Lliçó 1. Algorismes i conceptes bà sics.

Lliçó 1
Página 6 de 7
1.5 Inversa d'una matriu. Invertir una matriu és obtenir-ne una altra (si
existeix) que en sigui la inversa pel producte de matrius, o sigui, que
multiplicades donin la matriu identitat. La matriu inversa està estretament
relacionada amb el procés de resolució de sistemes d'equacions determinats.
Exemples preliminars.
exemple 13 La matriu inversa de
és
.
Per veure-ho, n'hi ha prou amb efectuar el producte i
comprovar que:
exemple 14 La matriu
no té matriu inversa.
Efectivament, el resultat de multiplicar A per qualsevol altra
matriu B tindrà sempre una fila de zeros:
Propietats.
◦ Només es calcula la inversa de les matrius quadrades.
◦ Si A -1 és la inversa d'A, llavors AA -1 = A -1 A = Id
◦ La inversa d'una matriu és única. Així, si AB=Id i AC=Id, es té que
B=C.
◦ Com il.lustra l'exemple precedent, hi ha matrius que no es poden
invertir. De fet, una matriu A és invertible si el seu determinant és
diferent de zero.
Càlcul de la inversa. Hi ha dos algorismes bàsics de càlcul de la
matriu inversa, tots dos basats en sengles mètodes de resolució de
sistemes lineals :
1. El mètode de Gauss.
2. El mètode dels adjunts.
exemple 15 Per a calcular la matriu inversa de
seguint el mètode de Gauss, escribim la matriu ampliada: