Variables Aleatorias Discretas.pdf - Edu-esta.org

Dado Rojo
Variables Aleatorias Discretas
Pedro J. Rodríguez Esquerdo
Instituto de Estadística y Sistemas Computadorizados de Información
Facultad de Administración de Empresas
y
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias Naturales
Recinto de Río Piedras
Universidad de Puerto Rico
1. Variables aleatorias
Ejemplo 1
Lance dos dados al aire. Una variable aleatoria X puede representar la suma de los puntos observados en los dos
dados. Es de interés encontrar la probabilidad de que la suma de los puntos en los dados es menor que 8,
P( X < 8 ).
El espacio muestral del experimento, con treinta y seis posibles resultados es:
Dado Verde
1 2 3 4 5 6
1 1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6
2 2, 1 2, 2 2, 3 2, 4 2, 5 2, 6
3 3, 1 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5 3, 6
4 4, 1 4, 2 4, 3 4, 4 4, 5 4, 6
5 5, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5 5, 6
6 6, 1 6, 2 6, 3 6, 4 6, 5 6, 6
Tabla 1 Espacio muestral resultante al tirar dos dados
La variable aleatoria X representa la suma de los puntos observados, por ejemplo, al resultado
w = {(3, 5)} se le asigna el valor X( w ) = 3 + 5 = 8, correspondiente a la suma de 3 y 5. La probabilidad de que
X( w ) = 8, se obtiene al evaluar la probabilidad de observar el evento de la suma sea igual a 8, de observar el
evento {( 2, 6 ), ( 3, 5 ), ( 4, 4 ), ( 5, 3 ), ( 6, 2 )}. Por lo tanto la probabilidad deseada P( X = 8 ) = 5 / 36.
Al repetir este proceso con cada uno de los valores de las posibles sumas se obtiene la distribución de
probabilidad de la variable aleatoria X, como se muestra en la Tabla 2. La distribución de probabilidad de una
variable aleatoria X es entonces la colección de valores que puede obtenerse para la variable aleatoria, junto a la
probabilidad de obtenerse ese valor, x, P(X = x). La expresión ( X = x ) es leída como el conjunto de todos los
resultados en S a los cuales la variable aleatoria X le asigna el valor x.
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P( X = x ) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
Tabla 2 Distribución de probabilidad del total observado al tirar dos dados.

3.1 Variables aleatorias discretas p. 2
El valor que X asumirá puede variar de tirada en tirada sujeto a la distribución especificada en la tabla de
arriba. Así X es una variable, que puede asumir un número finito de valores distintos sujeto a una distribución
de probabilidad. Este es un ejemplo de una variable aleatoria discreta. En general, si S es un espacio muestral
con una medida de probabilidad P, una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada uno
de los eventos contenidos en una colección 1 de subconjuntos de S. Es decir X es una función cuyo dominio es
una colección de eventos en el espacio muestral S y su codominio es el conjunto de números reales , en la
notación usual X: S .
El evento ( X = 8 ) se interpreta como el evento de que se observó una combinación de puntos en los dos
dados lanzados que sumó 8, es decir que el evento { ( 2, 6 ), ( 3, 5 ), ( 4, 4 ), ( 5, 3 ), ( 6, 2 )} ocurrió. Así P( X = 8 ) =
P({ ( 2, 6 ), ( 3, 5 ), ( 4, 4 ), ( 5, 3 ), ( 6, 2 )} ) = 5/36. A pesar de que X es una función, usualmente no se escribe el
argumento de la función, es decir, si s es un elemento del espacio muestral S, en vez de escribir X( s ), se escribe
X. Es usual denotar las variables aleatorias por letras mayúsculas y los valores que puede asumir por letras
minúsculas.
En este caso la variable X puede asumir un valor de entre un conjunto finito de valores posibles.
Cualquier variable aleatoria que pueda asumir un número finito de valores se conoce como variable aleatoria
discreta. Ejemplos de cantidades finitas, aunque muy grandes, son el número de estrellas en el firmamento, el
número de granos de arena en el planeta y el número de hojas en los árboles. También son variables aleatorias
discretas aquellas que pueden asumir un número contable de valores, que pueden ser puestos en
correspondencia uno-uno con el conjunto de números naturales, tal como el número de repeticiones necesarias
para observar un resultado de 6 al lanzar un dado.
Problema 1
1. Dé ejemplos de variables aleatorias discretas. Indica cuales pueden asumir un número finito de
valores distintos y cuales un número infinito.
2. Dé ejemplos de variables aleatorias que no son discretas.
En la Tabla 2 arriba muestra que a cada valor posible de X, se le asigna un número correspondiente a su
probabilidad. Así se puede definir otra función: f( x ) = P( X = x ), la función de probabilidad o distribución de
probabilidad de la variable X. Para el ejemplo de la suma de los puntos al tirar dos dados, los valores de esta
función están dados en la Tabla 2.
Una función de probabilidad f( x ) nunca adquiere un valor menor de cero. Esto se debe a que f( x )
representa una probabilidad, la cual nunca puede ser menor de cero. De igual manera f( x ) nunca puede ser
menor de 1. Finalmente, si se suma todos los valores posibles de f( x ) el resultado será 1. En resumen, la
función de probabilidad tiene las siguientes características:
Función de probabilidad
Una función real f es una función de probabilidad si y solo si
1. f( x ) 0 para todo valor x en su dominio
2. f ( x)
1 donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores x en el dominio de f.
x
1 Debe ser una colección no vacía de eventos, que contenga al conjunto vacío, además es cerrada bajo un
número contable de intersecciones y bajo complementación.
© 2012 PJ Rodríguez Esquerdo

3.1 Variables aleatorias discretas p. 3
Problema 2
x
1. Coteje que la función f ( x)
es una función de probabilidad para x = 1, 2, 3, 4, 5. Indica su
15
dominio y su campo de valores.
2. Defina la variable aleatoria Y como el número de caras observadas al lanzar cuatro monedas al aire
una vez. Construye la función de probabilidad de Y.
3. Lance dos dados al aire una vez. Define la variable aleatoria X como la diferencia de los puntos
observados en los dados. Construye la función de probabilidad de X.
Los valores de la función de probabilidad de la Tabla 2 se pueden representar en una gráfica como la siguiente:
P( X = x )
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
La probabilidad de observar un valor particular de la variable aleatoria, tal como X = 3 está dado por la
altura de la barra sobre el 3, es decir P( X = 3 ) = 2/36. De igual manera, en vez de asociar la altura de la barra con
la probabilidad, puede asociarse el área de la barra sobre el 3 es 2/36 1 = 2/36, ya que la altura de la barra es
2/36 y su ancho es 1. Usar el área de las barras para representar la probabilidad es muy útil para extender la
noción de probabilidad a otras variables.
Problema 3
Figura 1 Histograma de probabilidad de X
Encuentre las probabilidades: P( X = 6 ), P( X < 7 ), P( X 9 ), P( X = 6.5 ), P( X 4.4 )
El histograma de probabilidad en la Figura 1 puede ser usado para calcular probabilidades tal como
P( X 4 ). El evento ( X 4 ) ocurre cuando se observa ( X = 2 ó X = 3 ó X = 4 ). Por lo tanto,
P( X = 2 ó X = 3 ó X = 4 ) = P( X = 2 ) + P( X = 3 ) + P( X = 4 ), ya que los eventos (X = 2 ), ( X = 3 ) y ( X = 4 ) son
disyuntos. Entonces P( X 4) = 1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36, sumando las áreas de la barras que están sobre el 4 y
a su izquierda.
Función de distribución
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x
Extendiendo esta idea de probabilidades acumulativas, se puede definir otra función partiendo de la
distribución de probabilidad. Si X es una variable aleatoria discreta, la función de distribución de X o función de
distribución acumulativa de X es la función F(x) = P( X x ) = f ( t)
para x .
tx
© 2012 PJ Rodríguez Esquerdo

3.1 Variables aleatorias discretas p. 4
Problema 4
1. Calcule la función de distribución acumulativa de la suma de los puntos en dos dados.
2. Use las propiedades de la función de probabilidad para encontrar algunas propiedades de la función
de distribución acumulativa.
La Tabla 4 presenta la función de distribución acumulativa correspondiente a la suma de los valores
observados al lanzar dos dados. De la tabla es posible deducir algunas propiedades. La función parece ser
creciente, por ejemplo, F( 3 ) < F( 4 ).
Problema 5
¿Es cierto que si a < b, entonces F( a ) < F( b )? Examine qué ocurre con x = 5, con x = 6 y con x = 5.7.
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
F( x ) 1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 21/36 26/36 30/36 33/36 35/36 36/36
Tabla 4 Función de distribución acumulativa de la suma de los puntos observados al lanzar dos dados.
A pesar de que el valor de la función de distribución acumulativa para x = 5.7 no está incluido entre los
valores en la tabla, el mismo puede ser deducido de la definición. Así F( x ) = P( X x ), y F( 5.7 ) = P ( X 5.7 ).
Los valores de la suma que pueden obtenerse al lanzar dos dados y que son menores o iguales a 5.7 son
{ 2, 3, 4, 5 }, por lo tanto F( 5.7 ) = P (X 5.7) = P ( X 5) = F( 5 ) = 10/36.
Este ejemplo muestra que si a y b son dos números reales con a < b entonces F( a ) < F( b ), no es cierto
siempre. Lo que sí es cierto es que para dos números reales a, b tal que a < b, entonces F( a ) F( b ). Por la
definición de probabilidad y por esta misma propiedad, se puede ver que el mayor valor que puede tener F( x )
es 1 y el valor más pequeño de esa función es 0. Una función de distribución acumulativa F(x) tiene las
siguientes propiedades:
1. F( ) lim F( x) 0
x
2. F( ) lim Fx ( ) 1
x
3. Si a, b son números reales, con a < b, entonces F(a) F(b). F es una función no decreciente.
4. F( x ) es una función continua por la derecha: si a es un número real, entonces lim F(
x)
F(
a)
.
Como muestra la Figura 2, la gráfica de F(x) parece una escalera. Por ejemplo, considere el intervalo
[ 3, 4 ]. Para x = 3, F( 3 ) = 3/36, seleccione un número x mayor de 3, pero menor de 4, entonces F( x ) = 3/36.
Para todos los valores de x tal que 3 x < 4, F(x) = 3/36. Sin embargo, al evaluar la función en x = 4 se obtiene
F( 4 ) = 6/36, por esta razón la gráfica muestra un salto en ese punto.
La altura del salto en x = 4 es igual a la probabilidad de (X = 4); P( X = 4 ) = F( 4 ) – F( 4 - ), donde F(4 - ) es
el límite de la función F( x ) cuando x se acerca a 4 por la izquierda. Así P( X = 4 ) = 6/36 - 3/36 = 3/36. Aún otra
forma de verlo es P( X = 4) = P( X 4) - P( X < 4) = P( X 4) - P( X 3) = 6/36 - 3/36 = 3/36.
Problema 6
Use la gráfica de distribución acumulada en la Figura 2 para obtener las siguientes probabilidades:
a. P( X ≤ 5 ), P( X < 5 ), P( X > 5 ), P( X ≥ 5 ), P( X = 5 )
b. P( X ≤ 7.2 ), P( X < 7.2 ), P( X > 7.2 ), P( X ≥ 7.2 ), P( X = 7.2 )
c. P( X > 13 ), P( X < 1 )
xa
© 2012 PJ Rodríguez Esquerdo

3.1 Variables aleatorias discretas p. 5
F(x)
Función de distribución de la suma de puntos en dos dados
35/36
30/36
25/36
20/36
15/36
10/36
5/36
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Figura 2 Función de distribución acumulativa de la suma de los puntos observados al lanzar dos dados.
El valor esperado de una variable aleatoria discreta
Sea X una variable aleatoria con función de probabilidad f(x), entonces el valor esperado de X está
definido por E( X ) x f ( x)
. Cada uno de los valores posibles de la variable aleatoria X se pondera por su
respectiva probabilidad.
Ejemplo 1.
x
Si X es el número de puntos obtenidos al lanzar un dado de seis caras, encuentra el valor esperado de la variable
aleatoria Y = X 2 .
La función de probabilidad de X es f(x) = 1/6 si x {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Por lo tanto, la función de
probabilidad de Y = X 2 es f(y) = 1/6 si y { 1, 4, 9, 16, 25, 36 }, así
Ejemplo 2.
Y
1 ·P X 1 2 2 ·P X 2 3 2 ·P X 3 4 2 ·P X 4 5 2 ·P X 5 6 2 ·P X 6
E 1 ·1/ 6 4 1/ 6 9 1/ 6 1/ 6 16 1/ 6 25 1/ 6 36
x
2
x P X
( x).
Suponga que X es una variable aleatoria con tiene función de probabilidad f(x) = 1/6 si x {-2, -1, 0, 1, 2, 3} y
Y = X 2 . La función de probabilidad de Y es f(y) = 2/6 si y {1, 4} y f(y) = 1/6 si y {0, 9}. Entonces
E(Y) = 2/6 1 + 2/64 + 1/6 0 + 1/69. Esta ecuación puede escribirse de la siguiente manera:
© 2012 PJ Rodríguez Esquerdo

3.1 Variables aleatorias discretas p. 6
E Y 1 (2 / 6) 4 (2 / 6) 0 (1/ 6) 9 (1/ 6)
ó ó
2 2
1 P Y 1 4 P Y 4 0 P Y 0 9 P Y 1
2 2 2 2
1 P X 1 X 1 2 P X 2 X 2 0 P X 0 3 P X 3
2 2 2 2
1 P X 1 1 P X 1 2 P X 2 2 P X 2 0 P X 0 3 P X 3
x
2
x P X
( x).
Estos ejemplos muestran que para encontrar el valor esperado de una función de una variable aleatoria
Y = g( X ), no es necesario calcular la función de probabilidad de Y, sólo hay que usar la función de probabilidad
de X y los valores obtenidos al aplicar la función Y = g(X). Esto es cierto aún en el caso en que la función no sea
uno-uno.
Teorema 1
Si X es una variable aleatoria discreta con función de probabilidad f(x), Y = g(X) es una función a valores reales,
entonces su valor esperado es E( Y) E( g( X )) g( x) f ( x)
.
x
Prueba
Se demuestra este resultado para el caso especial en que X tiene un campo de valores finito. La función
y = g( x ) no es necesariamente una función uno a uno. Por esta razón suponga que la cantidad de valores
distintos de Y es m. Sea i un índice i = 1, 2, …, m y suponga que para cada i, g(x) = g i para todo
n i
x {x i1 , x i2 , ..., x ini }, entonces P( g( X ) g ) f ( x ) . Si el campo de valores de g(x) es {g 1 , g 2 , ..., g m }, entonces:
i
E( g( X )) g P( g( X ) g ) g f ( x ) g f ( x ) g( x) f ( x)
i i i ij i ij
i1 i1 j1 i1 j1
x
j1
m m ni
m
.▪
ij
ni
Al aplicar teorema anterior en el caso especial en que la función g( X ) es lineal, Y = g( X ) = aX + b, donde
a, b , se obtiene
Teorema 2
E( Y ) E( aX b)
( ax b) P( X x)
x
axP( X x) bP( X x)
x
a xP( X x) b P( X x)
x
aE( X ) b.
x
Este resultado se enuncia como un teorema.
x
Si a y b son constantes reales y g( X ) = aX + b es una función a valores reales, entonces E( aX + b ) = aE( X ) + b.
Corolario
Si a es una constante real, entonces E( aX ) = aE( X ).
© 2012 PJ Rodríguez Esquerdo

3.1 Variables aleatorias discretas p. 7
Corolario
Si b es una constante real, entonces E( b ) = b.
Estos resultados se pueden generalizar de la siguiente forma:
Teorema 3
Si c 1 , c 2 , ...., c n son constantes reales, y g 1 ( X ), g 2 ( X ) ,...., g n ( X ), son funciones reales de X, entonces
n
n
E ci gi ( X ) ci E( gi
( X )) .
i1 i1
Prueba
n n n n n
E ci gi ( X ) ci gi ( x) f ( x) ci gi ( x) f ( x) ci gi ( x) f ( x) ciE[ gi( X )]. ▪
i1 x i1
i1 x i1 x i1
Momentos de una variable aleatoria discreta
Hay casos especiales de la función g( X ) que ameritan atención. Interesa el comportamiento de E(g( X ))
cuando g( X ) = X r para r = 0 , 1, 2, 3, .... La expresión E( X r ) se conoce como el errésimo momento alrededor del
r
r
origen de la variable aleatoria X. Usando el Teorema 1, E( X ) x f ( x)
.
El primer momento E( X ) se conoce como la media (poblacional) de la variable aleatoria X y se denota
usualmente por la letra griega mu: = E( X ). Otros momentos permiten describir la forma de la distribución de
la variable aleatoria X. El errésimo momento de X alrededor de la media es ( ) r
r
E
X
( x ) f ( x)
,
para r = 0, 1, 2, ...
El segundo momento alrededor de la media es de particular interés en estadísticas y se conoce como la
varianza (poblacional) de la variable X. Esta se denota usualmente con la letra griega sigma minúscula al
cuadrado: 2 = E[( X – E( X )) 2 ] = E[ (X – ) 2 ]. Su raíz cuadrada positiva, , se conoce como la desviación estándar
(poblacional) de X.
En muchas ocasiones es más fácil calcular la varianza a partir del primer y del segundo momento
alrededor del origen.
Teorema 4
Var( X ) = 2 = E(X 2 ) – [E(X)] 2 = E(X 2 ) – 2
Prueba
Por definición 2 = E[(X - ) 2 ] entonces
E[(X - ) 2 ] = E( X 2 – 2X + 2 )
= E(X 2 ) – 2E(X) + E( 2 )
= E(X 2 ) – 2 2 + 2
= E(X 2 ) – 2 . ▪
x
x
© 2012 PJ Rodríguez Esquerdo

3.1 Variables aleatorias discretas p. 8
Teorema 5
Si X es una variable aleatoria con varianza 2 , entonces Var (aX + b) = a 2 Var(X) = a 2 2 .
La varianza es un valor muy útil para estudiar la distribución de una variable aleatoria. En particular,
ofrece información sobre la probabilidad de observar valores extremos de X. Esta relación se establece en el
teorema de Chebyshev.
Teorema de Chebyshev
Sea X una variable aleatoria con varianza 2 y media , entonces para cualquier constante positiva k,
P( | X - | < k ) 1 – 1/k 2 .
Prueba
Usando la definición de varianza, 2 = E[(X - ) 2 ] =
pedazos:
2 2
( x ) f ( x)
x
x
2
( x ) f ( x)
2 2 2
( x ) f ( x) ( x ) f ( x) ( x ) f ( x)
xk k xk xk
.
. Esta suma se particiona en tres
Eliminando la segunda sumatoria, donde todos los términos son positivos, se obtiene la desigualdad
2 2 2
( x ) f ( x) ( x ) f ( x)
. Como (x - ) 2 k 2 2 cuando x - k , ó cuando x + k,
xk xk
2 2 2 2 2 2 2 2 2
k f ( x) k f ( x) k P( X k ) k P( X k
)
xk xk
2 2
k P(| X | k
).
De esta relación se obtiene que P( | X - | k ) 1/k 2 , mientas que usando el complemento se
obtiene que P( | X - | < k ) 1 – 1/k 2 . ▪
.
Función generatriz de momentos
La serie de Maclaurin correspondiente a e tx es
e
tx
2 2 3 3
r r r r
t x t x t x t x
1 tx ... ...
2! 3! r! r!
k0
De esa expansión en serie se puede obtener E( e tX ) :
2 2 3 3
r r
tX
t x t x t x
E( e ) 1 tx ... ...
f ( x)
x 2! 3! r!
t
t
f x t xf x x f x x f x
2! r!
2
r
2
r
( ) ( ) ( ) .. ( ) ...
x x x x
2
r
t t 2 t
r
1 E( X ) E( X ) ... E( X ) ...
1! 2! r!
El coeficiente de t r /r! es el errésimo momento de la variable aleatoria X alrededor del origen. Al evaluar
en t = 0 la errésima derivada con respecto a t de la expansión, es posible obtener el errésimo momento. En
muchas ocasiones puede ser complicado computar directamente los momentos de algunas variables aleatorias
© 2012 PJ Rodríguez Esquerdo

3.1 Variables aleatorias discretas p. 9
por lo cual es útil usar otras técnicas más convenientes, como la función generatriz de momentos definida por
M X ( t ) = E( e tX tx
) = e f ( x)
, donde esté definida.
x
Teorema 6
Sea X una variable aleatoria (discreta) cuya función generatriz de momentos M X ( t ) existe, entonces
r
d M
X
r
dt
() t
t0
r
EX ( ).
Problema 7
Obtenga la función generatriz de momentos de variables aleatorias con distribución Bernoulli, Binomial,
Geométrica, Binomial Negativa, Poisson, e Hipergeométrica.
Ejemplo 3 (R).
Lanza al aire tres monedas y sea X el número de caras que se observan.
a. Encuentra el espacio muestral.
{ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT }
b. Encuentras las funciones de probabilidad y de distribución acumulada.
Función de probabilidad:
1/ 8 x 0
3 / 8 x 1
f( x)
3 / 8 x 2
1/ 8 x 3
Función de distribución acumulada:
0 x 0
1/ 8 0 x 1
F( x) 4 / 8 1 x 2
7 / 8 2 x 3
1 3
x
c. Presenta las gráficas de esas funciones.
Las instrucciones de R para presentar las gráficas son (Ugarte y Militino, p. 89):
x = 0:3
fx = c(1/8,3/8,3/8,1/8)
Fx = c(1/8,4/8,7/8,1)
par(mfrow=c(1,2), pty="s")
plot(x,fx,type="h",xlab ="x",ylab="P(X=x)",xlim=c(0,3), ylim=c(0,.4), xaxt="n",yaxt="n")
axis(1, at=c(0,1,2,3), labels=c(0,1,2,3),las=1)
axis(2, at=c(1/8,3/8), labels=c("1/8","3/8"),las=1)
title("PDF")
plot(x,Fx,type="n",xlab ="x",ylab="F(x)",xlim=c(-1,5), ylim=c(0,1) ,yaxt="n")
© 2012 PJ Rodríguez Esquerdo

3.1 Variables aleatorias discretas p. 10
axis(2, at=c(1/8, 4/8,7/8,1), labels=c("1/8","4/8","7/8","1"),las=1)
segments(0:4, c(Fx,1),1:5,c(Fx,1))
lines(x, Fx, type="p", pch=16)
segments(-1, 1, 5, 1, lty=2)
title("CDF")
d. Encuentra el valor esperado, la desviación estándar y la función generatriz de momentos de X (Tarea).
Moda mediana y percentiles
La moda de una distribución de probabilidad es el valor o valores que tienen la mayor probabilidad de
ocurrir. La mediana de una distribución es el valor m tal que P( X ≤ m ) ≥ ½ y simultáneamente,
P( X ≥ m ) ≥ ½. El j-ésimo percentil de una distribución es aquel valor x (j) tal que P( X ≤ x (j) ) ≥ j/100 y
simultáneamente, . P( X ≥ x (j) ) ≥ 1 - j/100.
Problema 8
Encuentra la moda, mediana, 25-percentil, 75-percentil y 90 percentil de las distribuciones en el ejemplo 3 y
problema 5.
© 2012 PJ Rodríguez Esquerdo