de parámetros, para llegar a obtener los valores óptimos, que nos den
111

los mejores resultados, según el caso. Estos valores óptimos podrán variar dependiendo
del tipo de aplicación (local, cliente-servidor en una red, . . . ).
En una posterior aplicación, se fijarán estos parámetros (o se permitirá un
pequeño número de variaciones, dependiendo del caso). Esta aplicación estará pensada
para ser ejecutada por profesionales de la medicina, poco familiarizados, en
principio, con las aplicaciones informáticas y telemáticas, y mucho menos con la
compresión volumétrica.
Pese a ello, la interfaz gráfica de usuario es bastante manejable, y se ha tenido
cuidado en mostrar mensajes de error, deshabilitar entradas de menús que no se
deben ejecutar en determinadas situaciones, por no disponer de los datos para realizar
esas operaciones, etc.
6.2. Tareas a Realizar
Durante una ejecución normal del programa, el usuario realiza las siguientes
operaciones:
Selección y lectura de ficheros con los datos volumétricos. Estos ficheros son el
resultado de aplicar una tomografía computerizada, una resonancia magnética,
o una exploración mediante ultrasonidos a un paciente. Lo normal es que, debido
a su enorme tamaño, los datos se encuentren divididos en varios ficheros,
uno para cada “rodaja” de la exploración. Estos ficheros estarán todos en el
mismo directorio y tendrán el mismo nombre, salvo la extensión, que será el
número de rodaja al que corresponde el fichero. Para abrirlos se debe seleccionar
el primer fichero de los que se quieren abrir y el último (en este orden).
Otra posibilidad es que todo el conjunto de datos volumétricos se encuentre
en el mimso fichero. Ambas posibilidades están contempladas en la aplicación.
Procesado de los datos. Dependiendo del método de compresión usado, este
procesado puede ser de dos tipos:
• Compresión mediante transformada wavelet: esta transformada se realiza
directamente sobre los datos en volumen. Por ello, en primer lugar
se realiza la compresión y a continuación se obtienen la isosuperficie que
se desea visualizar.
• Compresión mediante diezmado: este tipo de compresión se realiza sobre
la isosuperficie obtenida, disminuyendo el número de triángulos. Por ello
se debe obtener en primer lugar la isosuperficie del valor deseado, para
realizar, a continuación, el diezmado de la misma.
Visulización y renderización de la isosuperficie, para poder ser observada sobre
la pantalla. Ahora el usuario puede interactuar con el volumen renderizado en
pantalla, girándolo, desplazándolo, cambiando el zoom, . . .
112

Obtención de detalle. Si se ha empleado el método de compresión basado en la
transformada wavelet, se podrá obtener la imagen a la resolución seleccionada,
pero con una zona de la misma en la que se muestra el detalle completo (toda
la resolución).
Almacenamiento de la isosuperficie o de la renderización. Si lo desea, el usuario
podrá almacenar en un fichero el resultado obtenido, para una posterior visualización.
Si desea hacer una visualización interactiva, deberá guardar la
isosuperficie, mientras que si sólo desea ver una imagen fija, guardará la renderización.
Cálculo del error de compresión. Una vez obtenida la compresión de los datos
volumétricos, el usuario podrá calcular el error cometido. Hay varios métodos
para calcular el error, que se explicarán más adelante.
6.3. Interfaz Gráfica de Usuario (GUI)
La interfaz gráfica de usuario es el elemento principal de interacción entre el
usuario y la máquina, permitiendo tanto la entrada, como la salida de información.
Las interfaces gráficas de usuario tienen cada vez mayor importancia en la programación
de aplicaciones informáticas, pues es lo primero que el usuario final ve,
y el elemento de al aplicación con el que interactúa. Así, un programa excelente
con una interfaz gráfica de usuario deficiente o nula, lo más normal es que no tenga
éxito, a no ser que el programa no tenga competencia.
Hace algunos años, la mayor parte de las aplicaciones informáticas carecían de interfaz
gráfica; sobre todo, antes de surgir los sistemas de ventanas (como X-Windows
y MS-Windows). Es fácil darse cuenta de las ventajas de trabajar con un sistema
de ventanas y menús, frente a un interfaz que sólo tenga elementos textuales.
Por otro lado, una interfaz gráfica de usuario debe permitir un aprendizaje rápido
y un uso intuitivo del funcionamiento básico del programa, incluso para usuarios
sin experiencia. No debe ser muy complicada, ni recargada, evitando así producir
cansancio sobre el usuario.
En la Fig. 6.1 se muestra la interfaz gráfica de usuario general del programa.
A continuación voy a describir los elementos principales de la interfaz gráfica de
usuario de la aplicación.
6.3.1. Sistema de Menús
En la parte superior de la Fig. 6.1, se puede ver la barra de menús usada para
realizar todas las operaciones descritas anteriormente. Se ha elegido un sistema de
113

Figura 6.1: GUI general del programa en el que se puede ver una renderización.
114

menús y submenús desplegables, algo muy usual en los GUIs. Cada elemento del
menú ejecuta un comando o muestra un menú desplegable.
La mayoría de los comandos de los menús dan acceso a un panel de control, en
el que se ajustan los distintos parámetros de cada operación, como se puede ver
en el ejemplo de la Fig. 6.2, en el que se muestra el panel de control con todas las
opciones de renderización, entre las que se encuentran los colores de la renderización
y fondo, la transparencia de la renderización y el tipo de interpolación. Se puede
ver en este menú que para algunas opciones se ha proporcionado varias formas de
elegir los parámetros. Así, por ejemplo, para seleccionar los colores, se ofrecen tres
métodos distintos: valor de R,G y B (rojo, verde y azul), selección en una rueda de
color, y botones para los colores más comunes.
En general, en los menús de control se pueden encontrar los siguientes elementos:
Barra de título: muestra el nombre del panel de control, dando una idea de su
función.
Etiquetas: muestra una pequeña descripción del parámetro que se encuentra a
continuación, o debajo de la etiqueta.
Entradas de texto: sirven para introducir valores a los parámetros (numéricos en
general) que controlan las distintas operaciones del programa.
Botones: se usan para asignar valores determinados a ciertos parámetros. Además,
hay dos botones que aparecen en todos los paneles de control:
Botón aceptar: sirve para ejecutar el comando correspondiente al panel de
control (seleccionado mediante el sistema de menús). Al pulsar sobre este
botón, se oculta el panel de control y se ejecuta el menú.
Botón cancelar: como su propio nombre indica, cancela la ejecución del comando
correspondiente.
Botones de radio: se usan para seleccionar una opción entre varias posibilidades,
excluyentes entre sí. En el ejemplo de la Fig. 6.2 se muestran dos botones de
este tipo, para seleccionar el tipo de interpolación.
Botones de chequeo: permiten seleccionar o no una opción. Al contrario que los
botones de radio, son independientes entre sí.
Escalas deslizantes: permiten seleccionar un parámetro numérico, que varía entre
dos extremos, simplemente mediante un movimiento del ratón. De esta forma
se controla los valores del parámetro.
Como puede que el usuario no sepa qué valores asignar en un principio a cada
parámetro, se ha asignado a todos los parámetros de los menús un valor por defecto,
115

Figura 6.2: Ejemplo de panel de control. Panel de control con las opciones de renderización.
116

Figura 6.3: Panel de control para abrir los archivos con los datos volumétricos.
que normalmente es adecuado para realizar un primer estudio de los datos. Así,
por ejemplo, en el panel de control de renderización, mostrado en la Fig. 6.2, los
parámetros por defecto son: color hueso para la renderización y azul marino para
el fondo, 1.0 de opacidad (totalmente opaco) e interpolación tipo Gouraud (ya explicada
anteriormente). En las ventanas de abrir y cerrar archivos, también se han
seleccionado directorios por defecto, en los que suelen estar los datos, o en los que
se suelen guardar.
Hay algunos paneles de control, los que sirven para abrir y guardar archivos, que
son paneles estándar, ya implementados en los principales lenguajes de programación
y permiten realizar interfaces gráficas. En la Fig. 6.3, se muestra el panel para abrir
los archivos. En estos paneles de control, aparece el directorio del sistema de archivos,
en el que nos encontramos actualmente, una ventana con los archivos y directorios
en el directorio actual, que sirve para moverse por el sistema de ficheros, una entrada
de texto para escribir el nombre del fichero, y un menú desplegable con los distintos
tipos de archivos que se pueden seleccionar. Además, están los botones de Abrir
(Open) o Guardar (Save) y Cancelar (Cancel).
Otros elementos de los menús, no dan acceso a paneles de control, sino que
sirven para seleccionar parámetros y ejecutar operaciones, como los comandos del
menú vista, en el que se selecciona el punto de Vista, o la opción de salir del programa,
del menú Archivo.
6.3.2. Ventana de Renderización
En el centro del GUI de la aplicación, y ocupando la mayor parte del mismo,
se encuentra la ventana de renderización. En ella se muestra el resultado de todas
las operaciones realizadas sobre los datos, una vez renderizados. Esta ventana se
117

corresponde con el plano de imagen de la cámara, situado en el punto focal, perpendicular
a la dirección de proyección, como vimos en el capítulo de renderización.
Esta ventana sigue el sistema de coordenadas de la pantalla.
Una vez realizada la renderización, se puede interactuar sobre ella de dos formas,
principalmente:
Mediante el sistema de menús: se puede cambiar el punto de vista, o posición
de la cámara (frontal, lateral izquierda, lateral derecha, posterior, superior,
inferior e isométrica). También se puede cambiar el zoom, y el color de la
renderización y del fondo, . . . , como ya hemos visto.
Mediante el ratón: con los distintos botones del ratón se permite realizar
movimientos sobre la renderización.
• Pulsando el botón izquierdo del ratón y moviéndolo por la ventana, se
puede rotar el objeto renderizado, alrededor del punto focal.
• Pulsando el botón central del ratón y moviéndolo por la ventana, se modifica
la posición de la renderización.
• Pulsando el botón derecho del ratón y moviéndolo por la ventana, se
modifica el dolly (similar al zoom).
Mediante el teclado: algunas teclas permiten cambiar el modo de renderización.
• Pulsando la tecla ‘w‘, se realiza la renderización sólo de la malla, sin
rellenar los triángulos.
• Pulsando la tecla ‘s‘, vuelve a realizar la renderización en superficie, renderizando
el interior de los triángulos.
6.3.3. Barra de Estado
Se encuentra en la parte inferior de la ventana de la aplicación, como se puede
ver en la Fig.6.1. Esta barra, está dividida en tres pequeñas ventanas de texto, en
las que se muestra información muy útil del estado de la aplicación. A continuación
se describe la utilidad de cada una de estas ventanas de texto:
Ventana superior: en ella se muestra información de los datos sobre los que
se realizan operaciones. Dependiendo del estado del programa, puede mostrar
distinta información:
• Número de puntos y número de voxels: se muestra esta información después
de leer los datos, si no se ha realizado ningún tipo de operaciones
sobre los mismos, que se encuentran en forma de malla rectangular regular
3D.
118

• Número de puntos y número de triángulos: se muestra este tipo de información
después de calcular la isosuperficie o después de realizar un
diezmado de la misma.
• Número de coeficientes y error cuadrático medio: aparece después de realizar
la compresión mediante la transformada wavelet.
Ventana inferior izquierda: en esta ventana de texto se muestra el tiempo
invertido en realizar la última operación que se ha realizado sobre los datos.
El tiempo aparece en segundos, con una precisión de centésimas de segundo.
Ventana inferior derecha: esta es la ventana de estado, en la que se muestra
información sobre el estado del programa. Sirve para informar al usuario sobre
las operaciones que se están realizando o se han realizado, así como el resultado
de las mismas (si se ha producido el resultado correcto, o si se ha producido
algún tipo de error, indicando cuál ha sido la causa).
6.3.4. Ventanas de Error y de Información
En general, en la interfaz gráfica se deshabilitan las entradas de los menús que
realizan operaciones no permitidas en cada estado del programa, para que el usuario
no intente realizar operaciones para las que aún no están disponibles los datos.
Por ejemplo, puede intentar realizar la renderización antes de leer los datos, o un
diezmado de la isosuperficie antes de calcularla, etc. De esta forma se evita un
comportamiento incontrolado del programa.
Pero además, durante la ejecución del programa se realiza un gran número de
comprobaciones de error. El usuario puede estar realizando operaciones sobre datos
no válidos, intentar leer ficheros con datos erróneos, . . . . Además, por motivos desconocidos
(por ejemplo, si los datos de los ficheros son defectuosos o erróneos) puede
fallar alguna operación. Para informar al usuario de estos fallos y hacer al programa
lo más robusto posible, se han generado una serie de ventanas con mensajes de error,
para informar al usuario del tipo de error que se ha producido. En la Fig. 6.4 se
muestra un ejemplo de este tipo de ventanas. Además, también se informa al usuario
de los errores en la barra de estado, como se ha dicho antes.
Algunos tipos de errores que se pueden producir son, por ejemplo, los siguientes:
Los ficheros seleccionados para abrir no están en el mismo directorio o tienen
distinto nombre, salvo la extensión. Los ficheros de datos deben estar todos en
el mismo directorio (como se dijo antes, se selecciona el primer y último fichero
con los datos que se quieren abrir) y tener todos el mismo nombre, salvo la
extensión, que indica el número de rodaja.
119

Figura 6.4: Ejemplo de ventana de error, con información del error.
Figura 6.5: Ejemplo de ventana de información.
El segundo archivo debe ser mayor que el primero. Este error se produce cuando
no ocurre el error anterior, pero el último archivo seleccionado tiene una
extensión con un número menor o igual que el primero.
Error al abrir el volumen. Se produce cuando el número de puntos que teóricamente
debe tener el volumen no es el mismo que el obtenido.
Error al calcular la isosuperficie. Se produce cuando no se obtiene ninguna
isosuperficie. Esto puede ocurrir, por ejemplo, si el valor seleccionado para la
isosuperficie no está dentro del rango de variación de los datos volumétricos.
Además de las ventanas de error, hay también algunas ventanas que ofrecen
información al usuario sobre lo que tiene que hacer en cada momento. Este tipo
de ventanas se han usado para mostrar información que el usaurio debe conocer,
antes de mostrar los menús estándar de abrir y guardar archivos, ya que en estas
ventanas no se pueden añadir elementos, ni información adicional a la que ya tienen
por defecto.
También se podría haber realizado mediante la barra de estado, pero se ha optado
por mostrar este tiop de información en una ventana, porque de esta forma el
usuario se ve obligado a leer su contenido (o al menos pulsar el botón Aceptar, si
ya lo conoce), mientras que la barra de estado, como siempre está, puede pasar más
desapercibida, o incluso quedar oculta por la ventana emergente. En la Fig. 6.5 se
muestra un ejemplo de este tipo de ventana.
120

6.4. Unas notas sobre la implementación
En este apartado se describe, de forma breve, cómo se he realizado la aplicación.
Una descripción más detallada aparece en el apéndice A.
Para realizar la aplicación, se ha usado la librería gráfica de aplicación que proporciona
el entorno VTK (Visualization ToolKit) [12]. En el apéndice B se
describirá algo más sobre este entorno de programación, su estructura, . . . VTK,
está formado por un conjunto de librerías gráficas, que permiten realizar operaciones
de computer graphics, tratamiento de imagen y renderización. Estas librerías
gráficas están formadas por un conjunto de clases en C++.
VTK permite programar mediante dos lenguajes distintos:
Directamente en C++. Se consiguen programas más rápidos y eficientes, pero
más lentos de implementar y necesitan compilación. Este modo de programación
es necesario para crear nuevas clases de VTK, que implementen funcionalidades
no dispponibles.
En el lenguaje interpretado Tcl/Tk [15]. Los programadores de VTK “empaquetaron”
el lenguaje de programación Tcl/Tk, para poder usar los objetos de
VTK. Tcl/tk es un lenguaje de programación parecido, por ejemplo al C shell
de UNIX. Al empaquetar VTK con Tcl/Tk, se han añadido nuevos comandos,
que corresponden a todos los objetos de VTK. En Tcl/Tk, al ser un lenguaje
interpretado, se pueden realizar aplicaciones de forma mucho más rápida,
pero su ejecución es más lenta. Sin embargo, Tk permite hacer, de forma muy
sencilla interfaces gráficas de usuario, algo que no es tan sencillo en C++.
Para realizar la aplicación, se ha optado por programar todo lo posible, incluyendo
la interfaz gráfica de usuario mediante Tcl/Tk, debido a sus grandes ventajas
sobre la programación de interfaces gráficas en C++. El hecho de que sea más lento
que un lenguaje compilado no es demasiado inconveniente, pues todas las funciones
de los objetos están compiladas en las librerías de C++.
Algunas operaciones requeridas por la aplicación, ya estaban programadas en
las librerías de VTK, por lo que no han tenido que ser programadas. Otras operaciones,
necesarias para la aplicación, no estaban realizadas aún en VTK, por lo que
se han tenido que crear nuevas clases en C++, para realizar estas operaciones no
disponibles. Al compilar estas clases, y meterlas en las librerías gráficas de VTK,
automáticamente se hace el empaquetado de las mismas y sus funciones miembro a
Tcl/Tk, lo cual las hace ya accesibles desde scripts realizados en Tcl/Tk.
Hay algunas operaciones que no se han programado mediante clases, pues se
consigue una mejor funcionalidad mediante programas ejecutables, hechos en C++,
que pueden ser llamados posteriormente desde Tcl/Tk.
121

Por último, hay que señalar que las librerías de VTK se pueden compilar para
linux, UNIX y Windows, y de hecho soportan distinto tipo de hardware gráfico. Esto
se consigue realizando las clases que tienen que interactuar con las librerías gráficas,
de forma que sean independientes del hardware, y derivando de estas superclases,
otras específicas para cada librería gráfica. Tcl/tk también se puede compilar y
funciona para linux, UNIX y Windows.
Por tanto, es muy fácil realizar el portado de una aplicación hecha para VTK de
un sistema a otro. De hecho, Tcl/Tk ofrece comandos para manipular los nombres
de ficheros de forma independiente de la plataforma.
Para realizar la aplicación se ha elegido el sistema operativo linux, por su gran
estabilidad y fiabilidad. De todas las formas sería muy fácil realizar el portado
a Windows. Los únicos elementos no portables son ciertos menús de Tk que son
dependientes de la plataforma (de su sistema de ventanas) [15] y el directorio casa del
usuario que ejecuta la aplicación, elegido como directorio por defecto para guardar
los resultados.
6.5. Ejemplos de Utilización del Programa
En este apartado se describen algunos ejemplos de utilización del programa, que
pueden servir como manual de usuario. Mediante estos ejemplos se puede entender
el funcionamiento general del programa, incluyendo algunos elementos de la implementación
del programa, necesarios para explicar su funcionamiento.
Para la realización de los ejemplos se usa una tomografía computerizada de la
cabeza de un niño de 12 años. Las rodajas de la tomografía tienen un grosor de
1.5 mm, con dimensiones de pixels de 0.8 mm para los datos a total resolución,
1.6 mm a media resolución y 3.2 mm a un cuarto de la resolución. En general, se
usan los datos a media resolución, para que los cálculos no sean demasiado lentos,
pero los resultados obtenidos sean bastante buenos. Se puede observar que el paciente
tiene un agujero en el hueso, cerca de la nariz, un tubo en la boca, para administrarle
anestesia, durante el proceso de escaneado, y como dato curioso, se puede ver incluso
que tiene la oreja izquierda agujereada.
6.5.1. Diezmado de un Cráneo
En este primer ejemplo, se desriben los pasos necesarios para la realización de
una compresión por diezmado, de la isosuperficie correspondiente al valor del cráneo.
También se calcula el error cometido en la compresión, mediante dos métodos distintos.
Los pasos a realizar son los siguientes:
122

Ejecución del programa: Para ejecutar un programa interpretado de VTK (realizado
en Tcl/Tk), se usa el programa vtk (Tcl/Tk empaquetado con las
clases de VTK, como comandos) seguido del nombre del script que contiene
la aplicación. Por tanto, para ejecutar el script Comp3D.tcl se ejecuta en la
línea de comandos:
$ VTK Comp3D.tcl &
Aparece en pantalla el GUI de la aplicación, como se muestra en la Fig. 6.1;
pero en lugar de la renderización que aparece en esta figura, aparece el nombre
de la aplicación, en la ventana de renderización (Comp3D 1.0). En las tres
ventanas de la barra de estado, se muestra el texto sin datos.
Antes de hacer nada, podemos probar con el texto que aparece en la ventana
de renderización, los movimientos del ratón, o las teclas ‘w‘ y ‘s‘, como se
describió en el apartado 6.3.2.
Lectura de los datos volumétricos: Como ya se ha dicho, los datos volumétricos
pueden estar, o bien en un sólo fichero (cuya extensión será .slc), o bien
en varios archivos situados en el mismo directorio, con el mismo nombre, salvo
la extensión, que indica el número de rodaja. En estos ejemplos, los datos
están en varios archivos. Para leer estos datos, se debe seleccionar con el ratón
de la barra de menús
Archivo ->Abrir.
Aparece una ventana de información, que indica al usuario que seleccione el
primer archivo del volumen que quiere leer. Pulsando el botón OK de esta ventana
aparece el panel de control para seleccionar el primer fichero, como se
muestra en la Fig. 6.3. Abrimos, por ejemplo el directorio headsq, pulsando
dos veces con el ratón sobre él o bien pulsando una vez y a continuación presionando
el botón Open. En este directorio se encuentran los datos volumétricos
de la TC de una cabeza, de dimensiones 128 × 128 × 93 (ficheros half.*) y
64×64×93 (ficheros quarter.*) En estos últimos, se ha realizado un diezmado
de los datos en las direcciones x e y en cada rodaja, pero tienen el mismo
número de rodajas (dirección z). Abrimos el archivo half.1.
A continuación aparece otra ventana de información que indica que hay que
seleccionar el último archivo. Al pulsar OK, vuelve a aparecer el panel de la
Fig. 6.3, pero en esta ocasión, en el directorio del que seleccionamos el primer
archivo. Abrimos en este caso el archivo half.93.
Para generar la malla rectangular regular, en la que se colocan los datos
leídos, hacen falta tres elementos:
Número de datos en cada dimensión: dimensiones de la malla en
las tres coordenadas, x, y, z (128, 128 y 93, para los datos que estamos
abriendo, respectivamente). El número de elementos en z no hay que
asignarlo, pues se fija según los ficheros seleccionados.
123

Origen de la malla: sirve para situar la esquina inferior izquierda de
la malla, en coordenadas del mundo real. Este parámetro lo puedo fijar
siempre a (0, 0, 0), pues no modifica los resultados.
Separación de los datos en cada dirección: representan el tamaño de
cada celda de la malla. Para los datos que estamos abriendo, los valores
correctos son 1,6, 1,6 y 1,5 respectivamente
Estos parámetros son los únicos necesarios para generar una malla rectangular
regular (la estructura de datos más simple de VTK), en la que todos las celdas
de la malla están equiespaciados. Los elementos de este tipo de estructuras
de datos se pueden referenciar mediante coordeandas implícitas (i, j, k). La
obtención de las coordenadas del mundo real a partir de las implícitas es
trivial [12].
Al seleccionar y abrir el último archivo, se nos muestra el panel de control con
las Opciones de Lectura del Volumen, en el que hay que asignar valores
a los parámetros descritos anteriormente (excepto al origen, que como hemos
dicho, se asigna siempre (0, 0, 0)).
Además, hay un botón de chequeo, que sirve para indicar si los datos tienen bit
de conectividad. Se emplea en algunos datos volumétricos, que para realizar
operaciones de segmentación, usan el bit más significativo de cada elemento
como bit de conectividad. No es el caso de los datos que estamos abriendo.
Como se puede ver en este panel de control, los valores asignados a sus parámetros
por defecto son los correspondientes a los datos que estamos abriendo. Por
tanto, no debemos modificarlos (algo que deberíamos hacer para otros datos
con distinta estructura, si no queremos que el programa saque un mensaje de
error).
Al pulsar Aceptar en este panel de control, se leen los datos de todos los
ficheros y se genera en memoria la malla rectangular regular –en cuyos puntos
están los datos de la resonancia magnética que hemos abierto–, a partir de la
cual se realizarán todas las operaciones.
Aparece en la ventana de estado, Leyendo el volumen..., mientras se leen
todos los archivos; y al acabar, Volumen abierto con exito. Ahora en la
ventana superior de la ventana de estado aparece el número de puntos del
volumen (128 × 128 × 93 = 1523712), y el número de celdas (127 × 127 × 92 =
1483868) y en la ventana inferior izquierda, el tiempo en la lectura de los datos
(1.61 s).
De esta forma, hemos leído todos los datos volumétricos de la cabeza. Si sólo
se quisiera abrir una parte de la misma (por ejemplo la zona de los dientes),
seleccionaríamos un rango menor de ficheros, teniendo en cuenta que cada
fichero contiene los datos de una sección axial, tal como son obtenidos mediante
los métodos explicados en el capítulo 2.
124

Cálculo de la Isosuperficie: El siguiente paso es calcular la isosuperficie correspondiente
a cierto valor de los datos volumétricos. Se calcula mediante el
algoritmo Marching Cubes, descrito en el apartado 3.4. Para ello ejecutamos
el comando de la barra de menús
Operaciones ->Isosuperficie
Aparece un panel de control para el cálculo de la isosuperficie, en el que simplemente
hay que dar como parámetro el valor de la isosuperficie que se quiere
obtener. Se muestran algunos valores típicos en tomografía computerizada para
dos tipos de tejidos: hueso (1200) y piel (600). En este primer ejemplo, vamos
a calcular la isosuperficie correspondiente al hueso, por lo que debemos introducir
el valor 1200 (este valor ya está por defecto).
Al pulsar el botón Aceptar, aparece en la ventana de estado Calculando
Isosuperficie... y tras un breve periodo de tiempo, ya tenemos calculada
la isosuperficie (Isosuperficie obtenida con exito), mostrando el tiempo
invertido en el proceso, y el número de puntos y triángulos que tiene
la isosuperficie calculada mediante marching cubes. En este caso, obtenemos
102337 puntos y 203956 triángulos, con un tiempo de ejecución de 4.67 s.
Diezmado de la Isosuperficie: Ahora se puede renderizar directamente la isosuperficie
calculada, sin nigún tipo de compresión, o bien realizar un diezmado
de la misma. El algoritmo de diezmado, ya se ha explicado en el apartado 4.3.7.
En este caso, vamos a optar diezmar la isosuperficie. Para ello ejecutamos el
comando del menú
Operaciones ->Compresion ->Diezmado
Aparece un menú de control con varios parámetros, que se describe a continuación:
Mantener topología: Si está activado, no se produce división de la
malla (splitting), ni eliminación de agujeros. Esto puede limitar la máxima
reducción que se puede conseguir. Por defecto está desactivado en la
aplicación.
Ángulo Característico: Sirve para especificar lo que es un borde. Si la
normal a la superficie entre dos triángulos adyacentes es mayor o igual que
el ángulo característico, existe un borde. Puede influir sobre los resultados
obtenidos. Por defecto se fija a 30 o .
Hacer splitting (división de la malla): Si está activado, se puede
dividir la malla donde sea necesario (en esquinas, bordes, o cualquier
sitio donde sea necesario dividir la malla). Si se desactiva, preserva mejor
la topología, pero puede limitar la máxima reducción que se puede lograr.
Por defecto, está activado.
125

Ángulo de splitting: Controla el proceso de división de la malla. Existe
una línea de división cuando las normales a la superficie de dos triángulos
conectados por un borde es mayor o igual que este ángulo. Por defecto,
se ha fijado a 75 o , pues interesa que la división sea lo último que se haga
(cuando ya no pueda eliminar puntos de otra forma, pues con divisiones,
queda peor la renderización).
Hacer Splitting Previo: En algunos casos interesa hacer la división de
la malla antes de eliminar ningún punto, pues da resultados mejores. Si
está activado, se divide la malla en “parches” semi-planos, desconectados
entre sí. La división se lleva a cabo con el Ángulo de splitting especificado.
Por defecto, se ha deshabilitado, pues se obtienen peores resultados.
Triángulos en un vértice para hacer splitting: Si el número de
triángulos conectados a un vértice excede este valor, el vértice se divide.
Por defecto, lo he fijado en 25, aunque no tiene demasiada inidencia, para
factores de compresión que no sean excesivos.
Compresión: Especifica la reducción deseada en el número de triángulos,
en tanto por uno (0.0 indica sin compresión). Puede que este valor no
se llegue a alcanzar. Si se quiere alcanzar cualquier valor de reducción,
se debe desactivar preservar topología y activar el splitting. Por defecto,
está fijada en 0,70. Este es el principal parámetro, pues fija la relación de
compresión.
Para este ejemplo, fijamos el valor de la compresión en 0.75, y pulsamos el
botón Aceptar.
Al pulsar Aceptar aparece en la ventana de estado, Diezmando isosuperficie
a 0.75..., y tras algún tiempo, ya tenemos la isosuperficie diezmada,
Isosuperficie diezmada con éxito a 0.75. En la ventana superior de la
barra de estado se puede ver el número de puntos, 25481, y el número de
triángulos, 50988, que es exactamente el 25 % de los que teníamos antes de
diezmar.
Renderización de la Isosuperficie: Ahora que ya tenemos la isosuperficie diezmada,
la renderizamos, para poder ver los resultados obtenidos. Para ello ejecutamos
el comando de la barra de menús
Vista ->Inicializar
Aparece el menú de la Fig. 6.2, en el que, como dijimos se puede seleccionar
el color de la renderización y del fondo, de varias formas distintas, el valor
de la opacidad de la superficie (0.0 superficie totalmente transparente; 1.0
superficie totalmente opaca), y el método de interpolación, que ya se explicó en
el apartado 3.3.10.
De esta forma, tras dejar los parámetros por defecto (color hueso para la renderización,
azul marino para el fondo, opacidad 1.0 e interpolación Gouraud)
126

y seleccionar Aceptar, se muestra por pantalla el cráneo del niño, con una
reducción del número de triángulos de la isosuperficie de 0,75.
Observación de la renderización: Se puede observar que la calidad obtenida es
aceptable, aunque se notan los efectos de la reducción de triángulos (aparecen
zonas con una iluminación más o menos constante). Si se pulsa la tecla ‘w‘,
se ve la malla triangular obtenida, que comparada con la original, tiene bastantes
menos triángulos. Se puede observar como la reducción de triángulos
ha sido mayor en las zonas más planas de la superficie, y menor en las zonas
más curvadas. Pulsando la tecla ‘s‘, vuelve a aparecer la superficie. Se puede
observar que se muestra un paralelepípedo alrededor de la renderización, para
dar más idea de perspectiva.
Ahora podemos girar, mover, acercar la cabeza mediante el ratón. Al hacer
esto, debido a que suele ser lento, si no se dispone de hardware específico, se ha
optado por mostrar sólo algunos puntos del volumen, para tener una idea de
la posición actual, pero de forma que el proceso sea lo más rápido e interactivo
posible. También se puede rotar a distintas posiciones mediante los comandos
Vista ->Frontal
Vista ->Trasera
Vista ->Izquierda
Vista ->Superior
Vista ->inferior
Vista ->Isométrica
Se puede ver que estos comandos, además de modificar la vista, son botones
tipo radio, que muestran la vista actual. También se puede modificar el zoom,
mediante el comando
Vista ->Zoom
y asignando el valor de zoom deseado. Valores de zoom mayores que 1.0 acercan,
mientras que si son menores, alejan. El zoom es acumulativo.
Calculo del error: A continuación vamos a calcular el error. Se han realizado
dos algoritmos para calcular el error. El primero de ellos, calcula el error en
volumen y el segundo, calcula el error en la renderización.
Para calcular el error por cualquiera de los dos métodos, necesitamos tener
los datos necesarios para cada uno de los dos métodos, sin reducir el número
de datos, y una vez reducido el número de datos. Como tenemos ahora la
renderización tras el diezmado, obtenemos en primer lugar los datos necesarios
para calcular el error de estos datos diezmados.
Error en Volumen: Para calcular el error en volumen, no podemos comparar
las dos mallas triangulares (la malla sin diezmar y la diezmada).
Por ello, lo que hacemos es transformarlas en mallas rectangulares
127

egulares, que contengan unos en las celdas de la malla rectangular interiores
a la superficie y ceros en las celdas que estén fuera. Esto se realiza
mediante el algoritmo flood filling que se explica en el apartado A.4.
Esta malla se guarda en el disco duro del ordenador, para ser comparada,
posteriormente, con la malla sin compresión. Esto se realiza mediante el
comando
Error ->FloodFilling
Se muestra un panel de control con las opciones de este algoritmo. Estas
opciones son, el tamaño de la malla rectangular regular, en cada una de las
tres dimensiones x, y, y z. Dejamos los valores por defecto (256, 256, 93),
es decir, el tamaño en x, e y es el doble que el de los datos originales,
para conseguir la mayor precisión; en z, es el mismo que el número de
rodajas, para que el algoritmo no sea demasiado lento.
Tras pulsar el botón Aceptar, aparece el panel de control para guardar el
archivo con la malla rectangular regular. Lo guardamos, por ejemplo, con
el nombre hueso75.vtk (vtk es la extensión de los archivos con datos de
VTK).
Error de la imagen renderizada: Para calcular el error de la imagen
renderizada, simplemente tenemos que guardar la imagen que aparece en
pantalla, mediante el comando
Archivo ->Guardar Renderizacion
Lo guardamos, por ejemplo, con el nombre hueso75.ppm (el archivo se
guarda con el formato gráfico PPM –pixmap–). Se puede observar que al
guardar la imagen desaparece el borde exterior, que no debe influir en
el cálculo del error, y se acerca la cámara al actor, para que tenga más
importancia en el cálculo del error, que el fondo, que no influye.
Ahora necesitamos realizar las dos operaciones anteriores sobre la renderización
de los datos volumétricos sin diezmar. Para ello, volvemos a ejecutar el
diezmado, pero en esta ocasión ponemos como valor de compresión 0,0. Esto
pasa simplemente los datos por el filtro, sin realizar compresión (es inmediato,
pues no tiene que realizar operación alón alguna, sino simplemente poner los
datos de la entrada a la salida).
Una vez realizado el flood filling y guardada la renderizacón de los datos sin
comprimir, por ejemplo en los archivos hueso.vtk y hueso.ppm, calculamos
ambos errores.
Error en volumen: Para calcular el error en volumen, ejecutamos el
comando
Error ->Error en Volumen
El programa nos pide que seleccionemos el archivo con formato vtk de los
datos sin copresión y a continuación el archivo con los datos comprimidos.
128

Seleccionamos respectivamente los archivos hueso.vtk y hueso75.vtk y
el error se calcula (tarda 37.04 s). Obtenemos un error absoluto medio
por rodaja de 290.19. este valor se muestra, tanto en una ventana de
información, como en la ventana de estado.
Error de la imagen renderizada: Para calcular el error entre las
imágenes renderizadas, ejecutamos el comando
Error ->Error en imagen
Aparece un panel de control, en el que nos ofrece la posibilidad de, además
de calcular el error cuadrático medio entre las dos imágenes, almacenar la
diferencia entre las mismas. Pulsando el botón guardar imagen diferencia,
aparece el panel de control de guardar archivo. Guardamos la diferencia
como difer75.ppm.
Después, al pulsar el botón Aceptar, hay que seleccionar los dos ficheros
con la imagen sin compresión (hueso.ppm) y la imagen resultado del diezmado
(hueso75.ppm). Se calcula el error cuadrático medio en 16.45 s,
y se obtiene un resultado de 218.332.
En las Figs. 6.6, 6.7 y 6.8 se muestra la imagen renderizada sin diezmado
(archivo hueso.ppm), con diezmado a 0.75 (hueso75.ppm), y la diferencia entre
ambas (difer75.ppm).
6.5.2. Compresión Wavelet de una Cabeza y Obtención de
Detalle
En este segundo ejemplo vamos a realizar una compresión del volumen, usando
la tranformada wavelet, para obtener a continuación la isosuperficie correspondiente
a la piel. Después, se calcula el error, de varias formas, igual que anteriormente y
por último, aprovechando la localidad de la tranformada wavelet, obtenemos una
zona de la cara con más detalle que el resto.
Muchos de los pasos a realizar, son iguales o muy parecidos que los del ejemplo
anterior, por lo que simplemente se enuncian. Las operaciones que sean distintas, se
describen más a fondo. Los pasos a realizar son los siguientes:
Ejecución del programa: Si ya estamos dentro del programa, después de acabar
el ejemplo anterior, no hace falta que volvamos a ejecutarlo.
Lectura de los datos volumétricos: Si acabamos de ejecutar el ejemplo anterior,
tampoco hace falta, pues ya tenemos los datos en memoria.
Compresión Wavelet: El siguiente paso es obtener la compresión mediante la
transformada wavelet, según se explicó en el apartado 5.4. Al contrario que en
129

Figura 6.6: Renderización de la isosuperficie correspondiente al hueso, sin comprimir
(archivo hueso.ppm).
130

Figura 6.7: Renderización de la isosuperficie diezmada un 75 % (archivo
hueso75.ppm).
131

Figura 6.8: Diferencia entre la renderización de la isosuperficie sin diezmado y diezmada
un 75 % (archivo dif75.ppm).
132

el ejemplo de diezmado, aquí se obtiene la compresión directamente a partir
de los datos en volumen, no de la isosuperficie.
Para realizar la compresión mediante la transformada wavelet, ejecutamos el
comando de la barra de menú
Operaciones ->Compresión ->Wavelets ->Compresión
Aparece un panel de control en el que, simplemente, podemos establecer el
valor de la tasa de compresión. Este valor se puede establecer de dos formas,
mediante una escala, o bien, mediante una entrada de texto.
Para obtener mayor precisión en el valor de la compresión establecido, se puede
escribir sobre la entrada de texto, o bien, mover la escala pinchando con el
ratón sobre el elemento móvil y a continuación ajustando el valor deseado
pinchando en el carril, a un lado u otro del elemento móvil (hasta obtener el
valor deseado).
La tasa de compresión que se consigue al introducir un valor N en este panel de
control, es N:1. Se ha establecido una forma de asignar la tasa de compresión
distinta de la usada para el diezmado, debido a que con wavelets podemos
conseguir mayores tasas de compresión, permitiendo que el valor N varíe desde
1 hasta 10000.
En general, el valor de compresión que se obtiene, es menor que el establecido
en este panel de control, debido a que la tranformada wavelet necesita que el
tamaño de todas las dimensiones de los datos sean potencia de dos, con lo que
si no lo son, deben ser padeadas.
Establecemos un valor de compresión de 100:1, y pulsamos Aceptar. Tras
50.47 s, obtenemos los datos comprimidos (compresión, distorsión y descompresión).
En la barra de estado aparece el número de coeficientes wavelet,
20971, y el error cuadrático medio, 12833.1.
Una de las ventajas de esta compresión, es que una vez obtenida la transformada
wavelet directa, y ordenados los coeficientes wavelet, no tenemos que
hacerlo de nuevo, si queremos obtener otra tasa de compresión o un detalle en
los datos.
Cálculo de la Isosuperficie: Se realiza igual que se hizo en el ejemplo anterior,
pero en esta ocasión seleccionamos el valor de densidad correspondiente a la
piel, es decir, 600.
Renderización de la Isosuperficie: Se realiza igual que antes, pero en este caso,
elegimos el color piel para obtener un resultado más real. El resto lo dejamos
igual.
Observación de la Isosuperficie: El resultado obtenido aparece en la Fig. 6.10.
Se puede ver que la superficie aparece distorsionada, pero aún se pueden ver
133

las estructuras más “gruesas”. Al igual que en el ejemplo anterior, podemos
observar distintas vistas de la renderización, girarla, moverla, etc.
Cálculo del Error: En el caso de la transfromada wavelet, ya hemos obtenido una
primera medida del error, el error cuadrático medio cometido al hacer
la compresión, antes de obtener la isosuperficie. Esta medida del error
es independiente de la isosuperficie obtenida. Sólo depende de los datos y del
nivel de compresión.
Las otras dos medidas, error en volumen a partir de la isosuperficie y
error de la imagen renderizada, se obtienen exactamente igual que antes.
Los resultados obtenidos son los siguientes:
Error en Volumen. Error absoluto medio por rodaja: 428.821
Error en Superficie. Error cuadrático medio: 363.607
En la Fig.6.9, se muestra la imagen renderizada de la piel, sin ningún tipo de
compresión. Por último, en la Fig.6.11, se muestra la diferencia entre las dos,
al igual que en el ejemplo anterior.
Obtención de una zona con detalle: Por último, en este ejemplo, vamos a obtener
una compresión mutirresolución dentro del mismo volumen. Como ya se ha
dicho, una de las ventajas de la compresión mediante la transformada wavelet,
frente a otras transformadas, es su localidad espacial.
Podemos obtener un nivel de compresión distinto para cada punto. Para la realización
del proyecto, nos hemos conformado con obtener una zona de detalle,
en la que cogemos todos los coeficientes de la transformada, y por tanto, no
realizamos compresión. Esa zona se verá con todo el detalle, y el resto a la baja
resolución que hayamos especificado anteriormente (100:1 en este ejemplo).
Esto es, normalmente, suficiente para las aplicaciones médicas, pues el especialista
quiere ver la zona sobre la que tiene que diagnosticar con buena resolución,
pero sin perder una relación espacial de esa zona respecto al resto de la imagen.
Para tener esa idea espacial, no importa, que esté a baja resolución.
Para obtener el detalle, una vez realizada la compresión wavelet 100:1, ejecutamos
el comando del menú
Operaciones ->Compresion ->Wavelet ->Detalle
Al ejecutar este comando, aparece un panel de control con seis escalas deslizantes
y dos botones (además de los siempre presentes, Aceptar y Cancelar). En
la ventana de renderización, desaparece la isosuperfiice. Se muestra la línea
externa negra (con forma prismática), que nos sirve como referencia de la renderización;
unos ejes coordenados x, y y z, y un prisma con las aristas de color
blanco. Este prisma será el que nos sirva para seleccionar el detalle, moviéndolo
por la escena.
134

Figura 6.9: Renderización de la isosuperficie correspondiente a la piel, sin comprimir
(archivo piel.ppm).
135

Figura 6.10: Renderización de la isosuperficie comprimida mediante la transformada
wavelet 100:1 (archivo piel100.ppm).
136

Figura 6.11: Diferencia entre la renderización de la isosuperficie sin compresión
wavelet y con una compresión 100:1 (archivo dif100.ppm).
137

Las seis escalas del panel de control, nos sirven para colocar el centro del prisma
blanco, así como su tamaño en cada dimensión. Los valores que aparecen
en estas escalas son valores relativos con respecto a la posición y tamaño
del prisma negro. Por ejemplo, una posición (0,5, 0,5, 0,5) indica el centro del
prisma negro, y un tamaño de (0,5, 0,5, 0,5) indica las dimensiones del prisma
blanco son la mitad de las respectivas del negro. Estos son los valores iniciales.
Moviendo las escalas del panel de control, podemos cambiar la posición y el
tamaño del detalle (prisma blanco).
El movimiento del prisma blanco se ha limitado al interior del prisma negro,
para que el detalle se limite a la zona de interés, en la que tenemos isosuperficie.
Por ello, el centro y el tamaño del prisma blanco en cada dimensión están
relacionados. Así, por ejemplo, podemos ver que si movemos el centro en x del
prisma, hacia la izquierda, el prisma se mueve en esa dirección; pero al llegar
a 0.25, si seguimos moviéndolo, el tamaño en esta dimensión empieza a disminuir,
no permitiendo que el detalle salga fuera del borde de la isosuperficie.
Si pretendemos aumentar ahora el tamaño del detalle en x, no se nos permite.
Para conseguirlo, tenemos que mover el prisma hacia el centro.
Después de esta pequeña explicación del posicionamiento y tamaño del prisma
de detalle, ya podemos seleccionar la zona en la que deseamos mayor resolución.
Se ha eliminado la renderización de la ventana de imagen para que el
movimiento del prisma sea más rápido y no haya que renderizar la isosuperficie
cada vez que movemos el prisma. Sin embargo, lo más probable es que
con la sola referencia del prisma negro no podamos fijar la posición exacta del
detalle que queremos ver. Por ello, en la parte inferior del panel de control, se
han colocado dos botones. Sirven para mostrar u ocultar la renderización de la
isosuperficie. Si se pulsa el botón mostrar, aparece la renderización, pero con
un valor de transparencia de 0.2 (1.0 es opaco y 0.0 transparente), para que
se vea el prisma blanco.
Por último indicar que para fijar mejor la posición del prisma blanco de detalle,
puede que sea conveniente girar la cámara mediante el ratón.
Para la realización del ejemplo, tratamos de mostrar el detalle de la oreja
izquierda (la derecha, desde nuestra posición). Para ello, los valores correctos
para el panel de control del detalle son los siguientes:
Centro del Prisma en X: 0.93
Centro del Prisma en Y: 0.45
Centro del Prisma en Z: 0.26
Longitud del Prisma en X: 0.14
Longitud del Prisma en Y: 0.19
Longitud del Prisma en T: 0.42
138

Figura 6.12: Obtención del detalle. Mediante el prisma blanco se selecciona la zona
que se desea ver con detalle.
En la Fig.6.12 se muestra la ventana de renderización durante el establecimiento
del detalle, mostrando la renderización semitransparente.
Tras pulsar Aceptar, se calcula el detalle y se muestra en la barra de estado
el número de coeficientes wavelet: 38637, y el error cuadrático medio
en volumen: 12591.2. A partir de estos resultados se puede observar, como el
número de coeficientes ha aumentado de 20971 a 38637. Vemos la zona que nos
interesa con toda la resolución y un número muy bajo de coeficientes. El error
ha disminuido de 12833.1 a 12591.2. No ha disminuido mucho relativamente,
debido a que la zona del detalle es muy pequeña con respecto a todo el volumen,
pero esto nos da igual. En realidad, en el caso de obtener detalle, el error
no importa, pues corresponde al resto, de baja resolución. Por eso no se ha
139

ealizado un estudio sobre los errores con detalle.
Tras obtener la isosuperficie correspondiente al hueso, (600) y mostrar la renderización
en pantalla, podemos observar nítidamente la oreja izquierda del
niño, en la que incluso se puede ver el agujero del pendiente. En la Fig. 6.13
se muestra esta imagen; se ha girado ligeramente para que se aprecie mejor.
Una de las ventajas de obtener el detalle mediante la transformada wavelet
es que, como transforma todo el volumen –y no sólo la isosuperficie–, una vez
obtenido el detalle, se puede ver cualquier tejido de esa zona (mediante el cálculo
de la isosuperficie correspondiente). En el caso del ejemplo, evidentemente
sólo se puede ver la piel, pues la oreja carece de estructura ósea)
140

Figura 6.13: Detalle de la oreja izquierda (derecha desde nuestra posición).
141

142

Capítulo 7
Resultados
En este capítulo se mostrarán y comentarán los resultados obtenidos. Todos los
resultados comentados son relativos al error, que se ha calculado de varias formas
distintas, para llegar a ser lo más objetivo posible. Se evalúan y comparan los dos
métodos de compresión implementados: diezmado y transformada wavelet.
Aunque en la aplicación, como se dijo en el capítulo 6, hay una ventana en la barra
de estado en la que se muestra el tiempo empleado para realizar cada operación, no
se ha realizado un estudio del tiempo de ejecución. La razón de esto es que como se
tratan volúmenes enormes de datos, el funcionamiento depende mucho de elementos
del ordenador como la memoria caché o hardware gráfico.
7.1. Medidas de Error Empleadas
Desde el primer momento en que se intenta calcular el error cometido al comprimir
un volumen, se encuentran ciertas dificultades, debido, principalmente a que
lo que estamos viendo no es el volumen, sino una isosuperficie obtenida a partir de
él.
Las formas de calcular el error que se han empleado para evaluar los dos métodos
de compresión, son las siguientes:
Error Cuadrático Medio de la Imagen Renderizada. Es lógico calcular
este error, pues la imagen renderizada es lo que estamos viendo en realidad.
Sin embargo, este método sólo evalúa el error desde un punto de vista de la
escena.
Para que todos los valores de error sean coherentes, se deben realizar la renderización,
exactamente de la misma forma. Es decir, colocando la cámara en la
misma posición y con los mismos parámetros, las mismas luces y propiedades
del actor, etc.
143

Error en Volumen. Como tenemos un volumen comprimido, también parece
lógico realizar un cálculo del error en volumen.
Este tipo de cálculo es trivial para el caso de compresión mediante la transformada
wavelet; basta con calcular el error cuadrático medio entre los datos
volumétricos originales y los distorsionados por la compresión. Sin embargo,
si se emplea el método de diezmado, no podemos hacer esto, pues no tenemos
los datos en volumen, sino sólo una malla triangular en el espacio. Por ello, el
error en volumen se calcula de dos formas, según el caso:
• Error Cuadrático Medio en Volumen. Sólo se puede calcular para la
transformada wavelet. Es una buena medida del error, pero es independiente
de la isosuperficie que se quiera renderizar, con lo que tiene en cuenta
todos los errores del volumen, independientemente de que finalmente se
muestren en la renderización, o no.
• Número Medio de Errores por “Rodaja”. Esta es la forma en la
que se calcula el error en volumen de la isosuperficie.
El problema de comparar dos isosuperficies es que están formadas por
triángulos en el espacio –muy difíciles de comparar globalmente–. Por ello,
lo que se hace para evaluar su error, es convertir la superficie en una
malla rectangular regular, formada por celdas prismáticas, evaluando las
celdas por las que pasa la isosuperficie. De esta forma, se transforma la
isosuperficie en una estructura regular (con unos en las celdas por las
que pasa la isosuperficie y ceros en las celdas por las que no pasa). Sin
embargo, seguimos con el mismo problema (por ejemplo, si las dos superficies
comparadas no pasan exactamente por las mismas celdas, daría el
mismo error que si están muy alejadas, a no ser que se emplee un cálculo
de distancias).
La forma empleada para la comparación de estas dos estructuras, es mediante
un preprocesado de las mismas, que consiste en rellenar el interior
de las isosuperficies (ahora en la estructura regular), respetando las posibles
cavidades que puedan tener en su interior, como se explica en los
apartados A.4 y A.5.
De esta forma, se puede evaluar el error en volumen cometido al diezmar
una malla triangular. En concreto, la medida obtenida es el número de
errores medio por rodaja, pues en la estructura regular tenemos datos
binarios (unos dentro de la isosuperficie o en su frontera, y ceros fuera, o
en las cavidades interiores). Por tanto el número de errores es equivalente
al error cuadrático.
Este cálculo del error se puede emplear para ambos métodos de compresión,
pues en ambos se obtiene, antes o después, isosuperficies.
144

7.2. Cálculos Realizados
En el apartado 7.3 se muestran todos los resultados obtenidos para ambos métodos
y distintos niveles de compresión. Para cada uno, se han realizado todos los
cálculos de error posibles, según el método:
Compresión mediante Wavelets:
• Error cuadrático medio en volumen (MSEV).
• Número medio de errores por “rodaja” (NMER).
• Error cuadrático medio de la imagen renderizada (MSER).
Compresión Mediante Diezmado:
• Número medio de errores por “rodaja” (NMER).
• Error cuadrático medio de la imagen renderizada (MSER).
Todos estos cálculos se realizan para dos isosuperficies distintas de la misma
Tomografía Computerizada, de dimensiones 128 × 128 × 93. El estudio se puede
considerar bastante válido para cualquier conjunto de datos volumétricos, obtenidos
a partir de dispositivos de radiología médica (como es nuestro objetivo), pues en
todos ellos obtenemos datos a partir de propiedades de los tejidos del cuerpo, aunque
las partes del cuerpo estudiadas sean distintas.
La obtención de todos los datos de error, se ha llevado a cabo con gran cuidado,
intentando realizar todas las pruebas bajo las mismas condiciones y parámetros.
Ello nos ha llevado a tener que repetirlas varias veces, a causa de algún cambio en el
programa. Como nota anecdótica cabe señalar que la obtención de todas las medidas
de error ha llevado un tiempo aproximado de 20 horas (sin contar las repeticiones
que se han realizado de los experimentos). Lo que más tiempo ha llevado, ha sido el
algoritmo de flood filling. La razón de esto es que hemos muestreado la isosuperficie
sobre una malla de dimensiones 256 × 256 × 93, cuando los datos originales tenían
un tamaño de 128 × 128 × 93. Esto se ha hecho así para que el muestreo de la
isosuperficie tuviera una incidencia desperciable sobre el cálculo del error.
Los parámetros usados para realizar las pruebas han sido los siguientes:
Datos:
• Tipo de datos: tomografía computerizada de la cabeza de un niño.
• Dimensiones originales: 128 × 128 × 93.
• Dimensiones padeadas: 128 × 128 × 93.
• Origen en coordenadas del mundo: (0, 0, 0).
145

• Espaciado entre los datos: (1.6, 1.6, 1.5) (milímetros).
• Densidad correspondiente a la piel: 600.
• Densidad correspondiente al hueso: 1200.
Transformada wavelet:
• Filtro wavelet usado: Daubechies de 6 coeficientes.
Diezmado:
• Mantener topología: desactivado.
• Ángulo característico: 75o .
• Hacer splitting: activado.
• Hacer splitting previo: desactivado.
• Permitir distorsiones de bordes: activado.
• Triángulos en un vértice para hacer splitting: 25.
Cámara:
• Posición: (99.85, 724.6, 69).
• Punto Focal: (99.85, 93.63, 69).
• Vista Superior: (0, 0, -1).
• Distancia a los planos de corte: 63.10, 3154.82.
• Ángulo de vista: 20o .
• Ángulo del ojo: 2o .
• Centro de la ventana: 0, 0.
7.3. Resultados obtenidos
En este apartado voy a mostrar los resultados numéricos obtenidos para las
distintas magnitudes de error calculadas. También se muestran algunas gráficas,
mediante las que será más sencillo interpretar los resultados.
En la tabla 7.1, se muestra el error cuadrático medio en volumen para la compresión
wavelet, para distintas tasas de compresión, expresadas de la forma N:1.
También aparece el número de coeficientes wavelet que se ha cogido para realizar la
compresión.
En las tablas 7.2 y 7.3, se muestran los resultados de error para las isosuperficies
correspondientes al hueso y a la piel, respectivamente. Las medidas de error que
146

10 x 104 Número de Coeficientes de la transformada wavelet
9
8
MSE entre los datos volumétricos
7
6
5
4
3
2
1
0
0 2 4 6 8 10 12
Figura 7.1: Compresión mediante transformada wavelet. Variación en el error
cuadrático medio en el volumen reconstruido, en función del número de coeficientes
de la transformada wavelet. Escala lineal para ambos ejes.
x 10 5
aparecen son, el número medio de errores por rodaja y el error cuadrático medio de
la imagen renderizada.
Por último, en las tablas 7.4 y 7.5, aparecen las medidas de error, para las dos
mismas isosuperficies, para el caso de compresión mediante diezmado. Las medidas
obtenidas son también, el número medio de errores por rodaja y el error cuadrático
medio de la imagen renderizada.
Se han obtenido varias gráficas a partir de las medidas contenidas en las tablas
mostradas. Se ha intentado no mostrar demasiadas gráficas, pero que las que aparecen
tengan el mayor interés posible. Estas gráficas se comentarán en el apartado 7.4.
147

Cuadro 7.1: Compresión mediante transformada wavelet. Error cuadrático medio
en volumen (MSEV) y número de coeficientes wavelet, en función de la tasa de
compresión.
N:1 # Coeficientes MSEV
2:1 1048576 0.6
3:1 699050 5.8
4:1 524288 16.5
5:1 419430 37.0
6:1 349525 73.2
7:1 299593 130.3
8:1 262144 210.2
9:1 233016 311.3
10:1 209715 434.6
12:1 174762 766.4
14:1 149796 1195.2
16:1 131072 1677.6
18:1 116508 2259.1
20:1 104857 2894.6
23:1 91180 3949.7
26:1 80659 4877.0
30:1 69905 6135.7
34:1 61680 6999.2
39:1 53773 7577.5
44:1 47662 7899.1
50:1 41943 8257.5
58:1 36157 8781.6
70:1 29959 9698.9
84:1 24966 11067.0
100:1 20971 12833.1
130:1 16131 16871.6
200:1 10485 23874.7
300:1 6990 26536.1
450:1 4660 30147.0
700:1 2995 38025.0
1000:1 2097 47021.6
2000:1 1048 54019.8
5000:1 419 79952.7
10000:1 214 91969.2
148

Cuadro 7.2: Compresión mediante transformada wavelet. Isosuperficie correspondiente
al hueso (densidad = 1200). Número medio de errores por rodaja (NMER) y
error cuadrático medio de la imagen renderizada (MSER).
N:1 # Coeficientes NMER MSER
2:1 1048576 0.2 0.3
3:1 699050 5.3 2.3
4:1 524288 14.3 6.8
5:1 419430 31.1 14.0
6:1 349525 54.7 26.4
7:1 299593 79.9 44.1
8:1 262144 109.7 62.5
9:1 233016 139.7 80.5
10:1 209715 170.2 106.5
12:1 174762 247.3 166.3
14:1 149796 323.6 227.9
16:1 131072 400.0 292.8
18:1 116508 489.3 363.1
20:1 104857 561.9 440.6
23:1 91180 642.8 533.8
26:1 80659 755.9 626.7
30:1 69905 865.5 711.4
34:1 61680 912.3 777.9
39:1 53773 943.0 807.4
44:1 47662 995.1 839.2
50:1 41943 1077.7 884.5
58:1 36157 1231.0 986.2
70:1 29959 1416.5 1186.4
84:1 24966 1633.4 1303.4
100:1 20971 1858.1 1379.0
130:1 16131 2131.8 1585.0
200:1 10485 2658.6 1669.4
300:1 6990 2928.1 1705.8
450:1 4660 3348.2 1761.0
700:1 2995 4273.5 1769.1
1000:1 2097 4707.9 2118.1
2000:1 1048 5285.8 2216.7
5000:1 419 7021.2 2654.1
10000:1 214 7733.8 2740.5
149

Cuadro 7.3: Compresión mediante transformada wavelet. Isosuperficie correspondiente
a la piel (densidad = 600). Número medio de errores por rodaja (NMER) y
error cuadrático medio de la imagen renderizada (MSER).
N:1 # Coeficientes NMER MSER
2:1 1048576 0 0.3
3:1 699050 1.9 0.5
4:1 524288 5.4 1.3
5:1 419430 11.1 2.7
6:1 349525 18.2 4.3
7:1 299593 26.3 7.0
8:1 262144 34.1 10.3
9:1 233016 41.9 14.5
10:1 209715 51.6 19.1
12:1 174762 70.2 31.9
14:1 149796 92.9 52.4
16:1 131072 110.0 72.3
18:1 116508 136.2 99.5
20:1 104857 153.3 129.6
23:1 91180 189.4 172.7
26:1 80659 204.5 189.2
30:1 69905 210.3 196.1
34:1 61680 223.8 200.9
39:1 53773 236.6 209.9
44:1 47662 250.4 217.4
50:1 41943 253.1 227.2
58:1 36157 287.4 246.9
70:1 29959 318.5 269.3
84:1 24966 366.5 301.4
100:1 20971 428.8 363.6
130:1 16131 556.9 447.2
200:1 10485 663.4 507.3
300:1 6990 729.6 540.1
450:1 4660 866.7 599.7
700:1 2995 1168.9 694.2
1000:1 2097 1332.4 763.2
2000:1 1048 1526.2 725.8
5000:1 419 2245.1 811.5
10000:1 214 2281.1 884.0
150

Cuadro 7.4: Compresión mediante diezmado. Isosuperficie correspondiente al hueso
(densidad = 1200). Número medio de errores por rodaja (NMER) y error cuadrático
medio de la imagen renderizada (MSER).
% Diezmado # Puntos # Triángulos NMER MSER
0 102337 203856 0 0
5 97206 193757 5.5 2.1
10 92080 183560 12.0 4.1
15 86963 173362 20.9 6.8
20 81841 163164 30.2 10.7
25 76719 152967 39.2 14.7
30 71601 142769 49.7 19.9
35 66485 132570 61.2 24.9
40 61669 122372 79.9 31.0
45 56254 112175 97.8 40.0
50 51139 101978 113.9 50.8
55 46023 91779 140.0 64.8
60 40902 81581 165.8 80.5
65 35777 71384 196.1 99.7
70 30643 61185 239.6 133.2
75 25481 50988 290.2 218.3
80 20404 40790 350.4 312.4
85 15269 30592 477.7 417.3
90 10130 20395 745.7 697.9
95 4956 10196 2330.8 1965.9
99 3728 2039 4767.1 6878.3
151

Cuadro 7.5: Compresión mediante diezmado. Isosuperficie correspondiente a la piel
(densidad = 600). Número medio de errores por rodaja (NMER) y error cuadrático
medio de la imagen renderizada (MSER).
% Diezmado # Puntos # Triángulos NMER MSER
0 72508 144104 0 0
5 68877 136897 2.4 0.3
10 65260 129693 5.4 0.9
15 61636 122488 9.5 1.5
20 58011 115283 13.3 2.1
25 54391 108078 17.7 2.8
30 50767 100871 23.1 3.7
35 47142 93667 28.9 5.3
40 43519 86461 35.1 6.9
45 39897 79257 41.4 8.6
50 36278 72052 49.1 10.7
55 32659 64846 57.7 13.1
60 29041 57640 68.2 16.2
65 25423 50436 80.8 20.1
70 21803 43231 98.4 26.6
75 18179 36026 120.9 36.5
80 14548 28820 134.0 51.7
85 10913 21615 229.4 78.0
90 7285 14409 356.4 126.9
95 3656 7205 677.8 292.4
99 2593 1441 7822.8 5721.3
152

10 5 Número de Coeficientes de la transformada wavelet
10 4
MSE entre los datos volumétricos
10 3
10 2
10 1
10 0
10 −1
0 2 4 6 8 10 12
Figura 7.2: Compresión mediante transformada wavelet. Variación en el error
cuadrático medio en el volumen reconstruido, en función del número de coeficientes
de la transformada wavelet. Escala logarítmica para el eje de ordenadas.
x 10 5
153

10 4 Número de Coeficientes de la transformada wavelet
10 3
MSE entre imágenes renderizadas
10 2
10 1
10 0
10 −1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Figura 7.3: Compresión mediante transformada wavelet. Variación en el error
cuadrático medio de la imagen renderizada, en función del número de coeficientes
de la transformada wavelet. Escala logarítmica para el eje de ordenadas. La curva
roja corresponde a la isosuperficie de la piel (1200) y la negra a la del hueso (600).
154

10 4 Número de Coeficientes de la transformada wavelet
10 3
Número de errores por rodaja del volumen
10 2
10 1
10 0
10 −1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Figura 7.4: Compresión mediante transformada wavelet. Variación en el número
medio de errores por rodaja, en función del número de coeficientes de la transformada
wavelet. Escala logarítmica para el eje de ordenadas. La curva roja corresponde a la
isosuperficie de la piel (1200) y la negra a la del hueso (600).
155

10 4 Número de puntos diezmado / Número de puntos original
10 3
MSE entre imágenes renderizadas
10 2
10 1
10 0
10 −1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Figura 7.5: Compresión mediante diezmado. Variación en el error cuadrático medio
de la imagen renderizada, en función del tanto por uno de puntos considerados el
diezmado. Escala logarítmica para el eje de ordenadas. La curva roja corresponde a
la isosuperficie de la piel (1200) y la negra a la del hueso (600).
156

10 4 Número de puntos diezmado / Número de puntos original
Número de errores por rodaja del volumen
10 3
10 2
10 1
10 0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Figura 7.6: Compresión mediante diezmado. Variación en el número medio de errores
por rodaja, en función del tanto por uno de puntos considerados el diezmado. Escala
logarítmica para el eje de ordenadas. La curva roja corresponde a la isosuperficie de
la piel (1200) y la negra a la del hueso (600).
157

10 4 Número de elementos comprimido / Número de elementos original
Número de errores por rodaja del volumen
10 3
10 2
10 1
10 0
10 −4 10 −3 10 −2 10 −1 10 0
Figura 7.7: Comparación de la compresión mediante la transformada wavelet (rojo)
y la compresión mediante diezmado (negro). Variación en el número medio de errores
por rodaja, en función del tanto por uno de elementos considerados para realizar la
compresión. Escala logarítmica para ambos ejes. Isosuperficie correspondiente a la
piel (600).
158

7.4. Interpretación de los resultados obtenidos
En este apartado se comentan las gráficas mostradas en el apartado anterior.
Aunque pueda resultar algo obvio, se puede observar en todas las tablas, cómo
al disminuir el porcentaje de los datos que se considera (al aumentar la tasa de
compresión), el error aumenta. Este es el comportamiento esperado de todo método
de compresión con pérdidas.
7.4.1. Compresión mediante la Transformada Wavelet
La Fig. 7.1 corresponde a la representación, en escala lineal para ambos ejes, de
la tabla 7.1. En ella se muestra el error cuadrático medio en volumen, respecto a la
disminución del número de coeficientes wavelet considerados.
Se observa como, cuando el número de coeficientes es grande (poca compresión),
el aumento del error cuadrático medio es pequeño. Esto es así porque los primeros
coeficientes eliminados corresponden a los detalles más pequeños de mayor resolución,
que tienen muy poca importancia relativa en el conjunto. En la tabla se observa
que al disminuir los coeficientes a la mitad, el MSE sólo es de 0.58. Sin embargo,
según se va disminuyendo más el número de coeficientes, el error aumenta cada vez
con mayor pendiente. Esto se debe a que los coeficientes eliminados, son cada vez
más importantes (detalles de resoluciones menores).
Si comparamos esta tabla con la que aparece en [10], Pág. 55, se puede observar
que es muy similar cualitativamente. Sin embargo, no se pueden realizar comparaciones
cuantitativas del error, pues en este artículo se evalúa el error en datos
procedentes de una resonancia magnética, y aquí se está evaluando el error en una
tomografía computerizada.
Si bien en la Fig. 7.1, se puede ver la variación del error en escala lineal, también
puede resultar interesante representarlo en escala logarítmica, debido a que los
errores son muy pequeños para tasas de compresión bajas y muy grandes para tasas
de compresión altas.
En la Fig. 7.2 se representa el mismo error en escala logarítmica, manteniendo
lineal el eje de abscisas (número de coeficientes). En ella, se puede observar cómo
el aumento relativo del error (pendiente de la curva) crece según se va aumentando
la tasa de compresión. Sin embargo, se puede ver que hay una primera zona, en
la que la pendiente es aproximadamente constante, indicando que los coeficientes
eliminados tienen todos la misma importancia. Esto es muy fácil de entender, pues
hasta una compresión de 8:1 (en la que la gráfica tiene una pendiente aproximadamente
constante), estamos eliminando coeficientes de detalle del mismo nivel (el
primero). La razón de que no sea totalmente lineal es porque se eliminan primero
los coeficientes menores y luego los mayores. Además, mediante la obtención de la
significancia, explicada en el apartado 5.4, se consigue que el error aumente menos
159

al principio, pues no tiene la misma importancia eliminar dos coeficientes de niveles
de resolución distintos, aunque tengan el mismo valor absoluto. A continuación se
puede observar otra zona de pendiente aproximadamente constante, que corresponde
a la eliminación del siguiente nivel de detalle (hasta compresión 64:1). Por la misma
razón que antes, su pendiente no es totalmente constante, sino que va aumentando
poco a poco.
Hay que señalar que, si bien el comportaminiento explicado aquí puede servir
para entender los resultados, el orden de eliminación de los coeficientes de la transformada
wavelet no es, estrictamente, por niveles de resolución (aunque la significancia
ayuda a que esto sea así), pues si un coeficiente de un nivel de resolución j, es mucho
menor (más de ocho veces menor) que uno del nivel (j + 1), se elimina antes el del
nivel de resolución menor. Esto puede explicar, en parte, el comportamiento observado
para niveles muy grandes de compresión, en los que se eliminan coeficientes
muy importantes, lo que hace aumentar mucho el error.
Ahora voy a considerar los valores de error que salen para las dos isosuperficies
estudiadas de este volumen de datos, la de la piel (de densidad 1200) y la del hueso
(de densidad 600). Las gráficas se han realizado con el eje de abscisas con escala
logarítmica, pues en las gráficas lineales simplemente se observa que el error crece
de forma “exponencial” con el aumento de la tasa de compresión. (Todas las gráficas
lineales tienen una forma muy similar, siendo difícil extraer más conclusiones a partir
de ellas.)
En la Fig. 7.3 se representa el error cuadrático medio en las imágenes renderizadas.
La línea roja corresponde a la piel, y la línea negra al hueso. Se han representado
juntas, para poder ser comparadas mejor. Lo primero que se puede observar,
es que el comportamiento de ambas curvas es muy similar al del la Fig. 7.2, con lo
cual ambos métodos de calcular el error se pueden considerar válidos. Sin embargo,
ahora se distingue el error correspondiente a ambas isosuperficies, algo que antes no
se podía hacer.
Se observa que el error en la piel es menor que el error en el hueso. Ambas
curvas aparecen más o menos paralelas, lo cual indica que el error en el hueso es,
aproximadamente igual al error en la piel, multiplicado por una cierta constante (de
valor entre 5 y 6, aproximadamente). La razón de esta disparidad en el error de
ambas isosuperficies se debe a la variación en la densidad de los datos volumétricos
en el entorno a la isosuperficie considerada, en su dirección normal. En el caso de la
isosuperficie correspondiente a la piel, por fuera de la misma, hay aire, de densidad
despreciable con respecto a la densidad de la piel. Por el contrario, rodeando al
hueso, hay tejidos de una cierta densidad, menor que la del hueso, pero considerable.
Por ello, según se va aumentando la tasa de compresión, van apareciendo pequeños
salientes en el hueso, y algunas islas fuera del mismo, debido a los errores en los
datos de los tejidos que rodean al hueso.
Estos errores se podrían disminuir realizando un preprocesado de los datos
160

volumétricos, en el que se eliminen los datos que no superen un umbral de densidad.
Ajustando este valor de densidad a la del tejido a estudiar (el hueso), se
disminuye mucho el error. Sin embargo, este procedimiento impide obtener otras
isosuperficies de densidad menor. Esto no es un inconveniente, en general, pues al
especialista sólo le interesa un determinado tejido del paciente (huesos, músculos,
ligamentos, . . . ).
La razón de que para una compresión 2:1 ambos valores de error sean muy
similares, puede ser porque los coeficientes eliminados son despreciables para la
resolución de la renderización mostrada en pantalla, en ambos casos.
La Fig. 7.4 muestra el número medio de errores por rodaja del volumen. El
resultado obtenido es también muy similar al de las figuras anteriores. Por ello
podemos considerar los tres métodos de cálculo de error equivalentes y válidos. Sin
embargo, los métodos que evalúan el error de la isosuperficie, tienen la ventaja de
que permiten comparar los errores cometidos por el método de compresión para cada
isosuperficie.
Se puede observar en esta gráfica, que ambas curvas de error también aparecen
paralelas (aunque el factor en este caso está entre 3 y 4, aproximadamente). Para una
tasa de compresión de 2:1, en el caso del hueso sale menor de lo esperado y en el caso
de la piel sale 0. La razón de esto es que eliminamos coeficientes irrelevantes. Algunos
de ellos corresponden al padeo, y otros no son observados debido a la resolución de
la matriz que hemos usado para muestrear la isosuperficie. Las dimensiones de esta
matriz son, para los cálculos realizados, 256 × 256 en cada rodaja, cuando los datos
originales tenían 128 × 128 datos por rodaja. La razón de haber usado una matriz
cuatro veces más grande es para disminuir, en lo posible, los errores introducidos por
el método del cálculo del error (aunque ello conlleve un tiempo de cálculo bastante
mayor).
Los datos volumétricos originales tienen valores de densidad. A partir de ellos se
obtiene la isosuperficie, mediante el método de marching cubes, en el que se interpolan
los valores de cada punto, para obtener la posición exacta de los triángulos de
la isosuperficie, según se explicó en el apartado 3.4. Sin embargo, el pasar de nuevo,
de isosuperficie a malla rectangular, obtenemos sólo los puntos más cercanos a la
isosuperficie, sin ningún tipo de interpolación. En este proceso, se pierde resolución
e información; por ello se ha usado una matriz de muestreo con mayor resolución.
No compensa coger mayor resolución aún, pues aumenta mucho el tiempo de procesamiento.
Para tasas de compresión pequeñas, el error introducido por el algoritmo de
cálculo del error puede ser considerable con respecto al de compresión; sin embargo,
para tasas de compresión mayores, se hace despreciable.
En este punto hay que señalar que para isosuperficies interiores (como el hueso),
tiene mucha importancia el valor de densidad elegido. Valores de densidad distintos,
que sin compresión wavelet, producen isosuperficies prácticamente idénticas, pueden
161

llevar, cuando se realiza compresión, a valores de error muy distintos. Por ejemplo,
si se elige un valor de densidad de 1150, en lugar de 1200, las isosuperificies sin
compresión, son indistinguibles a simple vista. Sin mebargo, a medida que los datos
se van comprimiendo, van apareciendo muchos más salientes e islas en el hueso, con
lo que el error es mucho mayor (del orden de un 50 %-60 % mayor en NMER, y
un 30 %-90 % mayor para MSER). Por ello, tiene gran importancia la exactitud en
el valor de densidad elegida para isosuperficies interiores. Esto no es cierto para la
isosuperficie externa (piel), en la que el error prácticamente no varía, aunque varíe
algo el valor de densidad.
7.4.2. Compresión mediante Diezmado
En la Fig. 7.5 se muestra el error cuadrático medio en las imágenes renderizadas
correspondientes al diezmado de la isosuperficie. Los valores del eje de abscisas
corresponden al tanto por uno de puntos que se mantienen en la malla que representa
a la isosuperficie. En rojo se muestra el error correspondiente a la piel, y en negro
el correspondiente al hueso. Al igual que en la compresión wavelet, en el método de
compresión por diezmado, el error para la piel es menor que el error para el hueso.
Sin embargo, en este caso, la razón de esta disparidad es otra distinta. La piel es
bastante más plana y lisa que el hueso, con lo que se pueden eliminar puntos de
la isosuperficie introduciendo menor error. Se puede observar que ambas curvas son
muy paralelas, con un factor entre ambas que varía entre 4.5 y 5.5, aproximadamente.
En este caso, la variación relativa del error aumenta más al principio, habiendo
luego una zona de menor pendiente. Por último, para tasas de compresión muy altas,
hay varios efectos que hacen aumentar el error:
Los puntos eliminados tienen cada vez mayor importancia para el error.
Se empieza a producir splitting o división en la malla, con lo cual, el sombreado
de la renderización aparece más abrupta en los triangulos adyacentes a las
aristas que se han dividido, pues no tiene en cuenta las normales en estos
triángulos adyacentes, para realizar el sombreado de la isosuperficie. Para que
este efecto se produzca para tasas de compresión muy altas, se ha dado al
ángulo característico un valor grande, de 75 o (ver apartado 4.3.7).
La renderización de pocos triángulos aparece bastante mal, pues los triángulos
que no enfocan a la fuente de luz, aparecen más oscuros para la parte de la luz
correspondiente a iluminación epecular. Este efecto es mayor cuanto mayores
son los triángulos (por tanto, cuantos menos triángulos haya).
En la Fig. 7.6 se muestra el número medio de errores en cada rodaja del volumen,
para ambas isosuperficies. Es muy parecida a la anterior, lo cual nos lleva a decir de
162

nuevo que los métodos empleados para el cálculo del error son equivalentes. En este
caso, el factor que relaciona ambas curvas varía entre 2 y 2.5, aproximadamente.
Lo único que cabe destacar, respecto del caso anterior, es la razón del mayor
aumento relativo del error para tasas de compresión muy altas.
En parte, es debido a que el error de eliminar un punto es cada vez mayor;
pero otra parte es debido a que, cuando se empieza a dividir la malla, el método
de flood filling puede fallar, ya que no tenemos superficies cerradas. Este efecto
es el que se observa para los dos valores mayores de compresión (95 % y 99 %),
llegando el error para la piel, incluso, a superar al del hueso.
7.4.3. Comparación entre Ambos Métodos de Compresión
Por último, en la Fig. 7.7, se muestra en escala logarítmica para ambos ejes, el
número medio de errores por rodaja para la piel. En rojo aparece la curva correspondiente
a la transformada wavelet y en negro la de diezmado. Se muestra esta
gráfica como ejemplo, pues se podrían mostrar otras gráficas comparativas, aunque
de todas se obtienen los mimos resultados. En el eje de abscisas de la gráfica aparece
la relación entre el número medio de elementos comprimidos (coeficientes wavelet,
o puntos) y el número de elementos originales. Para ello, se ha considerado que el
volumen de datos tiene 128 × 128 × 128 puntos.
Se observa que es mucho mejor el resultado obtenido para compresión mediante
la transformada wavelet, que mediante diezmado, especialmente para niveles de
compresión relativamente bajos. Para compresión wavelet, también ocurre esto para
niveles de compresiones muy altos, para los que el aumento relativo del error, es
pequeño con respecto al aumento relativo del porcentaje de compresión. Esto no
ocurre para diezmado. Así, por ejemplo, el error de una compresión mediante wavelet
de 10000:1 es del orden de 3.5 veces mejor que una compresión 100:1 mediante
diezmado.
Sin embargo, estos dos métodos de compresión, no pueden ser totalmente comparables,
pues la información que se comprime es distinta. En diezmado se comprime
sólo la isosuperficie, mientras que con la transformada wavelet se comprime todo el
volumen.
7.5. Algunas Imágenes Renderizadas de Ejemplo
Todos los resultados de error calculados, pueden servir para evaluar los métodos
de compresión; sin embargo, siempre hay que ver el resultado final obtenido. A
continuación se muestran varias renderizaciones para distintos niveles de compresión.
163

En ellas se puede ver la calidad de los resultados obtenidos con cada método de
compresión.
En las Figs. 7.12 y 7.13, se muestran ejemplos de compresión de otros datos
volumétricos distintos a los usados para evaluar los métodos de compresión.
164

Figura 7.8: Ejemplos de renderizaciones. Compresión mediante transformada
wavelet.
165

Figura 7.9: Ejemplos de renderizaciones. Compresión mediante transformada
wavelet. 166

167
Figura 7.10: Ejemplos de renderizaciones. Compresión mediante diezmado.

168
Figura 7.11: Ejemplos de renderizaciones. Compresión mediante diezmado.

Figura 7.12: Ejemplos de renderizaciones. Compresión mediante transformada
wavelet, con dos niveles de compresión.
169

Figura 7.13: Ejemplos de renderizaciones. Compresión mediante diezmado a una
tasa de compresión de 75 %, de dos isuperficies.
170

Capítulo 8
Conclusiones y Líneas Futuras
8.1. Conclusiones
El sistema visual humano está mucho mejor adaptado a las imágenes tridimensionales,
que a las bidimensionales; por ello, desde hace algún tiempo, se está desarrollando
hardware y software que permite procesar y visualizar datos volumétricos,
de forma rápida e interactiva.
En medicina moderna, se captán datos volumétricos del cuerpo humano, mediante
dispositivos como la tomografía computerizada, la resonancia magnética y los
ultrasonidos. Estos datos pueden ser mucho mejor interpretados que las imágenes
bidimensionales. Para ello, deben ser renderizados, y permitir interactividad por
parte del profesional médico.
El mayor problema de los datos volumétricos, es su enorme tamaño. Por ello
cobran especial importancia los esquemas de compresión. Son especialmente interesantes
los esquemas de compresión multirresolución, que permiten mostrar los datos
a distintos niveles de resolución, según la compresión realizada.
Se han comparado dos esquemas de compresión de datos volumétricos: compresión
mediante transformada wavelet y compresión mediante diezmado de mallas
triangulares.
La compresión mediante la transformada wavelet, reorganiza los datos originales
a un conjunto de detalles, y aproximaciones a distintos niveles de resolución. Tiene la
ventaja de que posee localidad en el espacio, lo que permite obtener distintos niveles
de compresión (y por tamto resolución) dentro de la misma imagen. Hemos obtenido
una zona prismnática de detalle en los datos, de forma que en esta zona no se realiza
compresión sobre los datos, permitiendo visualizarla a la máxima resolución, pero
sin pérdida del contexto espacial global.
La compresión por diezmado, elimina puntos de la malla triangular que forma
la isosuperficie, de forma que el error de eliminación de cada punto sea el mínimo
171

posible.
En el proyecto no se ha realizado un estudio de tiempos de ejecución, debido a las
grandes variaciones, debido a elementos como la memoria caché. Sin embargo, sí se
ha comprobado que el tiempo de ejecución del esquema de compresión wavelet, no
depende del nivel de compresión, mientras que en el diezmado, sí depende. Esto es
totalmente lógico, pues para wavelet, hace las mismas operaciones, independientemente
del nivel de compresión; sin embargo, para diezmado, como se van eliminando
los puntos de la malla de uno en uno, el tiempo de procesamiento depende del nivel
de compresión.
Se ha comprobado cuantitativa y cualitativamente que la compresión mediante
la transformada wavelet es mucho mejor que el diezmado. Para ello se han evaluado
distintas magnitudes de error para los datos de una tomografía computerizada. Se
ha calculado el error cuadrático medio en volumen, para la compresión mediante la
transformada wavelet. Para ambos métodos de compresión, se ha calculado el error
cuadrático medio en la imagen renderizada, y el número medio de errores por rodaja
del volumen.
Se ha visto en todos los resultados obtenidos que todos los métodos de compresión
empleados dan resultados equivalentes, pero el número medio de errores por rodaja
y el error cuadrático medio en la imagen renderizada, tienen la ventaja de que son
función de la isosuperficie de interés, y no de todo el volumen.
Se ha desarrollado una aplicación en la que se ha incluido una interfaz gráfica de
usuario, que permite realizar ambos tipos de compresión sobre datos volumétricos,
evaluar todos los tipos de error comentados sobre los datos comprimidos, y renderizar
las imágenes resultantes. Además, aunque el propósito de la aplicación no es el de ser
usada por profesionales médicos, permite interactuar sobre los datos renderizados,
realizando rotaciones, traslaciones, cambios de zoom, semitransparencias, . . .
Algunas de las aportaciones más interesantes del proyecto, de las que no tenemos
conocimiento hayan sido realizadas previamente son:
Comparacion de compresión mediante wavelets y mediante diezmado de mallado
triangular.
Obtención y estudio de los errores de compresión en distintas isosuperfies, las
que están en contacto con el aire, en las que el error es menor, y las internas,
en las que el error es mayor.
Especificación clara de criterios para el cálculo del error en datos volumétricos.
Desarrollo e implementación de un algoritmo para el acondicionamiento de
volúmenes para el cálculo del error (flood filling generalizado).
Realización de dos clases en VTK, para implementar el esquema de compresión
mediante wavelet (vtkWaveletFilter), y para realizar el flood filling generalizado
(vtkFloodFillFilter).
172

Además, se ha visto la importancia de elegir de forma muy exacta el valor de
la isosuperficie para realizar la compresión wavelet. Variaciones de densidad relativamente
pequeñas, que apenas se ven en la renderización sin compresión, provocan
aumentos muy considerables del error, cuando se comprimen los datos.
8.2. Líneas Futuras
Este proyecto fin de carrera forma parte del proyecto financiado por la Junta de
Castilla y León, con referencia VA78/99, cuyo título es “Desarrollo de una Aplicación
de Compresión y Visualización de Datos Volumétricos para los Hospitales de Castilla
y León”.
Por ello, este proyecto se va a continuar y ampliar de forma muy importante en
un futuro inmediato. Las líneas de desarrollo futuro que se pueden seguir son muy
amplias.
Se puede desarrollar una aplicación distribuida, con arquitectura cliente–servidor,
en la red de área amplia (WAN), formada por todos los centros hospitalarios de
Castilla y León, o bien en la red de área local (LAN) de cada centro hospitalario.
En estas redes, habrá servidores, que posean los datos comprimidos (con todas las
versiones multirresolución), enviando a los sistemas clientes (localizados en cada
hospital), los datos a la resolución requerida. Los datos se mandarán comprimidos,
en orden de menor a mayor resolución, hasta el nivel de resolución requerido. De
esta forma, desde que el cliente empieza a recibir datos, puede obtener una versión
a baja resolución de los mismos, e ir aumentándola a medida que va recibiendo más
datos.
Además, en los centros hospitalarios, es donde se obtienen los datos volumétricos,
que son enviados al servidor del sistema. En el servidor, los datos se almacenan en
su versión multirresolución, para que si un cliente los solicita, simplemente haya que
seleccionar los coeficientes según el nivel de compresión, y enviarlos por la red.
En el sistema cliente sólo hay que hacer la descompresión de los datos (transformada
inversa), y el proceso de visualización de los mismos.
En el cliente se puede seleccionar una zona de interés, en la que se quiere mayor
detalle. El servidor mandaría los detalles de esta zona, en orden creciente de
resolución; de esta forma, se obtiene cada vez más detalle en la zona de interés.
Uno de los problemas de la transformada wavelet sobre datos volumétricos (y
de la mayor parte de las transformadas), es que opera sobre datos con un número
de elementos en cada dimensión, múltiplo de dos. Esto provoca que si los datos
originales no son múltiplos de dos en cada dimensión, su tamaño aumente (aunque
luego pueda disminuir con la compresión). Por ello puede ser interesante dividir
los datos en subvolúmenes más pequeños, en los que realizar la compresión; de esta
forma el aumento de tamaño se reduce. De todas las formas, la solución más sencilla,
173

y también la mejor, es que los datos tengan tamaños en cada dimensión múltiplos
de dos. Esto es lo más común, pues los dispositivos de captación, obtienen matrices
para cada rodaja de 256 × 256 o 512 × 512.
Cuando se selecciona una zona de los datos con mayor nivel de detalle, en principio,
hay que realizar la transformada inversa sobre todo el volumen de datos (operación
muy ineficiente). interesa mucho desarrollar una transformada wavelet local,
aprovechando la propiedad de localidad de la transformada wavelet. De esta forma,
sólo se obtiene la transformada inversa de la zona de interés (que es la única que
cambia). Aunque no se ha incluido en el proyecto, por no haberse implementado en
la práctica, no es complicado realizar esta transformada wavelet inversa de una zona
de los datos. Para ello, simplemente hay que formar un subvolumen de coeficientes
wavelet formado por todos los correspondientes a la zona de interés; a continuación
se realiza la transformada wavelet inversa de este subvolumen, y se coloca en el
lugar adecuado del volumen total a baja resolución. El subvolumen deberá tener un
tamaño en cada dimensión potencia de dos.
Puede ser muy interesante realizar un estudio del error para el método de compresión
wavelet en función del filtro wavelet usado. Para la realización del proyecto
se ha usado el filtro Daubechies de seis coeficientes. Se ha visto que los resultados
obtenidos son mucho mejores que con el filtro de Haar (no es continuo, ni derivable);
sin embargo, no se ha comparado con otros filtros. Como la transformada wavelet
de un volumen de datos es un proceso relativamente lento, hay que llegar a un
compromiso entre calidad obtenida y número de coeficientes del filtro. Sin embargo,
distintos tipos de filtros, del mismo número de coeficientes, pueden dar errores
distintos.
Se puede intentar combinar ambos métodos de compresión, ya que operan en
dominios distintos (la transformada wavelet, sobre los datos volumétricos, y el diezmado,
sobre la malla triangular que representa a la isosuperficie). Para obtener una
buena interacción entre el usuario y la escena renderizada, interesa que la isosuperficie
tenga el mínimo número de triángulos que permita una visualización con la
calidad deseada. En principio, mediante la compresión wavelet, no podemos asegurar
que el número de triángulos obtenidos al calcular la superficie, disminuya con el
aumento de la tasa de compresión, pues no hay ninguna relación.
Por ello se puede, en primer lugar, realizar una compresión mediante la transformada
wavelet, con la arquitectura cliente–servidor explicada. A continuación, una
vez descomprimidos los datos en el cliente y obtenida la isosuperficie, se puede realizar
un diezmado de la misma. De esta forma se consigue una mejor interacción
por parte del usuario, especialmente si el sistema cliente no tiene hardware gráfico
específico para renderización.
Habrá que estudiar también el tiempo de procesamiento de cada algoritmo, en
función del nivel de compresión. Habrá que conseguir que los tiempos de ejecución
de un algoritmo, con todos sus parámetros iguales, se mantenga aproximadamente
174

constante, independientemente de otros elementos. Para ello, habrá que usar, entre
otras cosas, ordenadores con memorias mayores (para evitar swapping).
Una vez estudiados los tiempos de ejecución, habrá que llegar a un compromiso
entre nivel de compresión, error y tiempo de ejecución. Este compromiso, será distinto,
según el caso. En una apliciación ejecutada en un solo ordenador (como la del
proyecto), puede tener más importancia el tiempo de procesamiento. Sin embargo,
en un sistema distribuido (especialmente en una WAN), tiene mucha más importancia
el nivel de compresión, pues el cuello de botella del sistema está en el ancho de
banda de la red.
175

176

Capítulo 9
Pliego de Condiciones
En este capítulo se enumeran los medios materiales usados para la realización del
proyecto, así como su precio. No se ha pretendido realizar un presupuesto detallado
del proyecto. Sin embargo, se puede ver que la mayor parte de los medios usados
para la realización del mismo son de distribución gratuita. No se muestran entre
los medios materiales los libros y artículos empleados, pues no ha sido necesario
comprarlos para la realización del proyecto.
Ordenador Pentium II 266 MHz:
Monitor 19 pulgadas:
Escáner color Primax 4800 × 4800:
Impresora HP DeskJet 890 C:
Impresora láser HP LaserJet 4000 N:
Material de papelería y fotocopias:
Linux Slackware 2.0.30:
Windows ’95:
VTK 2.0:
Tcl/Tk 8.0:
Picture Publisher 6.0:
L A TEX V. 3.14159 (C V. 6.1):
220.000 pts.
140.000 pts.
25.000 pts.
70.000 pts.
100.000 pts.
5.500 pts.
0 pts.
17.500 pts.
0 pts.
0 pts.
0 pts.
0 pts.
177

178

Bibliografía
[1] J. D. Bronzino, Editor in Chief, The Biomedical Engineering. Handbook, CRC
Press – IEE Press, Boca Ratón, Florida, USA, 1995.
[2] A. S. Tenenbaum, Redes de Ordenadores, (Segunda Edición), Prentice Hall
Hispanoamericana, México D. F., México, 1991.
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Proc. of IEEE Visualization 1992, Pgs. 21-28.
[10] S. Muraki, Volume Data end Wavelet Transforms, IEEE Computer Graphics
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[11] S. G. Mallat A Theory for Multiresolution Signal Decomposition: The Wavelet
Representation, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Inteligence,
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[12] W. Schroeder, K. Martin and B. Lorensen, The Visualization Toolkit. An
Object-Oriented Approach to 3D Graphics, (Segunda Edición), Prentice Hall
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179

[13] W. E. Lorensen and H. E. Cline, Marching Cubes: a High Resolution 3D Surface
Construction Algorithm, Coputer Graphics, Vol. 21, Número 4, Págs. 163-169,
Julio 1987.
[14] P. Cignoni, C. Montani, E. Puppo, and R. Scopigno, Multiresolution Representation
and Visualization of Volume Data, IEEE Transactions on Visualization
and Computer Graphics, Vol. 3, Número 4, Págs. 352-369, Octubre-Diciembre
1997.
[15] B. B. Welch, Practical Programming in Tcl and Tk (Segunda Edición), Prentice
Hall PTR, New Jersey, USA, 1997.
[16] K. D. Cohen, Feature Extraction and Pattern Analysis of Three-Dimensional
Objects, Master Thesis, Thayer School of Engeneering, Darmouth College, 1996
180

Apéndice A
Manual de Referencia
A.1.
Introducción
En este capítulo se van a comentar algunos aspectos de la implementación de la
aplicación. En el apéndice C se muestran parte de los listados de la aplicación. No
se han mostrado todos, debido a su gran tamaño; sin embargo, espero que sirvan
para entender la estructura del programa. A continuación s describe la estructura
general del programa, así como los objetos de VTK usados para su realizaciónm.
así como las clases de VTK que se han tenido que realizar, por no estar disponibles
entre las ofrecidas por este sistema de programación gráfica.
A.2.
Estructura general del Programa
En el apéndice B se describen algunos aspectos concretos de VTK; además se
compara la realización de programas compilados en C++, frente a programas interpretados
en Tcl/Tk.
Para la realización general de la aplicación se ha elegido el lenguaje de programación
interpretado Tcl/Tk, debido a sus ventajas sobre C++.
Permite una programación y modificación del programa más rápida, pues no
requiere compilación.
La realización de interfaces gráficas en, al mismo tiempo, mediante Tk es muy
sencilla y potente.
Desde el script Tcl/Tk, además de hacer el GUI, básicamente se crean instancias
de las clases de VTK. Como estas clases son compiladas, a pesar
de usar un lenguaje interpretado, las aplicaiones son relativamente rápidas,
181

aprovechando, de esta forma, las ventajas de los lenguajes interpretados y las
de los lenguajes compilados.
Es un lenguaje sencillo, y a mi entender muy interesante, pues permite hacer
muchas de las cosas que se pueden hacer en lenguajes tan completos como C.
De hecho, hay muchos comandos que se parecen a las funciones de C. (No en
vano, Tcl/Tk está programado en C).
Sin embargo, debido a que no todas las operaciones que se han tenido que realizar
sobre los datos, se encontraban programadas en VTK, se ha tenido que realizar un
par de clases nuevas, descritas en apartados posteriores.
Además, el cálculo de errores también se ha programado como aplicaciones ejecutables
programadas en C++. Esto se ha hecho así debido al enorme número de
operaciones que hay que realizar para calcular el error, haciendo imposible su programación
en Tcl. Los cálculos de error no han sido programado como clases, debido a
que no se han considerado suficientemente generales como para intentar aprovechar
la modularidad de una clase. Además las clases abstractas de proceso que ofrece
VTK (ver apéndice B), están más adaptadas para realizar filtros, y no para obtener
resultados numéricos a partir de clases de entrada.
En el apéndice C se muestra parte del código general de la aplicación. Para
entenderlo mejor, voy a describir brevemente las instancias de las clases usadas. Se
puede encontrar más información sobre algunas de estas clases en el apéndice B (se
recomienda leer antes este apéndice, para entender los objetos usados en VTK), y
muchas más en [12]. Se muestra el nombre de la clase, seguido por el nombre de la
instancia creada:
Objetos usados para la renderización
• vtkTkRenderWidget .Render: ventana de renderización. Es un Widget
de Tk que permite la integración de la ventana de renderización, con el
GUI realizado en Tk.
• vtkRenderer render: objeto renderizador. Sirve para gestionar una ventana
en la pantalla.
• vtkLight luz: fuente de luz para iluminar la escena.
• vtkCamera camara: cámara virtual para la renderización de escenas 3D.
• vtkLODActor isoActor: actor para la isosuperficie obtenida. Esta clase
permite varios niveles de resolución, lo cual permite mejor interactividad
del usuario con la escena. Los actores representan objetos (geometría y
propiedades) en una escena renderizada.
• vtkActor lineaExternaActor: actor para el prisma de color negro que
representa el borde externo de la isosuperficie.
182

• vtkActor mensajeActor: actor para el objeto de texto que aparece al
ejecutar la aplicación.
• vtkActor cuboActor: actor para el prisma de color blanco, usado para
posicioar el detalle en compresión mediante la transformada wavelet.
• vtkActor ejesActor: actor usado para representar los ejes que se muestran
en la pantalla de selección de detalle (wavelet).
• vtkActor XActor, YActor, ZActor: actores para el texto que etiqueta
cada uno de los ejes de ejesActor.
• vtkProperty: objeto para definir las propiedades de la superficie del actor
isoActor.
Objetos de datos
• vtkStructuredPoints Volumen: objeto de datos con topología y geometría
regular. Se usa para almacenar los datos de la tomografía computerizada,
leídos del disco. También se usa como salida del filtro que
realiza la transformada wavelet.
• vtkPolyData PolyData: objeto de datos que representa vértices, líneas,
polígonos y tiras de triángulos. Este objeto representa la isosuperficie
obtenida.
Objetos de proceso fuente
• vtkVectorText mensaje: objeto que crea texto como datos poligonales.
Sirve para crear el texto que aparece en la ventana de renderización al
iniciar la aplicación.
• vtkCubeSource cubo: objeto para crear un cubo como datos poligonales.
Se usa para seleccionar el detalle para la transformada wavelet.
• vtkAxes ejes: objeto para crear los ejes usados en la ventana de selección
del detalle.
• vtkTextSource textoX, textoY, textoZ: crea texto como datos poligonales.
Sirve para crear las etiquetas de los ejes.
• vtkVolumen16Reader lectorVol: objeto lector, usado para leer los archivos
con los datos de la tomografía Estos datos están en varios archivos, con
el mismo nombre , salvo la extensión, que indica el número de rodaja.
Los archivos tienen datos de 16 bits. La salida de este objeto tiene datos
del tipo unsigned short, que pueden valer entre 0 y 2 16 − 1 = 65535.
• vtkSLCReader lectorVol: objeto lector para leer datos volumétricos en
un solo archivo, con extensión slc.
Objetos de proceso filtro
183

• vtkMarchingCubes iso: objeto usado para obtener la isosuperficie, mediante
el método marching cubes, descrito en el apartado 3.4.
• vtkDecimatePro deciPro: objeto para realizar el diezmado de la isosuperficie.
De las técnicas avanzadas explicadas en el apartado 4.3.7, este
filtro implementa el algoritmo que modifica la estructura de la malla,
descrito en ese apartado, pero no la reducción progresiva.
• vtkVoxelModeller borde: filtro que transforma la isosuperficie en un
objeto del tipo vtkStructuredPoints binario, en el que hay unos en los
puntos por los que pasa la isosuperficie y ceros en el resto. Se usa como
procesado previo al objeto flood, para transformar la malla poligonal en
una estructura rectangular regular.
• vtkFloodFillFilter flood: filtro que sirve para rellenar el volumen interior
a una superficie cerrada (que se encuentra en forma de vtkStructuredPoints,
respetando las cavidades interiores que haya en el volumen).
Esta clase se ha tenido que crear para realizar la aplicación, por lo que
se describe en el apartado A.4.
• vtkWaveletFilter wavelet: objeto que realiza la compresión de un conjunto
de datos con estructura vtkStructuredPoints. Permite obtener,
además un detalle en el que no se realiza compresión. Esta clase también
se ha creado para el proyecto, por lo que se describe en el apartado A.3.
• vtkOutlineFilter lineaExterna: filtro usado para obtener un prisma
que contiene exactamente a la isosuperficie.
objetos de proceso mapeadores
• vtkPolyDataMapper isoMapper: objeto usado para convertir los datos
poligonales de la isosuperficie en primitivas gráficas (mapeador).
• vtkPolyDataMapper lineaExternaMapper: objeto que realiza el mapeado
para el prisma que rodea a la isosuperficie.
• vtkPolyDataMapper mensajeMapper: objeto mapeador usado para el texto
que aparece al ejecutar la aplicación.
• vtkPolyDataMapper cuboMapper: objeto mapeador para el prisma usado
para seleccionar un detalle, en compresión mediante la transformada
wavelet.
• vtkPolyDataMapper ejesMapper: objeto mapeador usado para el objeto
ejes.
• vtkPolyDataMapper XMapper, YMapper, ZMapper: objetos mapeadores
para las etiquetas de los ejes.
• vtkStructuredPointsWriter: objeto escritor, usado para escribir en un
fichero el objeto vtkStructuredPoints salida del filtro vtkFloodFill-
Filter.
184

• vtkMCubesWriter writer: objeto usado para guardar en un archivo la
isosuperficie obtenida.
El mayor problema para realizar la red de visualización de la aplicación es su
interactividad. En ella, el usuario es el que indica, mediante los comandos de la
barra de menús, las operaciones que se van realizando sobre los datos. Por ello no
se puede usar una arquitectura fija para la red de visualización de la aplicación.
Para afrontar este problema, lo que se ha hecho es mantener los datos siempre
en dos objetos de datos fijos, que son la entrada y la salida de la mayoría de los
filtros ejecutados. De esta forma, sea cual sea el orden de ejecuación del programa,
siempre sabemos dónde están los datos. Si no se hiciera así, tendríamos el problema
de que la arquitectura de la red de visualización cambiaría, dependiendo del orden
de ejecución de los filtros, por parte del usuario de la aplicación.
Los dos objetos en los que se guardan los datos, son los siguientes:
vtkStructuredPoints Volumen: éste es el objeto de datos en el que se guardan
los datos leídos de los ficheros. Tienen una estructura en malla rectangular
regular (topológica y geométricamente). Este objeto sirve de entrada al filtro
que implementa el algoritmo de marching cubes (vtkMarchingCubes iso),
y es la salida, tanto del objeto lector de los ficheros (vtkVolumen16Reader
lectorVol), como del objeto de compresión wavelet (vtkWaveletFilter wavelet).
vtkPolyData PolyData: este objeto contiene la malla triangular que representa
a la isosuperficie. Es la entrada al objeto que realiza la conversión de
los datos poligonales a primitivas gráficas (vtkPolyDataMapper isoMapper)
y al objeto que guarda en un fichero la malla triangular (vtkMCubesWriter
writer). Es la salida del filtro de marching cubes (vtkMarchingCubes iso)
y del filtro que realiza el diezmado de la malla triangular (vtkDecimatePro
deciPro).
La red de visualización, o pipeline de visualización resultante, se muestra en la
Fig. A.1. En ella se han puesto solamente los objetos más importantes, para que sea
de fácil comprensión.
Los filtros que realizan la compresión, no toman su entrada de los dos objetos
que guardan los datos, sino del objeto anterior en el pipeline. La razón de hacer
esto así, es para que si se realiza varias veces la compresión de los datos, las tasas
de compresión sean absolutas, y no acumulativas. Si se tomaran las entradas de los
filtros de compresión de estos dos objetos (respectivamente), y se realiza varias veces
un tipo de compresión, cada vez se tomaría la entrada del resultado de la compresión
anterior, lo cual no es deseable.
185

fichero.93
fichero.1
vtkVolumen16Reader
lectorVol
vtkWaveletFilter
wavelet
vtkStructuredPoints
Volumen
vtkMarchingCubes
iso
vtkDecimatePro
deciPro
vtkPolyData
PolyData
vtkMCubesWriter
writer
vtkPolyDataMapper
isoMapper
fichero.vtk
Figura A.1: Red de visualización de la aplicación.
186

Se puede ver en la figura, la estructura general de todas las redes de visualización.
Siempre empiezan por objetos fuente, y terminan en objetos mapeadores (o
escritores), estando en medio los filtros que sean necesarios.
Para mantener los datos en los objetos PolyData y Volumen, se usan dos procedimientos
de vtk muy sencillos, que se muestran a continuación
# Procedimiento para actualizar el structured points
# despues de la compresion mediante la tranformada wavelet
proc ActualizarVolumen {filtro} {
Volumen CopyStructure [$filtro GetOutput]
# Solucion al bug de que sale 0 en el numero
# de dimensiones
set dims [Volumen GetDimensions]
# Da igual las dimensiones que se pongan
Volumen SetDimensions 1 2 1
eval Volumen SetDimensions [split $dims]
}
[Volumen GetPointData] PassData [[$filtro GetOutput] \
GetPointData]
Volumen Modified
# Procedimiento para actualizar la renderizacion despues de
# alguna operacion
proc ActualizarPolyData {filtro} {
PolyData CopyStructure [$filtro GetOutput]
[PolyData GetPointData] PassData [[$filtro GetOutput] \
GetPointData]
PolyData Modified
}
Estos procedimientos copian la salida del filtro, que toma como argumento al objeto
de datos correspondiente. El método vtkStructuredPoints::CopyStructure()
tiene un bug, que consiste en que al copiar la estructura de un objeto a otro, pone el
número de dimensiones a 0. Se puede solucionar de la forma que se muestra arriba.
Para llamar a estos procedimientos, se pone el nombre del procedimiento y el
del filtro. Con esto basta para copiar la salida del filtro al objeto correspondiente.
A continuación se muestran dos sentencias de ejemplo, para ambos filtros.
# Actualizo los valores del objeto Volumen con la
187

# salida del filtro wavelet
ActualizarVolumen wavelet
# Actualizo el valor del objeto PolyData con la
# isosuperficie decimada
ActualizarPolyData deciPro
Los funciones realizadas por los filtros, se encuentran en procedimientos, que son
llamados desde los botones del menú. Al ejecutarse estos procedimientos, lo primero
que se suele hacer es mostrar el panel de control correspondiente. Los paneles de
control se encuentran disponibles desde el principio de la ejecución de la aplicación;
sin embargo no se muestran en patalla. A continuación se muestra un pequeño esbozo
de estas operaciones
## Creo la barra de menu (segun la forma de Tk 8.0)
menu .menubar
# Lo fijo en la ventana principal
. config -menu .menubar
# Creo menus en cascada
foreach m {Archivo Operaciones Vista Error Ayuda} {
set $m [menu .menubar.m$m -tearoff FALSE]
.menubar add cascade -label $m -menu .menubar.m$m
}
# Annado los elementos del menu Operaciones
$Operaciones add command -label Isosuperficie -command \
menuMarchingCubes -state disabled
... -> Resto de elementos del menu
## procedimiento para obtener la isosuperficie
proc menuMarchingCubes {} {
global isoValor resultadoMenu
# Muestro el menu de leer el volumen
wm deiconify .marching
# Pongo un valor que no puede tener la variable
set resultadoMenu 2
# Muestro el menu con las opciones de Marching Cubes
# y espero a que se cierre
# Espero a que cambie el valor (a 1 o 0),
# con lo que se habra cerrado la ventana .volumen
vwait resultadoMenu
188

# Si se ha pulsado el boton aceptar
if {$resultadoMenu == 1} {
# Extraigo la isosuperficie a partir del objeto Volumen
iso SetInput Volumen
... -> Llamada al resto de metodos de la instancia iso
}
## Creacion del panel de control
toplevel .marching
# Oculto esta ventana hasta que sea necesaria
wm withdraw .marching
wm title .marching "Obtencion de isosuperficie"
# Cuando se cierra la ventana no se elimina,
# sino que se quita de pantalla
wm protocol .marching WM_DELETE_WINDOW {wm withdraw .marching}
# Creo un frame
frame .marching.f1
... -> Otros elementos del panel de control
# Frame para botones de aceptar y cancelar
frame .marching.f3
# Muestro el frame
pack .marching.f3 -side top -expand true -fill x -pady 20
button .marching.f3.aceptar -text Aceptar -command \
{botonPulsado 1 .marching}
button .marching.f3.cancelar -text Cancelar -command \
{botonPulsado 0 .marching}
pack .marching.f3.aceptar .marching.f3.cancelar -side left \
-expand true
proc botonPulsado {valor vent} {
# Variable global usada para guardar el resultado del menu
global resultadoMenu
# Resultado del menu: Aceptar (1), Cancelar (0)
set resultadoMenu $valor
# Quito de pantalla la ventana del menu
189

}
wm withdraw $vent
Al final del ejemplo, se pueden ver los botones Aceptar y Cancelar, que aparecen
en todos los paneles de control. Al pulsar estos botones, se llama al procedimiento
botonPulsado, que tiene dos argumentos, el botón pulsado (1 para Aceptar y 0 para
Cancelar) y la ventana del panel de control en la que se ha pulsado el botón. (De
esta forma, se puede ocultar la ventana dentro del procedimiento botonPulsado).
En el procedimiento menuMarchingCubes, se puede ver la forma por la que conoce
cuándo se ha cerrado el menú y qué botón se ha pulsado. Se usa la variable global
resultadoMenu. Al mostrar el panel de control, se asigna a esta variable un valor
que no puede tener, 2, y a continuación se espera a que cambie de valor, algo que
sucede en el procedimiento botonPulsado. Según el valor devuelto (1 ó 0), se conoce
el botón pulsado y se actúa en consecuencia, como se ve en el fragmento de código
mostrado.
A.3.
vtkWaveletFilter
Esta clase realizar al compresión mediante la transformada wavelet. El nombre
elegido para esta clase es vtkWaveletFilter, bastante descriptivo de su funcionalidad.
En VTK hay varios filtros abstractos, a partir de los que se pueden derivar nuevos
filtros concretos. Según el filtro del que se derive, dependerán los objetos de entrada
y salida del filtro obtenido. Hay que llegar a un compromiso entre generalidad y
funcionalidad. Cuanto más generales se permitan los objetos de entrada y salida del
filtro, menos eficiente será. En el caso de este filtro, la transformada wavelet sólo se
puede realizar para estructuras de datos vtkStructuredPoints, por lo que usamos
este tipo de datos como entrada y salida del filtro. De esta forma, no perdemos en
generalidad, pues la transformada wavelet está adaptada sólo a este tipo de datos,
pero ganamos en funcionalidad, respecto a estructuras de datos más generales. En
la Fig. A.2 se muestra el diagrama OMT de herencia de esta clase.
Casi todas las clases de VTK se derivan a partir de la clase vtkObject, que define
algunos elementos, como los tiempos de modificación, o las opciones de debugging.
Las clases derivadas de vtkSource generan datos de salida, y deben tener como
funciones miembro de la clase Update() y Execute(). En vtkFilter se definen las
funciones miembro Update() y Execute(), que hacen que el filtro se ejecute si la
entrada o el filtro se ha modificado desde la última vez que se ejecutó, como se
describe en el apartado B.1.2.
Todas las clases derivadas de vtkStructuredPointsFilter, toman una estructura
de datos vtkStructuredPoints como entrada. En esta clase se definen los
190

vtkObject
vtkSource
vtkFilter
vtkStructuredPointsFilter
vtkStructuredPointsToStructuredPointsFilter
vtkWaveletFilter
Figura A.2: Diagrama OMT de herencia de la clase vtkWaveletFilter.
191

métodos SetInput(), para establecer la entrada del filtro; y GetInput(), que devuelve
la entrada asignada al filtro. También se define la variable de la clase Input,
que contiene una referencia al objeto de entrada al filtro.
Por último, las clases derivadas de vtkStructuredPointsToStructuredPoints-
Filter tienen también vtkStructuredPoints como datos de salida del filtro. Se
define la función miembro GetOutput(), y el objeto de salida Output.
Derivando nuestro filtro de esta forma, ahorramos parte del trabajo de creación
del mismo, pues hay funciones miembro que ya están implementadas, o al menos
definidas de forma abstracta (dejando la implementación concreta para las clases
derivadas).
Para implementar la clase, hay que realizar la definición de la clase, en el archivo
de cabecera vtkWaveletFilter.h, e implementar las funciones miembro en el
archivo vtkWaveletFilter.cxx.
A continuación se va a describir brevemente los elementos miembros de la clase,
definidos en ella:
Miembros protegidos: son los elementos de la clase a los que sólo se puede
acceder desde las funciones miembros de la clase y sus subclases derivadas.
• int WaveCompresion. Variable usada para establecer la relación de compresión,
de la forma N:1.
• int NumCoeficientes. Variable para calcular y guardar el número de
coeficientes wavelet que se cogen.
• float Error. Variable para calcular el error cuadrático medio de la compresión.
• int DimsReales[3]. Dimensiones del objeto de entrada.
• int Dims[3]. Dimensiones del objeto de entrada, una vez padeado para
que todas las dimensiones sean potencias de 2. La transformada wavelet
se hace sobre datos cuyas dimensiones sean potencias de 2.
• int Detalle[6]. Array usado para seleccionar la zona en la que se obtiene
el detalle sin compresión.
• int FlagYaHecho. Variable que vale 1 si el filtro se ha ejecutado alguna
vez, en cuyo caso ya no hay que hacer la transformada inversa, por tener
ya los coeficientes almacenados.
• int FlagDetalle. Variable que vale 1 si se ha de comprimir respetando
una zona de detalle, en la que no se realiza distorsión.
• vtkFloatScalars *WaveCoefs. Array de escalares en punto flotante usado
para almacenar los coeficientes obtenidos de la transformada wavelet
directa.
192

• vtkIntScalars *IndicesOrdenados. Array de escalares enteros usado
para almacenar los coeficientes wavelet ordenados. Sirve de índice para
acceder a los coeficientes ordenados.
• vtkBitScalars *Filtro. Array binario usado para realizar el mapeado
de la zona de detalle en el espacio, a la zona de detalle en el dominio de
la transformada wavelet. Se calcula en la función CalcularDetalle().
• void Execute(). Función principal de la clase, que se encarga de obtener
la salida del filtro, que es el resultado de la compresión mediante la
transformada wavelet del objeto de entrada. Además, sirve para obtener
el detalle, en caso de ser solicitado. Si ya se ha ejecutado alguna vez,
no hay que repetir la transformada directa, ni la ordenación de los coeficientes,
por ya estar almacenados en objetos miembros de la clase.
• void QuickSortStart(float *datos),
void QuickSortRecursive(float *datos,int prim,int ult),
int PartitionData(float *datos, int prim, int ult).
Funciones usadas para implementar el método de ordenación Quick Sort,
considerado como el método más rápido de ordenación de datos. Es importante
que sea rápido debido al gran número de datos. Sirven para
ordenar los coeficientes de significancia (ver apratado 5.4.)
• static void wfltr convolve (...),
static void wxfrm 1d varstep (...),
static void wxfrm nd nonstd (...),
void wxfrm fand (...).
Funciones usadas para realizar la transformada wavelet directa e inversa.
Estas funciones se han obtenido del UBC Imager Wavelet Package –
Release 3.0 beta, que se ha portado a C++, para hacerlas miembros de
la clase.
Se ha elegido como filtro para realizar la transformada wavelet, el de
Daubechies de 6 coeficientes. Sólo se han comparado los resultados
obtenidos con el de Haar, que evidentemente son mucho peores (el filtro de
Haar no es continuo, ni derivable). No se ha p‘tado por un filtro de muchos
coeficientes, debido al enorme número de datos, lo cual ralentizaría mucho
la ejecución. En un futuro, se podrá comparar con otros filtros.
• void Significancia(float *puntWavelet). Función que sirve para calcular
la significancia de los coeficientes wavelet.
Miembros públicos: son los elementos de la clase a los que se puede acceder
desde todas las funciones, pertenezcan o no a la clase.
• vtkSetMacro(WaveCompresion,int),
vtkGetMacro(WaveCompresion,int).
Macros de VTK para crear las funciones SetWaveCompresion(int) y
193

GetWaveCompresion(int). Estas funciones son las que permiten establecer
el valor de las variables protegidas de la clase. Así se tiene control total
sobre los miembros protegidos (o privados). Sirven para leer y asignar la
tasa de compresión.
• vtkGetMacro(NumCoeficientes,int). Macro para leer el número de coeficientes
empleados para obterner la aproximación.
• vtkGetMacro(Error,float). Macro para leer el valor del error cuadrático
medio obtenido.
• void CalcularDetalle(float borde[6]). Función que se utiliza para
calcular el mapeado del detalle seleccionado, en el dominio de la transformada
wavelet.
• vtkGetVectorMacro(Detalle, int, 6). Macro para leer el detalle actualmente
calculado.
• vtkSetMacro(FlagDetalle, int),
vtkGetMacro(FlagDetalle, int).
Macros para indicar o leer si se ha de calcular la compresión con detalle.
• vtkBooleanMacro(FlagDetalle, int). Este macro se convierte en las
funciones FlagDetalleOn() y FlagDetalleOff()
Algunas funciones interesantes de la clase (no mostradas anteriormente), son el
contructor de la clase, vtkWaveletFilter(), y el destructor, vtkWaveletFilter().
En estas dos funciones se inicializan las variables protegidas de la clase y se eliminan
los objetos de la clase, mediante la función Delete() de cada clase, respectivamente.
De todas funciones miembro de la clase, la más importante es Execute(), pues
es ésta la función en la que se realiza el algoritmo de compresión. Otras funciones
muy interesante son CalcularDetalle(...), en la que se calculan los coeficientes
wavelet correspondientes a la zona de detalle seleccionada, y Significancia(...),
en la que se calcula la significancia de los coeficientes de la transformada wavelet.
En el apéndice C se muestra el código de esta clase, suficientemente comentado
para entender su funcionamiento. Sin embargo voy a comentar brevemente las
operaciones realizadas en estas dos funciones.
A.3.1.
Función vtkWaveletFilter::Execute()
Esta función, en general siempre tiene la misma estructura, formada por cinco
pasos:
1. Declaración de variables. Se declaran las variables locales de la clase,
incluyendo los objetos VTK necesarios, punteros y referencias. Se declaran
194

e inicializan, además punteros a los objetos de entrada (Input) y de salida
(Output). Estas variables son del tipo general de estructura de datos
vtkDataSet, por lo que se tiene que hacer el casting a objetos del tipo del
filtro (vtkStructuredPoints). Además se obtienen los puntos de estos objetos,
y de los puntos se obtienen los valores escalares que forman el objeto. Esto
se realiza con las siguientes líneas:
// Estos son punteros, por lo que no hay que borrarlos
vtkStructuredPoints *input=(vtkStructuredPoints *)this->Input;
vtkPointData *pd = input->GetPointData();
vtkScalars *escalares = (vtkScalars *)pd->GetScalars();
vtkStructuredPoints *output=(vtkStructuredPoints *)this->Output;
vtkPointData *outPd = output->GetPointData();
de esta forma se pueden leer ya los datos de entrada, sus dimensiones, . . . Los
escalares de salida no se leen aquí, pues se crean en esta clase y se asignan al
final de la función al objeto de salida de la clase, como veremos más adelante.
Se crean dos objetos de escalares, usados respectivamente para almacenar los
datos padeados (con cero) para que sean potencia de dos en cada dimensión,
y para almacenar los datos de salida, resultado del filtro:
vtkFloatScalars *escalaresPadeados;
vtkUnsignedShortScalars *outEscalares;
2. Inicialización. Me aseguro de la validez y consistencia de los datos de entrada.
Se puede incluir información de debugging para proporcionar información al
usuario sobre la entrada al filtro y otras características importantes.
Leemos las caracterísitcas de los datos de entrada (dimensiones, espaciado y
origen), y se calculan las dimensiones padeadas, que deben ser potencia de 2
(Dims[3]) y las dimensiones en orden inverso, nA, con el índice de variación
más rápida al final (como lo requiere la función wxfrm fand(), que realiza la
transformada wavelet). También se calcula el número total de elementos del
objeto de entrada, así como de los datos padeados.
3. Reserva de Memoria. Se reserva memoria para todos los objetos miembros
de la clase, pero en este caso, solamente la primera vez que se ejecuta esta
función. Por ello, se ha de comprobar antes de asignarlos memoria, si tienen
un valor distinto de NULL. Estos objetos se eliminan en el destructor de la clase,
comprobando también si se ha reservado memoria para ellos (puede que no se
haya ejecutado nunca el filtro, con lo cual los objetos de la clase no tienen
memoria reservada). Un ejemplo de esta reserva de memoria es el siguiente:
195

if (! this->WaveCoefs)
{
this->WaveCoefs = vtkFloatScalars::New();
this->WaveCoefs->Allocate(tamDensidadPad);
this->WaveCoefs->SetNumberOfScalars(tamDensidadPad);
}
También se ha de reservar memoria para los objetos creados localmente en
esta función, escalaresPadeados y outEscalares.
4. Cuerpo de la función. Se realiza el algoritmo de compresión.
Lo primero que se debe hacer es obtener los datos padeados (si es necesario) con
tamaños en cada dimensión, que seab potencia de dos. Esto se hace recorriendo
todas las dimensiones del array de datos y asignando el valor correspondiente
al array de datos padeados (el del original, o cero, según el caso). Aunque
tengamos datos tridimensionales, los arrays que tenemos son unidimensionales.
Por ello, se deben anidar tres bucles que recorren las coordenadas implícitas
en cada dimensión (i, j, k) y calculan el elemento que corresponde en cada uno
de los dos arrays (padeado y sin padear). Esto se debe hacer sólo en el caso de
que sea la primera vez que se ejecute el filtro.
A continuación, sólo si es la primera vez que se ejecuta el fitro, se realiza la
transformada wavelet directa de los datos padeados, se calcula la significancia
de los coeficientes wavelet obtenidos y se ordenan los coeficientes de significancia.
Tanto los coeficientes wavelet, como el array con los índices de los
coeficientes de significancia ordenados son miembros de la clase, por lo que
sólo hay que calcularlos una vez (si no cambia el objeto de entrada al filtro).
El siguiente paso que se realiza es el bucle de ditorsión, que pone parte de los
coeficientes wavelet a cero, y de esta forma comprimir los datos. Para ello, lo
primero que se debe hacer es calcular el número de coeficientes que se cogen,
según el valor de la variable miembro WaveCompresion introducido por el
usuario. A continuación, los coeficientes mayores se respetan, no poniéndolos
a cero. Para el resto, se ponen a cero en el caso de no haber seleccionado
la obtención de detalle. Si FlagDetalle está activado, entonces, en vez de
ponerlos a cero directamente, se multiplican por la matriz filtro, que contiene
unos en los coeficientes wavelet correspondientes a la zona de detalle, y ceros en
el resto. Se puede decir que éste es el compresor del algoritmo de compresión.
El siguiente paso es obtener la transformada wavelet inversa de los coficientes
wavelet distorsionados de la forma que se ha explicado en el párrafo anterior.
Este paso es el descompresor del algoritmo de compresión.
Lo que tenemos ahora son los datos reconstruidos, pero aún están padeados.
Por ello, el siguiente paso consiste en realizar el despadeo. Esto se hace de una
forma muy similar a como se hizo el padeo; pero en este caso, leyendo de los
196

datos padeados y escribiendo en los despadeados. Además, los datos de salida
se limitan a unsignet short (entre 0 y 65535), pues los datos de entrada del
filtro también lo eran. Ahora ya tenemos los datos resultantes del filtro en el
objeto de escalares de salida, outEscalares.
El último paso es obtener el error cuadrático medio entre los escalares de
entrada, escalares, y los de salida, outEscalares.
5. Salida. Se asigna al objeto de salida del filtro, el objeto de escalares outEscalares.
Para ello se copia a la salida la estructura de los datos de entrada
(pero no los datos), y se asignan los datos, como se muestra a continuación:
outPd->CopyScalarsOff();
outPd->PassData(pd);
outPd->SetScalars(outEscalares);
También se han de borrar los objetos creados localmente, para los que se
ha reservado memoria, mediante sus funciones miembro Delete(). Aunque
se sigue usando en el objeto de salida, también se debe borrar el objeto
outEscalares. La razón de esto es que en VTK, algunos clases de datos se
derivan de la clase abstracta vtkReferenceCount. Los objetos con “cuenta de
referencias”, llevan la cuenta del número de objetos que los hacen referencia.
Este valor se incrementa en una unidad, cuando un nuevo objeto lo referencia,
y se decrementa cuando un objeto lo borra (si llega la cuenta a cero, se elimina
realmente).
A.3.2.
Función vtkWaveletFilter::CalcularDetalle(...)
Esta función miembro se usa para calcular una matriz que transforma una zona
prismática en el volumen original (el detalle seleccionado), a los coeficientes wavelet
correspondientes. Por tanto, se encarga de hacer el mapeado del dominio espacial al
dominio transformado.
Las propiedades de localidad de la transformada wavelet, expresadas mediante
las Ecs. (5.3), (5.5) y (5.6), nos inidican que los coeficientes correspondientes a una
zona espacial de la transformada wavelet, tienen también una relación espacial en el
dominio transformado. La razón de esto es porque la respuesta de los filtros usados
para realizar la transformada wavelet tienen una respuesta exponencial decreciente,
como ya se dijo entonces..
Seleccionar los coeficientes wavelet correspondientes a una zona espacial en una
dimensión, es bastante sencillo, pues a cada nivel de resolución, sólo tenemos un
detalle (y una aproximación a baja resolución, que se descompone recursivamente);
sin embargo, en 2D, tenemos 3 detalles y una aproximación a baja resolución, y en
197

3D, tenemos 7 detalles y una aproximación a baja resolución, lo cual complica las
cosas.
En todos los artículos leídos, habla sobre las propiedades de localidad, e incluso
las usa para obtener una zona con más detalle [9]; pero sin embargo, no muestra
el algoritmo para realizar el mapeado. Sin embargo, si se empieza por realizar el
algoritmo en 1D, luego se pasa a 2D, y finalmente en 3D, no es complicado conseguir
un algoritmo bastante compacto.
Además, hay que señalar que las funciones usadas para realizar la trasformada
wavelet, llegan hasta la transformada wavelet de dos elementos, lo cual complica
un poco este algoritmo, debido a que el número de niveles de aproximación en
cada dimensión puede variar, si los datos no tienen el mismo tamaño en todas las
dimensiones.
Al algoritmo diseñado obtiene, recursivamente el borde de la zona seleccionada
(que son los seis valores de entrada a la función), en cada uno de los siete detalles
de cada nivel de resolución. La función calcula el array Filtro, que contiene unos
en los coeficientes correspondientes a la zona deseada y ceros en el resto. Una vez
obtenidos los 6 valores del borde en cada detalle, es fácil rellenar su interior con unos,
mediante tres bucles anidados que recorren las tres dimensiones (i, j, k). El array
Filtro es unidimensional, pero representa a una matriz tridimensional (siempre se
hace así), por eso hay que calcular el índice del elemento que corresponde a un valor
en coordenadas implícitas (i, j, k).
La forma de obtener los 7 detalles de cada nivel de resolución, es mediante un
array binario de 21 elementos, seleccion[21]. Este array contiene tres elementos
(correspondientes a (i, j, k)) por cada uno de los 7 detalles. Cada elemento de este
array vale uno o cero, dependiendo de si la coordenada y el detalle correspondientes
a ese coeficiente es el más alejado del origen, o el más cercano. De esta forma,
simplemente mediante un bucle for que recorre cada triada de elementos de este
array, podemos obtener los coeficientes correspondientes a la zona seleccionada en
el nivel de detalle correspondiente.
Para seleccionar el nivel de resolución, se utiliza un bucle while, que se ejecuta
mientras en alguna dimensión se siga haciendo la transformada wavelet (el número
de elementos sea mayor o igual a 2). Como el volumen no tiene por qué tener el
mismo tamaño en todas las dimensiones, hay que comprobar en cada paso del bucle,
si en alguna dimensión, se ha llegado al mínimo, en cuyo caso, ya no se sigue iterando
en esa dimensión, y tampoco se seleccionan los niveles de detalle correspondientes
a la misma (la transformada wavelet, cuando se llega al mínimo en una de las tres
dimensiones, ya no es 3D, sino 2D ó 1D, con lo cual ya no tenemos 7 detalles en cada
nivel de resolución, sino sólo 3, en 2D, ó 1, en 1D). Cuando se llega al mínimo en
alguna dimensión, se activa un flag, que indica que ya no debemos coger los detalles
de esa dimensión. Esto se consigue mediante tres sentencias if de comprobación
(una para cada dimensión), que evalúan el flag y el elemento correspondientes del
198

array seleccion (si es cero, sí se debe coger aunque esté activado el flag; no se
deben coger los detalles más alejados del origen (uno), ya que en esa dimensión ya
no existen). Esto es lo más complicado de este algoritmo, y a la vez, lo más difícil de
explicar. Sin embargo es la forma más sencilla que se ha encontrado para hacerlo.
Por último, sólo queda obtener los seis coeficientes que representan el borde de
la zona seleccionada, en cada uno de los detalles de cada nivel de resolución. Su
obtención es bastante sencilla, teniendo en cuenta que en cada nivel de detalle, el
tamaño de cada zona se divide por dos. Así, por ejemplo, para obtener la coordenada
i superior de la zona selecionada, en cada uno de los datalles de cada nivel de
aproximación, se usa la siguiente sentencia:
donde
i1=(int) (float) (I * seleccion[3 * numDetalle] + factores[0]);
factores[0] = (float) this->Detalle[0]/this->Dims[0];
numDetalle es el detalle actual de los 7 detalles de cada nivel de aproximación;
seleccion[3 * numDetalle] es el primer elemento de la triada correspondiente al
detalle actual, Detalle[0] y Dims[0], son las variables miembro que representan
a la coordenada i superior, de la zona seleccionada y el tamaño en la dimensión i,
respectivamente.
Al final del bucle, se debe seleccionar también el elemento (0, 0, 0), que corresponde
a la aproximación a baja resolución del nivel de mínimo.
En la Fig. A.3 se muestra el resultado obtenido de trasnformar una zona en el
espacio al dominio transformado en 2D. No se muestra en 3D, debido a su mayor
dificultad de representación y compresión. Se puede observar que el tamaño de los
datos es (32 × 16), por lo que se hace un nivel más de transformación en horizontal
que en vertical.
Por la forma de estar realizado el algoritmo, se puede extrapolar fácilmente a un
mayor número de dimensiones. Ese ha sido también uno de los objetivos al realizarlo,
ya que como he dicho, se empezó realizándolo para 1D, luego 2D, y finalmente 3D.
Para entender mejor el algoritmo, lo mejor es ver el código que se muestra en el
apéndice C, que se encuentra suficientemente comentado.
A.3.3.
Función vtkWaveletFilter::Significancia(...)
Esta función se encarga de obtener la significancia correspondiente a cada coeficiente
de la transformada wavelet, según el nivel de resolución a que se encuentra.
La significancia se define como se muestra en la Ec. 5.31. Este algoritmo tampoco
ha sido encontrado en ninguna referencia.
199

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Figura A.3: Mapeado de una zona de detalle en el espacio a los coeficientes de la
transformada wavelet (2D).
200

La función tiene como entrada al array con los coeficientes wavelet, después de
realizar la distorsión para el nivel de comrpresión seleccionado. Se trasnforma este
array, multiplicando cada coeficiente por el factor correspondiente. De esta forma
se da más importancia a los niveles de resolución más bajos, frente a los más altos,
que representan el detalle, y tienen menos importancia.
Para realizar este algoritmo, obtengo tres array. La longitud de cada uno de ellos
es el tamaño de los datos volumétricos (padeados, como todo lo que está en el
dominio transformado), en la dimensión correspondiente. Para cada uno de ellos, se
obtiene el factor por el que hay que multiplicar cada coeficiente para una transformada
multirresolución de un vector de datos 1D de ese tamaño. Este factor es 1
para el detalle de mayor resolución (la última mitad del vector), 8 para el siguiente,
64, etc.
Para pasar a 3D, simplemente se coge para un coeficiente (i, j, k) el menor de los
tres factores. Multiplicando el valor obtenido por el coeficiente wavelet correspondiente,
obtenemos su significancia.
Al igual que en el caso de la función anterior, el algoritmo se complica por el
hecho de que no tenemos el mismo número de niveles de resoluciones en todas las
dimensiones. Por ello, no se debe seguir iterando en cada dimensión, cuando se llega
la mínimo detalle. Sin embargo, aún queda el problema del valor del elemento 0
de cada uno de los tres arrays (aproximación a baja resolución del nivel de detalle
mínimo), que debe ser el del nivel inferior en cualquiera de las tres dimensiones, es
decir, el mayor factor, y no el menor como en el resto de casos. Para solucionar esto,
se mantienen un puntero, cuyo valor en cada momento es el del puntero al primer
elemento del array que se ha modificado en último lugar. De esta forma, al finalizar
el algoritmo, se asigna al elemento 0 de cada array, el valor del elemento 1 del array
al que apunta el puntero (el de mayor longitud).
Este algoritmo, al igual que el anterior, se puede fácilmente extrapolar a un
número cualquiera de dimensiones.
En la Fig. A.4, se puede ver el factor de significancia del ejemplo de la Fig. A.3.
Se puede observar la forma de utilizar el puntero para asignar el elemento 0 de cada
array.
A.4.
vtkFloodFillFilter
Esta clase se encarga de rellenar el interior de una superficie, respetando las cavidades
interiores. Recibe como entrada un objeto vtkStructuredPoints, que contiene
unos en los puntos por los que pasa la isosuperficie y ceros en el resto. La salida
es también un objeto del tipo vtkStructuresPoints, en el que el volumen interior a
la superficie se ha rellenado. El objeto de entrada, se obtiene a partir de la isosuperficie,
que es una malla triangular, mediante un filtro de la clase vtkVoxelModeller,
201

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
4096
512
64 512 64
64
8 1
8 8
1
1
512
4096
Horizontal
512
64
8
1
Vertical
64
8
1
4096
512
Figura A.4: Factor de significancia de los coeficientes de la transformada wavelet
(2D).
202

que convierte esta malla a un objeto de la clase vtkStructuredPoints. Esto no se
realiza en esta clase, sino en el script Tcl.
Además se deben respetar las posibles cavidades interiores que tenga el volumen,
no rellenándolas. En principio, esto es una tarea bastante complicada, pues un objeto
natural obtenido, por ejemplo de una tomografía, puede tener estructuras muy
complejas, llenas de cavidades.
La derivación de esta clase, como su entrada y salida es del mismo tipo que
para la calse vtkWaveletFilter, es la misma que se hizo para esa clase. No se va a
describir detalles del código, más sencillo que el de la otra clase, pues la mayor parte
de ellos ya han quedado descritos en la clase vtkWaveletFilter. Simplemente se
explica el algoritmo.
En [16] se describe un método de rellenar el interior de una superficie representada
como voxels, llamado Flood Filling, o relleno por inmersión. Su nombre se debe
a que el resultado obtenido es equivalente a meter el objeto en un recipiente con
agua, con lo que todo el entorno del objeto se llena de agua, pero su interior y su
superficie, no. A continuación, se obtiene el complementario, y ya tenemos el objeto
rellenado. El problema de este método es que las cavidades internas del objeto no
se rellenan de agua, con lo cual no se detectan.
El algoritmo de flood filling “tradicional” 1 , se representa en el diagrama de flujo
de la Fig. A.5.
Es un algoritmo recursivo. Cada “rodaja” del objeto se rellena por separado,
para que la pila usadam, no se haga demasiado grande. Lo primero que tenemos que
hacer es asegurarnos de que el objeto no toque el borde exterior, pues si ocurriera
esto, el algoritmo no podría rellenar todo el exterior del objeto. Esto se consigue con
padeo de ceros alrededor de la estructura.
Se empieza en una esquina del plano a rellenar (por ejemplo la inferior izquierda
(0,0)). Se intenta rellenar el punto situado al norte de ese punto, si es posible. Es
posible rellenar un punto cuando aún no está lleno, está dentro del espacio considerado
(no se sale de los bordes), y no es un punto frontera del objeto (los puntos
frontera, por donde pasa la isosuperficie, valen 1). Al rellenar un punto, se le da un
valor distinto de 0 (no pertenece a la frontera) y de 1 (pertenece a la frontera). Por
ejemplo se le da el valor 3 (esto es totalmente convencional).
Si un punto se rellena, es el nuevo punto de partida, empujando al antiguo punto
a la parte superior de la pila (creada para almacenar los puntos). Si el punto al norte
del punto de partida, está fuera del espacio, es fronterizo, o ya está relleno, entonces
se mira al punto situado al oeste. Si ninguno de los dos se puede rellenar, se intenta
con el este, y si no es posible, se mira al punto situado al sur, rellenándolo si es
posible. Si ninguno de los puntos que lo rodean se puede rellenar, entonces el punto
anterior en la pila se convierte en el nuevo punto de partida.
1 Llamo tradicional al método explicado en [16], que no tiene en cuenta las cavidades internas.
203

Cuando se vacía la pila y no hay dirección libre para rellenar, el plano está relleno.
Una vez que el objeto está completamente rodeado de puntos rellenos, se obtiene el
complementario, poniendo todos los 3’s (en el caso de elegir este valor como relleno)
a 0 y el resto a 1. De esta forma, tenemos ya el volumen interior a la superficie
relleno.
Como se puede comprender fácilmente, este método no encuentra las cavidades
internas. Estas cavidades aparecen, por ejemplo, para el caso de obtener la isosupercie
correspondiente al hueso, en la que todo el interior de la cabeza es hueco.
Si se obtiene la isosuperficie correspondiente a la piel, no aparecen cavidades. Para
conseguir mi objetivo, se he diseñado un algoritmo, al que hemos llamado Flood
Filling generalizado, que encuentra las cavidades internas mediante los siguientes
pasos:
1. Realizo el flood filling del exterior del objeto, según el método tradicional,
rellenando el exterior de 3’s. Aún no obtengo el complementario.
2. Los valores que se pueden encontrar en los puntos de la rodaja son: 3, si el
punto es exterior al objeto; 1, si el punto está en la frontera del objeto; y 0,
si el punto está dentro del objeto. Entre los puntos que valen 0, algunos son
del interior del objeto, y otros de cavidades que no corresponden al objeto. Se
deben distinguir estos dos casos.
Lo que se hace es ir recorriendo cada línea de la rodaja, como se muestra en
la Fig. A.6, en la que aparece el recorrido de dos líneas significativas de una
rodaja con dos cavidades.
Si en el recorrido de una línea, antes de la frontera de 1’s que precede a los
0’s, hay 3’s, estamos dentro del objeto. Estos puntos interiores al objeto se
rellenan con 2’s, mediantre el método flood fill tradicional (que no se sale de
la cavidad). Si antes de la frontera que precede a los 0’s hay 2’s, estamos ante
una cavidad, que relleno con 3’s (mediante el método flood fill tradicional),
pues estamos fuera del objeto.
Como se puede ver en la Fig. A.6, el estado se sigue con un flag, que cambia
cuando el valor leído en la línea es distinto del anterior. En el apéndice C, se
muestra el código, en el que aparece comentado el flujo de estados.
3. Finalmente, sólo queda poner a 0 todos los valores de la rodaja que valgan 3, y
a 1 los que valgan menos de 3, obteniendo de esta forma el resultado deseado.
Este método funciona en general, sólo fallando en un caso patológico. Este caso
ocurre cuando al leer una línea nos encontramos con dos cavidades que no han sido
rellenadas anteriormente, separadas por una frontera continua, como se puede ver
en la Fig. A.7. En ella se muestra un caso en el que falla, y otro en el que no, por
no estar las fronteras unidas en la línea que rellena las cavidades. Si alguna de las
204

Empieza en
una esquina
Miro al norte
Lleno
Miro al oeste
Lleno
Miro al este
Meto el antiguo punto
a la pila (push).
Relleno el nuevo punto
y lo uso como nuevo
punto de partida
Lleno
Miro al sur
Lleno
Vacia
Pila
No vacia
Fin
Ir al punto superior
de la pila (top).
Figura A.5: Algoritmo del método Flood Filling “tradicional”.
205

3 flag=0
flag=1
relleno con 2
333333333333333111000000000000000000001333333333333
0
0
0
Orden de lectura
flag=2
flag=3 flag=0
333333333333333111222222222222222222221333333333333
3
flag=0
flag=2 flag=3
2
333333333333312222210011222210001122222211333333333
0 0
relleno con 3
flag=0
flag=1 flag=2 flag=3
333333333333312222213311222210001122222211333333333
relleno con 3
flag=0 flag=1
flag=2
flag=3
flag=0
3
333333333333312222213311222213331122222211333333333
2
3 3
0
1
0 0
Figura A.6: Representación del algoritmo de Flood Filling generalizado, para encontrar
cavidades.
206

(a) No funciona el Flood Fill mejorado
(b) Si funciona el Flood Fill mejorado
Figura A.7: (a) Caso patológico en el que no funciona el algoritmo Flood Filling
generalizado. (b) Caso muy similar en el que sí funciona.
cavidades empieza en una línea rellenada con anterioridad, no hay problema. Para
disminuir la ocurrencia de este caso patológico, ejecutamos la parte del algoritmo
que lee cada línea para todas las líneas de la rodaja. Esto ralentiza su ejecución
(podríamos hacerlo cada varias líneas si no hay cavidades muy pequeñas), pero
mejora considerablemente su funcionamiento. Pese a ello, hay casos en los que sigue
fallando. En el apartado A.5, explicaré cómo se puede evitar la incidentcia de estos
“fallos” 2 .
Se puede comprobar que el algoritmo funciona incluso cuando tenemos varias
cavidades anidadas unas dentro de otras, o pequeños objetos dentro de las cavidades.
Sin embargo no funciona, evidentemente, cuando la isosuperficie en una rodaja no
es continua (está partida), algo que ocurre cuando se realiza diezmado a tasas muy
grandes de compresión. En ese caso es imposible evaluar el error en volumen.
2 Por la experiencia que he tenido, para el caso del cráneo estudiado, este método falla en menos
del 2-3 % de los casos. Para el caso de la piel, no falla, pues no hay cavidades
207

A.5.
ErrorVol.cxx
Para calcular el error en volumen, como es una operación que requiere tratar
enormes cantidades de datos, (ficheros de nu tamaño en torno a 13 MBytes para
una malla rectangular de dimensiones 256 × 256 × 93). Por ello, se ha optado, como
ya se ha dicho en alguna ocasión, por crear un programa en C++ para VTK, en vez
de hacerlo mediante Tcl (sería demasiado lento), o en una clase (es más apropiado
crear un ejecutable, pues no hay ninguna clase apropiada en VTK para derivar este
tipo de objeto).
Este ejecutable recibe como entrada, los nombres de dos archivos, que contienen
la malla vtkStructuredPoints que ha resultado de aplicar el filtro vtkFloodFill-
Filter al objeto sin comprimir y comprimido.
El código es bastante claro y está suficientemente comentado, por lo que después
de explicar todo lo anterior, no voy a comentarlo aquí. Simplemente voy a explicar
la forma en que se evitan los casos en los que falla el algoritmo (como se dijo, en el
peor caso, en un 2-3 % de los casos).
Después de comprobar que los dos ficheros de entrada son coherentes (tienen las
mismas dimensiones y formato correcto), lo primero que se hace es calcular el error
relativo que hay en cada rodaja de la malla rectangular.
La clave es realizar un filtrado de mediana sobre estos errores relativos; para
ello se obtiene la mediana de los mismos, eliminando aquellos que sean mayores que
una cierta constante, multiplicada por la mediana. Por último, se calcula el error
absoluto medio por rodaja a partir de los errores absolutos de todas las rodajas
que no se han eliminado.
Para calcular el error, no hace falta considerar todas las rodajas; por ello no pasa
nada si se elimina un pequeño porcentaje de las mismas. Además, se ha visto que
los errores relativos de todas las rodajas tienen una distribución aproximadamente
guassiana con una varianza pequeña, salvo unos pocos, que se encuentran bastante
desviados de la mediana. A partir de estos experimentos, se ha comprobado que
el filtro elimina casi todos los errores si se elige un valor para la constante que
multiplica a la mediana de 1.5.
Para hacer estos experimentos, se ha observado gráficamente el funcionamiento
del filtro vtkFloodFillFilter para cada una de las rodajas de la cabeza. Aplicando
este valor de la constante, el filtro de mediana elimina prácticamente todos los errores
importantes (hay algún pequeño error que no elimina, pero como el valor obtenido
está muy cerca de la mediana, no tiene importancia). Este filtrado también elimina
los errores que se producen si en alguna rodaja la frontera del objeto aparece cortada,
rellenándose su interior.
208

A.6.
ErrorRender.cxx
De la misma forma que en el caso anterior, para calcular el error en la imagen
renderizada, se ha creado un ejecutable, en el que se calcula el error cuadrático
medio entre dos archivos, que contienen las imágenes. El programa recibe como
argumento el nombre de estos dos archivos. Además, opcionalmente, puede tener un
tercer argumento, con el nombre del fichero en el que se quiere guardar la imagen
diferencia entre las dos.
Las imágenes gráficas deben estar en formato PPM (Pixmap), que es el formato
en que VTK guarda las renderizaciones. Los ficheros se leen como imagen, mediante
objetos de la clase vtkPNMReader y posteriormente se convierten a vtkStructuredPoints.
Esto no es necesario, pero lo he hecho porque estoy más acostumbrado, en VTK, a
tratar con estructuras geométricas que con imágenes.
El error que se calcula es el error cuadrático medio entre la intensidad de
las dos imágenes.
209

210

Apéndice B
VTK y TCL
En este apéndice se describe, brevemente, algunos detalles sobre la implementación
del sistema VTK, enumerando las principales clases de VTK. No se han mostrado
las clases que realizan el procesado de los datos (objetos de proceso). La razón de
esto es que hay muchísimas y son muy variadas, por lo que es imposible describirlas
todas, y absurdo elegir unas cuantas. También se describe la interacción entre VTK
y el lenguaje interpretado Tcl/Tk, y se muestra algún ejemplo para ver algunas de
las características de Tcl/Tk. Abarcar todo lo que describe este apéndice es imposible
aquí, por ello, para obtener más información, se recomienda consultar [12] y
[15].
B.1.
VTK
VTK Visualization Toolkit 2.0[12] es un avanzado sistema de creación y
visualización de datos volumétricos, así como de tratamiento de imagen. Permite
tratar y visualizar todo tipo de datos volumétricos; desde datos meteorológiocs,
pasando por resonancias magnéticas, tomografías computerizadas y ultrasonidos,
hasta datos financieros y matemáticos.
Una de las principales ventajas del sistema es la posibilidad de aumentar la funcionalidad
del mismo y crear nuevos algoritmos. Para ello se aprovecha la principal
característica de VTK, su diseño orientado a objeto. Se puede crear, por ejemplo,
una nueva clase que implemente un filtro, derivándola de alguna de las clases abstractas
que ofrece el sistema. La forma de hacer esto se ha explicado con ejemplos
concretos de clases creadas para la aplicación realizada (apéndice A).
VTK está programado en C++ y posee un gran número de clases (más de 500).
Se aprovecha el diseño orientado a objetos para realizar tareas complejas, de una
forma sencilla y muy modular.
A continuación, se describe de forma básica el sistema; para mayor información
211

sobre el mismo, se puede consultar [12] o la información que se encuentra en cada
clase de las librerías que forman el sistma VTK.
B.1.1.
Renderizacion
El Modelo Gráfico
En este apartado se describen, brevemente, los objetos gráficos implementados
en VTK y la forma de usarlos. En el capítulo 3 se explicaron todos los elementos
que intervienen en la renderización de una escena. Ahora se enumeran los objetos
usados en VTK para implementar estos elementos.
En VTK hay siete objetos básicos usados para renderizar una escena. Hay muchos
más objetos, pero estos siete son los más frecuentes.
1. vtkRenderWindow: sirve para gestionar una ventana en la pantalla; en una
instancia de vtkRenderWindow pueden dibujar varios renderizadores.
2. vtkRenderer: coordina el proceso de renderización, en el que hay luces, cámaras
y actores.
3. vtkLight: fuente de luz para iluminar la escena.
4. vtkCamera: define el punto de vista, el punto focal y otras propiedades de la
visualización de la escena.
5. vtkActor: representa un objeto renderizado en la escena. Sus propiedades y
posición están dados en coordenadas del mundo real.
6. vtkProperty: define las propiedades de apariencia de un actor, incluyendo su
color, transparencia, y propiedades de iluminación, como la iluminación difusa
y especular. También tiene propiedades para el modo de representación, como
superificie sólida o malla.
7. vtkMapper: es la representación geométrica de un actor. Más de un actor se
pueden referir a el mismo mapeador.
La clase vtkRenderWindow junta todo el proceso de renderización. Es la responsable
de gestionar una ventana en la pantalla. Para PCs con Windows ’95 o NT,
será una ventana de Microsoft, y para los sistemas UNIX será una ventana X. En
VTK, las instancias de la clase vtkRenderWindow son independientes del hardware.
Esto significa que al programar, no hay que tener en cuenta el hardware gráfico o
el software que se está usando. El software de VTK automáticamente se adapta al
ordenador en el que se ejecuta, cuando se crean instancias de esta clase, como se
describirá después.
212

Además de la gestión de la ventana, los objetos de la clase vtkRenderWindow se
usan para gestionar los renderizadores y almacenar las características específicas de
los gráficos, como el tamaño, posición, título de la ventana, profundidad de la misma,
etc. La profundidad de la ventana indica cuantos bits se usan para representar cada
pixel.
La clase vtkRender es la responsable de coordinar las luces, cámaras y actores
para producir una imagen. Cada instancia de la clase mantiene una lista de actores,
luces, y una cámara activa en una escena. Al menos se debe definir un actor, pero si
no se definen cámara y luces, el renderizador las crea automáticamente. Además, las
instancias de esta clase, proporcionan también métodos para especificar los colores de
iluminación de fondo y ambiente. También hay funciones en esta clase para convertir
entre los sistemas de coordenadas del mundo, de vista y de la pantalla.
Un aspecto importante de un renderizador es que debe estar asociado con una
instancia de la clase vtkRenderWindow en la que dibujar, y el área de la ventana
de renderización en la que dibuja, se debe definir mediante un puerto de vista
rectangular. El puerto de vista se define en coordenadas normalizadas (0, 1), en
los ejes de coordenadas de la imagen x e y. Por defecto, si no se especifica nada, el
renderizador dibuja en toda la extensión de la ventana de renderización (coordenadas
del puerto de vista (0, 0, 1, 1)). Se puede especificar un puerto de vista más pequeño,
y tener más de un renderizador dibujando en la misma ventana de renderización.
Las instancias de la clase vtkLight, iluminan la escena. Se han definido múltiples
variables en esta clase, para orientar y posicionar la luz. También es posible encender
y apagar la luz y asignarle un color. Normalmente, al menos una luz está encendida,
para iluminar la escena. Si no hay luces definidas y encendidas, el renderizador crea
una automáticamente. Las luces en VTK pueden ser, tanto posicionales, como
infinitas. Las luces posicionales tienen asociado un ángulo sólido y unos factores de
iluminación. Las luces infinitas proyectan la luz con rayos paralelos entre sí.
Las cámaras se construyen mediante la clase vtkCamera. Sus parámetros más
importantes son: la posición de la cámara, el punto focal, la localización de los
planos de corte delantero y trasero, el vector de vista superior, y el campo de vista.
Las cámaras tienen funciones especiales para facilitar su manipulación. Entre ellas
se incluyen la de elevación, azimuth, zoom, y giro. De forma similar a vtkLight, si
no hay definida ninguna instancia de la clase vtkCamera, el renderizador crea una
automáticamente.
Las instancias de la clase vtkActor representan objetos en la escena. En particular,
vtkActor combina propiedades de los objetos (color, propiedades de sombreado,
etc.), definición geométrica del objeto, y orientación en el sistema de coordenadas del
mundo. Esto se implementa manteniendo variables en la instancia, que referencian
a instancias de las clases vtkProperty, vtkMapper, y vtkTransform. Normalmente
no hay que crear estas propiedades y transformaciones de forma explícita, ya que se
crean automáticamente, y se modifican mediante las funciones de la clase vtkActor.
213

Sin embargo, sí es necesario crear una instancia de la clase vtkMapper (o una de sus
subclases). El mapeador une el pipeline (flujo de datos) de visualización al dispositivo
gráfico.
Hay otras clases de actores con un comportamiento específico, implementados
como subclases de vtkActor. Por ejemplo vtkFollower, cuyas instancias siempre
siguen a la cámara activa. Esto es útil cuando se diseñan textos que deben ser legibles
desde cualquier posición de la cámara en la escena.
Otro ejemplo, usado para la realización de la aplicación, es vtkLODActor. Este
actor soporta varios niveles de detalle. Esto quiere decir que cuando se muestra en
pantalla, en lugar de la imagen renderizada, muestra una nube de puntos. Si se
deja la imagen fija durante unos instantes, el renderizador muestra el actor. De esta
forma, se consigue mejor interactividad con la escena, pues el movimiento del punto
de vista se puede hacer de forma más rápida y suave.
Las instancias de la clase vtkProperty, afectan al aspecto de un actor renderizado.
Cuando se crean los actores, se crea automáticamente una instancia para sus
propiedades. También es posible crear objetos de propiedades y después asociarlos
con uno o más actores. De esta forma, los actores pueden compartir propiedades
comunes.
Finalmente, vtkMapper, (y sus subclases) definen la geometría del objeto, y
opcionalmente, los colores de los vértices. vtkMapper se relaciona con una tabla de
colores (vtkLookupTable), para establecer los colores que se usan para los vértices
de la geometría.
Además, hay otro objeto importante, vtkRenderWindowInteractor, que captura
eventos para un renderizador en la ventana de renderización. Esta clase captura estos
eventos y a continuación realiza operaciones como rotación, dolly y acercamiento o
alejamiento de la cámara, etc. Las instancas de esta clase se asocian con la ventana
de renderización mediante el método SetRenderWindow().
Consiguiendo Independencia del Dispositivo
Una propiedad deseable de las aplicaciones creadas con VTK es la independencia
del dispositivo. Esto significa que el código que funciona en un sistema operativo, con
una configuración dada de software/hardware, funciona sin cambios en un sistema
operativo diferente, con una configuración de software/hardware distinta. La ventaja
de esto, es que el programador no tiene que gastar tiempo portando una aplicación
entre diferentes sistemas. Además, las aplicaciones existentes no necesitan ser reescritas
para aprovechar las características de las nuevas tecnologías de hardware
o software. En su lugar, VTK maneja esto de forma tansparente, mediante una
combinación de herencia y una técnica llamada fábricas de objetos.
En la Fig. B.1 se muestra el uso de la herencia, para conseguir independencia del
dispositivo. Algunas clases, como vtkActor se dividen en dos partes: una superclase
214

vtkActor
Superclase
independiente del dispositivo
vtkOpenGLActor
vtkXGLActor
vtkStarbaseActor
Subclases
dependientes
del dispositivo
Figura B.1: Consiguiendo independencia del dispositivo mediante herencia.
independiente del dispositivo y subclases que dependen del mismo. El truco consiste
en que el usuario crea una subclase, invocando el constructor especial New(), que se
usa para todas las clases de VTK, en lugar del constructor de C++ (new()). Se usa
el constructor New() de la superclase independiente del dispositivo. Por ejemplo, se
puede usar (en C++) la línea
vtkActor *unActor = vtkActor::New()
para crear una instancia dependiente del dispositivo de la clase vtkActor. El usuario
no ve código dependiente del dispositivo, pero en realidad unActor es un puntero
a una de las subclases de vtkActor. A continuación se muestra un fragmento del
código del constructor New() (a esto es a lo que se llama fábrica de objetos.)
vtkActor *vtkActor::New()
{
char *temp = vtkRenderWindow::GetRenderLibrary();
...
if (!strcmp("OpenGL",temp)) return vtkOpenGLActor::New();
...
}
En este ejemplo, vtkOpenGLActor::New() es un constructor sencillo, que devuelve
una instancia de su clase, usando ({return new vtkOpenGLActor;}). (Es
posible, incluso, que en esta función se elija una implementación específica de la
librería gráfica OpenGL.)
El uso de fábricas de objetos, mediante la función New(), nos permiten crear
código independiente del dispositivo, que se puede portar fácilmente de un ordenador
a otro, y adaptar al cambio de tecnología. Por ejemplo, si aparece una nueva
librería gráfica, habría que crear simplemente una subclase dependiente del dispositivo,
y modificar la función New() de la superclase correspondiente. De esta forma se
pueden crear instancias de la subclase correspondiente, a partir de las variables de
entorno u otra información del sistema. Esta extensión se realiza sólo en un sitio del
código, y todas las aplicaciones basadas en estas fábricas de objetos serían portadas
automáticamente, sin cambios.
215

Aquí se ha podido ver una de las ventajas de la programación orientada a objetos
y de la modularidad (una de sus principales características).
B.1.2.
Detalles de la implementación de VTK
En esta sección voy se describen algunos detalles de la implementación de VTK.
Implementación Mediante Lenguaje C++
Visualization Toolkit se ha implementado en el lenguaje de programación,
orientado a procedimientos, C++. Se facilita la creación de aplicaciones para visualización
mediante librerías de clases, que contienen datos y objetos para realizar
procesos sobre los datos. Se soportan objetos abstractos para derivar nuevos objetos.
Se ha diseñado el pipeline de visualización para que pueda ser conectado
directamente al sistema de gráficos explicado en el apartado B.1.1.
Se podría haber implementado un interfaz visual (similar al de Khoros), mediante
las librerías de clases realizadas. Sin embargo, para aplicaciones del mundo
real un lenguaje orientado a procedimientos tiene algunas ventajas. Entre ellas se
encuentran la implementación directa y sencilla de expresiones condicionales y ejecución
de bucles; además de permitir interfaces sencillos a otros sistemas, como los
GUIs.
Pipeline de Visualización
El pipeline de visualización o red de visualización, representa los pasos para
crear la visualización. Consta de objetos para representar los datos (objetos de
datos), objetos para operar sobre los datos (objetos de proceso) y las indicaciones
del flujo de datos (flechas entre los objetos). Las redes de visualización se
usan, en general, para describir la implementación de una determinada técnica de
visualzación.
Objetos de Datos: Los objetos de datos representan información. También proporcionan
funciones para cerar, acceder y eliminar esta información. No se
permite la modificación directa de los datos, a no ser que se usen las funciones
de la clase. También tienen funciones para obtener características de los datos
(por ejemplo, el número de datos, valor mínimo y máximo permitidos, . . . ).
Objetos de Proceso: Operan sobre datos de entrada, para obtener datos de salida.
Un objeto de proceso deriva nuevos datos de su entrada, o bien transforma
los datos de entrada a una nueva forma. Por ejemplo, un objeto de proceso
podría obtener el gradiente de presión a partir de un campo de presión, o
transformar el campo de presión a isolíneas de presión. La entrada a un objeto
216

de proceso incluye uno o más objetos y parámetros locales para controlar su
funcionamiento.
Los objetos de proceso se pueden, a su vez dividir, según si inician, mantienen,
o terminan el flujo de datos de visualización.
Objetos Fuente: sirven de interfaz a fuentes externas de datos, o bien
los generan a partir de parámetros locales. Los objetos fuente, que sirven
de interfaz a datos externos, se llaman objetos lectores, ya que se ha
de leer un fichero externo, y convertirlo a una forma de representación
interna.
Objetos Filtro: necesitan una o más entradas de objetos de datos y
generan una o más salidas de objetos de datos. El funcionamiento del
objeto se controla mediante parámetros locales.
Objetos Mapeadores: corresponden a los “sumideros” de la red de
visualización. Los objetos mapeadores requieren una o más entradas de
datos y terminan el flujo de datos. Normalmente los mapeadores se usan
para convertir los datos en primitivas gráficas, pero también pueden, por
ejemplo, escribir los datos a un fichero. Los mapeadores que escriben los
datos a un fichero se llaman objetos escritores.
Control Implícito de la Ejecución
Se ha implementado un control implícito de la ejecución de las redes de visualización.
La ejecución de la red ocurre cuando se solicita la salida de un objeto
(ejecución bajo demanda). Esto es fácil de implementar, casi transparente al usuario
del sistema, y muy adaptado a la ejecución condicional y de bucles. En ordenadores
con procesadores en paralelo, u otro hardware especial, se puede usar el control implícito,
junto con un esquema explícito de balance de carga, dividiendo la red de
visualización en subredes más pequeñas.
Esta implementación se basa en dos funciones clave: Update() y Execute().
Update() normalmente se ejecuta cuando el usuario solicita al sistema que renderice
una escena. Como parte de este proceso, los actores envían un método Render()
a sus mapeadores. En este momento empieza la ejecución de la red. El mapeador
invoca la función Update() de su(s) entrada(s). Éstas invocan, de forma recursiva,
las funciones Update() de su(s) entrada(s). Este proceso continúa hasta que se
encuentra un objeto fuente. En este punto, el objeto fuente compara su tiempo
de modificación con el de la última vez que se ejecuto. Si se ha modificado más
recientemente que su última ejecución, se re-ejecuta mediante la función Execute().
La recursión se rebobina con cada filtro, comparando su tiempo de entrada con su
tiempo de ejecución. De esta forma, Execute() se invoca cuando sea necesario. El
proceso termina cuando se devuelve el control al mapeador.
217

Este proceso es extremadamente simple, pero depende del mantenimiento correcto
del tiempo de modificación y ejecución de cada objeto de la red. Si se crea
una fuente o un filtro y no se gestiona bien el tiempo de modificación y ejecución,
habrá casos en los que el pipeline no se ejecute correctamente.
Entrada y Salida de los Objetos
Aunque la arquitectura de VTK soporta objetos con múltiples entradas y salidas,
en la práctica, la mayoría de los filtros y las fuentes generan una única salida y los
filtros aceptan una única entrada. Esto es debido a que, en general, los algoritmos
son por naturaleza, de entrada y salida únicas.
En la red de visualización, hemos visto que las fuentes, filtros y sumideros, se
conectan entre sí. La entrada de cada objeto en el pipeline es la salida del anterior, y
así sucesivamente. Los datos de entrada se represntan con la variable de la instancia
Input y se asigna mediante el método de la instancia SetInput(). Los datos de
salida se representan mediante la variable de la instancia Output y se accede a ellos
mediante el método de la instancia GetOutput(). Para conectar dos filtros juntos,
normalmente se usa la sentencia C++
filtro2->SetInput(filtro1->GetOutput());
donde filtro1 y filtro2 son objetos filtro de tipo compatible, es decir, la salida
de filtro1 es compatible con la entrada que debe tener filtro2. (El compilador
de C++ se encarga de asegurar esta compatibilidad).
La clave de esta arquitectura es que los objetos de datos conocen qué filtros los
poseen. Esto quiere decir que si un filtro crea un objeto de datos de salida, el objeto
de datos sabe qué filtro lo creó. Esto nos permite delegar ciertos mensajes desde
un filtro, a través del objeto de datos al filtro al que está conectado. Por ejemplo,
si filtro2 recibe un mensaje Update(), lo envía a su objeto de datos de entrada,
que a su vez lo envía a su filtro dueño (si es alguno). En este caso filtro1 es el
filtro dueño del objeto de datos. Este proceso, como dijimos, continúa hasta que se
alcanza un objeto fuente, en el que termina la propagación del método Update().
B.1.3.
Representación de los Datos
En este apartado se decriben los objetos usados en VTK para representar los
datos.
Representación de las Celdas
En VTK se implementa cada tipo de celda mediante clases específicas. Todas las
clases que sirven para representar celdas se derivan de la clase abstracta vtkCell. La
218

topología de la celda se especifica mediante una lista ordenada de índices de puntos.
Su geometría se especifica mediante una lista con las coordenadas de los puntos.
Los tipos de celda son los siguientes:
vtkVertex. Es una celda primaria de cero dimensiones. Se define con un solo punto.
vtkPolyVertex. Es una celda compuesta de cero dimensiones. Está definida por
una lista de puntos ordenados arbitrariamente.
vtkLine. Es una celda primaria 1D. Está definida por dos puntos. La dirección de
la línea es del primer punto al segundo.
vtkPolyLine. Es una celda compuesta unidimensional, que consta de una o más
líneas conectadas. Está definida por una lista ordenada de n+1 puntos, donde
n es el número de líneas de la poli-línea. Cada par de puntos (i, i + 1) definen
una línea.
vtkTriangle. Es una celda primaria bidimensional. Está definida por tres puntos
ordenados en el sentido de las agujas del reloj. El orden de los puntos especifica
la normal a la superficie, según la regla de la mano derecha.
vtkTriangleStrip. Es una celda compuesta, que consta de uno o más triángulos.
No es encesario que sus puntos sean coplanares. Está definida por una lista de
n + 2 puntos, donde n es el número de triángulos. El orden de los puntos es
tal que cada tres puntos (i, i + 1, i + 2) con 0 ≤ i ≤ n, define un triángulo.
vtkQuad. El cuadrilátero es una celda primaria bidimensional. Está definido por
una lista de cuatro puntos ordenados en un plano. Debe ser convexo y sus lados
no se deben cortar. La normal a la superficie se define como en el triángulo.
vtkPixel. Es una celda primaria bidimensional. Topológicamente es igual al cuadrilátero,
pero con restricciones geométricas. Todos los lados son perpendiculares entre
sí, y los lados y la normal a la superficie siguen las direcciones de los ejes coordenados
x − y − z. El orden de los puntos es diferente del cuadrilátero. Los
puntos se ordenan en las direcciones crecientes de los ejes, empezando por x,
luego y, y por último z. Este tipo de celda mejora el funcionamiento, respecto
al cuadrilátero (más general). La definición de pixel dada aquí es diferente de
la que se le suele dar (cada elemento de una imagen de valor constante).
vtkPolygon. Es una celda bidimensional primaria. Está definido por una lista de
tres o más puntos en un plano. Su vector normal está definido según el orden
en el sentido de las agujas del reloj de los puntos que lo forman. Puede ser
no convexo, pero sus lados no se pueden cortar. Tiene n lados, donde n es el
número de puntos.
219

vtkTetra. Es una celda primaria tridimensional. Está definida por cuatro puntos
no coplanares. Tiene 6 aristas y cuatro caras triangulares.
vtkHexaedron. Es una celda primaria tridimensional, que consta de seis cuadriláteros
en sus caras, doce aristas y ocho vértices. Está formado por una lista ordenada
de ocho puntos. Sus caras y aristas no se deben cortar, y debe ser convexo.
vtkVoxel. Es una celda primaria tridimensional. Topológicamente es equivalente
al hexaedro, pero con restricciones geométricas adicionales. Todas sus caras
deben ser perpendiculares a uno de los ejes coordenados x − y − z. La lista de
puntos se ordena en la dirección creciente de los ejes. Es un caso particular de
hexaedro, usado para mejorar el funcionamiento.
Al igual que pixel, la definición de voxel que hemos hecho difiere de la usual
(elemento de volumen de valor constante).
Representación de Estructuras de Datos
En VTK se han implementado cinco estrucuturas de datos (datasets): vtkPoly-
Data, vtkStructuresPoints, vtkStructuredGrid, vtkRectilinearGrid, y vtk-
UnstructuredGrid. Todos ellos se derivan de la superclase vtkDataSet.
Se usa una representación interna distinta para cada uno de los datasets. De
esta forma se minimiza la memoria requerida para almacenar las estructuras de datos
y se implementan métodos de acceso a los mismos más eficientes. Los objetos más
generales se podrían usar para representar al resto, pero la sobrecarga computacional
y de memoria es inaceptable para conjuntos grandes de datos. A continuación se
describen someramente estos objetos:
vtkStructuredPoints. Es la forma de representación más simple y compacta. Es
una colección de puntos y celdas colocados en una malla rectangular regular.
Consta de elemenstos de línea (1D), pixels (2), o voxels (3D).
Tanto los puntos, como las celdas de este dataset se representan de forma implícita,
especificando las dimensiones, el espaciado entre los datos, y el origen.
Las dimensiones definen la topología de los datos , mientras que el origen y
espaciado definen la geometría. Las filas, columnas y planos de la malla son
paralelos al sistema de coordenadas global, x − y − z.
Hay un orden implícito, tanto de los puntos, como de las celdas, que componen
el objeto vtkStructuredPoints. Ambos están numerados en la dirección
creciente de x, y, y z. El número total de puntos es n x × n y × n z , donde n x ,
n y , y n z son las dimensiones del vtkStructuredPoints. El número total de
celdas es (n x − 1) × (n y − 1) × (n z − 1).
vtkRectilinearGrid. Es una colección de puntos y celdas colocados en una malla
regular. Las filas, columnas y planos de la malla son paralelos al sistema de
220

coordenadas global, x−y−z. Mientras que la topología es regular, la geometría
es sólo parcialmente regular. Esto es, los puntos están alineados a lo largo de
los ejes de coordenadas, pero el espaciado entre ellos puede variar. Al igual
que vtkStructuredPoints, consta de pixels (2D), o voxels (3D).
La topología se representa especificando las dimensiones de los datos a lo largo
de los ejes coordinados x, y, y z. La geometría se define con tres arrays para
los valores coordinados a lo largo de estos ejes. Estos tres arrays coordinados
se combinan para determinar las coordenadas de cualquier punto en el
dataset. Los arrays se representan en VTK, mediante tres instancias de la
clase vtkScalars.
vtkStructuredGrid. Es una estructura de datos con topología regular, por lo que
al igual que en vtkStructuredPoints, se representa mediante las dimensiones
en el sistema de coordenadas topológico i − j − k. Sin embargo, la geometría
es irregular. La malla se puede “doblar” de cualquier forma, siempre que las
celdas no se solapen o intersecten.
La geometría se representa especificando las coordenadas de todos sus puntos
en el sistema de coordenadas global x−y−z. Para representar las coordenadas
de los puntos se usa la clase abstracta vtkPoints y sus subclases concretas
(por ejemplo, vtkFloatPoints).
vtkPolyData. La topología de este tipo de estructura de datos es irregular, por
lo que tanto la topología, como la geometría se deben especificar de forma
explícita. Los puntos de la geometría se representan mediante instancias de la
clase vtkPoints.
Consta de todos o algunos de los siguientes tipos de celdas: vértices, polivértices,
líneas, polilíneas, polígonos y tiras de triángulos. La topología y
la geometría de vtkPolyData es irregular, y las celdas que forman esta estructura
de datos varían en su número de dimensiones topológicas. Se usa la clase
vtkCellArray para representar de forma explícita la topología de la celda.
vtkUnstructuredGrid. Es la forma de dataset más general. Tanto la geometría,
como la topología son completamente irregulares. Se puede usar cualquier
combinación de celdas en este tipo de datos. En general, cualquier dataset
se puede implementar usando una instancia de esta clase. Sin embargo, sólo
se debe usar cuando es absolutamente necesario (no se puede representar con
objetos más sencillo), pues es el que requiere más memoria y capacidad de
computación.
Tanto los puntos, como las celdas se especifican mediante subclases derivadas
de vtkPoints y vtkCellArray.
221

B.2.
Intérpretes y Tcl/Tk
Vamos a comparar las ventajas y desventajas de los lenguajes interpretados frente
a los lenguajes tradicionales compilados (algunas de ellas ya se han señalado en
capítulos anteriores). VTK permite programar en C++, en Java y en el lenguaje
interpretado Tcl/Tk.
B.2.1.
Lenguajes Interpretados vs Compilados
Los lenguajes de programación se pueden dividir en compilados e interpretados.
Esta clasificación atiende a la forma meidante la que se interactúa con el
lenguaje.
En un lenguaje compilado, el código fuente se ha de compilar (traducir a
instrucciones máquina), linkar (se juntan los módulos y se resuelven los símbolos), y
después ejecutar. Cuando se detecta un error, se debe editar, recompilar y relinkar
el código, antes de poderse a probar, lo cual consume mucho tiempo.
En un lenguaje interpretado, no hace falta compilar, ni linkar el código. En
su lugar, las instrucciones se escriben directamente en el ordenador, o se escriben
en un fichero, que es leído y ejecutado línea a línea por el intérprete. Usando un
lenguaje interpretado, se puede reducir drásticamente el tiempo de desarrollo de los
programas.
Sin embargo, mientras que el tiempo de desarrollo de los programas es menor en
los lenguajes interpretados, la compilación produce tiempos de ejecución menores.
Los compildores usan métodos eficientes para representar y manipular estructuras
complejas de datos. Hay unos pocos lenguajes que soportan compilación e interpretación;
sin embargo, hoy en día, la mayoría de los lenguajes son de un tipo o de
otro.
Para el software VTK, se han escrito las clases usando el lenguaje compilado
C++, debido a sus capacidades como lenguaje orientado a objetos, velocidad de
ejecución eficiente, y uso muy extendio. Pero además, es deseable poder desarrollar
aplicaciones de forma rápida (incluyendo interfaces gráficos de usuario). Por eso
se ha “empaquetado” el lenguaje interpretado Tcl con los objetos de C++. Tcl
es un lenguaje interpretado sencillo, que se puede “embeber” dentro de programas
realizados en otros lenguajes de programación. Además posee un interfaz gráfico,
Tk, muy sencillo de programar. Tcl/Tk es un lenguaje muy usado, cada vez más, y
se distribuye gratuitamente.
El resultado de todo ello es una herramienta de desarrollo de aplicaciones que
ofrece la posibilidad de elegir entre realizar aplicaciones interpretadas o compiladas.
Además, como todos los objetos se han realizado en C++, incluso las aplicaciones
interpretadas se ejecutan de forma relativamente rápida (se deja el lenguaje interpretado
para las partes del programa que requieren menor capacidad computacional).
222

El intérprete se usa, normalmente, sólo para la manipulación a alto nivel de los
objetos, y raras veces se usa para grandes cálculos complicados.
B.2.2.
Introducción a Tcl
Tcl es un lenguaje interpretado, desarrollado por John Outerhout a finales de los
años 80. Se va a hacer una descripción de Tcl muy elemental; para más información
sobre este lenguaje de programación, consultar [15].
Se diseñó para proporcionar un lenguaje de comandos sencillo, que pudiera ser
integrado con gran variedad de aplicaciones. Tcl está escrito en lenguaje C, y tiene
un API (Interfaz para la Programación de Aplicaciones) para integrar nuevas funciones.
Su sintaxis es muy similar a la del lenguaje C shell. El script de ejemplo
que se muestra a continuación, ilustra algunas de sus caracterísitcas básicas. Todas
las líneas que empiezan por ‘#’, son comentarios. Las líneas de código comienzan
siempre por un comando, seguido posiblemente por argumentos. Un punto y coma,
o una nueva línea indican el final de un comando.
# Script Tcl para calcular la circunferencia de un circulo
set pi 3.1416
set radio 2
set area [expr $pi*$radio*2.0]
puts $area
El comando set toma dos argumentos: el nombre de la variable a crear y su valor
inicial. La segunda línea del ejemplo usa este comando para crear una variable
llamada pi con un valor de 3.1415. Hasta la versión 8.0 de Tcl, todas las variables
se almacenaban como cadenas, y se convertían a enteros o punto flotante cuando
hacía falta. La nueva versión Tcl/Tk 8.0 almacena las variables numéricas en este
formato, sin necesidad de conversiones, lo que mejora mucho el rendimiento. En la
cuarta línea se crea la variable area mediante el comando set, pero su inicialización
es más compleja. Encerrando una sentencia Tcl entre corchetes, se puede usar el
resultado de esta sentencia como argumento para un comando. El formato de una
línea de código anidada es el mismo que el de cualquier otra, excepto que está entre
corchetes. A esto se le llama sustitución de comandos.
Dentro de los corchetes queremos calcular el área del círculo. Por ello usamos
el comando expr, que evalúa sus argumentos como una expresión matemática y
devuelve el resultado. Se puede ver que hay signos de dólar delante de las dos
variables creadas antes. Esto hace que Tcl haga sustitución de variables y use
el valor de la variable, en lugar de su nombre. Por último, la quinta línea usa el
comando puts, para sacar por pantalla el resultado almacenado en la variable area.
Tcl permite crear procedimientos, equivalentes a las funciones de C. En el siguiente
ejemplo podemos ver un procedimiento para calcular el área de un rectángulo.
223

Al crear un procedimiento, se crea un nuevo comando de Tcl, con sus correspondientes
argumentos.
# Script Tcl para calcular el area de un rectangulo mediante
# un procedimiento
set ancho 4.5
set largo 5.6
set area1 [areaRect $largo $ancho]
puts "El area del rectangulo vale: $area1 metros cuadrados"
# Procedimiento para calcular el area de un rectangulo
proc areaRect {lado1 lado2} {
set area [expr $lado1 * $lado2]
return area
}
En la cuarta línea se puede ver que tenemos un nuevo comando llamado areaRect,
creado mediante el procedimiento que aparece al final del ejemplo. Los procedimientos
se crean mediante el comando proc, que tiene dos argumentos; el primero es una
lista con sus argumentos de entrada, y el segundo es el cuerpo del procedimiento.
En la sentencia puts, se puede ver que el argumento de este comando está entre
comillas. Esto permite meter todo lo que está entre comillas como un solo argumento.
Las comillas permiten sustitución de variables. Las llaves también permiten
agrupar argumentos, pero en ellas no se realiza sustitución de variables (por eso
aquí se ponen comillas, para que se sustituya $area por su valor).
Veamos un último ejemplo. En el script que aparece abajo, se escriben los
números desde 1 hasta 10 y sus cuadrados.
# Script Tcl para imprimir los numeros 1-10 y sus cuadrados
#
for {set num 1} {$num

que la condición sea falsa. El tercer argumento se evalúa al final de cada iteración.
Normalmente se usa para incrementar la variable del bucle. En el script se usa el
comando incr para incrementar la variable num. El cuarto y último argumento es
el cuerpo del bucle, que se evalúa en cada iteración.
Las llaves son importantes ya que, como hemos dicho, evitan que los argumentos
sean evaluados antes de ser pasados al bucle for. En otro caso, el resultado de
$num

Para las funciones que devuelven punteros, es algo más difícil. Como no se puede
devolver el puntero, se debe convertir a un nombre de cadena único. Para hacer
esto, se mantienen tablas de traducción, que convierten entre punteros y nombres
de cadena. Siempre que se crea un objeto VTK en un script Tcl, el nombre del
objeto y el puntero de la instancia se almacenan en tablas de traducción. Si se usa
ese nombre como argumento de un método, se convierte automáticamente el nombre
de cadena, a un puntero de instancia, usando estas tablas de traducción. Cuando
un método necesita devolver un puntero a una instancia que no estaba creado en
el script Tcl, se crea un nombre único, como por ejemplo vtkTemp0, vtkTemp1,
etc. Este nombre de cadena, así como el puntero, se meten también en las tablas de
traducción para un uso futuro. Por ejemplo, en la quinta línea del ejemplo anterior, se
usa el comando set para crear la variable propiedad. Su valor inicial es el resultado
de invocar la función GetProperty() de la instancia actor. Normalmente, esta
función devuleve un puntero C++, pero el código de empaquetamiento, lo convierte
a un nombre de cadena y es lo que devuelve. La sexta línea muestra cómo se puede
usar este resultado, mediante la variable propiedad.
La mayoría de los argumentos de entrada y salida de los métodos, son de tipo
simple, como enteros o valores en punto flotante. Cuando una función toma como
argumento un array de tamaño fijo, como por ejemplo float fargs[3], se divide
en componentes individuales. por ejemplo, en C++ y Tcl se usan las siguientes
sentencias para llamar a una función:
C++:
Tcl:
Instancia->unMetodo(int iarg, float fargs[3])}
Instancia unMetodo iarg fargs1 fargs2 fargs3}
Para los métodos que devuelven un valor o un puntero a un array, se realiza la
operación opuesta. Se devuelve una cadena sencilla que consta del valor devuelto
por el método o los componentes del array. Para los métodos que devuelven arrays,
los componentes del array están limitados en espacio. Estamos limitados a cadenas
simples a causa de la semántica del lenguaje Tcl.
A causa de las diferencias entre C++ y Tcl, no todos los métodos disponibles
en C++ sin accesibles en Tcl. Se ha desarrollado un programa en Lex y Yacc para
leer las cabeceras de los ficheros C++ y generar automáticamente el código de empaquetamiento.
Los pocos métodos que no se pueden empaquetar, no se encuentran
disponibbles en el intérprete de Tcl. Cuando se crean nuevas clases en C++ para
VTK, no hay que preocuparse del empaquetamiento a Tcl, pues se realiza de forma
automática, al realizar la compilación de la clase.
Librerías Dinámicas
El comando Tcl load, se usa para cargar de forma dinámica la librería de VTK,
que es una librería dinámica (.dll en Windows y .so en Linux). El comando usado
para cargar esta librería, es
226

catch {load vtktcl}
Sólo cuando se carga la librería, los comandos de VTK se hacn disponibles para
ser usados. El comando Tcl catch es necesario, porque en algunos sistemas la carga
dinámica de librerías no está disponible, o no es necesaria. En estos sistemas, el
comando load provoca un error. El comando catch, evita que los errores hagan al
intérprete abortar la ejecuación. Por eso, se usa la combinación de ambos comandos,
para asegurar la portabilidad de los scripts Tcl en distintas plataformas.
B.2.4.
Ejemplo de C++ y Tcl
En este ejemplo se compara el código de C++ y de Tcl para renderizar un cubo.
Se puede ver cómo se tratan lo punteros de C++ en Tcl. Ambos ejemplos realizan
la renderización de un cubo, y pueden usarse como punto de partida para otras
muchas redes de visualización, pues en muchas redes, cambian los objetos fuente y
los filtros, pero el resto es equivalente.
// Codigo C++ para dibujar un cubo
#include "vtk.h"
main()
{
vtkRenderer *ren1 = vtkRenderer::New();
vtkRenderWindow *renWin = vtkRenderWindow::New();
renWin->AddRenderer(ren1);
vtkCubeSource *cubeSrc = vtkCubeSource::New();
vtkPolyDataMapper cubeMpr = vtkPolyDataMapper::New();
vtkActor *cubeActor = vtkActor::New();
}
cubeMpr->SetInput(cubeSrc->GetOutput());
cubeActor->SetMapper(cubeMpr);
ren1->AddActor(cubeActor);
renWin->Render();
# Codigo Tcl para dibujar un cubo
catch {load vtktcl}
227

vtkRenderer ren1
vtkRenderWindow renWin
renWin AddRenderer ren1
vtkCubeSource cubeSrc
vtkPolyDataMapper cubeMpr
vtkActor cubeActor
cubeMpr SetInput [cubeSrc GetOutput]
cube1 SetMapper cubeMpr
ren1 AddActor cubeActor
renWin Render
B.2.5.
Interfaces de Usuario con Tk
Tk es una extensión de Tcl que proporciona la posibilidad de realizar interfaces
de usuario, con elementos tales como botones, entradas de texto, barras de
desplazamiento, canvas, . . . No se van a describir las posibilidades de Tk; para más
información, consultar [15].
Una de las mejores caracterísitcas de Tk es su independiencia con el sistema de
ventanas. Se pueden crear interfaces gráficas de usuario que funcionan, tanto en el
sistema de ventanas de X Windows, como en el de Microsoft Windows. Por tanto,
las aplicaciones realizadas en Tcl/Tk son independientes de la plataforma.
Usando vtkTkRenderWidget
Si se realiza el GUI directamente en VTK, la ventana de renderización, y el
GUI aparecen en ventanas separadas. Aunque esto puede ser deseable para ciertas
aplicaciones, a menudo es mejor integrar la ventana de renderización y el GUI en una
sola ventana. La aplicación realizada para el proyecto es un ejemplo muy completo
de ello.
La integración de la ventana de renderización y Tcl/Tk se realiza usando el objeto
especial vtkTkRenderWidget. Este objeto actúa como un widget de Tk (como canvas,
por ejemplo), pero tiene un método especial, que permite integrarlo con VTK. A
continuación se muestra un ejemplo para crear una ventana de renderización como
widget de Tk.
vtkRenderer Renderer
228

vtkTkRenderWidget .window -width 300 -height 300
set RenWin [.window GetRenderWindow]
$renWin AddRenderer Renderer
Otra característica adecuada de vtkTkRenderWidget es que es posible realizar tratamiento
de eventos en el widget. De esta forma, se puede crear un estilo de interacción
propio para manipular actores, luces, o cámaras, o características adicionales, como
captura de imagen, o animación de secuencias.
229

230

Apéndice C
Planos
En este apéndice, se muestran parte de los listados de la aplicación Comp3D.
No se muestran todos, por su gran extensión. Se ha intentado que con los listados
que aparecen el proyecto sea autocontenido.
231