Lliçó 1. Algorismes i conceptes bà sics.

Lliçó 1
Página 1 de 7
Lliçó 1. Algorismes i conceptes bàsics.
Objectius. La primera lliçó del curs es dedica al repàs de conceptes i
algorismes d'àlgebra lineal que són bàsics per a fer geometria amb
coordenades.
• Operacions amb matrius.
• Determinants.
• Rangs.
• Sistemes d'equacions lineals.
• Inversió de matrius.
1.1 Operacions amb matrius. En aquest apartat repassem les operacions
bàsiques sobre matrius: suma, producte per escalar i producte. La inversió de
matrius s'estudia més endavant.
Suma de matrius. Les matrius, de la mateixa manera que els vectors, es
sumen component a component.
Exemple 1
Només es pot sumar matrius de les mateixes dimensions.
Producte per escalars. El producte per escalars -o nombres realss'efectua
també component a component.
Exemple 2
Producte de matrius. El producte de dues matrius s'obté efectuant el
producte escalar de les files de la primera matriu per les columnes de la
segona.
Exemple 3

Lliçó 1
Página 2 de 7
Per a poder multiplicar dues matrius, el nombre de columnes de la primera ha
de coincidir amb el nombre de files de la segona.
La matriu resultat té tantes files com la primera i tantes columnes com la
segona.
dim(A) = 2 x 2, dim(B) =2 x 3 >>> dim(AB) = 2 x 3
dim(A) = m x n, dim(B) = n x p >>> dim(AB) = m x p
exercici 1 problema 1.1
exercici 2 problema 1.2 1.2 Determinants. El determinant d'una matriu
quadrada ens informa, d'una banda, de la dependència lineal entre els seus
vectors fila (o columna).
D'altra banda permet calcular el volum del sòlid que té aquells vectors com a
arestes.
També dóna informació sobre la orientació de la base.
Càlcul del determinant. El determinant d'una matriu quadrada es defineix
com la suma de tots els productes (amb signe) on hi intervenen un únic
element per cada fila i un únic per cada columna.
Exemple 4 determinant 2x2.
Exemple 5 determinant 3x3 (estrella).
Exemple 6 determinant nxn (desenvolupant per files o
columnes).

Lliçó 1
Página 3 de 7
El mètode de Gauss per a la resolució de sistemes d'equacions es pot utilitzar
també (amb precaució) per a calcular determinants.
Interpretació geomètrica. El determinant de dos vectors mesura l'àrea
del paral.lelògram que els té per costats. per què
El determinant de tres vectors és el volum del paral.lelepíped que determinen.
Com a conseqüència, el determinant de dos vectors paral.lels o de tres vectors
coplanaris és nul.
En general, el determinant de n vectors linealment dependents és nul.
exercici 3 problema 1.5
1.3 Rang d'una matriu. El rang d'una matriu és el nombre de columnes
(files) linealment independents. El càlcul del rang es basa bé en els
determinants, bé en el mètode de Gauss.
Càlcul del rang Per a calcular el rang d'una matriu es busca el menor d'ordre
més gran amb determinant no nul que es pot formar amb els seus elements.
Per menor entenem una submatriu quadrada.
Exemple
7 és un menor nul (el seu
determinant
val 0 ) d'ordre 2 (matriu 2x2) de
la matriu
és un menor no nul (determinant
diferent de 0) d'ordre 2 de la
mateixa matriu.
NO és un menor d'ordre 2
d'aquesta matriu, perquè 1 i 2 no
són de la mateixa fila:
No cal considerar tots els possibles menors de la matriu. N'hi ha prou amb una
seqüència de successives ampliacions.
Exemple 8 El rang de la matriu de

Lliçó 1
Página 4 de 7
l'exemple anterior és 3. Observeu la
seqüència de menors no nuls:
exercici 4 problema 1.6
1.4 Sistemes d'equacions lineals. Els sistemes d'equacions lineals
expressen dependències lineals entre variables (incògnites). Resoldre el sistema
és trobar valors d'aquestes variables que satisfan tots els lligams
simultàniament. Si els lligams són massa restrictius (resp. massa laxes), uns
tals valors poden no existir (resp. no estar completament determinats).
Alguns exemples senzills.
Problema 9 Determineu dos valors numèrics tals que el
primer més el doble del segon sumin 6.
Solució Representem les quantitats desconegudes per dues
lletres x i y, que s'anomenen variables o incògnites, i
imposem la condició x + 2y = 6 . A simple vista es veu que hi
ha molts possibles valors de x i y que satisfan la igualtat
(equació) anterior, p. ex. x=2 i y=2, o també x=0 i y=3, etc.
El problema no està determinat.
Problema 10 Determineu dos valors numèrics tals que un
qualsevol d'ells més el doble de l'altre sumin 6.
Solució En aquest cas hem d'imposar dues condicions, x +
2y = 6 però també y + 2x = 6 .Tenim per tant dues
equacions i dues incògnites. El problema està determinat, i la
única solució és ara x = y = 2 .
Problema 11 Determineu dos valors numèrics tals que un
qualsevol d'ells més el doble de l'altre sumin 6, i que el seu
producte valgui 8.
Solució En aquest cas hem d'imposar tres condicions, x + 2y
= 6 , y + 2x = 6 i encara xy = 8 . Hi ha tres equacions i dues
incògnites. El problema no té solució (sistema incompatible), o
sigui, no existeixen uns tals valors numèrics x i y que
satisfacin les tres condicions demanades.
A més, en aquest cas el sistema NO és lineal, perquè la
tercera equació conté un producte entre dues variables.
Sistemes d'equacions lineals. Expressió matricial.

Lliçó 1
Página 5 de 7
Un sistema d'equacions és un conjunt d'equacions que s'han de satisfer
simultàniament.
Si aquestes equacions contenen només sumes de valors numèrics (escalars)
multiplicats per variables (incògnites) i valors numèrics independents, diem que
el sistema és lineal.
Tot sistema lineal d'equacions es pot escriure com a producte de matrius Ax =
b on:
◦ A és la matriu de coeficients
◦ x és el vector d'incògnites
◦ b és el terme independent
Com que el vector d'incògnites x no aporta cap informació, sovint s'utilitza una
expressió matricial compacta (A | b) en comptes del producte Ax = b.
exemple 12 En el cas dels tres problemes de l'apartat
anterior, es té:
equacions
producte de matrius
expressió
matricial
No és lineal.
No admet expressió com a
producte de matrius.
No n'admet.
Resolució de sistemes lineals. El mètode de Gauss. Consisteix en
fer zeros a sota de la diagonal principal de la matriu.
exercici 5 problema 1.8
Discussió de sistemes. No cal aplicar el mètode de Gauss (o qualsevol
altre) per a saber si un sistema té o no solució, o si aquesta solució serà única.
Teorema de Rouché-Frobënius
El sistema Ax=b és compatible (o sigui, té solució) si i només si rang(A)=rang
(A,b).
A més, la solució depèn de m=n-rang(A) paràmetres, on n representa el
nombre d'incògnites.
exercici 6 problema 1.11

Lliçó 1
Página 6 de 7
1.5 Inversa d'una matriu. Invertir una matriu és obtenir-ne una altra (si
existeix) que en sigui la inversa pel producte de matrius, o sigui, que
multiplicades donin la matriu identitat. La matriu inversa està estretament
relacionada amb el procés de resolució de sistemes d'equacions determinats.
Exemples preliminars.
exemple 13 La matriu inversa de
és
.
Per veure-ho, n'hi ha prou amb efectuar el producte i
comprovar que:
exemple 14 La matriu
no té matriu inversa.
Efectivament, el resultat de multiplicar A per qualsevol altra
matriu B tindrà sempre una fila de zeros:
Propietats.
◦ Només es calcula la inversa de les matrius quadrades.
◦ Si A -1 és la inversa d'A, llavors AA -1 = A -1 A = Id
◦ La inversa d'una matriu és única. Així, si AB=Id i AC=Id, es té que
B=C.
◦ Com il.lustra l'exemple precedent, hi ha matrius que no es poden
invertir. De fet, una matriu A és invertible si el seu determinant és
diferent de zero.
Càlcul de la inversa. Hi ha dos algorismes bàsics de càlcul de la
matriu inversa, tots dos basats en sengles mètodes de resolució de
sistemes lineals :
1. El mètode de Gauss.
2. El mètode dels adjunts.
exemple 15 Per a calcular la matriu inversa de
seguint el mètode de Gauss, escribim la matriu ampliada:

Lliçó 1
Página 7 de 7
i operem per files fins a obtenir
La part dreta de la matriu ampliada conté ara la matriu inversa
exercici 7 problema 1.9
Relació amb els sistemes d'equacions. Calcular la inversa d'una
matriu A no és altra cosa que resoldre un conjunt de sistemes d'equacions,
tots amb la mateixa matriu de coeficients (la pròpia matriu A) però amb
diferents vectors de termes independents (les columnes de la matriu
identitat).
exemple 16 Es vol calcular la inversa de la matriu A de
l'exemple anterior. La inversa, (desconeguda de moment),
serà una matriu B tal que AB=Id, o sigui, tal que:
Si efectuem el producte de matrius, s'obtenen dos sistemes
d'equacions
que podem escriure com:
Com que els passos a seguir en l'algorisme de Gauss depenen
només de la part esquerra de la matriu, i no dels termes
independents, això justifica que es pugui escriure una nova
matriu ampliada
i resoldre d'aquesta manera els dos sistemes simultàniament.
exercici 8 problema 1.10