Distribuciones muestrales - Edu-esta.org

7. Distribuciones muestrales
7.1 Introducción
Una estadística es cualquier función real de variables aleatorias observables en una muestra y
constantes conocidas.
7.2.1 Distribución Normal
p. 353 - 355. Estudia cuidadosamente el Teorema 7.1 y Ejemplos 7.2, 7.3. Ven preparado para
presentarlos en clase. Usa R para calcular las probabilidades indicadas.
Teorema 7.1.
Sea X₁, X₂, …, X n una muestra aleatoria de tamaño n de una distribución normal con media μ y varianza
σ², entonces ̅ ∑ tiene una distribución normal con media μ y varianza σ²/n. Bajo estas
X
condiciones, Z tiene una distribución normal estándar.
n
Ejemplo 7.2 Intervalo de probabilidad
Una máquina está calibrada parta echar un promedio de μ onzas en cada botella. La desviación
estándar de la cantidad echada es σ = 1.0 onza. Se toma una muestra de n = 9 botellas llenas y se mide
la cantidad que contienen. Encuentra la probabilidad de que la media muestral difiera por 0.3 onzas o
menos de la media poblacional μ.
P(| X | 0.3) pnorm(0.9) pnorm( 0.9) 0.6318.
(Estandariza para resolver) ▪
Ejemplo 7.2b Calibra la máquina
La máquina del ejemplo anterior debe ser calibrada a una cantidad promedio μ 0 de manera que el 95%
de las botellas contenga 12 onzas o más. Encuentra el valor de μ 0 .
PX ( 12) 0.95 (Estandariza para obtener μ 0 = 12 + qnorm(.95) = 13.645. onzas) ▪
Ejemplo 7.3 Número de observaciones
¿Cuántas observaciones debe tomarse si la media muestral debe tener una diferencia menor o igual a
0.3 onzas de la media poblacional μ con probabilidad 0.95?
P(| X | 0.3) 0.95
X 0.3 0.3
P P Z 0.975,
n n
n
0.3 1.96
de donde qnorm(0.975) 1.96; n 6.533, por lo tanto, n 42.68444 43.
1
▪
0.3
n
Notas sobre el tamaño de muestra n
1. El tamaño de muestra depende de la probabilidad (confiabilidad) del intervalo.
2. El tamaño de muestra depende de la variabilidad de la población σ.
3. El tamaño de muestra depende del ancho del intervalo deseado (margen de error).

density
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
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4. El tamaño de muestra NO depende del tamaño de la población (a menos que la población sea
pequeña).
7.2.2 Distribución Ji-cuadrado
p. 355 - 359. Estudia cuidadosamente los Teoremas 7.2 y 7.3, los ejemplos 7.4 y 7.5. Usa R para calcular
las probabilidades indicadas. Estudia el documento en nuestra página sobre la independencia de la
media y la varianza muestral, también en Mendenhall.
Si Z tiene distribución normal estándar, entonces Z² tiene una distribución gamma con parámetros
α = ½, β = 2, también conocida como la distribución Ji cuadrado con un grado de libertad. Esto se
demuestra por medio del método de funciones de distribución para encontrar la función de densidad a
partir de F( a ) = P( Z² ≤ a ). Su función de densidad, con n grados de libertad es
( n 2) 1 y
2
y e
f ( y) , y 0.
n 2
2 n 2
Su función generatriz de momentos está dada por:
n
2
f ( t) (1 2 t) , t 1 2.
Comparison of Chi Square densities
df = 4
df = 10
df = 20
0 5 10 15 20
x
La figura arriba muestra la gráfica 1 de la distribución Ji-cuadrado para 4, 10, y 20 grados de libertad.
Tarea
Instala R Commander, disponible en http://www.rcommander.com/.
1 x

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Teorema 7.2.
Sea X₁, X₂, …, X n una muestra aleatoria de tamaño n de una distribución normal con media μ y varianza
σ². Sea Z i = (X i – μ)/σ para i = 1,.2, …, n, entonces ∑ tiene una distribución Ji cuadrado con n grados
de libertad.
Prueba
Usa la independencia de X₁, X₂, …, X n y la función generatriz de momentos. ▪
Ejemplo 7.4
Si Z₁, Z₂, …, Z 6 es una muestra aleatoria de una distribución normal estándar, el número b tal que
( ∑ ) ( ) Por otro lado, la distribución Ji
cuadrado no es simétrica:
( ∑ ) ( )
( ∑ ) ( )
Si X es una variable aleatoria con distribución Ji cuadrado con n grados de libertad y 0 ≤ α ≤ 1, el ejemplo
anterior muestra cómo encontrar fácilmente el valor x α tal que P( X ≤ x α ) = α.
Teorema 7.3
Sea X₁, X₂, …, X n una muestra aleatoria de tamaño n de una distribución normal con media μ y varianza
σ². Entonces
2
n
( n1) S 1
2 2
i 1
( X X)
Tiene un distribución Ji cuadrado con n – 1 grados de libertad. Las variables aleatorias X y S² son
independientes.
Prueba
Examina el libro de texto para el caso n = 2 (p. 383). Una excelente demostración está disponible en el
texto de DeGroot y en http://www.edu-esta.org/materiales/probabilidad/indep-media-var.pdf. ▪
Ejemplo 7.5
En el Ejemplo 7.2, dados el tamaño de la muestra, la varianza poblacional σ² = 1 y el margen de error, se
encontró la probabilidad de que la media muestral estuviese a menos de 0.3 unidades de la media
poblacional. Ahora se desea obtener un intervalo [a, b] que contenga el valor de S², con probabilidad
0.90, P( a ≤ S² ≤ b) = 0.90.
1 1 2
1
2
n a n S n b
P
a S b P
2 2 2
( n 1) a qchisq(0.05, n 1) y ( n 1) b qchisq(0.95, n 1)
a 0.369, b1.880
En esta solución se sustituyó σ² = 1, n = 10 y se usó R para el cómputo. En general hay un número
infinito de intervalos posibles, en este caso especial, las probabilidades de las colas es la misma, 0.05.
Pudo haberse seleccionado cualesquier probabilidades α, β para las colas de manera que α + β = 0.10. ▪
i
2

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7.2.3 Distribución t de Student
Student´s t (razón de normal y ji cuadrado): p. 359 - 361. Estudia la definición 7.2, el ejemplo 7.6 y la
derivación de la función de densidad de la distribución t. Usa R para calcular las probabilidades
indicadas.
La sección 7.2.1 discutió el caso de la distribución de la media muestral cuando el valor de la varianza
poblacional σ² es conocida. Esta sección estudia el caso de la distribución de ese estimador cuando el
valor de σ² es desconocido.
Bajo las condiciones del Teorema 7.1
X
Z
n
X
tiene una distribución normal estándar. Al
2
n
X
cambiar la condición de que la varianza sea conocida, es necesario estimarla, obteniéndose t ,
2
S n
que ya no tiene una distribución normal, al ser la razón de dos variables aleatorias independientes,
y S². La variable √ , la desviación estándar de la media muestral, se conoce como el error
estándar.
Definición
Sea Z una variable aleatoria normal estándar y sea W una variable aleatoria con distribución Ji-cuadrado
con v grados de libertad. Si Z y W son independientes, decimos que la variable aleatoria
√ ⁄ tiene
una distribución Student´s t con v grados de libertad.
v
1
v1
2
La función de densidad 2 2 x
2
de esta distribución es g( x)
1
12
v
v
2
v
para x .
La mediana y moda de una variable aleatoria con esta distribución es 0, su media también es cero
cuando v > 1 y su varianza es ⁄ ( )
para v > 2. En el caso en que v = 1, se le conoce como la
distribución de Cauchy, con densidad ( ) [ ( )] . La distribución t es simétrica alrededor de
cero converge a la distribución normal estándar cuando el número de grados de libertad crece hacia
infinito. La siguiente Figura muestra la gráfica 3 de la distribución t para v = 1, 2, 4, y 10 grados de
libertad, también las compara con la normal estándar.
2 Véase http://www.edu-esta.org/materiales/probabilidad/distribucion_t.pdf para su derivación. La página
Student's t-distribution http://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-distribution tiene un resumen de sus
propiedades.
3 x

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En particular, si X₁, X₂, …, X n es una muestra aleatoria de tamaño n de una distribución normal con media
2
X
( n1)
S
μ y varianza σ², entonces Z tiene una normal estándar y W tiene una distribución
2
n
Ji-cuadrado con n – 1 grados de libertad. Al aplicar la definición de la distribución t se obtiene que
X
n X X X
t
n
2 2
( n 1) S S S
es una variable aleatoria t con n-1 grados de libertad.
S
2
n n
( n 1)
Ejemplo 7.6
Se toman seis observaciones independientes de una distribución normal con media y varianza
desconocidos. Se desea encontrar la probabilidad de que a una distancia de no más de dos errores
estándar de la media verdadera, en otras palabras, usando R
2S 2S X
P X P
2 2
pt(2,5) - pt(-2,5) 0.8980605.
n
n S
n
▪
7. 2.4 Distribución F de Fisher
F de Fisher (razón de dos varianzas): p. 361 -364. Estudia la definición 7.3 y Ejemplo 7.7. Usa R para
calcular las probabilidades indicadas.
lines( x, tdens10, col=5)
legend( x=2.5, y=.4, lty = c(1,1,1,1,1), col = c(1,2,3,4,5),legend = c("normal(0,1)", "df = 1", "df = 2", "df = 4", "df = 10"))

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En muchas ocasiones se desea comparar las varianzas desconocidas de dos poblaciones independientes.
para ello se toman muestras independientes X₁, X₂, …, X n , y Y₁, Y₂, …, Y m una de tamaño n y m
respectivamente. Se toma la razón de las varianzas de esas muestras S x ² / S y ² para obtener una idea de
las magnitudes relativas. Como S x ² estima a σ x ² la razón S x ²/σ x ² debe estar distribuida alrededor de 1. Lo
mismo ocurre para S y ²/σ y ². De similar manera, S x ²/σ x ² ÷ S y ²/σ y ² también debe estar distribuida alrededor
de 1.
Definición
Sean V y W dos variables aleatorias independientes con distribución Ji cuadrado con v y w grados de
libertad respectivamente. La distribución de la variable aleatoria
distribución F de Fisher con v y w grados de libertad.
La función de densidad de esta distribución es
1 v 1 w 1
2 2
(1 )
0
v
vw
2 v 1
v 2
2
1 v
f ( x) x 1 x
, x 0.
t t dt w w
⁄
⁄
se conoce como la
Su media no depende de los grados de libertad del numerador, E( F ) = w/(w - 2) si w > 2. La siguiente
figura muestra la gráfica 4 de la función de densidad para distintos combinaciones de grados de libertad.
4 x

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Es conocido que
2
( v1) S x
2
x
grados de libertad respectivamente. Por lo tanto
distribución F con v y w grados de libertad.
Ejemplo 7.7
y
2
( w1) S y
son independientes y tienen distribución Ji cuadrado con v y w
2
y
V
v
( v 1) S / ( v 1)
S
F
W ( w 1) S / ( w 1) S
w
2 2 2 2
x x
x
x
2 2
2 2
y
y
y
y
Se toman muestras independientes de tamaños n = 6 y m = 10 de dos distribuciones normales con igual
varianza, entonces el valor de b en ( ) se obtiene usando R, b = qf(.95, 5, 9) = 3.4817. ▪
tiene